文档内容
强化提升-数资 4
（笔记）
主讲教师：谭丽娟
授课时间：2024.05.04
粉笔公考·官方微信强化提升-数资 4（笔记）
溶液问题：
基本知识
溶液=溶质+溶剂
基础公式：
浓度=溶质/溶液
溶质=溶液*浓度
溶液=溶质/浓度
【注意】溶液问题：
1.基本知识：溶液=溶质+溶剂。例如有 10g 盐（溶质）、90g 水（溶剂）进
行混合，混合后的溶液（盐水）为 100g。
2.基础公式：
（1）浓度=溶质/溶液=10/100=10%。
（2）溶质=溶液*浓度。
（3）溶液=溶质/浓度。
方程法
【例】200g浓度为 20%的A 溶液，与浓度为 25%的B溶液若干，混合后浓度
为23%，则需要B溶液多少克？
溶质=溶液*浓度
1溶液 *浓度 +溶液 *浓度 =总溶液*混合后浓度
1 1 2 2
核心：溶质守恒混合前溶质之和=混合后溶质
【注意】溶液混合问题——方程法：
1.核心：两个溶液进行混合时，前后没有额外加新的溶质→“溶质守恒”→
混合前溶质之和=混合后溶质。
2.例：200g浓度为 20%的A 溶液，与浓度为 25%的B溶液若干，混合后浓度
为23%，则需要B溶液多少克？
答：A、B 两种溶液混合，设 B 溶液为 x 克，混合前后没加入新的溶液和溶
质，根据混合前后溶质相等列式，溶液 *浓度 +溶液 *浓度 =总溶液*混合后浓
1 1 2 2
度，列式：200*20%+B*25%=（200+B）*23%→200*3%=B*2%→B=300。
线段法：
【例】200g浓度为 20%的A 溶液，与浓度为 25%的B溶液若干，混合后浓度
为23%，则需要B溶液多少克？
①画线段：混合之前写两边，混合之后写中间
②算比例：距离和量成反比，根据份数具体算
（距离就是浓度差；量是分母，即溶液的质量）
【注意】溶液混合问题——线段法：
1.线段法做题步骤：
（1）画线段：混合之前写两边，混合之后写中间。
（2）算比例：距离和量成反比，根据份数具体算（距离指的是浓度差；量
是分母，浓度=溶质/溶液，即溶液的质量）。
2.例：200g浓度为 20%的A 溶液，与浓度为 25%的B溶液若干，混合后浓度
为23%，则需要B溶液多少克？
答：混合之前的浓度（20%、25%）写两边，混合之后的浓度（23%）写中间，
距离指的是浓度的差值，距离之比=（23%-20%）：（25%-23%）=3%：2%=3：2，距
离与量成反比，量指的是比例中的分母，即溶液的质量，则量之比是 2：3，A
溶液200g对应2份→1份对应100g，则B溶液 3 份对应300g。
2溶液混合问题：
方法：
①方程法——混合前溶质=混合后溶质
溶液 *浓度 +溶液 *浓度 =总溶液*混合后浓度
1 1 2 2
②线段法——混合之前写两端，混合之后写中间，距离与量成反比，根据份
数具体算
【注意】溶液混合问题的方法：
1.方程法：
（1）混合前溶质质量=混合后溶质质量。
（2）溶液 *浓度 +溶液 *浓度 =总溶液*混合后浓度。
1 1 2 2
2.线段法：混合之前写两端，混合之后写中间，距离与量成反比，根据份数
具体算。
3.如果是三种及以上溶液混合，建议用方程法，两两混合用线段法。
1.（2021黑龙江公检法司）一杯浓度为 50%的糖水，加入一定量的水后浓度
变为 40%，再加入与上一次等量的水后，糖水变为 60 克，问糖水中的糖有多少
克？
A.18 B.20
C.24 D.30
【解析】1.“水”→看成浓度为 0%的溶液；“一杯浓度为 50%的糖水（A 溶
3液），加入一定量的水后浓度变为 40%”→看成两溶液混合；“再加入与上一次等
量的水后，糖水变为 60克”→第二次混合；问“糖水中的糖有多少克”，即求溶
质。
方法一：多个溶液混合，可以考虑方程法。2 次加水，混合前后溶质都是不
变的，根据混合前的溶质=混合后的溶质来列式，设第一次溶液质量为 x，加的
水量为y，则 50%*x=40%*（x+y），解得 x=4y；又加了 y的水，则第二次 x+y+y=60，
代入x=4y，得 4y+y+y=60，6y=60，解得 y=10，x=40，所求=40*50%=20g，对应 B
项。
方法二：“一杯浓度为 50%的糖水，加入一定量的水后浓度变为 40%”→两种
溶液混合，用线段法做题。混合之前写两边（50%、0%），混合之后写中间（40%），
距离之比为10%：40%=1：4，距离与量成反比，则量之比为 4：1，可以按照比例
设未知数，设1次加入 x克水，糖水的质量为4x，加了2次x 的水，A溶液+水+
水=60克→60=4x+x+x=6x→x=10，4x=40，所求=40*50%=20，对应B 项。【选B】
42.（2022湖北选调）将一装满浓度为 24%溶液的容器放置在太阳下暴晒一段
时间，经过一段时间蒸发水分后溶液浓度变为 36%且无沉淀。然后再用浓度为 12%
的溶液将容器加满。请问容器内溶液浓度变为多少?
