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2024 学年第一学期初三年级期中考数学考试试题
一、单选题（每小题3分，共30分）
1. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有 4000多年的历史．一棋谱中四部分的截图由黑白棋子
摆成的图案是中心对称的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题主要考查了中心对称图形定义，关键是找出对称中心．把一个图形绕某一点旋转 180度，如
果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念求
解．
【详解】解：选项A能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心
对称图形；
选项B、C、D不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以不是中心对
称图形；
故选：A．
2. 已知 的半径为3，当 时，点P与 的位置关系为（ ）
A. 点P在圆内 B. 点P在圆外 C. 点P在圆上 D. 不能确定
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．根据点与圆的位置关系解答即可．
【详解】解：∵ ， 的半径为3，
∴ 半径，
∴点P与 的位置关系为：点P在圆外．
故选：B．
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学科网（北京）股份有限公司3. 用配方法解一元二次方程 ，配方后得到的方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键．
利用配方法解一元二次方程，进行计算即可解答．
【详解】解∶ ，
，
．
故选∶B．
4. 一元二次方程 有两个不相等实数根，则a的取值范围是（ ）
A. 且 B.
C. D. 且
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，由一元二次方程有两个不相等的实数根，可知
，再结合 得出答案．
【详解】∵一元二次方程 有两个不相等的实数根，
∴ ，
解得 ．
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学科网（北京）股份有限公司所以 且 ．
故选：D．
5. 如图，在 中， ， ， ，则 的内切圆的半径为（ ）
A. 1 B. 2 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理、切线的性质、三角形面积公式，由勾股定理求出 ，设内切圆与
边的切点为 ，与 边的切点为 ，与 边的切点为 ，连接 ， ， ， ， ，
，圆的半径为 ，则 ， ， ， ，再由等面积法得
出 ，即可得解．
【详解】解：∵在 中， ， ， ，
∴ ，
设内切圆与 边的切点为 ，与 边的切点为 ，与 边的切点为 ，连接 ， ， ，
， ， ，圆的半径为 ，
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学科网（北京）股份有限公司，
则 ， ， ， ，
∵ ，
，
∴ ，
∴ ，
故选：A．
6. 将抛物线 先向左平移 个单位，再向下平移 个单位，得到的抛物线的函数表达式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换，根据“上加下减，左加右减”的规律进行解答即可，熟
知函数图象平移的规律是解题的关键．
【详解】解：∵抛物线 先向左平移 个单位，再向下平移 个单位，
∴根据“上加下减，左加右减”规律可得抛物线是 ，
故选： ．
7. 如图，已知点 、 、 、 都在 上， ， ，下列说法错误的是( )
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学科网（北京）股份有限公司A. 弧 弧 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理、垂径定理、圆心角、弧、弦的关系；根据题意和垂径定理，可以得到
， ， ，然后即可判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【详解】解：∵ ，
∴， ，故A正确； ，
∴ ， ,
∴ ，故B正确； ,
∴ ，故C错误；
∵ ，
∴ ，故D正确；
故选：C．
8. 如图，在 内，若圆周角 ，则圆心角 的度数是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，在优弧 上取一点 ，连接 ，利用
圆内接四边形的性质得到 ，然后根据圆周角定理得到 的度数，掌握知识
点的应用是解题的关键．
【详解】解：在优弧 上取一点 ，连接 ，如图，
∵四边形 是 内接四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选： ．
9. 在同一平面直角坐标系中，二次函数 与一次函数 的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
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学科网（北京）股份有限公司【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数、二次函数的图象．应该识记一次函数 在不同情况下所在的
象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．根据 、 的符号，针对二
