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2025 年河北省初中学业水平考试
数学
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．）
1. 从 上升了 后的温度，在温度计上显示正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
本题考查了有理数的加法的应用，根据题意计算得出 ，找到显示为 的即可求解．
解：
故选：B．
2. 榫卯结构是两个构件采取凹凸结合的连接方式．如图是某个构件的截面图，其中 ，
，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质可得 ，结合题意，即可求解．
解：∵ ，∴ ，
，
∵
∴ ，
故选：C．
3. 计算： （ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
【答案】B
【解析】
本题考查了二次根式的混合运算，利用平方差公式直接计算，即可求解．
解：
故选：B．
4. “这么近，那么美，周末到河北”．嘉嘉周末到弘济桥游览，发现青石桥面上有三叶虫化石，他想了解
其长度，在化石旁放了一支笔拍下照片（如图）．回家后量出照片上笔和化石的长度分别为 和 ，
笔的实际长度为 ，则该化石的实际长度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
本题考查了相似图形的性质，设该化石的实际长度为 ，根据题意得出 ，即可求解．
设该化石的实际长度为 ，依题意，
，解得：
故选：C．
5. 一个几何体由圆柱和正方体组成，其主视图、俯视图如图所示，则其左主视图视图为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
根据画三视图的方法，发挥空间想象能力，结合主视图和俯视图，从左侧看下方是一个长方形，上面中间
是一个小正方形，据此即可求解．
解：从左侧看下方是一个长方形，上面中间是一个小正方形，
故选：A．
6. 若一元二次方程 的两根之和与两根之积分别为 ， ，则点 在平面直角坐标系中
位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】C
【解析】
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，点的坐标；将方程化为标准形式后，利用根与系数的关系求出
两根之和与积，再根据点的坐标判断所在象限．
解：原方程 展开并整理为标准形式：
其中 ， ， ．
∴ ， ．
∴点 即 的横、纵坐标均为负数，故位于平面直角坐标系的第三象限．
故选：C．7. 抛掷一个质地均匀的正方体木块（6个面上分别标有 ， ， 中的一个数字），若向上一面出现数字1
的概率为 ，出现数字2的概率为 ，则该木块不可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
本题考查了根据概率求数量，根据题意得出数字 有 个，数字 有2个，则数字 只有 个，结合选项，
即可求解．
解：正方体共6个面，向上一面出现数字1的概率为 ，出现数字2的概率为 ，
∴数字 有 个，数字 有2个，则数字 只有 个
选项A中数字 有2个，符合题意
故选：A．
8. 若 ，则 （ ）
A. B. C. 3 D. 6
【答案】B
【解析】
本题考查了分式的化简求值，将分式化简后代入求值，即可求解．
解：
当 时，原式
故选：B．9. 如图，在五边形 中， ，延长 ， ，分别交直线 于点 ， ．若添加下
列一个条件后，仍无法判定 ，则这个条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
本题主要考查了相似三角形的判定，平行线的性质与判定，当 时，可证明 ，
由平行线的性质得到 ， ，则可证明 ，据此可判断
A、B；由平行线的性质可得 ，则 ，同理可判断C；D中条件结合已给条
件不能证明 ．
解：A、 ，
∵
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，故A不符合题意；
B、∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，故B不符合题意；
C、∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，故C不符合题意；
D、根据 结合已知条件不能证明 ，故D符合题意；
故选：D．
10. 在反比例函数 中，若 ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
本题考查了反比例数的性质，根据反比例函数性质，将不等式转化为关于 的范围求解．
解： ， ，当 时， 随 的增大而减小，
∵当 时， ，
当 时，
∴当 时， ，
故选：B．
11. 如图，将矩形 沿对角线 折叠，点 落在 处， 交 于点 ．将 沿 折叠，
点 落在 内的 处，下列结论一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
本题考查了矩形的折叠问题，三角形内角和定理以及三角形的外角的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的
关键；结果矩形的性质的可得 ， ，则 ，进而根据折叠的性质得出
， ，即可求解．
解：∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴
∵折叠
∴
∴∵ ，即
∴ ，故A不正确
∵
，故B不正确
∴
∵折叠，
∴
，故C不正确，D选项正确
∵
故选：D．