A.24% B.28%
C.30% D.32%
【解析】2.“无沉淀”说明溶质是不变的，本题只给了比例，结合选项，求
的也是比例，考虑赋值。根据溶液=溶质/溶度，知道溶质，可以知道溶度和溶液
的量，因此本题赋值溶质，为了好算，可以赋值溶质为溶度 24%、36%的公倍数
72，因此溶液①的质量=72/24%=300，同理，溶液②的质量=72/36%=200，从①→
②晒了 100 的质量，此时再用溶度为 12%的溶液将容器加满，即加了 100，此时
溶液变为 300，溶质变为 72+100*12%=72+12=84，所求=84/300=28%，选择 B 项。
【选B】
3.（2023 事业单位）标号为①、②、③的三杯盐水浓度分别为 12%、20%、
33%。将①和②混合后，盐水浓度为 17%；将三杯混合在一起后，盐水浓度为 25%。
则盐水②与③质量比为：
A.5：3 B.5：8
C.3：5 D.3：8
【解析】3.方法一：本题不好用方程法，因为没有给质量，求的是质量比，
虽然是三溶液混合，但前半部分是两溶液混合，可以先用①、②两溶液混合，进
行线段法解题，再去算后面的。①②溶液混合，分别写两边，左边为 12%、右边
为 20%，17%写中间，则距离之比=5：3，量之比=3：5，此时再把①、②溶液当
成总体，和③溶液混合，17%写左边、33%写右边，中间写 25%，则左边距离为 8%，
5右边距离为8%，则距离之比=8：8，量之比也是 8：8，②占5份，③占 8份，则
所求=5/8，选择B项。
方法二：本题也可以设未知数，列方程，设①溶液质量为 x，②溶液为 y，
③溶液质量为z，先把①、②溶液混合，用总溶质/总溶液=（12%x+20%y）/（x+y）
=17%→x/y=3/5=3a/5a，此时再把①、②溶液当成总体，和③溶液混合，
（17%*8a+33%z）/（8a+z）=25%→z=8a，所求=y/z=5/8。【选B】
经济利润问题
1.公式：
（1）利润=售价-进价。
（2）利润率=利润/进价。
（3）售价=进价*（1+利润率）。
（4）总价=单价*数量。
（5）总利润=单个利润*数量=总售价-总进价。
2.方法选择：
（1）方程法：有具体钱数和具体量。
（2）赋值法：
①给比例，求比例。
②三量关系只知其一。
【注意】经济利润问题：和生活息息相关。
1.公式：
6（1）利润=售价-进价。
（2）数量关系→利润率=利润/进价。
（3）售价=进价*（1+利润率）→重点记忆（比较少接触）。
（4）总价=单价*数量。
（5）总利润=单个利润*数量=总售价-总进价。
2.方法选择：
（1）方程法：给了明显的等量关系，有具体钱数和具体量，根据等量关系
设未知数、列方程。
（2）赋值法：
①给比例，求比例。
②三量关系（A=B*C）只知其一。
4.（2021 北京）一种设备打九折出售，销售 12 件与原价出售销售 10 件时
获利相同。已知这种设备的进价为 50元/件，其他成本为 10元/件。问如打八折
出售，1万元最多可以买多少件？
A.80 B.83
C.86 D.90
【解析】4.“销售 12件与原价出售销售 10件时获利相同”给了明显的等量
关系，可以设未知数，列方程。已知这种设备的进价为 50 元/件，其他成本为
10元/件，则一件的总成本=50+10=60 元。求多少件，件数=10000/（定价*0.8），
需要知道定价，题干中没有说定价，假设一件的定价为 x，根据总利=单利*数量，
列式：（0.9x-60）*12=（x-60）*10→5.4x-360=5x-300→0.4x=60→x=150。所求
=10000/（0.8*150）=250/3=83+，最多买83，选择B项。【选B】
5.（2023 湖北选调）一家超市按 20%的利润率定价出售一批酸奶，还剩下
10 箱时，因临近保质期按定价的五折卖出，最终实际获利只有预计获利的 88%。
问这批酸奶共有多少箱？
A.200 B.240
C.250 D.270
7【解析】5.对于经济利润问题，找到等量关系，就可以设未知数，列方程。
本题只给了“10箱”，其他都是比例，根据总利=单利*数量，只给了数量，可以
考虑赋值，可以赋值成本，或者根据“一家超市按 20%的利润率定价出售一批酸
奶”，成本*（1+20%），赋值成本就相当于知道售价，条件多、关系乱，考虑列表。
有定价、售价、成本、单利、数量、总利。赋值成本为 10，“按 20%的利润率定
价”，则售价=10*（1+20%）=12，单利=售价-成本=12-10=2，数量设为 x，则总
利=2x；打折后，售价变为 12*0.5=6，成本不变，则单利=6-10=-4，数量为 10，
总利润=-40，所求=（2x-40）/[2*（x+10）]=（x-20）/（x+10）=88/100=22/25，
交叉相乘得 25x-500=22x+220→3x=720，解得 x=240，注意不要错选 B 项，问的
是总共有多少箱，所求=240+10=250，选择 C项。【选 C】
函数最值
识别：单价和销量此消彼长，问何时总价/总利润最高？
