文档内容
2024 年中考第二次模拟考试
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项
中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．﹣6的相反数是（ ）
1 1
A．6 B．﹣6 C． D．−
6 6
【分析】只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．
【解答】解：﹣6的相反数是6．
故选：A．
【点评】本题考查相反数的概念，关键是掌握相反数的定义．
2．第33届夏季奥运会将于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，如图所示巴黎
奥运会项目图标中，轴对称图形是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫
做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A、图形不是轴对称图形，不符合题意；
B、图形是轴对称图形，符合题意；
C、图形不是轴对称图形，不符合题意；
D、图形不是轴对称图形，不符合题意，
故选：B．【点评】本题考查了轴对称图形的概念，熟知轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部
分折叠后可重合是解题的关键．
3．下列事件中是必然事件的是（ ）
A．打开电视机，正在播放《开学第一课》
B．任意画一个三角形，其内角和是180°
C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
D．买一张彩票，一定不会中奖
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．
【解答】解：A、打开电视机，正在播放《开学第一课》，是随机事件，不符合题意；
B、任意画一个三角形，其内角和是180°，是必然事件，符合题意；
C、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，是随机事件，不符合题意；
D、买一张彩票，一定不会中奖，是随机事件，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件
下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即
随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
4．砚台与笔、墨、纸是中国传统的文房四宝，是中国书法的必备用具．如图是一方寓意
“规矩方圆”的砚台，它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据从上面看得到的图象是俯视图，可得答案．
【解答】解：从上边看，可得如图：．
故选：C．
【点评】本题考查了简单几何体的三视图，从上面看到的视图是俯视图．
5．下列运算正确的是（ ）
A．2a6+a3＝2a9 B．a2•a4＝a8
C．（ab3）2＝a2b6 D．（a+b）2＝a2+b2
【分析】根据完全平方公式，合并同类项和幂的乘方与积的乘方等知识点计算即可．
【解答】解：A、2a6+a3＝a3（2a3+1），故选项A不符合题意；
B、a2•a4＝a6，故选项B不符合题意；
C、（ab3）2＝a2a6，故选项C符合题意；
D、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故选项D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是完全平方公式，合并同类项和幂的乘方与积的乘方，熟练掌握上述
知识点是解题的关键．
6．如图，烧杯内液体表面AB与烧杯下底部CD平行，光线EF从液体中射向空气时发生
折射，光线变成FH，点G在射线EF上，已知∠HFB＝20°，∠FED＝60°，则∠GFH的
度数为（ ）
A．20° B．40° C．60° D．80°
【分析】先利用平行线的性质可得∠FED＝∠GFB＝60°，然后利用角的和差关系进行计
算，即可解答．
【解答】解：∵AB∥CD，∠FED＝60°，
∴∠FED＝∠GFB＝60°，
∵∠HFB＝20°，
∴∠GFH＝∠GFB﹣∠HFB＝40°，
故选：B．【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
7．随着“双减”政策的实施和课后延时托管的开展，某学校开设了四门兴趣课程，分别
