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2011 年“迎春杯”数学解题能力展示初赛试卷（五年级）
一、填空题
1．（8分）算式1×2+3×4+5×6+7×8+9×10的计算结果是 ．
2．（8分）十二月份共有31天，如果某年12月1日是星期一，那么该年12月19日是星期
．（星期一至星期日用数字1至7表示）
3．（8分）如图的等腰梯形上底长度等于3，下底长度等于9，高等于4，那么这个等腰梯形的
周长等于 ．
4．（8分）某乐团女生人数是男生人数的2倍，若调走24名女生，则男生人数是女生人数的2
倍，那么该乐团原有男女学生一共 人．
5．（8分）规定1※2＝0.1+0.2＝0.3，2※3＝0.2+0.3+0.4＝0.9，5※4＝0.5+0.6+0.7+0.8＝2.6，如
果a※15＝16.5，那么a等于 ．
二、填空题
6．（10分） 如图，蚂蚁从正方体的顶点A沿正方体的棱爬到顶点B，要求行走的路线最短，那
么蚂蚁一共有 种不同的爬法．
7．（10分）如图，在每个方框中填入一个数字，使得乘法竖式成立．
两个乘数的和是 ．
8．（10分）两个正方形如图放置，图中的每个三角形都是等腰直角三角形，若其中较小正方
第1页（共11页）形的边长为12厘米，那么较大正方形的面积是 平方厘米．
9．（10分）如图的5×5的表格中有6个字母，请沿格线将右图分割为6个面积不同的小长方
形（含正方形），使得每个长方形中恰好有一个字母，且每个字母都在小长方形角上的方
格中．若这六个字母分别等于它所在小长方形的面积，那么五位数 ＝ ．
10．（10分）小人国有2011个小矮人，他们中的每个人不是戴红帽子就是戴蓝帽子．小矮人戴
红帽子时说真话，戴蓝帽子时可以说假话；并且他们随时可以更换自己帽子的颜色．某一
天，他们恰好每两人都见了一次面，并且都说对方戴蓝帽子．那么一天他们总共最少改变
了 次帽子的颜色．
三、填空题
11．（12分）如图，一个大长方形被分成8个小长方形，其中长方形A、B、C、D、E的周长分别
是26厘米、28厘米、30厘米、32厘米、34厘米，那么大长方形的面积最大是 平方
厘米．
12．（12分）如图是一个6×6的方格表，将数字1～6填入空白方格中，使得每一行、每一列数
字1～6都只恰好出现一次，方格表还被粗线划分成了6块区域，每个区域数字1～6也恰
好都只出现一次，那么最下面一行的前4个数字组成的四位数 是 ．
第2页（共11页）13．（12分）甲、乙两车同时从A地出发开往B地，出发的时候，甲车的速度比乙车的速度每
小时快2.5千米．10分钟后，甲车减速了；再过5分钟后，乙车也减速了，这时乙车比甲车
每小时慢0.5千米．又过了25分钟后两车同时到达B地，那么甲车当时速度每小时减少了
千米．
14．（12分）把同时满足下列两个条件的自然数称为“幸运数“：（1）从左往右数，第三位起，
每一位的数字是它前面的两个数字的差（大数减去小数）；（2）无重复数字．例如：132、
871、54132都是“幸运数“；但8918（数字“8“重复）、990（数字“9“重复）都不是“幸
运数“，那么最大“幸运数“从左往右的第二位数字是 ．
15．（12分）一个由某些非零自然数所组成的数组具有以下的性质：
（1）这个数组中的每个数（除了1以外），都可被2、3、5中的至少一个数整除．
（2）对于任意非零自然数n，若此数组中包含有2n、3n、5n中的一个，则此数组中必同时包
含有n、2n、3n和5n．
如果此数组中数的个数在300和400之间，那么此数组包含 个数．
第3页（共11页）2011 年“迎春杯”数学解题能力展示初赛试卷（五年级）
参考答案与试题解析
一、填空题
1．（8分）算式1×2+3×4+5×6+7×8+9×10的计算结果是 19 0 ．
【解答】解：1×2+3×4+5×6+7×8+9×10
＝2+12+30+56+90
＝190
故答案为：190．
2．（8分）十二月份共有31天，如果某年12月1日是星期一，那么该年12月19日是星期 5
．（星期一至星期日用数字1至7表示）
【解答】解：19﹣1＝18（天）
18÷7＝2（周）…4（天）
星期1再过4天就是星期5．
答：该年12月19日是星期5．
故答案为：5．
3．（8分）如图的等腰梯形上底长度等于3，下底长度等于9，高等于4，那么这个等腰梯形的
