文档内容
强化提升-数资
（讲义+笔记）
主讲教师：林凡
授课时间：2024.04.01
粉笔公考·官方微信强化提升-数资（讲义）
数量关系
【例 1】（2019 江苏）一只密码箱的密码是一个三位数，满足：3 个数字之
和为19，十位上的数比个位上的数大 2。若将百位上的数与个位上的数对调，得
到一个新密码，且新密码数比原密码数大 99，则原密码数是：（ ）
A.397 B.586
C.675 D.964
【例 2】（2021 重庆）不到 30 岁的哥哥今年的年龄正好是弟弟年龄的 5 倍，
若干年后哥哥的年龄就是弟弟的 4倍，又过了若干年，哥哥的年龄将是弟弟的 3
倍，则今年两兄弟的年龄差是（ ）岁。
A.12 B.13
C.14 D.15
【例3】（2019 福建事业单位）甲、乙、丙三种货物，若购甲 3件、乙 7件、
丙1件，共需325元；若购甲 4件、乙10件、丙 1件，共需 410元。那么购甲、
乙、丙各1件，共需多少元？（ ）
A.100 B.125
C.135 D.155
【例 4】（2019 江西）现有一条柏油马路需要铺设，甲、乙两施工队合作铺
设 3 天可以完成，而乙施工队单独铺设需要 5 天完成。如果甲、乙合作铺设 1
天，乙施工队另有任务，剩余任务由甲单独完成需要多少天？（ ）
A.4 B.5
C.5.5 D.6
【例 5】（2021 广东）某帮扶项目以每公斤 9 元的价格从农民手中收购了一
批苹果，并以每公斤 12 元（包邮）的价格在网上销售。售出总量的 80%后，价
1格下调为每公斤10 元（包邮）。运费成本为每公斤 0.1元。全部售完后，扣除收
购成本和运费的总收益为 2.5万元，则这批苹果为多少吨？（ ）
A.5 B.10
C.15 D.20
【例 6】（2021 黑龙江）某圆形跑道长为 400 米，甲从跑道上 A 点以 6 米/
秒的速度顺时针跑步前行。乙在 A 点对应直径的另一端 B 点同时以 5 米/秒的速
度逆时针跑步前行，问在 14分钟内，他们共相遇了多少次？（ ）
A.22 B.23
C.24 D.25
【例 7】（2018 国考）一艘非法渔船作业时发现其正右方有海上执法船，于
是沿下图所示方向左转 30°后，立即以15节（1节=1海里/小时）的速度逃跑，
同时执法船沿某一直线方向匀速追赶，并正好在某一点追上。已知渔船在被追上
前逃跑的距离刚好与其发现执法船时与执法船的距离相同，问执法船的速度为多
少节？（ ）
A.20 B.30
C.103 D.153
【例 8】（2021 国考）某商场开展“助农销售”活动，凡购买某种农产品满
300元者可获得一个礼盒，其中装有 6种干货中的随机 3种各1小袋，以及 1袋
小米或红豆。问内容不完全相同的礼盒共有多少种可能？（ ）
A.50 B.45
2C.40 D.30
【例9】（2019 联考）某班参加学科竞赛人数 40人，其中参加数学竞赛的有
22 人，参加物理竞赛的有 27 人，参加化学竞赛的有 25 人，只参加两科竞赛的
有24人，参加三科竞赛的有多少人？（ ）
A.2 B.3
C.5 D.7
资料分析
【例1】（2018 国考）
2016年“一带一路”沿线国家中，东欧 20国的人均GDP约是中亚 5国的多
少倍？（ ）
A.2.5 B.3.6
C.5.3 D.11.7
【例2】（2019 北京）2017 年上半年，信息传输、软件和信息技术服务业实
现增加值1319.5亿元，同比增长 9.3%；累计完成电信业务量 361.1 亿元，同比
增长 38.8%；科学研究和技术服务业实现增加值 1211.8 亿元，同比值长 10.0%；
比一季度增幅扩大 1.4个百分点。
2016年上半年，B市累计完成电信业务量约为多少亿元？（ ）
A.180 B.220
C.260 D.300
【例3】（2019 国考）
3下列折线图中，能准确反映 2018年第一季度 CN域名钓鱼网站处理数量同比
增速变化趋势的是：（ ）
A. B.
C. D.
【例4】（2021 江苏）
4在我国主要海洋产业中，2019年产值年增量最大的是：（ ）
A.滨海旅游业 B.海洋船舶工业
C.海洋油气业 D.海洋工程建筑业
概念引申（比重的特殊表述形式）
①增长贡献率=部分增长量/总体增长量(部分增长量是整体增长量的一部分）
②利润率=利润/收入（利润是收入的一部分）
【例5】（2017 四川）2015 年，纺织行业规模以上企业累计实现主营业务收
入70713亿元，同比增长 5.0%；实现利润总额 3860亿元，同比增长 5.4%；企业
亏损面(亏损企业占所有企业比重)11.4%，比上年低 0.1 个百分点。
2015年，纺织行业规模以上企业主营业务利润率（利润总额/主营业务收入）
比上年约：（ ）
A.上升0.02个百分点 B.上升 0.4个百分点
C.下降0.02个百分点 D.下降 0.4个百分点
【例6】（2020 国考）
5关于中国集成电路产业销售及进出口状况，能够从上述资料中推出的是：（ ）
D.2014～2018 年，出口总量超过1万亿块
【例7】（2019 四川）2016 年……按可食用的籽粒玉米统计，玉米播种面积
5.51 亿亩，比上年减少 2039 万亩，减少 3.6%。低产作物大豆播种面积 1.08 亿
亩，比上年增加1046 万亩，增长10.7%。
2015年我国玉米播种面积约是大豆的多少倍？（ ）
A.5.1 B.5.9
C.7 D.4.3
6强化提升-数资（笔记）
【注意】
1.本节课是在强化阶段做一下知识梳理，希望通过本节课在后续的学习和复
习有一个好的帮助。
2.录播课的课程安排：
（1）温故：通过大部分时间去总结回顾强化阶段的重点内容，在一阶段学
