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矩形问题
一 阶方法突破练
1.如图,在 10×10的方格中有格点A，B，在网格中确定一组格点C，D，使得四边形ABCD 是以AB 为较短
边的矩形.
2.如图，已知平面直角坐标系中有线段AB，点C为x轴上一点，点 D为平面内任意一点，确定C，D，使得
以A，B，C，D为顶点的四边形是矩形，请作出符合要求的矩形.
3. 如图,在平面直角坐标系中直线L经过,A(-1,0),M(1,4)两点，点P是y轴上一动点，点Q是平面内任意一点，
若以A，M，P，Q为顶点的四边形是矩形，求点 Q 的坐标.1 3
4.如图，抛物线 y= x2− x−2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点M为坐标轴上一点，平面内存
2 2
在点N，使得以B，C，M，N为顶点的四边形为矩形，求点 N的坐标.
5.如图，抛物线 y=−x²+2x+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线上一动点，在平面内
是否存在点Q，使得以点A，C，P，Q为顶点的四边形是矩形?若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.二阶 设问进阶练
1 3
例 如图，抛物线 y=− x2+ x+4与x轴交于A，B两点，与y轴交于点 C.
4 2
(1)平面内是否存在一点 D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形是矩形?若存在，求出点D的坐标；若不存
在，请说明理由；
(2)是否存在以BC 为边，且一个顶点 P 在抛物线的对称轴上的矩形?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请
说明理由；
(3)若点E 为抛物线的顶点，点M为y轴上一点，平面内是否存在点 N，使得以C，E，M，N为顶点的四边形
是矩形?若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.三阶 综合强化练
1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=x²−4x−5与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，一次函数
y=kx+b的图象经过B，C两点，D(2，5)是抛物线对称轴上一点.
(1)求一次函数的解析式；
(2)若点 P 是直线 BC下方抛物线上一动点，当 △BDP的面积最大时，求出此时点 P的坐标；
(3)(对称轴上的动点+任意一点)将抛物线沿x轴向右平移两个单位，得到的新抛物线与x轴交于E，F两点(点
E 在点 F 左侧)，若点M 为新抛物线对称轴上一点，则平面内是否存在点 N，使得以D，E，M，N为顶点的四边
形是矩形?若存在，求出点 M的坐标；若不存在，请说明理由.
作图区 答题区2.如图，抛物线 y=ax²+bx+c(a≠0)与x轴交于点 A(−3,0),B(2,0),与y轴交于点 C， ∠CAO=
交抛物线于点E，且. AE=EC.
45°,直线 y=kx
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点 M为直线 y=1上一点，点 N为直线EC上一点，求( CM+MN的最小值；
(3)(抛物线上的动点+任意一点)点P为抛物线上一点，点Q为平面内一点，是否存在点 P，Q，使得以E，C，
P，Q为顶点的四边形是矩形?若存在，求出点 Q的坐标；若不存在，请说明理由.
3
3.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线 y=ax2+bx+ (a≠0)与x轴交于A，B两点(点B在点
2
A 的右侧),与y轴交于点 C,且( OA:OB=1:3,抛物线的对称轴是直线 x=1.
(1)求抛物线的解析式；
(2)点M是x轴下方抛物线上一点,连接AC,AM,BM,当 ∠ABM=2∠ACO时，求点M 的横坐标；
(3)(对称轴上的动点+任意一点)若点 P是抛物线的对称轴上一点，点Q是平面内任意一点，
是否存在点P，Q，使得以B，C，P，Q为顶点的四边形是矩形?若存在，求出点P的坐标；若不
存在，请说明理由.考向3矩形问题
一阶 方法突破练
1.解：格点C，D的位置如解图所示.
2. 解:如解图,矩形ABD₁C₁,矩形ABC₂D₂,矩形AC₃BD₃和矩形AC₄BD₄为所求作矩形.