次函数、一次函数的图象位置，开口方向，分类讨论，逐一排除．
【详解】解：A、 二次函数的图象开口向下，
；
又 该二次函数与 轴交于负半轴，
；
一次函数 的图象应该经过第二、三、四象限，与原图不符；
故本选项错误；
B、 二次函数的图象开口向下，
；
又 该二次函数与 轴交于正半轴，
；
一次函数 的图象应该经过第一、三、四象限，与原图相符；
故本选项正确；
C、 二次函数的图象开口向上，
；
又 该二次函数与 轴交于负半轴，
；
一次函数 的图象应该经过第一、二、四象限，与原图不符；
故本选项错误；
D、 二次函数的图象开口向上，
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学科网（北京）股份有限公司；
又 该二次函数与 轴交于正半轴，
；
一次函数 的图象应该经过第一、二、三象限与原图不符；；
故本选项错误．
故选：B
10. 已知 表示不超过实数 的最大整数，函数 的部分图象如图所示，若方程 在
有2个解，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了函数图象，弄清函数图象与方程的关系是解题的关键．分别作出当 经过
、 、 、 时的图象，再由图象判断出函数 与函数 的图象在
有两个交点时 在 有两个解，即可解答此题．
【详解】解：当函数 与函数 的图象在 有两个交点时 在 有
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学科网（北京）股份有限公司两个解，
令 经过 ，得 ，
，
令 经过 ，得 ，
，
令 经过 ，得 ，
，
令 经过 ，得 ，
，
如图，
可以看出经过 的 和经过 的 ，与函数 的图象在 有两个
交点，
，
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学科网（北京）股份有限公司故选： ．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11. 在平面直角坐标系中，点 关于原点的对称点的坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了关于原点对称 的点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．根据两个点关
于原点对称时，它们的坐标符号相反可直接得到答案．
【详解】解：点 关于原点的对称点的坐标为 ，
故答案为： ．
12. 抛物线 的顶点坐标是_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质．根据抛物线 的顶点坐标为 求解即可．
【详解】解：抛物线 的顶点坐标是 ，
故答案为： ．
13. 抛 物 线 的 部 分 图 象 如 图 所 示 ， 则 当 时 ， 的 取 值 范 围 是
_____________________．
【答案】 ##
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】本题考查了抛物线与 轴的交点：把求二次函数 是常数， 与 轴的
交点坐标问题转化为解关于 的一元二次方程．也考查了二次函数的性质以及图象法解一元二次方程．利
用抛物线的对称性确定抛物线与 轴的另一个交点坐标为 ，然后结合二次函数图象，写出抛物线在
轴上方所对应的自变量的范围即可．
【详解】解： 抛物线与 轴的一个交点坐标为 ，对称轴是直线 ，
抛物线与 轴的另一个交点坐标为 ，
抛物线开口向下，
当 时， ．
故答案为： ．
14. 如图， 是 的直径，C，D为 上两点，且 平分 ，连接 ， ，若
，则 的度数为___________．
【答案】 ##29度
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理和角平分线的性质，根据圆周角定理， ，
， ， 可 得 ， 又 平 分 ， 可 得
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学科网（北京）股份有限公司，由此求得 ．
【详解】解： ，
，
为 的直径，
，
，
平分 ，
，
，
．
故答案为： ．
15. 图1是一个瓷碗，图 是其截面图，碗体 呈抛物线状（碗体厚度不计），碗口宽 ，
此时面汤最大深度 ．当面汤的深度 为 时，汤面的直径 长为______．
【答案】
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，以 为原点，直线 为 轴，过 且平行CD直线
为 轴，建立平面直角坐标系，设抛物线解析式为 ，求出解析式，然后当 时，求出 的值即
可，建立合适的直角坐标系和待定系数法求解析式是解题的关键．
【详解】解：如图，以 为原点，直线 为 轴，过 且平行CD直线为 轴建立平面直角坐标系，
设抛物线解析式为 ，
由题意得点 ，
∴ ，解得： ，
∴抛物线解析式为 ，
当 时， ，解得： ，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为： ．
16. 如图，在矩形 中， ， ，Q是矩形 左侧一点，连接 、 ，且
，连接 ，E为 的中点，连接 ，则 的最大值为_____．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】6
【解析】
【分析】本题考查了点到圆的最值，勾股定理，三角形中位线定理，延长 到点F，使 ，取
中点O，连接 并延长交 于点Q，取 中点G，连接 ，则 ， 半径为2，利
用勾股定理求得 ，可得 的最大值，根据中位线定理可得 的最大值．
