文档内容
2024 年福建中考第二次模拟考试
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．截至2023年6月11日17时，全国冬小麦收获2.39亿亩，进度过七成半，将239000000用科学记数法
表示应为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数时，一般形式为 ，其中 ， 为整数，且
比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【详解】解： ，
故选：B．
【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法，用科学记数法表示绝对值较大的数时，一般形式为 ，
其中 ， 为整数，且 比原来的整数位数少1，解题的关键是要正确确定 和 的值．
2．下列图形中，为轴对称的图形的是（ ）
A B. C. D.
.
【答案】D
【解析】
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形，解决问题的关键是熟练掌握轴对称图形的概念，轴对称图形概念，
一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就是轴对称图形．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B. （ ） C. D. （ ）
【答案】C
【解析】
【分析】根据整式的计算法则：幂的乘方法则，同底数幂除法法则，同底数幂乘法法则，负整数指数幂计
算法则分别计算判断．
【详解】解：A、 ，故该项原计算错误；
B、 （ ），故该项原计算错误；
C、 ，故该项原计算正确；
D、 （ ），故该项原计算错误；
故选：C．
【点睛】此题考查了整式的计算法则，熟记幂的乘方法则，同底数幂除法法则，同底数幂乘法法则，负整
数指数幂计算法则是解题的关键．
4. 一元一次不等式组 的解集为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】第一个不等式解与第二个不等式的解，取公共部分即可.【详解】解：
解不等式 得：
结合 得：不等式组的解集是 ，
故选：D．
【点睛】本题考查解一元一次不等式组，掌握解一元一次不等式组的一般步骤是解题的关键．
5. 若关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则实数 的值为（ ）
A. B. C. D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根，可得 ，进而即可求解．
【详解】解：∵关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，
∴ ．
解得： ．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程 ( 为常数)的根的判别式 ，
理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当 时，方程有两个不相等的实数根；当
时，方程有两个相等的实数根；当 时，方程没有实数根．
6. 如图，海中有一小岛A，在B点测得小岛A在北偏东30°方向上，渔船从B点出发由西向东航行10
到达C点，在C点测得小岛A恰好在正北方向上，此时渔船与小岛A的距离为（ ）A. B. C. 20 D.
【答案】D
【解析】
【分析】连接 ，此题易得 ，得 ，再利用勾股定理计算 即可．
【详解】解：连接 ，
由已知得： ， ， ，
∴ ，
在 中， ，
∴ （ ），
故选：D
【点睛】此题考查的知识点是勾股定理的应用，直角三角形30度角的性质，关键是掌握勾股定理的计算．
7. 如图1是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之
中．如图2是八角形空窗的示意图，它的一个外角 （ ）A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由正八边形的外角和为 ，结合正八边形的每一个外角都相等，再列式计算即可．
【详解】解：∵正八边形的外角和为 ，
∴ ，
故选A
【点睛】本题考查的是正多边形的外角问题，熟记多边形的外角和为 是解本题的关键．
8. 某中学积极推进学生综合素质评价改革，该中学学生小明本学期德、智、体、美、劳五项的评价得分如
图所示，则小明同学五项评价得分的众数、中位数、平均数分别为（ ）
A. 9，9， B. 9，9， C. 8，8， D. 9，8，
【答案】B
【解析】
【分析】利用众数、中位数及平均数的定义写出答案即可．
【详解】解：该同学五项评价得分从小到大排列分别为7，8，9，9，10，
出现次数最多的数是9，所以众数为9，
位于中间位置的数是9，所以中位数是9，
平均数为
故选：B．
【点睛】本题考查了统计的知识，掌握众数、中位数及平均数的计算方法是关键．9. 如图， 是 的直径， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据圆周角定理可进行求解．
的
【详解】解：∵ 是 直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
故选B．
【点睛】本题主要考查圆周角的相关性质，熟练掌握直径所对圆周角为直角是解题的关键．
10. 如图，抛物线 经过正方形 的三个顶点A，B，C，点B在 轴上，则 的值为（
）
A. B. C. D.【答案】B
【解析】
【分析】连接 ，交 y 轴于点 D，根据正方形的性质可知 ，然后可得点
，进而代入求解即可．
【详解】解：连接 ，交y轴于点D，如图所示：
当 时，则 ，即 ，
∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
∴点 ，
∴ ，
解得： ，
故选B．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质及正方形的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质及正方形
的性质是解题的关键．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）11．若代数式 有意义，则实数x的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据分式有意义 的条件列不等式求解即可．
【详解】解：若代数式 有意义，则 ，
解得： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，熟知分式有意义，分母不为零是解题的关键．
12. 分解因式： =__________________.
