23-24学年黄埔区苏元学校九年级（上）10月考数学试卷（含答案）_广州九上月考+期中+期末+一模二模+中考真题_初三上十月十二月考

2023-2024 学年广东省广州市黄埔区苏元学校九年级（上）月考数学试卷 （10 月份） 一、选择题（每小题3分，共10题，满分30分.在每小题给出的四个选项，只有一项符合题目要求。 1．（3分）一元二次方程2x2 3x10的二次项系数是2．则一次项系数是( ) A．3 B．1 C．3 D．1 2．（3分）抛物线y2(x1)2 6的顶点是( ) A．(1,6) B．(1,6) C．(1,6) D．(1,6) 3．（3分）小明在解方程x2 x时，只得出一个根x1，则被漏掉的一个根是( ) A．x4 B．x3 C．x2 D．x0 4．（3分）将抛物线y4x2向上平移6个单位，再向右平移9个单位，得到的抛物线的解析式为( ) 学 A．y4(x9)2 6 B．y4(x9)2 6 C．y4(x9)2 6 D．y4(x9)2 6 升 5．（3分）向空中发射一枚炮弹，第x秒时的高度为y米，且高度与时间的关系为yax2 bxc(a0)．若 哥 此炮弹在第6秒与第18秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是( ) 水 A．第8秒 B．第10秒 C．第12秒 D．第15秒 6．（3分）下列关于抛物线yx2 x3的说法正确的是( ) A．抛物线开口向下 1 B．当x 时，y随x的增大而减小 2 C．抛物线经过点(2,3) D．抛物线的对称轴是直线x1 7．（3分）某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件25元降到每件16元，则平均每次降价的百分率 为( ) A．18% B．20% C．36% D．40% 8．（3分）在同一平面直角坐标系xOy中，一次函数yax与二次函数yax2 a的图象可能是( ) 第1页（共25页）A． B． C． D． 9．（3分）一个菱形的边长是方程x2 8x150的一个根，其中一条对角线长为8，则该菱形的面积为( ) A．48 B．24 C．24或40 D．48或80 10．（3分）已知二次函数yx2 2(b2)xb2 8的图象不经过第三象限，则实数b的取值范围是( ) 学 A．b 2 2 B．b 2 2 C．b 3 D．b2 2或b 3 升 二、填空题（每小题3分，共6小题，满分18分） 哥 11．（3分）若一元二次方程x2 xc0有两个相等的实数根，则c的值为 ． 水 12．（3分）已知抛物线y3x2 5经过点A(1,y )和B(2,y )，则y y （填“”“ ”或“” )． 1 2 1 2 13．（3分）已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程x2 4x20的两根，则这个直角三角形 的面积为 ． 14．（3分）如图，在ABC中，C 90，AC 5cm，BC 7cm，点P从A点出发，以1cm/s的速度沿 边AC 向终点C做匀速运动，同时，点Q从C点出发，以2cm/s的速度沿CB边向终点B移动，当一个点 到达终点时，另一个点随之停止运动，则经过 秒，PCQ的面积为4cm2． a(a b) 15．（3分）定义：max{a,b} ，若函数ymax{x3，x2 2x3}，则该函数的最小值为 ． b(ab) 16．（3分）已知抛物线yax2 bxc的图象如图所示，则下列结论：①abc0；②2ab0；③b1； 第2页（共25页）abc ④ac10；⑤ 3．其中正确的结论有 （填写对应序号）． ba 三、解答题（共9小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 17．（4分）解方程：x2 4x30． 18．（4分）已知关于x的方程x2 axa20．若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根． 19．（6分）已知二次函数yx2 bxc的图象经过点(0,1)，且对称轴为直线x2． （1）求该二次函数的解析式： 学 （2）画出该二次函数的图象；  升 x y  哥  水 （3）根据图象，当x满足 时，y1． 20．（6分）如图，小区中央公园要修建一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子OA，O 恰好在水面的中心，OA1.25米．