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第 13 讲 应用题综合一
兴趣篇
1. 一个骗子到商店买了5元的东西，他付给店员50元钱，然后店员把剩下的钱找给了他；
这时他又说自己有零钱，于是给店员5元的零钱，并且要回了开始给出的50元。请问：
这个骗子一共骗了多少钱？
【分析】由于一开始骗子并没有骗钱，产生骗钱的是后用零钱换50元，所以共骗得50-
5=45元。
2. 在水平地面上匀速行驶的拖拉机速度是每秒5米，已知拖拉机前轮直径0.8米，后轮直
径1.25米。设某一时刻两轮上与地面的接触点为 和 ，那么经过多少秒后， 和
再次同时与地面接触？（圆周率取近似值3）
【分析】 由于拖拉机前轮的周长约为2.4米，而后轮的周长约为3.75米。前轮转一圈
所需要时间为 秒；后轮转一圈所需要的时间为 秒，而 与
的最小公倍数为12，所以经过12秒后，A和B再次同时与地面接触。
3. 一个容器装了 的水，现有大、中、小三种小球。第一次把1个中球沉入水中；第二次
将中球取出。再把3个小球沉入水中；第三次取出所有的小球，再把1个大球沉入水中。
最后将大球从水中取出，此时容器内剩下的水是最开始的 。已知每次从容器中溢出的
水量情况：第一次是第三次的一半；第三次是第二次的一半。求大、中、小三球的体积
比。
【分析】 设容积为 ,第一次溢水为 ，则第二次为 ，第三次为 ，三次共溢出：
。
所以： ,则有： .
设大、中、小球的体积分别为： 、 、 ，则有：
,则有： 。
，解之得； ；
，则有： ；所以有：
（2008年IMC5年级初赛试题）
4. 星期天早晨，冬冬发现闹钟因电池能量耗尽停了。他换上新电池，估计了一下时间，把
闹钟的时间调到8:00。然后冬冬离家前往天文馆。他到达天文馆时，看到天文馆的标
准始终显示的时间是9:15。一个半小时后，冬冬从天文馆出发以同样的速度回家，到
家时看到闹钟显示的时间是11:20，这时冬冬应该把闹钟调到几点几分时间才是准确的？
【分析】冬冬从出门到回到家里所用时间是 小时 分钟，所以冬冬从家里到天文台所
用时间是 小时 分钟的一半，也就是 分钟，所以冬冬回家以后应该把时间调整到
点 分钟才是准确的时间。
5. 从甲地到乙地有两种方法：①立即步行前往；②等待公共汽车坐车前往。表中列出了从
甲地到乙地所用的最短时间随两地之间距离的变化情况，已知步行速度、汽车速度以及
等待公车的时间都是固定的。请问：当两地相距24千米的时候，从甲地到达乙地的最
短时间是多少分钟？
甲、乙距离 最短时间
3千米 20分钟
6千米 30分钟
9千米 36分钟
【分析】三种情况下，平均速度分别是：
平均速度
甲、乙距离 最短时间
0.15千米/分钟
3千米 20分钟
0.2千米/分钟
6千米 30分钟
0．25千米/分钟
9千米 36分钟
由于三种距离下，速度均不同，所以不可能都是不行，最多只有3千米时不行。
则有：
则
所以当两地相距24千米，最短时间是：6. 某种商品由于实行进口限制，在买卖时会征收高达40%的税。比如甲以100元的价格卖
出该商品，在收到买方100元贷款之后，需要付给国家40元的税；乙以100元的价格
买入该商品时，则在付给卖方100元贷款后，还需要再付给国家40元的税。现在甲以
45万元的总价买入一批该商品，然后再转手卖给乙。在整个买卖交易过程中，甲还自
己出钱支付了30000元的运费（该费用不征税）。为了让这笔买卖不亏本，甲至少应以
多少万元的价格卖给乙？如果以此价格成交，那么从头到尾国家从甲、乙身上收取了多
少万元的税？
【分析】甲付出了: (分万元)；
