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第 12 讲 进位制与取整符号
典型问题
兴趣篇
1. 将下面的数转化为十进制的数： ， ， ， 。
【分析】 ；
；
；
；
2. 请将十进制数90转化成二进制、七进制和十六进制的数。
【分析】90÷2=45余0,45÷2=22余1,22÷2=11余0,11÷2=5余1,5÷2=2余1,2÷2=1余0；1÷2=0
余1。
所以90转化为二进制后是： ；
90÷7=12余6；12÷7=1余5；1÷7=0余1，所以90转化为七进制后是： ；
由于90÷16=5余10,5÷16=0余5。所以80转化为十六进制后为：
3. 请将七进制数 化成五进制的数，将五进制数 化成七进制的数。
【分析】 转化为十进制为： ；而199÷5=39余4,39÷5=7余
4；7÷5=1余2,1÷5=0余1。所以 ；
将 转化为十进制为： ，而103÷7=14余5,14÷7=2余0。
而2÷7=0余2。所以 转化为七进制数后为： ；4. （1）在二进制下进行加法： ；
（2）在七进制下进行加法： ；
（3）在九进制下进行加法： 。
【分析】
（1） 在二进制下，逢2进1，则有： ；
（2） 在七进制下，逢7进7，则有： ；
（3） 在九进制下，逢9进1，则有： ；
5. 用 、 、 、 、 分别代表五进制中5个互不相同的数字，如果 ， ，
，是由小到大排列的连续正整数，那么 所表示的整数写成十进制的表示是
什么？
【分析】由 ， ， ，是由小到大排列的连续正整数可知b=0,c=4,e=3，而
a=2,d=1.所以 ；
6. 记号 表示 进制的数，如果 是 的2倍，那么， 在十进制表示的数
是什么？
【分析】由于 ； ，则有： +2=4k+10.
所以k=8.
则
7. 一个自然数的四进制表达式是一个三位数，它的三进制表达式也是一个三位数，而且这
两个三位数的数码顺序恰好相反。请问：这个自然数的十进制表示是什么？
【分析】根据题意，有： 。从而有： ，又由于a,b,c均为小于3的数字，所以 ， ， 。
所以这个自然数在十进制中为：
8. 计算： 。
【分析】
原式=
=
9. 计算： 。
【分析】
方法一：对他们两两配对，得到：
；
两两配对，均能得到15。共有8组，所以他们的和为：15×8=120；
方法二：根据题意，
有： ，由于任意两个相邻的数的分子的差均为16，所以其不超过1。所以有0
到15均能表示。题中刚好有16个数，所以他们的和为： ；
10. 求方程 的解的个数。
【分析】根据题意，有： ，则 应在0到4之间进行选择，有5种选法；
拓展篇
1. （1）请将下面的数转化为十进制的数： 、 ；
（2）请将十进制101转化为二进制的数，641转化为三进制的数，1949转化为十六进
制的数。【分析】
（1） 根据题意， ；
；
（2） 101÷2=50余1；50÷2=25余0；25÷2=12余1；12÷2=6余0；6÷2=3余0；3÷2=1余
1；1÷2=0余1；所以101化为二进制数后为： ；
641÷3=213余2；213÷3=71余0；71÷3=23余2；23÷3=7余2；7÷3=2余1；2÷3=0余2。所
以641化为三进制数后为： ；
（3）1949÷16=121余13；121÷16=7余9；7÷16=0余7。所以将1949转化为十六进制后的
数应为
2. 请将三进制数 化成九进制的数，将八进制数 化成二进制的数。
【分析】（1） ，将其转化为九进制即变为：
132÷9=15余7；15÷9=1余6；1÷9=0余0；所以三进制数 化成九进制的数为：
；
（2） ；
由于482÷2=241余0；241÷2=120余1；120÷2=60余0；60÷2=30余0；30÷2=15余0；
15÷2=7余1；7÷2=3余1；3÷2=1余1；1÷2=0余1。所以八进制数 化成二进制的
数为：
3. （1）在七进制下计算： 、 ；
（2）在十六进制下计算： 。
【分析】
（1） 根据题意，在七进制下，根据 知：在七进制下， 知：
（2） 在十六进制下，10用A表示,11用B表示，12用C表示，13用D表示，14用E表
示，15用F表示，则根据题意，有：
4. 算式 是几进制数的加法？ 是几进制
数的乘法？
【分析】（1）根据题意， 7+8=9+6，所以该数是9进制的加法；
（3） 根据 可知，20÷8=2余4。
而由题意知：
所以乘法是8进制下的乘法；
5. 自然数 化为二进制后是一个7位数 。请问： 等于多少？
【分析】根据题意，有：
则有： ，解之得：a=1,b=0,c=0。所以x为100。
6. 一个自然数的七进制表达式的一个三位数，它的九进制表达式也是一个三位数，而且这
两个三位数的数码顺序恰好相反。这个自然数的十进制表示是多少？
【分析】根据题意， ，则有： ，则：当c=1时，无合适解；
当c=2时，无解；
当c=3时，a=5,b=0.
所以这个自然数为：49×5+3=248。
7. 某出版社在印刷一本数学科普书的时候，发现他们印刷的页码每一页都只含数字0至
5，即从第一页开始这本书的页码依次为1，2，3，4，5，10，11，12，13，14，15，
20，…。那么这本书的第365页的页码是多少？
【分析】根据题意，有：
所以第365页的页码是：1405。
8. 如果 ， ， 。求：
（1） 的所有可能值；
（2） 的所有可能值。
【分析】（1）根据题意，令x=3+a ;y=b
,由于 ，所以 的取值可能为2,也可能为3。
（2） 根据题意，x=3+a ;y=b ； .
