华东师大版初中数学九年级新修订教材教学提示

九年级上册包括以下五章内容：

第20章  二次根式

第21章  一元二次方程

第22章  图形的相似

第23章  解直角三角形

第24章  随机事件及其概率

九年级下册包括以下三章内容：

第25章  二次函数

第26章  圆

第27章  基于数据解决问题

本次修订除最后一章“第27章 基于数据解决问题”修改的幅度较大外，其他章节内容整体上基本与修订前相同，仅作了小修改。具体情况提示如下。

一、关于“二次根式”的定义

二次根式定义把“形式”和“有意义”捆绑在一起。根据定义，二次根式一定有意义！

（1）不能说：𝒙是怎样的实数时，二次根式有意义？所以，九上教材第2页例题表述为：𝒙是怎样的实数时，式子有意义？

（2）根式的定义有一个演变的过程，我国现行的教科书一般认为：二次根式就是“含有根号的式子”。所以都是二次根式。

（3）二次根式并非都是无理式。

本次修订，在分式概念中去掉“B≠0”这一限制条件，把形式和是否有意义分开。一个分式，可能有意义，也可能没有意义。这是分式定义与二次根式定义的不同之处。

二、把握 2022 年版课标的要求

1.课标对二次根式的教学要求

对于二次根式，《2022 年版课标》只要求了解二次根式的有关概念，了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除运算法则，会用它们进行简单的四则运算。在此不讨论根号下含有字母的根式运算，意味着在义务教育阶段仅把二次根式看作数，并未引入一般意义下的根式概念及运算（整式和分式是初中阶段有关“式”的主要内容）。

像以下例子符合课标的要求：

例 计算：

也就是说，运用二次根式的加、减、乘、除运算法则进行二次根式的四则运算，根号下仅限于数，不要求进行根号下含字母的二次根式的四则运算，如等。

2.课标对“解一元二次方程”的教学要求

课标只要求解数字系数的一元二次方程。

3.课标对“配方法”的教学要求

课标只要求将数字系数的表达式化为𝑦 = 𝑎(𝑥 − ℎ)² + 𝑘的形式。

4.课标对“相似三角形判定定理”的教学要求

课标只要求了解相似三角形的判定定理，不要求用这些定理证明其他命题。相似三角形判定定理的证明是选学内容——不作为考试要求。

三、研究相似三角形判定的思路

教材先给出如下基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例（简称平行线分线段成比例）。如图1，若，则

.

在图1中，当点A与点F重合时，则变为如图2所示的特殊图形。

在图2中，若DE∥BC，则利用相似三角形的定义可以得出△ADE∽△ABC，从而可以得出如下结论：平行于三角形一边的直线，和其他两边（或两边的延长线）相交所构成的三角形与原三角形相似。这样就得到了如图3所示的证明比例式的两个常见图形。

四、为什么把“三角形中位线定理”移到平行四边形，而把“重心定理”仍然保留在图形的相似一章？ 

1.研究平行，平行四边形有优势

三角形中位线的主要性质是平行，用平行四边形研究有优势。如图4，可以通过构造平行四边形，利用平行四边形的性质和判定证明三角形中位线定理。

2.研究线段的倍数关系，比例线段有优势

三角形重心定理给出了重心是中线的三等分点，用比例线段证明有优势。如九上教材88页给出的证明。

3.平行和线段成比例可相互推出

三角形的中位线揭示了中点、中线、中位线、平行、比例线段之间的联系，放在这里可以起到沟通知识的桥梁作用：把平行线、三角形全等、平行四边形、三角形相似等知识联系起来。

