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2012年湖北省黄石市中考数学试卷
一、仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分）下面每个小题给出的四个选项中，
只有一个是正确的，请把正确选项所对应的字母在答题卡中相应的格子涂黑，注意可用多种
不同的方法来选取正确答案.
1．（3分）﹣ 的倒数是（ ）
A． B．3 C．﹣3 D．﹣
2．（3分）某星球的体积约为6635421km3，用科学记数法（保留三个有效数字）表示为
6.64×10nkm3，则n＝（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
3．（3分）已知反比例函数y＝ （b为常数），当x＞0时，y随x的增大而增大，则一次函数y
＝x+b的图象不经过第几象限．（ ）
A．一 B．二 C．三 D．四
4．（3分）2012年5月某日我国部分城市的最高气温统计如下表所示：
城市 武汉 成都 北京 上海 海南 南京 拉萨 深圳
气温（℃） 27 27 24 25 28 28 23 26
请问这组数据的平均数是（ ）
A．24 B．25 C．26 D．27
5．（3分）如图所示，该几何体的主视图应为（ ）
A． B．
C． D．
6．（3分）如图所示，扇形AOB的圆心角为120°，半径为2，则图中阴影部分的面积为（ ）
第1页（共21页）A． B． C． D．
7．（3分）有一根长40mm的金属棒，欲将其截成x根7mm长的小段和y根9mm长的小段，剩
余部分作废料处理，若使废料最少，则正整数x，y应分别为（ ）
A．x＝1，y＝3 B．x＝3，y＝2 C．x＝4，y＝1 D．x＝2，y＝3
8．（3分）如图所示，矩形纸片ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，现将其沿EF对折，使得点C与
点A重合，则AF长为（ ）
A． cm B． cm C． cm D．8cm
9．（3分）如图所示，直线CD与以线段AB为直径的圆相切于点D并交BA的延长线于点C，
且AB＝2，AD＝1，P点在切线CD上移动．当∠APB的度数最大时，则∠ABP的度数为（
）
A．15° B．30° C．60° D．90°
10．（3分）如图所示，已知A（ ，y ），B（2，y ）为反比例函数y＝ 图象上的两点，动点P（x，
1 2
0）在x轴正半轴上运动，当线段AP与线段BP之差达到最大时，点P的坐标是（ ）
第2页（共21页）A．（ ，0） B．（1，0） C．（ ，0） D．（ ，0）
二、认真填一填（本题有6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）分解因式：x2+x﹣2＝ ．
12．（3分）若关于x的不等式组 有实数解，则a的取值范围是 ．
13．（3分）某校从参加计算机测试的学生中抽取了60名学生的成绩（40～100分）进行分析，
并将其分成了六段后绘制成如图所示的频数分布直方图（其中70～80段因故看不清），若
60分以上（含60分）为及格，试根据图中信息来估计这次测试的及格率约为 ．
14．（3分）将下列正确的命题的序号填在横线上 ．
若n为大于2的正整数，则n边形的所有外角之和为（n﹣2）•180°．
①三角形三条中线的交点就是三角形的重心．
②证明两三角形全等的方法有：SSS，SAS，ASA，SSA及HL等．
15．③（3分）“数学王子”高斯从小就善于观察和思考．在他读小学时就能在课堂上快速地计
算出1+2+3+…+98+99+100＝5050，今天我们可以将高斯的做法归纳如下：
令S＝1+2+3+…+98+99+100
S＝100+99+98+…+3+2+1 ①
+ ：有2S＝（1+100）×100解得：S＝5050 ②
①请类②比以上做法，回答下列问题：
若n为正整数，3+5+7+…+（2n+1）＝168，则n＝ ．
16．（3分）如图所示，已知A点从（1，0）点出发，以每秒1个单位长的速度沿着x轴的正方向
运动，经过t秒后，以O、A为顶点作菱形OABC，使B、C点都在第一象限内，且∠AOC＝
第3页（共21页）60°，又以P（0，4）为圆心，PC为半径的圆恰好与OA所在的直线相切，则t＝ ．
三、全面答一答（本题有9个小题，共72分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤，如
果觉得有的题目有点困难，那么把自己能写出的解答尽量写出来.
