文档内容
第 13 讲 数字谜综合一
内容概述
涉及小数、分数、循环小数酌数字谜问题；需要利用数论知识解决的数字谜问题．
典型问题
兴趣篇
1．有一个四位数，在它的某位数字后加上一个小数点，得到一个小数，再把这个小数和原来的四
位数相加，得数是4003.64求这个四位数．
答案：3964
详解：在一个数的十位后添加小数点，相当于缩小10倍，由这个小数和原来的四位数相加，得数
是4003.64，可知这个小数点至少是在百位以后，若是在百位以后添加小数点，则原数是小数的100
倍4003.64÷（100+1）=39.64，原数是3964，若是在千位以后添加小数点，则原数是小数的 1000
倍4003.64÷（1000+1），但是它除不尽，所以原来的四位数是3964.
2．试将1、2、3、4、5、6、7分别填人下面的方框中，每个数字只用一次：口口口（这是一个三
位数），口口口（这是一个三位数），口（这是一个一位数），使得这三个数中任意两个都互质．
已知其中一个三位数已填好，它是714，求另外两个数．
答案：5和263
详解：714=2×3×7×17，因为两两互质，另外两个数一定不包含714的约数，2.3.6排除，所以这个
一位数只能填5，剩下的三位数之能有2,3,6组成，这个数不能是偶数，所以个位只能是3,263和
623,623=7×89有约数7，排除。两个数分别是5和263
3．用1至9这9个数字各一次组成若干个数，这些数中最多有多少个合数？
答案：6个
详解：首先4,6,8,9都可以作为单独存在的数，而1、2、3、5、7可以组合出两个合数，例如27和
35，剩下一个1必须和前面的一个数字组成一个合数，如81，这样我们就会得到6个合数，也就是
最多。
4．如图13-!，4个小三角形的顶点处有6个圆圈，在这些圆圈中分别填上6个质数（可以重复），
使得它们的和是20，而且每个小三角形3个顶点上的数之和相等，请问：这6个质数的乘积是多少？
答案：900
详解：设每个小三角形3个顶点上的数之和是S，4个小三角形的和S相加时，中间三角形每个顶
点上的数被算了3次，所以4S=2S+20，即S=10，这样每个小三角形顶点上出现的三个质数只能是
2,3,5，从而六个质数是2,2，3，3,5,5，六个数的积就应该是2×2×3×3×5×5=9005．在一个带有余数的除法算式中，商比除数大 2，在被除数、除数、商和余数中，最大数与最小
数之差是1023.请问：此算式中的4个数之和最大可能是多少？
答案：1147
详解：由被除数-余数=1023可得：除数×商=1023=3×11×31，已知商等于除数加2，因此商等于
33，除数等于31，这时余数最大为31-1=30，被除数为1023+30-1053，因此算式中的4个数的和
最大可能是1053+33+31+30=1147
6．在乘法算式“ ”中，不同的汉字表示不同的数字，相同的汉字表示相同
的数字．请问：“迎+春+杯+好”等于多少？
答案：21
详解：好好好=好×111=好×3×37，所以迎杯和春杯中一定会有一个是3的倍数，另一个是37的倍
数,37的倍数只有37和74。设迎杯是37的倍数，如果迎杯是37，那么原式变为37×春7=好好好
所以好等于9，因此春杯=999÷37=27，如果迎杯=74，那么原式变为74×春4=好好好，所以好等
于6，但666÷74=9，不是两位数，所以这种情况下无解，因此4个数的和为3+2+7+9=21
7．将1至9这9个数填入下面算式中的9个方框内（每个数字只能用一次），使等式成立．
口口口×口口=口口×口口=5568
答案：5568
详解：5568=26×3×29,5568要分解成两个不小于10的数的乘积，我们按照较小数由小到大顺序的
列出来：12×464，16×348,24×323,29×192,32×174,48×116,58×96,64×87，观察发现，12×464，
24×323，
29×192，48×116有重复数字，不满足条件，6×348,32×174，58×96,64×87，满足条件，如果两位
数乘两位数58×96,另外一组是32×174，如果两位数乘两位数64×87，就出现了重复数字，填法是
32×174=58×96=5568
8．循环小数 化成最简分数后，分子与分母之和为40，那么A和B分别是多少？
答案：2和1
详解：小数化分数后，AB/99约分后的分子分母之和为40，由于99是已知的，约掉的数一定是3、