（1）由平行可得出线段成比例。

如图5，已知DE∥BC,求证：。

【分析】如图5，连结CD、BE。

这里与教材的思路相反：教材是把“平行线分线段成比例” 作为基本事实，然后把这一结论作为特例。

（2）由比例线段可以得出平行。

如图7，已知，求证：DE∥BC。

易得△ADE∽△ABC，由相似三角形的对应角相等即可得出 DE∥BC。

五、中点、中线、中位线都指向面积关系，面积法在与其相关的探究中有重要作用

（1）由中点可得出平行。

如图8，已知M、N分别是AB、AC的中点，求证：MN∥BC。

【分析】如图8，分别连结CM、CN。因为M、N分别是AB、AC的中点，所以所以S_△BCM= S_△BCN。从而可得MN∥BC。

（2）证明三角形的三条中线交于一点。

如图9，已知BE、CF是△ABC 的中线，BE、CF相交于点O，要证明三角形的三条中线交于一点，只需要证明AO的延长线与BC的交点G是BC的中点。

易得 S_△BOF=S_△COE.

又S_△BOF=S_△AOF，S_△COE=S_△AOE，

所以 S_△AOB=S_△AOC.

又

所以 S_△BOG=S_△COG,

所以 BG=CG.

（3）证明三角形中位线定理。

如图10，在△ABC中，AD=DB，AE=EC。连结BE和 DC，因为AD=DB，AE=EC，故S_△EAD=S_△EDB，S_△EAD=S_△CED。于是得S_△EDB=S_△EDC，故得 DE∥BC。另一方面，因为S_△EBC=S_△ABE=2S_△BDE，而△EBC和△BDE是等高的，所以BC=2DE。

（4）证明重心定理。

如图11，在△ABC中，D、E、F分别是BC、CA、AB 的中点，过点A、C、D、F分别作BE的垂线，垂足分别为 G、H、I、J，易得AG=CH，于是得FJ=DI。故有

𝑆_{∆𝐵𝑂𝐷} = 𝑆_{∆𝐵𝑂𝐹} = 𝑆_{∆𝐴𝑂𝐹}，

从而得

𝐴𝑂:𝑂𝐷 = 𝑆_{∆𝐴𝑂𝐵}:𝑆_{∆𝐵𝑂𝐷} = 2:1.

六、原教材“24.2 直角三角形的性质”中的“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”移入“19.1 矩形”

（2）也可以通过把直角三角形沿中位线切成一个矩形来证明。如图13，分别取AC和BC的中点E、F，连结DE、DF、EF。易证四边形DFCE是矩形，故得

（3）还可以考虑把直角三角形分割后拼成一个矩形。如图14（1），取AC的中点E，连结ED并延长至点F，使得DF=ED，连结BF，易得四边形ECBF是矩形。由Rt△CED≌Rt△BFD可得CD=BD。

如图14（2），过点D作BC的垂线，垂足为点E，过点A作BC的平行线，交ED于点F，易证四边形ACEF为矩形。由Rt△CED≌Rt△AFD可得CD=AD。

（4）“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的其他证明方法。

①利用三角形的中位线定理和垂直平分线性质证明

⚫ 如图15，取AC的中点E或BC的中点F，易得DE是线段AC的垂直平分线；DF是线段BC的垂直平分线。

②利用三角形中位线定理和平行四边形、全等三角形的知识证明

如图17，取AC的中点E，延长BC至点F，使 CF=DE，连结EF，则四边形EFCD是平行四边形，故得 DC=EF。又Rt△AEF≌Rt△ECF，故得AD=EF，从而得 AD=DC。

③利用三角形的中位线定理和菱形的知识证明

如图18，取AC的中点E，延长DE至G，使EG=DE；或取BC的中点F，延长DF至点H，使FH=DF。

从这里也可以看出：把三角形的中位线移到平行四边形、把“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”移到矩形的好处：大大拓展了平行四边形（矩形、菱形、正方形）的探索空间。