习和忘记或基础知识掌握不是很牢固的同学，在这个阶段再详细梳理一下知识体
系，完善笔记。
（2）知新：结尾部分规划下一阶段和梳理套题阶段学习重点。
数量关系
【注意】数量关系备考策略：在考场上做哪些题性价比高。
1.（必修）国考中高频且不难：和差倍比、工程、行程、几何，套路性强能
掌握必须掌握。
2.（选修1）不高频但简单：经济利润、最值、周期循环、容斥、统筹规划。
不是每年必考，但是会出现 1～2个题，遇到要拿到分。
3.（选修2）高频但偏难：排列组合、概率，总体难度略难，要看自身的基
础，考虑是否去学。具体知识点要看各位同学的学习程度，最终要留出时间给数
量去做题。
7【注意】代入排除法：重点强调什么时候用。
1.范围：
（1）典型题：多位数、年龄（涉及几岁的问题）、余数、不定方程。只要出
现使用代入排除得出正确答案的几率高，特别是前两项（多位数、年龄）。
（2）看选项：选项不是一个数，而是一组数。比如选项中为甲乙分别包含
多少。选项为一组数，信息充分，代入排除即可。
（3）剩两项：做题过程中只剩两项时（排除两项错误选项），代一项即得答
案。适合题目中已经排除两个选项使用。
2.方法：
（1）优先排除（先排除错误选项）：排除过程中遵循尾数（系数出现 0或5）、
奇偶（一奇一偶）、倍数（常数与系数有公因子）。
（2）直接代入：遵循最值（如果问题问最多/最小）、好算（如果不问最多/
最少，优先考虑好算的数据，代入整数）原则。
3.代入逻辑：遇矛盾（代入有一个条件不符排除），就排除；全符合（代入
符合全部条件当选），就选择。
【例 1】（2019 江苏）一只密码箱的密码是一个三位数，满足：3 个数字之
和为19，十位上的数比个位上的数大 2。若将百位上的数与个位上的数对调，得
到一个新密码，且新密码数比原密码数大 99，则原密码数是：（ ）
A.397 B.586
C.675 D.964
【解析】1.根据材料“三位数”考查多位数问题，考虑代入排除法。条件①
3个数字之和为19，②十位上的数比个位上的数大 2，③且新密码数比原密码数
大99，代入条件①，排除 C项，多位数考虑“对调”条件，则代入条件②和③，
A 项对调后作差为 793-397≠99 不符排除，B 项对调后作差为 685-586=99，D 项
对调后为469变小很多排除，B项当选。【选 B】
8【注意】倍数特性法：
1.特点：利用选项加上/减去某个数后是某个数字的倍数。本身是某一个数
字的倍数看哪个选项符合要求。
2.基础知识：
（1）当 B、C为整数时，如果 A=B*C，则 A能被 B、C整除。A既是 B 的倍数
又是C的倍数，A是 B与C的公倍数。
（2）整除判定口诀：3、9看各位数字之和（加和能被3整除就是 3的倍数，
加和能被 9 整除就是 9 的倍数），4 看末两位（最后两位能被 4 整除就是 4 的倍
数），2 和 5 看末位（末尾数字是 2、4、6、8 就是 2 的倍数，末尾数字是 0、5
就是5的倍数）。例：12345是否是3的倍数？
答：3、9 看数字加和，则数字加和=1+2+3+4+5=15，15能被3整除，不能被
9整除，则12345是 3的倍数，12345不是 9的倍数。
（3）因式分解：相对复杂的和数。
①12=3*4≠2*6（6能被2和 3整除），12 既能除开3也能除开4，12就是3
和4的倍数，2和6 可以约分为1：3，3和 4就是最简比（互质）。
②判断18的最简比，18可以拆分为2*9，2看末位，9看数字之和，8能被
2整除，1+8=9能被 9整除，3和6不是最简比还能约分。
③分解时必须互质（数字之间的比例是最简比）。
（4）拆分：拆成多个数的和或差。在选项附近找是它倍数的数。例：判断
343是不是7的倍数，在7的倍数之间去找，附近是7的倍数为350，则343=350-7，
350能被7整除忽略，看尾巴7能被7整除，能整除则343是7的倍数。
92.余数型：
（1）特点：平均分配后“剩几个、余几个，缺几个”。多退少补（退用-，
补用+）。
（2）若y=ax+b，则y-b能被a整除。
（3）若y=ax-b，则y+b能被a整除。
（4）前提：a、x均为整数。
（5）例：我兜里有一包糖，将糖平均分给 11人，差2块。
答：差 2 块是则缺 2 块需要补 2 块，则+2 能补上全部都不差，则总量+2 是
11的倍数。
3.比例型：考频最高。
（1）若 A/B=m/n，则 A 是 m 的倍数，B 是 n 的倍数。A±B 是 m±n 的倍数。
一个比例四个倍数关系。
（2）前提：A、B均为整数，m/n是最简整数比（不能再约分）。
（3）例：本节课男女比例为 7：3，7：3是最简比，则男生是7 的倍数，女
生是 3 的倍数，男女总人数=7+3=10 是 10 的倍数，男女人数差=7-3=4 是 4 的倍
数。
（4）识别：数量中出现：比例、分数、百分数、倍数任意一个，都能使用
比例型。例：3：5→分数：3/5→百分数：60%→倍数：0.6倍。
【例 2】（2021 重庆）不到 30 岁的哥哥今年的年龄正好是弟弟年龄的 5 倍，
若干年后哥哥的年龄就是弟弟的 4倍，又过了若干年，哥哥的年龄将是弟弟的 3
倍，则今年两兄弟的年龄差是（ ）岁。
A.12 B.13
C.14 D.15
【解析】2.题干中出现“倍数”考虑比例型倍数特性。问今年找今年，今年
中哥哥的年龄：弟弟的年龄=5：1，今年哥哥和弟弟的年龄差为 5-1=4，则年龄
差得是4的倍数，观察选项，符合 4的倍数的为A项，A项当选。【选 A】
10【注意】方程法：
1.普通方程：核心找等量关系“=”，设未知数x，列方程。例：我的存款比
你的2倍少10万，2倍少10万就是等量关系。
（1）设小不设大（避免分数出现）。例：甲是乙的 2倍，设小不设大，则设
