一般观念指引下的高中数学探究活动

2025年9月，以章博士为首的人教社中学数学教材研发团队赴山西调研，我校承办本次调研接待工作。为此，我准备了一节汇报课供参会的专家和教师研讨，课题为《2.1等式与不等式性质（第二课时）》。本节课学生在“运算中的不变性就是性质”这个代数一般观念指引下，类比等式性质自主探究不等式性质，获得了与会专家的一致好评。课后，章博士意犹未尽，亲自接过话筒与学生深入交流近5分钟，在随后的点评中，他对本节课给予高度评价：“这节课就是我们编教材时理想中上课的样子。”

本节课为何能够获得专家的高度认可？

个人认为，主要原因在于课堂完整呈现了一般观念指引下的高中数学探究活动。

下面以《2.1等式与不等式性质（第二课时）》为例，结合山西省教育科学研究院薛老师的指导启发、与会专家的点评意见及个人教学思考，与各位同仁探讨三个问题：

①为何一般观念指引下的高中数学探究活动是高中数学育人的有效方式？

②一般观指引下的高中数学探究活动基本实施流程是什么？

③开展实施一般观念指引下的高中数学探究活动时，需要注意哪些问题？

一、一般观念指引下的高中数学探究活动是高中数学育人的有效方式

本次公开课备课阶段，我先后设计了三套教学方案。

方案一：常态化数学课堂教学。

因为等式性质是解方程的基础，学生在初中阶段已熟练掌握。类比等式性质探究不等式性质，思考方向清晰、知识结构明确，因此，本节课可以快速带领学生梳理等式性质、类比得出不等式的7条基本性质，再通过例题和练习深化学生对性质的理解，完成“知识产生—提炼总结—应用巩固”的完整教学闭环。

方案二：严格按照教材内容授课。

由于本节课为人教社教材调研课，只需吃透教材，严格按照教材编写逻辑开展教学，通过设计梯度化问题串，引导学生逐层思考、逐步探究，扎实落地教材全部教学内容，让教材编写专家实际了解一线教师按照教材内容进行授课的效果，我就算完成了任务。

方案三：一般观念指引下的数学探究课。

先梳理等式的性质，以“代数的性质就是运算中的不变性”为指引，类比研究不等式的性质，全程开展学生自主探究活动。

经过三次试讲打磨与研讨，最终确定采用方案三授课，主要原因如下：

①方案一以教师讲授为主，侧重知识灌输与解题训练，偏离新课标育人理念，本质是“教解题”而非“教数学”，第一次试讲后便被团队否决；

②方案二完全照搬教材内容，课堂容量过大，一节课无法完整落地，第二次试讲后予以舍弃；

③方案三立足教材，以发展学生理性思维为导向，紧扣“四基”“三会”“六核”育人目标，是践行“以数学的方式育人”教学理念、凸显数学学科特质、最大化发展学生理性思维的最优选择。试讲中，开放式的探究课堂呈现出良好效果：学生从最初的轻视、不以为意，逐渐投入深度探究，展现出超出预期的课堂状态。

事实证明，按照方案三进行授课获得专家高度认可。值得一提的是，经历了本次专家互动下的公开课，极大激发了学生的数学学习热情，学生课堂参与主动性、探究积极性显著提升。

本次课堂为什么会有如此好的教学效果？

关键在于以一般观念为指引开展高中数学探究活动。

下面结合《2.1等式与不等式性质（第二课时）》的教学实践，具体阐释一般观念指引下的高中数学探究活动，何以成为高中数学育人的有效方式。

（一）从知其然，到知其所以然，培育学生科学精神

不等式的性质是学生高中阶段接触的首个代数证明内容，是高中代数学习的基础，对学生代数思维、逻辑推理能力的培养具有奠基作用。

数学学科不存在“想当然”的结论，所有性质、定理都需要严谨证明，学生学习不仅要知其然，更要知其所以然。引导学生自主推导、严谨证明不等式性质，是培育学生科学精神、践行数学学科育人价值的体现。