方法：
①设提价/降价次数为 x，列式
②两个括号=0，求 x
③当x=（x+x ）/2时，取得最值
1 2
【注意】函数最值：技巧性比较强。
1.识别：单价和销量此消彼长（单价越高买的人越少，单价越低买的人越多），
问何时总价/总利润最高？
2.例：假设问总收入最高，单价每涨价 0.5 元，销量下降 10 个，设提价次
数为x，总收入=单价*数量=（4+0.5x）*（200-10x），图像是开口向下的抛物线，
要求最高点，求出收入=0时的x、x，当x=（x+x）/2时，取得最值。
1 2 1 2
83.方法：
（1）设提价/降价次数为 x，列式。
（2）两个括号=0，分别求解x、x。
1 2
（3）当x=（x +x）/2时，取得最值。
1 2
6.（2023 事业单位）某电脑制造厂商生产销售一批电脑。每台电脑成本价
格为 4499 元，销售价格为 5699 元。某单位以销售原价购买 20 台电脑，在此基
础上，若销售价格每降低 100元，就多购买 2台。则该电脑制造厂商在该笔交易
中可获得的最大利润为多少元？
A.24200 B.24000
C.36000 D.31200
【解析】6.每台电脑成本价格为 4499 元，销售价格为 5699 元，则利润
=5699-4499=1200，出现单价和数量此消彼长，问什么时候获得最大利润，为函
数最值问题。解题思维是两点式，设降价次数为 x，问最大利润，总利润=单个
利润*销量=（1200-100x）*（20+2x），令总利润=0，解得 x=12、x =-10，当 x=
1 2
（12-10）/2=1时有最值，下降1次，总利润=（1200-100）*（20+2）=1100*22=24200，
选择A项。【选A】
行程问题
一、基础行程：S=VT
平均速度=总路程/总时间
9等距离平均速度公式： =2VV/（V+V）
1 2 1 2
适用于：等距离两段、直线往返、上下坡往返
【注意】基础行程：S=V*T，考最多，但比较难，因为很多要结合画图来做。
1.平均速度=总路程/总时间。
2.等距离平均速度：
（1）公式（重点记住）： =2VV/（V+V ）。
1 2 1 2
（2）适用于：等距离两段、直线往返、上下坡往返。
相对行程：公式多，总结一下
1.相遇本质公式：S =V *t
和 和
（1）直线相遇：S =V *t
和 和
（2）环形多次相遇：n圈=S =V *t
和 和
（3）直线两端出发多次相遇：（2n-1）*S=S =V *t
和 和
（4）直线同端出发多次相遇：2nS=S =V *t
和 和
2.追及本质公式：S =V *t
差 差
（1）直线追及：S =V *t
差 差
（2）环形多次追及：n圈=S =V *t
差 差
【注意】相对行程：公式多，总结一下，先单独记住相遇、追及。
1.相遇本质公式：S =V *t。
和 和
（1）直线相遇：S =V *t。假设甲、乙分别在两点同时出发相对而行，在
和 和
某点相遇，S =V*t，S =V*t，则S =（V +V）*t=V *t。
甲 1 乙 2 和 1 2 和
（2）环形多次相遇（同点出发相向而行）：n 圈=S =V *t。如图甲、乙在
和 和
10同一点，甲向右走，乙向左走，在某点相遇，相遇 1次走了1圈；继续前进，在
原来 1 圈基础上第二次相遇，又加了 1 圈，相遇 2 次走了 2 圈；环形 n 次相遇：
S =n圈=V *t。
和 和
（3）直线两端出发多次相遇：（2n-1）S=S =V *t。如图甲从左边走，乙从
和 和
右边走，第一次相遇走了 1 个 S，蓝色部分表示甲走的，红色部分表示乙走的，
第二次相遇一共走了 3 圈，即 3 个 S，接下来再相遇，第三次相遇在原来 3 个 S
的基础上又多了2个 S，即变成5S，同理，第四次相遇，走了 7个S。直线两端
出发n次相遇：S =（2n-1）*S=V *t。
和 和
（4）直线同端出发多次相遇：2nS=S =V *t。如图甲、乙同时同点出发，
和 和
乙到达某点后与从返回的甲第一次相遇，共走了 2AB；然后继续往下走，第二次
相遇时又走了 2AB，共走了 4AB；继续走，第三次相遇共走了 6AB；直线同端出
发n次相遇：S =2nS=V *t。
和 和
112.追及本质公式：S =V *t。
差 差
（1）直线追及：S =V *t。如图，乙在前面，走得慢，甲追乙，则S =S
差 差 差 甲
-S =（V -V ）*t。
乙 甲 乙
（2）环形多次追及（同点同向同时出发）：n 圈=S =V *t。如图，甲跑得
差 差
慢，乙跑得快，乙和甲的路程差扣掉重复的部分，其他都包含，说明追上 1 次，
S =1 圈；继续走，第 2 次追上乙时，多走 2 圈，S =2 圈；追上 n 次，n 圈=S
差 差 差
=V *t。
差
3.比例行程：三量关系：S=V*t。
（1）S相同，V和T成反比。
（2）V相同，S和T成正比。
（3）T相同，S和V成正比。
7.（2023广东）某地举办了“铁人三项”体育活动，先进行蛙跳，后游泳，
最后竞走到达终点。一位选手在上午 7 点出发，9 点到达了终点，全程未休息，
