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2024 年中考押题预测卷 01【辽宁卷】
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：100分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．下列各组数中互为相反数的是（ ）
1
A．− 与−2 B．−1与−(+1) C．−(−3)与−3 D．2与|−2|
2
【答案】C
【分析】本题考查了相反数的定义、化简多重符号、绝对值，先根据化简多重符号、绝对值进行化简，再
根据“只有符号不同的两个数互为相反数”逐项判断即可得出答案．
1
【详解】解：A、− 与−2不互为相反数，故不符合题意；
2
B、−(+1)=−1，故−1与−(+1)不互为相反数，故不符合题意；
C、−(−3)=3，故−(−3)与−3互为相反数，故符合题意；
D、|−2|=2，故2与|−2|不互为相反数，故不符合题意；
故选：C．
2．嘉淇想知道一张普通A4打印纸的厚度，她将一包500张的打印纸压实测得厚度为4cm，则一张A4打印
纸的厚度约为（ ）
A．2×10−1cm B．8×10−1cm C．8×10−2cm D．8×10−3cm
【答案】D【分析】本题主要考查科学记数法，有理数的除法运算，根据科学记数法的表示方法求解即可．科学记数
法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值．
【详解】4÷500=0.008=8×10−3 (cm)．
∴一张A4打印纸的厚度约为8×10−3cm．
故选：D．
3．如图，两个2024年春晚吉祥物“龙辰辰”的图案成中心对称，则对称中心的坐标为（ ）
A．(4,4) B．(4,3) C．(3,3) D．(3,4)
【答案】A
【分析】本题考查了中心对称，解题的关键是掌握中心对称的定义．分别连接图中的两对对应点，两直线
的交点即为所求．
【详解】解：如图，分别连接图中的两对对应点，对应点所在直线交于点A(4,4)，
∴对称中心的坐标为(4,4)，
故选：A．
4．如图，电脑屏幕上，设计一个运动的光点P，点P先沿水平直线从左向右匀速运动到点A，在A点向右转70°后，再沿直线匀速运动到B点，在B点向左转100°后，再沿直线匀速运动到C点，在C点再向右转
45°后，沿直线匀速运动到M点，此时点M在C点的（ ）
A．南偏东15° B．南偏西45° C．南偏东75° D．南偏东85°
【答案】C
【分析】本题考查了方向角，熟练掌握三角形的外角性质和方向角的定义是解题的关键．
根据三角形外角的性质得出∠ADB和∠DCF的度数，然后计算出∠FCM的度数，根据方向角的定义即
可得出答案．
【详解】如图，延长PA和BC相交于点D，过点C作AD的垂线EF交PD于点E
∵ ∠ADB=100°−70°=30° ∠CED=90°
， ，
∴ ∠DCF=30°+90°=120°，
∴ ∠FCM=120°−45°=75°，
∴此时点M在C点的南偏东75°．
故选：C．
5．黄金分割是一个跨越数学、自然、艺术和设计领域的概念，各个领域中无处不在．黄金分割是指将一
√5−1
个整体分为两部分，其中较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为 ，
2
√5−1
通常人们把这个数叫做黄金分割数．请估计 的值在（ ）
2
1 1 3 3
A．0和 之间 B． 和1之间 C．1和 之间 D． 和2之间
2 2 2 2
【答案】B√5−1
【分析】先估算√5在哪两个整数之间，再利用不等式的基本性质即可得出 的范围．本题主要考查了
2
估算无理数的大小，掌握用夹逼法估算无理数的大小是解题的关键．
【详解】∵22=4，(√5) 2=5，32=9，
4<5<9，
∴2<√5<3，
∴1<√5−1<2，
1 √5−1
∴ < <1，
2 2
√5−1 1
∴ 在 和1之间．
2 2
故选：B．
6．《数书九章》是宋代数学家秦九韶编写的一部实用数学大全．数学课上同学们对“遥度圆城”问题进
行了改编如下：如图，一座圆形城池有正东、正南、正西和正北四个门，北门外正北方向有一棵大树，假
设某人从南门向东走9里恰好可以看到这棵大树，此时转身向树的方向继续走15里到达树下，则该城池的
外围直径为（ ）
9
A． 里 B．6里 C．9里 D．10里