17．（7分）计算：（ ）0+4sin60°﹣|2﹣2 |．
18．（7分）先化简，后计算： ，其中a＝ ﹣3．
19．（7分）如图所示，已知在平行四边形ABCD中，BE＝DF．求证：∠DAE＝∠BCF．
20．（8分）解方程组： ．
21．（8分）已知甲同学手中藏有三张分别标有数字 ， ，1的卡片，乙同学手中藏有三张分
别标有1，3，2的卡片，卡片外形相同．现从甲乙两人手中各任取一张卡片，并将它们的数
字分别记为a，b．
（1）请你用树形图或列表法列出所有可能的结果．
（2）现制定这样一个游戏规则：若所选出的a，b能使得ax2+bx+1＝0有两个不相等的实数
根，则称甲获胜；否则称乙获胜．请问这样的游戏规则公平吗？请你用概率知识解释．
22．（8分）如图所示（左图为实景侧视图，右图为安装示意图），在屋顶的斜坡面上安装太阳
能热水器：先安装支架AB和CD（均与水平面垂直），再将集热板安装在AD上．为使集热
板吸热率更高，公司规定：AD与水平线夹角为 ，且在水平线上的射影AF为1.4m．现已
1
测量出屋顶斜面与水平面夹角为 ，并已知tanθ ＝1.082，tan ＝0.412．如果安装工人已
2 1 2
确定支架AB高为25cm，求支架CθD的高（结果θ精确到1cm）θ？
第4页（共21页）23．（8分）某楼盘一楼是车库（暂不出售），二楼至二十三楼均为商品房（对外销售）．商品房
售价方案如下：第八层售价为3000元/米2，从第八层起每上升一层，每平方米的售价增加
40元；反之，楼层每下降一层，每平方米的售价减少20元．已知商品房每套面积均为120
平方米．开发商为购买者制定了两种购房方案：
方案一：购买者先交纳首付金额（商品房总价的30%），再办理分期付款（即贷款）．
方案二：购买者若一次付清所有房款，则享受8%的优惠，并免收五年物业管理费（已知每
月物业管理费为a元）
（1）请写出每平方米售价y（元/米2）与楼层x（2≤x≤23，x是正整数）之间的函数解析式．
（2）小张已筹到120000元，若用方案一购房，他可以购买哪些楼层的商品房呢？
（3）有人建议老王使用方案二购买第十六层，但他认为此方案还不如不免收物业管理费而
直接享受9%的优惠划算．你认为老王的说法一定正确吗？请用具体数据阐明你的看法．
24．（9分）如图1所示：等边△ABC中，线段AD为其内角角平分线，过D点的直线B C ⊥AC
1 1
于C 交AB的延长线于B ．
1 1
（1）请你探究： ， 是否都成立？
（2）请你继续探究：若△ABC为任意三角形，线段AD为其内角角平分线，请问 一
定成立吗？并证明你的判断．
（3）如图2所示Rt△ABC中，∠ACB＝90︒，AC＝8，AB＝ ，E为AB上一点且AE＝5，
CE交其内角角平分线AD于F．试求 的值．
第5页（共21页）25．（10分）已知抛物线C 的函数解析式为y＝ax2+bx﹣3a（b＜0），若抛物线C 经过点（0，﹣
1 1
3），方程ax2+bx﹣3a＝0的两根为x ，x ，且|x ﹣x |＝4．
1 2 1 2
（1）求抛物线C 的顶点坐标．
1
（2）已知实数x＞0，请证明x+ ≥2，并说明x为何值时才会有x+ ＝2．
（3）若将抛物线先向上平移4个单位，再向左平移1个单位后得到抛物线C ，设A（m，
2
y ），B（n，y ）是C 上的两个不同点，且满足：∠AOB＝90°，m＞0，n＜0．请你用含m的表
1 2 2
达式表示出△AOB的面积S，并求出S的最小值及S取最小值时一次函数OA的函数解析
式．
（参考公式：在平面直角坐标系中，若P（x ，y ），Q（x ，y ），则P，Q两点间的距离为
1 1 2 2
）
第6页（共21页）2012年湖北省黄石市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分）下面每个小题给出的四个选项中，
只有一个是正确的，请把正确选项所对应的字母在答题卡中相应的格子涂黑，注意可用多种
不同的方法来选取正确答案.
