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2024 年中考押题预测卷【深圳卷】
数 学
（考试时间：90分钟 试卷满分：100分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分,每小题有四个选项，其中只有一项是正确的．）
1．2024的相反数是（ ）
A． B． C．2024 D．
【答案】D
【分析】本题考查了相反数的定义，解答本题的关键是熟练掌握相反数的定义，只有符号不同的两个数是
互为相反数，正数的相反数是负数，0的相反数是0，负数的相反数是正数．
【解析】解：2024的相反数是 ．
故选D．
2．地球上的海洋面积为361 000 000平方千米，数字361 000 000用科学记数法表示为（ ）
A．361×106 B．36.1×107 C．0.361×109 D．3.61×108
【答案】D
【分析】本题考查的知识点是科学记数法，其表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n
的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同
【解析】1.36万亿元，用科学记数法表示为3.61×108元.
故选D.
3．如图所示的几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】找到几何体从左面看所得到的图形即可．【解析】解：从左面看可得到1个正方形，中间有1条横着的虚线．
故选A．
4．下列运算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查整式的运算，根据合并同类项，同底数幂的除法，积的乘方，幂的乘方，以及完全平方
公式，逐一进行判断即可．
【解析】解：A、 不是同类项，不能合并，故选项计算错误；
B、 ，故选项计算正确；
C、 ，故选项计算错误；
D、 ，故选项计算错误；
故选B．
5．某班10名学生校服尺寸与对应人数如下表所示：
尺寸（cm） 160 165 170 175 180
学生人数（人） 1 3 2 2 2
则这10名学生校服尺寸的众数和中位数分别为（ ）
A．165cm，165cm B．165cm，170cm C．170cm，165cm D．170cm，170cm
【答案】B
【分析】根据众数是一组数据中出现次数最多的数据，以及中位数的概念可得结论.
【解析】众数是一组数据中出现次数最多的数据，所以众数是165；
把数据按从小到大顺序排列，可得中位数=（170+170）÷2=170,
故选B.
6．下列命题中，错误的是（ ）
A．三角形三边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等
B．两组对角分别相等的四边形是平行四边形
C．对角线相等且互相平分的四边形是矩形
D．顺次连接菱形各边中点所得的四边形是正方形
【答案】D
【分析】根据线段垂直平分线、平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定可进行求解．
【解析】解：A、根据“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”可知该选项正确；故不符合题
意；
B、假设该四边形的内角分别为 ，由选项可知 ，根据四边形内角和为，即 ，所以 ，同理可得 ，所以该四边形为平行
四边形，故不符合题意；
C、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，说法正确，故不符合题意；
D、如图，
∵四边形 是菱形，
∴ ，
∵点E、F、H、G为 的中点，
∴ ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴ ， ，即 ，
∴ ，
∴四边形 是矩形；故该选项错误，符合题意；
故选D．
7．《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：“五只雀、六只燕，共重 斤（等于 两），雀重燕
轻，互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕的重量：各为多少？”若假设每只雀、燕的体重相同，
设每只雀的重量为x两，每只燕的重量为y两，则列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据题目中的数量关系列方程组即可求解．
【解析】解：设每只雀的重量为x两，每只燕的重量为y两，
∴五只雀、六只燕，共重 斤（等于 两），列式为 ；
雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，列式为 ，
综上所述，列方程组为 ，故选： ．
8．在综合实践课上，某班同学测量校园内一棵树的高度．如图，测量仪在A处测得树顶D的仰角为45°，
在C处测得树顶D的仰角为37°（点A、B、C在同一条水平主线上），已知测量仪的高度