2
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理，切线的性质，相似三角形的判定和性质，由勾股定理可得AC=12里，由
CO OD
题意可得BC与圆O相切，得到∠ODC=∠BAC=90°，即可得到△ODC∽△BAC，得到 = ，设
CB BA
OA=OD=x里，则OC=(12−x)里，求出圆的半径x即可求解，正确画出图形是解题的关键．
【详解】解：如图，由题意可得，AB=9里，BC=15里，BC与圆O相切，切点为D，∠BAC=90°，∴OD⊥BC，AC=√BC2−AB2=√152−92=12里，
∴∠ODC=90°，
设OA=OD=x里，则OC=(12−x)里，
∵∠ODC=∠BAC=90°，∠C=∠C，
∴△ODC∽△BAC，
CO OD
∴ = ，
CB BA
12−x x
即 = ，
15 9
9
解得x= ，
2
9
∴该城池的外围直径为 ×2=9里，
2
故选：C．
7．2024年河北省初中学业水平体育与健康科目考试的抽考项目包含①②③④共四项，由各市教育行政部
门抽签决定．某市教育行政部门从四个项目中随机抽取一项，抽到项目①的概率为（ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
2 3 4 5
【答案】C
【分析】本题主要考查了概率．熟练掌握概率的定义，简单概率的计算，是解决问题的关键．
根据共4种等可能结果，抽到①的可能只有1种，用1除以4，即得．
【详解】∵抽考项目包含①②③④共四项，
1
∴从四个项目中随机抽取一项，抽到项目①的概率为，1÷4= ．
4
故选：C．
8．如图，飞行员在空中观察地面的区域是一个圆，当观察角度为50°，飞机的飞行高度为1000米时，观
察区域的半径是（ ）米．1000
A．1000tan25° B． C．1000tan50° D．1000sin25°
tan25°
【答案】A
【分析】本题考查了正切函数，解直角三角形的应用；根据正切函数的定义即可完成求解．
1
【详解】解：如图，∠CAB= ×50°=25°，AB⊥BC，BC为观察区域的半径，
2
BC BC
∵tan∠CAB= = ，
AB 1000
∴BC=1000tan25°，
故选：A．
9．记载“绫罗尺价”问题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文， ■ ．”其大意为：“现在有
绫布和罗布长共3丈（1丈=10尺），已知绫布和罗布分别出售均能收入896文，■ ．”设绫布有x尺，
896 896
则可得方程为120− = 根据此情境，题中“■”表示缺失的条件，下列可以作为补充条件的是
x 30−x
（ ）
A．每尺绫布比每尺罗布贵120文 B．每尺绫布比每尺罗布便宜120文
C．每尺绫布和每尺罗布一共需要120文 D．绫布的总价比罗布总价便宜120文
【答案】C
【分析】本题考查分式方程的应用，理解方程的意义是解题的关键．
设绫布有x尺，则罗布有(30−x)尺，再表示每尺绫布和每尺罗布需要的费用，最后根据所列的方程求解即可．
【详解】设绫布有x尺，则罗布有(30−x)尺，
∵绫布和罗布分别出售均能收入896文，
896 896
∴每尺绫布的费用为 元，每尺罗布的费用为 元，
x 30−x
896 896
∵120− = ，
x 30−x
896 896
∴ + =120，
x 30−x
∴可以作为补充条件的是：每尺绫布和每尺罗布一共需要120文．
故选：C．
10．在平面直角坐标系中，已知在第一象限内的点A(m,n)，B(m+3,n)，C(m+2,n+1)．若将点B和
点C分别绕点A按逆时针方向旋转90°得到点B'和点C'，设直线B'C'对应的函数解析式为y=kx+b．若
b=0，则m和n满足的关系是（ ）
A．m−n=2 B．m−n=−2 C．m−n=3 D．m−n=−3
【答案】C
【分析】
在平面直角坐标系中画出点A、B、C的大致坐标，将点B和点C分别绕点A按逆时针方向旋转90°得到点
B'和点C'，根据图形观察，计算点B'和点C'的坐标，根据一次函数的解析式b=0，把B'和点C'的坐标代入
y=kx中，可得到含有字母m，n，k的两个关系式，分别表示出k的值，代换并整理后可得m和n的关系．
【详解】解：由题意得：AB=(m+3)−m=3，
∴将点B绕点A按逆时针方向旋转90°得到点B'的坐标为：(m,n+3)．
