1988年数学二解析_数学二真题+解析[87-25]_数学二解析

1988 年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题参考解答及评分标准 数 学（试卷三） 一、填空题 (本题满分 20 分，每小题 4 分) e2(sinxcosx),x0 (1) 若 f(x) 是(,)上的连续函数，则 1 .  2x,x0 (2) 若(cid:1)f(t)= lim t (1 1 )2tx，则 f(t) (2t1)e2t x x x31 1 (3 ) 设.f(x)是连续函数，且(cid:1) f(t)dt  x,则f(7)= . 0 12 1 (4) .lim( )tgx 1 . x0 x 4 (5)  e xdx 2(e2 1) 0 二、选择题 (本题满分20分，每小题4分) 1 1 (1) f(x) x3 x2 6x1的图形在点（0，1）处切线与x轴交点的坐标是 (A) 3 2 1 1 (A) ( ,0) (B) (1,0) (C) ( ,0) (D) (1,0) 6 6 (2) 若 f(x)与g(x)在(,)上皆可导，且 f(x)〈g(x)，则必有 (C) (A) f(x) g(x) (B) f(x) g(x) X x (C) lim f(x) limg(x) (D)  f(t)dt  g(t)dt xx xx 0 0 0 0 1 ( 3 ) 若函数(cid:1)y=f(x)有f(x ) ，则当x0时，该函x=x 处的微分dy是 (B) 0 2 0 (A) 与x等价的无穷小 (B) 与x同阶的无穷小 (C) 比x低阶的无穷小 (D) 比x高阶的无穷小 3 (4) 曲线y sin2 x(0 x)与x轴围成的图形绕x轴旋转所形成的旋转 (B) 4 4 2 2 (A) (B)  (C) 2 (D)  3 3 3 3 (5) 设y  f(x)是方程y2y4y 0的一个解，若 f(x)0，且 f(x )0，则函数 0 f(x)在点x (A) 0 (A) 取得极大值 (B) 取得极小值 (C) 某个邻域内单调增加 (D) 某个邻域内单调减少 三、(本题满分 15 分，每小题 5 分) (1) 已知(cid:1)f(x)= e x2 ,f (  x)  =1-x,且 (x) 0.求 (x)并写出它的定义域. 解：由e[(x)]2 1x，得 (x) ln(1x) . 由ln(1x)0，得1x1即x0. 所以(x) ln(1x) ，其定义域为(,0).(2) 已知y1xexy，求yx0及yx0. 解： 显然x0时，y 1. „„ 1分 yxexy(xyy)exy exy(x2yxy1). „„ 2分 因此y e0 1； „„ 3分 x0 而yexy(x2y2xyxyy)exy(x2yxy1)(xy1)， „„4分 即得y| e0e0 2. „„5分 x0 1 1 (3) 求微分方程y y 的通解（一般解）. x x(x2 1) 1 dx  1 1 dx  解：y e x   e x dxC „„3分  x(x2 1)  1 1     dxC  „„4分 x x2 1  1   arctanxC，其中C是任意常数. „„5分 x 四、(本题满分12分) 6 作函数y 的图形，并填写下表 x2 2x4 单调增加区间 单调减少区间 极值点 极 值 凹() 区间 凸() 区间 拐 点 渐近线 解： 单调增加区间 (,1) （1分） 单调减少区间 (1,) （2分） 极值点 1 （3分） 极值 2 （4分） 凹区间 (,0)及(2,) （6分） 凸区间 (0,2) （7分） 3 3 拐点 (0, )及(2, ) （9分） 2 2 渐进线 y 0 （10分）其图形为： 五、(本题满分8分) 将长为a的铁丝切成两段，一段围成正方形，另一段围成圆形.问这两段铁丝各长为多 少时，正方形与圆形的面积之和为最小？ 解： 设圆形的周长为x，则正方形的周长为ax，而两面积之和为 ax 2  x  2 4 a a2 A       x2  x ， „„ 3分  4  2 16 8 16 4 a （令） a A x 0，得x . „„ 5分 8 8 4 4 A 0. „„ 7分 8 a 4a 故当圆的周长为x 时，正方形的周长为ax 时，A之值最小. „„ 8分 4 4 六、(本题满分 10 分) 设函数(cid:1)y=y(x)满足微分方程y3y2y2ex,且图形在点(0，1)处的切线与曲线 yx2x1在该点的切线重合，求函数y  y(x). 解：对应齐次方程的通解为Y Cex C e2x. 1 2 设原方程的特解为y*  Axex, 得A2. 故原方程通解为y(x)Cex C e2x 2xe2x. 1 2 又已知有公共切线得y| 1,y| 1， x0 x0 c c 1, 即 1 2 解得c 1,c 0. c 2c 1 1 2 1 2 所以y(12x)e2x.七、(本题满分7分) x 设x1，求  (1 t)dt. 1 x x 解：当1 x0时， (1|t|)dt  (1t)dt „„ 1分 1 1 x 1  (1t)2 „„ 2分 2 1 1  (1x)2. „„ 3分 2 x 0 x 当x0时， (1|t|)dt  (1t)dt (1t)dt „„ 5分 1 1 0 1 1 (1x)2. „„ 7分 2 八、(本题满分8分) 设 f(x)在(,)上有连续导数，且m f(x)M . 1 a   1 a (1) 求lim  f(ta) f(ta)dt； (2) 证  f(t)dt f(x) M m (a 0). a04a2 a 2a a 解：(1) 由积分中值定理和微分中值定理有 1 a lim  [f(ta) f(ta)]dt a0 4a2 a 1  lim [f(a) f(a)] (aa) „„ 2分 a0 2a  lim f(*) lim f(*) (2aa* a2a)= f(0). „„ 4分 a0 *0 (2) 证：由 f(x)的有界性及积分估值定理有 „„ 5分 1 a m  f(t)dt M , „„ 6分 2a a 又 M f(x)m， „„ 7分 1 a 故有 (M m)  f(t)dt f(x)M m， 2a a 1 a 即  f(t)dt f(x) M m. „„ 8分 2a a