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2024 年中考押题预测卷 02【成都卷】
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
A卷（共100分）
第Ⅰ卷（选择题，共32分）
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分。每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1． 的相反数是（ ）
A．2024 B． C． D．
【答案】A
【分析】此题考查了相反数的定义．根据相反数的定义“只有符号不同的两个数是互为相反数”解答即可．
【详解】解： 的相反数是2024，故选：A．
2．地月距离是指地球与月球之间的距离，有平均距离、月球与地球近地点的距离、月球与地球远地点的
距离三种．其中，地月平均距离约为 ，用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查科学记数法的定义，关键是理解运用科学记数法．利用科学记数法的定义解决．科学记
数法的表示形式为 的形式，其中 ，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小
数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解： ．故选：C．
3．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了幂的乘方、完全平方公式、单项式与单项式相除、合并同类项，掌握每一种运算法则
的正确应用是解题关键．【详解】解：A、 ，该选项不符合题意；
B、 ，该选项不符合题意；
C、 ，该选项符合题意；
D、 与 不是同类项，不能合并，该选项不符合题意；
故选：C．
4．某校为了了解全校965名学生的课外作业负担情况，随机对全校100名学生进行了问卷调查，下面说法
正确的是（ ）
A．总体是全校965名学生 B．个体是每名学生的课外作业负担情况
C．样本是100 D．样本容量是100名
【答案】B
【分析】本题主要考查直接利用总体、个体、样本容量、样本的定义，掌握各定义是解题的关键
直接利用总体、个体、样本容量、样本的定义逐项分析即可解答．
【详解】解：A、总体是全校965名学生的课外作业负担情况，故此选项错误；
B、个体是每名学生的课外作业负担情况，故此选项正确；
C、样本是100名学生的课外作业负担情况，故此选项错误；
D、样本容量是100，故此选项错误．
故选B．
5．如图，在四边形 中，对角线 与 相交于点O，下列条件不能判定四边形 是平行四边
形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平行四边形的判定定理，解答即可，本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解
题的关键．
【详解】A. ，可以，不符合题意，
B. ，不可以，符合题意，
C. ，可以，不符合题意，
D. ，可以，不符合题意，
故选B．
6．四张看上去无差别的卡片上分别印有正方形、正三角形、正八边形和圆，现将印有图形的一面朝下，
混合均匀后从中随机抽取两张，则抽到的卡片上印有的图形都是中心对称图形的概率为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了简单的概率计算，中心对称图形的定义，先确定正六边形和圆是中心对称图形，
正三角形和正五边形不是中心对称图形，再画树状图分析，最后由概率计算公式进行求解即可．
【详解】解：正方形、正八边形和圆是中心对称图形，正三角形不是中心对称图形，
∵一共有四张卡片，每张卡片被抽到的概率相同，其中印有图形都是中心对称图形的卡片有三张，
设正方形、正三角形、正八边形和圆分别为A、B、C、D，
画树状图如下：
∴从中随机抽取两张，一共有12种结果，其中抽到的卡片上印有图形都是中心对称图形的结果有6种，
∴抽到的卡片上印有图形都是中心对称图形概率为 ，故选∶C．
7．幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书（图1）”，把洛书用今天的数学符号翻译出来，
就是一个三阶幻方．如图2三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等．如图3，这是另