作C'D⊥AB'于点D，CE⊥AB于点E．∴∠C'DA=∠AEC=90°，AE=(m+2)−m=2，CE=(n+1)−n=1．
∵将点C绕点A按逆时针方向旋转90°得到点C'，
∴AC=AC'，∠DAC'+∠DAC=90°．
∵∠DAC+∠EAC=90°，
∴∠DAC'=∠EAC．
∴△AEC≌△ADC' (AAS)．
∴C'D=CE=1，AD=AE=2．
∴点C'的坐标为：(m−1,n+2)．
∵直线B'C'对应的函数解析式为y=kx+b，b=0，
∴ ¿．
∴ ¿．
n+2 n+3
∴ = ．
m−1 m
∴mn+2m=mn−n+3m−3，
∴ m−n=3．
故选：C．
【点睛】本题考查一次函数的图象与性质，一次函数的解析式，旋转的性质，三角形全等判定与性质，得
到点B和点C分别绕点A按逆时针方向旋转90°后的坐标是解决本题的关键．
第Ⅱ卷二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．因式分解：a4−8a2b2+16b4= ．
【答案】(a+2b) 2 (a−2b) 2
【分析】本题考查了因式分解．先根据完全平方公式分解，再根据平方差公式分解即可．
【详解】解：a4−8a2b2+16b4
=(a2−4b2) 2
=(a+2b) 2 (a−2b) 2．
故答案为：(a+2b) 2 (a−2b) 2．
12．已知一个正多边形的内角和与其外角和的和为2160°，那么从这个正多边形的一个顶点出发，可以作
条对角线．
【答案】9
【分析】此题主要考查了多边形的外角和以及内角和计算公式求多边形的边数，关键是掌握多边形的内角
和公式(n−2)×180°．首先根据多边形外角和求出内角和的度数，再利用内角和公式可得多边形的边数，
再计算出对角线的条数．
【详解】解：∵多边形的外角和都是360°，
∴内角和等于2160°−360°=1800°，
设这个多边形有n条边，
∴(n−2)×180°=1800°，解得：n=12，
∴从这个正多边形的一个顶点出发，可以作12−3=9条对角线．
故答案为：9．
x 2
13．已知代数式 的值比代数式 大2，则x= .
x−1 1−x
【答案】4
x 2
【分析】本题考查了解分式方程，先根据题意列式，得 − =2，解出方程的解，注意要验根，即
x−1 1−x
可作答．
x 2
【详解】解：∵代数式 的值比代数式 大2，
x−1 1−x
x 2
∴ − =2，
x−1 1−x去分母，得x+2=2(x−1)，
解出x=4，
经检验：x=4是原分式方程的解，
故答案为：4．
k 15
14．如图，直线AB交双曲线y= 于A，B两点，交x轴于点C，且AB=3BC，连接OA．若S = ，
x △OAC 2
则k的值为 ．
【答案】3
BE BC 1
【分析】作 AD⊥x轴于D, BE⊥x轴于E, 则BE∥AD, 得到 = = ，利用反比例函数系数k的
AD AC 4
1 k (4k 1 )
几何意义得到S =S = k,设A点坐标为( ,a),即可得到B点坐标为 , a ,利用
△OAD △OBE 2 a a 4
1( 1 ) (4k k) 45
S =S +S −S =S ,得到 a+ a ⋅ − = ，于是可计算出 k的值．
△OAB △OAD 梯形ABED △OBE 梯形ABED 2 4 a a 8
【详解】连接OB, 作AD⊥x轴于D, BE⊥x轴于E,则BE∥AD,
BE BC 1
∴ = ,S =S = k
AD AC △OAD △OBE 2
(k )
设A点坐标为 ,a ，
a
∵AB=3BC，
∴AC=4BC，
AB 3
= ，
AC 4
BE BC 1
∴ = = ，
AD AC 4(4k 1 )
∴B点坐标为 , a ，
a 4
15
∵S = ，
△OAC 2
45
∴S = ，
△OAB 8
∵S =S +S −S =S ，
△OAB △OAD 梯形ABED △OBE 梯形ABED
1 45 1( 1 ) (4k k) 45
∴ (AD+BE)⋅DE= ,即 a+ a ⋅ − = ，
2 8 2 4 a a 8
1 5 3k 45
∴ ⋅ a⋅ = ，
2 4 a 8
解得k=3，
故答案为:3．
【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了平行线分线段成比例定理，反比例函数系数k
的几何意义，反比例图象上点的坐标特征, 由S =S +S −S =S 得到关于k的方