3.解：①当AM 为矩形的对角线时，如解图①，设 N 为AM 的中点,
∵A(-1,0),M(1,4),∴N(0,2),
∴MN=√5.∴NQ =NQ =√5,
1 2
∴Q (0,2+√5),Q (0,2−√5);
1 2
②当AM 为矩形的边时,(i)当AP⊥AM 时,如解图②,过点A 作直线l⊥x轴,作 P₃H⊥l于点 H,作MG⊥l于点G,
∴∠GAM+∠HAP₃=90°,∠HAP₃+∠AP₃H=90°,
∴∠GAM=∠AP₃H,
∵∠MGA=∠AHP₃=90°,
MG AH 1
= = ,
∴△MGA∽△AHP₃,则
GA H P 2
3
1 ( 1) ( 7)
∵H P =1,∴AH= ,∴P 0,− ,∴Q 2, ;
3 2 3 2 3 2
(ii)当MP⊥AM时,如解图③,过点 M 作直线l'⊥x轴,交x轴于点L,作P₄J⊥l'于点 J,同理得△ALM∽△MJP₄,
则 MJ = AL = 1 , ∵J P =1,∴MJ= 1 , ∴P ( 0, 9) ,∴Q ( −2, 1) .综上所述，点 Q 的坐标为 (0,2+√5)
P J ML 2 4 2 4 2 4 2
4
7 ( 1)
或 (0,2−√5)或(2, )]或 −2, .
2 21 3
4. 解:∵ 抛物线 y= x2− x−2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C,∴A(-1,0),B(4,0),C(0,-2),
2 2
∴AB=5,AC=√5,BC=2√5,
分两种情况讨论，如解图，
①当以BC 为对角线时，
∵∠COB=90°,
∴此时M点与O 点重合，即M₁(0,0),∴N₁(4,-2);
②当以 BC 为边时,
(i)M点在x轴上时,
∵AB=5,AC=√5,BC=2√5,
∴AB²=AC²+BC²,∴∠ACB=90°,
∴此时 M 点与A 点重合，即M₂(-1,0),
∵C点向右平移4个单位，再向上平移2个单位得到
B点坐标，∴M₂点向右平移4个单位，再向上平移2个单位得到N₂点坐标，
∴N₂(3,2);
(ii)M点在y轴上时,延长(i)中BN₂交y轴于 M₃点，即可组成矩形 CBM₃N₃,此时点
N₃在第二象限，
设直线 BN₂ 的解析式为y=kx+b,
代入 B 点和 N₂ 点的坐标，
{4k+b=0 {k=−2
, ,
得 解得
3k+b=2 b=8
∴ 直线 BN₂ 的解析式为y=-2x+8,
当x=0时,y=8,
故M₃(0,8),
∵ B 点向左平移4个单位，再向上平移8个单位得到M₃点，∴C点向左平移4个单位，再向上平移8个单位
得到N₃点，
∴N₃(-4,6),综上所述，符合条件的点 N的坐标为(4，-2)或(3，2)或(-4,6).
5.解:存在.
∵抛物线的解析式为 y=−x²+2x+3,
∴A(-1,0),C(0,3),
∴AC 所在直线的解析式为：y=3x+3.
①当AC 为矩形的边时,如解图,过点 A,C 作 AC 的垂线，分别交抛物线于点 P₁，P₂.
1
设AP₁所在直线的解析为
y=− x+c,
3
1 1 1
∴AP₁所在直线的解析式为 y=− x− ,同理 CP₂所在直线的解析式为 y=− x+3.
3 3 3
10
{y=−x2+2x+3 { x =
联立 1 1 解得
{x
1
=−1
(舍去)
2 3
∴P
(10
,−
13)
.∴Q
(13
,
14)
,
y=− x− , y =0 13 1 3 9 1 3 9
3 3 1 y =−
2 9
7
{y=−x2+2x+3 { x =
联立 1 , 解得
{x
1
=0
(舍去)
2 3
∴P
(7
,
20)
.∴Q
(4
,−
7)
;
y=− x+3 y =3 20 2 3 9 2 3 9
3 1 y =
2 9
②当AC 为矩形的对角线时，如解图，以 AC 为直径画圆，⊙I与抛物线无其它交点.
∴不存在以 AC 为对角线且符合题意的点 Q.
(13 14) (4 7)
综上所述，点 Q 的坐标为 , 或 ,− .
3 9 3 9
二阶 设问进阶练
例 解:(1)存在.
1 3
∵ 抛物线
y=− x2+ x+4与x轴交于A，B两点，与y轴交于点
C，
4 2
令x=0,得y=4,∴C(0,4).
令y=0,解得.x₁=-2,x₂=8,∴A(-2,0),B(8,0).
