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第7讲 周期问题
典型问题
◇ ◇ 兴趣篇 ◇ ◇
1. 如图，由一系列黑、白三角形按一定的规律排成一行。请问：第26个图形应该是什么
样子？
答案：
【分析】观察知“黑色，白色，白色”为一个周期，那么26÷3=8……2，说明第26个图形
是这个周期中的第2个，即白色。
2. 在学校运动会的开幕式上，46名同学组成仪仗队站成一排。如图所示，每人手里都举着
一面彩旗，从左到右颜色依次是红、黄、蓝、绿四种颜色依次循环。最右侧的同学手里
的彩旗是多少颜色的？
答案：黄色
【分析】观察知“红，黄，蓝，绿”四种颜色为一个周期，那么46÷4=11……2，则知第46
名同学手里拿的彩旗同周期里的第2个相同，为黄色。
3. 如图所示，将自然数从1开始顺次写在 、 、 、 、 这五个字母下面。问：208
会出现在哪个字母下面？答案：
【分析】观察知：5个数为一个周期，且分别对应的是“A、B、C、D、E”，那么，
208÷5=41……3，可知208对应的是周期里的第3个字母C。
4. 在一根绳子上依次穿2个红珠、3个白珠、5个黑珠，并按此方式重复。如果从头开始一
共穿了77颗珠子，那么这77颗珠子中白珠比黑珠少多少颗？
答案：13颗
【分析】由题意知：10个一个周期，周期一揽子排列为“红珠，红珠，白珠，白珠，白珠，
黑珠、黑珠、黑珠、黑珠、黑珠”，那么77÷10=7……7，则知这77颗珠子里有7
个周期，且余2个红珠，3个白珠，2个黑珠。而在每个周期中，黑珠子比白珠子
多2个，7个周期里共多2×7=14（个），余下的珠子中白珠子比黑珠子多1个，
则黑珠子比白珠子共多14-1=13（个）。
5. 如图，四只小动物不断交换座位。一开始，小鼠坐第1号椅子，小猴坐第2号椅子，小
兔坐第3号椅子，小猫坐第4号椅子。第一次前后两排交换，第二次在第一次交换的基
础上左右两列交换，第三次又是前后两排交换，第四次再左右两列交换……这样一直换
下去。第十次交换座位后，四只小动物分别坐在第几号椅子上？
答案：猫坐1，兔坐2，猴坐3，鼠坐4
【分析】我们把开始的座次图当作第1幅图，第一次操作后的图当作第2幅图，……第十
次操作的的图就是第 11 幅图，在这 11 幅图中，4 幅图为一个周期，则
11÷4=2……3，则知第11幅图（即第十次操作后的图）同第二次操作后的图。
6. 将一些自然数排成一列，其中任意相邻的五个数之和都等于15。已知第一个数等于1，
第二个数等于2，第三个数等于3，第四个数等于4。问：
（1）请写出这个数列的前十项：
（2）第一百个数等于多少？
答案：（1）前十项：1，2，3，4，5，1，2，3，4，5；（2）5
【分析】由题意知，这些自然数列如下排列：
1，2，3，4，5，1，2，3，4，5，……
可见是5个数1个周期，周期里的数是（1，2，3，4，5），那么：100÷5=20，则
第一百个数就是周期里的第5个数5。
7. 100为同学从左到右排成一行，然后按如下规律从左到右报数：先让第一位同学报1.，
然后从第二位同学开始，每位同学把前一位同学所报的数乘以7，再报出乘积的个位来。
请问：第100个同学报的是几？
答案：3
【分析】根据题意可知报出的数如下：1，7，9，3，1，7，9，3，……
可见这些数是有规律的，且4个数为一个周期，周期里的数是1，7，9，3。
那么，100÷4=25，则知第100个同学报的是周期里的最后一个数3。
8.（1）如图所示，甲、乙两只蚂蚁，分别沿正方形 和 按照顺时针的方向爬行。
甲2分钟能爬完正方形的一条边，乙1分钟能爬完正方形的一条边，现在两只蚂蚁
在 点同时出发，那么50分钟后甲、乙分别在什么位置？
（2）如图所示，如果蚂蚁甲从 点出发，沿着
的路线爬行，1分钟能爬完正方形的一
条边；蚂蚁乙从 点出发，沿着 的路线
爬行，2分钟能爬完正方形的一条边。它们同时出发，90分钟后甲、乙分别在什么
位置？
答案：（1）蚂蚁甲爬到 点，蚂蚁乙爬到 点；
（2）蚂蚁甲爬到 点，蚂蚁乙爬到 点；
【分析】（1）甲的爬行路线是：B→C→D→A→B→C→D→…，可见周期是
（B→C→D→A），4个为1个周期，每个周期用时：2×4=8（分钟），由
50÷8=6（个）……2（分钟），知50分钟后甲在B位置。
乙 的 爬 行 路 线 是 E→ F→ G→ A→ E→ F→ G→ A→ … ， 可 见 周 期 是
（E→F→G→A），4 个为 1 周期，每个周期用时：1×4=4（分钟），由
50÷4=12（个）……2（分钟），知50分钟后乙在F位置。