△OAB △OAD 梯形ABED △OBE 梯形ABED
程是解题的关键．
15．如图1，在矩形ABCD中，动点E从点A出发，沿A→B→C方向运动，当点E到达点C时停止运动，
过点E作FE⊥AE交CD于F点．设点E运动路程为x,FC= y，如图2所表示的是y与x的函数关系的大致
4
图象，当点E在BC上运动时，FC的最大长度是 ，则矩形ABCD的面积是 ．
5【答案】20
CF CE
【分析】由题意可知，易证△CFE∼△BEA，可得 = ，根据二次函数图像对称性可得E在BC中点
BE AB
时，CF有最大值，列出二次函数解析式即可解题．
【详解】解：若点E在BC上时，如图
∵∠EFC+∠CEF=90°，∠FEC+∠AEB=90°，
∴∠CFE=∠AEB，
∵在△CFE和△BEA中，∠CFE=∠AEB，∠C=∠B=90°，
∴△CFE∽△BEA，
CF CE
由二次函数图像对称性可得E在BC中点时，CF有最大值，此时 = ，
BE AB
BE=CE=x−5，
y x−5
即 = ，
x−5 5
1
∴y= (x−5) 2 ，
5
4 4 1
当y= 时，代入得到 = (x−5) 2
5 5 5
解得：x =7，x =3（不合题意舍去），
1 2
∴BE=CE=7−5=2，
∴BC=4，
∵AB=5，∴矩形ABCD的面积为4×5=20；
故答案为：20．
【点睛】本题考查了二次函数动点问题，考查了相似三角形的判定和性质，考查了矩形面积的计算，本题
中由图像得出E为BC中点是解题的关键．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（10分）（1）计算：32+|−2|−(π−3) 0；
（2）解不等式组¿
【答案】（1）10
（2）−2<x≤4
【分析】本题考查了实数的混合运算和一元一次不等式组的解法．
（1）根据平方、绝对值和零指数幂的运算法则分别运算后计算即可；
（2）分别解两个不等式，再要根据“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解”求不等式
组的解集．
【详解】解：（1）原式=9+2−1
=10；
（2）¿，
解不等式①，得x>−2，
解不等式②，得x≤4，
∴不等式组的解集为−2<x≤4．
17．（8分）根据以下素材，探索完成任务．
如何确定木板分配方案？
我校开展爱心义卖活动，小艺和
素 同学们打算推销自己的手工制
材 品．他们以每块15元的价格买了
1 100张长方形木板，每块木板长
和宽分别为80cm，40cm.
现将部分木板按图1虚线裁剪，剪去四个边长相同的小正方形（阴影）．把剩余五个矩形拼制成无盖
长方体收纳盒，使其底面长与宽之比为3:1，其余木板按图2虚线裁剪出两块木板（阴影是余料），
给部分盒子配上盖子．
素
材
2素
材
义卖时的售价如标签所示：
3
问题解决
任
务 计算盒子高度 求出长方体收纳盒的高度．
1
任
若制成的有盖收纳盒个数大于无盖收纳盒，但不到无盖收纳盒个
务 确定分配方案1
数的2倍，木板该如何分配？请给出分配方案．
2
任 为了提高利润，小艺打算把图2裁剪下来的余料（阴影部分）利
务 确定分配方案2 用起来，一张矩形余料可以制成一把小木剑，并以5元/个的价格
3 销售．请确定木板分配方案，使销售后获得最大利润．
【答案】任务1 10cm
任务2 有四种分配方案：①76张木板制作无盖的收纳盒，24张制作盒盖，②77张木板制作无盖的收纳盒，
23张制作盒盖，③78张木板制作无盖的收纳盒，22张制作盒盖，④79张木板制作无盖的收纳盒，21张制
作盒盖
任务3 76张木板制作无盖的收纳盒，24张制作盒盖，利润最大，最大值为1004元
【分析】本题考查了方程组及不等式组的应用，找出相等关系或不等关系是解题的关键．
任务1：根据“底面长与宽之比为3:1”列方程求解；
任务2：根据“制成的有盖收纳盒个数大于无盖收纳盒，但不到无盖收纳盒个数的2倍”列不等式组求解；
任务3：根据题意理出函数表达式，再根据函数的性质求解．
【详解】解：任务1：设长方体的高度为acm，
则：80−2a=3(40−2a)，
解得：a=10，
答：长方体的高度为10cm；
任务2：设x张木板制作无盖的收纳盒，
则：¿，
解得：75<x<80，
∴x的整数解有：76，77，78，79，
∴共有4种方案：①76张木板制作无盖的收纳盒，24张制作盒盖；
②77张木板制作无盖的收纳盒，23张制作盒盖；
