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2024 年中考第二次模拟考试
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．有理数 的相反数是（ ）
A． B． C．2024 D．
1．C
【分析】
本题主要考查了求一个数的相反数，只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0，据此求解即可．
【详解】解： 的相反数是2024，
故选：C．
2．鱼纹样是我国的传统吉祥图案之一．因与“余”谐音，往往用来比喻人们生活的富足有余．下列鱼纹
剪纸图案是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．D
【分析】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，根
据轴对称图形的概念求解即可．
【详解】解：A.不是轴对称图形，本选项不符合题意；
B.不是轴对称图形，本选项不符合题意；
C.不是轴对称图形，本选项不符合题意；
D.是轴对称图形，本选项符合题意．
故选：D．
3．下列计算正确的是（ ）A． B． C． D．
3．C
【分析】本题考查合并同类项，同底数幂相乘，同底数幂相除，幂的乘方．根据合并同类项法则计算并判
定A；根据同底数幂相乘法则计算并判定B；根据同底数幂相除法则计算并判定C；根据幂的乘方法则计
算并判定D．
【详解】解：A． ，故此选项不符合题意；
B． ，故此选项不符合题意；
C． ，故此选项符合题意；
D． ，故此选项不符合题意；
故选：C．
4．不等式3x+1＜10的解集是( )
A．x＞4 B．x＞3 C．x＜4 D．x＜3
4．D
【分析】首先移项，合并同类项，然后系数化成1，即可求解．
【详解】移项，得：3x＜10﹣1，
即3x＜9，则x＜3．
故选D．
【点睛】本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而
出错．解不等式要依据不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的
方向不变；（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘
以或除以同一个负数不等号的方向改变．
5．水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为r，则圆周长C与r的关系式为 ．下列判断正
确的是（ ）
A．2是变量 B． 是变量 C．r是变量 D．C是常量
5．C
【分析】根据变量与常量的定义分别判断，并选择正确的选项即可．
【详解】解：2与π为常量，C与r为变量，故选：C．
【点睛】本题考查变量与常量的概念，能够熟练掌握变量与常量的概念为解决本题的关键．
6．下列每组数分别表示三根木棒的长度，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（ ）
A． B． C． D．
6．C
【分析】
本题考查构成三角形的条件，涉及三角形三边关系，由选项中所给线段长，利用三角形三边关系即可得到
答案，熟记三角形三边关系是解决问题的关键．
【详解】解：A、由 ，结合三角形三边关系可知 无法构成三角形，不符合题意；
B、由 ，结合三角形三边关系可知 无法构成三角形，不符合题意；
C、由 ，结合三角形三边关系可知 能构成三角形，符合题意；
D、由 ，结合三角形三边关系可知 无法构成三角形，不符合题意；
故选：C．
7．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
7．C
【分析】此题考查了最简二次根式的判断，解题的关键是熟知最简二次根式的特点，（1）被开方数不含
分母；（2）被开方数中不含能开得尽的因数或因式．直接利用最简二次根式的定义逐项分析即可得出答
案．
【详解】解：A． ，不是最简二次根式；
B． ，不是最简二次根式；
C． 是最简二次根式；
D． ，不是最简二次根式；
故选：C．8．在一个不透明的袋子里装有5个小球，这些小球除颜色外无其他差别，其中红球2个，白球3个，摇匀
后，从这个袋子中任意摸出一个球，则这个球是白球的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．C
【分析】
本题考查了概率的求法：如果一个事件有 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件 出现 种
可能，那么事件 的概率 ，用白球的个数除以球的总数即可求得答案．
【详解】解：∵从这个袋子中任意摸出一个球共有 种等可能的情况，这个球是白球的有 种可能，
∴从这个袋子中任意摸出一个球，则这个球是白球的概率 ，
故选：C．
9．将点 向右平移3个单位长度得到点Q，则点Q的坐标为（ ）