乙为x，甲为2x。
（2）设中间量（方便列式）。多个量都与某个量有关系，则设中间量为 x。
例：甲的存款是乙的 2倍，丙的存款是乙的 3倍，丁的存款是乙的4 倍，则设乙
为x，则甲为2x，丙为 3x，丁为4x。
（3）求谁设谁（避免陷阱），强调题干主体比较多，为了避险陷阱，主体求
谁就设谁。
（4）设比例份数（出现比例），强调题干中出现比例。例：甲/乙=6/5，设
未知数过程中，为防止小数点或分数，则设甲为 6x，乙为5x。
2.不定方程：未知数数量＞方程数量。代入排除。前提条件限定 x和y为正
整数。例：2x+2y=8，当x和y为正整数时，才能求出。
（1）奇偶特性：系数一奇一偶。例：2x+2y=8，8为偶数，无论 x和y为几
*2一定为偶数，偶+偶=偶数，则解得x=1，y=2。
（2）倍数特性：系数与常数有公因子。例 3x+5y=21，x 和 y 的系数都是奇
数，无法用奇偶特性，x的系数3和常数21 都是3的倍数，则5y一定是3的倍
数，y则为3的倍数→y=3，x=2。
11（3）尾数特性：系数尾数为 5 或 0。例：10x+3y=41，出现系数尾数为 0，
则考虑尾数特性，则 10x的尾数一定为0，41 的尾数为1，1来自3y的尾数为1，
3*7=21，则x=2，y=7。
（4）直接代入选项。
3.不定方程组：两个方程，三个未知数。未知数的数量＞方程的数量。
（1）未知数一定是整数：消元。求谁留谁，用不定方程求解。x 代表人、
组、车等的数量一定为整数，考虑消元。把 y或z消掉，求谁留谁。消完后用不
定方程求解。
（2）未知数不一定是整数：特值法（一般赋0）。常考x、y、z 代表时间或
钱不一定是整数时，有无数解，题目不会求 x、y、z的值，大概率是求某个数的
量，如x+y+z。例：5个铅笔，5 个橡皮，5个小刀，则x：y：z=1：1：1，赋任
意未知数值为0，得 x+y+z的和是对的。
【例3】（2019 福建事业单位）甲、乙、丙三种货物，若购甲 3件、乙 7件、
丙1件，共需325元；若购甲 4 件、乙10件、丙 1件，共需 410元。那么购甲、
乙、丙各1件，共需多少元？（ ）
A.100 B.125
C.135 D.155
【解析】3.出现明显等量关系 325 元、410 元，已知数量无单价，甲、乙、
丙为 x、y、z 设单价。则列方程为①3x+7y+z=325；②4x+10y+z=410，未知数是
金钱，不一定为整数，则赋值为0，最好挑系数大的数为0，则令 y=0，解得 x=85，
z=70，则x+y+z=85+0+70=155 元，观察选项，D项符合。【选D】
12【注意】工程问题：重点强调题型分类。工作总量=工作效率*工作时间。
1.给完工时间型（考频高）：赋值，≥2 个完工时间，不要求最小公倍数。
（1）先赋总量（公倍数）。给出两个时间，则赋总量。
（2）再算效率=总量/时间，总量=效率*时间，赋总量后，分别除以时间得
出效率。
（3）根据工作过程列式子或方程。
2.给效率比例型：未给总量和时间，只给时间。
（1）先赋效率（满足比例即可），按比例赋值。
（2）再算总量=效率*时间，利用赋值的效率*时间=总量。
（3）根据工作过程列式子或方程。
3.给具体单位型：题目中一道工程问题给具体效率或总量，就判定是给具体
单位型。设未知数，找等量关系列方程。例：甲、乙、丙三个人共同搬砖，甲能
搬20块，这就是给具体效率。甲、乙、丙三个人一起修路，路长 1000 米，路长
就是总量。
【例 4】（2019 江西）现有一条柏油马路需要铺设，甲、乙两施工队合作铺
设 3 天可以完成，而乙施工队单独铺设需要 5 天完成。如果甲、乙合作铺设 1
天，乙施工队另有任务，剩余任务由甲单独完成需要多少天？（ ）
A.4 B.5
C.5.5 D.6
【解析】4.根据题干可知，完工时间①甲+乙=3天，②乙单独干=5天，考虑
给完工时间型，≥2 个给完工时间，考虑给完工时间型。给时间则赋总量为 15，
求效率：①甲+乙=15/3=5，②乙=15/5=3，则甲+乙的效率为5天，乙为 3天，得
甲的效率为2天。则列方程为：甲+乙完工时间为5*1天=5，余下完工时间15-5=10
天，余下由甲单独完成为 10/2=5天，则B项符合。【选B】
13【注意】经济利润问题：国考中占比高频。
1.基础经济：考查略多。
（1）常见公式：
①利润=售价-进价。
②利润率=利润/进价（成本）。
③折扣=折后价/折前价。
④总价=单价*数量。
（2）解题方法：方程法、赋值法。取舍：题干中出现具体金额和数量考虑
方程法，例：已知进价 10元，利润3元，售价 13元，都是具体金额，考虑列方
程。没有具体金额时考虑赋值法。根据题目要求进行赋值。例：成本又下降了
20%，假设成本下降 100%，则下降了80%。
2.分段计费：在不同的阶段有不同的收费标准。
（1）常见题型：水电费、出租车费、税费、停车费等阶梯收费。
（2）解题方法：分段计算、汇总求和。例：停车费 8 点～17 点为 6 元/h，
17点～24点为3元/h，24点～次日早上 8点 1元/h，依次分段画线段计算后求
和解题。
143.函数最值：
（1）特征：
①单价和数量此消彼长。涨价销量就会降低，降价销量就上涨。
②求最大利润或总价。求最大利润=单件的利润（一件赚多少钱）*数量，最
大售价=单件的价格*数量。
（2）方式：两点式。最高值就是最高点。开口向下的抛物线，与 x 轴有 2
个交点（x、x），找到中点 0=（x +x）/2，对应的对称轴最高的点就是最大值。
1 2 1 2
【例 5】（2021 广东）某帮扶项目以每公斤 9 元的价格从农民手中收购了一
批苹果，并以每公斤 12 元（包邮）的价格在网上销售。售出总量的 80%后，价