设甲以 万元的价格卖给乙，则甲的收益为： ， ， ，
即甲至少应以110万 元的价格 卖给乙，若以此价格成交，国家共从甲、乙身上征收税
收： （万元）；
7. 一条双向铁路上有11个车站，相邻两站都相距7千米。从早晨7时开始，有18列货车
由第11站顺次发出，每隔5分钟发出一列，都驶向第1站，速度都是每小时60千米。
早晨8时，由第1站发出一列客车，向第11站驶去，时速是100千米。在到达终点站
前，货车与客车都不停靠任何一站。问：在哪两个相邻站之间，客车能与3列货车先后
相遇？
【分析】8点整时，第一辆货车距离终点10千米，该车与客车相遇时，客车走了：
千米；（相当于8：00时，第一辆货车与客车发生一个相遇距离为10
千米的相遇运动）；
相邻两货车之间间距为：
客车与第2辆货车相遇时，又走了 ，以后每隔 客车与一
辆货车相遇一次，即客车与第1，2，：…18列货车分别相遇于距离1站
的地方。其中有 ， ， 介于 之间，
即在第5站到第6站之间。
8. 有一只小蚂蚁在一根弹性充分好的橡皮筋上的 点，以每秒1厘米的速度向前爬行。从
小蚂蚁开始爬行的时候算起，橡皮筋在2秒后、4秒后、6秒后、8秒后、10秒后……
都均匀地伸长为原来的2倍。那么在开始爬行9秒后，这只小蚂蚁离 点多少厘米？
【分析】根据题意，2秒时蚂蚁距离起点2厘米，伸长了4厘米；
4秒时蚂蚁距离起点6厘米，伸长为12厘米；
6秒时蚂蚁距离起点14厘米，伸长28厘米；
8秒时蚂蚁距离起点30厘米，伸长了60厘米；9秒时蚂蚁距离起点60+1=61厘米。
9. 有一座塔，在地面到塔顶要通过塔内部的螺旋形通道上去，如图，通道的长度是420米，
共转了三圈半。小明从 点以每分钟60米的速度下塔，小亮从 点以每分钟40米的速
度上塔，如果两人同时出发，那么刚好形成正上方和正下方的关系共有多少次？分别是
出发之后几分钟？（两人相遇不算）
【分析】可以等效为环形相遇问题，由于半圈长度： （米）；
由于小明走完全程共用去： （分钟）；
多以第一次“相遇”为： （分钟）；
第二次“相遇”为： （分钟）；
第三次“相遇”为： （分钟）；
第四次“相遇”为： （分钟）；
第五次“相遇”为： （分钟）
第六次“相遇”为： （分钟）。
其中真实的相遇发生在： （分钟）处。
所以刚好形成正上方和正下方的关系共有5次。（2007年仁华学校五升刘试题）
10. 阿奇读一本故事书，如果他第一天读25页，以后每天都比前一天多读5页，那么到最
后一天时，还剩下47页；如果他第一天读40页，以后每天都比前一天多读5页，那
么到最后一天时，还剩下37页。请问：这本故事书最少共有多少页？
【分析】列表如图：
25，30，35，40，45，50，……，47
40，45，50，……，37
比较两种方案，得知在最后一天之前，第二种方案比第一种方案必多N天，
设这N天的总页数为x页，则有：
25+30+35+47=x+37
所以x=100
又如果N=2;(100+5)÷2=52.5(页)不是整数，不符题意；
如果N=3，则100÷3<40,不符题意，且N>3都不符题意。
所以，N=1，
所以，这本书的总页数是：
40+45+50+……+100+37=947（页）
拓展篇
1. 甲、乙、丙、丁四个人去餐馆大吃一顿，因为甲的钱包落在宿舍，所以饭前就由乙、丙、
丁三个人出。回到宿舍以后，甲找到了钱包，想要把钱还给其他三人，结果乙摆摆手说：
“不用了，我反正还欠你4块钱，正好抵了。”丙说：“你把我那份给丁吧，我正好欠
他9块钱。”于是甲只付钱给丁，给了31元。那么在餐馆付饭钱的时候，乙、丙、丁
分别付了多少元？