（2）由题意知，甲的爬行路线周期是（D→A→E→F→G→A→B→C），8个为1
个周期，每个周期用时1×8=8（分钟），由90÷8=11（个）……2（分钟），
知 90 分 钟 后 甲 在 A 位 置 。 由 题 意 知 ， 乙 的 爬 行 路 线 周 期 是
（G→A→B→C→D→A→E→F）也是8个为1周期，每个周期用时2×8=16
（分钟），由90÷16=5（个）……10（分钟）。知90分钟后乙在D位置。
9. 一个蜗牛从深30米的井底向上爬。第一天向上爬了6米；第二天休息，于是向下滑了4
米；第三天再向上爬6米；第四天又向下滑4米……按这样的规律进行下去，蜗牛第几
天才能爬到井口？
答案：第25天
【分析】由于最后一天不下滑了，所以最后一天单独思考，根据题意：还知两天共爬行 6-
4=2，所以有：（30-6）÷2=12（次），天数共：12×2+1=25（天）。
10.（1）今天是星期六，再过60天是星期几？
（2）2008年6月1日是星期日，2008年8月1日是星期几？（3）2008年2月8日是星期五，2009年2月8日是星期几？
答案：（1）星期三；（2）星期五；（3）星期日
【分析】（1）包括今天共有60+1=61（天），且周期为7天，即（星期六，星期日，星期
一，星期二，星期三，星期四，星期五），则61÷7=8（个）……5（天），
所以再过60天是星期三。
（2）从6月1日到8月1日共有：30+31+1=62（天），周期为7天，即：星期日，
星期一，星期二，星期三，星期四、星期五、星期六。则：62÷7=8
（个）……6（天），所以2008年8月1日是星期五。
（3）因为 2008 年是闰年，所以从 2008 年 2 月 8 日到 2009 年 2 月 8 日共有
366+1=367（天）周期是：星期五，星期六，星期日，星期一，星期二，星期
三，星期四。则367÷7=52（个）……3（天），所以答案是星期日。
◇ ◇ 拓展篇 ◇ ◇
1. 图中是一行按规律排列的图形。请问：第88个图形应该是什么？
答案：
【分析】通过观察，发现5个图案为一个周期，周期中的图案次序是（ ），
则88÷5=17（个）……3（个），所以答案是周期中的第3个图案 。
2. 观察图中黑、白两色三角形的变化规律。请问：前200个图形中有多少个白色三角形？
答案：133个
【分析】通过观察，发现（ ）为一个周期，则 200÷3=66（个）……2
（个），说明共有66个周期，还余下一个黑色三角形一个白色三角形，白色三角
形共有：66×2+1=133（个）。
3. 如图所示，表格中每行的文字都是循环出现的：第一行是“黎曼假设”4个汉字不断重
复，第二行是“庞加莱猜想”5个汉字不断重复，第三行则是“哥德巴赫猜想”6个汉
字不断重复。第200列从上向下依次是哪3个汉字？答案：设、想、德
【分析】第200列从一到下的3个汉字，即是每行中第200个汉字的组成，由200÷4=50
（个），知第一行第200个汉字是“设”。由200÷5=40（个），知第二行第200
个汉字是“想”，由200÷6=33（个）……2（个），知第三行第200个汉字是
“德”。则第200列从上到下依次是“设、想、德”。
4. 阿奇和其他5个小朋友围成一圈，圆圈中央摆放着55个乒乓球，从阿奇开始，小朋友们
沿逆时针方向依次拿球，每人每次拿3个，直到把乒乓球全部拿完为止（最后剩下的球
不足3个就全拿）。阿奇总共拿到了几个球？
答案：10个
【分析】想知道阿奇共拿到了几个球，就必须知道阿奇取了几次，由题意知：
55÷3=18（次）……1（个），（18+1）÷6=3（周）……1（次），所以阿奇共取
了4次，而其中有1次只取了1个，则阿奇共取了：3×3+1=10（个）。
5. 如图，电子跳蚤每跳一步，可从一个圆圈跳到相邻的圆圈。现在，一只红跳蚤从标有数
“1”的圆圈按顺时针方向跳了100步，落在一个圆圈里。一只黑跳蚤也从标有数“1”
的圆圈起跳，但它是沿着逆时针方向跳了200 步，落在另一个圆圈里。这两个圆圈
里的数的乘积是多少？
答案：12
【分析】只有知道落在的圆圈里的数，才能算乘积。由题意知：红跳蚤的周期是（2，3，
4，5，6，7，1），由100÷7=14（周）……2（个），知跳100步跳入数3的圈里。
黑跳蚤的周期是（7，6，5，4，3，2，1），由200÷7=28（周）……4（个），知
黑跳蚤跳200步跳入数4的圈里，所以可知这两个圆圈里的数的乘积是3×4=12。
6. （1）工厂的仓库里有80吨货物，这些货物都由同一辆卡车负责运输。第一天卡车往仓
库里运进50吨，第二天运出了60吨，第三天又运进50吨，第四天再运出60吨
