1988年数学三解析_数学三真题+解析[87-25]_数学三解析

1988 年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题参考解答及评分标准 数 学（试卷四） 一、填空题（本题满分12分，每空1分） x  1 t2 (一) 已知函数 f(x) e 2 dt, x. 0  1 t2 （1） f(x) e 2 . （2） f(x)的单调性： 单调增加 . （3） f(x)的奇偶性： 奇函数 . （4） f(x)图形的拐点：（0，0） （5） f(x)图形的凹凸性：x0时上凹（下凸）,x0时下凹（上凸）.   （6） f(x)图形的水平渐近线近线： y ,y 2 2 1 1 1 0 1 1 0 1 (二)  3 . 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1     0 0 1 0 0 0 1 0 (三)      . 0 1 0 0 0 1 0 0     1 0 0 0 1 0 0 0 (四) 假设P(A)0.4，P(AB)0.7，那么 （1）若A与B互不相容，则P（B）= 0.3 . （2）若A与B相互独立，则P（B）= 0.5 . 二、（本题满分10分）（每小题，回答正确得2分，回答错误得-1分，不回答得0分； 全题最低得0分） （1）若极限lim f(x)与lim f(x) g(x)都存在，则极限lim g(x)必存在. （） xx xx xx 0 0 0 （2）若x 是函数 f(x)的极值点，则必有 f(x )0. （） 0 0 a a （3）等式 f(x)dx f(ax)dx,对任何实数a都成立. （） 0 0 （4）若A和B都是n阶非零方阵，且AB=0，则A的秩必小于n. （√）（5）若事件A，B，C满足等式AC BC, 则 A=B. （） 三、（本题满分16分，每小题4分.） xx 1 (1) 求极限 lim x1 xlnx 0 解一： 此极限为 型未定式，由罗必塔法则，则 0 xx(lnx1) 原式=lim limxx 1. „„4分 x1 lnx1 x1 解二： 令t  xlnx，则xx et .由于当x1时，t 0，可见 et 1 原式=lim limet 1. „„4分 t0 t t0 2u (2) 已知Ｕ＋eu  xy，求 . xy u y u x 解：由于  ，  ， „„2分 x 1eu y 1eu u 1eu  yeu 2u  u y 可见     „„3分 xy yx (1eu)2 1 xyeu   . „„4分 1eu (1eu)3 3 dx (3) 求定积分 . 0 x(1 x) dx 解一： 由于 2d( x)，可见 x  3 2d x 原式= „„2分  1x 0 2  . „„4分 3 解二： 令 x t，xt2,dx2tdt；当x0时，t 0；当x3时，t  3； „„1分 3 2dt 于是，原式= „„2分 0 1t2 3 2arctan x „„3分 02  . „„4分 3   cosx (4) 求二重积分6dy6 dx. 0 y x  xcosx 解： 在原式中交换积分次序，得 原式6dx dy „„2分 0 0 x   1 =6cosxdx =sinx 6  „„4分 0 0 2 . 四、（本题满分６分，每小题３分）  (n1)! (1) 讨论级数 的敛散性 nn1 n1 u (n2)! nn1 (n2) nn1 n2 1 解：由 n1       ，有 u n (n1)n2 (n1)! (n1)n1 n1 n1 (1 1 )n1 n u n2 1 1 lim n1 lim   1， „„2分 n u n n n1 (1 1 )n1 e n  (n1)! 故由级数收敛的比值判别法，知 收敛. „„3分 nn1 n1    (2) 已知级数a2 和b2 都收敛，试证明级数a b 绝对收敛. i n n n1 in n1    1 证： 由于级数a2 和b2 都收敛，所以 (a2 b2)收敛. „„2分 i i i 2 n1 in n1 1 而a b  (a2 b2)， n n n n 2   故由比较判别法，知级数 |a b |收敛，即a b 绝对收敛. „„3分 n n n n n1 n1 五、（本题满分8分） a 已知某商品的需求量Ｄ和供给量都是价Ｐ的函数：D D(p) ，S S(p)bp， p2 dp 其中a>0和b>0是常数：价格p是时间t的函数且满足方程 k[d(p)s(p)],(k是常数）， dt 假设当t=0时价格为1.