12. 在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．如图，正方形 与正方形 的
顶点均为整点．若只将正方形 平移，使其内部（不含边界）有且只有 ， ， 三个整点，则平
移后点 的对应点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
本题考查了坐标与图象，一次函数的平移，待定系数法求得直线 的解析式为 ，根据选项判
断平移方式，结合题意，即可求解．
解：设直线 的解析式为 ，代入∴
∴
∴直线 的解析式为
∵ ，
A. 当 为 时，平移方式为向右平移 个单位，向上平移 个单位，
∴直线 平移后的解析式为 ，此时经过原点，对应的 经过整点 ，
符合题意，
B. 当 为 时，平移方式为向右平移 个单位，向上平移 个单位，
∴直线 平移后的解析式为 ，此时原点在 下方，对应的 在整
点 上方，不符合题意，
C. 当 为 时，平移方式为向右平移 个单位，，
∴直线 平移后的解析式为 ，此时点 在正方形内部，不符合题意，
D. 当 为 时，平移方式为向右平移 个单位，向上平移 个单位，
∴直线 平移后的解析式为 ，此时点 和 在正方形内部，不符合题意，
故选：A．
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）13. 计算： ______．
【答案】
【解析】
本题考查了合并同类项，掌握合并同类项法则是解题的关键．
直接根据合并同类项法则计算即可．
【
详解】解： ，
故答案为： ．
14. 平行四边形的一组邻边长分别为 ， ，一条对角线长为 ．若 为整数，则 的值可以为______．
（写出一个即可）
【答案】 （答案不唯一）
【解析】
本题考查了平行四边形的性质，三角形三边关系，不等式组的整数解，根据题意得出 ，进而写出
一个整数解即可求解．
解：依题意，
∴ ，
为整数，
∵
可以是 ， ， ， ，
∴
故答案为： （答案不唯一）．
15. 甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为 ， ．如图，将甲纸条的 与乙纸条的 叠合在一起，形
成长为81的纸条，则 ______．
【答案】99【解析】
本题主要考查了已知式子的值求代数式的值，一元一次方程的应用，由题意可知：重叠部分为：
，设叠部分的长度为k，则 ， ，根据重叠后的总长度为81为等量关系列出关于k
的一元一次方程，求解即可得出答案．
解：由题意可知：重叠部分为： ，
设重叠部分的长度为k，则 ， ，
重叠后的总长度为： ，即 ，
代入 ， 得： ，
解得： ，
， ，
∴
，
∴故答案为：99．
16. 2025年3月是第10个全国近视防控宣传教育月，活动主题为“抓早抓小抓关键，更快降低近视率”，
图是一幅眼肌运动训练图，其中数字 对应的点均匀分布在一个圆上，数字0对应圆心．图中以数字
对应的点为端点的所有线段中，有一条线段的长与其他的都不相等．若该圆的半径为1，则这条线
段的长为______．（参考数据： ， ）【答案】
【解析】
如图所示，设数字0记为圆心O，数字6记为A，数字7记为B，过点O作 于点D，首先得到线
段 的长与其他的都不相等，然后求出 ，解直角三角形求出 ，然后利用三
线合一求解即可．
如图所示，设数字0记为圆心O，数字6记为A，数字7记为B，过点O作 于点D
由图可得，线段 的长与其他的都不相等，其中数字 对应的点均匀分布在一个圆上，
∵
∴
相邻两个数字与圆心 组成的圆心角为
∴
∴
∴
∵
∴
，即
∴
∴
，
∵
．
∴
这条线段的长为 ．
∴
故答案为： ．
三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）．
17. （1）解不等式 ，并在如图所给的数轴上表示其解集；
（2）解不等式 ，并在如图所给的数轴上表示其解集；
（3）直接写出不等式组 的解集．【答案】（1） ，见解析；（2） ，见解析；（3）
【解析】
本题主要考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，求不等式组的解集，熟知解不等式和解
不等式组的方法是解题的关键．
（1）把不等式两边同时除以2求出不等式的解集，再在数轴上表示不等式的解集即可；
（2）按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不等式的解集，再在数轴上表示不等式的解集即可；
（3）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无
解）”求出不等式组的解集即可．
解：（1）
不等式两边同时除以2得 ，
数轴表示如下所示：
（2）
移项得： ，
合并同类项得： ，
系数化为1得： ，
数轴表示如下所示：
（3）
解不等式 得： ，
①
解不等式 得： ，
②
∴原不等式组的解集为 ．18. （1）一道习题及其错误的解答过程如下：请指出在第几步开始出现错误，并选择你喜欢的方法写出正
确的解答过程．
计算： ．
解：
第一步
第二步
．第三步
（2）计算：
【答案】（1）原计算第一步开始出错； ；（2）
【解析】
本题考查了有理数混合运算，实数的混合运算，掌握运算法则是解题的关键；
（1）第一步计算分配律时符号出错；
（2）按照实数的混合运算法则进行，先计算括号里面的，再从左到右依次计算乘除．
解：（1）原计算第一步开始出错；
；
（2）19. 如图．四边形 的对角线 ， 相交于点 ， ， ，点 在
上， ．
（1）求证： ；
（2）若 ，求证： ．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质；
（1）先证明 ，结合 ， ，即可得到结论；
（2）先证明 ，结合 即可得到结论.