1．【分析】一个数的倒数就是把这个数的分子、分母颠倒位置即可得到．
【解答】解：﹣ 的倒数是﹣ ＝﹣3．
故选：C．
【点评】此题考查倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
2．【分析】科学记数法的形式为 a×10n，其中1≤|a|＜10，n是整数．此时的有效数字是指a中
的有效数字．
【解答】解：6635421＝6.635421×106≈6.64×106．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法，以及用科学记数法表示的数的有效数字的确定
方法．有效数字的计算方法是：从左边第一个不是0的数字起，后面所有的数字都是有效
数字．用科学记数法表示的数的有效数字只与前面的a有关，与10的多少次方无关．
3．【分析】先根据反比例函数的增减性判断出b的符号，再根据一次函数的图象与系数的关
系判断出次函数y＝x+b的图象经过的象限即可．
【解答】解：∵反比例函数y＝ （b为常数），当x＞0时，y随x的增大而增大，
故函数位于二、四象限，
∴b＜0，
∵一次函数y＝x+b中k＝1＞0，b＜0，
∴此函数的图象经过一、三、四限，
∴此函数的图象不经过第二象限．
故选：B．
【点评】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系及反比例函数的性质，熟知一次函数
y＝kx+b（k≠0）中，当k＞0，b＜0时函数的图象在一、三、四象限是解答此题的关键．
4．【分析】求这组数据的算术平均数，用8个城市的温度和÷8即为所求．
第7页（共21页）【解答】解：（27+27+24+25+28+28+23+26）÷8
＝208÷8
＝26（℃）．
故选：C．
【点评】考查了算术平均数，只要运用求平均数公式： 即可求出，为简
单题．
5．【分析】几何体的主视图就是从正面看所得到的图形，注意所有的看到的棱都应表现在主
视图中．
【解答】解：从正面看可得到一个大矩形左上边去掉一个小矩形的图形．
故选：C．
【点评】本题主要考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图，关键是掌
握主视图所看的位置．
6．【分析】过点O作OD⊥AB，先根据等腰三角形的性质得出∠OAD的度数，由直角三角形
的性质得出OD的长，再根据S阴影 ＝S扇形OAB ﹣S△AOB 进行计算即可．
【解答】解：过点O作OD⊥AB，
∵∠AOB＝120°，OA＝2，
∴∠OAD＝ ＝ ＝30°，
∴OD＝ OA＝ ×2＝1，AD＝ ＝ ＝ ，
∴AB＝2AD＝2 ，
∴S阴影 ＝S扇形OAB ﹣S△AOB ＝ ﹣ ×2 ×1＝ ．
故选：A．
【点评】本题考查的是扇形面积的计算及三角形的面积，根据题意得出S阴影 ＝S扇形OAB ﹣
S△AOB 是解答此题的关键．
7．【分析】根据金属棒的长度是40mm，则可以得到7x+9y≤40，再根据x，y都是正整数，即可
求得所有可能的结果，分别计算出省料的长度即可确定．
第8页（共21页）【解答】解：根据题意得：7x+9y≤40，
则x≤ ，
∵40﹣9y≥0且y是正整数，
∴y的值可以是：1或2或3或4．
当y＝1时，x≤ ，则x＝4，此时，所剩的废料是：40﹣1×9﹣4×7＝3mm；
当y＝2时，x≤ ，则x＝3，此时，所剩的废料是：40﹣2×9﹣3×7＝1mm；
当y＝3时，x≤ ，则x＝1，此时，所剩的废料是：40﹣3×9﹣7＝6mm；
当y＝4时，x≤ ，则x＝0（舍去）．
则最小的是：x＝3，y＝2．
故选：B．
【点评】本题考查了不等式的应用，正确确定x，y的所有取值情况是关键．
8．【分析】设AF＝xcm，则DF＝（8﹣x）cm，利用矩形纸片ABCD中，现将其沿EF对折，使得
点C与点A重合，由勾股定理求AF即可．
【解答】解：设AF＝xcm，则DF＝（8﹣x）cm，
∵矩形纸片ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，现将其沿EF对折，使得点C与点A重合，
∴DF＝D′F，
在Rt△AD′F中，∵AF2＝AD′2+D′F2，
∴x2＝62+（8﹣x） 2，
解得：x＝ （cm）．
故选：B．
【点评】本题考查了图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴
对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变是解题关键．
9．【分析】连接BD，由题意可知当P和D重合时，∠APB的度数最大，利用圆周角定理和直
角三角形的性质即可求出∠ABP的度数．
【解答】解：连接BD，
∵直线CD与以线段AB为直径的圆相切于点D，
∴∠ADB＝90°，
第9页（共21页）当∠APB的度数最大时，
则P和D重合，
∴∠APB＝90°，
∵AB＝2，AD＝1，
∴sin∠DBA＝ ＝ ，
∴∠ABP＝30°，
∴当∠APB的度数最大时，∠ABP的度数为30°．
故选：B．
【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理以及解直角三角形的有关知识，解题的关键
是由题意可知当P和D重合时，∠APB的度数最大为90°．
10．【分析】求出AB的坐标，设直线AB的解析式是y＝kx+b，把A、B的坐标代入求出直线AB
的解析式，根据三角形的三边关系定理得出在△ABP中，|AP﹣BP|＜AB，延长AB交x轴
于P′，当P在P′点时，PA﹣PB＝AB，此时线段AP与线段BP之差达到最大，求出直线
AB于x轴的交点坐标即可．
【解答】解：∵把A（ ，y ），B（2，y ）代入反比例函数y＝ 得：y ＝2，y ＝ ，
1 2 1 2
∴A（ ，2），B（2， ），
∵在△ABP中，由三角形的三边关系定理得：|AP﹣BP|＜AB，
∴延长AB交x轴于P′，当P在P′点时，PA﹣PB＝AB，
即此时线段AP与线段BP之差达到最大，
设直线AB的解析式是y＝kx+b，
把A、B的坐标代入得： ，
解得：k＝﹣1，b＝ ，
第10页（共21页）∴直线AB的解析式是y＝﹣x+ ，
当y＝0时，x＝ ，
即P（ ，0），
故选：D．
【点评】本题考查了三角形的三边关系定理和用待定系数法求一次函数的解析式的应用，
解此题的关键是确定P点的位置，题目比较好，但有一定的难度．
二、认真填一填（本题有6个小题，每小题3分，共18分）
11．【分析】因为（﹣1）×2＝﹣2，2﹣1＝1，所以利用十字相乘法分解因式即可．
【解答】解：∵（﹣1）×2＝﹣2，2﹣1＝1，
∴x2+x﹣2＝（x﹣1）（x+2）．
故答案为：（x﹣1）（x+2）．
【点评】本题考查的是十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝
试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程．
12．【分析】分别求出各不等式的解集，再根据不等式组有实数解即可得到关于a的不等式，
求出a的取值范围即可．
【解答】解： ，由 得，x＜3，由 得，x＞ ，
① ②
∵此不等式组有实数解，
∴ ＜3，
解得a＜4．
故答案为：a＜4．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，根据不等式组有实数解得出关于a的不等式
是解答此题的关键．
第11页（共21页）13．【分析】先根据频率分布直方图，利用频数＝ ×组距，求出每一阶段内的频数，然后
让60减去已求的每一阶段内的人数，易求70≤x＜80阶段内的频数，再把所有大于等于
60分的频数相加，然后除以60易求及格率．
【解答】解：∵频数＝ ×组距，
∴当40≤x＜50时，频数＝0.6×10＝6，
同理可得：50≤x＜60，频数＝9，
60≤x＜70，频数＝9，
80≤x＜90，频数＝15，
90≤x＜100，频数＝3，
∴70≤x＜80，频数＝60﹣6﹣9﹣9﹣15﹣3＝18，
∴这次测试的及格率＝ ×100%＝75%，
故答案是：75%．
【点评】本题考查了频率分布直方图，解题的关键是利用公式频数＝ ×组距，求出每
一阶段内的频数．
14．【分析】分别根据多边形内角和定理、三角形的重心及全等三角形的判定定理得出结论．
【解答】解： 若n为大于2的正整数，则n边形的所有内角之和为（n﹣2）•180°，任意多
边形的外角和①皆为360°，故本小题错误；
三角形三条中线的交点就是三角形的重心，符合重心的定义，故本小题正确；
②SSA不能证明两三角形全等，故本小题错误．
③故答案为： ．
【点评】本题②考查的是多边形内角和定理、三角形的重心及全等三角形的判定定理，熟知