为“绘画”“声乐”“陶艺”和“书法”．学校规定每人只能选择自己喜欢的一门课程学
习．小明与小亮对这四门课程都感兴趣，在没有沟通的情况下，这两人选择同一门课程的
概率是（ ）
1 3 1 1
A． B． C． D．
4 8 3 2
【分析】画树状图，共有16种等可能的结果，其中小明与小亮两人恰好同时选择同一门
课程的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：设“绘画”“声乐”“陶艺”和“书法”这四种课程分别为A、B、C、D．
画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中小明与小亮两人恰好同时选择同一门课程的结果有4种，
即AA、BB、CC、DD，
4 1
∴小红和小明两人恰好同时选择体育运动（包含轮滑和足球）的概率为 = ．
16 4
故选：A．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，列表法或画树状图法可以不重复不
遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况
数与总情况数之比．
8．某烤鸭店在确定烤鸭的烤制时间时，主要依据的是表中的数据：
鸭的质量/千克 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
烤制时间/分钟 40 60 80 100 120 140 160 180
设鸭的质量为x千克，烤制时间为t．估计当x＝3.8千克时，t的值约为（ ）
A．140 B．160 C．170 D．180
【分析】观察表格可知，烤鸭的质量每增加0.5千克，烤制时间增加20分钟，由此可判断
烤制时间是烤鸭质量的一次函数，设烤制时间为t分钟，烤鸭的质量为x千克，t与x的一
次函数关系式为：t＝kx+b，取（1，60），（2，100）代入，运用待定系数法求出函数关
系式，再将x＝3.8千克代入即可求出烤制时间．【解答】解：从表中可以看出，烤鸭的质量每增加0.5千克，烤制的时间增加20分钟，由
此可知烤制时间是烤鸭质量的一次函数．
设烤制时间为t分钟，烤鸭的质量为x千克，t与x的一次函数关系式为：t＝kx+b，
{ k+b=60
，
2k+b=100
{k=40
解得 ，
b=20
所以t＝40x+20．
当x＝3.8千克时，t＝40×3.8+20＝172，约为170，
故选：C．
【点评】本题考查了的是函数关系式，解题的关键是根据题目的已知及图表条件得到相关
的信息．
9．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝40°，AB＝6，斜边AB是半圆O的直径，点D是半圆
上的一个动点，连接CD与AB交于点E，若BE＝BC时，弧BD的长为（ ）
4 7 2 7
A． π B． π C． π D． π
3 3 3 6
【分析】根据BE＝BC求出∠BOD，利用弧长公式求解即可．
【解答】解：如图1，当BE＝BC时，
∵BE＝BC，∠ABC＝40°，
1
∴∠BCE＝∠BEC= （180°﹣40°）＝70°，
2∴∠BOD＝2∠BCE＝140°，
140π×3 7
∴弧BD的长= = ．
180 3
π
故选：B．
【点评】本题考查弧长公式，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知
识，解题的关键是根据圆周角定理求出∠BOD＝140°．
k2+1
10．已知点（x ，y ），（x ，y ）在反比例函数y= （k为常数）图象上，x ≠x ．
1 1 2 2 1 2
x
若x •x ＞0，则（x ﹣x ）（y ﹣y ）的值为（ ）
1 2 1 2 1 2
A．0 B．非负数 C．正数 D．负数
【分析】由反比例函数的性质可知若x ﹣x ＜0，则y ﹣y ＞0，若x ﹣x ＞0，则y ﹣y ＜
1 2 1 2 1 2 1 2
0，即可得出（x ﹣x ）（y ﹣y ）＜0．
1 2 1 2
【解答】解：∵k2+1＞0
∴双曲线位于一、三象限，在每个象限y随x的增大而减小，
k2+1
∵点（x ，y ），（x ，y ）在反比例函数y= （k为常数）图象上，x ≠x ．若x •x
1 1 2 2 1 2 1 2
x
＞0，
∴点（x ，y ），（x ，y ）在同一象限，
1 1 2 2
由反比例函数的性质可得：若x ﹣x ＜0，则y ﹣y ＞0，若x ﹣x ＞0，则y ﹣y ＜0，
1 2 1 2 1 2 1 2
∴（x ﹣x ）（y ﹣y ）＜0．
1 2 1 2