③78张木板制作无盖的收纳盒，22张制作盒盖；④79张木板制作无盖的收纳盒，21张制作盒盖；
任务3：设：m张木板制作无盖的收纳盒，则(100−m)张制作盒盖，利润为y元，
由题意得：y=28×2(100−m)+5(100−m)+20×[m−(100−m)]−1500
即：y=−21m+2600，
∵x的整数解有：76，77，78，79，
∴当m=76时，y有最大值，为：−21×76+2600=1004，
答：76张木板制作无盖的收纳盒，23张制作盒盖，利润最大，最大值为1004元．
18．（8分）为推动全民阅读、建设书香社会、增强青少年的爱国情感．某校举办“阅读红色经典，讲好
思政故事”主题演讲活动．本次活动共有30名学生进入决赛．七名评委从演讲内容、语言表达、形象风度、
综合印象四项对参赛选手评分、去掉一个最高分和一个最低分后取平均分得到每项成绩．再将演讲内容．
语言表达、形象风度、综合印象四项成绩按4:3:2:1的比例计算出每人的最终成绩．小蕊，小迪的四项成绩
和最终成绩如下表，30名学生最终成绩绘制成的频数直方图（每组包含最小值，不包含最大值）如下图．
小蕊、小迪的四项成绩和最终成绩统计表
四项成绩/分
选手 最终成绩/分
演讲内 形象风
语言表达 综合印象
容 度
小蕊 97 96 90 94 95
小迪 88 83 85
请根据上述信息，解答下列问题：
(1)七名评委给小迪的演讲内容打分分别为87、85、91、94、91、88、93．去掉一个最高分和一个最低分，
剩余数据的中位数是________分，众数是________分，平均数是________分．
(2)请你计算小迪的最终成绩．
(3)学校决定根据最终成绩从高到低设立一等奖、二等奖、三等奖、优秀奖，占比分别为10％，20％、30％、40％．请你判断小蕊和小迪分别获几等奖，并说明理由．
【答案】(1)91，91，90
(2)87.5
(3)小蕊获一等奖，小迪获三等奖
【分析】本题考查了中位数，众数，平均数的定义，频数直方图；
（1）根据题意去掉一个最高分和一个最低分，剩余数据为87、88、91、91、93，进而根据中位数，众数，
平均数的定义进行求解即可；
（2）根据加权平均数公式进行计算即可求解；
（3）根据题意得出获一等奖的学生有3名，根据频数直方图得出最终成绩不低于95 分且小于100分的学
生有2名，进而可得小蕊获一等奖；同理得出小迪获三等奖．
【详解】（1）解：从小到大排列为：85、87、88、91、91、93、94，去掉一个最高分和一个最低分，剩
余数据为87、88、91、91、93
1
中位数为91，众数是91分，平均数是 ×(87+88+91+91+93)=90（分）
5
故答案为：91，91，90．
90×4+88×3+83×2+85×1
（2）x= =87.5
4+3+2+1
（3）小蕊获一等奖，小迪获三等奖．
理由：获一等奖的学生有30×10%=3(名)，由频数直方图可知，最终成绩不低于95 分且小于100分的学
生有2名，
小蕊最终成绩95分在这一组，因此小蕊获一等奖；
获一、二等奖的学生共有30×(10%+20%)=9(名)，
获三等奖的学生有30×30%=9(名),由频数直方图可知，最终成绩不低于90分的学生获一等奖或二等奖，
最终成绩不低于85分且小于90分的学生有9名，均获三等奖.又因为小迪最终成绩为87.5分，所以小迪获
三等奖.
19．（8分）人间最美四月天，不负韶华不负己，春光明媚，让我们走进山清水秀的普者黑风景区，泛舟
荷花之中，享受这静谧的休闲时光．普者黑景区先后被批准为国家级风景名胜区、国家4A 级旅游景区、
国家湿地公园，吸引了省内外大量的游客前来观光旅游，特别是湖南卫视大型亲子秀节目《爸爸去哪儿》
和电视剧《三生三世之十里桃花》在普者黑取景拍摄、播出，更是使普者黑蜚声国内外，很多游客慕名而
来，助推普者黑的旅游发展进入快车道．普者黑景区为了支持旅游业的快速发展，研发了一款民族特色纪念品，每件成本30元，投放景区内进行销售，销售单价不低于成本价，且不高于成本价的2倍．销售一段
时间发现，每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）满足如图所示函数关系．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)当销售单价定位多少元时，景区销售这种纪念品每天的获利最大?最大利润是多少?