其蛙跳、游泳和竞走的速度分别为每小时 2 千米、3千米和6千米。如果蛙跳和
竞走的路程相同，则所有项目的总路程是：
A.无法计算 B.6千米
12C.8千米 D.12千米
【解析】7.“7 点出发，9点到达了终点”，共2小时。结合问题来看，要求
所有项目的总路程，S= *2h，求出 即可。出现路程相同，可以用等距离平均速
度公式： =2v v/（v+v）=2*2*6/（2+6）=24/8=3，且游泳的平均速度也
蛙跳和竞走 1 2 1 2
是3，则整体的平均速度就是 3。 =2，则 S=3*2=6，对应B项。【选 B】
总
8.（2023 联考）为加快推进县域交通基础设施内畅外联、互联互通，A、B
两地新修建了一条高速公路。甲、乙两辆汽车在这条高速公路上同时从 A、B 两
地相向开出，甲车每小时行驶 74 千米，乙车每小时行驶 65千米，两车在距中点
18千米处相遇。这条连通 A、B两地的高速公路全长是：
A.139千米 B.256千米
C.278千米 D.556千米
【解析】8.方法一：画图分析，甲从 A 出发，乙从 B 出发，假设中点为 C，
由于是相向而行，因为 V ＞V ，则 D 点在 C 的右边，本题可以直接设未知数、
甲 乙
列方程。设时间为t，对于甲来说，AC=AD-18=74t-18，对应乙来说，AC=65t+18，
整理得9t=36，解得t=4，要求AB两地的全长，即路程和，S=（74+65）*4=139*4=556，
选择D项。
方法二：设半程为 S，甲和乙同时出发，t 相同，则 S 和 V 成正比，因此 S
/S =74/65=（S+18）/（S-18），交叉相乘得 S=278，注意求的是全程，为
甲 乙
2S=2*278=556，选择 D项。【选D】
139.（2021新疆）甲、乙两地分别为一条河流的上下游，两地相距 360千米。
A 船往返需要 35 小时，其中从甲地到乙地的时间比从乙地到甲地的时间短 5 小
时。B船在静水中的速度为 12千米每小时，问其从甲地开往乙地需要多少小时？
A.12 B.20
C.24 D.40
【解析】9.对于 A 船来说：t +t =35，已知从甲地到乙地的时间比从乙地
顺 逆
到甲地的时间短 5 小时，则甲到乙是顺，乙到甲是逆，说明 t +5=t ，两式相
顺 逆
加得 t =30/2=15、t =20。看问题，B 船在静水中的速度为 12 千米每小时，问
顺 逆
其从甲地开往乙地需要多少小时，最终要求的是t ，t =360/V =360/（V+V ），
B顺 B顺 顺 B 水
已知 V=12，求出 V 即可，V =360/15=24=V +V ①，同理 V =360/20=18=V-V
B 水 A顺 A 水 A逆 A
②，（①-②）/2=6/2=3，所求=360/（12+3）=360/15=24，选择C项。【选 C】
水
14【注意】等距离平均速度公式推导：假如路程是 S，去程速度是 V，回程速
1
度是V，则平均速度=总路程/总时间=2S÷（S/V+S/V）=2÷[（V+V）/V V]=2VV/
2 1 2 1 2 1 2 1 2
（V+V）。
1 2
数学运算
几何问题
考查类型：
一、公式类
二、技巧类
【注意】几何问题考查类型：
1.公式类。
2.技巧类。
15【注意】几何问题：
1.几何公式：需要记忆。弧长、扇形面积、菱形表面积、椎体体积比较难，
要进行记忆。
2.结论技巧：三角形相关。
（1）基础知识：两边之和大于第三边；两边之差小于第三边。
（2）勾股定理：涉及直角三角形。
①a²+b²=c²。
②特殊勾股数（记忆）：（3、4、5）、（6、8、10）、（5、12、13），或者同比
例放缩，如（3n、4n、5n）。
③特殊角三角形三边关系：考试非常爱考，尤其是 30°角的直角三角形。
a.30°、60°、90°三边比例为 1： ：2。如果发现斜边正好是短直角边
的2倍，说明是30°角的直角三角形。
16b.45°、45°、90°三边比例为1：1： 。
（3）面积相关：
①底（高）相同的三角形，面积之比等于高（底）之比。如右图，两个三角
形共用同一个底，则面积之比等于高之比；如左图，蓝色三角形与蓝色+红色三
角形共用同一个高，则面积之比等于底之比。
②相似三角形，对应边之比等于相似比，面积比等于相似比的平方。比如相
似比是1：2，则相似比的平方为 1：4，用分数来理解，即（1/2）²=1²/2²=1/4，
如两个三角形相似比是 1：2，一个三角形面积为 1/2*a*b，另一个三角形面积为
1/2*（2a）*（2b），二者面积比就是 1：4。
二、技巧类——勾股定理相关
1.勾股定理：a²+b²=c²
172.常考勾股数：（3、4、5）、（6、8、10）、（5、12、13）
3.特殊角三角形三边关系
【注意】补充：30°、30°、120°三角形三边比例为 1：1： 。可以看成
两个 30°、60°、90°的三角形（三边比是 1： ：2），若斜边是 1，则另外
两边是0.5、0.5 ，整体来看，腰是1，底是 。
