高中数学|基本不等式求最值的齐次化法

这类分式最值题最容易让人卡住：条件只有x+y=2，目标式里却同时出现一次项、常数项和二次分母，直接套基本不等式很难找到“定值”。齐次化法的作用，就是把条件x+y=2当成一个可以反复使用的“次数转换器”，先把分子统一成二次形式，再把原式化成两个乘积固定的正项之和。

已知x,y为正实数，且x+y=2，则

的最小值为（　　）

A.12　B.　C.　D.

第一步：先判断为什么要“齐次化”。

原式分母xy是二次式，但分子

x+6y+6

中既有一次项，也有常数项。如果直接把x+y=2代成y=2−x，当然也能做，但会迅速变成一元分式计算；而“基本不等式求最值的齐次化法”更希望保留x,y的对称比例结构，让条件本身参与配凑。

题目给出

x+y=2.

因此数字2可以用x+y代替。为了避免中间出现大量分数，先把原式分子、分母同时乘以2：

第二步：用x+y=2把分子全部“升成二次”。

分别处理三项：

2x=(x+y)x,

12y=6(x+y)y,

而

12=3(x+y)².

于是

这一步就是齐次化的核心：分子统一为二次式以后，除以xy，自然出现了与这对互为倒数型结构。

第三步：检查“一正、二定”，再用基本不等式。

因为x,y>0，所以

而且这两项的乘积恰好为定值：

因此由基本不等式，

从而

第四步：检查“三相等”，确认下界真的能取到。

等号成立要求

由于x,y>0，可得

4x²=9y²,2x=3y.

再与x+y=2联立，得到

这组数均为正，并且满足原条件，所以等号能够成立。故原式的最小值为

选择C。

齐次化法不是为了把式子“变复杂”，而是为了让不同次数的项变得可比较、可配对。本题中，分母已经是二次式xy，于是利用x+y=2，把分子中的一次项和常数项都改造成二次式；统一次数以后，再除以xy，就自动得到、这样的比例项。

以后遇到“正变量+定和条件+分式最值”时，可以先观察：分子、分母次数是否不一致？能不能把已知的常数条件乘进去，把各项统一成同一次数？如果齐次化后能出现一对乘积固定的正项，就进入了基本不等式最熟悉的结构。

最后仍要守住素材强调的三个检查点：一正、二定、三相等。齐次化只负责把“二定”藏着的结构找出来；正性是否满足、等号能否与原条件同时成立，仍然必须逐一核对。