这也是章建跃博士课后专门用5分钟为学生补充讲解、重点强调的内容。

（二）从知其所以然，到何由知其所以然，渗透数学一般观念

等式与不等式性质的显性教学主线是不等式性质的知识探究与应用，隐性主线则是渗透“代数的性质就是运算中的不变性”的数学一般观念思想方法。

这个一般观念并非局限于不等式性质，而是贯穿整个代数领域，适用于函数、复数、向量、三角函数等所有代数对象的性质探究，具备极强的通用性与指导性。

这也是本节课全程以学生探究、学生表达为主，却不显得华而不实、刻意作秀的原因。

学生的课堂探究并非浅层、无序的活动，而是在数学一般观念指引下的深度、有序、高阶思维活动。

课堂表层是探究得出不等式具体性质，深层是让学生理解、内化代数研究的通用方法，为后续各类代数知识的探究学习搭建思维框架。

在数学一般观念的指引下，学生完成了“知其然——知其所以然——何由知其所以然”的完整思维进阶，探究思路清晰、思维通透、认知深刻，让课堂探究活动扎实落地、富有质感，真正实现深度学习。

（三）养成常态化探究习惯，发展学生理性思维

探究是理性思维的外在表现，是数学学科育人的主要形式，是推动学生从被动听课转向主动思考的关键，也是衡量数学课堂教学品质的重要标准。

课堂探究有优劣之分：浅层化、形式化、作秀式的虚假探究，不仅无法引导学生深度思考，还会导致学生学习浮于表面、浪费课堂时间、降低学习效率，适得其反。

一般观念指引下的探究活动，是贴合数学学科本质的真实探究，能够为学生的探究学习指明正确方向，在常态化课堂中扎实培育学生的理性精神，教会学生用数学思维、数学方法开展自主探究，最终让学生形成从一般观念出发开展探究性思考的能力。

只要教师能够在日常教学中，引导学生养成深挖知识背后一般规律与思想方法的学习习惯，逐步培养探究意识、提升探究能力，就能从根本上提高学生提出问题、发现问题、分析问题、解决问题的能力，发展理性思维。

本次备课过程中，我与薛老师关于学生探究活动的研讨让我受益匪浅。

最初我认为，不等式性质知识内容简单、类比逻辑浅显，放手让学生全程探究存在小题大做、过度探究的问题。但薛老师指出：“当前高考数学题对学生探究能力、创新思维的要求持续提升，数学探究能力、理性思维的培养，不能够仅仅依靠高三阶段的专题突破、题型训练速成，必须在日常每一节数学课中点滴渗透、长期积累、逐步培养。在日常简单知识内容的教学中，如果忽视探究能力培养，高三阶段面对复杂的探究题目，多数学生会因探究能力欠缺主动放弃。”

波利亚提出：“解题是一种实践性技能，好比说就像游泳一样。我们是通过模仿和实践来学会任何一种实践性技能的。如果你想学会游泳，你必须下水；如果你想成为解题能手，你就必须去解题。” 类似的，学生只有在探究活动中才能够提升探究能力。（G・波利亚。怎样解题：数学思维的新方法 [M]. 涂泓，冯承天，译。上海：上海科技教育出版社，2011. ）

这就要求高中数学教师从高一年级抓起，重视常态化课堂的探究教学。而等式与不等式的性质，是培养学生探究能力的绝佳素材。主要有两方面的体现：

一方面，知识点浅显易懂，学生已有初中知识基础，类比探究的门槛低、易落地；

另一方面，知识背后蕴含的数学思想方法深刻厚重，一般观念“代数的性质就是运算中的不变性”，能够为学生后续所有代数知识的探究学习提供终身受用的思维方法。

秉持“探究无小事”的教学理念，在每一节常规数学课中渗透真实探究活动，持续培养学生的探究习惯与探究能力，是落实数学育人的关键。

本质而言，优质的数学探究，是理性思维主导的探究；所谓一般观念指引下的探究活动，核心就是理性思维指引下的深度学习活动。

总之，开展探究活动是数学学科育人的基本形式，而一般观念指引下的探究活动，是高中数学有效的育人方式。其育人价值，在于帮助学生具备三方面能力：

 一是对待数学知识，能够做到知其然、知其所以然，更能明晰何由知其所以然；

 二是善于挖掘数学知识背后的通用思想方法与一般规律，形成系统化的数学思维；

 三是养成常态化深度探究的学习习惯。

二、一般观念指引下的高中数学探究活动的基本流程

（一）创设问题情景，做好探究铺垫。

一般观念是高中数学知识背后的思想方法，是对数学知识产生过程的抽象和提炼，教师在教学时不能简单直接地告知学生，这与数学概念、定理等知识的学习是一致的，必须从学生已有的知识和经验出发，让学生经历一般观念的提炼过程。只有经历了一定的数学活动，学生才能对一般观念有较深刻和正确的认识，为下一步在一般观念指引下进行探究活动做好铺垫。