【分析】四个人付的钱应该是一样的，由于乙替甲付4元，丙替甲付了9元，丁替甲付了
22元。所以甲应付： 元。
付钱时，乙付35+4=39元，丙付35+9=44元，丁付35+22=57元。
（2005年希望杯决赛改编试题）
2. 2008年3月1日起，我国实行新的税率标准，费用扣除标准调高为2000元/月。表中是
工资、薪金所有项目税率表：
级别 全月应纳税所得额 税率（%）
1 不超过500元部分 52 超过500元至2000元部分 10
3 超过2000元至5000元部分 15
4 超过5000元至20000元部分 20
5 超过20000元至40000元部分 25
… … …
表中“全月应纳税所得额”是指从月工资、薪金收入中减去2000元后的余额，它与相应税
率的乘积就是应交的税款数。则在这种税率实行期间：
（1）王先生某个月的工资、薪金收入为4480元，该月份他交纳的税款是多少元？
（2）张先生某月份交纳了1165元个人所得税，该月份张先生工资、薪金收入是多少元？
【分析】（1）由于
所以应交税款为： （元）；
（2）工资总额2500元时，需缴纳税款25元；
工资总额4000元时，需缴纳税款 （元）；
工资总额7000元时，需要缴纳税款 （元）；
工资总额为22000元时，需要缴纳税款： （元）
所以张先生的工资应该再7000到22000元之间。由于 （元）。
所以张先生的工资收入为9700元，薪金收入为：9700元。
3. 有大小一样，张数相同的黑白两种颜色的正方形纸片。阿奇先用白色纸片拼成中间没有
缝隙的长方形，然后用黑色纸片围绕已经拼成的白色长方形继续拼成更大的长方形，之
后又用白色纸片拼下去，……，这样重复拼。当阿奇用黑色纸片拼过5次以后，黑、白
纸片正好用完。请问：黑色纸片至少有多少张？
【分析】外层总比相邻内层多8个正方形，从最外层往里，共4个这样的两层，黑比白正
方形共多出了32个，所以最内部的白色正方形要比相邻的一圈的黑色正方形多32个，
令中心白色长方形由 个小正方形（ ）组成，则有：
，则有： ，所以
黑色正方形张数为：
当 与 尽量接近时，黑色正方形个数最少，取得：
，即 时，黑色正方形有： （张）。4. 有一辆杂技自行车，前轮的半径是 分米，后轮的半径是 分米，那么当后轮转的
圈数比前轮多10圈的时候，这辆车前进了多少米？（圆周率取近似值3.14）
【分析】设前轮转过 圈后，后轮转过 圈。
则有：
解之得：
所以这辆车前进的距离为：
5. 两个农妇共带100个鸡蛋到市场上去卖，第一个农妇带的鸡蛋比第二个农妇少，但两人
所卖的总数相同。第一个农妇对第二个农妇说：“我要有你那么多鸡蛋，按我的价钱卖
就能把它们卖180元。”第二个农妇回答说：“我要有你那么多的鸡蛋，按我的价钱卖
只能把它们卖80元。” 请问：两个农妇各有多少个鸡蛋？
【分析】设第一个农妇带鸡蛋 个，第二个农妇带 个，有 ，则
，由两人卖得的钱数相同得第一、二人售价比为： 。
由题意得： ，解之得： ，所以有：
第一个农妇带40个鸡蛋。
第二个农妇带60个鸡蛋。
6. 张先生向商店订购了每件定价100元的某种商品80件。张先生对商店经理说：“如果
你肯减价，那么每减价1元，我就多订购4件。“经理算了一下，若减价1%，由于张先
生多订购，获得的利润反而比原来多52元。那么按张先生的要求，商店最多可以获得
多少元利润？
【分析】令成本为 元/件；
80件商品的利润为 ；减价1%后商品的利润为 ，则有：
，解之得： 。
设减价 元的利润为 ，则有：
当 时， （元）。（第12届迎春杯决赛试题）
7. 比赛用的足球是由黑、白两色皮子缝制的，其中黑色皮子为正五边形，白色皮子为正六