米， 米，则树BD的高度是（ ）【参考数据： ， ， 】
A．12米 B．12.65米 C．13米 D．13.65米
【答案】D
【分析】设 米，根据 可得到 、 ，然后利用解直角三角形的
知识计算求解即可．
【解析】解：连接 交 于点M，则 ，
， ．
设 米，
∵在 中， ，
∴ ，
∴ ．
在 中， ，
∴ ，即： ，解得 ，即 ．
∴ （米）．
∴树 的高度约为 米．
故选D．
9．如图， 的直径 的延长线与过点B的切线 相交于点D，点C为 上一点，且 ，
则 的度数是（ ）A．60° B．50° C．40° D．30°
【答案】B
【分析】连接 ，根据圆周角定理可求得 ，再根据 是 的切线，可得
，据此即可求得∠D的度数．
【解析】解：如图：连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是 的切线，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
10．皮克定理是格点几何学中的一个重要定理，它揭示了以格点为顶点的多边形的面积 ，其
中 分别表示这个多边形内部与边界上的格点个数．在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点为
格点．已知 ， ，则 内部的格点个数是（ ）
A．266 B．270 C．271 D．285
【答案】C
【分析】首先根据题意画出图形，然后求出 的面积和边界上的格点个数，然后代入求解即可．
【解析】如图所示，
∵ ， ，
∴ ，
∵ 上有31个格点，
上的格点有 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，共10个格点，
上的格点有 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ， ， ， ，共19个格点，
∴边界上的格点个数 ，
∵ ，
∴ ，∴解得 ．
∴ 内部的格点个数是271．
故选：C．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．）
11．如图，若AB∥CD，∠1＝35°，则∠2= °．
【答案】145
【分析】由对顶角相等可得，∠3=∠1=35°，根据平行线的性质可得，∠2+∠3=180°，即可求出答案．
【解析】解：如图，∠1=∠3（对顶角相等），
∵AB∥CD，∴∠2+∠3=180°，
∴∠2=180°-35°=145°．
故答案为：145．
12．已知 是方程 的一个根，则代数式 的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值．熟练掌握一元二次方程的解和整体思想是解题的关
键．
由题意知， ，即 ，根据 ，代值求解即可．【解析】解：由题意知， ，即 ，
∴ ，
故答案为： ．
13．某班级计划举办手抄报展览，确定了“5G时代”、“北斗卫星”、“高铁速度”三个主题，若小明和
小亮每人随机选择其中一个主题，则他们选择的不是同一个主题的概率是 ．
【答案】
【分析】先画出树状图，可知共有9种等可能的结果，其中小明和小亮恰好选择不是同一个主题的结果有
6种，再由概率公式求解即可．
【解析】解：把“5G时代”、“北斗卫星”、“高铁速度”三个主题分别记为A、B、C，
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中小明和小亮恰好选择不是同一个主题的结果有6种，
∴小明和小亮恰好选择不是同一个主题的概率为 ．
故答案为： ．
14．如图，在平面直角坐标系 中，正方形 的顶点A在第一象限，顶点C在第二象限，顶点B在
抛物线 的图象上．若正方形 的边长为 ， 与 轴的正半轴的夹角为 ，则a的
值为 ．
【答案】
【分析】如图，连接 ，作 轴于 ，则 ，由题意知， ， ，
可得 ，由正方形的性质、勾股定理可得 ，由 ，可得 ，
，即 ，将 代入 得， ，计算求解即可．
【解析】解：如图，连接 ，作 轴于 ，则 ，由题意知， ， ，
∴ ，
由正方形的性质、勾股定理可得 ，
∵ ，
∴ ， ，∴ ，
将 代入 得， ，
解得 ，
故答案为： ．
15．如图，在Rt ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，∠BAC的角平分线EA与∠BCA的角平分线CD相交于
点O，已知BD=4△，OC=2 ，则OE= ．
【答案】
【分析】在CA上截取CF=CE，先证明△COE≌△COF，再证明△AOD≌△AOF，得到OD=OE，作
DN⊥BC于N，OM⊥BC于M，可证△OCM∽△DCN，然后利用相似三角形的性质求解即可．
【解析】在CA上截取CF=CE，
∵CD平分∠BCA，∠AC B =90°，
∴∠ACD=∠BCD= ∠ACB=45°，在△COE和△COF中， ，
∴△COE≌△COF（SAS），
∴OE=OF．
∵∠ABC=60°，
∴∠BAC=30°，
∵EF平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE= ∠BAC=15°，
