2011年甘肃省兰州市中考数学试题(含答案)_中考真题_2.数学中考真题2015-2024年_地区卷_甘肃省_甘肃兰州数学08-22

2011年甘肃省兰州市初中毕业生学业考试数学试卷 注意事项： 1．全卷共150分，考试时间120分钟． 2．考生必须将姓名、准考证号、考场、座位号等个人信息填（涂）写在答题卡的相应位置． 3．考生务必将答案直接填（涂）写在答题卡的相应位置． 一、选择题（本题15小题，每小题4分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的．） 1． （2011甘肃兰州，1，4分）下列方程中是关于x的一元二次方程的是 1 A．x2  0 B．ax2 bxc0 x2 C．(x1)(x2)1 D．3x2 2xy5y2 0 2． （2011甘肃兰州，2，4分）如图，某反比例函数的图象过点（－2，1），则此反比例函数表达 式为 2 2 1 1 A．y  B．y  C．y  D．y  x x 2x 2x y 1 -2 O x 3． （2011甘肃兰州，3，4分）如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C， 若∠A=25°，则∠D等于 A．20° B．30° C．40° D．50° B O D A C 4． （2011甘肃兰州，4，4分）如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB绕着点 A逆时针旋转得到△AC’B’，则tanB’的值为 1 1 1 2 A． B． C． D． 2 3 4 4 1B’ C’ C A B 5． （2011甘肃兰州，5，4分）抛物线y  x2 2x1的顶点坐标是 A．（1，0） B．（－1，0） C．（－2，1） D．（2，－1） 6． （2011甘肃兰州，6，4分）如图是由几个小立方块所搭几何体的俯视图，小正方形中的数 字表示在该位置的小立方块的个数，这个几何体的主视图是 2 1 1 1 A． B． C． D． 7． （2011甘肃兰州，7，4分）一只盒子中有红球m个，白球8个，黑球n个，每个球除颜色外 都相同，从中任取一个球，取得白球的概率与不是白球的概率相同，那么m与n的关系是 A．m=3，n=5 B．m=n=4 C．m+n=4 D．m+n=8 8． （2011甘肃兰州，8，4分）点M（－sin60°，cos60°）关于x轴对称的点的坐标是 3 1 3 1 3 1 1 3 A．（ ， ） B．（ ， ） C．（ ， ） D．（ ， ） 2 2 2 2 2 2 2 2 9． （2011甘肃兰州，9，4分）如图所示的二次函数y ax2 bxc的图象中，刘星同学观察 得出了下面四条信息：（1）b2 4ac0；（2）c>1；（3）2a－b<0；（4）a+b+c<0．你认为其 中错误的有 A．2个 B．3个 C．4个 D．1个 y 1 -1 O 1 x 10．（2011甘肃兰州，10，4分）用配方法解方程x2 2x50时，原方程应变形为 A．(x1)2 6 B．(x2)2 9 C．(x1)2 6 D．(x2)2 9 11．（2011甘肃兰州，11，4分）某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他 同学各送一张留作纪念，全班共送了2070张相片，如果全班有x名学生，根据题意，列 出方程为 2A．x(x1)2070 B．x(x1)2070 x(x1) C．2x(x1)2070 D． 2070 2 12．（2011甘肃兰州，12，4分）如图，⊙O过点B、C，圆心O在等腰Rt△ABC的内部， ∠BAC=90°，OA=1，BC=6．则⊙O的半径为 A．6 B．13 C． 13 D．2 13 A O B C 13．（2011甘肃兰州，13，4分）现给出下列四个命题：①无公共点的两圆必外离；②位似三角 形是相似三角形；③菱形的面积等于两条对角线的积；④对角线相等的四边形是矩形． 其中真命题的个数是 A．1 B．2 C．3 D．4 14．（2011甘肃兰州，14，4分）如图，正方形ABCD的边长为1，E、F、G、H分别为各边上的点， 且AE=BF=CG=DH，设小正方形EFGH的面积为S，AE为x，则S关于x的函数图象大致是 H y y y y A D E 1 1 1 1 G -1 O x O 1 x O 1 x O 1 x B F C A． B． C． D． 15．（2011甘肃兰州，15，4分）如图，矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点，矩形的边分别平 k2 2k1 行于坐标轴，点C在反比例函数y  的图象上．