格下调为每公斤10 元（包邮）。运费成本为每公斤 0.1元。全部售完后，扣除收
购成本和运费的总收益为 2.5万元，则这批苹果为多少吨？（ ）
A.5 B.10
C.15 D.20
【解析】5.根据题干可知，考查经济利润问题。有具体金额（赚 2.5 万元）
考方程法，找等量关系 2.5 万元。已知进价 9 元，求谁设谁，设苹果总量为 x
吨。（1）第一批：0.8x*售价12 元=9.6x，（2）第二批：0.2x*10元=2x，则两批
货总售价为11.6x。总利润（2.5万元）=总售价-总成本=11.6x-（收购成本 9x-
运费成本0.1x）=2.5x→2.5x=2.5，解得x=10000 公斤=10吨，B项符合。【选B】
15【注意】行程问题：
1.普通行程：基本行程的公式变化，1m/s=3.6km/h。
（1）路程=速度*时间（s=v*t）。
（2）火车过桥：
①火车完全通过桥（从车头上桥到车尾离开）：路程=桥长+车长。
②完全在桥上（从车尾上桥到车头离开）：路程=桥长-车长。
（3）平均速度：
①平均速度=总路程/总时间。
②等距离平均速度=（2v*v）/（v+v）。往返问题，特别是上下坡问题考频
1 2 1 2
高。
③匀变速：加速度 a为定值，平均速度=（v +v ）/2。例：v =30km/h，v
初 末 初
=90km/h，平均速度=（30+90）/2=60km/h。
末
2.相对行程：
（1）相遇、追及：
①相遇（反向）：S =v *t 。例：A与 B反向方向行驶，一共走（总和）的
和 和 遇
路程。
②追及（同向）：S =v *t 。A与B同向行驶，A比B多走的路程，两个之
差 差 追
间的差值。
16（2）多次运动：
①线形两端出发第 n次相遇：（2n-1）s=v *t 。两端：甲从 A出发（实线），
和 遇
乙从 B 出发（虚线），假设 AB 的长度为 S，在 1’处相遇，则从出发到第一次相
遇共走s，多次相遇后不停到达对方的未知后返回，第二次相遇点为 2’，第一次
相遇点到第二次相遇点为 2s，则出发到第二次相遇共走 3s，则从出发到第 n 次
相遇共走为（2n-1）s。
②线形一端出发第 n次相遇：2ns=v *t 。
和 遇
③环形（闭合图形）第 n次相遇：n =v *t 。环形相遇就是一个往走一个
圈 和 遇
往右，本质是一共走的问题。例：400 米跑道，甲沿着实线走，乙沿着虚线走，
甲走 100 米，乙走 300 米，甲和乙就相遇 1 次，则一共走了 400 米。甲+乙=800
米，相遇2次，甲+乙=4000米，相遇 4次。甲+乙=2999米，则2999/400≈7圈，
还未到8圈，则相遇 7次。
17④环形第n次追及：n =v *t 。多走几圈就是追上几次。例：400米跑道，
圈 差 追
我走 2200 米，你走 1000 米，多来的距离：我-你=2200-1000=1200 米，圈数
=1200/400=3圈，则追上 3次。
（3）流水行船：
①顺水：S=（V +V ）*t 。船在静水中的速度为 V 。水流速度为 V 。V
船 水 顺 船 水
=V +V 。
顺 船 水
②逆水：S=（V -V ）*t 。V =V -V 。
船 水 逆 逆 船 水
③V =V +V ；V =（V -V ）/2。
船 顺 逆 水 顺 逆
【例 6】（2021 黑龙江）某圆形跑道长为 400 米，甲从跑道上 A 点以 6 米/
秒的速度顺时针跑步前行。乙在 A 点对应直径的另一端 B 点同时以 5 米/秒的速
度逆时针跑步前行，问在 14 分钟内，他们共相遇了多少次？（ ）
A.22 B.23
C.24 D.25
【解析】6.甲从 A处出发6m/s顺时针跑，乙在 B点以5m/s逆时针跑，考虑
环形相遇。从出发到第一次相遇共走 200 米，S =v *t=（6+5）
和 和
*14min*60s=11m/s*840s=9240m，第二次相遇后需走 400 米才相遇，则余下为
9240/400=22＋次，后面能相遇 22 次+前面已经相遇的 1 次，则共走 23 次，B 项
符合。【选B】
18【注意】几何问题：掌握。
1.公式运用：
（1）规则图形直接公式。
（2）不规则图形先转化为规则图形，再用公式。
2.三角形相关：高频考点。
（1）基础知识：两边之和大于第三边；两边之差小于第三边。
（2）勾股定理：Rt△。
①a²+b²=c²。
②特殊勾股数：3、4、5；6、8、10→3n、4n、5n；5、12、13→5n、12n、
13n。
③特殊三角形：30°、60°、90°对应三边比例=1：√3：2；45°、45°90°
对应三边比例=1：1： √2。出现30°考虑不管求周长还是边长考虑带√3的答案，
出现45°的三角形考虑带√2的答案，出现顶角120°的等腰三角形时为1：1：√3。
（3）面积相关：
①底（高）相等的三角形，面积比等于高（底）之比。
②相似三角形，对应边长之比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
【例 7】（2018 国考）一艘非法渔船作业时发现其正右方有海上执法船，于
是沿下图所示方向左转 30°后，立即以15节（1节=1海里/小时）的速度逃跑，
19同时执法船沿某一直线方向匀速追赶，并正好在某一点追上。已知渔船在被追上
前逃跑的距离刚好与其发现执法船时与执法船的距离相同，问执法船的速度为多
少节？（ ）
A.20 B.30
C.10√3 D.15√3
【解析】7.考虑追及问题，假设逃跑点为 A，逃跑距离为 AC=S ，执法追及
1
的距离为 AB=S，根据“渔船在被追上前逃跑的距离刚好与其发现执法船时与执
2