A． B． C． D．
9．A
【分析】本题考查了坐标与图形变化—平移．直接利用平移中点的变化规律“横坐标右移加，左移减；纵
坐标上移加，下移减”求解即可．
【详解】解：将点 向右平移3个单位长度，得到点Q的坐标为 ，
即 ．
故选：A．
10．如图，在 中，按以下步骤作图：①分别以点B，C为圆心，以大于 的长为半径画弧，两弧
相交于两点M，N（注：画弧时，半径保持不变）；②作直线 交 于点D，连接 ． 如果
， ，那么 的度数为（ ）
A． B． C． D．10．D
【分析】
首先根据题目中的作图方法确定 是线段 的垂直平分线，得到 ，即 ；接下
来根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求得 以及 的度数，然后根据三角形内角和定理
计算即可得到答案．
【详解】∵由作图可知， 垂直平分 ，
∴ ，
∴ ．
∴
∵ ，
∴ ．
∴ ，
故选D．
【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形外角性质和三角形内角和定理，解
题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质、三角形外角性质和三角形内角和定理．
11．如图，点A，B，C，E在 上， 于点D， ， ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．π
11．B
【分析】连接 ，则 ，根据垂径定理得到 ，由圆周角定理得到，根据弧长公式计算出 的长，即可得到 的长．
【详解】解：连接 ，则 ，
∵ 于点D，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 的长为 ，
∴ 的长为 ．
故选：B．
【点睛】此题考查了垂径定理、圆周角定理、弧长公式等知识，熟练掌握垂径定理、圆周角定理是解题的
关键．
12．已知点 为某封闭图形边界上一定点，动点 从点 出发，沿其边界顺时针匀速运动一周．设点 运
动的时间为 ，线段 的长为 ．表示 与 的函数关系的图象大致如右图所示，则该封闭图形可能是
( )
A． B． C． D．
12．A【详解】解：分析题中所给函数图像，
段， 随 的增大而增大，长度与点 的运动时间成正比．
段， 逐渐减小，到达最小值时又逐渐增大，排除 、 选项，
段， 逐渐减小直至为 ，排除 选项．
故选 ．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获
取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．用图象解决问题时，
要理清图象的含义即会识图．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6个小题，每小题2分，共12分）
13．为了保证婴幼儿的饮食安全，质检部门准备对某品牌罐装牛奶进行检测，这种检测适合用的调查方式
是 (填“全面调查”或“抽样调查”)
13．抽样调查
【详解】试题分析：根据抽样调查和普查的特点即可作出判断．
了解市场上某品牌婴幼儿奶粉的质量安全情况，调查过程带有破坏性，只能采取抽样调查，而不能将整批
某品牌婴幼儿奶粉全部用于实验，所以选择抽样调查．
考点：普查和抽样调查的选择
点评：调查方式的选择需要将普查的局限性和抽样调查的必要性结合起来，具体问题具体分析，普查结果
准确，所以在要求精确、难度相对不大，实验无破坏性的情况下应选择普查方式，当考查的对象很多或考
查会给被调查对象带来损伤破坏，以及考查经费和时间都非常有限时，普查就受到限制，这时就应选择抽
样调查．
14．因式分解： ．
14．
【分析】直接利用平方差公式分解即可得．【详解】解：原式 ．
故答案为： ．
【点晴】本题考查了公式法因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
15．如图，在平行四边形ABCD中，AB：AD=2：3，BC=6，则平行四边形ABCD的周长是 ．
15．20
【分析】根据平行四边形的对边相等可得AB＝CD，AD＝BC，进而可得答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，
∵AB：AD=2：3，BC=6
∴AB＝CD=4
∴AB+BC＝4+6＝10，
∴平行四边形ABCD的周长是20，
故答案为：20．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形的对边相等．
16．如图，在 中， ， 分别为 ， 的中点．若 的面积 ，则 的面积
．
16．4
【分析】根据中位线的性质得出 ， ，证明 ，根据相似三角形的性质得出，即可得出 ．
【详解】解：∵ ， 分别为 ， 的中点，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了中位线的性质和三角形相似的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形的中位