若点A的坐标为（－2，－2）， x 则k的值为 A．1 B．－3 C．4 D．1或－3 y C B O x A D 二、填空题（本题5小题，每小题4分，共20分．） 16．（2011甘肃兰州，16，4分）如图，OB是⊙O的半径，点C、D在⊙O上，∠DCB=27°，则 3∠OBD= 度． D O B C 17．（2011甘肃兰州，17，4分）某水库大坝的横断面是梯形，坝内斜坡的坡度i=1∶ 3，坝外 斜坡的坡度i=1∶1，则两个坡角的和为 ． 18．（2011甘肃兰州，18，4分）已知一个半圆形工件，未搬动前如图所示，直径平行于地面放 置，搬动时为了保护圆弧部分不受损伤，先将半圆作如图所示的无滑动翻转，使它的直 径紧贴地面，再将它沿地面平移50m，半圆的直径为4m，则圆心O所经过的路线长是 m．（结果用π表示） O O l O O 19．（2011甘肃兰州，19，4分）关于x的方程a(xm)2 b0的解是x=－2，x=1（a，m，b均 1 2 为常数，a≠0），则方程a(xm2)2 b0的解是 ． 20．（2011甘肃兰州，20，4分）如图，依次连结第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次 连结菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去．已知第一个矩形的面积为 1，则第n个矩形的面积为 ． …… 3 21．（2011甘肃兰州，21，7分）已知α是锐角，且sin(α+15°)= ． 2 1 1 计算 84cos(3.14)0 tan   的值． 3 22．（2011甘肃兰州，22，7分）如图，有A、B两个转盘，其中转盘A被分成4等份，转盘B被分 成3等份，并在每一份内标上数字．现甲、乙两人同时各转动其中一个转盘，转盘停止后 （当指针指在边界线上时视为无效，重转），若将A转盘指针指向的数字记为x，B转盘指 针指向的数字记为y，从而确定点P的坐标为P（x，y）．记S=x+y． （1）请用列表或画树状图的方法写出所有可能得到的点P的坐标； （2）李刚为甲、乙两人设计了一个游戏：当S<6时甲获胜，否则乙获胜．你认为这个游戏 4公平吗？对谁有利？ 1 2 2 4 4 3 6 A B 23．（2011甘肃兰州，23，7分）今年起，兰州市将体育考试正式纳入中考考查科目之一，其等 级作为考生录取的重要依据之一．某中学为了了解学生体育活动情况，随机调查了720 名初二学生，调查内容是：“每天锻炼是否超过1小时及未超过1小时的原因”，利用所 得的数据制成了扇形统计图和频数分布直方图．根据图示，解答下列问题： （1）若在被调查的学生中随机选出一名学生测试其体育成绩，选出的是“每天锻炼超过 1小时”的学生的概率是多少？ （2）“没时间”锻炼的人数是多少？并补全频数分布直方图； （3）2011年兰州市区初二学生约为2.4万人，按此调查，可以估计2011年兰州区初二学 生中每天锻炼未超过1小时的学生约有多少万人？ （4）请根据以上结论谈谈你的看法． 人数 锻炼未超过1小时人数频数分布直方图 450 400 350 超过1小时 300 270° 250 200 未超过1小 150 120 时 100 50 20 O 不喜欢 没时间 其它 原因 m 24．（2011甘肃兰州，24，7分）如图，一次函数y kx3的图象与反比例函数y  （x>0） x 的图象交于点P， PA⊥x轴于点A， PB⊥y轴于点B， 一次函数的图象分别交x轴、y轴 OC 1 于点C、点D，且S =27，  ． △DBP CA 2 （1）求点D的坐标； （2）求一次函数与反比例函数的表达式； （3）根据图象写出当x取何值时，一次函数的值小于反比例函数的值？ 5y D C A O x B P 25．（2011甘肃兰州，25，9分）如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过网格的 交点A、B、C． （1）请完成如下操作： ①以点O为原点、竖直和水平方向所在的直线为坐标轴、网格边长为单位长，建立 平面直角坐标系；②用直尺和圆规画出该圆弧所在圆的圆心D的位置（不用写作法，保 留作图痕迹），并连结AD、CD． （2）请在（1）的基础上，完成下列问题： ①写出点的坐标：C 、D ； ②⊙D的半径= （结果保留根号）； ③若扇形ADC是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面面积为 （结果 保留π）； ④若E（7，0），试判断直线EC与⊙D的位置关系并说明你的理由． A B C O 26．