④利用勾股定理证明

如图19，作斜边上的高CE。

   𝐵𝐶² + 𝐴𝐶²

= 𝐶𝐸² + 𝐵𝐸² + 𝐶𝐸² + 𝐴𝐸²

= 2𝐶𝐸² + (𝐵𝐷 − 𝐷𝐸)² + (𝐵𝐷 + 𝐷𝐸)²

= 2𝐶𝐸² + 2𝐵𝐷² + 2𝐷𝐸²，

𝐵𝐶² + 𝐴𝐶² = 𝐴𝐵² = 4𝐵𝐷²，

所以4𝐵𝐷² = 2𝐶𝐸² + 2𝐵𝐷² + 2𝐷𝐸²，

可得𝐵𝐷² = 𝐶𝐸² + 𝐷𝐸² = 𝐶𝐷²。

所以𝐵𝐷 = 𝐶𝐷。

⑤利用“反证法”证明

如图20，已知：CD是Rt△ACB斜边AB上中线。求证：。

如图20，假设DC≠DA。若DC＜DA，在AB上取点A'和B'，使得DA'=DB'=DC，则∠A'CB'=90°=∠ACB，矛盾。类似地，若DC＞DA，也导致矛盾。因此，必有 DA=DB=DC。

七、为什么不把“在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半”作为定理？

 课程标准的出发点是尽量减少定理的数量，减轻学生的负担。而“在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半”可以由“在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半”直接得出（如图 21），所以可以不把它作为定理。课标要求学生要经历“猜想—动手测量—自主证明”的过程，而不是把结论当成现成定理背诵使用。

如图22，由两个相同的含30°的直角三角形可以拼成一个等边三角形，也可以得出。

同样地，为什么不把“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”作为平行四边形的判定定理？“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”可以由平行四边形的定义直接得出，所以可以不把它作为判定定理。如图23，“两组对角分别相等”等价于“两组对边分别平行”。

那么，为什么不把平行四边形定义为：两组对角分别相等的四边形叫平行四边形？平面几何最原始的概念是点和线，我们是用最原始的概念“线”定义平行四边形、判定平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形。

正方形既是矩形，又是菱形，因此，它具有矩形和菱形的所有性质。要证明一个四边形是正方形，只要证明它既是矩形（用矩形的判定定理），又是菱形（用菱形的判定定理）即可，无需再单独给出正方形的判定定理。

学习几何推理，不是定理越多越好。定理越多，一是增加记忆负担；二是减少推理的思维含量。

八、“圆”这章为什么不讲圆与圆的位置关系、弦切角定理、相交弦定理、四点共圆等内容？

（1）学习平面几何的目的不是教《几何原本》中的知识，而是让学生感受公理化思想：规定9条基本事实，严格控制推理难度。

（2）减少二级定理（推论）数量。如不把“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”“含30°角的直角三角形的性质”等作为定理。

（3）采用选学（不作为考试要求）的方式，限制证明要求。如把相似三角形判定的证明作为选学内容，不要求用它们证明其他命题。

（4）删除可能导致提高证明难度的内容。如删除等腰梯形、圆与圆的位置关系、弦切角定理、相交弦定理、四点共圆等内容。

九、概率教学建议

（1）引导学生通过大量重复试验探索随机事件发生频率的规律性，感悟用频率估计概率的道理。

用频率估计概率的教学，应引导学生通过大量重复试验，发现随机事件发生频率的稳定性，感悟用频率估计概率的道理，尝试用频率估计概率。在这样的过程中，引导学生学会从统计与概率的角度认识、理解和表达现实世界中大量存在的随机现象。

（2）结合实际情境引导学生感悟简单随机事件的特征，了解简单随机事件概率的计算方法。

教学中不宜出现计算复杂或计算量大的问题，应侧重引导学生掌握运用古典概型公式刻画概率的步骤：

首先针对具体问题通过列表、画树状图等方法列出简单随机事件所有可能的结果，得到简单随机事件所有可能结果的个数；

然后从中找出指定随机事件发生的所有可能结果，得到指定事件发生的可能结果的个数；

最后代入公式计算概率。

十、第 27 章基于数据解决问题修改说明

3.按照组内离差平方和最小的原则对数据进行分组（见课标例 85）

八下教材 167 页给出了如下定义：

通常称为组内离差平方和，它表达了两个组内数据的离散程度；称为组间离差平方和，它表达了两个组间的差异。一个合理的分组原则是使达到最小、达到最大。由于总体离差平方和𝑆²不变，因此只需考虑使组内离差平方和达到最小即可。

