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专练 7 函数的单调性与最值
授课提示：对应学生用书13页
[基础强化]
一、选择题
1．下列函数中是增函数的为( )
A．f(x)＝－x B．f(x)＝
C．f(x)＝x2 D．f(x)＝
答案：D
解析：方法一(排除法) 取x ＝－1，x ＝0，对于A项有f(x)＝1，f(x)＝0，所以A项
1 2 1 2
不符合题意；对于B项有f(x)＝，f(x)＝1，所以B项不符合题意；对于C项有f(x)＝1，
1 2 1
f(x)＝0，所以C项不符合题意．故选D．
2
方法二(图象法) 如图，在坐标系中分别画出A，B，C，D四个选项中函数的大致图
象，即可快速直观判断D项符合题意．故选D.
2．下列函数中，在区间(－1，1)上为减函数的是( )
A．y＝ B．y＝cos x
C．y＝ln (x＋1) D．y＝2－x
答案：D
解析：A项，x ＝0时，y ＝1，x ＝时，y ＝2>y ，所以y＝在区间(－1，1)上不是减函
1 1 2 2 1
数，故A项不符合题意．B项，由余弦函数的图象与性质可得，y＝cos x在(－1，0)上递
增，在(0，1)上递减，故B项不符合题意．C项，y＝ln x为增函数，且y＝x＋1为增函数，
所以y＝ln (x＋1)在(－1，1)上为增函数，故C项不符合题意．D项，由指数函数可得y＝2x
为增函数，且y＝－x为减函数，所以y＝2－x为减函数，故D项符合题意．
3．函数f(x)＝logx2－4)的单调递增区间为( )
(
A．(0，＋∞) B．(－∞，0)
C．(2，＋∞) D．(－∞，－2)
答案：D
解析：由x2－4>0得x>2或x<－2，∴f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，由复合函
数的单调性可知，函数的单调增区间为(－∞，－2).
4．[2024·新课标Ⅱ卷]设函数f(x)＝(x＋a)ln (x＋b).若f(x)≥0，则a2＋b2的最小值为(
)
A． B．
C． D．1
答案：C
解析：方法一 f(x)＝(x＋a)ln (x＋b)≥0可看作f(x)＝x＋a与f(x)＝ln (x＋b)在定义域(－b，
1 2
＋∞)上同正同负，因此两函数图象与x轴的交点重合，如图所示．令f(x)＝x＋a＝0，f(x)
1 2
＝ln (x＋b)＝0，得－a＝1－b，即a－b＋1＝0，此时可以将a－b＋1＝0看成一条直线，a2
＋b2可看成直线a－b＋1＝0上的点(a，b)到原点的距离的平方，因而可知其最小值为原点
到直线的距离的平方，所以所求最小值为()2＝，故选C.
方法二 若f(x)＝(x＋a)ln (x＋b)≥0，则f(x)的最小值大于或等于0.
f′(x)＝ln (x＋b)＋＝ln (x＋b)＋1＋(x>－b)，
假设a≥b，则x＋a≥x＋b>0，
当－b－b)在定义域上为增函数．
又当x→－b时，f′(x)→－∞，当x→＋∞时，f′(x)→＋∞，
所以存在x＝x 使得f′(x)＝0，即ln (x＋b)＝－.
0 0 0
则f(x)在(－b，x)上单调递减，在(x，＋∞)上单调递增，
0 0
所以f(x)在x＝x 处取得极小值，也是最小值，所以f(x) ＝f(x)＝(x ＋a)ln (x ＋b)＝(x
0 min 0 0 0 0
＋a)＝－≤0，又f(x)≥0，则x ＝－a，又ln (x ＋b)＝－，所以ln (b－a)＝0，所以b－a＝
0 0 0
1，所以b＝a＋1.所以a2＋b2＝a2＋a2＋2a＋1＝2＋，则a2＋b2的最小值为.
5．[2024·四川内江测试]若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝在区间[1，2]上都是减函数，则a
的取值范围是( )
A．(－1，0)∪(0，1) B．(－1，0)∪(0，1]
C．(0，1) D．(0，1]
答案：D
解析：由于g(x)＝在区间[1，2]上是减函数，所以a>0；由于f(x)＝－x2＋2ax在区间
[1，2]上是减函数，且f(x)的对称轴为x＝a，则a≤1.综上有01.当x∈(1，＋∞)时，f(x)＝log |x－1|＝log (x－1)，
a a
∵y＝x－1在其定义域内是增函数，且a>1，∴f(x)在(1，＋∞)上单调递增，且无最大值，故
A正确，B错误．∵f(2－x)＝log |2－x－1|＝log |x－1|＝f(x)，∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，
a a
故C正确；由a>1可知，当a＝2 022时，f(x)在(0，1)上单调递减，故D正确．故选ACD.
8．已知函数f(x)＝若f(2－a2)>f(a)，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
B．(－1，2)C．(－2，1)
D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
答案：C
解析：f(x)＝
由f(x)的图象可知f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
由f(2－a2)>f(a)得2－a2>a，
即a2＋a－2<0，解得－2f(a＋3)，则实数a的取值范围为
________．
答案：(－3，－1)∪(3，＋∞)
解析：由已知可得
解得－33，所以实数a的取值范围为(－3，－1)∪(3，＋∞).
11．已知函数f(x)＝log (－x2－2x＋3)(a>0且a≠1)，若f(0)<0，则此函数f(x)的单调递
a
增区间是________.
答案：[－1，1)
解析：∵f(0)＝log 3<0，∴00，∴f(x)在单调递增，
排除B；当x∈时，f(x)＝ln (－2x－1)－ln (1－2x)，则f′(x)＝－
＝<0，∴f(x)在单调递减，∴D正确．
15．函数f(x)＝－log (x＋2)在[－1，1]上的最大值为________．
2
答案：3
解析：∵y＝在R上单调递减，y＝log (x＋2)在[－1，1]上单调递增，
2
∴f(x)在[－1，1]上单调递减，
∴f(x) ＝f(－1)＝3.
max
16．f(x)＝满足对任意x≠x，都有<0成立，则a的取值范围是________．
1 2
答案：
解析：∵对任意x≠x，都有<0成立，
1 2
∴f(x)在定义域R上为单调递减函数，
∴
解得0