由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线 路线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计水流在离OA距离为1米处达到距水面的最大高度2.25米． （1）求抛物线的解析式； （2）若不计其他因素，则水池的半径至少要多少米才能使喷出的水流不至于落到池外？ 第3页（共25页）21．（8分）已知关于x的方程x2 2(m1)xm2 30的两实根为x ，x ． 1 2 （1）求m的取值范围； （2）如果x2 x2 xx 33，求m的值． 1 2 1 2 22．（10分）为了满足市场需求，某厂改造了10条遮阳帽生产线，每条生产线每天可生产遮阳帽500顶．如 果每增加一条生产线，每条生产线就会比原来少生产20顶遮阳帽． （1）若每天共生产遮阳帽6000顶，在投入尽可能少的情况下，应该增加几条生产线？ 学 （2）增加多少条生产线时，每天生产的遮阳帽数量最多，最多为多少？ 升 23．（10分）如图，抛物线yax2 bx3与x轴交于A(1,0)，B(3,0)两点，与y轴交于点C． 哥 （1）求抛物线的解析式和直线BC的解析式． （2）如图，直线BC下方的抛物水线上有一点D，过点D作DE BC于点E，作DF平行x轴交直线BC于 点F ，求DEF 周长的最大值． 3 1 24．（12分）已知二次函数：yax2 bxc的图象开口向上，且经过点A(0, ),B(2, )． 2 2 （1）求b的值（用含a的代数式表示）: （2）若二次函数yax2 bxc在1 x 3时，y的最大值为1，求a的值； （3）将线段AB向右平移2个单位得到线段AB，二次函数yax2 bxc向上平移a个单位得到C，若 线段AB与抛物线C仅有一个交点，求a的取值范围． 25．（12分）如图1，已知在平面直角坐标系中，四边形ABCD是矩形，点B，D分别在x轴和y轴的正 第4页（共25页）半轴上，连结BD，AD6，ABD30，M 是DC的中点． （1）求AB的长和点M 的坐标； 2 （2）如图2，E是线段AD上的点，AE  AD，点Q是线段AE上的一个动点，经过Q，M ，C三点的 3 抛物线交x轴的正半轴于点P，连结MP交BC于点G． ①将MCG沿MP所在直线翻折，若点C恰好落在BD上，求此时CG的长和点P的坐标； ②以线段MG为边，在MG所在直线的右上方作等边MGH ，当动点Q从点A运动到点E时，点H 也随 之运动，求点H 运动路径的长． 学 升 哥 水 第5页（共25页）2023-2024 学年广东省广州市黄埔区苏元学校九年级（上）月考数学试卷 （10 月份） 参考答案与试题解析 一、选择题（每小题3分，共10题，满分30分.在每小题给出的四个选项，只有一项符合题目要求。 1．（3分）一元二次方程2x2 3x10的二次项系数是2．则一次项系数是( ) A．3 B．1 C．3 D．1 【分析】根据一元二次方程的一般形式解答． 【解答】解：一元二次方程2x2 3x10的二次项系数是2．则一次项系数是3， 故选：C． 【点评】本题考查的是一元二次方程的一般形式，一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都 能化成如下形式ax2 bxc0(a0)．这种形式叫一元二次方程的一般形式，a叫做二次项系数；b叫 学 做一次项系数；c叫做常数项． 升 2．（3分）抛物线y2(x1)2 6的顶点是( ) 哥 A．(1,6) B．(1,6) C．(1,6) D．(1,6) 水 【分析】根据抛物线的顶点式，可以直接写出顶点坐标． 【解答】解：抛物线y2(x1)2 6， 该抛物线的顶点坐标为(1,6)， 故选：C． 【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是由顶点式可以直接写出顶点坐标． 3．（3分）小明在解方程x2 x时，只得出一个根x1，则被漏掉的一个根是( ) A．x4 B．x3 C．x2 D．x0 【分析】先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程即可． 【解答】解：x2 x0， x(x1)0， x 0，x 1． 1 2 故选：D． 【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法：先把方程右边变形为0，然后把方程左边进行因式分 第6页（共25页）解，这样把一元二次方程转化为两个一元一次方程，再解一次方程可得到一元二次方程的解． 