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，明确双曲线位
于一、三象限，点（x ，y ），（x ，y ）在同一象限是解题的关键．
1 1 2 2
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．据中国青年报报道：“中央广播电视总台《2024年春节联欢晚会》为海内外受众奉
上了一道除夕“文化大餐”．截至 2月10日2时，总台春晚全媒体累计触达 142亿人
次，较去年增长29%，……”将数据142亿用科学记数法表示为： ．
【分析】将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，这种记数方法叫做科
学记数法，据此即可求得答案．【解答】解：142亿＝14200000000＝1.42×1010，
故答案为：1.42×1010．
【点评】本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键．
12．已知一次函数y＝kx+b的图象过一、三象限，请写出符合上述条件的一个解析式：
．
【分析】本题中一次函数y＝kx+b的图象过一、三象限，根据一次函数性质特点即可知k
＞0即可．
【解答】解：因为一次函数y＝kx+b的图象过一、三象限，由一次函数性质可得：k＞0，
当b＞0，图象经过一、二、三象限；
当b＝0，图象经过一、三象限；
当b＞0，图象经过一、三、四象限；
为使图象经过一、三象限，b均可，故只需使k＞0即可，
故答案不唯一，例如：y＝x﹣1．
【点评】本题考查一次函数的性质，答案不唯一，比较灵活，本题中根据一次函数y＝
kx+b的图象过一、三象限，推出k＞0是关键．
2x 1
13．化简分式 − 的结果是 ．
x2−y2 x+ y
【分析】先通分，再利用分式减法计算即可．
2x 1
【解答】解： −
x2−y2 x+ y
2x x−y
= −
(x−y)(x+ y) (x−y)(x+ y)
x+ y
=
(x−y)(x+ y)
1
= ．
x−y
1
故答案为： ．
x−y
【点评】本题考查了分式的加减法，解题的关键是注意通分和约分．
14．图1是某种路灯的实物图片，图2是该路灯的平面示意图，MN为立柱的一部分，灯
臂AC，支架BC与立柱MN分别交于A，B两点，灯臂AC与支架BC交于点C，已知
∠MAC＝60°，∠ACB＝15°，AC＝40cm，则支架BC的长为 cm．（结果精确到1cm，
参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732，√6≈2.449）【分析】如图2，过C作CD⊥MN于D，则∠CDB＝90°，根据三角函数的定义即可得到
结论．
【解答】解：如图2，过C作CD⊥MN于D，
则∠CDB＝90°，
∵∠CAD＝60°，AC＝40（cm），
√3
∴CD＝AC•sin∠CAD＝40×sin60°＝40× =20√3（cm），
2
∵∠ACB＝15°，
∴∠CBD＝∠CAD﹣∠ACB＝60°﹣15°＝45°，
∴BC=√2CD=√2×20√3=20√6≈20×2.449≈49（cm），
故答案为49．
【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于
中等题型．
15．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D在△ABC内部，且满足∠ACD﹣∠BCD
＝2∠DAB，若△BCD的面积为13，则CD＝ ．【分析】由角的数量关系可得 + ＝45°，由等腰直角三角形的性质可求∠ADC＝90°＝
∠H，由“AAS”可证△ACD≌△αCβBH，可得CD＝BH，由三角形的面积公式可求解．
【解答】解：如图，过点B作BH⊥直线CD于H，
设∠BCD＝ ，∠DAB＝ ，
∴∠ACD＝α90°﹣ ， β
∵∠ACD﹣∠BCDα＝2∠DAB，
∴90°﹣ ﹣ ＝2 ，
∴ + ＝α45°α， β
∵α∠AβCB＝90°，AC＝BC，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°，
∴∠CAD+∠DAB＝∠CAD+ ＝45°，
∴∠CAD＝ ＝∠BCD， β
∵∠BCD+∠αACD＝90°，
∴∠CAD+∠ACD＝90°，
∴∠ADC＝90°＝∠H，
在△ACD和△CBH中，
{∠CAD=∠BCD
∠ADC=∠H ，
AC=BC
∴△ACD≌△CBH（AAS），
∴CD＝BH，
∵△BCD的面积为13，
1
∴ ×CD•BH＝13，
2
∴CD=√26，