【答案】
【解析】
【详解】试题分析：原式提公因式得：y（x2-y2）=
考点：分解因式
点评：本题难度中等，主要考查学生对多项式提公因式分解因式等知识点 的掌握．需要运用平方差公式．
13. 小明从《红星照耀中国》，《红岩》，《长征》，《钢铁是怎样炼成的》四本书中随机挑选一本，其
中拿到《红星照耀中国》这本书的概率为______．
【答案】 ##0.25
【解析】
【分析】根据概率公式进行计算即可．
【详解】解：随机挑选一本书共有4种等可能的结果，其中拿到《红星照耀中国》这本书的结果有1种，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查概率．熟练掌握概率公式，是解题的关键．14. 一个圆锥的底面半径为5，高为12，则它的体积为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据圆锥的体积= ×底面积×高，即可求解．
的
【详解】解：∵圆锥 底面半径为5，高为12，
∴它的体积 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查圆锥 的体积，关键是熟练掌握圆锥的体积= ×底面积×高．
15. 边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上（如图），则图中阴影部
分的面积为_______．
【答案】15
【解析】
【分析】根据正方形的性质及相似三角形的性质可进行求解．
【详解】解：如图，由题意可知 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为15．
【点睛】本题主要考查正方形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质及相似三角形的
性质与判定是解题的关键．
16. 如图，在 中，将 绕点 A 顺时针旋转 至 ，将 绕点 A 逆时针旋转 至
，得到 ，使 ，我们称 是
的“旋补三角形”， 的中线 叫做 的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．
下列结论正确的有________．① 与 面积相同；
② ；
③若 ，连接 和 ，则 ；
④若 ， ， ，则 ．
【答案】①②③
【解析】
【分析】延长 ，并截取 ，连接 ，证明 ，得出 ， ，
根据 ， ，得出 ，证明 ，得出 ，即可判断①
正确；根据三角形中位线性质得出 ，根据 ，得出 ，判断②正确；根据
时， ，
得出 ， ， ， ，根据四边形内角
和得出
， 求 出
， 判 断 ③ 正 确 ； 根 据 ② 可 知 ， ， 根 据 勾 股 定 理 得 出
，求出 ，判断④错误．
【详解】解：延长 ，并截取 ，连接 ，如图所示：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
根据旋转可知， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 与 面积相同，故①正确；
∵ ， ，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故②正确；
当 时， ，∴ ， ， ， ，
∵ ，
∴ ，
即 ，故③正确；
∵ ，
∴根据②可知， ，
∵当 时， ， 为中线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故④错误；
综上分析可知，正确的是①②③．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，中位线性质，勾股定理，四边形
内角和，补角的性质，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，证明 ．
三、解答题（本大题共9个小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（8分）计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】代入特殊角三角函数值，利用负整数指数幂，绝对值和二次根式的性质化简，然后计算即可．【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，牢记特殊角三角函数值，熟练掌握负整数指数幂，绝对值和二次根
式的性质是解题的关键．
18.（8分） 先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ，
【解析】
的
【分析】先根据分式混合运算 法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．
【详解】
∵
∴原式 ．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
19.（8分）如图，B是 的中点， ， .求证： ．【答案】见解析
【解析】
【分析】根据已知条件证得 ， ，然后证明 ，应用全等三角
形的性质得到 ．
【详解】证明：∵B是 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
∴ ，
∴ ．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