9、11、33之一，约分前分子与分母的和是AB+99，约分后变成了40，所以AB+99是40的倍数，
所以只能是AB+99=3×40=120，AB=120-99=21，A和B分别是2和1
9．在算式“ ”中，华、罗、庚、金、杯、数、学、竞、赛九个字，分别代表
数字1、2、3、4、5、6、7、8、9．已知“竞 = 8，赛 = 6”，请把这个算式写出来．
答案：95/247+86/13=7
详解： 是一个真分数，所以 在6和7之间， 只能取13或14.如果金杯=13，原式
变为：数学/华罗庚+86/13＝7，所以：华罗庚＝7－86/13＝5/13，说明“数学”一定是5的倍数，
“华罗庚”一定是13的倍数，现在还剩2，4，5，7，9五个数字可以用，“数学”是5的倍数，
所以“学”＝5，“数学”可以是25、45、75、95，相应的“华罗庚”为65、117、195、247，检验发现只有95/247符合要求，如果“金杯”＝14，同理，找不到合适的答案，排除。所以，式子
是95/247+86/13=7
10．已知“ ”是一个正确的加法算式，其中相同的字母代表相同的数字，不同
的字母代表不同的数字，已知 不是8的倍数．请问：ABGD代表的四位数是什么？
答案：3810
详解：两个三位数之和为四位数，所以四位数的首位一定是 1，即G等于1，有因为个位上是
D+D=D，所以D只能是0，如果A+A进位，那么A+A=10+O，而B+B=9+O，一奇一偶不可能同时
成立，因此A+A不进位，A只能是2,3,4，已知GOOD不是8的倍数，所以BAD不能是4的倍数，
再由D=0可知A不能是偶数，A只能等于3，830+830=1660，ABGD代表的四位数是3810
拓展篇
1．[4.2×5 - (1+2.5 + 9.1 + 0.7)] + 0.04=100.
答案：0.25
详解：左边等于=[4.2×5-(1÷2.5+9.1÷0.7)]÷0.04=[21-(0.4+13)]÷0.04=7.6÷0.04=190
发现左边大于右边，左边应该减小，可以将 4.2变成0.42，2.5变成0.25,9.1变成91,0.7变为
0.07,0.04变为0.4,这些都是将左边变小的方法，显然只能将2.5变成0.25
改动上面算式中一个数的小数点的位置，使其成为一个正确的等式，那么被改动的数变为多少？
2．用0至9这10个数字恰好组成一位数、两位数、三位数、四位数各一个（每个数字只能用一
次），且这四个数两两互质．其中的四位数是2940，另外三个数可能是多少？
答案：1，67，583或1，67，853
详解：2940=2²×3×5×7²，所以一位数只能是1还剩下3、5、6、7、8五个数，要保证两位数与
2940互质，两位数的末位不能是5、6、8（不能被2、5整除），也不能被3、7整除，所以可以组
成的两位数中，只有37、53、67、83四个与2940互质
情况1：两位数为37
剩下5、6、8组成的三位数或是2的倍数，或是5的倍数，与2940不互质
情况2：两位数为53
剩下6、7、8组成的三位数总是3的倍数，与2940不互质
情况3：两位数为67
剩下3、5、8组成的三位数853，583是质数，符合条件
情况4：两位数为83
剩下5、6、7组成的三位数总是3的倍数，与2940不互质
所以四个数字分别为：1、67、853、或1，67，583
3． ．在上面的算式中，每一个汉字代表一个数字，不同的汉字代表不同的
数字．请问：“ ”所代表的两位数是多少？
答案：16
详解：设数＝x,科＝y，学＝z,(10x+x)*(10y+z)=100z+10x+z
即110xy+11xz=101z+10xx(110y+11z-10）=101z
x|101z即x|z
令z=ax,上式化简为110y+11z=101a+10考虑等号两边的个位数位置，则知z=a，那么x=1,
即11y=9a+1,则y=5,z=a=6
即11*56=616
4．在等式“口△×△口×口O×◇△=口△口△口△”中，口、△、O、◇分别代表不同的数字．四
位数 是多少？
答案：3172
详解：口△口△口△=口△×10101=口△×△口×口O×◇△=口△×13×37×21 故 =3172
5．将1、2、3、4、5、6、7、8、9这9个数字分别填人下式的各个方框中，使等式成立：口口×口
口=口口×口口口=3634.