10.（2024浙江网友回忆版）一块空地如图所示，AD、BC均与底边垂直，三
角形 ACD 为等腰直角三角形，且 AG、DE、CF 长度均相等。现在图中阴影部分种
上草皮，已知DF长 80米，BC长160米，那么草皮面积为多少平方米？
A.3200 B.3600
C.4000 D.4800
18【解析】10.已知AD=DC、AG=DE=CF，观察图形，S =1/2*EC*DG，设AG=DE=CF=x，
△EGC
则DC=80-x，EC=80-x+x=80，DG=AD-AG=80-x-x=80-2x，故S =1/2*EC*DG=1/2*80*
△EGC
（80-2x）=40*（80-2x）=3200-80x，S =1/2*CF*BC=1/2*x*160=80x。要求整
△BCF
体面积，二者相加，所求=3200-80x+80x=3200，对应A项。【选A】
【注意】图形题能猜可以先猜，实在没时间可以先跳过。
11.（2022事业单位）某兴趣小组进行科学实验。在一个长方体的容器中注
入 5 厘米深的液体，已知这个长方体容器长 45 厘米，宽 35 厘米，高 15 厘米。
现将长方体容器内的液体全部倒入一个圆柱体容器内，已知圆柱体底圆半径为
20厘米，则圆柱体容器内的液体高度约为多少厘米？
A.5.2 B.6.3
C.7.1 D.8.0
【解析】11.从长方体倒至圆柱体中，液体体积未变，即 V 相同，长方体体
积=长*宽*高，圆柱体积=π r²h，则 V=45*35*5=π *20²*h→h≈（45*35*5）/
（3.14*20*20）=315/（3.14*16），选项没有量级，不用关注小数点，原式可转
化为1/16，结果以 625开头附近，最接近B 项。【选B】
12.（2020国考）部队前哨站的雷达监测范围为 100千米。某日前哨站侦测
19到正东偏北30°100 千米处，一架可疑无人机正匀速向正西方向飞行。前哨站通
知正南方向150千米处的部队立即向正北方向发射无人机拦截，匀速飞行一段时
间后，正好在某点与可疑无人机相遇。则我方无人机速度是可疑无人机的多少
倍？
A. +1 B.3（ -1）
C.4 /3 D.2 /3
【解析】12.画图分析，上北、下南、左西、右东，求的是速度之比，t 相
同，S 与 V 成正比，则 V /V =S /S ，30°直角三角形三边比例是 1： ：2，
我 可 我 可
已知 AO=100，则△AOC 三边分别为 50、50 、100，所求=（150+50）
/50 =200/50 =4/ =4 /3，对应C项。【选C】
【注意】本题是行程问题和几何问题相结合，考场上时间不够可以跳过，需
要自己画图，如果图形画出来难度不大。
知识点拓展——梯形中的蝴蝶定理
若梯形的上下底最简比=a：b
则S：S：S：S=a²：b²：ab：ab
1 2 3 4
20【注意】知识点拓展——梯形中的蝴蝶定理：如图，梯形上底和下底平行，
连接对角线，S 与 S 相似，面积比=相似比²，则 S：S=a²：b²；S 与 S 共用一
1 2 1 2 1 3
条高，面积比=边长比，则 S：S=（1/2*a*h）：（1/2*b*h）=a：b=a²：ab。同理，
1 3
S 与S 同样推导，共用一条高，则 S：S=a：b=a²：ab。综上，若梯形的上下底
1 4 1 4
最简比=a：b，则S ：S：S：S=a²：b²：ab：ab。
1 2 3 4
13.（2021广东选调）如图三角形中，A、B分别为两条边的中点，则图中阴
影部分面积为三角形总面积的：
A.1/3 B.1/4
C.2/7 D.3/8
【解析】13.连接 AB，是三角形的中位线，则 AB：CD=1：2，题干没有给出
具体数值，进行赋值，赋值 AB=1（a）、CD=2（b），对于梯形 ABCD，S：S：S：
1 2 3
S=a²：b²：ab：ab=1：4：2：2，求的是阴影面积，需要知道总面积，中位线 AB
4
∥CD，则△OAB∽△OCD，面积比=相似比²，边长比=1：2，则面积比=1：4，梯形
ABCD 按照比值赋值，总面积为 1+4+2+2=9，△OCD 总共 4 份，△OAB 占 1 份，说
明剩余的 3 份对应梯形的 9，则 1 份对应 3，S =3*4=12，所求=（③+④）/S =
总 总
21（2+2）/12=4/12=1/3，对应A项。【选A】
数学运算
排列组合与概率
【注意】排列组合与概率：
1.排列组合：
（1）基础概念：
①分类用加法（要么……要么……）；分步用乘法（既……又……）。
a.例 1：假设老师在长春，过几天要去北京出差，可以选择坐飞机（2 个航
班），也可以选择坐火车（3 趟），问从长春到北京有多少种方式。要么坐飞机、
要么坐火车，分类用加法，所求=2+3=5种。
22b.例 2：假设从长春去南京，需要先去北京、再去南京；从长春到北京有 5
种方式（飞机 2 班、火车 3 趟），从北京到南京有 6 种方式（飞机 4 班、火车 2
趟），问从长春到南京有多少种方式。既要从长春到北京、又要从北京到南京，
分步用乘法，所求=5*6=30种。