∴∠COE=∠COF=∠AOD=45°+15°=60°．
∵∠AOC=180°-∠CAE-∠ACO
=180°- (∠BAC+∠ACA)
=180°- (180°-60°)
=120°，
∴∠AOF=120°-60°=60°，
∴∠AOD=∠AOF，
在△AOD和△AOF中， ，
∴△AOD≌△AOF（ASA），
∴OF=OD，
∴OE=OE．
作DN⊥BC于N，OM⊥BC于M，
∴∠CMO=∠CND=90°，
∵∠OCM=∠DCN，
∴△OCM∽△DCN，
∴ ．
∵sinB= ， BD=4，
∴DN=2 ，
∵OC=2 ，∠OCM=45°，
∴CM=OM=2，∴ ，
∴OE=OD= ．
故答案为： ．
三、解答题（本大题共7小题，其中第16题5分，第17题7分，第18题8分，第19题8分，第20题8分，
第21题9分，第22题10分，共55分.）
16．计算： ．
【答案】
【分析】本题考查了实数的混合运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，二次根式的性质，
根据以上运算法则进行计算即可求解．
【解析】解：原式
．
17．先化简，再求值： ，其中x=2+ ．
【答案】 ，
【分析】先按分式混合运算的相关运算法则将原式化简，再代入x的值按二次根式的除法法则计算即可．
【解析】解：
=
== ，
当x=2+ 时，原式= ．
18．为了解班级学生参加课后服务的学习效果，何老师对本班部分学生进行了为期一个月的跟踪调查，他
将调查结果分为四类：A：很好；B：较好；C：一般；D：不达标，并将调查结果绘制成以下两幅不完整
的统计图，请你根据统计图解答下列问题：
(1)此次调查的总人数为________；
(2)扇形统计图中“不达标”对应的圆心角度数是________°；
(3)请将条形统计图补充完整；
(4)为了共同进步，何老师准备从被调查的A类和D类学生中各随机抽取一位同学进行“一帮一”互助学习．
请用画树状图或列表的方法求出所选两位同学恰好是相同性别的概率．
【答案】(1)20人
(2)36
(3)见解析
(4)
【分析】（1）由条形统计图中B类学生数及扇形统计图中B类学生的百分比即可求得参与调查的总人数；
（2）由扇形统计图可求得不达标的学生所占的百分比，它与360°的积即为所求的结果；
（3）现两种统计图及（1）中所求得的总人数，可分别求得C类、D类学生的人数，从而可求得这两类中
未知的学生数，从而可补充完整条形统计图；
（4）记A类学生中的男生为“男1”，两个女生分别记为“女1”、“女2”，记D类学生的一男一女分别为
“男”、“女”，列表即可求得所有可能的结果数及所选两位同学恰好是相同性别的结果数，从而可求得
概率．
【解析】（1）由条形统计图知，B类学生共有6+4=10（人），由扇形统计图知，B类学生所占的百分比
为50%，则参与调查的总人数为： （人）
故答案为：20人
（2）由扇形统计图知，D类学生所占的百分比为： ，则扇形统计图中“不达
标”对应的圆心角度数是：360°×10%=36°
故答案为：36
（3）C类学生总人数为：20×25%=5（人），则C类学生中女生人数为： （人）
D类学生总人数为：20×10%=2（人），则C类学生中男生人数为： （人）补充完整的条形统计图如下：
（4）记A类学生中的男生为“男1”，两个女生分别记为“女1”、“女2”，记D类学生的一男一女分别为
“男”、“女”，列表如下：
男1 女1 女2
男 男男1 男女1 男女2
女 女男1 女女1 女女2
则选取两位同学的所有可能结果数为6种，所选两位同学恰好是相同性别的结果数有3种，所以所选两位
同学恰好是相同性别的概率为：
19．“低碳环保，绿色出行”成为大家的生活理念，不少人选择自行车出行．某公司销售甲、乙两种型号
的自行车，其中甲型自行车进货价格为每台500元，乙型自行车进货价格为每台800元．该公司销售3台
甲型自行车和2台乙型自行车，可获利650元，销售1台甲型自行车和2台乙型自行车，可获利350元．
(1)该公司销售一台甲型、一台乙型自行车的利润各是多少元？
(2)为满足大众需求，该公司准备加购甲、乙两种型号的自行车共20台，且资金不超过13000元，最少需
要购买甲型自行车多少台？
【答案】(1)甲型自行车利润为150元，一台乙型自行车利润为100元
(2)最少需要购买10台甲型自行车
【分析】本题考查二元一次方程组及一元一次不等式解实际应用题，涉及解二元一次方程组、解一元一次
不等式等知识，读懂题意，准确列出方程组及不等式求解是解决问题的关键
（1）设一台甲型自行车利润为 元，一台乙型自行车利润为 元，读懂题意，找准等量关系列二元一次方
程组求解即可得到答案；
（2）设最少需要购买 台甲型自行车，则乙型自行车购买 台，读懂题意，找到不等关系列不等式
求解即可得到答案．
【解析】（1）解：设一台甲型自行车利润为 元，一台乙型自行车利润为 元，
由题意可得 ，
解得 ，
甲型自行车利润为150元，一台乙型自行车利润为100元；（2）解：设最少需要购买 台甲型自行车，则乙型自行车购买 台，
则由题意可得 ，
解得 ，
最少需要购买10台甲型自行车．