∴AC²=OA²+OC²=20,BC²=OB²+OC²=80,AB²= (OA+OB)²=100.
∴AC²+BC²=20+80=100=AB².
∴△ABC为直角三角形,
∴AC，BC 为矩形的两边，AB为矩形的对角线，
∴点 D 在AB下方.
∵ 点C向左平移2个单位，再向下平移4个单位得到点A，∴点 B 向左平移2 个单位，再向下平移4个单位
得到点 D，
∴D(6,-4);
(2)存在.
∵B(8,0),C(0,4),
1
∴BC所在直线的解析式为
y=− x+4.
2
∵抛物线的对称轴为直线x=3，
∴设点 P 的坐标为(3,p).
过点 B,C 分别作 BC⊥CP₁ 于点 P₁,BP₂⊥BC 于点P₂,①当点 P₁在 BC上方时,如解图①,设CP₁ 所在直线解析式为 y =2x+b ,
cP 1
将C(0,4)代入,解得b₁=4,∴ycp=2x+4.
当x=3时,y=10,
∴P₁(3,10);
y =2x+b ,
②当点P₂在BC下方时，如解图②，设BP₂所在直线的解析式为
BP 2
2
将B(8,0)代入,解得b₂=-16,∴yBP=2x-16.
∴P₂(3,-10).
综上所述,点P的坐标为(3,10)或(3,-10);
【一题多解】∵抛物线的对称轴为直线x=3，∴设P(3,p),如解图①,当CP⊥CB时,过点P₁作P₁F⊥y轴于点
F,∴∠P₁FC=90°,∴∠FCP₁+∠BCO= 90°,∠FCP₁+∠FP₁C=90°,∴∠BCO=∠CP₁F,∵
P F CF
∠P₁FC=∠COB=90°,∴ △COB∽△P₁FC,∴ 1 = ,∴CF=6,∴P (3,10);同理，如解图②，当 BP⊥CB 时,可
CO BO 1
得△P₂BE∽△BCO,此时 P₂(3,-10). 综上所述,点 P 的坐标为(3,10)或(3,-10).
(3)存在.
1 3 1 25
∴y=− x2+ x+4=− (x−3) 2+ ,
4 2 4 4
25
∴点E的坐标为(3, ).
4
设点 M 的坐标为(0,m).①当CE 为矩形的边时，如解图③，过点E 作EM⊥CE 交y轴于点M,过点 M 作
MN∥EC,过点 C作 CN∥EM,两直线交于点 N,连接NE 交MC 于点 F.
易得 EM2=32+ ( m− 25) 2 ,CE2=32+ (25 −4 ) 2 = 225 , CM²=(m−4)²,
4 4 16
∵EM⊥CE,∴CE²+EM²=CM²,
即 225 +32+ ( m− 25) 2 =(m−4) 2,
16 4
41 ( 41)
解得 m= ,∴M 0, ,
4 4
∴矩形的对角线交点 F 的坐标为((0,57/8),
∴点N的坐标为(-3,8);
②当 CE 为矩形的对角线时，如解图④，
∵ 四边形 EMCN 为矩形,
25
∴EM⊥y轴,CN⊥y轴,∴M(0, ),N(3,4).综上所述,点N的坐标为(-3,8)或(3,4).
4【一题多解】： y=− 1 x2+ 3 x+4=− 1 (x−3) 2+ 25 ,∴点 E 的坐标为 ( 3, 25) ,①当CE 为矩形的边时，如
4 2 4 4 4
25 3 4
解图③,∵C(0,4),E(3, ),∴直线 CE 的解析式为
y= x+4,
.设 ME 的解析式为
y=− x+b,将点
E坐标代入得，
4 4 3
4 41 41 ( 41)
y=− x+ ,.当x=0时, y= , ∴M 0, ,∴矩形的对角线交点 F 的坐标为(0，57/8),∴点N的坐标为
3 4 4 4
(-3,8);②当 CE 为矩形的对角线时，如解图⑤，以 CE 为直径作圆，交y轴于点M,连接ME,过点C作
24
CN∥ME,∴EM⊥y轴,CN⊥y轴,∴M(0, ),N(3,4).综上所述,点N的坐标为(-3,8)或(3,4).