4．（3分）将抛物线y4x2向上平移6个单位，再向右平移9个单位，得到的抛物线的解析式为( ) A．y4(x9)2 6 B．y4(x9)2 6 C．y4(x9)2 6 D．y4(x9)2 6 【分析】根据“左加右减，上加下减”的规律解题． 【解答】解：根据“左加右减，上加下减”的平移规律知：将抛物线 y4x2向上平移6个单位，再向右平 移9个单位，得到的抛物线的解析式为y4(x9)2 6． 故选：B． 【点评】主要考查了函数图象的平移，抛物线与坐标轴的交点坐标的求法，要求熟练掌握平移的规律：左 加右减，上加下减．并用规律求函数解析式． 5．（3分）向空中发射一枚炮弹，第x秒时的高度为y米，且高度与时间的关系为yax2 bxc(a0)．若 此炮弹在第6秒与第18秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹学所在高度最高的是( ) A．第8秒 B．第10秒 C．第12秒 D．第15秒 升 【分析】先根据题意求出抛物线的对称轴，即可得出顶点的横坐标，从而得出炮弹所在高度最高时x的值． 哥 【解答】解：此炮弹在第6秒与第18秒时的高度相等， 水 618 抛物线的对称轴直线是：x 12， 2 x12时，函数值最大， 即第12秒炮弹所在高度最高， 故选：C． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，在解题时要能根据题意求出抛物线的对称轴得出答案是本题的 关键． 6．（3分）下列关于抛物线yx2 x3的说法正确的是( ) A．抛物线开口向下 1 B．当x 时，y随x的增大而减小 2 C．抛物线经过点(2,3) D．抛物线的对称轴是直线x1 【分析】根据二次函数的图象和性质，进行判断即可． 第7页（共25页）1 13 1 【解答】解： y x2 x3(x )2  ，a10，对称轴为直线x ， 2 4 2 1 抛物线的开口向上，当x 时，y随x的增大而减小， 2 当x2时，y22 231， 图象经过点(2,1)； 综上，只有选项B正确； 故选：B． 【点评】本题考查二次函数的图象和性质，解题的关键是将一般式转化为顶点式，利用二次函数的性质， 进行判断． 7．（3分）某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件25元降到每件16元，则平均每次降价的百分率 为( ) A．18% B．20% C．36% D．40% 学 【分析】设降价的百分率为x，根据降低率的公式a(1x)2 b建立方程，求解即可． 升 【解答】解：设降价的百分率为x， 哥 根据题意可列方程为25(1x)2 16， 水 1 9 解方程得x  ，x  （舍)， 1 5 2 5 每次降价的百分率为20%， 故选：B． 【点评】本题考查了一元二次方程实际应用问题关于增长率的类型问题，按照公式a(1x)2 b对照参数位 置代入值即可，公式的记忆与运用是本题的解题关键． 8．（3分）在同一平面直角坐标系xOy中，一次函数yax与二次函数yax2 a的图象可能是( ) A． B． C． D． 第8页（共25页）【分析】根据各选项图象判断a的取值范围求解． 【解答】解：选项A，直线下降a0，抛物线开口向上，a0，不符合题意． 选项B，直线下降，a0，抛物线开口向下a0，抛物线与y轴交点在x轴下方，a0，即a0，不 符合题意． 选项C，直线上升，a0，抛物线开口向上a0，抛物线与y轴交点在x轴下方，a0，即a0，符 合题意． 选项D，直线上升，a0，抛物线开口向下a0，不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查二次函数与一次函数的性质，解题关键是掌握函数图象与系数的关系． 9．（3分）一个菱形的边长是方程x2 8x150的一个根，其中一条对角线长为8，则该菱形的面积为( ) A．48 B．24 C．24或40 D．48或80 学 【分析】利用因式分解法解方程得到x 5，x 3，利用菱形的对角线互相垂直平分和三角形三边的关系 1 2 升 得到菱形的边长为5，利用勾股定理计算出菱形的另一条对角线为6，然后计算菱形的面积． 哥 【解答】解：(x5)(x3)0 ， 水 所以x 5，x 3， 1 2 菱形一条对角线长为8， 菱形的边长为5， 菱形的另一条对角线为2 52 42 6， 1 菱形的面积 6824． 