法船的距离相同”可知，AB=AC表示等腰△，最初发现的船在正右方向，正北角
度往右偏 30°，∠CAB=120°，则 AC：AB：BC=1：1：√3，AC=S=15*t，BC=v
1 执
*t，t一样，则BC/AC=√3/1→v /15=√3/1→v =15√3，D项符合。【选 D】
执 执
20【注意】排列组合与概率问题：
1.排列组合问题：
（1）基础概念：
①分类用加法（要么……要么……）。取决题目中问的是什么。
②分步用乘法（既……又……）。
③有序用排列 A（不可互换）。取决顺序对结果的影响，顺序调换后对结果
有影响用排列A，顺序调换后对结果无影响用组合 C。
④无序用组合 C（可以互换）。一般是干同样的工作。例：在 7 个人中选 2
个人擦黑板，先让谁顺序调换对结果没影响，则为C（7,2）。
（2）经典题型：
①情况数少（情况数≤10时）：枚举法，依照次序（从大到小，从多到小）。
②必须相邻：捆绑法，先捆再绑。例：甲、乙、丙、丁、戊五人拍照，甲、
乙必须相邻，用捆绑法，则甲、乙必须在一起，一共就有4个人。考虑 A（4，4），
内部顺序（甲、乙的位置）A（2，2），则为 A（2，2）*A（4，4）。
③不能相邻：插空法，先排再插。例：甲、乙、丙、丁、戊拍照，甲、乙不
能相邻用插空法，丙、丁、戊不需要相邻，先考虑丙、丁、戊为 A（3，3），再
考虑甲、乙在不同的空位为 A（4，2）。
（3）正难反易：总情况数-反面情况数。
2.概率问题：
（1）给概率求概率：分类用加法，分步用乘法。例：甲本次通过普通话的
概率为60%，乙通过本次普通话的概率为40%，甲、乙都过的概率？
答：给概率求概率，都过表示既要甲过又要乙过，考虑乘法=60%*40%。
21（2）给情况求概率：满足条件的情况数/总的情况数。例：掷骰子掷出 4
点以上的概率？
答：4点以上不含 4点，只有5和6点 2种情况，则P =2/6=1/3。
4个以上
（3）正难反易：1-反面情况概率。不要局限于在正面求答案。
【例 8】（2021 国考）某商场开展“助农销售”活动，凡购买某种农产品满
300元者可获得一个礼盒，其中装有 6种干货中的随机 3种各1小袋，以及 1袋
小米或红豆。问内容不完全相同的礼盒共有多少种可能？（ ）
A.50 B.45
C.40 D.30
【解析】8.不完全相同=完全不相同。根据题干可知，礼盒中有 4 样东西，
干货有3袋，小米或红豆有 1袋。要么是小米要么是红豆，可先选干货为 C（6，
3），既要……又……考虑乘法，先选干货 C（6，3）*粮食 C（2，1）=20*2=40
种，C项符合。【选 C】
【注意】容斥原理问题：
1.公式法：
（1）两集合：A+B-A∩B=总数-都不。
（2）三集合：
①标准型：A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C=总数-都不。特点：A∩B-A∩C-B
∩C。例：喜欢语文的 x 人，喜欢数学的 y 人，喜欢英语的 z 人，既喜欢语文又
喜欢数学的。
②非标准型：A+B+C-满足两项-2*满足三项=总数-都不。例：给出喜欢数学、
语文、英语的有哪些，其中喜欢两科的有哪些，没有给出具体数。
22③默认竞赛和运动会中没有都不=0。
2.画图法：出现“只”字。例：只 A情况为划线部分，则从中心依次标记。
（1）画圆圈：标数据。
（2）从里到外，注意去重。
【例9】（2019 联考）某班参加学科竞赛人数 40人，其中参加数学竞赛的有
22 人，参加物理竞赛的有 27 人，参加化学竞赛的有 25 人，只参加两科竞赛的
有24人，参加三科竞赛的有多少人？（ ）
A.2 B.3
C.5 D.7
【解析】9.只参加两科没有具体指参加哪两科，考虑非标准形公式，则
A+B+C-只满足两项-2*满足三项=总数-都不→代入对应数据为 22+27+25-24-2*
三项=40-0（竞赛中没有都不）→50-2*三项=40→2*三项=10→三项=5，C项符合。
【选C】
资料分析
【注意】资料阅读：大家容易忽略重点如何阅读材料。材料分文字和图表材
料，20s～30s扫读材料。
1.文字资料：
23（1）扫读材料，标记段落主题词，与题干进行匹配。例：2020年小麦产量，
大豆产量，核心主题词为产量，不要标太多和管数据。第二段为今年粮食面积多
少，小麦面积多少，谷物面积多少，核心词都是面积，问产量对应第一段，问面
积第二段，问单位面积产量就第一段+第二段结合解题。
（2）注意相近词、时间、单位（吨和万吨、亩和公顷）等。
2.表格资料：横纵标目（横坐标、纵坐标、折线图）、标题、单位（不要跳
进单位陷阱）、备注（有重要信息）等。先看标题。
3.图形资料：标题、单位、图例（告诉给出的折线图中，实线和虚线等分别
代表什么）。
4.综合资料：不同类型资料之间的关系、资料结构。
【注意】简单计算：
1.直接找数：直接去材料中去找数，注意范围等表述陷阱。例：题干中给出
某省的数据，找全国的数据，不能把某省的数据用于全国的数据，要注意区分范
围陷阱。
2.简单加减：
（1）选项与资料精度相同：尾数法精确计算。例：36181+50812 尾数为 3，
选项中尾数为3的当选，有多项一致时往前计算，直到得出正确答案的数值。
（2）选项与资料精度不同：估算。选项中有约字。例：选项约 8万 7千、8
万 5 千、8 万 3 千、8 万 1 千等，后三位都是 0，就不用计算，保留三位单位就
行，估算前几位进行高位精算。
3.排序问题：时间、单位（吨、万吨）、主体、顺序（升序/降序）。
24【注意】截位直除：
1.截谁：
（1）一步除法：建议只截分母，A/B截 B进行计算。
（2）多步除法：建议上下都截，A/B*[（1+b）/（1+a）]这种多步除法，则