②有序用排列（不可互换）→用排列A，无序用组合（可以互换）→用组合
C。
a.例1：假设老师有 5个朋友，从中选 2个朋友陪老师去溜达，从 5个人中
选出2个人即可。假设选的是甲和乙，先选甲、再选乙和先选乙、再选甲，都是
这两个人，调换顺序对结果没有影响，用组合，为C（5,2）。
b.例2：假设老师有 5 个朋友，选2个朋友上午看电影、下午唱歌，一次只
选1个人；选甲看电影、乙唱歌，和选甲唱歌、选乙看电影不同，调换顺序对结
果有影响，用排列，为A（5,2）。
（2）经典题型：
①凑数字/情况少：枚举法，不重不漏、按序枚举。
②必须相邻：捆绑法，先捆再排。
23③不能相邻：插空法，先排再插。
2.概率问题：
（1）给情况求概率（较难）：满足要求的情况数/总的情况数。
（2）给概率求概率（简单）：分类用加法，分步用乘法。
14.（2023吉林）像中国的回文联“洞帘水挂水帘洞，山果花开花果山”一
样，如果将一个数的数字倒排后所得的数仍是这个数，这样的数称为回文数，例
如11，22，343，565，1881，20102等，在所有三位数中回文数共有：
A.81个 B.90个
C.99个 D.100个
【解析】14.要求三位数，分为前、中、后，回文数要前、后数字相同，第
一位不能是0，则从 1～9中选，有 9种选择；中间从 0～9中选，有 10种选择；
后面需要和前面相同，只有 1 种选择。分步相乘，所求=9*10*1=90，对应 B 项。
【选B】
15.（2023 联考）教育平台的网络课程由阅读资料、观看视频、论坛交流、
练习作业和问卷考试五部分学习内容组成。学员需先后完成这五部分学习内容，
其中论坛交流与练习作业均不能在最先和最后完成，则学员安排学习的顺序共有：
A.120种 B.72种
C.36种 D.24种
【解析】15.方法一：先从除去论坛和练习的剩余 3个中选2个放在头、尾，
24没有顺序，为 C（3,2）；头、尾不同，需要排序，为 A（2,2）；除去头、尾的三
个部分也需要全排序，为 A（3,3）。分步相乘，所求=C（3,2）*A（2,2）*A（3,3）
=3*2*3*2*1=36，对应 C项。
方法二：先排列除去论坛和练习的 3个部分，为 A（3,3）；从3 个部分中间
形成的2个空中选 1个，假如插入论坛，为 C（2,1）；再从4个部分中间形成的
3个空中选1个插入，假如插入练习，为 C（3,1）。分步相乘，所求=A（3,3）*C
（2,1）*C（3,1）=3*2*2*3=36，对应C项。【选C】
16.（2022联考）滑雪和滑冰是冬奥会的两大项赛事，其中高山滑雪、自由
式滑雪、单板滑雪、跳台滑雪、越野滑雪和北欧两项是滑雪大项中的 6 个分项，
短道速滑、速度滑冰和花样滑冰是滑冰大项中的 3个分项。小林打算去现场观看
比赛，共选择6个项目，并且每个大项不少于 1个，若所有项目比赛时间均不交
叉，则不同的观赛方式有：
A.83种 B.84种
C.92种 D.102种
【解析】16.滑雪有 6项、滑冰有 3项，可以滑雪 5、滑冰 1，或滑雪 4、滑
冰2，或滑雪 3、滑冰 3，要求必须不少于1 个，所以不能滑雪 6、滑冰 0，正面
思考比较麻烦，正难则反，总情况数：从 9 个中选 6个，为 C（9,6）；反面情况
数：滑雪 6、滑冰 0，从滑雪的 6 个中选 6 个，为 C（6,6）。所求=总情况数-反
面情况数=C（9,6）-C（6,6）=（9*8*7）/（3*2*1）-1=84-1=83，对应 A项。【选
A】
25【注意】有同学先从滑雪中选 1个，再从滑冰中选 1个，再从剩余 7个中选
4个，即C（6,1）*C（3,1）*C（7,4）=C（6,1）*C（3,1）*C（7,3）=6*3*（7*6*5）
/（3*2*1）≠83，这种选择出现重复。
17.（2022广东）某街道对辖内 6个社区的垃圾分类情况进行考核评估，结
果显示，有2个社区的垃圾分类考核不通过。如果从 6个社区中随机抽取 3个进
行现场检查，则抽取的社区中，既有考核通过的又有考核不通过的社区的概率为：
A.1/5 B.1/2
C.2/3 D.4/5
【解析】17.概率问题，P=满足情况数/总情况数。总情况数：6 个社区中选
3个，为C（6,3）=（6*5*4）/（3*2*1）=20。
方法一：满足情况数：通过 4个、不通过 2个，既要通过、又要不通过，可
以是通过 1 个、不通过 2 个，为 C（4,1）*C（2,2）=4 种；也可以是通过 2 个、
不通过1个，为C（4,2）*C（2,1）=（4*3）/2*2=12 种。分类相加，所求=（4+12）
/20=4/5，对应D项。
方法二：不满足情况数：通过 3个、不通过 0个，4个通过的中选 3个，为
C（4,3），所求=1-C（4,3）/C（6,3）=1-4/20=16/20=4/5，对应D项。【选D】
【注意】两种方法中，擅长哪种就用哪种。
26数学运算
容斥原理
【注意】容斥问题：
1.公式：
（1）两集合：A+B-A∩B=总数-都不。
（2）三集合：