（2011甘肃兰州，26，9分）通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大 小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的， 可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做 顶角的正对（sad）.如图①在△ABC中，AB=AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA 底边 BC   .容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据 腰 AB 上述角的正对定义，解下列问题： （1）sad60°= ． （2）对于0°AB），将纸片折叠一 次，使点A与点C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F，分别连结AF和 CE． （1）求证：四边形AFCE是菱形； （2）若AE=10cm，△ABF的面积为24cm2，求△ABF的周长； （3）在线段AC上是否存在一点P，使得2AE2=AC·AP若存在，请说明点P的位置，并予以 证明；若不存在，请说明理由． A E D O B F C 28．（2011甘肃兰州，28，12分）如图所示，在平面直角坐标系xoy中，正方形OABC的边长为 2cm，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y ax2 bxc经过点A、 2 B和D（4， ）． 3 （1）求抛物线的表达式． （2）如果点P由点A出发沿AB边以2cm/s的速度向点B运动，同时点Q由点B出发，沿 BC边以1cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运 动．设S=PQ2（cm2）． ①试求出S与运动时间t之间的函数关系式，并写出t的取值范围； 5 ②当S取 时，在抛物线上是否存在点R，使得以点P、B、Q、R为顶点的四边形是平 4 行四边形？如果存在，求出R点的坐标；如果不存在，请说明理由． （3）在抛物线的对称轴上求点M，使得M到D、A的距离之差最大，求出点M的坐标． 7y C O x D Q P A B 2011兰州市中考数学答案 一、选择题 1．【答案】C 【思路分析】A项分母中含有未和知数，错；B项中未强调a≠0，错；D项中含有两个未知 数，错． 2．【答案】B k k 【思路分析】将点（－2，1）代入y  得1 得k 2；也可直接利用双曲线上的点 x 2 的横坐标与纵坐标的积就是比例系数，即k  xy (2)12． 3．【答案】C 【思路分析】由OA=OC得∠OCA=∠A=25°，再利用三角形外角性质∠DOC=∠A+∠OCA=50°； 由切线性质得∠DCO=90°，∠D=90°－50°=40° 4．【答案】B 【思路分析】旋转后的三角形与原三角形全等，得∠B’=∠B；然后将∠B放在以BC为斜 1 边，直角边在网格线上的直角三角形中，∠B的对边为1，邻边为3，tanB’= tanB= ，故选B 3 5．【答案】A 【思路分析】配方得y (x1)2，得顶点为（1，0） 6．【答案】D 【思路分析】从正面看，从左到右有三排小立方块，排除A；最左边后方的小立方块有两 层，应选D． 87．【答案】D 8 【思路分析】取得白球的概率是 ，由取得白球的概率与不是白球的概率相同可 mn8 8 1 得  ，化简得m+n=8 mn8 2 8．【答案】B 3 1 【思路分析】sin60°= ，cos60°= ，再把纵坐标变成相反数． 2 2 9．【答案】D 【思路分析】图象与x轴有两个交点，得（1）正确；图象与y轴交点在点（0，1）下方得 b b c<1，（2）错误；对称轴x 在点（－1，0）右侧，得 1并考虑a<0，去分母得－b< 2a 2a －2a，2a－b<0，所以（3）正确；a+b+c是x=1时的函数值，从图象上看，横坐标为1时图象上 的点在x轴下方，故a+b+c<0，所以（4）正确．综上只有一条信息错误． 10．【答案】C 【思路分析】－5移到右边得x2 2x5，再两边加1得x2 2x16即(x1)2 6． 11．【答案】A 【思路分析】每个学生要送给其余（x－1）名学生每人一张照片，这样共需送x(x－1)张． 12．【答案】C 【思路分析】延长AO交BC于点D，则AD垂直平分BC，BD=AD=3，OD=3－1=2，OB= 32 22  13 A O B D C 13．