以上知识是解答此题的关键．
15．【分析】根据题目提供的信息，列出方程，然后求解即可．
【解答】解：设S＝3+5+7+…+（2n+1）＝168 ，
则S＝（2n+1）+…+7+5+3＝168 ， ①
+ 得，2S＝n（2n+1+3）＝2②×168，
①整理②得，n2+2n﹣168＝0，
即（n﹣12）（n+14）＝0，
第12页（共21页）解得n ＝12，n ＝﹣14（舍去）．
1 2
故答案为：12．
【点评】本题考查了有理数的混合运算，读懂题目提供的信息，表示出这列数据的和并列
出方程是解题的关键．
16．【分析】先根据已知条件，求出经过t秒后，OC的长，当 P与OA，即与x轴相切时，如图
所示，则切点为O，此时PC＝OP，过P作PE⊥OC，利用⊙垂径定理和解直角三角形的有关
知识即可求出t的值．
【解答】解：∵已知A点从（1，0）点出发，以每秒1个单位长的速度沿着x轴的正方向运动，
∴经过t秒后，
∴OA＝1+t，
∵四边形OABC是菱形，
∴OC＝1+t，
当 P与OA，即与x轴相切时，如图所示，则切点为O，此时PC＝OP，过P作PE⊥OC，
∴⊙ OE＝CE＝ OC，
∴OE＝ ，
在Rt△OPE中，
OE＝OP•cos30°＝2 ，
∴ ＝2 ，
∴t＝4 ﹣1，
故答案为：4 ﹣1．
【点评】本题综合性的考查了菱形的性质、坐标与图形性质、切线的性质、垂径定理的运用
以及解直角三角形的有关知识，属于中档题目．
三、全面答一答（本题有9个小题，共72分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤，如
果觉得有的题目有点困难，那么把自己能写出的解答尽量写出来.
第13页（共21页）17．【分析】任何不为0的数的0次幂都是1；熟记特殊角的三角函数值；去绝对值符号之前先
搞清楚内面的数的性质，然后再去掉符号．
【解答】解：原式＝1+4× ﹣（2 ﹣2）
＝1+2 ﹣2 +2
＝3．
【点评】此题考查实数的有关运算，解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指
数幂、特殊角的三角函数值、绝对值等考点的运算．
18．【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a的值代入进行计算即可．
【解答】解：原式＝ • •
＝ ，
当a＝ ﹣3时，原式＝ ．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
19．【分析】根据平行四边形性质求出AD∥BC，且AD＝BC，推出∠ADE＝∠CBF，求出DE＝
BF，证△ADE≌△CBF，推出∠DAE＝∠BCF即可．
【解答】证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，且AD＝BC，
∴∠ADE＝∠CBF
又∵BE＝DF，
∴BF＝DE，
∵在△ADE和△CBF中
，
∴△ADE≌△CBF（SAS），
∴∠DAE＝∠BCF．
【点评】本题考查了平行四边形性质，平行线性质，全等三角形的性质和判定的应用，关键
是求出证出△ADE和△CBF全等的三个条件，主要考查学生的推理能力．
20．【分析】把方程 变形成y＝ x﹣ ，代入方程 ，即可消去y，得到关于x的方程，解
得x的值，进而①求得y的值． ②
第14页（共21页）【解答】解：依题意：
由 得：y＝ x﹣
代①入 中化简得：x2+2x﹣3＝0
解得②：x＝﹣3或x＝1
所以，原方程的解为： 或 ．
【点评】本题考查了方程组的解法．解方程组的基本思想是消元，转化成一个一元方程求
解．
21．【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后根据树状图即可求得所有等可能的结果；
（2）利用一元二次方程根的判别式，即可判定各种情况下根的情况，然后利用概率公式求
解即可求得甲、乙获胜的概率，比较概率大小，即可确定这样的游戏规是否公平．
【解答】解：（1）画树状图得：
∵（a，b）的可能结果有（ ，1）、（ ，3）、（ ，2）、（ ，1）、（ ，3）、（ ，2）、（1，1）、（1，
3）及（1，2），
∴（a，b）取值结果共有9种；
（2）∵当a＝ ，b＝1时，△＝b2﹣4ac＝﹣1＜0，此时ax2+bx+1＝0无实数根，