20. （8分）对联是中华传统文化的瑰宝，对联装裱后，如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，
左、右空白处统称为边．一般情况下，天头长与地头长的比是 ，左、右边的宽相等，均为天头长与地
头长的和的 ．某人要装裱一副对联，对联的长为 ，宽为 ．若要求装裱后的长是装裱后的
宽的4倍，求边的宽和天头长．（书法作品选自《启功法书》）【答案】边的宽为 ，天头长为
【解析】
【分析】设天头长为 ，则地头长为 ，边的宽为 ，再分别表示础装裱
后的长和宽，根据装裱后的长是装裱后的宽的4倍列方程求解即可．
【详解】解：设天头长为 ，
由题意天头长与地头长的比是 ，可知地头长为 ，
边的宽为 ，
装裱后的长为 ，
装裱后的宽为 ，
由题意可得：解得 ，
∴ ，
答：边的宽为 ，天头长为 ．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，题中的数量关系较为复杂，需要合理设未知数，找准数量关系．
21.（8分）小红家到学校有两条公共汽车线路，为了解两条线路的乘车所用时间，小红做了试验，第一周
(5个工作日)选择A线路，第二周(5个工作日)选择B线路，每天在固定时间段内乘车2次并分别记录所用
时间，数据统计如下：(单位：min)
数据统计表
试验序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 1
A线路所用时间 32 15 16 34 21 14 35 20
5 8
2 2
B线路所用时间 29 23 25 27 31 28 30 24
5 6
数据折线统计图
根据以上信息解答下列问题：
平均数 中位数 众数 方差
A线路所用时间 22 a 15 63.2
B线路所用时间 b 26.5 c 6.36
（1）填空： __________； ___________； ___________；
（2）应用你所学的统计知识，帮助小红分析如何选择乘车线路．
【答案】（1）19，26.8，25（2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据中位数定义将A线路所用时间按从小到大的顺序排列，求中间两个数的平均数即为A
线路所用时间的中位数a，利用平均数的定义求出B线路所用时间的平均数b，找出B线路所用时间中出
现次数最多的数据即为B线路所用时间的众数c，从而得解；
（2）根据四个统计量分析，然后根据分析结果提出建议即可．
【小问1详解】
解：将A线路所用时间按从小到大顺序排列得：14，15，15，16，18，20，21，32，34，35，中间两个数
是18，20，
∴A线路所用时间的中位数为： ，
由题意可知B线路所用时间得平均数为： ，
∵B线路所用时间中，出现次数最多的数据是25，有两次，其他数据都是一次，
∴B线路所用时间的众数为：
故答案为：19，26.8，25；
【小问2详解】
根据统计量上来分析可知，A线路所用时间平均数小于B线路所用时间平均数线路，A线路所用时间中位
数也小于B线路所用时间中位数，但A线路所用时间的方差比较大，说明A线路比较短，但容易出现拥堵
情况，B线路比较长，但交通畅通，总体上来讲A路线优于B路线．
因此，我的建议是：根据上学到校剩余时间而定，如果上学到校剩余时间比较短，比如剩余时间是21分钟，
则选择A路线，因为A路线的时间不大于21分钟的次数有7次，而B路线的时间都大于21分钟；如果剩
余时间不短也不长，比如剩余时间是31分钟，则选择B路线，因为B路线的时间都不大于31分钟，而A
路线的时间大于31分钟有3次，选择B路线可以确保不迟到；如果剩余时间足够长，比如剩余时间是36
分钟，则选择A路线，在保证不迟到的情况，选择平均时间更少，中位数更小的路线．
【点睛】本题考查求平均数，中位数和众数，以及根据统计量做决策等知识，掌握统计量的求法是解题的
关键．
22. （10分）如图， 为 的直径，E为 上一点，点C为 的中点，过点C作 ，交的延长线于点D，延长 交 的延长线于点F．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ， ，求 的半径长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）连接 ，根据弦、弧、圆周角的关系可证 ，根据圆的性质得
，证明 ，得到 ，根据切线的判定定理证明；
的
（2）连接 ， ，根据勾股定理得到 长，根据等弧对等弦得到 ，根据圆
内接四边形对角互补得 ，推出 ，证明 ，利用相
似三角形的性质即可求解．
【小问1详解】
证明：连接 ，∵点C为 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴
∴ ，
∴ ，
∵ 为半径，
∴ 为 切线；
【小问2详解】
解：连接 ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵D是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵ 为 的直径，∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的半径长为 ．
【点睛】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题