一个三阶幻方，则 的值为（ ）
A．3 B． C． D．6
【答案】C
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键．
根据幻方中的每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，可得关于a，b的一元一次方程，解之即可．
【详解】解：如图所示．
∵三阶幻方的每行，每列及每条对角线上的三个数之和都相等，且都等于中间数的三倍
∴ ，解得：∵
∴ ，解得：
∴ ，故选： ．
8．如图，二次函数 的图象与x轴的交点的横坐标分别为 ，3，则下列结论：① ；②
；③ ；④对于任意x均有 ．正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，抛物线与 轴的交点问题，解题关键是掌握二次函数的图象
与性质．根据二次函数抛物线的开口方向判断出 ，再根据抛物线与 轴的交点，即可得 时，
的取值范围是 ，令 ，即可判定 的值，进而对结论①进行判断；求出抛物线的对称轴为
，得 ，即可对结论②和④进行判断；由 时，得 的取值范围，即可对结论③
进行判断．
【详解】解：由题意得二次函数抛物线开口向上， ，
又 二次函数 的图象与x轴的交点的横坐标分别为 ，3，
当 时， ，
时， ，
，故结论①正确；
抛物线的对称轴为 ，
， ，
，故结论②正确；
当 时， ，
当 时， ，故结论③正确；
抛物线的对称轴为 ， ，
当 时，二次函数 的值最小，
，即 ，故结论④正确；
综上所述得正确的结论有①，②，③，④，故选：D．第Ⅱ卷（非选择题，共 68 分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9．分解因式 ．
【答案】
【分析】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再
用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
先提取公因式m，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
【详解】解： ，故答案为： ．
10．已知反比例函数 的图象上两点 ， ．若 ，则m的取值范围是
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数的性质， 根据反比例函数的性质，可以得到关于m的不等式，从而可以
求得m的取值范围．
【详解】解∶∵反比例函数 的图象上两点 ， ， ，
∴ ，解得 ，故答案为∶ ．
11．两个大小不同的等腰直角三角板按图1所示摆放，将两个三角板抽象成如图2所示的 和 ，
其中 ，点 、 、 依次在同一条直线上，连结 ．若 ， ，则
的面积是 ．
【答案】6
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质等知识，根据 证明
，由全等三角形的性质得出 ，则可得出答案．
【详解】解： ，
，即 ，
在 和 中，
， ，，
，
，
，
， ，
，
，
，故答案为：6．
12．已知线段 轴，若点M坐标为 ，则N点坐标为 .
【答案】 或
【分析】本题主要考查了平行于坐标轴的点的坐标的特点，解题的关键是熟知：与y轴平行的直线，其横
坐标均相等．
根据平行于y轴的直线的坐标特点及两点间距离的表示法即可求得答案．
【详解】解：∵ 轴， ，
∴点N的横坐标也为 ，
又 ，设N点的纵坐标为a，则 ，
∴ ，
∴ 或 ．
∴N点的坐标为 或 ．故答案为： 或 ．
13．如图，线段 ，分别以 ， 为圆心，大于 的长为半径画弧交于点 ， ，作直线 ，连
接 ， ， ， ．若 ，则四边形 的面积为 ．
【答案】24
【分析】本题主要考查了作图 基本作图及中垂线的性质．由作图可知 是线段 的中垂线，四边形
是菱形，利用 求解即可．
【详解】解：如图，由作图可知 是线段 的垂直平分线，
，
四边形 是菱形，
， ，
，
，
，
，故答案为：24．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14．（本小题满分12分，每题6分）
(1)计算：
(2)先化简，再求值： ，其中x是方程 的根．
【答案】(1)13；(2)
【分析】本题考查分式化简求值、解一元二次方程、实数的运算、负整数指数幂、及特殊角三角函数值、