2 故选：B． 【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法， 这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了三角形三边的关系和菱形的性质． 10．（3分）已知二次函数yx2 2(b2)xb2 8的图象不经过第三象限，则实数b的取值范围是( ) A．b 2 2 B．b 2 2 C．b 3 D．b2 2或b 3 【分析】用含b的代数式表示出抛物线的对称轴，结合抛物线的开口方向及增减性即可解决问题． 【解答】解：由题知， 第9页（共25页）2(b2) 抛物线的对称轴为直线x b2， 2 抛物线与y轴的交点坐标为(0,b2 8)． 因为抛物线不经过第三象限， b2 0 所以 ， b2 8 0 解得b 2 2 ． 故选：B． 【点评】本题考查二次函数的图象和性质，熟知二次函数的图象和性质是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共6小题，满分18分） 1 11．（3分）若一元二次方程x2 xc0有两个相等的实数根，则c的值为 ． 4 【分析】根据关于x的一元二次方程x2 xc0有两个相等的实数根得△14c0，进行计算即可得． 学 【解答】解：一元二次方程x2 xc0有两个相等的实数根， 升 △14c0， 哥 1 c ． 4 水 1 故答案为： ． 4 【点评】本题考查了一元二次方程根的个数与根的判别式的关系，解题的关键是掌握一元二次方程的个数 与根的判别式的关系． 12．（3分）已知抛物线y3x2 5经过点A(1,y )和B(2,y )，则y  y （填“”“ ”或“” 1 2 1 2 )． 【分析】分别把x1和x2代入 y3x2 5，求出y ，y ，即可求解． 1 2 【解答】解：当x1时，y 312 52， 1 当x2时，y 3(2)2 57， 2 y  y ． 1 2 故答案为：． 【点评】本题考查二次函数的图象上点的特点；能够用代入法求二次函数点的坐标是解题的关键． 13．（3分）已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程x2 4x20的两根，则这个直角三角形 第10页（共25页）的面积为 1 ． 【分析】设直角三角形的两直角边分别为a、b，则利用根与系数的关系得ab2，然后利用三角形面积 公式得到这个直角三角形的面积． 【解答】解：设直角三角形的两直角边分别为a、b， 根据根与系数的关系得ab2， 1 1 所以这个直角三角形的面积 ab 21． 2 2 【点评】本题考查了根与系数的关系：若 x ， x 是一元二次方程ax2 bxc0(a0) 的两根时， 1 2 b c x x  ，xx  ． 1 2 a 1 2 a 14．（3分）如图，在ABC中，C 90，AC 5cm，BC 7cm，点P从A点出发，以1cm/s的速度沿 边AC 向终点C做匀速运动，同时，点Q从C点出发，以2cm/s的速度沿CB边向终点B移动，当一个点 到达终点时，另一个点随之停止运动，则经过 1 秒，PCQ的面积为4cm2． 学 升 哥 水 【分析】设经过t秒PCQ的面积为4cm2，根据三角形面积公式，结合PCQ的面积为4cm2，列出一元二 次方程，解之取符合题意的值即可． 【解答】解：设经过t秒PCQ的面积为4cm2， 7 则APt cm，CQ2t cm，0t ， 2 CP(5t)cm ， 1 根据题意得： (5t)2t 4， 2 整理得：t2 5t40， 解得：t 1，t 4（不符合题意，舍去）， 1 2 即经过1秒，PCQ的面积为4cm2． 故答案为：1． 【点评】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 第11页（共25页）a(a b) 15．（3分）定义：max{a,b} ，若函数ymax{x3，x2 2x3}，则该函数的最小值为 3 ． b(ab) 【分析】分两种情况讨论：当x3 x2 2x3，即1 x 2时，当x3 x2 2x3，即x 1或x 2时， 并结合一次函数和二次函数的图象和性质解答，即可． 