例如，为了使学生能够更好地在一般观念“代数的性质就是运算中的不变性”指引下进行探究活动，在《2.1等式与不等式性质（第一课时）》，通过两个实数大小的基本事实，将两个实数的大小关系转化为它们的差与0的大小关系，从而使实数的运算能够参与到实数的大小比较中，为不等式的论证提供了运算工具和理论基础； 由解方程要用等式的性质，得出解不等式要用不等式的性质，使学生体会到研究不等式性质的必要性，并为下一步类比等式的性质得出不等式的性质做好思想准备。

（二）明确一般观念，提出探究问题

一般观念虽然是凝练的，往往一句话就可以概括出来，但是， 在说出那句话之前，要让学生经历充分的思考活动以理解其所蕴含的思想方法； 在说出那句话之后，要清晰地抛出探究问题，以引导学生在一般观念的指引下进行探究活动。

例如，我在引入运算来比较两个实数大小和认识到研究不等式性质的必要性之后，进一步提出：因为等式与不等式都是对两个实数大小关系的刻画，所以可以从等式的性质及其研究方法中得到启发。由此给出一个思考问题：“请你先梳理等式基本性质，再观察它们的共性，你能归纳一下发现等式基本性质的方法吗？”。

同学们梳理等式的基本性质会发现，它们共分为两类： 

一类是相等关系自身的特性； 

另一类是从运算角度提出的，反映了等式在运算中保持的不变性。

通过对等式性质的梳理，使学生明确“运算中的不变性就是性质”这个数学一般观念，在此基础上提出探究问题：“类比等式的基本性质，你能猜想不等式的基本性质并加以证明吗？”至此，引导学生自觉地运用等式性质所蕴含的思想方法，在“运算中的不变性就是性质”一般观念的指引下开展探究活动。

（三）全程跟踪辅导，确保探究质量

与以教师讲解为主相比，让学生通过探究活动自主获得知识无疑是更加费时费力的。给了学生探究任务之后，教师并不是可以当甩手掌柜、坐等其成，而是对教学工作提出了更高的要求，要全程监控学生的探究活动，确保探究质量。

与等式的性质类比，不等式的性质包括两类：

 一类是式子自身的性质(对称性和传递性)，这个学生容易想到； 

另一类是不等式对于运算的不变性（蕴含一般观念：代数的性质就是运算中的不变性）,这部分是学生探究的难点，也是教师要着重引导学生探究的地方。

我采取的策略是具体参与到学生的探究活动中针对性的进行辅导：

启发他们先在不等式 a > b 两边同时加一个相同的数，观察结果是否不变；

再同时加两个不相等的数，分析其不等号的方向如何改变，由此得出不等式对于加法运算的不变性质；

接着进行乘法的相应运算，并鼓励学生们进一步拓展对其它运算不变性的探究。

（四）集中展示交流，共享探究成果

经历了在教师具体指导下的探究活动，学生们已经基本上有了各自的探究成果。此时，教师需要在全班范围内，集中让各小组进行成果的展示交流，在展示交流的过程中，将数学知识的正确规范的表达结果呈现出来，使得个人的思考转化为班集体公共的知识，完成探究目的，达到学习效果。

例如，《2.1等式与不等式性质（第二课时）》就是为与会的专家和老师们所呈现的一节探究成果展示课。课堂上，各小组把探究成果展示出来，教师逐一审阅之后，从中挑出三个有代表性的小组在课堂上进行了展示。

（五）及时评价反馈，提升探究体验

评价是贯穿整个探究活动的教学行为。

在一般观念的高中数学探究活动课上，对学生的评价主要体现在以下几方面： 

①在探究过程中，对积极参与的同学给予表扬和鼓励，引导全体学生投入到数学探究活动中去； 

②在集中展示交流、共享探究成果时，对学生的成果进行及时点评，有理有据地给予反馈，确保分享的有效性和成果的正确性； 

③引导学生们互相评价，激起学生的参与意识，激发学生的主人翁意识；

 ④权威专家点评能够提升学生探究体验，激活学生探究热情。

例如，在《2.1等式与不等式性质（第二课时）》学生展示过程中，教师当场为各小组探究成果给出评价，并及时纠正学生的错误，在给予学生积极的反馈的同时，顺利地将探究成果汇总成了不等式的7个基本性质。在本节课结束之后，章博士走上讲台，对同学们的探究成果给予了充分的肯定，表扬了进行展示的同学，并引导学生们要重视不等式性质的证明和继续探究不等式的其它性质。