【详解】解：延长 到点F，使 ，取 中点O，连接 并延长交 于点Q，取 中点
G，连接 ，则 ， 半径为2，
点E为 中点，点C为 中点，
为 中位线，
， ，
，
，
为圆上一动点，
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学科网（北京）股份有限公司此时 为最大值，
的最大值为 ．
故答案为：6．
三、解答题（共72分，需写出必要的解答过程与步骤．）
17. 解方程：
（1）
（2）
【答案】（1） ，
（2） ，
【解析】
【分析】本题考查 的是一元二次方程的解法，掌握解方程的方法是关键；
（1）把方程化为 ，再利用配方法解方程即可；
（2）把方程化为 ，再利用因式分解的方法解方程即可．
【小问1详解】
解： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ， ；
【小问2详解】
解： ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 或 ，
解得： ， ；
18. 已知关于x的一元二次方程 ．
（1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；
（2）若 是原方程的两根，且 ，求m的值．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据 证明 即可．
（2）利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题．
本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系及根的判别式，熟知一元二次方程根与系数的关系及根的判
别式是解题的关键．
【小问1详解】
证明：∵一元二次方程 ，且
∴
，
故无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根．
【小问2详解】
解： 是方程 的两个根，
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学科网（北京）股份有限公司则 ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ．
19. 在正方形网格中,建立如图所示的平面直角坐标系xOy, ABC的三个顶点都在格点上,点A的坐标为
(4,4),请解答下列问题: △
(1)画出 ABC关于y轴对称的 AB C ,并写出点A,B ,C 的坐标;
1 1 1 1 1 1
(2)将 A△BC绕点O顺时针旋转△90°,画出旋转后的 A
2
B
2
C
2
,并求出点B旋转到点B
2
所经过的路径长(结果保
留π).△ △
【答案】（1）图详见解析，A(-4,4),B (-1,1),C (-3,1)；（2）图详见解析， π.
1 1 1
【解析】
【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C关于y轴的对称点A 、B 、C 的位置，然后顺次连接即可，
1 1 1
再根据平面直角坐标系写出坐标即可；
（2）分别作出点A、B C绕点O顺时针旋转90°得到其对应点，再顺次连接可得，绕后利用弧长公式计算
可得答案．
【详解】（1） AB C 如图所示，
1 1 1
△
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学科网（北京）股份有限公司A（-4，4），B （-1，1），C （-3，1）；
1 1 1
（2） AB C 如图所示，
2 2 2
△
OB= ，
点B旋转到点B 所经过的路径长为 = = π.
2
【点睛】本题主要考查作图-轴对称变换、旋转变换，解题的关键是熟练掌握轴对称变换和旋转变换的定义
和性质及弧长公式．
20. 如图， 是 的弦， 是弧 的中点．
（1）连接 ，求证： 垂直平分 ；
（2）若 ， ，求 的半径．
【答案】（1）证明见解析；
（2） 的半径为 ．
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】（ ）由 是弧 的中点可知 ，故 ，再由 可得出结论；
（ ）设 与 交于点 ，由（ ）知， 垂直平分 ，得出 ，根据勾股定理求
出 的长，设 的半径为r，则 ， ，在 中利用勾股定理求出 的值即可；
本题考查了圆心角、弧、弦的关系，勾股定理及垂径定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【小问1详解】
证明：∵ 是弧 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 垂直平分 ；
【小问2详解】
解：设 与 交于点 ，如图，
由（ ）知， 垂直平分 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司设 的半径为 ，则 ， ，
在 中由勾股定理得 ，即 ，
解得： ，
∴ 的半径为 ．
21. 如图，点 在等边三角形 的边 上，将 绕点 旋转，使得旋转后点 的对应点为点 ．
（1）用尺规作图法在图中作出旋转后的图形；
（2）若旋转后点 的对应点为点 ，判断CE与AB的关系，并说明理由；
（3）判断 的形状，并说明理由．
【答案】（1）见解析；
（2） ；
（3） 是等边三角形．
【解析】
【分析】（1）利用圆的性质确定 点旋转后得到的 点，再连接 、CE即可；
（2）根据旋转性质得到 ，再根据全等三角形的性质、等边三角形的性质推得 与
互补即可得到 ；
（3）根据全等三角形的性质得到 、 ，结合等边三角形的性质即可证明
是等边三角形．
【小问1详解】
解：以 为原点，AB为半径画圆弧交以 点为圆心，BD为半径画的圆弧，
