文档内容
2021 年吉林长春中考数学真题及答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．﹣（﹣2）的值为（ ）
A． B．﹣ C．2 D．﹣2
【分析】直接根据相反数的定义可得答案．
【解答】解：﹣（﹣2）的值为2．
故选：C．
2．据报道，我省今年前4个月货物贸易进出口总值为52860000000元人民币，比去年同期
增长28.2%．其中52860000000这个数用科学记数法表示为（ ）
A．0.5286×1011 B．5.286×1010
C．52.86×109 D．5286×107
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n
的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数
相同．
【解答】解：52860000000＝5.286×1010．
故选：B．
3．如图是一个几何体的三视图，这个几何体是（ ）
A．圆锥 B．长方体 C．球 D．圆柱
【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
【解答】解：由于主视图和俯视图为长方形可得此几何体为柱体，由左视图为圆形可得
为圆柱．
故选：D．
4．关于x的一元二次方程x2﹣6x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的值可能是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【分析】根据判别式的意义得到△＝（﹣6）2﹣4m＞0，然后解关于m的不等式，最后对各选项进行判断．
【解答】解：根据题意得△＝（﹣6）2﹣4m＞0，
解得m＜9．
故选：A．
5．如图是净月潭国家森林公园一段索道的示意图．已知A、B两点间的距离为30米，∠A
＝α，则缆车从A点到达B点，上升的高度（BC的长）为（ ）
A．30sinα米 B． 米 C．30cosα米 D． 米
【分析】根据sinα＝ 求解．
【解答】解：∵sinα＝ ＝ ，
∴BC＝30sinα米．
故选：A．
6．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，若∠BAC＝35°，则∠ACB的大小为（ ）
A．35° B．45° C．55° D．65°
【分析】先根据切线的性质得到∠ABC＝90°，然后利用互余计算出∠ACB的度数．
【解答】解：∵BC是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，
∴AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∴∠ACB＝90°﹣∠BAC＝90°﹣35°＝55°．
故选：C．7．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB≠AC．用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点D，使
△ACD为等腰三角形．下列作法不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据等腰三角形的定义一一判断即可．
【解答】解：A、由作图可知AD是△ABC的角平分线，推不出△ADC是等腰三角形，本
选项符合题意．
B、由作图可知CA＝CD，△ADC是等腰三角形，本选项不符合题意．
C、由作图可知DA＝CD，△ADC是等腰三角形，本选项不符合题意．
D、由作图可知BD＝CD，推出AD＝DC＝BD，△ADC是等腰三角形，本选项不符合题意．
故选：A．
8．如图，在平面直角坐标系中，点A、B在函数y＝ （k＞0，x＞0）的图象上，过点A作
