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专练 15 导数的概念及运算
授课提示：对应学生用书29页
[基础强化]
一、选择题
1．若f(x)＝2xf′(1)＋x2，则f′(0)＝( )
A．2 B．0
C．－2 D．－4
答案：D
解析：∵f(x)＝2xf′(1)＋x2，
∴f′(x)＝2f′(1)＋2x，
∴f′(1)＝2f′(1)＋2，
∴f′(1)＝－2，
∴f(x)＝－4x＋x2，
∴f′(x)＝－4＋2x，
∴f′(0)＝－4.
2．已知函数f(x)＝g(x)＋2x且曲线y＝g(x)在x＝1处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y
＝f(x)在x＝1处的切线的斜率为( )
A．2 B．4
C．6 D．8
答案：B
解析：∵曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，∴g′(1)＝2.∵函数f(x)＝
g(x)＋2x，∴f′(x)＝g′(x)＋2＝g′(1)＋2，∴f′(1)＝2＋2＝4，即曲线y＝f(x)在x＝1处的切线的
斜率为4.故选B.
3．已知曲线y＝aex＋x ln x在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则( )
A．a＝e，b＝－1 B．a＝e，b＝1
C．a＝e－1，b＝1 D．a＝e－1，b＝－1
答案：D
解析：因为y′＝aex＋ln x＋1，所以当x＝1时，y′＝ae＋1，所以曲线在点(1，ae)处的
切线方程为y－ae＝(ae＋1)(x－1)，即y＝(ae＋1)x－1，所以解得
4．在等比数列{a}中，a ＝2，a ＝4，函数f(x)＝x(x－a)·(x－a)·…·(x－a)，则f′(0)＝
n 1 8 1 2 8
( )
A．26 B．29 C．212 D．215
答案：C
解析：∵函数f(x)＝x(x－a)(x－a)·…·(x－a)，
1 2 8
∴f′(x)＝(x－a)(x－a)·…·(x－a)＋x[(x－a)(x－a)·…·(x－a)]′，∴f′(0)＝aa…a ＝
1 2 8 1 2 8 1 2 8
(aa)4＝84＝212.
1 8
5．设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax，若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线
方程为( )
A．y＝－2x B．y＝－x
C．y＝2x D．y＝x
答案：D
解析：∵f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax为奇函数，∴a－1＝0，得a＝1，∴f(x)＝x3＋x，∴f′(x)＝
3x2＋1，∴f′(0)＝1，则曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为y＝x，故选D.
6．已知曲线y＝－3ln x的一条切线的斜率为－，则切点的横坐标为( )
A．3 B．2 C．1 D．
答案：B解析：令y′＝－＝－，解得x＝－3(舍去)或x＝2.故切点的横坐标为2，故选B.
7．f′(x)是f(x)＝sin x＋a cos x的导函数，且f′＝，则实数a的值为( )
A． B． C． D．1
答案：B
解析：∵f′(x)＝cos x－a sin x，∴f′＝－a＝，得a＝.
8．已知曲线y＝x＋ln x在点(1，1)处的切线与二次曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a
等于( )
A．－2 B．0
C．1 D．8
答案：D
解析：由y＝x＋ln x，得y′＝1＋，
∴当x＝1时，y′＝2，∴切线方程为y－1＝2(x－1)，
即y＝2x－1，
由
得ax2＋ax＋2＝0，
由题意得得a＝8.
9．函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对于任意x∈R，f′(x)>2，则f(x)>2x＋4的解集
为( )
A．(－1，1) B．(－1，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞)
答案：B
解析：设g(x)＝f(x)－2x－4，
g′(x)＝f′(x)－2，
由题意得g′(x)>0恒成立，
∴g(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，
又g(－1)＝f(－1)－2×(－1)－4＝0，
又f(x)>2x＋4等价于g(x)>0，
∴原不等式的解为x>－1.