试求： （1）需求量等于供给量时的均衡价格P ； （2）价格函数 p(t)； （3）极限lim p(t). e ta a a 1 解：(1) 当需求量等于供给量时，有 bp，即 p3  . 故 p ( )3. „„1分 p2 b e b dp a b a (2) 由条件知 k[D(p)S(p)]k[ bp]k [  p3]. dt p2 p2 b dp b p2dp 因此有 k [p 3 p3]，即 kbdt. „„3分 dt p2 e p3 p 3 e 在该式两边同时积分得 p3  p3ce3kbt . „„5分 e 1 故由条件P(0)1，可得c1 p3.于是价格函数为 p(t)[p3(1 p3)e3kbt]3. „„6分 e e e 1 (3) limp(t)lim[p3(1 p3)e3kbt]3  p „„8分 e e e t t 六、（本题满分8分） 在曲线yx2(x0)上某点A处作一切线，使之与曲线以及x轴所围图形的面积为 1 ，试求： 12 (1) 切点A的坐标； (2) 过切点A的切线方程； (3) 由上述所围平面图形绕x轴旋转一周所成旋转体的体积. 解：设切点A的坐标为(a,a2)， 则过点A的切线方程的斜率为 y| 2a，切线方程为ya2 2a(xa)，即y 2axa2. „„2分 xa a2 可见，切线与x轴的交点为( ,0). 故曲线、x轴以上及切线这三者所围图形的面积为 2 a a3 a3 a3 a3 S  x2dx    . „„4分 0 4 3 4 12 1 而由题设知S  ，因此a1. „„5分 12 于是，切点A的坐标为(1,1)，过切点(1,1)的切线方程为y 2x1. „„6分  1 1 旋转体的体积为V  (x2)2dx (2x1)2dx . „„8分 1 0 30 2 七、（本题满分8分）x x 2x 3x 1 1 2 3 4  x x 2x 3x 1 已给线性方程组 1 2 3 4 ，问k 和k 各取何值时，方程组无解？有唯一 x x 2x 3x 1 1 2  1 2 3 4   x x 2x 3x 1 1 2 3 4 解？有无穷解？在方程组有无穷解的情景下，试求出一般解. 解： 以A表示方程组的系数矩阵，以(A|B)表示增广矩阵， 1 1 2 3 1  1 1 2 3 1      1 3 6 1 3 0 1 2 11     因(A|B)  „„2分  3 1 k 153   0 0 k 2 2 4   1   1      1 5 10 12 k  0 0 0 3 k 5 2 2 故当k  2时，R(A) R(A|B)4，方程组有唯一解； „„3分 1 1 1 2 3 1  1 1 2 3 1      0 1 2 11 0 1 2 11     当k  2时，有(A|B)  „„4分 1  0 0 0 2 4   0 0 0 1 2          0 0 0 3 k 5 0 0 0 0 k 1 2 2 这时，若k 1，则R(A)3 R(A|B)4，故方程组无解； 2 若k 1，则R(A) R(A|B)34，故方程组有无穷多组解，此时有 „„6分 2 1 1 2 3 1 1 0 0 4 0 1 0 0 0 8       0 1 2 11 0 1 2 11 0 1 2 0 3       (A|B)   „„7分       0 0 0 1 2 0 0 0 1 2 0 0 0 1 2             0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0  x 8; 1  相应的方程组为x 32x ，取x c（c为任意常数），得方程组的一般解： 2 3 3   x 2. 4 x 8,x 32c,x c,x 2. „„8分 1 2 3 4 综上所述：当k  2时，方程组有唯一解；当k  2而k 1时，方程组无解； 1 1 2 当k  2且k 1时，方程组有无穷多组解，其一般解为 1 2 x 8,x 32c,x c,x 2，其中c为任意常数. 1 2 3 4 八、（本题满分7分） 已知向量组a a ,,a（S2）线性无关，设a a , a a ,, a,a a ， 1, 2 s 1 1 2 2 2 3 s1 s s s 1讨论向量组,,,的线性相关性. 