故答案为：√26．【点评】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性
质，三角形的面积公式，求出∠ADC＝90°是解题的关键．
16．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0）经过A（﹣2，1），B（6，1）两
点，下列四个结论：
①一元二次方程ax2+bx+c＝0的根为x ＝﹣2，x ＝6；
1 2
②若点C（﹣5，y ）、D（ ，y ）在该抛物线上，则y ＞y ；
1 2 1 2
③对于任意实数t，总有at2+πbt≥4a+2b；
④对于a的每一个确定值（a＞0），若一元二次方程ax2+bx+c＝p（p为常数）有根，则
p≥1﹣16a，其中正确的结论是 ．（填写序号）
【分析】根据题目中的二次函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以
解答本题．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0）经过A（﹣2，1），B（6，
1）两点，
∴一元二次方程ax2+bx+c＝1的根为x ＝﹣2，x ＝6，故①错误；
1 2
−2+6
该抛物线的对称轴为直线x= =2，函数图象开口向上，若点C（﹣5，y ），D
2 1
（ ，y ）在该抛物线上，则y ＞y ，故②正确；
2 1 2
当πx＝2时，函数取得最小值y＝4a+2b+c，故对于任意实数t，总有at2+bt+c≥4a+2b+c，
即对于任意实数t，总有at2+bt≥4a+2b，故③正确；
∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0）经过A（﹣2，1），B（6，1）两点，
{4a−2b+c=1①
∴ ，
36a+6a+c=1②
②﹣①得，32a+8b＝0，即b＝﹣4a，
①×3+②得，48a+4c＝4，即c＝1﹣12a，
4ac−b2
若一元二次方程ax2+bx+c＝p（p为常数）有根，则p≥ ，
4a
∴p≥1﹣16a，故④正确；故答案为：②③④．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数与一元
二次方程的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步
骤）
{2x−1
≥x−2
17．（8分）解不等式组： 5 ，并写出它的正整数解．
2(x−2)＜3x
【分析】根据解一元一次不等式的步骤分别求出不等式组中两个不等式的解集，再求出解
集的公共部分即可解决问题．
2x−1
【解答】解：解不等式 ≥x−2得，
5
x≤3．
解不等式2（x﹣2）＜3x得，
x＞﹣4，
所以不等式组的解集为：﹣4＜x≤3．
正整数解为：1，2，3．
【点评】本题考查解一元一次不等式组及一元一次不等式组的整数解，熟知解一元一次不
等式的步骤是解题的关键．
18．（8分）如图，已知E、F分别是 ABCD的边BC、AD上的点，且BE＝DF．
（1）求证：四边形AECF是平行四边▱形；
（2）若四边形AECF是菱形，且BC＝10，∠BAC＝90°，求BE的长．
【分析】（1）利用平行四边形的性质得出AF∥EC，进而得出AF＝EC，进而求出即可；
（2）利用菱形的性质以及三角形内角和定理得出∠1＝∠2，进而求出∠3＝∠4，再利用
直角三角形的性质得出答案．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，且AD＝BC，∴AF∥EC，
∵BE＝DF，
∴AF＝EC，
∴四边形AECF是平行四边形．
（2）解：∵四边形AECF是菱形，
∴AE＝EC，
∴∠1＝∠2，
∵∠BAC＝90°，
∴∠3＝90°﹣∠2，∠4＝90°﹣∠1，
∴∠3＝∠4，
∴AE＝BE，
1
∴BE＝AE＝CE= BC＝5．
2
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质与判定和菱形的性质与直角三角形的性质，得
出∠3＝∠4是解题关键．
19．（8分）为了解某校学生的身高情况，随机抽取该校男生、女生进行抽样调查．已知
抽取的样本中，男生、女生的人数相同，利用所得数据绘制如下统计图表：
身高情况分组表
组别 A B C D E
身高 x＜155 155≤x＜160 160≤x＜165 165≤x＜170 x≥170
（cm）
根据图表提供的信息，回答下列问题：
（1）抽取的样本中，男生的身高众数在 组，中位数在 组；
（2）抽取的样本中，女生身高在E组的人数有多少人；
（3）已知该校共有男生840人，女生820人，请估计身高在C组的学生人数．【分析】（1）根据众数的定义，以及中位数的定义解答即可；