当a＝ ，b＝3时，△＝b2﹣4ac＝7＞0，此时ax2+bx+1＝0有两个不相等的实数根，
当a＝ ，b＝2时，△＝b2﹣4ac＝2＞0，此时ax2+bx+1＝0有两个不相等的实数根，
当a＝ ，b＝1时，△＝b2﹣4ac＝0，此时ax2+bx+1＝0有两个相等的实数根，
当a＝ ，b＝3时，△＝b2﹣4ac＝8＞0，此时ax2+bx+1＝0有两个不相等的实数根，
当a＝ ，b＝2时，△＝b2﹣4ac＝3＞0，此时ax2+bx+1＝0有两个不相等的实数根，
当a＝1，b＝1时，△＝b2﹣4ac＝﹣3＜0，此时ax2+bx+1＝0无实数根，
当a＝1，b＝3时，△＝b2﹣4ac＝5＞0，此时ax2+bx+1＝0有两个不相等的实数根，
第15页（共21页）当a＝1，b＝2时，△＝b2﹣4ac＝0，此时ax2+bx+1＝0有两个相等的实数根，
∴P（甲获胜）＝P（△＞0）＝ ＞P（乙获胜）＝ ，
∴这样的游戏规则对甲有利，不公平．
【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概
率相等就公平，否则就不公平．
22．【分析】过A作AE∥BC，则∠EAF＝∠CBG＝ ，EC＝AB＝25cm，再根据锐角三角函数
2
的定义用 、 表示出DF、EF的值，再根据DθC＝DE+EC进行解答即可．
1 2
【解答】解θ：如θ 图所示，过A作AE∥BC，则∠EAF＝∠CBG＝
2
，EC＝AB＝25cm
∵Rt△DAF中：∠DAF＝ 1 ，DF＝AFtan 1 ， θ
Rt△EAF中：∠EAF＝
2
，θEF＝AFtan
2
，θ
∴DE＝DF﹣EF＝AF（θtan
1
﹣tan
2
）θ
又∵AF＝140cm，tan
1
＝1θ.082，tθan
2
＝0.412，
∴DE＝140×（1.082﹣θ0.412）＝93.8θ，
∴DC＝DE+EC＝93.8+25＝118.8 cm≈119cm．
答：支架DC的高应为119cm．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利
用锐角三角函数的定义进行解答是解答此题的关键．
23．【分析】（1）根据题意分别求出当2≤x≤8时，每平方米的售价应为3000﹣（8﹣x）×20元，
当9≤x≤23时，每平方米的售价应为3000+（x﹣8）×40元
（2）由（1）知：当2≤x≤8时，小张首付款为108000元＜120000元，即可得出2～8层可任
选，当9≤x≤23时，小张首付款为36（40x+2680）≤120000，9≤x≤16，即可得出小张用方
第16页（共21页）案一可以购买二至十六层的任何一层．
（3）分别求出若按方案二购买第十六层，则老王要实交房款为y 按老王的想法则要交房
1
款为y ，然后根据即y ﹣y ＞0时，解得0＜a＜66.4，y ﹣y ≤0时，解得a≥66.4，即可得出
2 1 2 1 2
答案．
【解答】解：（1）当2≤x≤8时，每平方米的售价应为：
y＝3000﹣（8﹣x）×20＝20x+2840 （元/平方米）
当9≤x≤23时，每平方米的售价应为：
y＝3000+（x﹣8）×40＝40x+2680（元/平方米），
∴y＝ （x为正整数），
（2）由（1）知：
当2≤x≤8时，小张首付款为
（20x+2840）×120×30%
＝36（20x+2840）≤36（20×8+2840）＝108000元＜120000元，
∴2～8层可任选，
当9≤x≤23时，小张首付款为，
（40x+2680）×120×30%＝36（40x+2680）元
36（40x+2680）≤120000，
解得：x≤ ，
∵x为正整数，∴9≤x≤16
综上得：小张用方案一可以购买二至十六层的任何一层．
（3）若按方案二购买第十六层，则老王要实交房款为：
y ＝（40×16+2680）×120×（1﹣8%）（元）
1
若按老王的想法则要交房款为：
y ＝（40×16+2680）×120×（1﹣9%）+12×5a（元）
2
∵y ﹣y ＝3984﹣60a
1 2
当y ＞y 即y ﹣y ＞0时，解得0＜a＜66.4，此时老王想法正确；
1 2 1 2
当y ≤y 即y ﹣y ≤0时，解得a≥66.4，此时老王想法不正确．
1 2 1 2
∴老王想法不一定正确．
【点评】本题考查的是一次函数的应用，此类题是近年中考中的热点问题，关键是求出一