【小问1详解】
证明：∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ；
【小问2详解】
证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 .
20. 某工厂生产 ， ， ， 四种产品．为提升产品的竞争力，该工厂计划对部分种类的产品优化生产
流程，降低成本；对其他种类的产品增加研发投入，提升品质．经研究，该工厂做出了甲、乙两种调整方
案，这两种方案将对四种产品的成本产生不同的影响．下面是该工厂这四种产品的部分信息：a．调整前，各产品年产量的不完整的条形统计图（图1）和扇形统计图（图2）．b．各产品单件成本的核算情况统计
表及说明．说明：对于统计表中的数据，方案甲的平均数与调整前的相同，方案乙的中位数与调整前的相
同．根据以上信息，解答下列问题：
产品
数据 类别
调整前单价成本（元/件）
方案
甲
调整后单价成本
（元/件）
方案
乙
（1）求调整前 产品的年产量；
（2）直接写出 ， 的值；
（3）若调整后这四种产品的年产量均与调整前的相同，请通过计算说明甲、乙两种方案哪种总成本较低．
【答案】（1） 万件
（2） ，
（3）甲种方案总成本较低
【解析】
本题考查了条形统计图与扇形统计图信息关联，求平均数与中位数，从统计图表中获取信息是解题的关键；
（1）先求得总产量，然后求得 的年产量，最后求得 产品的年产量；
（2）根据方案甲的平均数与调整前的相同，方案乙的中位数与调整前的相同，即可求解；
（3）分别计算甲、乙两种方案的成本，比较大小，即可求解．
【小问1详解】万件，
产品的年产量为： 万件，
∴调整前 产品的年产量为： 万件
【小问2详解】
方案甲的平均数与调整前的相同，
∵
∴
解得： ，
∵方案乙的中位数与调整前的相同，调整前，中位数为
调整后为 ，
∴
【小问3详解】
解：方案甲的总成本为： （万元）
方案乙的总成本为： （万元）
∴甲种方案总成本较低
21. 如图1，图2，正方形 的边长为5．扇形 所在圆的圆心 在对角线 上，且不与点 重
合，半径 ，点 ， 分别在边 ， 上， ，扇形 的弧交线段
于点 ，记为 ．（1）如图1，当 时，求 的度数；
（2）如图2，当四边形 为菱形时，求 的长；
（3）当 时，求 的长．
【答案】（1）
（2）
（3） 或
【解析】
（1）根据题意证明出四边形 是正方形，得到 ，然后利用圆周角定理求解即可；
（2）首先证明出 是等边三角形，如图所示，连接 交 于点G，求出
， ，然后得到 是等腰直角三角形，进而求解即
可；
（3）分两种情况，根据弧长公式求解即可．
【小问1详解】
正方形 的边长为5．
∵
∴
当 时
∵
∴∵
∴
四边形 是菱形
∴
∵
四边形 是正方形
∴
∴
；
∴
【小问2详解】
四边形 为菱形
∵
∴
扇形 所在圆的圆心 在对角线 上，
∵
∴
是等边三角形
∴
如图所示，连接 交 于点G
∴
∴∴
∴
∵
是等腰直角三角形
∴
∴
；
∴
【小问3详解】
如图所示，当 是劣弧时，
，半径
∵
；
∴
如图所示，当 是优弧时，
，半径
∵∴
．
∴
综上所述， 的长为 或 ．
22. 一般固体都具有热胀冷缩的性质，固体受热后其长度的增加称为线膨胀．在 （本题涉及的温
度均在此范围内），原长为 的铜棒、铁棒受热后，伸长量 与温度的增加量 之间的关系均为
，其中 为常数，称为该金属的线膨胀系数．已知铜的线膨胀系数 （单位：
）；原长为 的铁棒从 加热到 伸长了 ．
（1）原长为 的铜棒受热后升高 ，求该铜棒的伸长量（用科学记数法表示）．
