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专练 8 函数的奇偶性与周期性
授课提示：对应学生用书15页
[基础强化]
一、选择题
1．下列函数中，在(0，＋∞)上单调递减，并且是偶函数的是( )
A．y＝x2 B．y＝－x3
C．y＝－lg |x| D．y＝2x
答案：C
2．设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中
正确的是( )
A．f(x)g(x)是偶函数
B．f(x)|g(x)|是奇函数
C．|f(x)|g(x)是奇函数
D．|f(x)g(x)|是奇函数
答案：B
3．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝log x，则f(－8)＝(
2
)
A．3 B．
C．－ D．－3
答案：D
解析：∵f(x)为奇函数，∴f(－8)＝－f(8)＝－log 8＝－3.
2
4．设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，则f＝( )
A．－ B．－
C． D．
答案：A
解析：∵f(x)为奇函数且周期为2，
∴f＝－f＝－f＝－2××＝－.
5．[2024·广西桂林测试]定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，当x∈[0，1]时，
f(x)＝3x，则( )
A．f(－1)＝f(2) B．f(－1)＝f(4)
C．f>f D．f＝f(4)
答案：C
解析：∵f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)的周期为2，又f(x)为偶函数，∴f(－1)＝f(1)＝31＝3，∴f(2)
＝f(0)＝1，∴f(4)＝f(0)＝1，f＝f＝，f＝f＝f＝，
∴f>f.
6．函数f(x)为奇函数，定义域为R，若f(x＋2)为偶函数，且f(1)＝1，则f(2 016)＋f(2
017)＝( )
A．－2 B．－1
C．0 D．1
答案：D
解析：∵f(x＋2)为偶函数，∴f(2＋x)＝f(2－x)，
又f(x)为奇函数，∴f(－x＋2)＝－f(x－2)，
∴f(x＋2)＝－f(x－2)，∴f(x＋4)＝－f(x)，
∴f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，
∴f(x)是以8为周期的周期函数，
∵f(0)＝0，∴f(2 016)＝f(0)＝0，f(2 017)＝f(1)＝1，∴f(2 016)＋f(2 017)＝0＋1＝1.
7．[2023·全国乙卷(理)]已知f(x)＝是偶函数，则a＝( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
答案：D
解析：方法一 f(x)的定义域为{x|x≠0}，因为f(x)是偶函数，所以f(x)＝f(－x)，即＝，
即e(1－a)x－ex＝－e(a－1)x＋e－x，即e(1－a)x＋e(a－1)x＝ex＋e－x，所以a－1＝±1，解得a＝0(舍去)或
a＝2，故选D.
方法二 f(x)＝＝，f(x)是偶函数，又y＝x是奇函数，所以y＝e(a－1)x－e－x是奇函数，故
a－1＝1，即a＝2，故选D.
8．(多选)[2023·新课标Ⅰ卷]已知函数f(x)的定义域为R，f(xy)＝y2f(x)＋x2f(y)，则( )
A．f(0)＝0
B．f(1)＝0
C．f(x)是偶函数
D．x＝0为f(x)的极小值点
答案：ABC
解析：取x＝y＝0，则f(0)＝0，故A正确；取x＝y＝1，则f(1)＝f(1)＋f(1)，所以f(1)
＝0，故B正确；取x＝y＝－1，则f(1)＝f(－1)＋f(－1)，所以f(－1)＝0，取y＝－1，则
f(－x)＝f(x)＋x2f(－1)，所以f(－x)＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，故C正确；由于f(0)＝
0，且函数f(x)为偶函数，所以函数f(x)的图象关于y轴对称，所以x＝0可能为函数f(x)的极
小值点，也可能为函数f(x)的极大值点，也可能不是函数f(x)的极值点，故D不正确．综上，
选ABC.
9．已知f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，若f(1)<1，f(5)＝，则实数a的取值
范围为( )
A．(－1，4) B．(－2，0)
C．(－1，0) D．(－1，2)
答案：A
解析：∵f(x)是周期为3的偶函数，
∴f(5)＝f(5－6)＝f(－1)＝f(1)＝，
又f(1)<1，∴<1，得－1<a<4.
二、填空题
10．[2021·新高考Ⅰ卷]已知函数f(x)＝x3(a·2x－2－x)是偶函数，则a＝________．
答案：1
解析：因为f＝x3，
故f＝－x3，
因为f为偶函数，故f＝f，
即x3＝－x3，整理得到＝0，故a＝1.
11．[2023·全国甲卷(理)]若f(x)＝(x－1)2＋ax＋sin (x＋)为偶函数，则a＝________．
答案：2
解析：方法一 因为f(x)为偶函数，
所以f(－x)＝f(x)，即(－x－1)2－ax＋sin ＝(x－1)2＋ax＋sin ，
得a＝2.
方法二 因为f(x)为偶函数，所以f＝f，即－a＝＋a，得a＝2.
12．若f＝ln ＋b是奇函数，则a＝________，b＝________．
答案：－ ln 2
解析：本题先采用特殊值法求出f(x)，再检验正确性．
因为f(x)为奇函数，所以
即
由①可得－b＝ln |a＋1| ③.将③代入②可得，＝|a＋1|2.当(a－1)(a＋)＝(a＋1)2时，解
得a＝－.把a＝－代入①，可得b＝ln 2，此时f(x)＝ln ＋ln 2＝ln ，所以f(－x)＋f(x)＝ln
＋ln ＝ln 1＝0，所以f(x)为奇函数，且f(0)，f(2)，f(－2)均有意义．当(a－1)(a＋)＝－(a＋1)2时，整理可得a2＋a＋＝0，此时Δ＝－4×<0，所以a无解．综上可得，a＝－，b＝ln 2.