【答案】(1)y=−2x+160
(2)当销售单价55元每件时，每天获利最大，最大利润为1250元．
【分析】本题考查的是一次函数和二次函数的综合问题，待定系数法求解析式，正确找出题目中的等量关
系是解决问题的关键．
（1）根据图中的数据，利用待定系数法得关系式．
（2）根据总利润＝每件的利润×数量，再利用配方法求出最值．
【详解】（1）解：设解析式为y=kx+b(30≤x≤60)
根据图象可知，点(30，100)、(50，60)在y=kx+b上
∴¿，
解得¿，
∴y与x的函数关系式为y=−2x+160(30≤x≤60)；
（2）解：设每天获利w元，
根据题意得w=(x−30)⋅(−2x+160)=−2x2+220x−4800=−2(x−55) 2+1250，
∵−2<0，
∴当x=55时，w取最大值为1250，
答：当销售单价55元每件时，每天获利最大，最大利润为1250元．
20．（8分）如图1是我国古代提水的器具桔槔，创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿，大竹竿中点架
在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上
悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，小竹竿
下降水桶就会回到井里．如图2是桔槔的示意图，大竹竿AB=6米，O为AB的中点，支架OD垂直地面EF．
(1)当水桶在井里时，∠AOD=120°，求此时支点O到小竹竿AC的距离（结果精确到0.1m）；
(2)如图2，当水桶提到井口时，大竹竿AB旋转至A B 的位置，小竹竿AC至A C 的位置，此时
1 1 1 1
∠A OD=143°，求点A上升的高度（结果精确到0.1m）．（参考数据：√3≈1.73，sin37°≈0.6，
1
cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）
【答案】(1)点A到地面EF的距离为2.6m；
(2)点A上升的高度为0.9m；
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关
键．
1
（1）作OG⊥AC于点G，由题意可知OA= AB=3m，∠AOG=30°，在Rt△AOG中，应用特殊角三
2
角函数值求OG即可；
（2）记OG交A C 于点H，由题意推出∠OA H=37°，在Rt△OA H中，求A H，在Rt△AOG中求
1 1 1 1 1
AG，则点A上升的高度可解；
【详解】（1）作OG⊥AC于点G（图1），
∵O为AB的中点，AB=6，
1
∴OA= AB=3m
2
∵∠OGP=∠GPD=∠PDO=90°，
∴∠DOG=90°∵∠AOD=120°，
∴∠AOG=30°，
在Rt△AOG中，
OG=OAcos30°≈2.6m
∴点A到地面EF的距离为2.6m．
（2）记OG交A C 于点H（图2），
1 1
∵AC⊥EF，A C ⊥EF，
1 1
∴AC∥A C ，
1 1
∴∠A HO=90°
1
∵∠AOD=143°，
∴∠A HO=53°，
1
∴∠OA H=37°
1
在Rt△OA H中，
1
A H=OA sin∠A OH=3cos37°≈2.4m，
1 1 1
在Rt△AOG中，
AG=OAsin∠AOG=3sin30°≈1.5m
∴点A上升的高度为A H−AG=2.4−1.5=0.9m．
1
21．（10分）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为H，过点C作直线分别于
AB，AD的延长线交于点E，F， 且∠ECD=2∠BAD．
(1)求证：CF是⊙O的切线；
(2)若AB=10，CD=6，求AE的长．【答案】(1)证明见解析
45
(2)
4
【分析】本题主要考查了切线的判定，解直角三角形，圆周角定理，勾股定理，垂径定理，掌握相关图形
的性质是解决问题的关键．
（1）连接OC，由垂径定理得到∠BAC=∠BAD，由圆周角定理和已知条件证明∠BOC=∠ECD，进
而可证明∠OCE=90°，由此即可证明CF是⊙O的切线；
1
（2）由垂径定理和圆的性质得到OC=5，CH= CD=3，则OH=√OC2−CH2=4，解直角三角得到，
2
HE 3 9 45