绝对值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
（1）先计算绝对值、锐角三角函数、负整数指数幂，再进行加减计算即可；
（2）先利用分式的性质进行化简，再解一元二次方程求出x的值，再代入分式进行计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：，
解方程 得 ， ，
∵ 时，分式无意义
∴ ，
当 时，原式 ．
15．（本小题满分8分）“安全责任重于泰山”，为切实做好学校消防安全、反恐防暴等安全工作，提高
学校的应急处置能力，打造平安校园，培养让学生终身受益的灾害应急能力，某校开展了一次消防、反恐
防暴培训及演练活动．为了解此次活动效果，随机抽取了七年级、八年级、九年级学生若干名（抽取的各
年级学生人数相同）进行网上问卷测试，并对得分情况进行整理和分析（得分用整数x表示，单位：分），
且分为A，B，C三个等级，分别是：优秀为A等级： ；合格为B等级： ；不合格为
C等级： ．分别绘制成如下统计图表，其中七年级学生测试成绩的众数出现在A组．A组测试成
绩情况分别为：85，85，87，92，95，95，95，95，97，98，99，100；八年级学生测试成绩中A组共有a
个人．
七年级、八年级、九年级三组样本数据的平均数、中位数、众数和方差如表所示：
年级 平均数 中位数 众数 方差
七年级 85 c d 163
八年级 88 91 96 95.1
九年级 89 91.5 100 77.7
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空： ， ， ；
(2)根据以上数据，估计该学校哪个年级的测试成绩最好，并说明理由；
(3)若该校七年级、八年级、九年级各有200人，请估计该校初中学生中成绩为优秀的学生共有多少人？
【答案】(1) ；(2)九年级学生的测试成绩更稳定，理由见详解；(3)估计该校初中名学生中成绩为优
秀的学生共有390名【分析】本题考查了方差，众数、中位数以及平均数，掌握众数、中位数以及平均数的定义和方差的意义
是解题的关键．
（1）根据条形统计图可得随机抽取各年级人数，再乘 可得 的值；根据中位数和众数的定义可得 、
的值；
（2）可从平均数、中位数、众数、方差角度分析求解；
（3）用样本估计总体解答即可．
【详解】（1）解：由题意可知， ；
七年级学生测试成绩从小到大排列，排在中间的两个数是 、 ，
故中位数 ，众数 ；故答案为： ； ； ；
（2）九年级学生的测试成绩更稳定，理由如下：
①九年级测试成绩的平均数、中位数和众数均大于七、八年级；
②九年级测试成绩的方差均小于七、八年级；
（3） (名)，
答：估计该校初中名学生中成绩为优秀的学生共有390名．
16．（本小题满分8分）某兴趣小组研制的智能操作机器人，如图1，水平操作台为 ，高 为 ，连
杆 长度为 ，手臂 的长度为 ， ， 是转动点，且 与 始终在同一平面内．
(1)转动连杆 ，手臂 ，使 ， ，如图2，求手臂端点 离操作台 的高度 的长
（精确到 ，参考数据： ， ）．
(2)物品在操作台 上，距离底座 端 的点 处，转动连杆 ，手臂端点 能否碰到点 ？请说明
理由．
【答案】(1) ；(2)手臂端点 不能碰到点 ，理由见解析．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，矩形的性质，掌握锐角三角函数及勾股定理是解题
的关键．
（1）过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，在 中， ，再根据
即可解答；
（2）当 ， ， 共线时，根据勾股定理可得 的长，进而可进行判断．
【详解】（1）解：过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，如图：∵ ，
∴ ，
∵ 长度为 ，
∴在 中， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：手臂端点 不能碰到点 ，理由如下：
由题意得，当 ， ， 共线时，手臂端点 能碰到距离最远，
如图：
∵高 为 ， 长度为 ，手臂 的长度为 ，
∴ ， ，
∴在 中， ，
∵距离底座 端 的点 处，
∴ ，
， 手臂端点 不能碰到点 ．
17．（本小题满分10分）如图所示， 的半径为5，点A是 上一点，直线l过点A；P是 上的一