4.问题举例

（1）已知数据：1，2，5，6. 现有两种分组：

A：{1,2}、{5,6}；

B：{1,5}、{2,6}。

判断哪种分组更符合 “组内离差平方和最小”原则，并说明理由。

【解析】A组更合理，同组数据更接近。

（2）已知数据：2，3，9，10. 请写出使组内离差平方和最小的两组分法。

【解析】{2,3}、{9,10}。

（3）下表记录了我国6个地市2024年人均地区生产总值（人均 GDP）的数据，按组内离差平方和最小把这6个地市分为两组。

【解答】将表中数据按从小到大排列，可得

7，8，9，10，13，16。

分别计算组内离差平方和，如下表：

由表可知，当按第4个间隔分组时，组内离差平方和最小，因此，按组内离差平方和最小的分法为{蚌埠，宣城，池州，酒泉}和{天津，南通}。

十一、关于数学活动

（1）九上教材108页数学活动“探索三角形的内接正方形的作法”就是作位似图形。

（2）九下34页数学活动“探索二次函数图象对称性的证明”，教材中给出了𝑦 = 𝑎𝑥²(𝑎 ≠0)对称性证明。对于一般情形，也可以继续采用同样的方法进行证明.我们知道，二次函数经过配方后都能写成𝑦 = 𝑎(𝑥 − ℎ)² + 𝑘(𝑎 ≠ 0)的形式。如图 24，对于垂直于𝑥轴的直线𝑥 =ℎ（注意：这里并没有称之为抛物线的对称轴），观察两个横坐标为𝑥₁= ℎ − 𝑠和𝑥₂= ℎ +𝑠(𝑠 > 0)的点，它们位于直线 𝑥 = ℎ的两侧，且与它的距离都是𝑠。将它们代入函数表达式，用同样的方法可以证明直线𝑥 = ℎ是抛物线𝑦 = 𝑎(𝑥 − ℎ)² + 𝑘(𝑎 ≠ 0)的对称轴。

十二、沟通知识之间的联系

1.学了相似形后对勾股定理进行“回头看”

利用“相似三角形”证明勾股定理：

已知：如图25，在Rt△ABC中，∠ACB=90°。

求证：AC²+BC²=AB²。

证明：过C作CD⊥AB于D。

由△ACD∽△ABC， 得

即 AC²=AD·AB。

同理可得 BC²=BD·AB。

所以AC²+BC²=AD·AB+BD·AB

                   =(AD+BD)·AB=AB²。

在用相似证明勾股定理时，根据“相似三角形面积的比等于相似比的平方”可以更简单地得到证明。

如图25，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过C作CD⊥AB于点D。

由△ACD∽△CBD∽△ABC可得

S_△ACD:S_△CBD:S_△ABC=AC²:CB²:AB²。

而S_△ACD+S_△CBD=S_△ABC，

因此，AC²+CB² =AB²。

2.利用三角函数定义进行证明

（1）用三角函数定义证明斜边直角边定理（HL）。

如图26，由，从而可得∠A=∠A'。然后利用SAS、ASA或AAS得证。

（2）用三角函数定义证明“等边对等角”“等角对等边”。

如图27，根据面积关系可得：

3.学了圆后对相关知识进行“回头看”

（1）证明勾股定理。

学了圆后，可以对勾股定理进行“回头看”，利用圆的有关知识证明勾股定理。

如图28，在Rt△ABC内作内切圆，设其半径为r，则

（2）利用“反证法”证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

已知：CD是Rt△ACB斜边AB上中线，求证：。

如图29，以AB为直径作圆，假设直角顶点C不在圆周上。延长DC，交圆于点C'，则∠AC'B=90°。若点C在圆内，则∠ACB＞90°；若点C在圆外，则∠ACB＜90°。两种情形都与已知条件矛盾。因此，点C必在圆周上，从而知DA=DB=DC。

十三、强化解题方法

1.同一法

同一法的证明步骤：

① 作出符合结论的图形；

② 证明所作图形和已知条件的图形是同一个；

③ 原命题成立。

例 利用“同一法”证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

已知：如图30，BD是Rt△ABC斜边AC上中线，求证：

证明：如图31，作∠D'BC=∠C，

则∠D'BA=∠A（理由？）。

所以BD'=D'C=AD'=AC.