————如此不停地运下去。第几天的时候，仓库里的货物恰好被运完？（2）工厂的仓库里有80吨货物，同样是由一辆卡车负责货物的运输。第一天，卡车从
仓库里运出60吨，第二天再运进50吨，第三天又运出60吨，第四天再运进50
吨……如此不停地运下去。第几天的时候，仓库里的货物恰好被运完？
答案：（1）第16天；（2）第5天
【分析】（1）由题意知：两天只能从 80吨货物里运出60-50=10（吨），所以80÷10=8
（次），仓库里的货物全部运完则需8×2=16（天）。
（2）由题意知：两天只能从80吨货物里运出60-50=10（吨），但是求第几天时，
仓库里的货物恰好被运完，则就要先减去 60吨，因为只有这一次与众不同。
即：（80-60）÷10=2（次），天数是2×2+1=5（天）。
7. 如图所示，16幅图按规律排成一排。其中前三幅已经画出，请按规律画出第16幅图的
样子。
答案：
【分析】从前三幅图可知，每个对应位置上的小笑脸都是在按顺时针方向转动，且 4组为
一个周期，由16÷4=4（周），知第16幅对应的是第四幅图，即 。
8. 甲、乙、丙、丁兄弟四人各收藏了一些宝石。每天早上他们都要聚在一起，重新分配宝
石。分配的规则就是：拥有宝石最多的人分给其他三人每人1颗。如果第1天早上分配
完之后，甲、乙、丙、丁四人分别有10、7、5、4颗宝石，那么第100天早上分完宝石
后，四个人手中分别有几颗宝石？
答案：甲、乙、丙、丁分别有5、6、8、7颗宝石
【分析】按题意进行操作，如下：
甲 乙 丙 丁
10 7 5 4
7 8 6 5
8 5 7 6
5 6 8 7
6 7 5 8
7 8 6 5
… … … …
可是，除第一天外，后面的每四天重复一次，所以第100天的算法如下：100-
1=99（天），99÷4=24（次）……3（天），即第100天的分法和第4天的分法一
样，甲、乙、丙、丁四人手中分别有宝石5颗、6颗、8颗、7颗。
9. 500名士兵排成一排，第一次从左到右1至3循环报数，第二次从左至右1至4循环报数。请问：既报过1又报过4的士兵有多少名？
答案：42名
【分析】由题意知：两种报数状况如下：
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 …
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 …
可见即报过1又报过4的士兵是有规律出现的，由（500-3）÷12=41（组）……5
（个），知即报1又报4的士兵有：41+1=42（名）。
10. 如图，伸出左手，然后从大拇指起开始数数。当数到200的时候，正好数到哪根手指？
答案：食指
【分析】由图知数数情况如下：
大拇指、食指、中指、无名指、小指、无名指、中指、食指、大拇指、食指、
……，可见每数8个数就重复对应一次手指的排序，则由200÷8=25（次）知当数
到200时正好数到食指。
11. 今天是2008年3月16日星期日，阿奇研究日历时，发现再过1天时2008年3月17日
星期一，再过2天则是2008年3月18日星期二……请问：
（1）再过多少天才是2008年儿童节呢？
（2）2008年的儿童节是星期几？
答案：（1）77天；（2）星期日
【分析】（1）从2008年3月16日到2008年6月1日（包括6月1日）共有天数是：
15+30+31+1=77（天）。
（2）从 2008 年 3 月 16 日到 2008 年 6 月 1 日（包括这两天）共有天数是：
16+30+31+1=78（天），且这78天中的前7天对应的星期是：（星期日、星
期一、星期二、星期三、星期四、星期五、星期六）。由 78÷7=11
（次）……1（天）知这年的儿童节是星期日。
12. 哥哥比妹妹大5岁，而且两人生日相同。如果哥哥在1982年6月17日星期四出生的，
那么妹妹是在星期几出生的？妹妹出生后第一次在星期二过生日的时候是哪一年？
答案：星期三；1997年
【分析】由题意知，妹妹是1987年6月17日出生的，从1982年6月17日到1987年6月
17日共有天数：4×365+366+1=1827（天），由1827÷7=261（次）知妹妹是在星期三出生的，又由365÷7=52（次）……1（天）知平年除以7科1，闰年除以7余
2。则应该是当余数为6时是星期二，即是1997年是星期二过生日。
◇ ◇ 超越篇 ◇ ◇
1. 观察图中图形的规律，第200个图形应该是下面 、 、 、 四个图形中的哪一个？
答案：A
【分析】由颜色的规律知，周期数为 3，由图的形状知：周期数为 5，则由 200÷3=66
（组）……2（个）知第200个图形的颜色是黑色。又由200÷5=40（组）知第200