①标准型（出现两两交集→既 A又B、既 A又 C、既B又C）：A+B+C-A∩B-A
∩C-B∩C+A∩B∩C=总数-都不。
②非标准型（题干中给出“参加两项”）：A+B+C-满足两项-满足三项*2=总数
-都不。
2.画图：出现“只 A”、“仅参加一种”，相当于问“月牙”的部分，在公式
中没有。
（1）画圈圈，标数据。
（2）从里到外，注意去重。
2718.（2023 浙江）某班级对 70 多名学生进行数学和英语科目摸底测验，有
12%的学生两个科目均不及格。已知有 2/3 的学生英语及格，数学及格的学生比
英语多10人，那两科均及格的学生有多少人？
A.31 B.37
C.41 D.44
【解析】18.根据题意，均不及格/总数=12%=12/100=3/25，说明总数是 25
的倍数，且是 70 多名，只有 75 满足。英语及格人数=75*（2/3）=50 人，数学
及格人数=50+10=60 人，均不及格人数=75*（3/25）=9 人。已知 A、B、都不、
总，问A∩B，代入两集合公式，A+B-A∩B=总数-都不→50+60-A∩B=75-9→110-A
∩B=66→A∩B=44，或用尾数法，对应 D项。【选D】
19.（2023 事业单位）某机关部门有 65 人，为加强文化建设，组织员工到
电影院观看A、B、C 三部电影，由于三部电影放映时间错开，要求每个员工至少
观看一部电影，有 40%员工选择看电影 A，有 27 人选择观看电影 B，有 48 人选
择观看电影C。则选择观看三部电影的员工至多可以有多少人？
A.16 B.17
C.18 D.19
【解析】19.要求每个员工至少观看一部电影→都不=0，三集合容斥问题，
没有给出两两交集，只有 A、B、C，这种情况大部分用非标准型公式，A+B+C-满
足两项-2*满足三项=总数-都不。设满足两项是 x，满足三项是 y，则
26+27+48-x-2y=65→x+2y=36，求的是 y，则 2y=36-x，要求y尽可能多，x要越
小越好，x最小是0，则2y=36→y=18，对应 C项。【选C】
【注意】如果用标准型公式，涉及 A∩B、B∩C、A∩C，未知数太多，故优
先考虑非标准型公式。
20.（2023广东）某单位共有员工 200人，其中订阅杂志的人数比只订阅报
纸的人数多88%。则报纸和杂志均未订阅的员工有多少人？
28A.36 B.56
C.76 D.96
【解析】20.订杂志的比只订报纸的多 88%=88/100，两种理解方式，谁在“比”
后面谁就是基数，如果只订报纸的有 1，则订杂志比只订报纸的多 0.88，订杂志
的有 1.88；或理解为如果只订报纸的有 100，则订杂志的有 100+88=188，比值
是188：100=47：25。设订杂志的有47x（黑圈），则只订报纸的有 25x（月牙），
求全部没有订阅的，所求=总-47x-25x=200-72x，试数，x=1时，都不=200-72=128，
没有答案；x=2时，都不=200-144=56，对应 B项。【选B】
【注意】答疑：
1.第15题：
（1）先排列除去论坛和练习的 3 个部分，为 A（3,3）；论坛和练习不能在
头、尾，只能插空，从3个部分中间形成2 个空中选1个插入，为 C（2,1）；再
从4个部分中间形成的 3个空中选1个插入，为 C（3,1）。
29（2）所求=总-不合适的，不合适的有三种情况要考虑，需要分别排（比如
A在头、剩余4个排，或 B在头、剩余 4个排，或 A和B在头和尾、剩余 3个排），
比较麻烦。
2.第19题：“要求每个员工至少观看一部电影”，说明都不=0。
猜题技巧：猜题有风险，下手需谨慎。
1.概率问题：该情况求概率问题，概率=满足情况数/总情况数，利用分母猜
题。
2.以坑治坑：根据倍数、和差关系猜题。
3.几何猜题：
（1）根据选项结构猜题。
（2）根据肉眼观察的大小关系猜题。
（3）利用尺子量长度。
考场猜猜猜
【例1】(2015 国考）某单位有 50人，男女性别比为 3：2，其中有 15人未
入党，若从中任选 1人，则此人为男性党员的概率最大为多少：
A.3/5 B.2/3
C.3/4 D.5/7
【解析】1.P=满足要求/总情况数，总情况数=C（50,1）=50→分母是 50 的
约数，所求=？/50，排除B、C、D项，对应 A 项。【选A】
P=满足要求/总情况数
30总情况数=C（50,1）→分母是50的约数→A
【例 2】(2019 河南司法所)某书法兴趣班有学员 12 人，其中男生 5 人，女
生7人。从中随机选取 2名学生参加书法比赛，则选到 1名男生和1 名女生的概
率为：
A.35/144 B.35/72
C.35/132 D.35/66
【解析】2.概率问题，P=满足情况数/总情况数，总情况数：12 个人中选 2
个，为 C（12,2）=（12*11）/2=66，分母是 66 或比 66 小的数，所求=？/66，
只有D项满足。【选 D】
猜题技巧：猜题有风险，下手需谨慎。
1.概率问题：该情况求概率问题，概率=满足情况数/总情况数，利用分母猜
题。
2.以坑治坑：根据倍数、和差关系猜题。