4
三阶 综合强化练
1. 解:(1)一次函数的解析式为y=x-5;
(2)如解图①,连接BD,过点 P 作PQ∥BD交抛物线于点Q,:B(5,0),D(2,5),
设直线BD 的解析式为y=ax+c,
5 25 5
∴将B，D两点的坐标代入解析式得， y=− x+ ,设 PQ 的解析式为 y=− x+d,
3 3 3
1
∵ BD是定值, S = BD.(点P到BD的距离),
BDP 2
5
∴ 当PQ 与抛物线只有一个交点时,点 P 到 BD 的距离最大,∴联立得 x2−4x−5=− x+d,即 3x²−7x-15-
3
3d=0,
∴b²-4ac=49-12×(-15-3d)=0,
229
解得 d=− ,
36
5 229
∴y=− x− ,
3 36
7
{ 5 229 { x=
y=− x− , 6
∴联立 3 36 解得 ,
299
y=x2−4x−5 y=
36
(7 299)
∴P ,− .
6 36
(3)【思路点拨】得到新抛物线的解析式，分①DE 为矩形的边，②DE 为矩形的对角线两种情况讨论，结合
矩形顶点的平移规律及相邻两边垂直时系数相乘为-1 求点M的坐标.
存在.
将抛物线沿x轴向右平移两个单位得 y=(x−2)²−4(x-2)-5,
∴新抛物线的解析式为 y=x²−8x+7,
∴E(1,0),对称轴为直线x=4,
∵以D，E，M，N为顶点的四边形是矩形，∴分两种情况讨论：
①DE 为矩形的边时,如解图②,作DM⊥DE,由D,E两点得直线 DE的解析式为y=5x-5,
1 1 27
∴设直线DM₁的解析式为 y=− x+e,将D(2,5)代入得 y=− x+ ,
5 5 5
∵新抛物线的对称轴为直线x=4，
1 27 ( 23) ( 3)
∴M₁的横坐标为4，代入 y=− x+ 得, M 4, ,同理,当EM⊥DE时, M 4,− ;
5 5 1 5 2 5
②当 DE 为矩形的对角线时，如解图③，作以DE 为直径的圆与对称轴交于点M，设M(4,t),
∵D(2,5),E(1,0),
t−5 t t
∴直线 DM 的解析式为 y= x+10−t,直线 EM 的解析式为 y= x− ,
2 3 3
∵ DM⊥EM,
t−5 t
∴ ⋅ =−1,解得t=2或t=3,
2 3
∴M₃(4,3)或M₄(4,2).
23 ( 3)
综上所述，满足条件的点M的坐标为(4， )或 4,− 或(4,2)或(4,3).
5 5
1 1
2.解：(1)抛物线的解析式为
y=− x2− x+3;
2 2
(2)如解图①,作点 C关于直线y=1 的对称点 C',过点 C'作直线CE 的垂线交 CE 于点 N,交直线y=1 于点 M,连
接CM,EC',
∵ CM=C'M,
∴CM+MN=C'M+MN≥C'N,,即CM+MN的最小值为C'N的长.
∵直线y=kx交抛物线于点 E,AE=EC,
∴ 直线y=kx为线段AC 的垂直平分线.
∵∠CAO=45°,∴直线EO 的解析式为y=-x,
{
y=−x
联立 y=− 1 x2− 1 x+3 ,
2 2
{x =−2 { x =3
1 , 2
解得 (舍去),
y =2 y =−3
1 2
∴E(-2,2),∴CE= √5,
∵ C(0,3),点 C'与点 C 关于直线y=1对称，
∴C'(0,-1),1 1
∴S = EC⋅C'N=
ECC' 2 2
CC' ⋅|x |,
E
1 1
∴ ×√5⋅C'N= ×4×2,
2 2
8√5
∴C'N= .
5
8√5
∴ CM+MN的最小值为 ;
5
(3)【思路点拨】当①CE 为矩形的边;②CE 为矩形的对角线两种情况，由直线CE的解析式设点 C，Q所在直
线的解析式，与抛物线联立求解点P的坐标，利用平移规律求得点Q的坐标.
存在.
分以下两种情况：
①当CE 为矩形的边时,如解图②,过点 C 作 CE 的垂线，与抛物线交于点 P₁，过点 E 作 CE 的垂线，与抛物线
交于点 P₂，过点 P₁作 CE 的平行线，交直线EP₂于点Q₁,过点 P₂作CE的平行线,交直线CP₁于点 Q₂,
∵C(0,3),E(-2,2),
1
∴ 直线 CE 的解析式为
y= x+3.