则有：
有
答案：（1）2，3；（2）1，2，39. 计算（结果用 表示）：
（1） ；
（2） 。
【分析】
（1） 由题意知，原式=
（2） 原式=
=
10. 计算： 。
【分析】两个一个组合配对，有：
；
；
其他类似，共有：20组，所以其之和为：22×20=440。
11. 解方程：
（1） ；
（2） 。
【分析】（1）令 的整数部分是a，小数部分是b。
则有： ，即可得： 。
所以a=0,此时b=0;
a=1，此时 。
所以 或者 ；
（3） 令x的整数部分是a，小数部分是b。
则有：。由于 ，则必然有： 。
所以
12. 解方程： ，其中 是整数。
【分析】根据题意， ；
即 ；
而 ，
则有：
所以 或者 。
则当 时，得到： ；
当 时，得到： 。
所以
◇ ◇ 超越篇 ◇ ◇
1. 、 是自然数， 进制数 和 进制数 相等， 的最小值是多少？
【分析】根据题意，有：
； ；则有： ，由于出现了数字7，则a与b
均必须大于等于8。 ，当b=9时，a=15.
所以a+b的最小值为：24。
2. 现有一个百位为3的三位数（十进制），把它分别化成九进制的数和八进制的数后，仍
然是三位数。且首位数字分别为4和5。这样的三位数中最大的是多少？最小的是多少？
一共有多少个？【分析】化成九进制数后百位为4的最小数为： ，最大数为：
；
化成八进制后百位为5的最小数为： ；
百位为5的最大数为：
所以最大是383，最小是324，共有：383-324+1=60个；
3. 在十进制的表示中，三个依次增大的两位数恰构成公差为6的等差数列；而在五进制的
表示中，这三个数的数字和是依次减少的。符合这样要求的等差数列有多少个？
【分析】根据题意，由于两位数最小为10，化成五进制后为： ；两位数最大为99，
由于是依次增大的公差为6的等差数列，所以最小的数最大为87，化为五进制后为
，由于加上数之后数字和是依次减少的，则必然发生进位，而且这种进位只能发
生在个位或者十位。则分两种情况：
若第一次进位在个位，则第二次进位在十位
由于在六进制下， ，第一次要在个位发生进位，则个位只能是4，第二次要在
十位发生进位，则十位只能是2.，在六进制下的加法满足下列：
， ， ；
共有3个；
若第一次进位在十位，则第二次进位在个位。由于在六进制下， ，第一次要在
十位发生进位，则十位位只能是4，第二次要在个位发生进位，则十位只能是3，在六
进制下的加法满足下列：
， ，
所以符合要求的等差数列共有6个。
4. 现有六个筹码，上面分别标有数值：1，3，9，27，81，243。任意搭配这些筹码（也可
以只选择1个筹码）可以得到多少个不同的和？将这些和加起来，总和为多少？将这些和从小到大排列起来，第45个是多少？
【分析】（1）方法一：我们知道1，3，9，27，81，243都是3的若干次幂，写成3进制
依次为： ， ， ， ， ， ，则从中任意选取若干个数，
且不重复，那么它们的和在3进制中都只是由1和0组成．
但是在3进制中，并不是所有的数字都是只由0，1组成，这就给计数造成了困难．而
2进制中所有的数字都是只由1和0组成．于是，我们想到使用2进制。很显然，这些数的
组合可以构成 到 之间的任何一个数，化为十进制即 到 之间的数都可以构
成。也就是得到了 个不同的和。
方法二： ；
方法三：根据题意，每一项都有取与不取，除去全部不选的共有： 个；
（3） 根据乘法原理，对于每一个已经选好的数，共有： 种选法，所以所有的和
等于： ；
（3）通过上一题我们可以知道一共有 个不同的和。在2进制中的第45个非零自然数，
即将10进制中的45转化为2进制，应记为： ．
所以，在3进制中，只用1和0表示的数，第45个也是 ，将其转化为10
进制，有 ．即其中第39个数是280．
5. 计算： 。
【分析】根据题意，两个配对，有：
；
；
……；
；
；
；
；
所以其之和为： 。
6. 计算： 。
【分析】方法一：原式= ；方法二：由于
；
则有：
=
7. 一副双色牌中，红、黑两种颜色各有12张牌，每种颜色的牌上分别写着1，2，4，8，
16，…，2048这12个数。小梁从中任意抽取一些牌，计算抽出的牌面上所有数的和。
（1）若算出的和为2008，则小梁最多可能抽取了多少张牌？
（2）若算出的和为183，则小梁共有多少种抽取牌的方法？
（3）如果小梁有3种抽牌的方法使得和为某个正整数 ，求 的值。
答案： （1）17张；（2）184种；（3）2或8188
8. （1）在 ， ， ，…， 中共出现了多少个互不相同的数？
（2）在 ， ， ，…， 中共出现了多少个互不相同的数？
【分析】（1）根据题意， ，而 ，所以从
开始每两个相邻的 与 不可能相同，从 到 共有1004
个数。而 ，所以0到502均可以取到，共有503个互不相同的数；
所以在 ， ， ，…， 中共出现了1507个互不相同的数。
（2）根据题意，随着n的不断增大， 不断减小，考虑 ，则有：
。
所以当n在1到44之间时，任意两个相邻的数 与 的差都大于
1，均不一样共有44个；
当n在45到2008之间时，最大的为： ，最小的为, ,不可能相
同。而在45到2008之间 与 相差均不会超过1，所以从0到
43均可以取到共有：44个；
所以在 ， ， ，…， 中共能取到44个不同的数。