个动点（不与点A重合），过P作 于点B，交 于点E，直径 的延长线交直线l于点F，点A
是 的中点．
(1)求证：直线l是 的切线；
(2)若 ，求 的长．【答案】(1)见解析；(2)
【分析】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是：
（1）利用圆周角定理可得出 ，利用等边对等角可得出 ，则 ，
进而可证 ，利用平行线的性质可证 ，最后根据切线的判定即可得证；
（2）证明 ，利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】（1）证明∶连接 ，
，
∵点A是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又 是 的半径，
∴直线l是 的切线；
（2）解：连接 ，
∵ 是直径，
∴ ，
又 ，
∴ ，
又 ，
∴ ，∴ ，即 ，
∴ ．
18．（本小题满分10分）如图，一次函数 与反比例函数 的图像相交于点 ， ，
(1)求一次函数及反比例函数的解析式；
(2)请直接写出关于x的不等式 的解集；
(3)点P是x轴负半轴上一动点，连接 、 ，当 面积为12时，求点P的坐标．
【答案】(1)反比例函数表达式为： ，一次函数的表达式为： ；(2) 或 ；(3)
【分析】本题考查的是反比例函数与一次函数的综合运用，涉及到面积的计算、待定系数法求函数表达式，
利用图象法求不等式解集，综合性强，难度适中．
（1）由待定系数法即可求解；
（2）观察函数图象即可求解；
（3）由 面积 ，即可求解．
【详解】（1）解：将 代入双曲线 ，
∴ ，
∴双曲线的解析式为 ，
将点 代入 ，
∴ ，
∴ ，
将 代入 ，
，解得 ，∴直线解析式为 ；
（2）解：观察函数图象知，不等式 的解集为： 或 ；
（3）解：设直线 交 轴于点 ，设点 ，
由直线 的表达式知，点 ，
则 面积 ，解得： ，
即点 的坐标为： ．
B 卷（共50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19．若 是方程 的根，则代数式 的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查代数式求值，涉及方程根的定义、整体代入法求代数式值、分式的混合运算等知识，根
据题中所给代数式的结构特征，结合已知条件，恒等变形代值求解即可得到答案，熟练掌握分式混合运算
法则化简求值是解决问题的关键．
【详解】解： 是方程 的根，
，即 ，，故答案为： ．
20．如图，在 中， ， ， ， 为 的角平分线． 为 边上一动点，
为线段 上一动点，连接 、 、 ，当 取得最小值时， 的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查了轴对称最短路线问题．在 上取点 ，使 ．作 ，交 于点 ．
则 ， ， 即为 的最小值．再根据 ，列出比例式求出
，即可求出 的面积．
【详解】解：如图，在 上取点 ，使 ．作 ，交 于点 ．
则 ，
，
即为 的最小值．
， ，
，
，
， ，
∴ ，
，
，
，
的面积为： ．故答案为： ．
21．如图，正方形 的边长是 ， 是 边的中点．将该正方形沿 折叠，点 落在点 处．
分别与 ， ， 相切，切点分别为 ， ， ，则 的半径为 ．【答案】1
【分析】如图所示，延长 交 于M，连接 ，先证明 得到 ，设
设 ，则 ， ，利用勾股定理建立方程 ，
解方程求出 ，如图所示，连接 ，利用等面积法求出半径即
可．
【详解】解：如图所示，延长 交 于M，连接 ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∵E为 的中点，
∴ ，
由折叠的性质可得 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ， ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，解得 ，
∴ ，
如图所示，连接
∵ 分别与 ， ， 相切，切点分别为 ， ， ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ 的半径为 ，故答案为；1．
22．如图，矩形 中， ，点E是 的中点，点F是 边上一动点．将 沿着
翻折，使得点B落在点 处，若点P是矩形内一动点，连接 ，则 的最