【解答】解：设y x3，y x2 2x3， 1 2 y  y 时，x3x2 2x3， 1 2 解得：x 0，x 3， 1 2 当x3或x0时，y  y ；当0x3时，y  y ， 1 2 1 2 分两种情况讨论： 当x3 x2 2x3，即0 x 3时，ymax{x3，x2 2x3}x3， 学 10，y随x的增大而增大， 当x0时，该函数的值最小，最小值为3； 升 ②当x3x2 2x3，即x0或x3时哥， ymax{x3，x2 2x3}x2 2x3(x1)2 4， 当x3时，y随x的增大而增水大，当x0时，y随x的增大而减小， 3110， 当x0时，该函数的值最小，最小值为3； 综上所述，该函数的最小值为3． 故答案为：3． 【点评】本题主要考查了一次函数和二次函数的图象和性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键． 16．（3分）已知抛物线yax2 bxc的图象如图所示，则下列结论：①abc0；②2ab0；③b1； abc ④ac10；⑤ 3．其中正确的结论有 ①④⑤ （填写对应序号）． ba 第12页（共25页）【分析】根据所给函数图象，发现当x1时，函数值小于零；抛物线的对称轴在直线x1的右侧；当x1 时，函数值大于零，再结合a，b，c之间的关系即可；由前面得出b的取值范围即可解决问题；利用抛 物线的对称性及x2时，函数值小于零即可解决问题． 【解答】解：由所给函数图象可知， 当x1时，函数值小于零， 所以abc0． 故①正确． 抛物线的对称轴在直线x1的右侧， b 所以 1， 2a 又因为抛物线开口向下，即a0， 所以2ab0． 故②错误． 学 将点(1,2)代入函数解析式得， 升 abc2， 哥 即abc2． 又因为当x1时，函数值大于零水， 所以abc0， 则bc2bc0， 即b1． 故③错误． 因为abc2， 所以acb2121， 即ac10． 故④正确． b 因为 0，且a0， 2a 所以b0， 则ba0． 又因为当x2时，函数值小于零， 则4a2bc0， 第13页（共25页）abc3(ab)0， abc 所以 3． ba 故⑤正确． 故答案为：①④⑤． 【点评】本题考查二次函数的图象与系数的关系，熟知二次函数的图象和性质是解题的关键． 三、解答题（共9小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 17．（4分）解方程：x2 4x30． 【分析】利用因式分解法解出方程． 【解答】解：x2 4x30 (x1)(x3)0 x10或x30 x 1，x 3． 1 2 学 【点评】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键． 升 18．（4分）已知关于x的方程x2 axa20．若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根． 哥 【分析】设方程的另一个根为x，则由根与系数的关系得：x1a，x1a2，求出即可． 水 【解答】解：设方程的另一个根为x， 则由根与系数的关系得：x1a，x1a2， 3 1 解得：x ，a ， 2 2 1 3 即a ，方程的另一个根为 ． 2 2 【点评】本题考查了根与系数关系的关系的应用，注意：如果x ，x 是一元二次方程ax2 bxc0(a、b、 1 2 b c c为常数，a0)的两个根，则x x  ，x x  ． 1 2 a 1 2 a 19．（6分）已知二次函数yx2 bxc的图象经过点(0,1)，且对称轴为直线x2． （1）求该二次函数的解析式： （2）画出该二次函数的图象；   x 4 y   第14页（共25页）（3）根据图象，当x满足 时，y1． b 【分析】（1）由题意知，c1， 2，计算求解，进而可得抛物线解析式； 2(1) （2）五点法填表格，然后作图即可； （3）由图象可知，当4 x0时，y1． 学 【解答】解：（1）二次函数yx2 bxc的图象经过点(0,1)，且对称轴为直线x2， 升 b c1， 2， 2(1) 哥 解得，b4， 水 yx2 4x1； （2）列表：   x 4 3 2 1 0 y  1 2 3 2 1  描点，连线： 第15页（共25页）（3）由图象可知，当4 x0时，y1， 故答案为：4x0． 【点评】本题考查了二次函数解析式，二次函数的图象与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活 运用． 20．（6分）如图，小区中央公园要修建一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子OA，O 恰好在水面的中心，OA1.25米．