（2）求铁的线膨胀系数 ；若原长为 的铁棒受热后伸长 ，求该铁棒温度的增加量．
（3）将原长相等的铜棒和铁棒从 开始分别加热，当它们的伸长量相同时，若铁棒的温度比铜棒的高
，求该铁棒温度的增加量．
【答案】（1）
（2） ，
（3）
【解析】
本题考查了科学记数法，一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键；
（1）根据 ，代入数据进行计算即可求解；
（2）根据定义求得铁的线膨胀系数 ，进而设该铁棒温度的增加量为 ，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解；
（3）设该铁棒温度的增加量为 ，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解．
【小问1详解】
解： ，
答：该铜棒的伸长量 ．
【小问2详解】
解： ，
解得： ，
设该铁棒温度的增加量为 ，根据题意得，
，
解得： ，
答：铁的线膨胀系数 ，该铁棒温度的增加 ．
【小问3详解】
解：设该铁棒温度的增加量为 ，根据题意得，
，
解得： ，
答：该铁棒温度的增加量为 ．
23. 综合与实践
［情境］要将矩形铁板切割成相同的两部分，焊接成直角护板（如图 ），需找到合适的切割线．
［模型］已知矩形 （数据如图 所示）．作一条直线 ，使 与 所夹的锐角为 ，且
将矩形 分成周长相等的两部分．
［操作］嘉嘉和淇淇尝试用不同方法解决问题．［探究］根据以上描述，解决下列问题．
［拓展］操作和探究中蕴含着一般性结论，请继续研究下面的问题．
如图4，淇淇的方法如下：
① 在边 上截取 ，连接
；
如图3，嘉嘉的思路如下：
②作线段 的垂直平分线 ，交 于
①连接 ， 交于点 ；
点 ；
②过点 作 ，分别交 ，
③在边 上截取 ，作直线
于点 ，
．
……
（1）图 中，矩形 的周长为______；
（2）在图 的基础上，用尺规作图作出直线 （作出一条即可，保留作图痕迹，不写作法）；
（3）根据淇淇的作图过程，请说明图 中的直线 符合要求．
（4）如图 ，若直线 将矩形 分成周长相等的两部分，分别交边 ， 于点 ， ，过点
作 于点 ，连接 ．
当 时，求 的值；
当 最大时，直接写出 的长．【答案】（1） ； （2）见解析；
（3） ；
（4） ； ．
【解析】
根据矩形的周长公式计算即可；
以点 为圆心 为半径画弧，交 于点 ，延长 交 于点 ，连接 ，由作图可知
是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可证 ，根据矩形的性质可证
，根据全等三角形的性质可证 ， ，从而可证直线 把矩形分成
了周长相等的两部分，所以线段 即为所求；
根据矩形的性质可证四边形 是平行四边形，根据平行四边形的性质可证
，根据平行四边形的性质和矩形的性质可以证明书 ， ，所
以可以证明 ，所以直线 把矩形 分成了周长相等的两部分，
从而可证直线 符合要求；
过点 作 ，连接 交 于点 ，过点 作 于点 ，过点 作 ，
根据矩形的性质可得： ， ， ，根据勾股定理可以求出 ，
利用 可证 ，根据全等三角形的性质可得： ， ，从而可得： ， ，根据等腰直角三角形的性质可得： ， ，根据正切的定义可
以求出 的正切；
连接 交 于点 ， 把矩形 分成了周长相等的两部分，点 为 和 的中点，利
用勾股定理可以求出 ， ，过点 作 ，则 ，根据相似三角
形的性质可以求出 ， ， ，在 中，利用勾股定理可得： ，在
中，利用勾股定理即可求出 的长度．
【小问1详解】