x轴的垂线，与函数y＝﹣ （x＞0）的图象交于点C，连结BC交x轴于点D．若点A的
横坐标为1，BC＝3BD，则点B的横坐标为（ ）
A． B．2 C． D．3【分析】作BE⊥x轴于E，则AC∥BE，即可得到△CDF∽△BDE，由题意得出 ＝ ＝
，即可CF＝2BE，DF＝2DE，设B（ ，b），则C（1，﹣2b），代入y＝﹣ （x＞0）
即可求得k＝2b，从而求得B的坐标为2．
【解答】解：作BE⊥x轴于E，
∴AC∥BE，
∴△CDF∽△BDE，
∴ ＝ ＝ ，
∵BC＝3BD，
∴ ＝ ＝ ，
∴CF＝2BE，DF＝2DE，
设B（ ，b），
∴C（1，﹣2b），
∵函数y＝﹣ （x＞0）的图象交于点C，
∴﹣k＝1×（﹣2b）＝﹣2b，
∴k＝2b，
∴B的横坐标为 ＝ ＝2，
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．分解因式：a2+2a＝ a （ a + 2 ） ．【分析】直接提公因式法：观察原式a2+2a，找到公因式a，提出即可得出答案．
【解答】解：a2+2a＝a（a+2）．
10．不等式组 的所有整数解为 0 、 1 ．
【分析】求出第一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、
大大小小找不到确定不等式组的解集，从而得出答案．
【解答】解：解不等式2x＞﹣1，得：x＞﹣0.5，
则不等式组的解集为﹣0.5＜x≤1，
∴不等式组的整数解为0、1，
故答案为：0、1．
11．将一副三角板按如图所示的方式摆放，点D在边AC上，BC∥EF，则∠ADE的大小为
7 5 度．
【分析】由“两直线平行，同位角性质”得到∠1＝∠E＝45°，再根据三角形的外角定
理求解即可．
【解答】解：如图，∠C＝30°，∠E＝45°，
∵BC∥EF，
∴∠1＝∠E＝45°，
∴∠ADE＝∠1+∠C＝45°+30°＝75°，
故答案为：75．
12．如图是圆弧形状的铁轨示意图，半径OA的长度为200米，圆心角∠AOB＝90°，则这
段铁轨的长度为 100π 米．（铁轨的宽度忽略不计，结果保留π）【分析】根据圆的弧长计算公式l＝ ，代入计算即可．
【解答】解：圆弧长是： ＝100π（米）．
故答案是：100π．
13．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形AOB的斜边OA在y轴上，OA＝2，点B
在第一象限．标记点B的位置后，将△AOB沿x轴正方向平移至△AOB的位置，使AO
1 1 1 1 1
经过点B，再标记点B的位置，继续平移至△AOB的位置，使AO经过点B，此时点B
1 2 2 2 2 2 1 2
的坐标为 （ 3 ， 1 ） ．
【分析】过点B作BP⊥y轴于点P，由△ABO是等腰直角三角形，OA＝2知AP＝OP＝1，
∠AOB＝45°，继而得△BPO是等腰直角三角形，据此可知BP＝PO＝1，再根据题意可得
答案．
【解答】解：如图所示，过点B作BP⊥y轴于点P，
∵△ABO是等腰直角三角形，OA＝2，
∴AP＝OP＝1，∠AOB＝45°，
∴△BPO是等腰直角三角形，
∴BP＝PO＝1，
由题意知点B的坐标为（3，1），
2
故答案为：（3，1）．14．如图，在平面直角坐标系中，点A（2，4）在抛物线y＝ax2上，过点A作y轴的垂线，
交抛物线于另一点B，点C、D在线段AB上，分别过点C、D作x轴的垂线交抛物线于
E、F两点．当四边形CDFE为正方形时，线段CD的长为 ﹣ 2+ 2 ．
【分析】通过待定系数法求出函数解析式，然后设点C横坐标为m，则CD＝CE＝2m，从
而得出点E坐标为（m，4﹣2m），将点坐标代入解析式求解．
【解答】解：把A（2，4）代入y＝ax2中得4＝4a，
解得a＝1，
∴y＝x2，
设点C横坐标为m，则CD＝CE＝2m，
∴点E坐标为（m，4﹣2m），
∴m2＝4﹣2m，
解得m＝﹣1﹣ （舍）或m＝﹣1+ ．
∴CD＝2m＝﹣2+2 ．