tan∠ECH=tan∠COH= = ，则HE= ，即可得到AE=OA+OH+HE= ．
CH 4 4 4
【详解】（1）证明：如图所示，连接OC，
∵AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，
∴B´C=B´D，
∴∠BAC=∠BAD，
∵∠BOC=2∠BAC，∠ECD=2∠BAD，
∴∠BOC=∠ECD，
∵∠OCH+∠BOC=90°，
∴∠OCH+∠ECD=90°，即∠OCE=90°，
∴OC⊥CF，
∵OC是⊙O的半径，
∴CF是⊙O的切线；
（2）解：∵AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，
1
∴OC=5，CH= CD=3，
2∴OH=√OC2−CH2=4，
CH 3
∴tan∠COH= = ，
OH 4
∵∠BOC=∠ECD，
HE 3
∴tan∠ECH=tan∠COH= = ，
CH 4
9
∴HE= ，
4
45
∴AE=OA+OH+HE= ．
4
22．（12分）【探索发现】在一次折纸活动中，小亮同学选用了矩形纸张，即如图①所示的矩形ABCD，
他先（通过对折）找到AB边的中点E，再将△AED沿着直线DE翻折得到△A'ED，连接A'B，小亮猜想
A'B∥DE．
【问题解决】小亮对上面A'B∥DE的猜想进行了证明，下面是部分证明过程：
证明：∵点E为AB边的中点，
∴AE=EB，
∵翻折，
∴AE= A'E，
∴A'E =BE，
∴∠EA'B=∠EBA'
请你补全余下的证明过程．
【结论应用】
（1）如图①，在【探索发现】的基础上，若A'B:DE=3:5，△A'EB的面积为6，则矩形ABCD的面积
为______；
（2）图②，在【探索发现】的基础上，点A'作A'F∥AB交线段DE于点F，若A'F =√3，DF=1，则
矩形ABCD的周长为______．
【答案】【问题解决】证明见解析；【结论应用】（1）40；（2）4√3+2√6【分析】本题是四边形综合题，考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，
熟练掌握矩形的性质和翻折变换的性质是解题的关键．（1）连接A A'交DE于点M，设A'B=3x，则
AM ME
DE=5x，证明△AME∽△DMA，由相似三角形的性质得出 = ，证明△A A'B∽△DAE，得出
DM AM
S
△AA'B
，求出三角形ADE的面积，则可得出答案；（2）根据相似三角形性质，通过证明
S
△ADE
AE NE
△ANE∽△DAE，由相似三角形的性质得出 = ，求出EN的长，则可求出AD的长．
DE AE
【详解】证明：∵翻折，
∴∠DEA=∠DE A'，
∴2∠DEA=∠AE A'=∠EA'B+∠EBA'=2∠EBA'，
∴∠DEA=∠EBA'，
∴A'B∥DE．
【结论应用】（1）解：连接A A'交DE于点M，
设A'B=3x，则DE=5x，
∵E为AB的中点，DE∥A'B，
1 3
∴ME= A'B= x，
2 2
7
∴DM=DE−ME= x，
2
∵∠MAE+∠DAM=90°，∠DAM+∠ADM=90°，
∴∠MAE=∠ADM，
又∵∠AME=∠AMD，
∴△AME∽△DMA，
AM ME
∴ = ，
DM AM3
x
AM 2
∴ = ，
7 AM
x
2
√21
∴AM= x，
2
∴A A'=2AM=√21x，
∴AB=√A A'2+A'B2=√30x，
∵∠A' AB=∠ADE，∠A A'B=∠DAE，
∴△A A'B∽△DAE，
∴ S △AA'B= ( AB) 2 = (√30) 2 = 6 ，
S DE 5 5
△ADE
∵S =2S =12，
△AA'B △A'BE
∴S =10，
△ADE
∵AB=2AE，
∴S =4S =40．
矩形ABCD △ADE
故答案为：40；
（2）连接A A'交DE于点N，
∵A'F∥AB
，
∴∠A'FE=∠AED，
∵∠AED=∠A'ED，
∴∠A'FE=∠A'EF，
∴A'E=A'F=√3，
又∵A A'⊥DE，
∴FN=EN，
设FN=EN=x，
由（1）知∠NAE=∠ADE，∠ANE=∠DAE，
∴△ANE∽△DAE，AE NE
∴ = ，
DE AE
√3 x
∴ = ，
1+2x √3
3
∴x=1（x=− 舍去），
2
∴FN=EN=1，
∴DE=3，
∴AD=√DE2−AE2=√6，