分子、分母都截。
2.截几位：留几位。
（1）选项差距大截两位：快。
①首位不同。例：50多、40多、30多、20多。
②首位相同次位差大于首位。例：A.53 和B.59，首位都为5，次位差=9-3=6
＞首位5，则差距大。
（2）选项差距小截三位，选项首位相同且次位差≤首位：准。例：A.52和
B.57，次位差 7-2=5≤5，选项差距小。乘除法中小数点影响数位，不影响结果。
3.注意：若选项之间存在 10、100 倍关系时要注意判断数量级。例：3600、
360这种需要带上小数点计算。
【例1】（2018 国考）
252016年“一带一路”沿线国家中，东欧 20国的人均GDP约是中亚 5国的多
少倍？（ ）
A.2.5 B.3.6
C.5.3 D.11.7
【解析】1.出现“倍”字，考查现期倍数。观察图表可知，东欧 20国GDP/
人口（26352.1/32161.9）/中亚 5 国 GDP/人口（2254.7/6946.7），多步除法考
虑分子、分母都截，选项差距大，截两位转化为（26/32）*（69/23），约分为（26/32）
*（3/1），当选项差距大时，为方便运算，可以在约分过程中进行微调，给一个
尽量大的数进行微调，则可将分母 32+1微调后为33，约分得26/11=2.4＋，则A
项符合。【选A】
【注意】分数比较：同一量级情况下要学会分类。
1.一大一小：分子大、分母小。
（1）根据分子比大小。
（2）分子大的分数大，分子小的分数小。
（3）例：97/28 和89/31比较大小。
答：方法一：分子 97大，分母28小则分数大，97/28＞89/31。
方法二：28人分 97元，31人分89元，97 元＞89元，28人＜31人，则 97/28
＞89/31。
2.同大同小：
（1）竖着直接除：注意数量级。
（2）横着看倍数：
①分子倍数大，分子大的分数大。同一量级情况下，谁的首位大，谁的分数
大。
②分母倍数大，分母大的分数小。
26③例：97/28和 87/16比较大小。
答：97/28 首位商 3，商不到 4，4 要超。87/16 首位商 5，首位商 3＜首位
商5，则97/28＜87/16。
④例：37/12和 73/33比较大小。
答：73/33分子、分母都大，考虑横向看，分子73是分子37的 2－倍，分母
33是分母12的2+倍接近3倍，分母倍数大，分母大的分数小，则37/12＞73/33。
【注意】基期与现期：
1.基期量：
（1）识别：问题时间在材料时间之前，求过去。
（2）公式：基期量=现期量-增长量；基期量=现期量/（1+r）。
（3）速算：|r|＞5%截位直除，|r|≤5%化除为乘（口诀：加减互换）。
（4）基期和差：先用现期量和正负排除再计算。考频高为基期差。
（5）例：[3000 万/（1+7%）]-[2000万/（1-2%）]，现期差=3000 万-2000
万=1000万，求基期差则不能选择 1000万，则基期[3000万/（1+7%）]会变小不
如3000万，[2000万/（1-2%）]会变大，现期差＜1000万，则基期差一定＜1000
万。
2.现期量：
（1）识别：问题时间在材料时间之后，求未来。
（2）公式：现期量=基期量+增长量；现期量=基期量*（1+r）。一定会给一
个假设，要么假设基期量，要么假设 r。
（3）速算：截位计算，特殊数字。
27（4）例：去年 100斤，今年 120斤，增长量为 20斤，保持增长量不变，则
明年为140斤，r=20%，保持增长率不变，明年再涨20%，则为120*（1+20%）=144
斤。当r＞0，表示正增长，当r不变时，增长量会变大。
（5）例：去年 108143，今年 108196，增长量为 53，保持r不变，求明年。
先按增长量53不变算，明年在增长53，则明年为108249，答案则要＞108249+，
符合的当选。
【例2】（2019 北京）2017 年上半年，信息传输、软件和信息技术服务业实
现增加值1319.5亿元，同比增长 9.3%；累计完成电信业务量 361.1 亿元，同比
增长 38.8%；科学研究和技术服务业实现增加值 1211.8 亿元，同比值长 10.0%；
比一季度增幅扩大 1.4个百分点。
2016年上半年，B市累计完成电信业务量约为多少亿元？（ ）
A.180 B.220
C.260 D.300
【解析】2.材料时间为2017年上半年，题干时间为2016年上半年，考虑基
期。电信业务量今年完成 36.1亿元，r=38.8%，代入基期=现期/（1+r）=361.1/
（1+38.8%），B、C 项选项差距大，次位差 4＞首位 2，截两位得 361.1/1.4，首
位商2，次位商5几。则C项符合。【选C】
【注意】一般增长率：增长+%就是考查增长率。
1.计算：
（1）识别：增长/下降+%，增长几成，增长几倍，增幅，增速。
（2）方法：
28①给百分点，直接加减，高减低加，碰见“降幅”不能直接高减低加，先加
绝对值后再高减低加，运算完后＋符号。
②无百分点，给量，r=增长量/基期量（核心）。
（3）速算：截位直除。
2.比较：
（1）识别：增长最快/慢；增长率最高/低。题干80%给出现期/基期。
（2）比较：
①现期量/基期量倍数明显时，比较“现期量/基期量”＞2 倍，有 1 年＞2
倍，则倍数关系明显。比较“现期/基期”。
②现期量/基期量倍数不明显时，比较“增长量/基期量”＜2倍。估算增长
量，估算增长量，再计算“增长量/基期量”进行比较。
（3）速算：分数比较法。同大同小、一大一小的比较。
【例3】（2019 国考）
下列折线图中，能准确反映 2018年第一季度 CN域名钓鱼网站处理数量同比
增速变化趋势的是：（ ）
29A. B.