由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线 路线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计水流在离OA距离为1米处达到距水面的最大高度2.25米． （1）求抛物线的解析式； （2）若不计其他因素，则水池的半径至少要多少米才能使喷出的水流不至于落到池外？ 学 升 哥 【分析】（1）知道顶点，列二次函数顶点式即可求； （2）由（1）的关系式，令y水 0，则可以求水池的半径． 【解答】解：（1）顶点为(1,2.25)， 设解析式为ya(x1)2 2.25， 函数过点(0,1.25)， 代入解析式解得a1， 解析式为：y(x1)2 2.25； （2）由（1）可知：y(x1)2 2.25， 令y0，则(x1)2 2.250， 解得x2.5或x0.5（舍去）， 所以花坛的半径至少为2.5m才能使喷出的水流不至于落到池外． 【点评】本题主要考查二次函数在生活中的实际应用，求解函数解析式是解题关键． 21．（8分）已知关于x的方程x2 2(m1)xm2 30的两实根为x ，x ． 1 2 （1）求m的取值范围； 第16页（共25页）（2）如果x2 x2 xx 33，求m的值． 1 2 1 2 【分析】（1）根据题意△[2(m1)]2 41(m2 3)8m16 0，再求解即可， （2）利用根与系数的关系和已知得出(2m2)2 3(m2 3)33，再解方程即可． 【解答】解：（1）△ 0时，一元二次方程有两个实数根， △[2(m1)]2 41(m2 3)8m16 0， m 2， m 2时，方程有两个实数根． （2）x2 x2 xx 33， 1 2 1 2 (x x )2 3xx 33， 1 2 1 2 b c  x x  2m2，x x  m2 3， 1 2 a 1 2 a 学 (2m2)2 3(m2 3)33， 升 解得m2或10（舍去）， 哥 故m的值是m2． 水 【点评】本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1） △0方程有两个不相等的实数根，（2）△0方程有两个相等的实数根，（3）△0方程没有实 数根． 22．（10分）为了满足市场需求，某厂改造了10条遮阳帽生产线，每条生产线每天可生产遮阳帽500顶．如 果每增加一条生产线，每条生产线就会比原来少生产20顶遮阳帽． （1）若每天共生产遮阳帽6000顶，在投入尽可能少的情况下，应该增加几条生产线？ （2）增加多少条生产线时，每天生产的遮阳帽数量最多，最多为多少？ 【分析】（1）依据题意，设增加x条生产线后，每条生产线每天可生产遮阳帽y顶．根据题意和题目中的 数据，可以写出y与x之间的函数关系式，再列出相应的方程，然后求解即可； （2）根据题意，设该厂每天可以生产的遮阳帽w顶，以写出w与x的函数关系式，然后化为顶点式，再 根据二次函数的性质，即可得到增加多少条生产线时，每天生产的遮阳帽数量最多，最多为多少个． 【解答】解：（1）由题意，设增加x条生产线后，每条生产线每天可生产遮阳帽y顶， y50020x． (50020x)(10 x)6000， 第17页（共25页）解得x 5，x 10． 1 2 投入人力物力尽可能少， x5． 答：应该增加5条生产线． （2）由题意，设该厂每天可以生产的遮阳帽w顶， 15 w(50020x)(10x)20x2 300x500020(x )2 6125． 2 x为整数， 当x7或8时，w取得最大值6120． 答：w与x的函数关系式是w20x2 300x5000，增加7条或8条生产线时，每天生产的遮阳帽数量最 多，最多为6120个． 【点评】本题主要考查二次函数的应用、一元二次方程的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是明确 题意，利用二次函数的性质求最值． 学 23．（10分）如图，抛物线yax2 bx3与x轴交升于A(1,0)，B(3,0)两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式和直线BC的解析哥式． （2）如图，直线BC下方的抛物 水 线上有一点D，过点D作DE BC于点E，作DF平行x轴交直线BC于 点F ，求DEF 周长的最大值． 