线平行于第三边，且等于第三边的一半．
17．如图，学校教学楼 的后面有一栋宿舍楼 ，当光线与地面的夹角是 时，教学楼在宿舍楼的墙
上留下高 的影子 ，而当光线与地而夹角是 时，教学楼顶 在地面上的影子 与墙角 有 的
距离 ， ， 在一条直线上），则教学楼 的高度为 ．（结果精确到 ，参考数据：
． ，
17．23
【分析】
本题考查的是解直角三角形的应用 坡度坡角问题，掌握坡度的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的
关键．作 于 ，根据正切的定义用 表示出 ，根据等腰直角三角形的性质得到 ，
结合图形列出方程，解方程得到答案．
【详解】
解：作 于 ，， ， ，
四边形 为矩形，
， ，
在 中， ，
，
在 中， ，
，
由题意得， ，
解得， ，
，
故答案为：23
18．如图，在平面直角坐标系中，等腰三角形 的底边 在x轴的正半轴上，顶点A在反比例函数
的图象上，延长 交y轴于点D，若 ，则 的面积为 ．
18．
【分析】
过A作 轴于H，连接 ，根据 ，可得 ，即有 ，结合A在反比例函数 的图象上，可得 ，即有 ，证明 ，即有
，问题随之得解．
【详解】
解：过A作 轴于H，连接 ，如图：
∵ 是等腰三角形， 轴于H，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵A在反比例函数 的图象上，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．故答案为： ．
【点睛】
本题主要考查了反比例函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质等知识，掌握反比例函数的图象与性
质，是解答本题的关键．
三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（满分6分）计算：
19．1
【分析】
本题考查了含乘方的有理数的混合运算，先算乘方，再算乘除，最后进行加减运算，即可作答．
【详解】解：
20．（满分6分）解方程： ．
20．x=-6
【分析】解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
【详解】解： ，
3x=2（x-3），
3x=2x-6，
3x-2x=-6，
x=-6，
经检验，x=-6是方程的根，
∴原方程的解为x=-6．
【点睛】本题考查解分式方程，熟练掌握分式方程的解法，注意对所求的根进行检验是解题的关键．21．（满分10分）如图，已知 ， 平分 ．
(1)尺规作图：作 的平分线交 于点O，交 于点D；（要求：保留作图浪迹，不写作法，标明
字母）
(2)求证： ．
21．(1)见解析
(2)见解析
【分析】
本题主要考查了全等三角形的判定，角平分线的尺规作图，角平分线的定义和平行线的性质：
（1）根据角平分线的尺规作图方法作图即可；
（2）先由平行线的性质得到 ，再由角平分线的定义分别证明 ，
，据此可利用 证明 ．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）证明：∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ．
22．（满分10分）为提高居民防范电信诈骗意识，确保反诈宣传工作落地见效，某社区举行《2024年防诈骗知识》竞赛，社区管理员随机从甲、乙两个小区各抽取20份答卷，并对他们的成绩（单位：分）
进行统计、分析，过程如下：
收集数据
甲小区：85 80 95 100 90 95 85 65 75 85 89 90 70 90 100 80 80 90 96 75
乙小区：80 60 80 95 65 100 90 85 85 80 95 75 80 90 70 80 95 75 100 90
整理数据
成绩x（分）
甲小区 2 5 8 5
乙小区 3 7 5 5
分析数据
平均
统计量 中位数 众数
数
甲小区 87 a
乙小区 b 80
(1)填空： _____， _____；
(2)若甲小区共有1000人参与答卷，请估计甲小区成绩大于80分的人数；
(3)根据以上数据分析，你认为甲、乙两个小区哪一个对防诈骗知识掌握更好？请写出其中一个理由．
22．(1)90；
(2)650人
(3)甲小区对防诈骗知识掌握更好，理由见解析
【分析】
本题考查了众数、中位数、平均数、频数分布表、用样本估计总体等知识；熟练掌握众数、中位数的定义
是解题的关键．
（1）根据中位数和众数的定义求解即可；
（2）由甲小区共有人数乘以甲小区成绩大于80分的人数所占的比例即可；
（3）依据表格中平均数、中位数、众数，做出判断即可．
【详解】（1）解：甲小区中成绩为90分的出现了4次，出现的次数最多，则甲小区的众数 ；