答案：46×79＝23×158＝3643
详解：3643＝2×23×79，验证后46×79＝23×158＝3643满足条件。
6．已知a是一个自然数，A、B是1至9中的数字，最简分数差 ．请问：a是多少？
答案：83
详解:0.3A3BA3BA3B........=0.3+0.1×0.A3BA3BA3B.......设x=0.A3BA3BA3B.......
那么有x=0.A3B+0.001x x=A3B/999 a/222=0.3+A3B/9990
a/222=(2997+A3B)/9990 a=2(2997+A3B)/90
因为a是整数所以2(2997+A3B)一定会被90整除,即：2(2997+A3B)即可被10整除，也可被9整除
首先考虑被10整除2997+A3B尾数必须为0或5，那么B=3或8
其次考虑被9整除被9整除的特点是：各位数和能被9整除 因为2997能被9整除，A3B必须被9
整除
当B=3时，各个位数和等于A+6，因为A<10，所以A=3 得出a=74，不是最简分数，舍去当B=8时，
各个位数和等于A+11 因为A<10，所以A=7 得出 a=83，符合题意所以a是83
7．把质数373按数位拆开（不改变各数之间的顺序），只能得到 3、7、37、73这四个数，它们仍
然都是质数，请找出所有具有这种性质的质数．
答案：2、3、5、7、23、53、73、37、373
详解：一位数是2、3、5、7两位数有：23、37、53、73三位数的质数只有一个：373
8．在下面各题中，请你用给出的四个数，适当进行加、减、乘、除运算，每个数恰好用一次，使
得计算结果等于24.
(1)1，4，5，6； (2)1，5，5，5； (3)3，3，7，7； (4)3，3，8，8.
答案：4÷（1－5÷6）＝24；5×（5－1÷5）＝24；7×（3+3÷7）＝24；8÷（3－8/3）＝24
9．把1至6填人下面的方框中，每个数字恰好使用一次，使得等式成立，请写出所
有的答案． 口．口×口．口=口．口
答案：2.4×1.5＝3.6或4.2×1.5＝6.310．如图13-2所示，三角形纸片盖住的都是质数数字，正方形纸片盖住的都是合数数字，要使得
两个加数的差尽可能小，较大的加数是多少？
答案：74218
详解：26821+74218=101039
11．在下面两个算式中，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数字．
代表的六位数是多少？
答案：968510
详解：44×22=968 22/44=5/10 花相似人不同代表的六位数是968510
12．在图13-3所示的算式中，每个字母代表一个数字，不同的字母代表不同的数字．如果
代表的五位数能被24整除，那么这个五位数是多少？
答案：17208
详解：7604+9604=17208
超越篇
1．两个学生计算同一个乘法算式，两个乘数都是两位数，他们各抄错了一个数字，但计算结果都
是1360.实际上正确结果的个位不是0，那么正确结果应该是多少？
答案：1445
详解：1360=2×2×2×2×5×17 1360=17×80=16×85所以正确应为17×85=1445.