周长等于 2 2 ．
【解答】解：（9﹣3）÷2＝3，
＝ ＝5，
3+9+5+5＝22
答：这个等腰梯形的周长等于22．
故答案为：22．
4．（8分）某乐团女生人数是男生人数的2倍，若调走24名女生，则男生人数是女生人数的2
倍，那么该乐团原有男女学生一共 4 8 人．
【解答】解：设调走前男生有x人，则女生有2x人，
所以x＝2（2x﹣24）
第4页（共11页）x＝4x﹣48
3x＝48
x＝16
16×2+16
＝32+16
＝48（人）
答：该乐团原有男女学生一共48人．
故答案为：48．
5．（8分）规定1※2＝0.1+0.2＝0.3，2※3＝0.2+0.3+0.4＝0.9，5※4＝0.5+0.6+0.7+0.8＝2.6，如
果a※15＝16.5，那么a等于 4 ．
【解答】解：根据运算规律可得，
16.5是等差数列的和，15是等差数列的项数，公差是0.1，a是首项的10倍，
a＝[16.5﹣ ]÷15×10
＝[16.5﹣10.5]÷15×10
＝6÷15×10
＝4
故答案为：4．
二、填空题
6．（10分） 如图，蚂蚁从正方体的顶点A沿正方体的棱爬到顶点B，要求行走的路线最短，那
么蚂蚁一共有 6 种不同的爬法．
【解答】解：3×2＝6（种）；
答：蚂蚁一共有 6种不同的爬法．
故答案为：6．
7．（10分）如图，在每个方框中填入一个数字，使得乘法竖式成立．
两个乘数的和是 68 4 ．
第5页（共11页）【解答】解：根据题意，由竖式可得：
第一个因数与2相乘，是一个三位数，并且末尾数是0，5×2＝10，所以，第一个因数的个位
上的数是5，第一个因数百位数字最大是4，因为最后的结果是六位数，那么，只能是4；可
以得到第一个因数是4□5；
又因为4□5与第二个因数十位数数相乘的积是□1□，那么第二个因数十位数是1或2；
假设是1，415×1＝415，那么第一个因数是415，第二个因数最大是219，415×219＝90885，
不是六位数，那么第二个因数十位数是2；
只有455×2＝910，所以，第一个是455，又因为455×9＝4095，所以，第二个因数是229；
由以上可得：
；
所以，两个乘数的和是：455+229＝684．
故答案为：684．
8．（10分）两个正方形如图放置，图中的每个三角形都是等腰直角三角形，若其中较小正方
形的边长为12厘米，那么较大正方形的面积是 16 2 平方厘米．
【解答】解：根据分析，全部分成和最小的等腰直角三角形大小相同的图形，如图：
第6页（共11页）大正方形分成18个，小正方形分成16个，
∴较大正方形的面积＝12×12÷16×18＝162（平方厘米）．
故答案是：162．
9．（10分）如图的5×5的表格中有6个字母，请沿格线将右图分割为6个面积不同的小长方
形（含正方形），使得每个长方形中恰好有一个字母，且每个字母都在小长方形角上的方
格中．若这六个字母分别等于它所在小长方形的面积，那么五位数 ＝ 3421 6 ．
【解答】解：根据分析，因总面积＝5×5＝25，可以将图分割，如图：
1+2+3+4+5＝21，
需要增加4，最大可以有9，而且不能有7，
如果有9，则F＝9，剩余16只能是1+2+3+4+6，
经尝试结果为34216，如果有8，则F＝8，不在角上，不合题意，
综上，A＝3，B＝4，C＝2，D＝1，E＝6，
第7页（共11页）故答案是：34216
10．（10分）小人国有2011个小矮人，他们中的每个人不是戴红帽子就是戴蓝帽子．小矮人戴
红帽子时说真话，戴蓝帽子时可以说假话；并且他们随时可以更换自己帽子的颜色．某一
天，他们恰好每两人都见了一次面，并且都说对方戴蓝帽子．那么一天他们总共最少改变
了 200 9 次帽子的颜色．
【解答】解：2011﹣2＝2009（次）
答：一天他们总共最少改变了2009次帽子的颜色．
故答案为：2009．
三、填空题
11．（12分）如图，一个大长方形被分成8个小长方形，其中长方形A、B、C、D、E的周长分别
是26厘米、28厘米、30厘米、32厘米、34厘米，那么大长方形的面积最大是 51 2 平方
厘米．
【解答】解：设B的高是a，则A、C、D的高分别为a﹣1，a+1，a+2，B的宽为28÷2﹣a＝14﹣
a，E的宽为14﹣a+3＝17﹣a，
大正方形的面积为（a﹣1+a+a+1+a+2）（14﹣a+17﹣a）＝（4a+2）（31﹣2a）＝2（2a+1）（31
