每日一题第2849题(2026年全国高中数学联赛湖北预赛填空6)

思路简析‍‍‍

今天的题目是今年的高联湖北预赛的填空题的第6题，难度中等。

题干中给出了正三棱锥P-ABC，那么P点到底面中心的连线就是垂直底面的，然后给出了D,E的位置，一个中点，一个三等分点，又给了AD⊥DE。有可能有些同学立体几何的题做多了后，会下意识的通过AD⊥DE去找其他的平行垂直关系，但这个题显然没有太多的关系可找，所以核心还是要翻译这个⊥条件。

因为两条线段是相交的，所以最直接的翻译就是勾股定理，AD^2+DE^2=AE^2，然后在三个侧面中分别用余弦定理把三条边都算出来，因为侧棱长已经给了，顶角又都是一样的，所以勾股定理就给出了一个关于顶角余弦cosθ的式子，解出来就行了，这样底边长度也就可以求了，那么体积就好算了。

当然，⊥还有一种翻译，就是数量积，所以还可以用基底来处理，把PA，PB，PC向量作为基底，把AD和DE都表示出来，做数量积，这样计算量要稍微小一点。