把乙小区得分从低到高排列，处在第10名和第11名的得分分别为80分，85分，则乙小区的中位数
,故答案为：90； ；
（2）解： 人，
∴估计甲小区成绩大于80分的人数为650人；
（3）
解：甲小区对防诈骗知识掌握更好，理由如下：
①甲小区的平均数大于乙小区的平均数；
②甲小区的中位数大于乙小区的中位数；
③甲小区的众数大于乙小区的众数．
综上：甲小区对防诈骗知识掌握更好．
23．（满分10分）如图，点 在直角 的边 上， ，以 为圆心、 为半径的 与边
相交于点 ，连接 交 于点 ，连接 并延长交 于点 ．已知 ．
(1)求证： 是 切线；
(2)若 ，求 半径．
23．(1)见解析
(2)4
【分析】
此题考查了切线的判定、解直角三角形、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握解直角三角形是解题
关键．
（1）连接 ，证明 ，则 ，即可证明 是 切线；
（2）设 半径为 ，则 ， ，利用同角的余角相等得到 ，
则 ，得到 ，即可得到 半径；
【详解】（1）
证明：连接 ，在 和 中，
，
，
，
，
是 的半径，
是 切线；
（2）
解：设 半径为 ，则 ， ，
，
，
，
，
，
解得 ，
即 半径为4
24．（满分10分）第19届亚运会于2023年9月23日在中国杭州正式开幕，亚运会吉祥物由三个机器人
造型组成，分别是宸宸、琮琮、莲莲，代表杭州的三大世界遗产．某商店购进了一批热销的吉祥物小商品，
其中“宸宸”的进货单价比“琮琮”的进货单价少2元，用1000元购进“宸宸”的个数与用1200元购进
“琮琮”的个数相同．
(1)“宸宸”和“琮琮”的进货单价分别是多少元？(2)该商店计划购进“宸宸”和“琮琮”共100个，“宸宸”的个数不超过80个，且总费用不超过1120元，
若“宸宸”和“琮琮”的销售单价分别为16元和20元，商店应如何进货才能获得最大利润，最大利润是
多少元？
24．(1)“宸宸”的进货单价为10元，则“琮琮”的进货单价为12元
(2)商店购买“宸宸”40个，购买“琮琮”60个，才能获得最大利润，最大利润是720元
【分析】
本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，一次函数的实际应用：
（1）设“宸宸”的进货单价为x元，则“琮琮”的进货单价为 元，根据用1000元购进“宸宸”的
个数与用1200元购进“琮琮”的个数相同列出方程求解即可；
（2）用1000元购进“宸宸”的个数与用1200元购进“琮琮”的个数相同，根据利润 单价利润 销售量
求出“宸宸”和“琮琮”的利润，然后求和得到W关于m的一次函数关系式，再根据“宸宸”的个数不超
过80个，且总费用不超过1120元，列出不等式组求出m的取值范围，最后根据一次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设“宸宸”的进货单价为x元，则“琮琮”的进货单价为 元，
由题意得， ，
解得 ，
经检验， 是原方程的解，
∴ ，
答：“宸宸”的进货单价为10元，则“琮琮”的进货单价为12元；
（2）解：设购买“宸宸”m个，总利润为W元，则购买“琮琮” 个，
由题意得， ，
∵“宸宸”的个数不超过80个，且总费用不超过1120元，
∴ ，解得 ，
∵ ，
∴W随m的增大而减小，
∴当 时，W最大，最大值为 ，
∴
∴商店购买“宸宸”40个，购买“琮琮”60个，才能获得最大利润，最大利润是720元．
25．（满分10分）小明发现某乒乓球发球器有“直发式”与“间发式”两种模式，在“直发式”模式下，
球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线；在“间发式”模式下，球从发球器出口
到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线，球第一次接触台面到第二次接触台面的运动轨迹近似为一
条抛物线．如图1和图2分别建立平面直角坐标系 ．
通过测量得到球距离台面高度 （单位： ）与球距离发球器出口的水平距离 （单位： ）的相关数
据，如下表所示：
表1 直发式
0 2 4 6 8 10 16 20 …
3.84 3.96 4 3.84 3.64 2.56 1.44 …
表2 间发式
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 …
3.36 2.52 0.84 0 1.40 2.40 3 3.20 3 …
根据以上信息，回答问题：
(1)表格中 ______， ______；
(2)求“直发式”模式下，球第一次接触台面前的运动轨迹的解析式；
(3)若“直发式”模式下，球第一次接触台面时距离出球点的水平距离为 ，“间发式”模式下，球第二次接触台面时距离出球点的水平距离为 ，请比较 的大小，并说明理由．
25．(1)
(2)
(3) ，理由见解析
【分析】本题考查二次函数的应用，关键是用待定系数法求出函数解析式.