又AD=DC，

所以 D 和 D'是同一点，即 BD=AC。

2.需要分不同情况讨论的问题的处理方法

问题：讨论同弧所对的圆周角与圆心角的关系（圆周角定理）。

步骤一：首先确定区分标准，按照这个标准分出可能的一切情形。

区分标准：以圆心的位置与圆周角的关系为标准。

由此得三种情形：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角内；圆心在圆周角外。

步骤二：首先解决最简单的情形。（图 32）

步骤三：把复杂的情形归结为最简单的情形解决。（图33）

3.面积法

在所给的图形中善于发现或作出如图34～图37所示的基本图形，往往就可以利用面积关系解题。

（1）如图34，若a∥b，则。反之，也成立。

（2）如图35，D是△ABC的BC边上的一点，则。特别地，如果D是BC边的中点，则。

（4）如图37，若a∥b，四边形ABCD是平行四边形，则。

例1 证明角平分线定理。

如图38，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，过点D作AB和AC的垂线，垂足分别为E、F，则DE=DF。

。

例2 证明重心定理的推广。

如图39，在△ABC中，点D、E分别位于AB、AC上，DE∥BC，BE和CD交于点O，AO的延长线交BC于点G。求证：BG=GC。

设𝐴𝐷:𝐷𝐵=𝐴𝐸:𝐸𝐶=𝑘，𝑆_{∆𝐵𝑂𝐷}=𝑆_{∆𝐶𝑂𝐸}=𝑥，

则𝑆_{∆𝐴𝑂𝐷}= 𝑆_{∆𝐴𝑂𝐸}=𝑘𝑥。

因此，𝑆_{∆𝐴𝑂𝐵}=𝑆_{∆𝐴𝑂𝐶}=(𝑘+1)𝑥。

又因为𝑆_{∆𝐴𝑂𝐵}:𝑆_{∆𝐺𝑂𝐵}=𝐴𝑂:𝑂𝐺，

𝑆_{∆𝐴𝑂𝐶}:𝑆_{∆𝐺𝑂𝐶}= 𝐴𝑂:𝑂𝐺，

故得𝑆_{∆𝐺𝑂𝐵}= 𝑆_{∆𝐺𝑂𝐶}。从而得𝐵𝐺=𝐺𝐶。

例3 求证：平行四边形的对角线互相平分。

【分析】如图 40，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于O。由变式思路2的结论可得：，而𝑆_{△𝐴𝐵𝐷}= 𝑆_{△𝐶𝐵𝐷}，所以AO=CO。同理 BO=DO。

例5 证明勾股定理。

如图41，要证AB²+AC²=BC²，就是要证明分别以AB、AC为边长的两个正方形的和等于以BC为边长的正方形的面积。

【分析】如图41，连结CF，

得到𝑆_{正方形 ABFG}= 2𝑆_{∆𝐵𝐶𝐹}，

把△BCF 顺时针旋转 90°得到△BDA。

过点A作BD的平行线，分别交BC、DE于M、L，则可得𝑆_矩形 BDLM= 2𝑆_{∆𝐵𝐷𝐴}。

所以，𝑆_{正方形 ABFG}= 𝑆_矩形 BDLM。

同理可得𝑆_{正方形 ACKH}= 𝑆_矩形 CELM。

从而可得

𝑆_{正方形 ABFG}+ 𝑆_{正方形 ACKH}= 𝑆_{正方形BCED}，

即𝐴𝐵² + 𝐴𝐶² = 𝐵𝐶²。

这就是《几何原本》给出的证明方法。