【分析】（1）把A(1,0)，B(3,0)两点坐标代入抛物线yax2 bx3，利用待定系数法即可解决问题； 2 （2）先证明 DEF 是等腰直角三角形，可得 EF DE  DF ，从而得到 DEF 周长为 2 DEDF EF (1 2)DF ，进而得到DF最大时，DEF 的周长最大，设D(s,s2 2s3)，则点F(s2 2s， 3 9 s2 2s3)，可得DF s(s2 2s)s2 3s(s )2  ，即可解决问题． 2 4 【解答】解：（1）把A(1,0)，B(3,0)两点坐标代入抛物线yax2 bx3得： 第18页（共25页）ab30 a1  ，解得： ， 9a3b30 b2 抛物线的解析式为yx2 2x3， 当x0时，y3， 点C(0,3)， 设直线BC的解析式为ykxm， 把点B(3,0)，C(0,3)代入得： 3km0 k 1  ，解得： ， m3 m3 直线BC的解析式为yx3； （2）点B(3,0)，C(0,3)， OBOC 3， 学 OBC 45， 升 DF //OB， 哥 DFE OBC 45， DE BC，即DEF 90，水 DEF 是等腰直角三角形， 2  EF DE  DF ， 2 DEF 周长为：DEDF EF (1 2)DF ， DF 最大时，DEF 的周长最大， 设D(s,s2 2s3)，则点F(s2 2s，s2 2s3)， 3 9  DF s(s2 2s)s2 3s(s )2  ， 2 4 3 9 当s 时，DF最大，此时DEF 的周长最大，最大值为 ( 21)． 2 4 【点评】本题主要考查了二次函数的图象和性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握待定系数法， 抛物线的性质是解题的关键． 3 1 24．（12分）已知二次函数：yax2 bxc的图象开口向上，且经过点A(0, ),B(2, )． 2 2 （1）求b的值（用含a的代数式表示）: 第19页（共25页）（2）若二次函数yax2 bxc在1 x 3时，y的最大值为1，求a的值； （3）将线段AB向右平移2个单位得到线段AB，二次函数yax2 bxc向上平移a个单位得到C，若 线段AB与抛物线C仅有一个交点，求a的取值范围． 【分析】（1）利用待定系数法将点A、B的坐标代入即可； （2）根据抛物线图象分析得在1 x 3范围内，y的最大值只可能在x1或x3处取得，进行分类讨论① 若y  y 时，②若y  y ，③y  y ，计算即可； 1 2 1 2 1 2 （3）先利用待定系数法写出直线 AB 的解析式，再写出平移后的解析式，若线段 AB与抛物线 3 7 yax2 bxca仅有一个交点，即方程ax2 (2a1)x ax 在2 x 4的范围内仅有一个根，得 2 2 出抛物线 yax2 2axa2在2 x 4的范围内与x轴仅有一个交点，根据二次函数的性质得出只需当 x2对应的函数值小于或等于0，且x4对应的函数值大于或等于0即可． 3 1 【解答】解：（1）抛物线yax2 bxc过点A(0, )，B(2,学 )， 2 2  3 升 c   2  ， 哥  4a2bc 1  2 水 3 1 4a2b  ， 2 2 b2a1(a0)． 3 （2）由（1）可得yax2 (2a1)x ， 2 在1 x 3范围内，y的最大值只可能在x1或x3处取得； 1 3 当x1时，y a ，当x3时，y 3a ， 1 2 2 2 1 3 1 ①若y  y 时，即a 3a 时，得a ， 1 2 2 2 2 3 3a 1， 2 5 1 解得a  （符合题意）； 6 2 1 3 1 ②若y  y ，即a 3a 时，得a ，此时y  y 01，舍去； 1 2 2 2 2 1 2 1 3 1 ③y  y ，即a 3a 时，得0a ， 1 2 2 2 2 1 1 a 1，a （舍去）． 2 2 第20页（共25页）5 综上范围内在可知，a的值为 ； 6 解：（3）设直线AB的解析式为ymxn， 3 1 直线AB过点A(0, )，B(2, )， 2 2  3 n   2  ，  2mn 1  2 m1  解得 3 ， n  2 3  yx ， 2 将线段AB向右平移2个单位得到线段AB， 3 AB的解析式满足y(x2) ， 2 学 7 即yx ， 2 升 二次函数yax2 bxc向上平移a个单位得到C， 哥 抛物线C的解析式为yax2 bxca， 水 3  yax2 (2a1)x a， 2 3 又线段AB与抛物线 yax2 (2a1)x a在2 x 4范围内仅有一个交点， 2 3 7 即方程ax2 (2a1)x ax 在2 x 4的范围内仅有一个根， 2 2 整理得ax2 