2
∵CE⊥CQ₂,
∴设直线CQ₂的解析式为y=-2x+d,代入C(0,3),解得d=3,
∴直线 CQ₂的解析式为y=-2x+3,
{
y=−2x+3
∴联立 y=− 1 x2− 1 x+3 ,
2 2
{x=0 { x=3
,
解得 舍去)或
y=3 y=−3
∴P₁(3,-3),
∵点C向左平移2个单位，再向下平移1个单位即可得到点E，∴由矩形的性质可知，将点P₁ 向左平移2个单
位，再向下平移1个单位即可得到点Q₁，∴Q₁(1,-4),同理得(Q₂(7,-11);
②当CE 为矩形的对角线时，如解图③，以 EC 为直径作圆，由解图③可知与抛物线无交点，故此种情况不存
在符合条件的点 P，Q.
综上所述,点Q的坐标为(1,-4)或(7,-11).1 3
3.解：(1)抛物线的解析式为 y=− x2+x+ ;
2 2
(2)【思路点拨】由∠ABM=2∠ACO,构造等角,计算tan∠ABM 的值和点H的坐标，联立抛物线与直线BM的
解析式即可求解点M的坐标.
如解图①,在 OB 上取一点 R,
使 OR = OA = 1,连接 CR,则
∠ACR=2∠ACO=∠ABM,
过点A 作AK⊥CR 于点K,设直
线BM交y轴于点H,
( 3)
∵A(−1,0),C 0, ,
2
3
∴AR=2AO=2,OC= ,
2
AC=CR=
√
12+
(3) 2
=
√13
,
2 2
1 1 1 3 1
∴S = AR⋅OC= CR⋅AK,即 ×2× = ×
ACR 2 2 2 2 2
√13 6√13
⋅AK,解得 AK= ,
2 13
5√13
∴CK=√AC2−AK2= ,
26
6√13
AK 13 12
∴tan∠ACK= = = ,
CK 5√13 5
26
∵∠ABM=∠ACK,
12
∴tan∠ABM=tan∠ACK= ,
5
12 36
在 Rt△BOH中, OH=OB⋅tan∠ABM=3× = ,
5 5
( 36)
∴H 0,− ,
5
12 36
{ y= x−
12 36 5 5 29
由点 B，H的坐标得直线BM的解析式为 y= x− ,联立 , 解得 x=− 或x=3(舍去),∴
5 5 1 3 5
y= x2+x+
2 2
29
点 M 的横坐标为 − ;
5
(3)存在.
①当BC 是矩形的边时,分别过点 B,C 作 BC 的垂线，分别交抛物线对称轴于点 P₁，P₂，如解图②，设抛物线
3 1 3
对称轴与x轴交于点 E，与BC交于点 F，由B(3,0),C(0, ),得 y =− x+ ,
2 BC 2 2
∴F(1,1),
∵∠P₂CF=∠FEB=90°,∠CFP₂=∠EFB,∴∠CP₂F=∠EBF,
3
∵B(3,0),c(o, ),F(1,1),
2
√5
∴CF= ,EF=1,BF=√5,
2
CF EF 5
∴sin∠CP F= =sin∠EBF= , 解得 P F= ,
2 P F BF 2 2
2
7 ( 7)
∴P E= ,∴P 1, ,
2 2 2 2
同理得P₁(1,-4);
②当BC 是矩形的对角线时，以 BC 为直径作圆，分别与直线x=1交于点P₃,P₄,如解图③,
(3 3)
易知BC中点G的坐标为 , .
2 4
1 3√5
则 GP=GC= BC= ,设 P(1,n),过点 G 作 GH垂直于抛物线对称轴于点 H，在Rt△PHG中，由勾股定
2 4
理得 GH²+PH²=GP²,(3 ) 2 ( 3) 2 (3√5) 2 3±√41 ( 3+√41) ( 3−√41)
∴ −1 + n− = ,解得 n= ,则 P 1, ,P 1, ;
2 4 4 4 3 4 4 4
7 ( 3+√41) ( 3−√41)
综上所述,点 P 的坐标为(1,-4)或(1, )或 1, 或 1, .
2 4 4