解： 四边形 是矩形，
，
， ，
， ，
矩形 的周长为 ，
故答案为： ；
【小问2详解】
解：如下图所示，
以点 为圆心 为半径画弧，交 于点 ，延长 交 于点 ，线段 即为所求，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
矩形 的对角线交于点 ，
，
四边形 是矩形，
， ，
，
在 和 中， ，
，
，
，
，
直线 把矩形 分成周长相等的两部分；
【小问3详解】
证明： 四边形 是矩形，
， ，，
，
，
是
四边形 平行四边形，
，
，
直线 是 的垂直平分线，
，
，
， ，
，
，
把矩形 分成了周长相等的两部分，
直线 符合要求；
【小问4详解】
解：如下图所示，过点 作 ，连接 交 于点 ，过点 作 于点 ，过点
作 ，
四边形 是矩形，且直线 将矩形 分成周长相等的两部分，
则点 是矩形 的对角线 与 的交点，点 是 的中点，
，
， ， ，
，
是等腰直角三角形，
，
，
四边形 是矩形，
，
，
在 和 中， ，
，
， ，
，
，
，
于点 ，，
是等腰直角三角形，
， ，
；
解：如下图所示，连接 交 于点 ，
把矩形 分成了周长相等的两部分，
点 为 和 的中点，
，
点 在以 为直径的 上，
当 与 相切时， 最大，
， ，
，
，
，
过点 作 ，，
四边形 是矩形，
，
则 ，
，
，
， ，
，
，
是 的切线，
，
．
24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 经过点 ， ，顶点为 ．抛物线经过点 ．两条抛物线在第一象限内的部分分别记为 ， ．
（1）求 ， 的值及点 的坐标．
（2）点 在 上，到 轴的距离为 ．判断 能否经过点 ，若能，求 的值；若不能，请说明理由．
（3）直线 交 于点 ，点 在线段 上，且点 的横坐标是点 横坐标的一
半．
①若点 与点 重合，点 恰好落在 上，求 的值；
的
②若点 为直线 与 唯一公共点，请直接写出 的值．
【答案】（1） ，
（2）不能，理由见解析
（3）① ；②
【解析】
本题考查了二次函数的综合，一元二次方程根与系数的关系，一次函数与二次函数交点问题，熟练掌握以
上知识是解题的关键；
（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据题意得出 ，代入抛物线解析式得出 或 ，而 经过点 和，即可得出结论；
（3）①先求得 ，和 代入解析式，待定系数法求解析式，即可求解；
②根据题意得出直线 的解析式为 ，根据 经过点 ，得出
，联立直线解析式，根据一元二次方程根与系数的关系得
出 ， ，将 代入 ，得出
①，根据点 为直线 与 的唯一公共点，得出
②，联立解得 的值，即可求解．
【小问1详解】
解：∵抛物线 经过点 ， ，顶点为
∴
解得： ，
，
∴
；
∴
【小问2详解】点 在 （第一象限）上，到 轴的距离为 ．则
∵
∴当 时，
解得： 或
∴ 或
∵抛物线 经过点 ，对称轴为直线
∴ 经过点 和
∴ 不能经过点 ,
【小问3详解】
①∵ ，
当 重合时，则
∵ 是 的中点，
∴ ,
∵点 恰好落在 上， 经过点
∴
解得： ；②∵直线 交 于点 ， ，
，
∴
∴直线 的解析式为 ，
∵ 经过点 ，
，
∴
∴ ，
∴
联立
消去 得，
∴ ，则
∵点 的横坐标是点 横坐标的一半．
∴ 即 ，
将 代入 ，
∴ ①
∵点 为直线 与 的唯一公共点，∴ ②
联立①②得： 或 ，
当 时，交点不在 公共点不在第一象限，不符合题意，
∴ ．