（六）应用巩固发展，发挥探究价值

一般观念对于学生数学知识的获得与发展具有引领作用，在一般观念的指引下，数学知识的内在联系将自然地呈现出来。

一般观念指引下的高中数学探究活动的目的主要有两个： 

一是在探究过程中体会一般观念思想方法的应用，深化对一般观念的理解； 

二是在一般观念指引下通过探究获得高中数学知识。

不论是抽象的思想方法还是具体的数学知识，都需要通过进一步的应用，才能使探究的成果得到巩固和发展，真正发挥出探究的价值。

例如，《2.1等式与不等式性质（第二课时）》之后，可以从两方面入手进一步发展探究成果：

一是利用教材中的例题和习题进一步渗透“一般观念”。

将课本中的不等式的性质、例2、练习第2题、习题2.1“综合运用”中的7题和8题、“拓广探索”的第11题统整到一起，具体感受“运算中的不变性就是性质”的方法论作用，即先选择运算类型；再选择运算对象，并依据具体情况做必要的分类，在每一类通过赋值进行运算观察结果，猜想其是否具有不变性；之后针对猜想进行论证或者反驳；最后将具有不变性的运算作为性质。

二是在后续章节的学习中继续升华对“一般观念”的理解。

接下来学习“2.2 基本不等式”时，启发引导学生对重要不等式a^2+b^2≥2ab做代数运算进行探索，通过变化运算类型、变化运算对象、或者对不等式进行变形，提出一系列猜想，将散落在课本不同位置的关系式统整在一起；之后在根式的性质、指数函数的定义、三角恒等变换等其它章节的学习中，引导学生自觉运用“代数的性质就是运算中的不变性”的一般观念，充分发挥其方法论作用，进一步挖掘出探究的价值。（韩灵,蔡红瑞,薛志诚. 代数一般观念指引让数学知识自然生长【J】. 中国数学教育(高中版),2024(8):10-14+35。）

三、开展一般观念指引下的高中数学探究活动需要注意的几个问题

（一）探究活动的发散性与探究成果的集中性

在一般观念指引下的高中数学探究活动中，教师应敢于放手，让学生充分探究。

只要学生围绕一般观念展开活动，其学习就是有效且聚焦的，教师不必担心学生得出不同结果。学生产生的差异结论，甚至错误结论，恰恰体现了探究的价值。

当学生完成初步探究后，教师可通过集中展示、逐一点评等方式，汇总全班成果，进行整合与梳理。

教师应凭借专业知识和教学经验，充分肯定学生成果，凝练集体智慧，并依据课标和教材，梳理出学生需要掌握的数学知识，保障知识传递的准确性，规范学生的数学表达，逐步培养他们用数学眼光观察世界、用数学思维思考世界、用数学语言描述世界的意识和能力。

例如，在设计《2.1等式与不等式性质（第二课时）》的探究活动时，我曾与薛老师讨论，是否需要设计表格形式的探究支架问题清单，让学生按图索骥并统一呈现成果。薛老师认为，只要以“运算的不变性就是性质”一般观念为指引，学生的探究方向就会聚焦，成果也不会偏离。于是，我大胆放手让学生自主探究。实践证明，没有固定框架的限制，学生产出的成果丰富。

在课堂展示环节，我逐一审阅各小组报告并现场点评，邀请典型小组代表分享，同步进行针对性修正。最后，和学生共同从探究成果中筛选、提炼出七条不等式的基础性质，确立为本节课的核心知识，凝聚成全班共识，顺利实现了探究过程发散、成果集中的教学效果。

（二）教材的权威性与教学的灵活性

教材由教育专家依据课程标准，经过多轮研讨、调研与修订编制而成，是教学活动的主要参考。其内容科学严谨、课时规划合理，具有极高的权威性和实用性。教材以文字形式固化了标准化教学内容，其中每一句话、每一个问题、栏目、例题与习题都经过精心设计，具有独特的教学价值和育人功能，值得师生深入研读与体悟。然而，在实际教学中我们发现，如果严格按照教材提供的研究思路、思想方法和探究内容来教学，同时结合课时安排和学生的实际学情，往往会出现两种情况：