3.几何猜题：
（1）根据选项结构猜题。
（2）根据肉眼观察的大小关系猜题。
（3）利用尺子量长度。
【拓展】（2018 国考）将一块长24厘米、宽 16厘米的木板分割成一个正方
形和两个相同的圆形，其余部分弃去不用。在弃去不用的部分面积最小的情况下，
圆的半径为多少厘米？
A.3 B.2
C.8 D.4
【解析】拓展.求圆的半径，考官会把直径和半径都放在选项中，优先看选
项中存在2倍关系的，排除 A、B项。求半径，即求小的，猜测较小的 D项。【选
D】
31根据倍数关系猜题
【例 1】（2019 年国考）甲车上午 8 点从 A 地出发匀速开往 B 地，出发 30
分钟后乙车从 A 地出发以甲车 2 倍的速度前往 B 地，并在距离 B 地 10 千米时追
上甲车。如乙车9点 10分到达B地，问甲车的速度为多少千米/小时？
A.30 B.36
C.45 D.60
【解析】1.课堂正确率 62%。问甲车的速度，题干给出乙车是甲车速度的 2
倍，即 V =2*V ，考官会把有 2 倍关系的 V 也放在选项中，排除 B、C 项。问
乙 甲 乙
甲车，猜测较小的 A项。【选A】
根据倍数关系猜题
【例 2】（2017 重庆）某部队的士兵为偶数个，将所有士兵排成长和宽都大
于1的实心方阵，发现只有一种排法，且该排法下长和宽都小于 100。要使该部
队在调入8名新兵之后仍为只有一种排法的实心方阵，问调入后人数最多可能为
多少？
A.104 B.194
C.202 D.9029
【解析】2.问调入后的人数，已知“调入 8名”，则调入前+8=调入后，考官
可能把调入前的也放在选项中，B 项+8=C 项，排除 A、D 项。求调入后，猜测较
大的C项。【选C】
根据和差关系猜题
【例 3】（2019 江苏）某民营企业新建一个四边形的厂区，按对角线将整个
厂区分为四个功能区，如图所示。已知生产、仓储和营销三个功能区的面积分别
为26亩、18亩和13 亩，若保留休闲区的 12 亩天然小湖泊，则休闲区可利用的
陆地面积是：
32A.36亩 B.26亩
C.24亩 D.23亩
【解析】3.休闲区可利用+12=休闲区总体，找选项中差 12的，A、C 项相差
12，问可利用，猜测较小的 C项。【选C】
根据和差关系猜题
猜题技巧：猜题有风险，下手需谨慎。
1.概率问题：该情况求概率问题，概率=满足情况数/总情况数，利用分母猜
题。
2.以坑治坑：根据倍数、和差关系猜题。
3.几何猜题：
（1）根据选项结构猜题。
（2）根据肉眼观察的大小关系猜题。
（3）利用尺子量长度。
【拓展】某小区规划建设一块边长为 10 米的正方形绿地。如图所示，以绿
地的2个顶点为圆心，边长为半径分别作扇形，把绿地划分为不同的区域。小区
现准备在图中阴影部分种植杜鹃，则杜鹃种植面积为（ ）平方米。
A.100-25π B.200-35π
C.200-50π D.100π -100
33【解析】拓展.割补平移，所求=正方形面积-扇形面积=100-带π 的数，观察
选项结构，只有A项符合。【选 A】
根据选项结构猜题
【例 1】（2018 北京）本题图中，左边的图形每个小圆的面积为π ，那么右
边图形中阴影部分面积为：
A.8π B.64-16π
C.4π +8 D.20
【解析】1.课堂正确率 91%。求阴影部分，所求=S -S =平方数-带π 的
正方形 圆形
数，观察选项结构，只有 B项符合。【选B】
根据选项结构猜题
小结：数量考场策略（10～15分钟，≥50%）
1.学会三大方法（代入排除、倍数特性、方程），搞定和差倍比问题
2.抓住套路题（工程问题、两集合容斥、牛吃草、几何问题、经济利润），
高频题型常规考法
3.配合猜题思路解题
34【注意】小结：数量考场策略（放在最后做，留 10～15分钟，正确率≥50%）。
1.学会三大方法（代入排除、倍数特性、方程），搞定和差倍比问题（比较
简单，重点学会）。
2.抓住套路题（工程问题、两集合容斥、牛吃草、几何问题、经济利润），
高频题型常规考法。
3.配合猜题思路解题。
数量备考思路
1.学习常考题型理论：构建理论框架，学习基础方法——理论课程进行 2～
3遍。
2.专项刷题训练：逐个突破，熟悉题型、灵活应用方法——可刷 5000题2～
3遍。
3.套题演练：培养考场思维——考前1～2个月每周参加模考大赛。
【注意】数量备考思路：
1.学习常考题型理论：构建理论框架，学习基础方法——理论课程进行 2～
3遍（理论基础不好的同学可以多听几遍）。
2.专项刷题训练：逐个突破，熟悉题型、灵活应用方法——可刷 5000题2～
3遍。
3.套题演练：培养考场思维——考前1～2个月每周参加模考大赛。
感恩相遇
愿你岁月静好，人间无忧
在最好的时光里，做最好的自己
愿努力的你，被世界温柔以待
有问题找老师：粉笔 APP-发现-圈子-搜索用户-“数资-谭丽娟”
【答案汇总】
1-5：BBBBC；6-10：ABDCA；11-15：BCABC；16-20：ADDCB
35遇见不一样的自己
Be your better self
36