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学科网（北京）股份有限公司交点为 ，连接 、CE， 即为 旋转后所得图形．
【小问2详解】
解： ，
根据旋转性质可得 ，
，
等边 中， ，
，
即 与 互补，
．
【小问3详解】
证明： 是等边三角形，
，
， ，
又 ，
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学科网（北京）股份有限公司是等边三角形．
【点睛】本题考查的知识点是圆的性质、尺规作图、旋转的性质、全等三角形的性质、等边三角形的性质
与判定、平行线的判定，解题关键是熟练掌握全等三角形的性质．
22. 端午节前夕，某批发部购入一批进价为8元/袋的粽子，销售过程中发现：日销量y（袋）与售价x
（元/袋）满足如图所示的一次函数关系．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）每袋粽子的售价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大日销售利润是多少元？
【答案】（1）
（2）当粽子的售价定为12.5元/袋时，日销售利润最大，最大日销售利润是810元
【解析】
【分析】（1）直接应用待定系数法即可求出一次函数解析式；
（2）根据题意列出获日销售利润与x的函数关系式，然后利用二次函数的性质即可求解．
【小问1详解】
解：设一次函数的解析式为 ，
将 ， 代入得：
，
解得： ，
∴求y与x之间的函数关系式为 ；
【小问2详解】
解：设日销售利润为w，
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学科网（北京）股份有限公司由题意得：
，
∴当 时，w有最大值，最大值为810，
∴当粽子的售价定为12.5元/袋时，日销售利润最大，最大日销售利润是810元．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，二次函数的最值，理解掌握题意，正确的找出题目中的等量关系，
列出方程或函数关系式是解题的关键．
23. 如图，以线段 为直径作 ，交射线 于点 ， 平分 交 于点 ，过点 作直
线 于点 ，交 的延长线于点 ．连接 并延长交 于点 ．
（1）求证：直线 是 的切线；
（2）求证： ；
（3）若 ， ，求 的长．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）连接OD，由∠ODA＝∠OAD＝∠DAC证明OD AC，得∠ODF＝∠AED＝90°，即可证明
直线DE是⊙O的切线；
（2）由线段AB是⊙O的直径证明∠ADB＝90°，再根据等角的余角相等证明∠M＝∠ABM，则AB＝AM；
（3）由∠AEF＝90°，∠F＝30°证明∠BAM＝60°，则 ABM是等边三角形，所以∠M＝60°，则∠EDM＝
30°，所以BD＝MD＝2ME＝2，再证明∠BDF＝∠F，△得BF＝BD＝2．
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学科网（北京）股份有限公司【小问1详解】
证明：连接OD，则OD＝OA，
∴∠ODA＝∠OAD，
∵AD平分∠CAB，
∴∠OAD＝∠DAC，
∴∠ODA＝∠DAC，
∴OD AC，
∵DE⊥AC，
∴∠ODF＝∠AED＝90°，
∵OD是⊙O的半径，且DE⊥OD，
∴直线DE是⊙O的切线．
【小问2详解】
证明： 线段 是 的直径，
，
∴∠ADM＝180°－∠ADB＝ ，
∴∠M＋∠DAM＝ ，∠ABM＋∠DAB＝ ，
∵∠DAM＝∠DAB，
∴∠M＝∠ABM，
∴AB＝AM．
【小问3详解】
解：∵∠AEF＝90°，∠F＝30°，
∴∠BAM＝60°，
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学科网（北京）股份有限公司∴△ABM是等边三角形，
∴∠M＝60°，
∵∠DEM＝90°，ME＝1，
∴∠EDM＝30°，
∴MD＝2ME＝2，
∴BD＝MD＝2，
∵∠BDF＝∠EDM＝30°，
∴∠BDF＝∠F，
∴BF＝BD＝2．
【点睛】此题重点考查切线的判定、直径所对的圆周角是直角、等角的余角相等、等腰三角形的判定与性
质、等边三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半
等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
24. 综合与探究：
如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于点 和点C，与y轴交于点
B(0,3)，点 是抛物线上点 与点 之间的动点（不包括点 ，点 ）．
备用图
（1）求抛物线的解析式；
（2）动点 在抛物线上，且在直线 上方，求 面积的最大值及此时点 的坐标；
（3）在（2）的条件下，将该抛物线向右平移 个单位，点 为点 的对应点，平移后的抛物线与 轴
交于点 ， 为平移后的抛物线的对称轴上任意一点，若 是以 为腰的等腰三角形，求出所有
符合条件的点 的坐标．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】（1） ；
（2）最大值为 ， ；
（3） 或 或 ．
【解析】
【分析】本题考查二次函数与几何的综合，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，二次函数的图象
和性质，等腰三角形的性质，即可．
（1）把点 ， 的坐标代入函数解析式，即可；
（2）设直线 的解析式为 ，根据点 ， 的坐标求出解析式，过点P作x轴的垂线交AB于