1 2 s 解：假设k ,k ,,k 是一数组，满足条件kk  k 0 „„1分 1 2 s 1 1 2 2 s s 那么，有(k k )(k k ) (k k ) 0. s 1 1 1 2 2 s1 s s k k 0 s 1  k k 0  1 2  由于a a ,a ,线性无关，故有k k 0 （*） „„3分 1, 2 s 2 3     k k 0 s1 s 此方程组的系数行列式为s阶行列式： 1 0 0  0 1 1 1 0  0 0 2, 若s为奇数 D 0 1 1  0 0 1(1)s1  „„5分 0, 若s为偶数       0 0 0  1 1 若s为奇数，则D20，故方程组（*）只有零解，即k ,k ,,k 必全为0. 1 2 s 这时，向量组,,,线性无关. 1 2 s 若s为偶数，则D 0，故方程组（*）有非零解，即存在不全为0的数组k ,k ,,k ， 1 2 s 使kk  k 0.这时，向量组,,,线性相关, „„7分 1 1 2 2 s s 1 2 s 九、（本题满分6分） 1 设A是三阶方阵，A是A的伴随矩阵，A的行列式 A  .求行列式(3A)12A 的值. 2 1 解： 因 (3A)1  A1， „„2分 3 1 故 A* |A|A1  A1， „„3分 2 3 1 2  2 所以 (3A)12A | A1A1|  A1     |A1| „„5分 3 3  3 16  . „„6分 27 十、（本题满分7分） 玻璃杯成箱出售，每箱(cid:1)20 只，假设各箱含(cid:1)0，1，2 只残次品的概率是0.8，0.1 和(cid:1)0.1， 一顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客开箱随机观察(cid:1)4 只，若无残次品，则购买下该玻璃杯，否则退回.试求： (1) 顾客买下该箱的概率； (2) 在顾客买下的一箱中，确实没有残次品的概率. 解：设B ＝｛箱中恰有i件残品次品｝（i 0,1,2），A＝｛顾客买下所察看的一箱｝. i „„1分 C4 4 由题意知P(B )0.8,P(B)0.1,P(B )0.1；P(A|B )1,P(A|B) 19  ； 0 1 2 0 1 C4 5 20 C4 12 P(A|B ) 18  . „„3分 2 C4 19 20 2 0.4 1.2 (1) 由全概率公式P(A)P(B)P(A|B)0.8  0.94； „„5分 i i 5 19 i0 P(B )P(A|B ) 0.8 (2) 由贝叶斯公式P(B | A) 0 0  0.85. „„7分 0 P(A) 0.94 十一、（本题满分6分） 某保险公司多年的统计资料表明，在索赔户中被盗索赔户占20%，以X表示在随意抽 查的100个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数. (1) 写出X的概率分布； (2) 利用棣莫佛拉普拉斯定理，求出索赔户不少于14户且不多于30户的概率的近似值. 解：(1) X 服从二项分布，参数n100, p 0.2，其概率分布为 P{X k}Ck 0.2k0.8100k (k 0,1,100). „„2分 100 (2) 由X B(n,p)知，EX np20,DX np(1 p)16, „„4分 故根据棣莫佛－拉普拉斯定理，有 1420 X 20 3020  X 20  P{14 X 30} P    P1.5 2.5 „„5分  16 16 16   4  (2.5)(1.5)(2.5)[1(1.5)] 0.994[10.933]0.927. „„6分 十二、（本题满分6分） 假设随机变量X在区间（1，2）上服从均匀分布.试求随机变量Y e2x的概率密度f(y). 1, 若1 x2 解：由条件知，X 的密度函数为 p(x) „„1分 0, 其他 记F(y) P{Y  y}为Y 的分布函数，则有 0, 若ye2 ……2分   1 lny F(y)2 dx, 若e2  ye4 ……3分  1  1, 若ye4 ……4分   0, 若ye2  因此 f(y)F(y)   1 , 若e2  ye4 于是（当ye2,e4时，补充定义 f(y)0），得 2y   0, 若ye4  1  , 若e2  ye4 f(y)2y . „„6分   0 若ye4