﹣2a），
2a+1和31﹣2a的和是32，两数和相同，两数越接近时，积越大，
2a+1＝31﹣2a，4a＝30，a＝7.5，
总面积为2×16×16＝512平方厘米．
故答案为512．
12．（12分）如图是一个6×6的方格表，将数字1～6填入空白方格中，使得每一行、每一列数
字1～6都只恰好出现一次，方格表还被粗线划分成了6块区域，每个区域数字1～6也恰
好都只出现一次，那么最下面一行的前4个数字组成的四位数 是 241 3 ．
第8页（共11页）【解答】解：依题意可知：
第一行的5只能写在第5格子，进而推出第二行的5只能在第一列，第五行的5只能在第
二列的位置；
左上块的4只能填写在第2行的第4格子．
所以第六行的4只能在B．
第三列上两格子是3和6，所以下两个格子就是1和2．D就是3，
A不能是1，则C为1，进而根据最后一行可知A为2．
故答案为：2413．
13．（12分）甲、乙两车同时从A地出发开往B地，出发的时候，甲车的速度比乙车的速度每
小时快2.5千米．10分钟后，甲车减速了；再过5分钟后，乙车也减速了，这时乙车比甲车
每小时慢0.5千米．又过了25分钟后两车同时到达B地，那么甲车当时速度每小时减少了
10 千米．
【解答】解：10分＝ 小时
25分＝ 小时
5分＝ 小时
前10分钟，甲车比乙车多行：2.5× ＝ （千米）
第9页（共11页）后25分钟，甲车比乙车多行了0.5× ＝ （千米）
中间的5分钟，乙车应比甲车多行 + ＝ （千米）
中间5分钟乙车比甲车快了： ÷ ＝7.5（千米/时）
甲车减速：2.5+7.5＝10（千米/时）
答：甲车当时速度每小时减少了 10千米．
故答案为：10．
14．（12分）把同时满足下列两个条件的自然数称为“幸运数“：（1）从左往右数，第三位起，
每一位的数字是它前面的两个数字的差（大数减去小数）；（2）无重复数字．例如：132、
871、54132都是“幸运数“；但8918（数字“8“重复）、990（数字“9“重复）都不是“幸
运数“，那么最大“幸运数“从左往右的第二位数字是 5 ．
【解答】解：依题意可知：首先最大的数字首位是9．
如果是98开头那么这个数字为98176；
如果是97开头那么这个数字是97253；
如果是96开头那么这个数字是963；
如果是95开头那么这个数字是954132；
如果是94开头那么这个数字是9451；
如果是93开头那么这个数字是936；
如果是92开头那么这个数字是9275；
如果是91开头那么这个数字是9187；
最大数字是954132，易知幸运数里面不能含有0，如果是7位数，容易观察到是无法取到
的．
故答案为：5．
15．（12分）一个由某些非零自然数所组成的数组具有以下的性质：
（1）这个数组中的每个数（除了1以外），都可被2、3、5中的至少一个数整除．
（2）对于任意非零自然数n，若此数组中包含有2n、3n、5n中的一个，则此数组中必同时包
含有n、2n、3n和5n．
如果此数组中数的个数在300和400之间，那么此数组包含 36 4 个数．
【解答】解：由题意，不妨设N＝2x×3y×5（z x，y，z都是自然数，x+y+z≤n，其中最高次方为n）
的形式．
第10页（共11页）（1）x+y+z＝0时，x＝y＝z＝0，N＝1，符合此时，有1个；
（2）x+y+z＝1时，则 或 或 ，所以N＝2或3或5，符合，此时有3个；
（3）x+y+z＝2时，x＝y＝1，z＝0或x＝z＝1，y＝0或x＝0，y＝z＝1或x＝2，y＝z＝0或x＝z
＝0，y＝2或x＝y＝0，z＝2，
所以N＝6或10或15或4或9或25，符合，此时有6个；
（4）x+y+z＝n时，有 个符合，则共有N＝ + +…+ 个符合，
由题意，此数组中数的个数在300和400之间，所以N＝ + +…+ ＝1+2+…+78＝
364个符合题意．
故答案为364．
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日期：2019/5/5 18:04:07；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@xyh.com；学号：20913800
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