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专练 7 函数的单调性与最值
授课提示：对应学生用书13页
[基础强化]
一、选择题
1．下列函数中是增函数的为( )
A．f(x)＝－x B．f(x)＝
C．f(x)＝x2 D．f(x)＝
答案：D
解析：方法一(排除法) 取x ＝－1，x ＝0，对于A项有f(x)＝1，f(x)＝0，所以A项
1 2 1 2
不符合题意；对于B项有f(x)＝，f(x)＝1，所以B项不符合题意；对于C项有f(x)＝1，
1 2 1
f(x)＝0，所以C项不符合题意．故选D．
2
方法二(图象法) 如图，在坐标系中分别画出A，B，C，D四个选项中函数的大致图
象，即可快速直观判断D项符合题意．故选D.
2．下列函数中，在区间(－1，1)上为减函数的是( )
A．y＝ B．y＝cos x
C．y＝ln (x＋1) D．y＝2－x
答案：D
解析：A项，x ＝0时，y ＝1，x ＝时，y ＝2>y ，所以y＝在区间(－1，1)上不是减函
1 1 2 2 1
数，故A项不符合题意．B项，由余弦函数的图象与性质可得，y＝cos x在(－1，0)上递
增，在(0，1)上递减，故B项不符合题意．C项，y＝ln x为增函数，且y＝x＋1为增函数，
所以y＝ln (x＋1)在(－1，1)上为增函数，故C项不符合题意．D项，由指数函数可得y＝2x
为增函数，且y＝－x为减函数，所以y＝2－x为减函数，故D项符合题意．
3．函数f(x)＝logx2－4)的单调递增区间为( )
(
A．(0，＋∞) B．(－∞，0)
C．(2，＋∞) D．(－∞，－2)
答案：D
解析：由x2－4>0得x>2或x<－2，∴f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，由复合函
数的单调性可知，函数的单调增区间为(－∞，－2).
4．[2024·新课标Ⅱ卷]设函数f(x)＝(x＋a)ln (x＋b).若f(x)≥0，则a2＋b2的最小值为(
)
A． B．
C． D．1
答案：C
解析：方法一 f(x)＝(x＋a)ln (x＋b)≥0可看作f(x)＝x＋a与f(x)＝ln (x＋b)在定义域(－b，
1 2
＋∞)上同正同负，因此两函数图象与x轴的交点重合，如图所示．令f(x)＝x＋a＝0，f(x)
1 2
＝ln (x＋b)＝0，得－a＝1－b，即a－b＋1＝0，此时可以将a－b＋1＝0看成一条直线，a2
＋b2可看成直线a－b＋1＝0上的点(a，b)到原点的距离的平方，因而可知其最小值为原点
到直线的距离的平方，所以所求最小值为()2＝，故选C.
方法二 若f(x)＝(x＋a)ln (x＋b)≥0，则f(x)的最小值大于或等于0.
f′(x)＝ln (x＋b)＋＝ln (x＋b)＋1＋(x>－b)，
假设a≥b，则x＋a≥x＋b>0，
当－b<x<－b＋1时，ln (x＋b)<0，
此时f(x)＝(x＋a)ln (x＋b)<0，不满足题意，
所以a<b，则f′(x)＝ln (x＋b)＋1＋(x>－b)在定义域上为增函数．
又当x→－b时，f′(x)→－∞，当x→＋∞时，f′(x)→＋∞，
所以存在x＝x 使得f′(x)＝0，即ln (x＋b)＝－.
0 0 0
则f(x)在(－b，x)上单调递减，在(x，＋∞)上单调递增，
0 0
所以f(x)在x＝x 处取得极小值，也是最小值，所以f(x) ＝f(x)＝(x ＋a)ln (x ＋b)＝(x
0 min 0 0 0 0
＋a)＝－≤0，又f(x)≥0，则x ＝－a，又ln (x ＋b)＝－，所以ln (b－a)＝0，所以b－a＝
0 0 0
1，所以b＝a＋1.所以a2＋b2＝a2＋a2＋2a＋1＝2＋，则a2＋b2的最小值为.
5．[2024·四川内江测试]若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝在区间[1，2]上都是减函数，则a
的取值范围是( )
A．(－1，0)∪(0，1) B．(－1，0)∪(0，1]
C．(0，1) D．(0，1]
答案：D
解析：由于g(x)＝在区间[1，2]上是减函数，所以a>0；由于f(x)＝－x2＋2ax在区间
[1，2]上是减函数，且f(x)的对称轴为x＝a，则a≤1.综上有0<a≤1.故选D.
6．[2024·山东青岛一中测试]已知y＝f(x)在定义域(－1，1)上是减函数，且f(1－a)<f(2a
－1)，则a的取值范围是( )
A． B．(0，＋∞)
C． D．(－∞，0)∪
答案：C
解析：∵f(x)在定义域(－1，1)上是减函数，且f(1－a)<f(2a－1)，∴解得0<a<.故选C.