2axa20在2 x 4的范围内仅有一个根， 即抛物线 yax2 2axa2在2 x 4的范围内与x轴仅有一个交点， 抛物线yax2 2axa2中a0， 2a 抛物线的开口向上，对称轴为直线x 1， 2a 2141， 抛物线yax2 2axa2，当x2时对应的函数值小于当x4时对应的函数值， 只需当x2对应的函数值小于或等于0，且x4对应的函数值大于或等于0，抛物线yax2 2axa2 在2 x 4的范围内与x轴仅有一个交点， 第21页（共25页）即x2时，4a4aa2 0，解得a 2， 2 当x4时，16a8aa2 0，解得a ， 9 2 综上分析可知，a的取值范围为 a 2． 9 【点评】本题考查一次函数解析式、二次函数解析式、二次函数的最值、图象与x轴的交点与方程的根的 情况、熟练掌握二次函数的图象知识是解题的关键． 25．（12分）如图1，已知在平面直角坐标系中，四边形ABCD是矩形，点B，D分别在x轴和y轴的正 半轴上，连结BD，AD6，ABD30，M 是DC的中点． 学 （1）求AB的长和点M 的坐标； 升 2 （2）如图2，E是线段AD上的点，AE  AD，点Q是线段AE上的一个动点，经过Q，M ，C三点的 3 哥 抛物线交x轴的正半轴于点P，连结MP交BC于点G． 水 ①将MCG沿MP所在直线翻折，若点C恰好落在BD上，求此时CG的长和点P的坐标； ②以线段MG为边，在MG所在直线的右上方作等边MGH ，当动点Q从点A运动到点E时，点H 也随 之运动，求点H 运动路径的长． 【分析】（1）根据直角三角形的性质可得BD2AD12，再由勾股定理可得AB的长，即可求解； （2）①设翻折后点C的对应点为点F ，则CGFG，MF MGDM ，MFGMCG90，可证明 1 BFG是等边三角形，从而得到FGBGCG BC 3，可得点G的坐标为(6 3,3)，从而求出直线MG 2 的解析式，即可求解；②分别求出当点Q与点A重合时，当点Q与点E重合时抛物线的解析式，再证明 GMGHMH，可得GGHH，从而得到点H 的运动路径等于GG的长． 【解答】解：（1）四边形ABCD是矩形， ABCD，BAD90 AD6，ABD30， BD2AD12，  ABCD BD2 AD2 6 3， 第22页（共25页）M 是DC的中点． 1  DM  CD3 3， 2 点M 的坐标为(3 3,6)； （2）①如图，设翻折后点C的对应点为点F ，则CGFG，MF MGDM ，MFGMCG90， 四边形ABCD是矩形， AB//DC，ABC 90，BC  AD6， ABD30， BDC ABD30，CBD60， 学 BFG60， 升 BFGFBGBGF 60， 哥 BFG是等边三角形， 水 1  FGBGCG BC 3， 2 点G的坐标为(6 3,3)， 3 由点M 、G的坐标得，MG的解析式为y x9， 3 当y0时，x9 3， 点E的坐标为(9 3,0)； 2 ②E 是线段AD上的点，AE  AD， 3 AE4， 设过Q，M ，C三点的抛物线的解析式为yax2 mxc， 当点Q与点A重合时，抛物线过点Q(0,0),M(3 3,6),C(6 3,6)， 第23页（共25页） 1 a 27a3 3mc6  9     108a6 3mc6，解得：m 3，   c0 c0    1 此时抛物线的解析式为y x2  3x， 9 当x6 3时，y2， 此时点G的坐标为(6 3,2)； 当点Q与点E重合时，设MP交BC于点G，作等边三角形MGH，如图， 学 升 哥 此时抛物线过点Q(0,4),M(3 3,6),C(6 3,6)， 水  1 a  27a3 3mc6  27    3 108a6 3mc6，解得：m ，   3 c4  c4   1 3 此时抛物线的解析式为y x2  x4， 27 3 当x6 3时，y6， 此时点G的坐标为(6 3,6)； GG624， 根据题意得：MH MG，MHMG，GMH GMH60， GMGHMH， GMGHMH， GGHH， 点H 的运动路径等于GG的长，即4． 第24页（共25页）【点评】本题考查了二次函数，熟练掌握二次函数的性质、等边三角形的判定和性质以及三角形全等的判 定与性质是解题的关键． 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/8/3017:23:20；用户：初中数学；邮箱：gzthjj01@xyh.com；学号：41820495 学 升 哥 水 第25页（共25页）