点H，求出 ，根据 ，即可；
（3）根据函数平移的性质，则平移的函数解析式： ，根据点 为点 的对应点，求
出点 的坐标，平移后的抛物线与 轴交于点 ，求出点 的坐标，根据两点间的距离公式，求出
， ， ，分类讨论等腰三角形的形状，即可．
【小问1详解】
∵抛物线经过 ，B(0,3)，
∴ ，
解得： ，
∴抛物线的解析式为： ．
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学科网（北京）股份有限公司【小问2详解】
设直线 的解析式为 ，
∵直线 经过 ，(0,3)
∴ ，
解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
过点 作 轴的垂线交 于点 ，设 ，
∴ ，
∴ ，
∵ 面积 ，
∴ ，
∴当 时， 面积最大值为 ，
此时 ．
【小问3详解】
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学科网（北京）股份有限公司抛物线整理得： ，
∴平移后的抛物线表达式为： ，
∵点 为点 的对应点， ，
∴点 ，
∵平移后的抛物线与 轴交于点 ，
∴当 时， ，
∴点 ，
设点 ，
∴ ， ， ，
当 时，则 ，解得： ，
∴点 的坐标为： ；
当 时，则 ，解得： ，
∴点 的坐标为： ，
检验得点 ，点 ，点 三点不共线．
综上所述，点 的坐标为： 或 或 ．
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学科网（北京）股份有限公司25. 【操作判定】
（1）如图1，在 中， ， ，点E在 上（且不与点B、C重合），在
的外部作 ，使 ， ，连接 ，过点 作 ，过点 作
， 交 于点 ，连接 ．根据以上操作，判断：四边形 的形状是______，
______；
【变换探究】
（2）如图2，将图1中的 绕点B逆时针旋转，使点E落在 边上，过点A作 ，过点D
作 ， 交 于点F，连接 ．若 ，求 的长．
【拓展应用】
（3）将图1中的 绕点B顺时针旋转，使点D在 的右侧，过点A作 ，过点D作
， 交 于点F，连接 ，若 ，当四边形 为菱形时．
①求 的长；
②当点D在 左侧时，请直接写出 的长．
【答案】（1）平行四边形， ；（2） ；（3）① ；②
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）先证明四边形 是平行四边形，可得 ，从而得到 ，再证明
点D，E，F三点共线，可得 ，然后根据勾股定理，即可求解；
（2）连接 ，证明四边形 是矩形．可得 ， ，再证明 ，
可得 ， ．从而得到 ．继而得到 是等腰直角三角
形，即可求解；
（3）①连接 并延长交 于点 ，连接 ，根据四边形 是菱形，可得到 ．
设 交 于点 ，交 于点 ， 交 于点 ．证明 ，可得 ，
，可得到 是等腰直角三角形．从而得到 ．进而得到 是线段
的中垂线，即可；②类比①的方法解答，即可求解．
【详解】解：（1）∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形；
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴点D，E，F三点共线，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
即 ；
故答案为：平行四边形， ；．
（2）如图，连接 ．
， ，
四边形 是平行四边形．
又 ，
四边形 是矩形．
， ，
又 ，
．
又 ， ，
，
，
．
，
， ．
，
第31页/共34页
学科网（北京）股份有限公司即 ．
是等腰直角三角形．
，
即 ，
，
；
（3）①如图，连接 并延长交 于点 ，连接 ．
四边形 是菱形，
， ，
，
．
设 交 于点 ，交 于点 ， 交 于点 ．
，
，
，
， ，
，
第32页/共34页
学科网（北京）股份有限公司，
， ．
又 ，
，
是等腰直角三角形．
．
， ，
是线段 的中垂线．
， ，
．
，
；
②延长 交 于 ，
， ，
．
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∵ ，
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∵ ，
∴ ．
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为等腰直角三角形．
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设 交 于点 ．
由①得： 是线段 的中垂线．
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∴ ．
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【点睛】本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定与性质，旋转的性质，菱形的性质，等腰三角形的判
定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识．熟练掌
握平行四边形的判定，矩形的判定与性质，旋转的性质，菱形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定
理，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质是解题的关键．
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