边形，并且黑色正五边形与白色正六边形的边长相等。缝制的方法是：每块黑色皮子的
5条边分别与5块白色皮子的边缝在一起；每块白色皮子的6条边中，有3条边与黑色
皮子的边缝在一起，另3条边则与其他白色皮子的边缝在一起。如果一个足球表面上共
有12块黑色正五边形皮子，那么，这个足球应有白色正六边形皮子多少块？
【分析】黑色皮子共有多少条边？
（条）．
白色皮子共有多少条边？
（条）．
因此，白色皮子的块数为 （块）．
8. 如图所示，相距15厘米的两条平行线 和 之间，有直角三角形 和长方形 。直角
三角形 沿着直线 以每秒1厘米的速度向右运动，长方形 沿着直线 以每秒2厘米
的速度向左运动。请问： 与 有重叠部分的时间持续多久？其中重叠部分的面积保
持不变的时间有多长？
A P A
B
B
(1) (2)
P P A
B
(4) (3)
【分析】当A为静止时，B以3米/秒的速度左移，以P点位参考点，从B与A相遇到离开
A，P点移动30厘米，耗时 （秒）；
从图 到 ，A、B重叠部分面积不变，此过程P移动距离10厘米，耗时：
（秒）。9. 如图所示， 、 两点把一个周长为1米的圆周等分成两部分。蓝精灵从 点出发在这
个圆周上沿逆时针方向作跳跃运动，它每跳一步的步长是 米，如果它跳到 点，就会
经过特别通道 滑向 点，并从 点继续起跳，当它经过一次特别通道，圆的半径就
扩大一倍。已知蓝精灵跳了1000次，那么跳完后圆周长等于多少米？
【分析】把周长为 米的圆周 等分，每一等分算作一段，蓝精灵每跳一步就跳过了 段，
跳 次共跳 段，恰好是一周半，跳到 点，然后蓝精灵经过特别通道滑到 点，
此时圆周周长变成 米；再把新的圆周分成 段，现在蓝精灵需要跳 次，共跳
段才能回到 点……如此继续下去，跳 次、 次、 次、 次，蓝精灵
才分别回到 点．为了便于对照，列出下表：
跳的次数
新的圆周长(米)
因 为 ，
，所以蓝精灵跳的 次中有 次到
点，此时圆周长变成 米，即跳完 次后圆周长是 米．
10. 汽车轮胎如果放在前轮可以行驶50000千米，如果放在后轮可以行驶30000千米。现
有一辆汽车，允许在恰当的时候将前轮和后轮互换，那么最多可以行驶多少千米而不需
要购买新的轮胎？如果在行驶过程中只允许前、后轮对调一次，那么应当在行驶多少千
米的时候将前、后轮对调？
【分析】每行驶1千米，前轮损耗 ，后轮损耗 ，设前轮在行驶x千米后，在
后轮行驶y千米后恰好损耗完，同时有轮胎在后后轮行驶x千米，在前轮行驶y千米后
损耗完，可列方程：，则 ，解之得： 。
所以最多可以行驶37500公里，应当在行驶18750千米后将前后轮对调。
11. 在 、 之间有一段笔直的公路，在其两个三等分点处各有一棵树。早上9:30时有一
辆汽车从 出发，以固定的速度沿公路行驶，于当天早上10:00到达 。一辆摩托车
在当天早上9:25从 出发，以变化的速度开往 地。摩托车手记得他和汽车在某棵树
处相遇，但记不清是哪棵树了，他只知道以摩托车的最快速度从 到 恰好要15分钟。
如果摩托车手能够根据上述信息推断出自己是在哪棵树处遇到汽车的，那么摩托车最
晚什么时间之前到达 地？
【分析】根据题意，令两个三点分点为C、D点；
若在D点相遇，则摩托车最快10:00到达A地；
若在C点相遇，则摩托车最快9:40到达A地。
A C D B
在9:40到10:00之间摩托车手都能够判断自己在哪棵树上遇到汽车。所以摩托车最晚10:00
之前到达A地。
12. 如图所示，在一个大圆周上均匀分布着200个小球，沿顺时针方向依次编号为1，2，
3，…，200。每个小球均以各自编号的速度沿顺时针方向绕圆周运动（单位是米/秒），