故答案为：﹣2+2 ．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．（6分）先化简，再求值：（a+2）（a﹣2）+a（1﹣a），其中a＝ +4．
【分析】根据平方差公式、单项式乘多项式的运算法则把原式化简，把a的值代入计算
即可．
【解答】解：原式＝a2﹣4+a﹣a2
＝a﹣4，
当a＝ +4时，原式＝ +4﹣4＝ ．
16．（6分）在一个不透明的口袋中装有三个小球，分别标记数字 1、2、3，每个小球除数
字不同外其余均相同．小明和小亮玩摸球游戏，两人各摸一个球，谁摸到的数字大谁获
胜，摸到相同数字记为平局．小明从口袋中摸出一个小球记下数字后放回并搅匀，小亮
再从口袋中摸出一个小球．用画树状图（或列表）的方法，求小明获胜的概率．
【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，小明获胜的结果有3种，再由概率公式求
解即可．【解答】解：画树状图如图：
共有9种等可能的结果，小明获胜的结果有3种，
∴小明获胜的概率为 ＝ ．
17．（6分）为助力乡村发展，某购物平台推出有机大米促销活动，其中每千克有机大米
的售价仅比普通大米多2元，用420元购买的有机大米与用300元购买的普通大米的重
量相同．求每千克有机大米的售价为多少元？
【分析】设每千克有机大米的售价为x元，则每千克普通大米的售价为（x﹣2）元，根
据数量＝总价÷单价，结合用420元购买的有机大米与用300元购买的普通大米的重量
相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【解答】解：设每千克有机大米的售价为x元，则每千克普通大米的售价为（x﹣2）元，
依题意得： ＝ ，
解得：x＝7，
经检验，x＝7是原方程的解，且符合题意．
答：每千克有机大米的售价为7元．
18．（7分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝4，BD＝8，点E在边
AD上，AE＝ AD，连结BE交AC于点M．
（1）求AM的长．
（2）tan∠MBO的值为 ．
【分析】（1）由菱形的性质可得△AEM∽△CBM，再由 ＝ 求解．（2）由tan∠MBO＝ 求解．
【解答】解：（1）在菱形ABCD中，
AD∥BC，AD＝BC，
∴△AEM∽△CBM，
∴ ＝ ，
∵AE＝ AD，
∴AE＝ BC，
∴ ＝ ＝ ，
∴AM＝ CM＝ AC＝1．
（2）∵AO＝ AC＝2，BO＝ BD＝4，AC⊥BD，
∴∠BOM＝90°，AM＝OM＝ AO＝1，
∴tan∠MBO＝ ＝ ．
故答案为： ．
19．（7分）稳定的粮食产量是人民幸福生活的基本保障，为了解粮食产量情况，小明查
阅相关资料得到如下信息：长春市2020年的粮食总产量达到960万吨，比上年增长约
9%．其中玉米产量增长约12%，水稻产量下降约2%，其他农作物产量下降约10%．根据以上信息回答下列问题：
（1）2020年玉米产量比2019年玉米产量多 8 5 万吨．
（2）扇形统计图中n的值为 1 5 ．
（3）计算2020年水稻的产量．
（4）小明发现如果这样计算2020年粮食总产量的年增长率： ＝
0，就与2020年粮食总产量比上年增长约9%不符，请说明原因．
【分析】（1）2020年玉米产量减去2019年玉米产量即可；
（2）1减去另外两个百分数即可求解；
（3）根据水稻产量下降约2%求解即可；
（4）因为式子中的几个百分数基数不同，所以不能这样计算．
【解答】解：（1）792﹣707＝85（万吨），
故答案为：85；
（2）1﹣82.5%﹣2.5%＝15%，
∴n＝15，
故答案为：15；
（3）147×（1﹣2%）＝144.06（万吨），
答：2020年水稻的产量为144.06万吨；
（4）正确的计算方法为：（792+144.06+24﹣707﹣147﹣27）÷（707+147+27）