个图形的形状是☆。所以综合这两种情况知答案是A。
2. 如图所示，7个小朋友围成一圈，沿顺时针方向依次编号为 。然后，按如下方法给
他们发糖：先给1号小朋友1块糖；然后沿顺时针方向隔过一个人后，给3号小朋友1
块糖；再沿顺时针方向隔过两个人后，给6号小朋友1块糖；接着又沿顺时针方向隔过
一个人后，给1号小朋友1块糖……如此反复地间隔一个人、两个人，直到1997块糖全
部分完。那么最先发到糖的那位小朋友一共得到了多少块糖？
答案：286块
【分析】通过操作，发现周期中的数是（1，3，6，1，4，6，2，4，7，2，5，7，3，
5），由 1997÷14=142（次）……9（块），知 1号小朋友拿到：142×2+2=286
（块）。3. 如图所示，用红、黄、蓝3种颜色的彩笔，按规律给表格染色。第20行和第30列交叉
处的方格所染的颜色是什么？
答案：红色
【分析】由表格分析知，第20行的第1个数是：20÷3=6（次）……2（个）即黄色。第20
行和第30列交叉处的颜色就是第20行中的第30个颜色，由30÷3=10（次）知交
叉处的颜色是红色。
4. （1）某月有31天，有4个星期二和4个星期五，那么这个月的20日是星期几？
（2）某月的星期二比星期一多，那么这个月的25日是星期几？
答案：（1）星期四；（2）星期五
【分析】（1）由题意知：该月的日期表如下：
星期四 星期五 星期六 星期日 星期一 星期二 星期三
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10 11 12
13 14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25 26
27 28 29 30 31
所以这个月的20日是星期四。
（2）由题意知，该月的1号从星期二开始，就能满足题意。那么这个月的25日是
星期五。
5. 500名士兵排成一排，第一次从左到右 循环报数，第二次从右到左 循环报数。
请问：既报1又报5的士兵有多少名？
答案：25名
【分析】通过题意知，队伍后面的报数情况如下：
… 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5
… 1 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1
可见既报1又报5的士兵是每20位生生同次，则500名士兵中共有：500÷20=25
（次），即有25名士兵既报1又报5。
6. 有六十多人站成一行，从左到右由1开始按1、2、3、4依次循环报数，然后从右到左由
1开始按1、2、3依次循环报数，最后发现刚好有12个人既报了1又报了2。请问：这
一行最少有多少人？最多有多少人？
答案：最少62人；最多69人
【分析】我们操作发现报数情况如下：… 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 …
… 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 …
即周期数是12，且每个周期中有2个人既报1又报2。12个人既报1又报2，则最
少的就应该有（12-2）÷2=5（个）周期，人数是：5×12+2=62（人）。最多的有
12÷2=6（个）周期，人数是8+6×12-11=69（人）。
7. 实验室里有两只不同的怪钟，每只钟只有一个指针，而且都是每分钟跳一次。第一只钟
一圈又12个格，格线上依次标有 ，指针一次跳过2个格（例如从4跳到6）。第
二只钟一圈有7个格，格线上依次标着0至6，指针一次跳过3个格。开始时两个指针
都指向0，如果把这看作两个指针第1次指向同一个标数，那么当两个指针第30次指向
同一个标数时，它们的指针指着哪个数字？
答案：6
【分析】通过操作发现，每42分钟是一个周期，且每个周期中出现4次指同一个标数。则
30÷4=7（个）……2（次），所以当两个指针第30次指向同一个标数时，它们的
指针指着6。
8. 如图，在 、 两地之间有7个车站，一辆列车不断地往返于 、 两地之间。它从
出发，每天行驶到下一站，到达 地后的下一天又回到7号站，如此反复。已知列车第
4次驶入4号站时是星期六，那么它第20次驶入5号站时是星期几？
答案：星期日
【分析】由题意知：从开始到第4次驶入4号站共有天数：16×2-3=29（天），又由第4次
驶入4号站时是星期六知开始在A地时是星期六。从开始到第20次驶入5号站共
有天数：（20÷2）×16）-4=156（天）。由156÷7=22（个）……2（天）知第20
次驶入5号站时是星期日。
