文档内容
计算-公式类计算-山顶数公式-1 星题
课程目标
知识点 考试要求 具体要求 考察频率
山顶数公式 A 1.熟悉山顶数公式 少考
2.能够将一些式子变形后再利用山
顶数公式进行计算。
知识提要
山顶数公式
公式
1+2+3+⋯+(n-1)+n+(n-1)+⋯+3+2+1=n2
精选例题
山顶数公式
1. 计算：⑴ 1+2+3+⋯+2013+2014= ．
⑵ 1+2+3+⋯+2013+2014+2013+⋯+3+2+1= ．
⑶ 1+3+5+7+⋯+2013= ．
【答案】 ⑴ 2029105；⑵ 4056196；⑶ 1014049
【分析】 ⑴
1+2+3+⋯+2013+2014
2014×2015÷2¿=¿2029105;¿
¿
⑵
1+2+3+⋯+2013+2014+2013+⋯+3+2+1
20142=4056196;¿
¿
⑶ (2013-1)÷2+1=1007（个）数，1+3+5+7+⋯+2013=10072=1014049．
(22+42+62+⋯+1002 )-(12+32+52+⋯+992
)
2. 计算： = ．
1+2+3+⋯+10+9+⋯+2+1【答案】 50.5
【分析】
22-12+42-32+62-52+⋯+1002-992
原式 =
1+2+3+⋯+10+9+⋯+2+1
¿ =50.5
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1
3. = ．
3333×6666+4444×8888
2
【答案】
1234321
【分析】
102
原式 =
11112×18+11112×32
2
¿ =
1234321
4. 计算：1+2+3+⋯+2013+2014+2013+⋯+3+2+1= ．
【答案】 4056196．
【分析】 根据公式：1+2+3+…+(n－1)+n+(n－1)+…+3+2+1＝n×n＝n2，
原式=2014×2014=4056196．
5. 计算：
（1）1+2+3+4+5+⋯+11+⋯+5+4+3+2+1；1+2+3+⋯+100+⋯+3+2+1；
（2）2+4+6+8+⋯+100+⋯+8+6+4+2；
（3）51+52+⋯+100+⋯+52+51．
【答案】 （1）121；10000；（2）5000；（3）7450
【分析】 （1）观察算式发现是山顶和公式．
原式=11×11=121;
原式=100×100=10000;
（2）观察算式发现这个算式不符合山顶和，但是能不能变成山顶和呢，可以提取公因数 2，
所以可以变成 2×(1+2+3+⋯+50+⋯+3+2+1)．原式 =2×(1+2+3+⋯+50+⋯+3+2+1)
¿ =5000;
（3）观察算式发现这个算式不能直接用山顶和公式，但是可以用借来还去的思想变成山顶和
公式．
原式= (1+2+3⋯+100+⋯+3+2+1)-
1002-502-50¿=¿10000-2500-50¿=¿7450.¿
¿ ¿
6. 已知 (1+2+3+4+5+4+3+2+1)×(123454321)=x2，求 x 的值．
【答案】 55555
【分析】 因为 1+2+3+4+5+4+3+2+1=52，123454321=111112，
x2=52×111112=(5×11111) 2=555552，所以 x=55555．
7. 计算：
（1）1+3+5+7+9+⋯+139；
（2）1+2+3+4+⋯+19+20+19+⋯+7+6．
【答案】 （1）4900；（2）385
【分析】 （1）项数：
(139-1)÷2+1
138÷2+1¿=¿70(项),¿
¿
和：
70×70=4900.
（2）先补成金字塔数列，然后减去补的数
20×20-(5+4+3+2+1)
400-15¿=¿385.¿
¿
8. 观察下面的几个算式：
1+2+1=4,1+2+3+2+1=9,1+2+3+4+3+2+1=16,1+2+3+4+5+4+3+2+1=25
⋯
根据你所发现的规律，请直接写出下面式子的结果：
1+2+3+…+99+100+99+…+3+2+1= ．
【答案】 100001+2+1=4=2×2,
1+2+3+2+1=9=3×3,
【分析】
1+2+3+4+3+2+1=16=4×4,
1+2+3+4+5+4+3+2+1=25=5×5,
即左边数列的和是中间最大数的平方，所以：
1+2+3+…+99+100+99+…+3+2+1=100×100=10000