二、填空题
10．已知物体运动的位移s与时间t之间的函数关系式为s＝t3－t，则当t＝2时，该物
体的瞬时速度为________．
答案：5
解析：由题知s′＝t2－1，故当t＝2时，该物体的瞬时速度为×22－1＝5.
11．已知函数f(x)＝ex ln x，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(1)的值为________．
答案：e
解析：f′(x)＝ex·ln x＋，∴f′(1)＝e.
12．若曲线 y＝e－x在点 P 处的切线与直线 2x＋y＋1＝0 平行，则点 P 的坐标是
________．
答案：(－ln 2，2)
解析：∵y＝e－x，∴y′＝－e－x，
设P(x，y)，由题意得－e－x＝－2，
0 0 0
∴e－x＝2，∴－x＝ln 2，x＝－ln 2，
0 0 0
∴P(－ln 2，2).
[能力提升]
13．函数f(x)＝x4－2x3的图象在点(1，f(1))处的切线方程为( )
A．y＝－2x－1 B．y＝－2x＋1
C．y＝2x－3 D．y＝2x＋1
答案：B
解析：f′(x)＝4x3－6x2，则f′(1)＝－2，易知f(1)＝－1，由点斜式可得函数f(x)的图象在
(1，f(1))处的切线方程为y－(－1)＝－2(x－1)，即y＝－2x＋1.故选B.
14．(多选)已知函数f(x)＝－x3＋2x2－x，若过点P(1，t)可作曲线y＝f(x)的三条切线，
则t的取值可以是( )A．0 B． C． D．
答案：CD
解析：∵f(x)＝－x3＋2x2－x，∴f′(x)＝－3x2＋4x－1.
由已知得，过点P(1，t)作曲线y＝f(x)的三条切线，情况如下：
①点P(1，t)在曲线上，此时切点为P(1，t)，把P点坐标代入函数解析式可得 P(1，
0)，利用切线公式得y＝f′(1)(x－1)，所以切线为x轴，但此时切线只有一条，不符合题意．
②点P(1，t)不在曲线上，设切点为(x ，y)，又切线经过点P(1，t)，所以切线方程为y
0 0
－t＝f′(x)(x－1).
0
因为切线经过切点，所以y－t＝(－3x＋4x－1)(x－1).
0 0 0
又因为切点在曲线上，所以y＝－x＋2x－x.
0 0
化简得t＝2x－5x＋4x－1.
0
令g(x)＝2x3－5x2＋4x－1，即t＝g(x)有三个解，即直线y＝t与y＝g(x)的图象有三个交
点．
令g′(x)＝6x2－10x＋4＝2(x－1)(3x－2)＝0，可得两极值点为x＝1，x＝.
1 2
所以x∈和(1，＋∞)时，g(x)单调递增，x∈时，g(x)单调递减，
所以当g(1)＝0＜t＜＝g时，满足直线y＝t与y＝g(x)的图象有三个交点，而0＜＜＜，
故选CD.
15．已知e是自然对数的底数，函数f(x)＝(x－1)ex＋3e的图象在点(1，f(1))处的切线为
l，则直线l的横截距为________．
答案：－2
解析：因为f′(x)＝ex＋(x－1)ex＝xex，所以切线l的斜率为f′(1)＝e，由f(1)＝3e知切点
坐标为(1，3e)，所以切线l的方程为y－3e＝e(x－1).令y＝0，解得x＝－2，故直线l的横
截距为－2.
16．[2022·新高考Ⅰ卷]若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围
是________．
答案：(－∞，－4)∪(0，＋∞)
解析：设切线的切点坐标为(x ，y).令f(x)＝(x＋a)ex，则f′(x)＝(x＋1＋a)ex，f′(x)＝(x
0 0 0 0
＋1＋a)ex.因为y ＝(x ＋a)ex ，切线过原点，所以f′(x)＝，即(x ＋1＋a)·ex ＝.整理，得x
0 0 0 0 0 0 0
＋ax －a＝0.由题意知该方程有两个不同的实数根，所以 Δ＝a2＋4a＞0，解得a＜－4或a
0
＞0.