7．(多选)函数f(x)＝log |x－1|在(0，1)上单调递减，那么( )
a
A．f(x)在(1，＋∞)上单调递增且无最大值
B．f(x)在(1，＋∞)上单调递减且无最小值
C．f(x)的图象关于直线x＝1对称
D．若a＝2 022，则f(x)在(0，1)上单调递减
答案：ACD
解析：∵函数f(x)＝log |x－1|在(0，1)单调递减，∴f(x)＝log (1－x)在(0，1)上单调递减，
a a
∵y＝1－x在其定义域内是减函数，∴a>1.当x∈(1，＋∞)时，f(x)＝log |x－1|＝log (x－1)，
a a
∵y＝x－1在其定义域内是增函数，且a>1，∴f(x)在(1，＋∞)上单调递增，且无最大值，故
A正确，B错误．∵f(2－x)＝log |2－x－1|＝log |x－1|＝f(x)，∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，
a a
故C正确；由a>1可知，当a＝2 022时，f(x)在(0，1)上单调递减，故D正确．故选ACD.
8．已知函数f(x)＝若f(2－a2)>f(a)，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
B．(－1，2)C．(－2，1)
D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
答案：C
解析：f(x)＝
由f(x)的图象可知f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
由f(2－a2)>f(a)得2－a2>a，
即a2＋a－2<0，解得－2<a<1，故选C.
9．[2023·新课标Ⅰ卷]设函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0，1)单调递减，则a的取值范围是(
)
A．(－∞，－2] B．[－2，0)
C．(0，2] D．[2，＋∞)
答案：D
解析：方法一 由题意得y＝x(x－a)在区间(0，1)单调递减，所以x＝≥1，解得a≥2.
故选D.
方法二 取a＝3，则y＝x(x－3)＝(x－)2－在(0，1)单调递减，所以f(x)＝2x(x－3)在(0，1)
单调递减，所以a＝3符合题意，排除A，B，C，故选D.
二、填空题
10．已知函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，若f(a2－a)>f(a＋3)，则实数a的取值范围为
________．
答案：(－3，－1)∪(3，＋∞)
解析：由已知可得
解得－3<a<－1或a>3，所以实数a的取值范围为(－3，－1)∪(3，＋∞).
11．已知函数f(x)＝log (－x2－2x＋3)(a>0且a≠1)，若f(0)<0，则此函数f(x)的单调递
a
增区间是________.
答案：[－1，1)
解析：∵f(0)＝log 3<0，∴0<a<1，由复合函数的单调性可知，函数的单调增区间为[－
a
1，1).
12．已知函数f(x)＝，x∈[2，5]，则f(x)的最大值是________．
答案：3
解析：f(x)＝＝＝1＋，显然f(x)在[2，5]上单调递减，∴f(x) ＝f(2)＝1＋＝3.
max
[能力提升]
13．[2024·新课标Ⅰ卷]已知函数为f(x)＝在R上单调递增，则a的取值范围是( )
A．(－∞，0] B．[－1，0]
C．[－1，1] D．[0，＋∞)
答案：B
解析：方法一 当x<0时，函数f(x)＝－x2－2ax－a＝－(x＋a)2＋a2－a，若函数f(x)在
(－∞，0)上单调递增，则有－a≥0，即a≤0；当x≥0时，函数f(x)＝ex＋ln (x＋1)，函数
f(x)在[0，＋∞)上单调递增．因为函数f(x)在R上单调递增，所以－a≤e0＋ln (0＋1)＝1，解
得a≥－1.综上可得－1≤a≤0.故选B.
方法二 当a＝1时，f(x)＝显然函数f(x)＝－(x＋1)2在(－∞，0)上不单调，可排除C选
项和D选项；
当a＝－2时，f(x)＝当x从0的左侧趋近于0时，f(x)→2，而f(0)＝1，所以函数f(x)在
R上不单调，可排除A.故选B.
14．设函数f(x)＝ln |2x＋1|－ln |2x－1|，则f(x)( )
A．是偶函数，且在单调递增
B．是奇函数，且在单调递减
C．是偶函数，且在单调递增
D．是奇函数，且在单调递减
答案：D
解析：，
∴函数f(x)的定义域关于原点对称，
又∵f(－x)＝ln |－2x＋1|－ln |－2x－1|＝ln |2x－1|－ln |2x＋1|＝－f(x)，∴f(x)是奇函数，排除A、C；当x∈时，f(x)＝ln (2x＋1)－ln (1－2x)，则f′(x)＝－＝>0，∴f(x)在单调递增，
排除B；当x∈时，f(x)＝ln (－2x－1)－ln (1－2x)，则f′(x)＝－
＝<0，∴f(x)在单调递减，∴D正确．
15．函数f(x)＝－log (x＋2)在[－1，1]上的最大值为________．
2
答案：3
解析：∵y＝在R上单调递减，y＝log (x＋2)在[－1，1]上单调递增，
2
∴f(x)在[－1，1]上单调递减，
∴f(x) ＝f(－1)＝3.
max
16．f(x)＝满足对任意x≠x，都有<0成立，则a的取值范围是________．
1 2
答案：
解析：∵对任意x≠x，都有<0成立，
1 2
∴f(x)在定义域R上为单调递减函数，
∴
解得0<a≤，
∴a的取值范围是.