2．用0至9这10个数字组成一些质数（每个数字恰好用一次），这些质数的和最小是多少？
答案：567
详解：2 + 5 + 7 + 61 + 83 + 409 = 567
3．已知 是纯循环小数，将它写成最简分数后，使得分母最小．那么这个分数是
多少？
答案：62/101
详解：A=6138/9999=62/101
4．数学家维纳在博士毕业典礼上说：“我现在年龄的三次方是一个四位数，现在年龄的四次方是
一个六位数，并且这两个数刚好包含数字 0至9各一次，所以所有数字都得朝拜我，我将在数学领
域干出一番大事业．”请问：他是几岁毕业的？
答案：18岁
详解：年龄范围：10×10×10＝1000 （大于10岁） 32×32×32×32＝1048576（小于32岁）枚举。
维纳的年龄是18岁。18×18×18＝583218×18×18×18＝104976
5．一个四位数的每一位数字都是非零的偶数，它又恰好是某个偶数数字组成的数的平方，请问：
这个四位数是多少？答案：4624
详解：68×68=4624。42 44 46 48在4开头的数中 由于40×40=1600 1又是奇数所以 排除 62
64 66 68 里面62.64 由于不能进位至4开头的4位数。就 保留66.68 82 84 86 88 里的84及
以上的数的都进位至7开头的4位数了.所以保留82.在66.68.82中 笔算一下最终只有68 ，四位
数是4624
6．在图134所示算式的每个方框内填人一个数字，要求所填的数字都是质数，并使竖式成立．
答案：775×33＝25575
详解：所填数字都是质数，只能是2，3，5，7，被乘数和乘数中也不能出现2。
2个个位数相乘，积的个位是质数，积个位只能是 5，最后结果个位也是5。 由于73×3，
73×5，73×7积个位和十位不同时为质数，所以被乘数个位只能是5。
假设乘数个位是3，由于375×3=1175，575×3=1725，不都是质数，只有775×3=2523符合，乘数十
位也取3，乘积也是2523，得出一组解：775×33=25575
假设乘数个位是5，由于375×5=1875，575×5=2875，775×5=3875，不都是质数，不符合。 假
设乘数个位是7，由于375×7=2625，575×7=4025，775×7=5425，不都是质数，不符合。 答：
只有775×33=25575这一组答案。
7．a、b、c是三个互不相同的自然数，且满足 ，求三位数
答案：495
详解：a,b,c是三个互不相同的自然数，且满足abc×bca=7bc×cba,求a,b,c。（其中7bc是百位为7，
十位为b，个位为c的三位数）
abc×(bca-cba)=(7-a)×100×cba 这里两边都减去abc*cba
abc×9×(b-c)=(7-a)×0×cba
右边7-a a必然含有偶数 右边可被4整除
左边可被5整除 要么b-c绝对值为5 可为16 27 38 49
同时左边含因子4 只能abc含因子4 4整除bc 于是只能b=1 c=6 或b=7 c=2
考虑到右边含因子9 验证无解。
要么5整除abc c=5
4整除左边 只能4|(b-c) 可知道b=1或9 分别验证 考虑到右边含因子9
只能有a=4 b=9 c=5
8．已知算式 ，其中a > b > c．后来发现右边的乘积的数字顺序
出现错误，但是知道个位的6是正确的，那么原式中的 是多少？
答案：983
详解：CBA三个数乘积尾数是6的情况有13种：
123、128、149、178、236、247、268、279、348、367、389、469、678
要使ABC×BCA×CAB是九位数，采用A00×B00×C00=A×B×C×000000估算，即A×B×C要上到三
位数。剩余可能的情况：
279、367、389、469、678
因乘积各位数字和不是3的倍数，必不能被3整除，则A+B+C不能是3的倍数，筛去279、678。剩余367、389、469。
检验只有983×839×398=328245326符合。原式中ABC即983