【答案】A 【思路分析】无公共点的两圆还可能内含；菱形的面积等于两条对角线的积的一半；对角 线相等的平行四边形才是矩形；所以①③④都是假命题． 14．【答案】B 【思路分析】先求解析式S  EH2  x2 (1x)2 2x2 2x1，再注意x的取值范围 是06 【思路分析】（1）解析式y kx3中的3就是D点的纵坐标；（2）由P点坐标可得A、B点 的坐标，可得OA、OB的长，OC是CA的一半，可得OC长，得C点坐标，代入y kx3得方程， 再由面积得方程，进而可求出有关量．（3）从图象上看出P点右侧符合． 25．【答案】（1） 11y A B C O D E x （2）① C（6，2），D（2，0） ②2 5 5 ③  4 ④相切． 理由：∵CD=2 5，CE= 5，DE=5 ∴CD2+CE2=25=DE2 ∴∠DCE=90°即CE⊥CD ∴CE与⊙D相切． 【思路分析】（1）作出AB和BC的垂直平分线，交点就是圆心D；（2）②在Rt△AOD中应用 勾股定理，③弧 ABC的长就是圆锥的底面圆周长，观察图形易得∠ADC=90°，弧长为 1 5 5 5 5 22 5  5，底面半径为  ，底面面积为( )2  ，④从图上易看出 4 2 2 2 4 是相切，证明时需证∠DCE=90°，注意到线段CD、CE、DE的长均可求出，故想到用勾股定理的 逆定理． 26．【答案】（1）1 （2）00，当∠A接近180°时，BC接近2AB，则sadA接近2但小于2，故 sadA<2；（3）将∠A放到等腰三角形中，如上解答是一个方法，另一方法是在 AB上截取 AE=AC，连接CE，设法求出CE，可作EF⊥AC于F，在△AEF中求EF、AF，得CF，进而可求CE． 27．【答案】（1）由折叠可知EF⊥AC，AO=CO ∵AD∥BC ∴∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO ∴△AOE≌△COF ∴EO=FO ∴四边形AFCE是菱形． （2）由（1）得AF=AE=10 设AB=a，BF=b，得 a2+b2=100 ①，ab=48 ② ①+2×②得 (a+b)2=196，得a+b=14（另一负值舍去） ∴△ABF的周长为24cm （3）存在，过点E作AD的垂线交AC于点P，则点P符合题意． A E D O P B F C 证明：∵∠AEP=∠AOE=90°，∠EAP=∠OAE ∴△AOE∽△AEP AO AE ∴  ，得AE2=AO·AP即2AE2=2AO·AP AE AP 又AC=2AO ∴2AE2=AC·AP 【思路分析】（1）对角线已经互相垂直，再证互相平分，即证OE=OF，通过证△AOE≌△COF 即可；（2）将条件集中到Rt△ABF中，就是已知斜边和面积求周长，可将直角边设为未知数列 出方程，本题只求周长，所以不必解方程，只要求出两直角边的和就行了；（3）分析时，首先 AE AP 要处理2AE2=AC·AP中的2倍，注意到AC=2AO，代入就化为AE2=AO·AP，即  ，又 AO AE ∠EAP=∠OAE，得△AOE∽△AEP，反过来只要△AOE∽△AEP，就能得2AE2=AC·AP，它们已有一 对角相等，只要找的P点能得另一对角相等就能得相似，∠AOE=90°，这就需∠AEP=90°，就 13得到找P点的方法，过点E作AD的垂线与AC的交点就是所要找的P点． 28．【答案】（1）由题意得A（0，－2），B（2，－2），抛物线y ax2 bxc过A、B、D三点得  1 a 4a2bc2  6    2  1 16a4bc 解得b 3 3   c2 c2    1 1 抛物线的表达式为y  x2  x2 6 3 （2）①S=PQ2=BP2 BQ2 (22t)2 t2 5t2 8t4（0≤t≤1） 5 1 11 ②由5t2 8t4 解得t= 或t= （不合题意，舍去） 4 2 10 3 此时，P（1，－2），B（2，－2），Q（2， ） 2 3 5 3 若以点P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形，则R（3， ）或（1，－ ）或（1， ） 2 2 2 3 经代入抛物线表达式检验，只有点R（3， ）在抛物线上 2 3 所以抛物线上存在点R（3， ）使得以点P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形． 2 （3）过B、D的直线交抛物线对称轴于点M，则该点即为所求．因为如在对称轴上另取一点N， 则 ND－NA=ND－NB