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2024 年中考押题预测卷【湖南卷】
数 学
一、选择题（共30分，每题3分）每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A A B A B A C C A C
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11． 12． 13．x≥1 14．10
15． 16． 17．1 18．③④⑤
三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第23、24题每小题
9分，第25、26题每小题10分，共66分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．
【答案】
【分析】先计算有理数的乘方，去绝对值，再计算乘法和除法，最后计算加减即可．
【详解】解： ．
20．
【答案】 ，
【分析】先运用公式法进行因式分解，根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将 的值代入
化简后的式子即可解答本题．
【详解】解：原式 ，
把 代入，原式 ．
21．
【答案】(1) ， ，见解析；
(2) ；
(3)见解析， ．
【分析】（ ）用频数分布直方图中 的频数除以扇形统计图中 的百分比可得 的值；用频数
分布直方图中 的频数除以 再乘以 可得 ，即可得 的值；求出测试成绩为 （含
100）的人数，补全频数分布直方图即可．（ ）用 乘以“ ”的人数所占的百分比，即可得出答案；
（ ）画树状图得出所有等可能的结果数以及恰好抽到甲、乙两名同学的结果数，再利用概率公式可得出
答案；
本题考查了列表法与树状图法、频数（率）分布直方图、扇形统计图，能够读懂统计图，掌握列表法与树
状图法是解题的关键．
【详解】（1）解： ， ，∴ ，故答案为： ； ；
测试成绩为 （含 ）的人数为 （人），补全频数分布直方图如图所示，
（2）在扇形统计图中，“ ”这组的扇形圆心角为 ，故答案为： ；
（3）画树状图如下：
共有 种等可能的结果，其中恰好抽到甲、乙两名同学的结果有：甲乙、乙甲，共 种，
∴恰好抽到甲、乙两名同学的概率为 ．
22．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）利用平行线和角的平分线，证明 ，继而判断四边形 是平行四边形，结合
得证．
（2）利用勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，计算即可．
【详解】（1）证明：∵ ，∴ ，∵ 平分 ，∴ ，
∴ ，∴ ，∵ ，∴四边形 是平行四边形，∵ ，
∴四边形 是菱形．（2）解：∵四边形 是菱形，∴ ，∵ ，∴ ，∵ ，
∴ ，在 中， ，∴ ，∴
．
23．
【答案】(1) ；
(2)① ， ；②当 时，销售总利润达到最大，最大总利润 ．
【分析】（1）设增长率为a ，根据该品牌头盔4月份及6月份的月销售量,即可得出关于a的一元二次方
程；
（2）根据月销售利润 每个头盔的利润 月销售量,即可得出关于y的二次函数；
①令 ，解之取其正值即可；②利用二次函数的最值求解即可.
【详解】解：（1） ；
（2）①由题意可得： ，令 ，即 ，
解得 ， .∴当x为10或者40时，销售总利润达到10000元；
② ，∴当 时，取得最大总利润，
此时 .
24.
【解析】(1)∵ 为等边三角形，∴ ∴ ；
又 且 ，∴ ，∴ ，
∴ 是等边三角形；
(2)取 ，∴ ，∴ 为等边三角形，∴ ，
，
∴ ，即 ，在 与 中
，∴ ，∴ ，∴ ，∴ 。
25．
【详解】（1）解：①假设函数 是梦想函数，设梦之点横坐标为 ，纵坐标为 ，代入 ，
得 ，此方程无解，故函数 不是梦想函数，故答案为：不是
②设函数 的图像上的梦之点是 ，代入 得 ，解方程得 ，
故答案为： 或
（2）解：设抛物线 （ ），梦之点的坐标为 ，
则 ，整理得 ，
∵有两个梦之点，∴ ，解不等式得： ，即m的取值范围是 且
；
（3）解：设函数 梦之点的坐标为 ，则
整理得 ，∵存在唯一的一个“梦之点”，∴
整理得 ，则 关于 的二次函数关系，其图像对称轴为直线 ，
当 时，则 时， 值最小为 ，
整理得 ，解得 （舍去）， ，
当 时，则 时， 值最小为 ，整理得 ，
当 时，则 时， 值最小为 ，
整理得 ， ，方程无解，
综上得k的值为 或 ．
26．【分析】（1）根据正方形性质和旋转性质得到， ， ， ，得到
，利用 即得；
（2）由 ， 和正方形性质推出 ，由角平分线定义和
性质推出 ，得到 ，得到 ，结合 ，即
得 ；
（3）设正方形 的边长为 ，推出 ， ，由全等三角形性质得到 ，
，推出C，D，N三点共线，得到 ，证明 ，推出
，得到 ，根据 得到 ．
【详解】（1）∵四边形 是正方形，∴ ， ，旋转知： ，
，
∴ ，∴ ，∴ ；
（2）在正方形 中， ，∵ ， ，∴ ，
∴ ，∵ 平分 ，∴ ，∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ，又∵ ，∴ ；
（3）设正方形 的边长为 ，∵ ，∴ ，∴ ， ，
由（1）知， ，∴ ， ，∴ ，
∴C，D，N三点共线，∴ ，∵ ，∴ ，∴ ，
∴ ，∴ ，∴ ，∵ ，∴ ．