C. D.
【解析】3.增速表示增长率，图表中给出 2018年一季度和2017 年第一季度
的数据，可知现期量/基期量，2017 年 1 月：42，2 月：91，3 月：76；2018 年
1 月：204，2 月：58，3 月：254，1 月的现期和基期＞2 倍，则 2018 年的 1 月
/2017 年的 1 月为 204/42≈5 倍，2018 年的 2 月/2017 年的 2 月为 58/91≈0.6，
2018年的3月/2017 年的3月为254/76≈3+，则 2018年1月＞3月＞2月。观察
选项，B项符合。【选 B】
【注意】增长量：
1.计算：
（1）识别：增长/下降+单位（人/元/吨）。
（2）公式：
①增长量=现期量- 基期量=基期量*r=现期量/（1+r）*r。
②年均增长量=（现期量- 基期量）/年份差。平均每年增长多少。基期的选
取在国考中不分省份，2014 年～2018 年的年份差为 4，注意：十三五年（2016
年～2020年）规划，基期往前推1年为（20-15）=5，年均增长量=5/5。
30（3）速算：
①百分数化分数（掌握）：近似转化、倍数转化、取中转化（百化分常用）。
②若|r|≈1/N，则增长量（r＞0）≈现期量/（N+1），减少量（r＜0）≈现
期量/（N-1）。
2.比较：
（1）识别：增长量最多/少。
（2）速算：
①给出每年数据；直接两两相减后比较，柱状图还可用直尺测量高度差，高
度差就是增长量。高度差最近时两两相减。
②给出现期量和 r：两者都大则增长量必然大，否则百化分计算。例：北京
GDP 为 20000，上海为 19000，r=6%，北京增长量＞上海增长量，增长率则是北
京7%＞上海6%。
③例：A：现期量为 1800 万，r 为 11%，B：现期为 4600 万，r 为 9%，一大
一小，考虑倍数。比较增长率：11%＞9%大于 1倍多，比较现期量：4600/1800=2+，
现期倍数差距明显，则B增长量＞A增长量。
【例4】（2021 江苏）
31在我国主要海洋产业中，2019年产值年增量最大的是：（ ）
A.滨海旅游业 B.海洋船舶工业
C.海洋油气业 D.海洋工程建筑业
【解析】4.增量最大考虑增长量比较。A 项：现期量为 18086，r=9.3%，B
项：现期量为 1182，r=11.3%，C 项：现期量为 1541，r=4.7%，D 项：现期量为
1732，r=4.5%；比增长量：（1）大大则大，现期量和 r都大，与 A项相比排除C、
D 项。（2）一大一小，A 项和 B 项不满足，考虑倍数关系，A 项的现期量是 B 项
的现期量16倍，B项的r是A项的r的1倍多，则增长量大的为A项，A项符合。
【选A】
【注意】比重：
1.现期比重：
（1）识别：问题时间与资料时间一致，占，比重。
（2）公式：比重=部分/总体；总体=部分/比重；部分=总体*比重。
（3）速算：截位直除。
（4）概念引申（比重的特殊表述形式）：
①增长贡献率=部分增长量/总体增长量(部分增长量是整体增长量的一部
分）。例：中国 GDP 增长 1 万亿，上海 GDP 增长 1 千亿，中国增长的 1 万亿中有
上海贡献的1千亿，占 10%。
32②利润率=利润/收入（利润是收入的一部分）。数量关系中：利润率=利润/
成本。
2.基期比重：求去年的比重。
（1）识别：问题时间在资料时间之前，占，比重。
（2）公式（掌握，考频高）：[A/（1+a）]÷[B/（1+b）]=（A/B）*[（1+b）
/（1+a）]。
（3）速算：根据题目选项进行计算。
①截位直除。选项差距大，截两位。选项差距小，截三位。约分后进行±1
的微调。
②先计算A/B且观察（1+b）/（1+a）与 1的大小关系。基期比重=现期比重
*[（1+b）/（1+a）]。
3.两期比重：现期比重和基期比重进行比较。
（1）识别：两个时间，一个比重。
（2）公式（核心）：（A/B）*[（a-b）/（1+a）]。
（3）两期比重差：（A/B）*[（a-b）/（1+a）]。
①识别：选项上升/下降几个百分点。
②计算：判方向；定大小＜|a-b|。多个符合时，代入公式截位估算。a＜b，
比重上升；a＜b，比重下降。例：a：7%，b：-4%，＜|a-b|=|7%-4%|=3 个百分
点，选项选择＜3个百分点的数值。
（4）升降判断：比重高（低）于上年，考虑两期比重的升降判定。比较部
分与总体增长率，部分增长率大则升、小则降。
【例5】（2017 四川）2015 年，纺织行业规模以上企业累计实现主营业务收
入70713亿元，同比增长 5.0%；实现利润总额 3860亿元，同比增长 5.4%；企业
亏损面(亏损企业占所有企业比重)11.4%，比上年低 0.1 个百分点。
2015年，纺织行业规模以上企业主营业务利润率（利润总额/主营业务收入）
比上年约：（ ）
A.上升0.02个百分点 B.上升 0.4个百分点
C.下降0.02个百分点 D.下降 0.4个百分点
33【解析】5.两个时间+上升/下降+百分点考查两期比重，利润率是比重的特
殊形式。（1）判方向：a（利润总额）=5.4%＞b（主营业务收入）=5.0%，表示上
升，排除 C、D 项，（2）定大小：＜|a-b|=5.4%-5.0%=0.4 个百分点，答案要＜
0.4个百分点，则A 项符合。【选A】
【注意】平均数：
1.现期平均数：
（1）识别：问题时间与资料时间一致+平均（均/每/单位）。单位企业利润=
平均每个企业的利润/单位。顺口溜：看见“平均每”必考平均数。
（2）公式：平均数=总数/个数；后面/前面。
（3）速算：
①截位直除。