20．如图， 是 的直径，点C是 上一点， 和过点C的直线互相垂直，垂足为D， 交
于点E，且 平分 ．
(1)求证：直线 是 的切线；
(2)连接 ，若 ， ，求 的长．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）如图所示，连接 ，根据角平分线的定义和等边对等角证明 ，则
，由 ，可证 ，即可证明直线 是 的切线；
（2）先求出 ，利用勾股定理求出 ，证明 求出 ，利用勾股
定理求出 ， ，则 ．
【解析】（1）证明：如图所示，连接 ，
平分 ,
，
，
，
，，
，
，
又 点C在 上，
直线 是 的切线；
（2）解：如图所示，连接 ， ，
由（1）得 ，
，
，
是 的直径，
，
，
，
即 ，
，
，
．
21．定义：如图1，在平面直角坐标系中，点P是平面内任意一点(坐标轴上的点除外)，过点P分别作x轴、
y轴的垂线，若由点P、原点O、两个垂足 为顶点的矩形 的周长与面积的数值相等时，则称点P
是平面直角坐标系中的“美好点”．【尝试初探】
（1）点 ______ “美好点”(填“是”或“不是”)；
【深入探究】
（2）①若“美好点” 在双曲线 ，且 为常数 上，则 ______；
②在①的条件下， 在双曲线 上，求 的值；
【拓展延伸】
（3）我们可以从函数的角度研究“美好点”，已知点 是第一象限内的“美好点”．
①求y关于x的函数表达式；
②对于图象上任意一点 ，代数式 是否为定值？如果是，请求出这个定值，如果不是，
请说明理由．
【答案】（1）不是；（2）①18；② ；（3）①函数表达式为 ；②对于图象
上任意一点 ，代数式 是为定值，定值为 ．
【分析】本题考查反比例函数与几何综合，三角形的面积公式，待定系数法求反比例函数与一次函数的解
析式，审清题意并理解“美好点”的含义是解题的关键．
（1）验证矩形的周长与面积的数值是否相等，即验证横纵坐标的绝对值之和是否等于横纵坐标的绝对值
的乘积；
（2）①根点E是“美好点”，求出m，再将点E代入双曲线方程就可求出k；
②根据“ 在双曲线 上”求出n，再用待定系数法求出直线 的方程，从而求出它与x轴的
交点，最后利用 求 即可；
（3）①根据点 是第一象限内的“美好点”，利用“美好点”的定义即可求出y关于x的函数表达
式；②将①中的关系式代入 得出定值，从而得解．
【解析】（1）∵ ，
∴点 不是“美好点”，
故答案为：不是；
（2）①∵ 是“美好点”，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
将 代入双曲线 ，
得 ，
故答案为：18；
②∵ ，
∴双曲线的解析式是： ．
∵F(2，n)在双曲线 上，
∴ ，
∴ ，
设直线 的解析式为： ，
∴ ，
解得 ，
∴直线 的解析式为： ，
令直线 与 轴交于点 ，
当 时， ，
解得： ，
∴ ，
画出图如图所示：∴ ；
（3）①∵点 是第一象限内的“美好点”，
∴ ，
化简得： ，
∵第一象限内的点的横坐标为正，
∴ ，
解得： ，
∴y关于x的函数表达式为： ；
②“对于图象上任意一点 ，代数式 为定值．”
∵ ，
∴ ，
∴对于图象上任意一点 ，代数式 是为定值，定值为 ．
22．（1）如图1，在正方形 中，E、F分别为 、 边上的点且 ，延长 至G使得
，延长 交 于点H，求证： ；（2）如图2，在矩形 中， ， ，将 绕点B顺时针旋转至 ，且点E落在
上，求 的值；
（3）如图3，在四边形 中， ， ， ， ，连接 ，
，当 是以 为腰的等腰三角形时，直接写出 的值．
【答案】（1）详见解析；（2） ；（3） 或
【分析】（1）证明 ，得出 ，根据 ，得出 ，即可证明
结论；
（2）连接 ，根据勾股定理求出 ，根据旋转得出 ， ， ，
过点B作 ，垂足为H， ， ，求出
，即可求出结果；
（3）分两种情况，当 ，当 ，分别画出图形，作出辅助线，进行解答即可．
【解析】（1）证明：∵正方形 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ．
（2）解：连接 ，如图所示：
∵在矩形 中， ， ，
∴在 中， ，
∵ 绕点B逆时针旋转至 ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
过点B作 ，垂足为H，
则 ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ．
（3）解：①当 时，作 交 于点H，
则 ，
∴ ，
∵ ，
∴
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
将 绕点B顺时针旋转至 ，连接 ,
则 ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，∴ ，
∵ ，
∴ ；
②当 时，作 交 于点H，以 为底作等腰 ，使 ，连接 ，如
图所示：
则 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
综上分析可知， 的值为 或 ．