当在某一个时刻有若干小球相遇在一起时，这些小球就会合并成一个小球，并以原来
这些小球速度的平均值继续沿顺时针方向运动。经过充分长的时间之后，圆周上最终
剩下几个球在运动？速度等于多少？【分析】由于速度不一样，一定会存在某个时刻大家碰在一起，此时所有小球合并为一个
球。球的速度为这些所有速度的平均值为：
超越篇
1. 小军驾驶的轿车被警察拦了下来，原因是在高速路上超速驾驶，仪器记录上显示小军的
平均速度达到了110千米/时。为了免于处罚，小军辩解道：“刚才我花了两个半小时
通过这段高速路，我敢保证在每一个小时的时间间隔内，我开的距离都不超过100千米，
因此我开车的平均速度不可能是110千米/时。你的记录仪器一定有问题。”于是警察
又查询了电子记录，发现小军所说属实，虽然总感觉有些不对劲，却又不知如何反驳小
军，于是就放过了他。请问：小军的辩解错在哪里？
【分析】可使用快慢间隔的方法使得每小时都不超过100千米，但是开的快的时期比慢的
多一个，注意到总时间为2.5小时，所以可以将其分成5个半小时，在这5段中，速度
依次为150,50，150，50,150，任意相邻两段时间的平均速度都不超过100，但是
2. 甲、乙、丙三个人一起买一件古董，他们三个人出钱的比是2:2:1。第一次三个人只付
了总钱数的50%，乙比丙多付了2750元，但是这些钱中包含乙替甲垫付的550元。几天
之后甲又单独向丙借了2000元，向乙借了500元。几天之后这三人 发现古董的价格提
高了20%，并且由于甲缺钱，三个人的出钱的比改成了1:2:2。请问：三个人还要分别
各付多少元，才能使得他们在付完古董的钱后互不相欠？
【分析】第一次，除去乙替甲垫：550元；乙比丙多付2750-550=2200（元）；
乙：丙=2:1，所以丙付2200元，乙付2200×2+550=4950元；甲付2200×2-550=3850元。古董总价为：2×2200×5=22000元；
提价后古董为：22000×（1+20%）=26400（元）；
甲应总付： （元）；
乙应总付： （元）；
丙应总付： （元）。
所以甲还需付： （元）；
乙还需付： （元）；
丙还需付： （元）。
3. 、 、 三种零件共153个，每人加工1个 零件都需3分钟，加工1个 零件都需
5分钟，加工1个 零件都需7分钟。现在有甲、乙、丙三名工人同时开始加工这三种
零件，甲加工的第一个零件是 ，乙加工的第一个零件是 ，丙加工的第一个零件是
。如果加工完第一个零件后，他们都改去加工另一种零件，并且不再改变所加工零件
的种类，结果恰好同时完成。求 、 、 三个零件的个数。
【分析】设A、B、C各有： ， ， 个。
有2种换法：甲 ,乙 ,丙 ;或者甲 ,乙 ，丙 ;
若是第2种，则有：
所以有：
由于 ，所以 。
若是第1种，则无解；所以 ， ； ，
4. 有一个菜贩很不老实，他有一架动过手脚的天平，这架天平的两臂不等长。普通天平平
衡的条件是左右两边的物品重量相等，但做过手脚的天平平衡时两边重量不相等，而是
成一个固定的比例。
当菜贩向农民们购买货物时，他把货物货物放在天平臂较短的一侧，这样称起来较
轻，他可以少付一些钱；当他销售货物时，就把货物放在天平臂较长的一侧，这样称起
来较重，他可以收入较多的钱。用上述手法，第一次他向农民购买6袋番茄1袋花生，
称出总重量为25千克。第二次他向农民购买9袋番茄3袋花生，称出总重量是50千克。
终于恶有恶报，他的秘密被聪明的阿凡提知道了，阿凡提让农民存了24袋番茄和
7袋花生，然后一起去卖给菜贩。阿凡提执意把货物放在天平臂较长的一侧，由于农民