[能力提升]
13．[2023·新课标Ⅱ卷]若f(x)＝(x＋a)ln 为偶函数，则a＝( )
A．－1 B．0
C． D．1
答案：B
解析：方法一 设g(x)＝ln ，易知g(x)的定义域为∪，且g(－x)＝ln ＝ln ＝－ln ＝－
g(x)，所以g(x)为奇函数．若f(x)＝(x＋a)ln 为偶函数，则y＝x＋a也应为奇函数，所以a＝
0，故选B.
方法二 因为f(x)＝(x＋a)ln 为偶函数，f(－1)＝(a－1)ln 3，f(1)＝(a＋1)ln ＝－(a＋
1)ln 3，所以(a－1)ln 3＝－(a＋1)ln 3，解得a＝0，故选B.
14．已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，且f(x)＋g(2－x)＝5，g(x)－f(x－4)＝7.若y＝
g(x)的图象关于直线x＝2对称，g(2)＝4，则f(k)＝( )
A．－21 B．－22
C．－23 D．－24
答案：D
解析：若y＝g(x)的图象关于直线x＝2对称，则g(2－x)＝g(2＋x).因为f(x)＋g(2－x)＝
5，所以f(－x)＋g(2＋x)＝5，所以f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数．由g(2)＝4，f(0)＋g(2)
＝5，得f(0)＝1.由g(x)－f(x－4)＝7，得g(2－x)＝f(－x－2)＋7，代入f(x)＋g(2－x)＝5，得
f(x)＋f(－x－2)＝－2，所以f(x)的图象关于点(－1，－1)中心对称，所以f(1)＝f(－1)＝－1.
由f(x)＋f(－x－2)＝－2，f(－x)＝f(x)，得f(x)＋f(x＋2)＝－2，所以f(x＋2)＋f(x＋4)＝－
2，所以f(x＋4)＝f(x)，所以f(x)为周期函数，且周期为4.由f(0)＋f(2)＝－2，得f(2)＝－3.
又因为f(3)＝f(－1)＝f(1)＝－1，所以f(4)＝－2－f(2)＝1，所以f(k)＝6f(1)＋6f(2)＋5f(3)＋
5f(4)＝6×(－1)＋6×(－3)＋5×(－1)＋5×1＝－24.故选D.
15．[2024·惠州一中测试]已知函数y＝f(x)的定义域为R，且满足下列三个条件：
①对任意的x，x∈[4，8]，当x<x 时，都有>0恒成立；
1 2 1 2
②f(x＋4)＝－f(x)；
③y＝f(x＋4)是偶函数．
若a＝f(6)，b＝f(11)，c＝f(2 017)，则a，b，c的大小关系正确的是( )
A．a<b<c B．b<a<c
C．a<c<b D．c<b<a
答案：B
解析：由①知函数f(x)在区间[4，8]上为单调递增函数；由②知f(x＋8)＝－f(x＋4)＝
f(x)，即函数f(x)的周期为8，所以c＝f(2 017)＝f(252×8＋1)＝f(1)，b＝f(11)＝f(3)；由③可
知函数f(x)的图象关于直线x＝4对称，所以b＝f(3)＝f(5)，c＝f(1)＝f(7).因为函数f(x)在区
间[4，8]上为单调递增函数，所以f(5)<f(6)<f(7)，即b<a<c，故选B.
16．(多选)[2022·新高考Ⅰ卷]已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R，记g(x)＝f′
(x).若f，g(2＋x)均为偶函数，则( )
A．f(0)＝0 B．g＝0
C．f(－1)＝f(4) D．g(－1)＝g(2)
答案：BC
解析：因为f(－2x)，g(2＋x)均为偶函数，所以f(－2x)＝f(＋2x)，g(2＋x)＝g(2－x).令t
＝－2x，则x＝－，所以f(t)＝f(3－t)，即f(x)＝f(3－x).对两边求导，得f′(x)＝－f′(3－x)，即
g(x)＋g(3－x)＝0，所以g(x)的图象关于点(，0)对称，即g()＝0.又因为g(2＋x)＝g(2－x)，
所以g(x)的图象关于直线x＝2对称，所以g(x)的周期为4×(2－)＝2，所以g()＝g(－)＝0，
所以B正确．因为f′(2＋x)＝f′(2－x)，所以f(2＋x)＝－f(2－x)＋C，其中C为常数，所以f(2
＋x)＋f(2－x)＝C，所以f(x)的图象关于点(2，)对称．又因为f(x)＝f(3－x)，所以f(x)的图象
关于直线x＝对称，所以f(x)的周期为4×(2－)＝2，所以f(－1)＝f(1)，f(4)＝f(2).又因为f(x)
＝f(3－x)，所以f(1)＝f(2)，所以f(－1)＝f(4)，所以C正确．g(x)的图象不关于直线x＝对称，
所以D错误．因为f(0)＝f(2)＝，所以当C＝0时，f(0)＝0，当C≠0时，f(0)≠0，所以A错
误．故选BC.