（1）根据表 数据直接得出 的值； 由“间发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨
迹近似为一条直线，设出抛物线解析式，用待定系数法求出函数解析式，然后把 代入解析式得出 的
值即可；
（2）用待定系数法求出函数解析式即可；
（3）令（2）中解析式 解方程求出 的值；设出“间发式“模式下的抛物线解析式，用待定系数法求
出函数解析式，再令 ，解方程求出 得值.
【详解】（1）由抛物线的对称性及已知表1中的数据可知: ；
在“间发式“模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线，设这条直线的解析
式为 ，把 、 代入, 得：
，解得：
∴这条直线的解析式为 ，
当 时， ，
表格 中， ；
故答案为: ；
（2）由已知表 中的数据及抛物线的对称性可知:“直发式“模式下，抛物线的顶点为 ，
∴设此抛物线的解析式为 ，
把 代入, 得: ，解得： ，
∴“直发式“模式下，球第一次接触台面前的运动轨迹的解析式为 ；
（3） ，理由为：
当 时， ，
解得： (舍去)， ，
∴“直发式”模式下球第一次接触台面时距离出球点的水平距离为 ；
“间发式“模式下，球第一次接触台面到第二次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线，由已知表 中的
数据及抛物线的对称性可知：“间发式“模式下，这条抛物线的顶点坐标为 ，
∴设这条抛物线的解析式为 ，
把 代入, 得 ，
解得： ，
∴这条抛物线的解析式为 ，
当 时， ，
解得： ，
，
．
26．（满分10分）综合与实践
【问题情境】数学活动课上，老师准备了若干张正方形纸片 ，组织同学们进行折纸探究活动．
【初步尝试】把正方形对折，折痕为 ，然后展开，沿过点A与点E所在的直线折叠，点B落在点 处，
连接 ，如图1，请直接写出 与 的数量关系．
【能力提升】把正方形对折，折痕为 ，然后展开，沿过点A与 上的点G所在的直线折叠，使点B落在 上的点P处，连接 ，如图2，猜想 的度数，并说明理由．
【拓展延伸】在图2的条件下，作点A关于直线 的对称点 ，连接 ， ， ，如图3，求
的度数．
26．初步尝试： ；能力提升：猜想： ，理由见解析；拓展延伸：
【分析】初步尝试：连接 ，由折叠的性质可知， ， ， ， ，根
据等边对等角的性质和三角形内角和定理，得出 ，推出 ，即可得出答案；
能力提升：根据正方形的性质和折叠的性质，易证 ，从而证明 是等边三角形，
即可得到答案；
拓展延伸：连接 、 ，由（2）得 是等边三角形，进而得出 ，再结合等边对等角
的性质和三角形内角和定理，求得 ， ，由对称性质得： ，
，证明 ，得到 ，再由 ，即可求
出 的度数．
【详解】解：初步尝试： ，理由如下：
如图，连接 ，
由折叠的性质可知， ， ， ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
解：能力提升：猜想： ，理由如下：
理由：∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
由折叠性质可得： ， ， ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ；
解：拓展延伸：如图，连接 、 ，
由（2）得 是等边三角形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ，由对称性质得： ， ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，正方形的性质，全等三
角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题关键．