也在场，菜贩不敢说出天平的秘密，只好按阿凡提的办法称，称得总重量是180千克。
菜贩收了这批菜之后，从此不敢再用假天平骗人了。
你能求出菜贩在上面三次交易中亏了多少千克番茄，亏了多少千克花生吗？
【分析】方法一：令番茄 千克，花生 千克，则有：，解之得： ，所以24袋番茄和7袋花生按照此称法应是：
，所以真实重量为150千克。长短臂之比为：6:5。
番茄亏：
花生亏：
方法二：由于出钱比为2:1，而乙比丙在买古董上多出钱2750-500=2250元。
则丙出2250，乙出4500+500=5000元，而甲出4500-500=4000元，古董价钱的一半为：
2250+5000+4000=11250元。
借钱之后，甲欠丙2000元，甲欠乙1000元，从而有：
。
所以，甲需付： （元）
乙需付：5400元； 丙需付：5400元；由于甲需要还债，甲需要为乙支付1000元，为丙支
付2000元，则甲共需要支付2700+3000=5700元，乙需要支付5400-1000=4400元，丙需要
支付5400-2000=3400元。
5. 某项工程打算请甲、乙、丙三队来承包。如果由甲、乙两队承包，2.4天可以完成，需
交付工程款18000元；如果由乙、丙两队承包，3.75天可以完成，需支付工程款15000
元；如果由甲、丙两队承包， 天可以完成，需支付工程款16000元。现在进行合理
分工，要求在一个星期内完工，至少要花费多少工程款？
【分析】甲、乙的工作效率之和为： ，乙丙的工作效率之和为： ；甲、丙为 ，
则甲、乙、丙的工作效率分别为： 。
由于甲、乙合作一天的工资为7500元，乙丙为4000元，甲丙为5600元，解得甲、乙、丙
单干一天各需4550、2950、1050元。
若要干完各需：4550×4=18200元；2950×6=17700元；1050×10=10500元。
所以丙最便宜，乙最快，让丙干7天，乙干 天。
需要： 元。
6. 三轮挎斗摩托车有前、左后和右后三个车轮。如果把轮胎放在前轮可以行驶45000千米，
如果把轮胎放在左后轮可以行驶20000千米，如果把轮胎放在右后轮可以行驶36000千
米。现有一辆刚刚换上新车胎的三轮挎斗摩托车，可以在恰当的时候将两个轮胎对换。
请问：（1）这辆三轮摩托车最多可以行驶几千米而不需要购买新的轮胎？
（2）在这期间最少需要对换几次轮胎？请说明理由；
（3）请详细叙述在行驶多少千米之后如何对调这些轮胎。
【分析】为了能行驶时间最长，轮胎应为同时报废。最远可以行使：
（千米）；
设 千米前与左后换、行至 千米后左后与右后换（ 为累积里程）。
则有： ，则可以推出：
所以，换两次。
7. 甲容器有60%的酒精溶液10升，乙容器有40%的酒精溶液30升。现在我们以0.3升/分
的速度向甲容器加浓度为20%的酒精溶液，同时以0.5升/分的速度向乙容器加浓度为
60%的酒精溶液。请问：多少分钟后甲、乙容器内酒精溶液的浓度相同？
【分析】设 分钟后浓度相同，则有：
化简得： ，则有：
8. 如图所示，三角形 是一个以 为直角顶点的直角三角形，其中 长20米，
长15米。甲从 点出发以2米/秒的速度不停地在 、 之间往返，乙从 点出发以1
米/秒的速度不停地在 、 之间往返。在某些时刻，甲到达 点，乙到达 点，四边
形 恰好成为一个梯形。求梯形 面积的最小值。【分析】设梯形时，有： ，
则此时甲跑了ｍ个来回 ，乙跑了 来回 米。
所以， ，则有：
等号右边应为２０的倍数，可以设为 ，则有：
或者
因为 ，所以或者略，前者中 ， 。
所以 最大为 ，此时
所以有：
所以梯形面积的最小值为 （平方米）。