次函数的解析式，应用一次函数的性质，解决实际问题．
第17页（共21页）24．【分析】（1）根据等边三角形的性质得到AD垂直平分BC，∠CAD＝∠BAD＝30°，AB＝
AC，则DB＝CD，易得 ＝ ；由于∠C AB ＝60°，得∠B ＝30°，则AB ＝2AC ，同理可
1 1 1 1 1
得到DB ＝2DC ，易得 ＝ ；
1 1
（2）过B点作BE∥AC交AD的延长线于E点，根据平行线的性质和角平分线的定义得到
∠E＝∠CAD＝∠BAD，则BE＝AB，并且根据相似三角形的判定得△EBD∽△ACD，得到
＝ ，而BE＝AB，于是有 ＝ ，这实际是三角形的角平分线定理；
（3）AD为△ABC的内角角平分线，由（2）的结论得到 ＝ ＝ ＝ ， ＝ ＝ ，
又 ＝ ＝ ，则有 ＝ ，得到 DE∥AC，根据相似三角形的判定得
△DEF∽△ACF，即有
∴ ＝ ＝ ．
【解答】解：（1）两个等式都成立．理由如下：
∵△ABC为等边三角形，AD为角平分线，
∴AD垂直平分BC，∠CAD＝∠BAD＝30°，AB＝AC，
∴DB＝CD，
∴ ＝ ；
∵∠C AB ＝60°，
1 1
∴∠B ＝30°，
1
∴AB ＝2AC ，
1 1
又∵∠DAB ＝30°，
1
∴DA＝DB ，
1
而DA＝2DC ，
1
∴DB ＝2DC ，
1 1
第18页（共21页）∴ ＝ ；
（2）结论仍然成立，理由如下：
如右图所示，△ABC为任意三角形，过B点作BE∥AC交AD的延长线于E点，
∴∠E＝∠CAD＝∠BAD，
∴BE＝AB，
∵BE∥AC，
∴△EBD∽△ACD，
∴ ＝
而BE＝AB，
∴ ＝ ；
（3）如图，连DE，
∵AD为△ABC的内角角平分线
∴ ＝ ＝ ＝ ， ＝ ＝ ，
又∵ ＝ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴DE∥AC，
∴△DEF∽△ACF，
∴ ＝ ＝ ．
第19页（共21页）【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：平行于三角形一边的直线被其它两边所截，
所截得的三角形与原三角形相似；相似三角形对应边的比相等．也考查了等边三角形的性
质、含30°的直角三角形三边的关系以及角平分线的性质．
25．【分析】（1）求抛物线的顶点坐标，需要先求出抛物线的解析式，即确定待定系数a、b的
值．已知抛物线图象与y轴交点，可确定解析式中的常数项（由此得到a的值）；然后从方
程入手求b的值，题干给出了两根差的绝对值，将其进行适当变形（转化为两根和、两根积
的形式），结合根与系数的关系即可求出b的值．
（2）x• ＝1，因此将x+ 配成完全平方式，然后根据平方的非负性即可得证．
（3）结合（1）的抛物线的解析式以及函数的平移规律，可得出抛物线C 的解析式；在
2
Rt△OAB中，由勾股定理可确定m、n的关系式，然后用m列出△AOB的面积表达式，结
合不等式的相关知识可确定△OAB的最小面积值以及此时m的值，进而由待定系数法确
定一次函数OA的解析式．
【解答】解：（1）∵抛物线过（0，﹣3）点，∴﹣3a＝﹣3
∴a＝1
∴y＝x2+bx﹣3
∵x2+bx﹣3＝0的两根为x ，x 且|x ﹣x |＝4
1 2 1 2
∴|x ﹣x |＝ ＝4，且b＜0
1 2
∴b＝﹣2
∴y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4
∴抛物线C 的顶点坐标为（1，﹣4）．
1
第20页（共21页）（2）∵x＞0，∴x+ ﹣2＝（ ﹣ ）2≥0
∴x+ ≥2，显然当x＝1时，才有x+ ＝2．
（3）由平移知识易得C 的解析式为：y＝x2
2
∴A（m，m2），B（n，n2）
∵△AOB为直角三角形，
∴OA2+OB2＝AB2
∴m2+m4+n2+n4＝（m﹣n）2+（m2﹣n2）2
化简得：mn＝﹣1
∴S△AOB ＝ •OA•OB＝ ＝ ＝
＝ ＝ （m+ ）≥ •2＝1
∴S△AOB 的最小值为1，此时m＝1，A（1，1）
∴直线OA的一次函数解析式为y＝x．
【点评】该题考查了二次函数解析式的确定、函数图象的平移、不等式的应用等知识，解题
过程中完全平方式的变形被多次提及，应熟练掌握并能灵活应用．
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