（2）先求出女生身高在E组所占的百分比，再求出总人数然后计算即可得解；
（3）确定男、女学生身高在160≤x＜170之间的百分比即可求解．
【解答】解：（1）∵直方图中，B组的人数为12，最多，
∴男生的身高的众数在B组，
男生总人数为：4+12+10+8+6＝40，
按照从低到高的顺序，第20、21两人都在C组，
∴男生的身高的中位数在C组，
故答案为：B，C；
（2）女生身高在E组的百分比为：1﹣17.5%﹣37.5%﹣25%﹣15%＝5%，
∵抽取的样本中，男生、女生的人数相同，
∴样本中，女生身高在E组的人数有：40×5%＝2（人）；
10
（3）840× +820×25%
40
＝210+205
＝415（人），
∴估计身高在C组的学生约有415人．
【点评】本题考查的是频数分布直方图以及扇形统计图的应用，掌握用样本估计总体的方
法、正确读懂扇形图的信息、理解中位数和众数的概念是解题的关键．
20．（8分）如图，AB为 O的直径，点C是AB上方 O上异于A，B的点，点D是^AB
的中点，过点D作DE∥A⊙B交CB的延长线于点E，连接⊙AC，AD．
（1）求证：DE是 O的切线；
（2）若AC＝8，B⊙C＝6，求图中阴影部分的面积．【分析】（1）连接OD，由^AD=^BD，得∠AOD＝∠BOD，而∠AOD+∠BOD＝180°，则
∠AOD＝∠BOD＝90°，由DE∥AB，得∠ODE＝∠AOD＝90°，则DE⊥OD，即可证明
DE是 O的切线；
⊙
（2）由AB为 O的直径，得∠ACB＝90°，则AB=√AC2+BC2=10，所以OD＝OA＝
⊙
1 25 25π
OB=
2
AB＝5，则S阴影 ＝S△AOD +S扇形BOD =
2
+
4
．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵点D是^AB的中点，
∴^AD=^BD，
∴∠AOD＝∠BOD，
∵∠AOD+∠BOD＝180°，
∴2∠AOD＝180°，
∴∠AOD＝∠BOD＝90°，
∵DE∥AB，
∴∠ODE＝∠AOD＝90°，
∵OD是 O的半径，且DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线．
（2）解：⊙∵AB为 O的直径，
∴∠ACB＝90°， ⊙
∵AC＝8，BC＝6，
∴AB=√AC2+BC2=√82+62=10，
1
∴OD＝OA＝OB= AB＝5，
2
由（1）得∠AOD＝∠BOD＝90°，
1 90×π×52 25 25π
∴S阴影 ＝S△AOD +S扇形BOD =
2
×5×5+
360
=
2
+
4
，25 25π
∴图中阴影部分的面积是 + ．
2 4
【点评】此题重点考查切线的判定、圆周角定理、勾股定理、三角形的面积公式、扇形的
面积公式等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
21．（8分）（2023•新洲区校级模拟）如图是由小正方形组成的7×7网格，每个小正方
形的顶点叫做格点，点A，B，C均为格点．仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成画
图，画图过程用虚线，画图结果用实线．
（1）在图1中，先将线段CB绕点C顺时针旋转90°，画出旋转后的对应线段CE；再在
线段CE上画点F，连接BF，使∠CFB＝∠A；
（2）在图2中，M，N分别是网格线上和网格内的一点．先过点M画与BC平行的直线
l；再在直线l上画一点P，使NP⊥AB．
【分析】（1）取格点E，连接CE，在CE上截取CF，使得CF：CE＝3：4，连接BF即
可；
（2）取格点G，连接AG，CM交于点K，连接BK，延长BK交AC与点T，作直线MT即
可．作点N关于AB的对称点N′，作直线NN′，交直线l于点P，点P，直线l即为所
求．
【解答】解：（1）如图1中，点F即为所求；（2）如图2中，直线kl，点P即为所求．【点评】本题考查作图﹣旋转变换，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题
意，灵活运用所学知识解决问题．
22．（10分）春回大地，万物复苏，又是一年花季到．某花圃基地计划将如图所示的一
块长40m，宽20m的矩形空地划分成五块小矩形区域．其中一块正方形空地为育苗区，另
一块空地为活动区，其余空地为种植区，分别种植A，B，C三种花卉．活动区一边与育
苗区等宽，另一边长是10m．A，B，C三种花卉每平方米的产值分别是2百元、3百元、4
百元．
（1）设育苗区的边长为x m，用含x的代数式表示下列各量：花卉A的种植面积是
