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专练 8 函数的奇偶性与周期性
授课提示：对应学生用书15页
[基础强化]
一、选择题
1．下列函数中，在(0，＋∞)上单调递减，并且是偶函数的是( )
A．y＝x2 B．y＝－x3
C．y＝－lg |x| D．y＝2x
答案：C
2．设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中
正确的是( )
A．f(x)g(x)是偶函数
B．f(x)|g(x)|是奇函数
C．|f(x)|g(x)是奇函数
D．|f(x)g(x)|是奇函数
答案：B
3．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝log x，则f(－8)＝(
2
)
A．3 B．
C．－ D．－3
答案：D
解析：∵f(x)为奇函数，∴f(－8)＝－f(8)＝－log 8＝－3.
2
4．设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，则f＝( )
A．－ B．－
C． D．
答案：A
解析：∵f(x)为奇函数且周期为2，
∴f＝－f＝－f＝－2××＝－.
5．[2024·广西桂林测试]定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，当x∈[0，1]时，
f(x)＝3x，则( )
A．f(－1)＝f(2) B．f(－1)＝f(4)
C．f>f D．f＝f(4)
答案：C
解析：∵f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)的周期为2，又f(x)为偶函数，∴f(－1)＝f(1)＝31＝3，∴f(2)
＝f(0)＝1，∴f(4)＝f(0)＝1，f＝f＝，f＝f＝f＝，
∴f>f.
6．函数f(x)为奇函数，定义域为R，若f(x＋2)为偶函数，且f(1)＝1，则f(2 016)＋f(2
017)＝( )
A．－2 B．－1
C．0 D．1
答案：D
解析：∵f(x＋2)为偶函数，∴f(2＋x)＝f(2－x)，
又f(x)为奇函数，∴f(－x＋2)＝－f(x－2)，
∴f(x＋2)＝－f(x－2)，∴f(x＋4)＝－f(x)，
∴f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，
∴f(x)是以8为周期的周期函数，
∵f(0)＝0，∴f(2 016)＝f(0)＝0，f(2 017)＝f(1)＝1，∴f(2 016)＋f(2 017)＝0＋1＝1.
7．[2023·全国乙卷(理)]已知f(x)＝是偶函数，则a＝( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
答案：D
解析：方法一 f(x)的定义域为{x|x≠0}，因为f(x)是偶函数，所以f(x)＝f(－x)，即＝，
即e(1－a)x－ex＝－e(a－1)x＋e－x，即e(1－a)x＋e(a－1)x＝ex＋e－x，所以a－1＝±1，解得a＝0(舍去)或
a＝2，故选D.
方法二 f(x)＝＝，f(x)是偶函数，又y＝x是奇函数，所以y＝e(a－1)x－e－x是奇函数，故
a－1＝1，即a＝2，故选D.
8．(多选)[2023·新课标Ⅰ卷]已知函数f(x)的定义域为R，f(xy)＝y2f(x)＋x2f(y)，则( )
A．f(0)＝0
B．f(1)＝0
C．f(x)是偶函数
D．x＝0为f(x)的极小值点
答案：ABC
解析：取x＝y＝0，则f(0)＝0，故A正确；取x＝y＝1，则f(1)＝f(1)＋f(1)，所以f(1)
＝0，故B正确；取x＝y＝－1，则f(1)＝f(－1)＋f(－1)，所以f(－1)＝0，取y＝－1，则
f(－x)＝f(x)＋x2f(－1)，所以f(－x)＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，故C正确；由于f(0)＝
0，且函数f(x)为偶函数，所以函数f(x)的图象关于y轴对称，所以x＝0可能为函数f(x)的极
小值点，也可能为函数f(x)的极大值点，也可能不是函数f(x)的极值点，故D不正确．综上，
选ABC.
9．已知f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，若f(1)<1，f(5)＝，则实数a的取值
范围为( )
A．(－1，4) B．(－2，0)
C．(－1，0) D．(－1，2)
答案：A
解析：∵f(x)是周期为3的偶函数，
∴f(5)＝f(5－6)＝f(－1)＝f(1)＝，
又f(1)<1，∴<1，得－10恒成立；
1 2 1 2
②f(x＋4)＝－f(x)；
③y＝f(x＋4)是偶函数．
若a＝f(6)，b＝f(11)，c＝f(2 017)，则a，b，c的大小关系正确的是( )
A．a