×100%≈9%，
因为题中式子中的几个百分数基数不同，所以不能这样计算．
20．（7分）图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每
个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的
网格中找一格点M，按下列要求作图：
（1）在图①中，连结MA、MB，使MA＝MB；
（2）在图②中，连结MA、MB、MC，使MA＝MB＝MC；
（3）在图③中，连结MA、MC，使∠AMC＝2∠ABC．【分析】（1）根据勾股定理得MA＝MB＝ ．
（2）连接AC，取AC中点M，MA＝MB＝MC＝ ．
（3）取△ABC内心M，由圆周角定理得∠AMC＝2∠ABC．
【解答】解：如图，
21．（8分）《九章算术》中记载，浮箭漏（图①）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭
壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺
匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间．某学校STEAM小组仿制了一套浮箭漏，并从
函数角度进行了如下实验探究：
【实验观察】实验小组通过观察，每2小时记录一次箭尺读数，得到如表：
供水时间x（小时） 0 2 4 6 8
箭尺读数y（厘米） 6 18 30 42 54
【探索发现】①建立平面直角坐标系，如图②，横轴表示供水时间x．纵轴表示箭尺读
数y，描出以表格中数据为坐标的各点．
②观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，求
出这条直线所对应的函数表达式，如果不在同一条直线上，说明理由．
【结论应用】应用上述发现的规律估算：
①供水时间达到12小时时，箭尺的读数为多少厘米？
②如果本次实验记录的开始时间是上午8：00，那当箭尺读数为90厘米时是几点钟？（箭尺最大读数为100厘米）
【分析】【探索发现】①在平面直角坐标系中描出以表格中数据为坐标的各点即可；
②观察上述各点的分布规律，可得它们是否在同一条直线上，设这条直线所对应的函数
表达式为y＝kx+b，利用待定系数法即可求解；
【结论应用】应用上述发现的规律估算：
①利用前面求得的函数表达式求出x＝12时，y的值即可得出箭尺的读数；
②利用前面求得的函数表达式求出y＝90时，x的值，由本次实验记录的开始时间是上
午8：00，即可求解．
【解答】解：【探索发现】①如图②，
②观察上述各点的分布规律，可得它们是否在同一条直线上，
设这条直线所对应的函数表达式为y＝kx+b，
则 ，
解得： ，∴y＝6x+6；
结论应用】应用上述发现的规律估算：
①x＝12时，y＝6×12+6＝78，
∴供水时间达到12小时时，箭尺的读数为78厘米；
②y＝90时，6x+6＝90，解得：x＝14，
∴供水时间为14小时，
∵本次实验记录的开始时间是上午8：00，8：00+14＝22：00，
∴当箭尺读数为90厘米时是22点钟．
22．（9分）实践与探究
操作一：如图①，已知正方形纸片ABCD，将正方形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落
在正方形ABCD的内部，点B的对应点为点M，折痕为AE，再将纸片沿过点A的直线折叠，
使AD与AM重合，折痕为AF，则∠EAF＝ 4 5 度．
操作二：如图②，将正方形纸片沿EF继续折叠，点C的对应点为点N．我们发现，当点
E的位置不同时，点N的位置也不同．当点E在BC边的某一位置时，点N恰好落在折痕
AE上，则∠AEF＝ 6 0 度．
在图②中，运用以上操作所得结论，解答下列问题：
（1）设AM与NF的交点为点P．求证：△ANP≌△FNE；
（2）若AB＝ ，则线段AP的长为 2 ﹣ 2 ．