m2，花卉B的种植面积是 m2，花卉C的种植面积是 m2．
（2）育苗区的边长为多少时，A，B两种花卉的总产值相等？
（3）若花卉A与B的种植面积之和不超过560m2，求A，B，C三种花卉的总产值之和的
最大值．
【分析】（1）根据正方形和长方形的面积计算公式可直接得到答案；
（2）根据A，B两种花卉的总产值相等建立一元二次方程，解方程即可得到答案；
（3）先根据花卉A与B的种植面积之和不超过560m2建立不等式，得到x≥8，再设A，
B，C三种花卉的总产值之和y百元，得到y关于x的二次函数，根据二次函数的图形性质
即可得到答案．【解答】解：（1）∵育苗区的边长为x m，活动区的边长为10m，
∴花卉A的面积为：（40﹣x）（20﹣x）＝（x2﹣60x+800）m2，
花卉B的面积为：x（40﹣x﹣10）＝（﹣x2+30x）m2，
花卉C的面积为：x（20﹣x）＝（﹣x2+20x）m2，
故答案为：（x2﹣60x+800）；（﹣x2+30x）；（﹣x2+20x）；
（2）∵A，B花卉每平方米的产值分别是2百元、3百元，
∴A，B两种花卉的总产值分别为2×（x2﹣60x+800）百元和3×（﹣x2+30x）百元，
∵A，B两种花卉的总产值相等，
∴200×（x2﹣60x+800）＝300×（﹣x2+30x），
∴x2﹣42x+320＝0，
解方程得x＝32（舍去）或x＝10，
∴当育苗区的边长为10m时，A，B两种花卉的总产值相等；
（3）∵花卉A与B的种植面积之和为：x2﹣60x+800+（﹣x2+30x）＝（﹣30x+800）m2，
∴﹣30x+800≤560，
∴x≥8，
∵设A，B，C三种花卉的总产值之和y百元，
∴y＝2（x2﹣60x+800）+3（﹣x2+30x）+4（﹣x2+20x），
∴y＝﹣5x2+50x+1600，
∴y＝﹣5（x﹣5）2+1725，
∴当x≥8时，y随x的增加而减小，
∴当x＝8时，y最大，且y＝﹣5（8﹣5）2+1725＝1680（百元），
故A，B，C三种花卉的总产值之和的最大值168000元．
【点评】本题考查一元二次方程和二次函数的应用，解题的关键是根据题意建立正确的方
程和函数表达式．
23．（10分）（2023•获嘉县模拟）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝nBC，P为AB上
的一点（不与端点重合），过点P作PM⊥AB交AG于点M，得到△APM．
（1）【问题发现】如图1，当n＝1时，P为AB的中点时，CM与BP的数量关系为
；
（2）【类比探究】如图2，当n＝2时，△APM绕点A顺时针旋转，连接CM，BP，则在
旋转过程中CM与BP之间的数量关系是否发生变化？请说明理由；（3）【拓展延伸】在（2）的条件下，已知AB＝4，AP＝2，当△APM绕点A顺时针旋转
至B，P，M三点共线时，请直接写出线段BM的长．
1
【分析】（1）当 n＝1 时，AB＝BC，可得 AP＝BP= AB，由 PM∥BC，得出
2
AP AB √2 √2 √2
△APM∽△ABC，可得 = = ，推出CM＝AC﹣AM=√2AB− AB= AB，即
AM AC 2 2 2
可得出答案；
CM AC √5
（2）通过证明△ABP∽△ACM，可得 = = ，即可求解；
BP AB 2
（3）分两种情况讨论，由勾股定理可求解．
【解答】解：（1）当n＝1时，AB＝BC，
∵∠ABC＝90°，
AB √2
∴ = ，
AC 2
∵P为AB的中点，
AP 1
∴ = ，
AB 2
1
∴AP＝BP= AB，
2
∵PM⊥AB，
∴∠APM＝90°，
∴∠APM＝∠ABC，
∴PM∥BC，
∴△APM∽△ABC，
AP AB √2
∴ = = ，
AM AC 2
√2
∴AC=√2AB，AM=√2AP= AB，
2√2 √2
∴CM＝AC﹣AM=√2AB− AB= AB，
2 2
√2
AB
CM 2
∴ = =√2，
BP 1
AB
2
∴CM=√2BP，
故答案为：CM=√2BP；
√5
（2）CM= BP的数量关系不变，理由如下：
2
当n＝2时，AB＝2BC，
PM BC 1
则 = = ，
AP AB 2
1 1
∴BC= AB，PM= AP，
2 2
√ 1 √5
由勾股定理可得：AC=√BC2+AB2= ( AB) 2+AB2= AB，
2 2
√ 1 √5
AM=√PM2+AP2= ( AP) 2+AP2= AP，
2 2
AM AC √5
∴ = = ，
AP AB 2
√5 √5
∴AC= AB，AM= AP，
2 2
√5 √5
∴CM＝AC﹣AM= （AB﹣AP）= BP，
2 2
由旋转得：∠CAB＝∠MAP，
