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真题解析||2026年辽宁省中考数学难题解析(第27题详解,旋转综合考察)
真题解析
2026年辽宁省中考数学第22题
22、如图，在△ABC中，AC=BC，∠B=α，点D在边AB上，点E在边BC上，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转α得到DF。
(1)当α=45°，且点E与点C重合时，
①如图1，若点F落在AC上，求∠BCD的度数；
②如图2，若DF∥BC，连接AF并延长，交BC的延长线干点G，求证：BA=BG；
(2)如图3，当α=60°，AB=11，BE=2AD=6时，连接AF，CF，求△ACF的周长。
【解题思路】
(1) ①根据已知条件，利用等边对等角，再通过角度和差计算即可求得∠BCD的度数；
②由平行的性质得出∠FDA=45°，从而确定CD⊥AB，利用等腰三角形三线合一及旋转的性质得到AD=CD=DF，进而求得∠FAD= ∠AFD的度数，进一步推出∠G的度数，最后根据等边对等角即可证得结论；
(2)过点F作FK ⊥AC交AC于点K，取BE的中点G，连接DG，过点G作GH⊥AB交AB于点H，由已知条件确定出△ABC是等边三角形，利用三角形内角和定理和平角定义推出∠FDA=∠DEG，证明△FDA≌△DEG(SAS)，再利用解直角三角形和勾股定理推出AF=DG=7，角度和差关系与三角形外角的性质推出∠FAC=∠GDH，证明△FAK≌△GDH(AAS)，利用勾股定理求出CF的长度，最终求出△ACF的周长。
【试题详解】
(1) 解:①∵AC=CB，∠B=α=45°，
∴∠A= ∠B=45°，
∴∠ACB=180°－∠A－∠B=90°,
由旋转得CD=DF，∠CDF=α=45°，
∴∠FCD= ∠CFD=(180°－∠CDF)÷2=67.5°，
∴∠BCD=∠ACB－∠FCD=90°－67.5°=22.5°.
②证明:∵DF //BC,
∴∠FDA=∠B=α=45°，∠AFD=∠G，
∵∠FDC=α=45°，
∴∠ADC= ∠FDA+ ∠FDC=90°，
∴CD⊥AB，
∵AC=BC，
∴AD=CD=BD，
∵由旋转有CD=DF,
∴AD=DF=CD,
在△AFD中，∠FAD=∠AFD=(180°－∠FDA)÷2=67.5°，
∴∠G=∠AFD=67.5°，
∴∠G=∠FAD,
∴BA=BG.
(2)解:如图，过点F作FK⊥AC交AC于点K，取BE的中点G，连接DG，过点G作GH⊥AB交AB于点H，
∵AC=BC，∠B=α=60°，
∴ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC=11,
∵BE=2AD=6，点G为BE的中点，
∴AD=3，EG=GB=3，
∴AD=EG，
∵∠EDF=∠B=α=60°,
∴∠EDB+ ∠FDA= ∠EDB+ ∠DEG=180°－α=120°，
∴∠FDA=∠DEG，
在△FDA和△DEG中，AD=EG，∠FDA= ∠DEG，FD=DE，
∴△FDA≌ △DEG(SAS),
∴AF=DG，∠FAD=∠EGD，
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