【分析】操作一：由正方形的性质得∠BAD＝90°，再由折叠的性质得：∠BAE＝
∠MAE，∠DAF＝∠MAF，即可求解；
操作二：证△ANF是等腰直角三角形，得∠AFN＝45°，则∠AFD＝∠AFM＝45°+∠NFE，
求出∠NFE＝∠CFE＝30°，即可求解；
（1）由等腰直角三角形的性质得AN＝FN，再证∠NAP＝∠NFE＝30°，由ASA即可得出
结论；
（2）由全等三角形的性质得AP＝FE，PN＝EN，再证∠AEB＝60°，然后由含30°角的直角三角形的性质得BE＝ AB＝1，AE＝2BE＝2，AN＝ PN＝ a，AP＝2PN＝2a，由
AN+EN＝AE得出方程，求解即可．
【解答】操作一：
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠C＝∠BAD＝90°，
由折叠的性质得：∠BAE＝∠MAE，∠DAF＝∠MAF，
∴∠MAE+∠MAF＝∠BAE+∠DAF＝ ∠BAD＝45°，
即∠EAF＝45°，
故答案为：45；
操作二：
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠C＝90°，
由折叠的性质得：∠NFE＝∠CFE，∠ENF＝∠C＝90°，∠AFD＝∠AFM，
∴∠ANF＝180°﹣90°＝90°，
由操作一得：∠EAF＝45°，
∴△ANF是等腰直角三角形，
∴∠AFN＝45°，
∴∠AFD＝∠AFM＝45°+∠NFE，
∴2（45°+∠NFE）+∠CFE＝180°，
∴∠NFE＝∠CFE＝30°，
∴∠AEF＝90°﹣30°＝60°，
故答案为：60；
（1）证明：∵△ANF是等腰直角三角形，
∴AN＝FN，
∵∠AMF＝∠ANF＝90°，∠APN＝∠FPM，
∴∠NAP＝∠NFE＝30°，
在△ANP和△FNE中，
，
∴△ANP≌△FNE（ASA）；（2）由（1）得：△ANP≌△FNE，
∴AP＝FE，PN＝EN，
∵∠NFE＝∠CFE＝30°，∠ENF＝∠C＝90°，
∴∠NEF＝∠CEF＝60°，
∴∠AEB＝60°，
∵∠B＝90°，
∴∠BAE＝30°，
∴BE＝ AB＝1，
∴AE＝2BE＝2，
设PN＝EN＝a，
∵∠ANP＝90°，∠NAP＝30°，
∴AN＝ PN＝ a，AP＝2PN＝2a，
∵AN+EN＝AE，
∴ a+a＝2，
解得：a＝ ﹣1，
∴AP＝2a＝2 ﹣2，
故答案为：2 ﹣2．
23．（10分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，点D为边AC的中点．动点P
从点A出发，沿折线AB﹣BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当点P不与点A、C
重合时，连结PD．作点A关于直线PD的对称点A′，连结A′D、A′A．设点P的运动
时间为t秒．
（1）线段AD的长为 2 ；
（2）用含t的代数式表示线段BP的长；
（3）当点A′在△ABC内部时，求t的取值范围；
（4）当∠AA′D与∠B相等时，直接写出t的值．【分析】（1）由勾股定理求解．
（2）分类讨论点P在AB及BC上运动两种情况．
（3）分别求出点A'落在AB与BC上两个临界值求解．
（4）分类讨论点P在AB及BC上两种情况，通过添加辅助线求解．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得：
AC＝ ＝4，
∴AD＝ AC＝2．
故答案为：2．
（2）当0＜t≤5时，点P在线段AB上运动，PB＝AB﹣AP＝5﹣t，
当5＜t＜8时，点P在BC上运动，PB＝t﹣5．
综上所述，PB＝ ．
（3）如图，当点A'落在AB上时，DP⊥AB，
∵AP＝t，AD＝2，cosA＝ ，
∴在Rt△APD中，cosA＝ ＝ ＝ ，
∴t＝ ．
如图，当点A'落在BC边上时，DP⊥AC，∵AP＝t，AD＝2，cosA＝ ，