即∠BAP+∠CAP＝∠CAM+∠CAP，
∴∠BAP＝∠CAM，
∴△ABP∽△ACM，
CM AC √5
∴ = = ，
BP AB 2
√5
∴CM= BP；
2
（3）∵AB＝4，AP＝2，
∴BC＝2，PM＝1，
由勾股定理可得：AC＝2√5，AM=√5，∵△APM绕点A顺时针旋转至B，P，M三点共线，
∴∠APM＝90°，PM＝1，
∠APB＝180°﹣90°＝90°，
∴BP=√AB2−AP2=√42−22=2√3，
当△APM旋转至直线AB上方时，如图，
则BM＝BP+PM＝2√3+1；
当△APM旋转至直线AB下方时，如图，
则BM＝BP﹣PM＝2√3−1；
综上所述，线段BM的长为2√3+1或2√3−1．
【点评】本题是相似形综合题，考查了直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，旋转
的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，灵活运用这些性质进行推理是本题的关
键．
24．（12分）已知，在以O为原点的直角坐标系中，抛物线的顶点为A（﹣1，﹣4），
且经过点B（﹣2，﹣3），与x轴分别交于C、D两点．（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）如图（1），点M是抛物线上的一个动点，且在直线OB的下方，过点M作x轴的平
行线与直线OB交于点N，求MN的最大值；
（3）如图（2），过点A的直线交x轴于点E，且AE∥y轴，点P是抛物线上A、D之间
的一个动点，直线PC、PD与AE分别交于F、G两点．当点P运动时，EF+EG是否为定
值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．
【分析】（1）根据顶点式设二次函数的解析式为y＝a（x+1）2﹣4，结合点B（﹣2，﹣
3），求得a即可；
3
（2）利用待定系数法求得直线OB的解析式为y= x，设M（t，t2+2t﹣3），MN＝s，则
2
3 3
N 的横坐标为 t﹣s，纵坐标为 (t−s)，利用平行可得t2+2t−3= (t−s)，得到
2 2
2 1 2 1 2 49
s=− t2− t+2=− (t+ ) + 即可求得最值；
3 3 3 4 24
（3）过点P作PQ∥y轴交x轴于点Q，求得C（﹣3，0），D（1，0），设P（t，t2+2t
﹣3），则 PQ＝﹣t2﹣2t+3，CQ＝t+3，DQ＝1﹣t，利用平行得△CEF∽△CQP，有
EF CE 2 2
= ，求得EF= (−t2−2t+3)，同理得EG= (−t2−2t+3)，化简得
PQ CQ t+3 1−t
EF+EG＝8即可．
【解答】解：（1）根据抛物线的顶点为A（﹣1，﹣4），设二次函数的解析式为y＝a
（x+1）2﹣4，
∵抛物线经过点B（﹣2，﹣3），∴a（﹣2+1）2﹣4＝﹣3，
解得a＝1，
则y＝x2+2x﹣3；
（2）设直线OB的解析式为y＝kx，过点B（﹣2，﹣3），则﹣2k＝﹣3，
3
解得k= ，
2
3
那么直线OB的解析式为y= x，
2
设M（t，t2+2t﹣3），MN＝s，
3
则N的横坐标为t﹣s，纵坐标为 (t−s)，
2
3
由MN∥x轴，得t2+2t−3= (t−s)，
2
2 1 2 1 2 49
解得s=− t2− t+2=− (t+ ) + ，
3 3 3 4 24
1 49
当t=− 时，MN有最大值，最大值为 ；
4 24
（3）EF+EG为定值．理由如下，
如图，过点P作PQ∥y轴交x轴于点Q，
在y＝x2+2x﹣3中，令y＝0解得x＝﹣3或x＝1，
故C（﹣3，0），D（1，0），
设P（t，t2+2t﹣3），则PQ＝﹣t2﹣2t+3，CQ＝t+3，DQ＝1﹣t，
∵PQ∥EF，
∴△CEF∽△CQP，EF CE
∴ = ，
PQ CQ
CE 2
∴EF= ⋅PQ= (−t2−2t+3)
CQ t+3
同理，△EGD∽△QPD，
EG DE
∴ = ，
PQ DQ
DE 2
∴EG= ⋅PQ= (−t2−2t+3)
DQ 1−t
2 2 4
∴
EF+EG= (−t2−2t+3)+ (−t2−2t+3)=2(−t2−2t+3) =8
t+3 1−t −t2−2t+3
，
故EF+EG是定值，且为8．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，涉及待定系数法求解析式、两点之间的距离、求
二次函数的最值以及相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练二次函数的性质和相似
三角形的性质．