小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了图形的折叠与旋转，两点之间线段最短的应用，勾股定理等知识点，将 绕点C
顺时针旋转 得到 ，连接 ，连接 ，由等腰三角形 得出 ，再由折叠得出
点 的轨迹在以点E为圆心， 为半径的圆周上，所以 的最小值为 ，即
的最小值为 ，经计算得出答案即可，熟练掌握图形的旋转及图形的折叠对称的
性质是解决此题的关键．
【详解】将 绕点C顺时针旋转 得到 ，连接 ，连接 ，
则 三点共线， ，
∴ ，
∴ ，
∵点E是 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
由 折叠成 ，
∴ ，
∴点 在以点E为圆心， 为半径的圆上，
∴ ，
∵两点间线段最短，
∴ ，
即 ，
∴ ，∴ ，
则 的最小值为 ，
故答案为： ．
23．若一个四位正整数的各个数位上的数字均不为0，百位数字的2倍等于千位数字与十位数字的和，个
位数字比十位数字大1，则称这样的四位正整数为“吉祥数”．比如2345就是一个“吉祥数”，那么最小
的“吉祥数”是 ．若A是一个“吉祥数”，由A的千位数字和百位数字依次组成的两位数与A
的十位数字和个位数字依次组成的两位数的和记为 ， 比A的各个数位上的数字之和大2，若
为整数，则满足条件中的A的最大值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二元一次方程的解，整式的加减，根据最大的四位数和最小的四位数的特点，结合题
意，依次确定百位数和十位数，进而即可求解．
【详解】解：依题意，一个四位正整数的各个数位上的数字均不为0，
∴最小四位数的千位与百位数字为 ，
∵百位数字的2倍等于千位数字与十位数字的和，
∴十位数字为 ，
∵个位数字比十位数字大1，
∴个位数字为 ，
∴这个数为 ；
依题意，设
∴ ，
∵ 比A的各个数位上的数字之和大2，
∴
∴ 又∵ 为整数，
∴ 能被 整除
要使得 最大，则 ，
当 时， 能被 整除
∴
∴ ，∴满足条件中的A的最大值为
故答案为： ， ．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24．（本小题满分8分）利群商场准备购进甲、乙两种服装出售，甲种服装每件售价130元，乙种服装每
件售价100元，每件甲种服装的进价比乙种服装的进价贵20元，购进3件甲种服装的费用和购进4件乙种
服装的费用相等，现计划购进两种服装共100件，其中甲种服装不少于65件．
(1)甲、乙两种服装每件的进价分别是多少元？
(2)若购进这100件服装的费用不得超过7500元．
①求甲种服装最多购进多少件；
②利群商场对甲种服装每件降价 元，乙种服装价格不变，如果这100件服装都可售完，那么如
何进货才能获得最大利润？
【答案】(1)甲种服装每件的进价80元，乙种服装每件的进价60元；
(2)①甲种服装最多购进75件；②当 时，购进甲种服装75件，乙种服装25件利润最大；当
时，所有进货方案利润都是4000元； 时，购进甲种服装65件，乙种服装35件利润最大．
【分析】本题考查了一次函数的应用、一元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，解题的关键是
分类讨论思想的应用．
（1）设甲种服装每件的进价 元，根据题意得： ，解出 的值可得答案；
（2）①设甲种服装购进 件，根据甲种服装不少于65件，购进这100件服装的费用不得超过7500元得不
等式组，求出 范围可知甲种服装最多购进75件；
②设获得利润为 元，根据题意得 ，分三种情况讨论可得
答案．
【详解】（1）解：设甲种服装每件的进价 元，则乙种服装每件的进价 元，
根据题意得： ，解得 ，
，
甲种服装每件的进价80元，乙种服装每件的进价60元；
（2）解：①设甲种服装购进 件，
甲种服装不少于65件，购进这100件服装的费用不得超过7500元，
，解得 ；
甲种服装最多购进75件；
②设获得利润为 元，
根据题意得： ，
当 时， 随 的增大而增大，
当 时， 取最大值，此时购进甲种服装75件，乙种服装25件利润最大；
当 时，所有进货方案利润都是4000元；当 时， 随 增大而减小，
当 时， 取最大值，此时购进甲种服装65件，乙种服装35件利润最大．
综上所述，当 时，购进甲种服装75件，乙种服装25件利润最大；当 时，所有进货方案利
润都是4000元； 时，购进甲种服装65件，乙种服装35件利润最大．