一是课时充裕，学生能较快掌握教材内容，导致教学任务提前完成；

二是教学内容过多，课时无法完整覆盖，要想完整、细致地落实教材内容及其设计意图，需要额外增加教学时间。

因此，教师需要凭借自身对学科知识的深刻理解、对教材内容的准确把握，以及对学情的全面了解，灵活地整合与优化教材内容，从而切实提升课堂教学的有效性。

以人教A版教材“2.1 等式性质与不等式性质”的教学为例，第一课时的主要内容是不等关系与两个实数大小关系的基本事实，第二课时是梳理等式性质，并类比猜想和证明不等式性质。实际教学中，第一课时的内容容量偏小，常规教学完成后尚有有富余时间；而第二课时内容较多，单节课时难以完整落实。

针对这一情形，从教学的实际情况出发，我们对两课时的内容进行了灵活整合，将等式性质的梳理调整到第一课时，让学生在梳理等式性质的过程中，深刻体会“性质就是运算中的不变性”一般观念，并在此基础上布置探究任务，引导学生类比等式的基本性质，在一般观念的指引下猜想和证明不等式的性质。

通过这样的教材整合与课时优化，两课时的教学内容得以充分落实，既为学生预留了充足的自主探究时间，也为教师课后进行针对性辅导提供了空间。

（三）课时的有限性与课堂的延伸性

一般观念指引下的高中数学探究活动，是学生围绕数学问题进行的深度探究，需要一定的时间。

高中数学每节课时长为45分钟，受限于此，学生通常在课堂上只能进行微探究。

教材依据课程标准对各模块知识的授课时长有明确建议，固定的课时安排往往难以支撑高质量、深层次的数学探究活动。

要破解课时有限与深度探究之间的矛盾，可行的路径是：坚守常规课时的教学安排，打破课堂的时空限制，将教学延伸至课后，充分利用碎片化的课后时间开展探究活动。

具体来说，可以通过布置课后探究作业、组织课间小组讨论，或者利用活动课进行集中展示交流等方式来落实探究任务。常规课堂时间则用于师生共同总结、梳理和提炼探究成果。这样既能保障常规教学有序推进，也能确保探究活动完整、充分地开展。

以《2.1等式与不等式性质（第二课时）》的教学为例，学生探究活动主要是在前一天晚上的自习课时间完成的。我在课后对各小组组长进行了针对性指导，明确了探究方向、规范了流程，并统筹了小组活动。第二天的课堂直接以各小组成型的探究成果为基础，开展集中展示、交流研讨和知识提炼，从而大幅提升了课堂教学效率。

在课后的专家点评中，章博士提出：“教学中需要妥善处理课堂内外的关系，本节课的学生成果展示可以进一步后置到课后进行”。

如果将展示交流环节调整到自习课或活动课，不占用常规教学课时，学生的讨论氛围会更浓厚，参与热情和探究积极性也会更高，既能有效缓解高中数学课时紧张的问题，也能丰富学生的课余学习生活。

结语：开展一般观念指引下的高中数学探究活动，提升高中数学课堂品味

章博士在《核心素养立意的高中数学课程教材教法研究》一书中指出："如果教师的数学素养高，对所教内容的本质及蕴含的育人价值理解深刻，并能将自己的理解转化为教学表达，通过创设恰当的教学情境，提出有数学含金量的问题，引导学生开展实质性的数学思考和探究活动，那么课堂教学的数学品位就得到保证，就能使学生在掌握‘四基”的过程中发展数学思维。核心素养的提升也就水到渠成。"（章建跃.核心素养立意的高中数学教材教学研究【M】。上海：华东师范大学出版社，2021（7）:19。）

一般观念指引下的高中数学探究活动，本质上是聚焦于学生理性思维发展的深度学习活动，它为常态化、规范化地开展数学探究提供了抓手。

一般观念作为一种具有普遍性和指导性的数学思想方法，能够为学生的探究活动指明方向，有利于学生在探究实践中主动提出问题、发现问题、分析问题和解决问题。

一般观念引领的高中数学探究活动精准把握了探究教学的核心，让数学探究有主心骨、有底气、有目标、有方法，提升了课堂教学的数学品位，切实承担起培育学生数学核心素养、发展理性思维与科学精神的育人重任。