②削峰填谷：多个数的平均数，居中的中间数作为基准，找出比基准高/低
多少，基准+（余数/n）。
2.基期平均数：与基期比重一样。比重和平均数的共通性：A/B。
（1）识别：问题时间在资料时间之前+平均（均/每/单位）。人均 GDP=GDP/
人均。
（2）公式：[A/（1+a）]÷[B/（1+b）]=（A/B）*[（1+b）/（1+a）]。
（3）速算：
①截位直除。
34②计算A/B且观察（1+b）/（1+a）与 1的大小关系。
3.两期平均数：作差。
（1）识别：题干中涉及两个时间+平均（均/每/单位）。
（2）升降判断：看分子、分母增长率，分子增长率大则升、小则降。a＜b，
比重下降，a＞b，比重上升。
（3）平均数的增长率：作商。
①先找出分子的增速 a与分母的增速b。
②代入公式：（a-b）/（1+b）。
（4）两期比重：比重+上升/下降百分点，两期平均数：平均数+上升/下降
+%。
【例6】（2020 国考）
关于中国集成电路产业销售及进出口状况，能够从上述资料中推出的是：（ ）
D.2014～2018 年，出口总量超过1万亿块
【解析】6.削峰填谷的应用。
方法一：将表中 2014年～2018年的出口数量相加可得不到10000。
方法二：2014年～2018年，5年总和＞1万，平均每年＞2000，用超过2000
的年份去补未满2000 的年份，而 2018年的与 2017年出口数量差171+2017年的
与2016年出口数量差43的值补不上2014年～2016年的差值，则平均每年＜2000，
则5年的总和＜10000。D项符合。【选D】
35【注意】倍数：
1.现期倍数：
（1）识别：问题时间与资料时间一致，A是B的多少倍。
（2）公式：A/B。
（3）速算：截位直除。
2.基期倍数：
（1）识别：问题时间在资料时间之前，A是B的多少倍。
（2）公式：[A/（1+a）]÷[B/（1+b）]=（A/B）*[（1+b）/（1+a）]。
（3）速算：
①截位直除。
②计算A/B且观察（1+b）/（1+a）与 1的大小关系。
3.倍数问法：
（1）A是B的 n倍：n=A/B。
（2）A比B增长（多）r倍：r=（A/B）-1。
（3）A超过Bn 倍：A＞B*n。
【例7】（2019 四川）2016 年……按可食用的籽粒玉米统计，玉米播种面积
5.51 亿亩，比上年减少 2039 万亩，减少 3.6%。低产作物大豆播种面积 1.08 亿
亩，比上年增加1046 万亩，增长10.7%。
2015年我国玉米播种面积约是大豆的多少倍？（ ）
A.5.1 B.5.9
36C.7 D.4.3
【解析】7.给2016 年，求 2015年，考查基期。题干中出现“……是……几
倍”，考查基期倍数。则代入数据列式为（5.51/1.08）*[（1+10.7%）/（1-3.6%）]，
选项差距大，截两位转化为（5.5/1.1）*（11/96）≈5*1.1+，观察选项，B项符
合。【选B】
【注意】特殊增长率：
1.间隔增长率：
（1）识别：中间隔一年求增长率。常见隔一年。
（2）公式：r=r +r+r*r。
1 2 1 2
（3）速算：
①r、r 绝对值均小于10%。和+积的运算。结合选项 r*r（估算）＜10%可
1 2 1 2
忽略。
②百化分。例：8.5%+14.4%+8.5%*14.4%=22.9%+正数，则答案为大于 22.9%
的正数，有两个选项一样时，一个不变，一个百化分得 8.5%*1/7≈1.2%，则
22.9%+1.2%=24.1%。
2.年均增长率：
（1）识别：年均增长最快、年均增速排序。
（2）公式：（1+r）n=现期量/现期量，大概率考比较。
（3）方法：比较“现期量/基期量”（n 相同时）。5年计划往前推一年。
3.混合增长率：难度大在于识别和口诀的掌握。
37（1）识别：部分增速与整体增速之间的关系。部分 +部分 =总体。同时还
1 2
会考查名词/时间/概念/A 与非 A 的混合识别，掌握不好的要去方法精讲 4 去熟
练掌握。
（2）口诀：居中但不正中，偏向基期量较大的。（现期代替基期）例：进口
8%，出口10%，进口为 2000万，出口为3000 万，则进出口偏向量大的，介于9%～
10%之间。
（3）线段法：距离与量成反比。
课程安排
1.温故：总结回顾强化阶段重点内容。
2.知新：规划梳理套题阶段学习重点。
PART-1主体课程介绍
第一阶段：方法精讲
第二阶段：强化提升
第三阶段：套题演练（最新的三套考试真题，逐题讲解，把握出题思维与命
题趋势）
第四阶段：考前冲刺
PART-2配套课程使用
PART-3刷题题目来源
1.行测的思维
2.专项题集
3.行测5000题
4.每周模考
【注意】
1.有问题的可在微博粉笔林凡中去私信答疑。
2.课程安排：
（1）温故：总结回顾强化阶段重点内容。
（2）知新：规划梳理套题阶段学习重点。
（3）主体课程介绍：
38①第一阶段：方法精讲；第二阶段：强化提升。（前面两阶段的基础一定要
打牢。）
②第三阶段：套题演练（最新的三套考试真题，逐题讲解，把握出题思维与
命题趋势）。
③第四阶段：考前冲刺。
（4）配套课程使用：课时信息中，主课程集处筛选学霸养成课等课程去学
习。
（5）刷题题目来源：刷题找自身的不足之处，去查漏补缺。
①行测的思维。
②专项题集。
③行测5000题。
④每周模考（贴近考试）。
【答案汇总】
数量关系1-5：BADBB；6-9：BDCC
资料分析1-5：ACBAA；6-7：DB
39遇见不一样的自己
Be your better self
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