25．（本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于 ，
两点，与 轴交于点 ，且 ．
(1)试求抛物线的解析式；
(2)直线 与 轴交于点 ，与抛物线在第一象限交于点 ，与直线 交于点 ，记
，试求 取最大值时点 的坐标；
(3)在（2）的条件下， 取最大值时，点 是 轴上的一个动点，点 是坐标平面内的一点，是否存在这
样的点 、 ，使得以 、 、 、 四点组成的四边形是菱形 若存在，请直接写出满足条件的 点的
坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ；(2) ；(3) 点坐标为 或 或 或
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）过 点作 轴交 于 点，则 ，根据已知可得 ，设 ，求
，进而根据二次函数的性质，即可求解；
（3）当DP为菱形的边时，， ， ，则 或 ；当 ，
时，根据对称性得出 ；当 为菱形的对角线时， 交于 点，过 点作
轴交 轴于点 ，则 ，由 ，可求 ，则 的纵坐标为 ，即可求解．
【详解】（1）解： ，
，
，
，，
将 ， ， 代入 ，
，解得 ，
抛物线的解析式为 ；
（2）当 ，则 ，
，
如图1，过 点作 轴交 于 点，
，
，
，
，
设 ，
设直线 的解析式为 ，
，解得 ，
直线 的解析式为 ，
，
，
，当 时， 有最大值 ，此时 ；
（3）存在这样的点 、 ，使得以 、 、 、 四点组成的四边形是菱形，理由如下：
， ，
，
当 为菱形的边时， ， ，
或 ；
当 ， 时，
点 和点 关于 轴对称轴，则 ；
当 为菱形的对角线时， 交于 点，
，
过 点作 轴交 轴于点 ，则 ，
， ，
，
，
，
，，则 的纵坐标为 ， ；
综上所述： 点坐标为 或 或 或 ．
26．（本小题满分12分）综合与实践
【问题情境】在数学综合实践课上，“希望小组”的同学们以三角形为背景，探究图形
变化过程中的几何问题．如图，在 中， ， ，点D为平面内一点（点A，B，D
三点不共线）， 为 的中线．
【初步尝试】（1）如图1，小林同学发现：延长 至点M，使得 ，连接 ．始终存在以下两
个结论，请你在①，②中挑选一个进行证明：
① ；② ；
【类比探究】（2）如图2，将 绕点A顺时针旋转 得到 ，连接 ．小斌同学沿着小林同学的思
考进一步探究后发现： ，请你帮他证明：
【拓展延伸】（3）如图3，在（2）的条件下，王老师提出新的探究方向：点D在以点A为圆心， 为
半径的圆上运动（ ），直线 与直线 相交于点G，连接 ，在点D的运动过程中 存在
最大值．若 ，请直接写出 的最大值．
【答案】（1）见详解（2）见详解（3）
【分析】（1）选①证明，由中线得出 ，再用 证明 ，利用全等的性质得出
，由等量代换得出 ．
（2）由（1）①得结论得出 ，从而得出 ，由平行的性质得出
，由旋转的性质得出 ，进一步可得出 ，利用
，由全等的性质得出 ，最后等量代换可得出 ．
（3）延长 至点M，使得 ，连接 ，同（2）可得∶ ， 由全等的性质得出
，，由旋转的性质得出 ，当点G在 上时和当点G在 的延长线上
时，分别求出 ，则在点D的运动过程中，点G在以 为直径的 上运动．取 的中点O，连
接 ， ，由三角形三边关系得出
，当G，O，B三点共线时(如图3所示)， 最大．解直角 ，即可求出 ，进一步即可求出 ．
【详解】解：（1）选择结论①
证明： ∵ 为 的中线
∴ ，
在 和 中，
，∴
∴ ，
∵ ，
∴ ．
（2）延长 至M，使得 ，连接 ，
由（1）得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， 绕点A顺时针旋转 得到 ，
∴ ，
∴ ，
∵
∴ ，
在ΔMDA和ΔCAF中，
，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．（3）如图2，延长 至点M，使得 ，连接 ，
同（2）可得∶ ．
∴ ，
∵ 绕点A顺时针旋转 得到 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
当点G在 上时，
∴ ，
当点G在 的延长线上时，
∴ ，
在点D的运动过程中，点G在以 为直径的 上运动．
取 的中点O，连接 ， ，
∵
当G，O，B三点共线时(如图3所示)， 最大．
∵ ，
∴ 为直角三角形．
∵ ，
∴ ．
∵ 为直径,∴ ，
∴ ，
∴ ．