∴在Rt△APD中，cosA＝ ＝ ＝ ，
∴t＝ ．
如图，点A'运动轨迹为以D为圆心，AD长为半径的圆上，
∴ ＜t＜ 时，点A'在△ABC内部．
（4）如图，0＜t＜5时，
∵∠AA'D＝∠B＝∠A'AD，∠ADP+∠A'AD＝∠BAC+∠B＝90°，
∴∠ADP＝∠BAC，
∴AE＝ AD＝1，
∵cosA＝ ＝ ＝ ，
∴t＝ ．
如图，当5＜t＜8时，
∵∠AA'B＝∠B＝∠A'AD，
∠BAC+∠B＝90°，
∴∠BAC+∠A'AD＝90°，
∴PE∥BA，
∴∠DPC＝∠B，
∵在Rt△PCD中，CD＝ ＝2，CP＝8﹣t，tan∠DPC＝ ，
∴tan∠DPC＝ ＝ ＝ ，
∴t＝ ．
综上所述，t＝ 或 ．
24．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝2（x﹣m）2+2m（m为常数）的顶点为A．
（1）当m＝ 时，点A的坐标是 （ ， 1 ） ，抛物线与y轴交点的坐标是 （ 0 ，
） ；（2）若点A在第一象限，且OA＝ ，求此抛物线所对应的二次函数的表达式，并写出
函数值y随x的增大而减小时x的取值范围；
（3）当x≤2m时，若函数y＝2（x﹣m）2+m的最小值为3，求m的值；
（4）分别过点P（4，2）、Q（4，2﹣2m）作y轴的垂线，交抛物线的对称轴于点M、
N．当抛物线y＝2（x﹣m）2+2m与四边形PQNM的边有两个交点时，将这两个交点分别记
为点B、点C，且点B的纵坐标大于点C的纵坐标．若点B到y轴的距离与点C到x轴的
距离相等，直接写出m的值．
【分析】（1）将m＝ 代入抛物线解析式中，即可得出顶点坐标，再令x＝0，即可求
得答案；
（2）运用勾股定理建立方程求解即可；
（3）分两种情况进行讨论：①当m＜0时，2（2m﹣m）2+m＝3，解方程即可得出答案；
②当m＞0时，2（m﹣m）2+m＝3，解方程即可得出答案；
（4）分情况讨论：当m＞0时，若点B在PM边上，点C在MN边上，令y＝2，则2＝2
（x﹣m）2+2m，解方程即可；若点B在PM边上，点C在NQ边上，则2﹣2m＝m+ ，
解方程即可；若点B在PQ边上，点C在NQ边上，则4＝2﹣2m，不符合题意；当m＜0时，
若点B在NQ边上，点C在PM边上，无解．
【解答】解：（1）当m＝ 时，y＝2（x﹣ ）2+1，
∴顶点A（ ，1），
令x＝0，得y＝ ，∴抛物线与y轴交点的坐标为（0， ），
故答案为：（ ，1），（0， ）；
（2）∵点A（m，2m）在第一象限，且OA＝ ，
∴m2+（2m）2＝（ ）2，且m＞0，
解得：m＝1，
∴抛物线的解析式为y＝2（x﹣1）2+2，当x＜1时，函数值y随x的增大而减小；
（3）∵当x≤2m时，若函数y＝2（x﹣m）2+m的最小值为3，
∴分两种情况：2m＜m，即m＜0时，或2m＞m，即m＞0时，
①当m＜0时，2（2m﹣m）2+m＝3，
解得：m＝1（舍）或m＝﹣ ，
②当m＞0时，2（m﹣m）2+m＝3，
解得：m＝3，
综上所述，m的值为﹣ 或3；
（4）如图1，当m＞0时，∵P（4，2）、Q（4，2﹣2m），
∴M（m，2），N（m，2﹣2m），
抛物线y＝2（x﹣m）2+2m与四边形PQNM的边有两个交点，若点B在PM边上，点C在MN
边上，
∴令y＝2，则2＝2（x﹣m）2+2m，
∴x＝m+ ，（x＝m﹣ 不符合题意，舍去），
∴B（m+ ，2），C（m，2m），
根据题意，得2m＝m+ ，
解得：m＝ ，
若点B在PM边上，点C在NQ边上，
则2﹣2m＝m+ ，
解得：m＝ ，
若点B在PQ边上，点C在NQ边上，
则4＝2﹣2m，
解得：m＝﹣1＜0，不符合题意；当m＜0时，如图2，
若点B在NQ边上，点C在PM边上，
则2﹣2m＝2（x﹣m）2+2m，
∴x＝m± ，
∴|m+ |＝2或|m﹣ |＝2，
解得：m＝± ﹣3，
综上所述，m的值为 或 或± ﹣3．