∴矩形ABCD的周长为2(AB+AD)=2(2√3+√6)=4√3+2√6．
故答案为：4√3+2√6．
23．（13分）定义：若一个函数图象上存在横坐标是纵坐标两倍的点，则称该点为这个函数图象的“倍值
点”，例如：点(2,1)是函数y=x−1的图象的“倍值点”．
1
(1)分别判断函数y= x+1，y=x2−x的图象上是否存在“倍值点”？如果存在，求出“倍值点”的坐标；
2
如果不存在，说明理由；
2
(2)设函数y= (x>0)，y=−x+b的图象的“倍值点”分别为点A，B，过点B作BC⊥x轴，垂足为C．
x
当△ABC的面积为2时，求b的值；
(3)若函数y=x2−3(x≥m)的图象记为W ，将其沿直线x=m翻折后的图象记为W ，当W ，W 两部分组
1 2 1 2
成的图象上恰有2个“倍值点”时，直接写出m的取值范围．
1
【答案】(1)y= x+1不存在“倍值点”，理由见解析；y=x2−x的图象上存在两个“倍值点”(0,0)或
2
(3 3)
， ；
4 8
(2)b的值为−3或6；
49 49
(3)当W ，W 两部分组成的图象上恰有2个“倍值点”时，m<− 或− <m<2．
1 2 16 16
【分析】（1）根据“倍值点”的定义建立方程求解即可得出答案；3
（2）先根据“倍值点”的定义求出函数y= (x>0)的图象上有两个“倍值点”A(√3，√3)，同理求出
x
(1 1 ) 1 1 | 1 |
B b， b ，根据△ABC的面积为3可得 × |b|× √3− b =3，求解即可；
2 2 2 2 2
（3）先求出函数y=x2−3的图象上有两个“倍值点”(−1,−1)或(2,2)，再利用翻折的性质分类讨论即
可．
1
【详解】（1）解：在y= x+1中，令x=2y，得y= y+1不成立，
2
1
∴函数y= x+1的图象上不存在“倍值点”；
2
在y=x2−x中，令2y=x，y=4 y2−2y
3
解得：x =0，x = ，
1 2 4
(3 3)
∴函数y=x2−x的图象上有两个“倍值点”(0,0)或 ， ；
4 8
2
（2）解：在函数y= (x>0)中，令x=2y，
x
解得：y=1，
∴A(2,1)，
在函数y=−x+b中，令x=2y，
1
解得：y= b，
3
(1 1 )
∴B b， b ，
2 2
∵BC⊥x轴，
(2 )
∴C b，0 ，
3
1
∴BC= |b|，
3
∵△ABC的面积为2，1 ( 2 ) ( 1 )
× 2− b ⋅ − b =2，
2 3 3
( 1 )
−1+ b ⋅b=6
3
1
b2−b−6=0
3
b2−3b−18=0
∴b=6（舍去），b=−3，
∵△ABC的面积为2，
b>0，
1 ( 2 ) 1
× 2− b × b=2，
2 3 3
( 1 )
1− b ×b=6
3
b2−3b+18=0
∴b=6，b=−3（舍去），
综上所述，b的值为−3或6；
1
（3）解：令
x=x2−3，
2
3
解得：x =− ，x =2，
1 2 2
( 3 3)
∴函数y=x2−3的图象上有两个“倍值点” − ，− 或(2,1)，
2 4
3 ( 3 3)
①当m<− 时，W ，W 两部分组成的图象上必有2个“倍值点” − ，− 或(2,1)，
2 1 2 2 4
W :y=x2−3(x≥m)，
1
W :y=(x−2m) 2−3(x<m)，
2
1
令 x=(x−2m) 2−3，
2整理得：2x2−(8m+1)x+8m2−6=0，
∵W 的图象上不存在“倍值点”，
2
∴△<0，
∴(8m+1) 2−8(8m2−6)<0，
49
∴m<− ，
16
49
②当m=− 时，有3个“倍值点”(−2,−2)，
16
49
③当− <m<2时，W ，W 两部分组成的图象上恰有2个“倍值点”，
16 1 2
④当m=2时，W ，W 两部分组成的图象上恰有1个“倍值点”(2,2)，
1 2
⑤当m>2时，W ，W 两部分组成的图象上没有“倍值点”，
1 2
49 49
综上所述，当W ，W 两部分组成的图象上恰有2个“倍值点”时，m<− 或− <m<2．
1 2 16 16
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了一次函数，反比例函数，二次函数与新定义“倍值点”的综合运
用，一元二次方程根的判别式，翻折的性质等，综合性较强，解题的关键是理解并运用新定义，运用分类
讨论思想解决问题．