的关键．
23. （10分）综合与实践
问题探究：（1）如图1是古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》第1卷命题9：“平分一个已知
角．”即：作一个已知角的平分线，如图2是欧几里得在《几何原本》中给出的角平分线作图法：在
和 上分别取点C和D，使得 ，连接 ，以 为边作等边三角形 ，则 就是
的平分线．请写出 平分 的依据：____________；
类比迁移：
（2）小明根据以上信息研究发现： 不一定必须是等边三角形，只需 即可．他查阅资料：
我国古代已经用角尺平分任意角．做法如下：如图3，在 的边 ， 上分别取 ，移
动角尺，使角尺两边相同刻度分别与点M，N重合，则过角尺顶点C的射线 是 的平分线，请
说明此做法的理由；
拓展实践：
（3）小明将研究应用于实践．如图4，校园的两条小路 和 ，汇聚形成了一个岔路口A，现在学校
要在两条小路之间安装一盏路灯E，使得路灯照亮两条小路（两条小路一样亮），并且路灯E到岔路口A
的距离和休息椅D到岔路口A的距离相等．试问路灯应该安装在哪个位置？请用不带刻度的直尺和圆规在
对应的示意图5中作出路灯E的位置．（保留作图痕迹，不写作法）【答案】（1） ；（2）证明见解析；（3）作图见解析；
【解析】
【分析】（1）先证明 ，可得 ，从而可得答案；
（2）先证明 ，可得 ，可得 是 的角平分线；
（3）先作 的角平分线，再在角平分线上截取 即可．
【详解】解：（1）∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是 的角平分线；
故答案为：
（2）∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是 的角平分线；
（3）如图，点 即为所求作的点；
．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，角平分线的定义与角平分线的性质，作已知角的角平分
线，理解题意，熟练的作角的平分线是解本题的关键．
24. （13分）如图，在正方形 中，E是边 上一动点（不与点A，D重合）．边 关于 对称的线段为 ，连接 ．
（1）若 ，求证： 是等边三角形；
（2）延长 ，交射线 于点G；
① 能否为等腰三角形？如果能，求此时 的度数；如果不能，请说明理由；
②若 ，求 面积的最大值，并求此时 的长．
【答案】（1）见解析 （2）① 能为等腰三角形， ；②
【解析】
【分析】（1）由轴对称的性质得到 ，根据正方形的性质得到 ，求得 ，
根据轴对称的性质得到 ，根据等边三角形的判定定理即可得到结论；
（2）①根据轴对称的性质得到 ，根据正方形的性质得到 ，得到 ，推
出 点 B 不 可 能 是 等 腰 三 角 形 的 顶 点 ， 若 点 F 是 等 腰 三 角 形 的 顶 点 ， 则 有
，此时E与D重合，不合题意，于是得到只剩下 了，连接 交
于H，根据全等三角形的性质得到 ，得到 为等腰三角形，根据平行线的性质得到
， 求 得 ， 根 据 等 腰 三 角 形 的 性 质 得 到
， 于 是 得 到；
②由①知， ，要求 面积的最大值，即求 面积的最大值，在 中，底
边 是定值，即求高的最大值即可，如图2，过G作 于P，连接 ，取 的中点M，连接
， 作 于 N ， 设 ， 则 ， 根 据 直 角 三 角 形 的 性 质 得 到
，推出 ，当当G，M，N三点共线时，
取等号，于是得到结论；如图 3，设 与 交于Q，则四边形 是矩形，根据矩形的性质得到
，求得 ，于是得到结论．
【小问1详解】
证明：由轴对称的性质得到 ，
是
∵四边形 正方形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 于 对称的线段为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形；
【小问2详解】
的
①∵ 于 对称 线段为 ，
∴
∵四边形 是正方形，
∴ ，∴ ，
∵E是边 上一动点，
∴ ，
∴点B不可能是等腰三角形 的顶点，
若点F是等腰三角形 的顶点，
则有 ，
此时E与D重合，不合题意，
∴只剩下 了，连接 交 于H，
∵
∴
∴ ，
∴ ，
∴ 为等腰三角形，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴
∴
∴
∴ ，
∴
∵∴
∴ ；
②由①知，
要求 面积的最大值，即求 面积的最大值，
在 中，底边 是定值，即求高的最大值即可，
如图2，过G作 于P，连接 ，取 的中点M，连接 ，作 于N，
设 ，则 ，
∵ ，M是 的中点，
∴ ，
∴ ，
当G，M，N三点共线时，取等号，
∴ 面积的最大值，
的面积如图3，设 与 交于Q，
则四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】此题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，轴对称
的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
25.（13分） 如图，二次函数 的图象与 轴交于A， 两点，且自变量 的部分取值与对
应函数值 如下表：
… …
… …备用图
（1）求二次函数 的表达式；
（2）若将线段 向下平移，得到的线段与二次函数 的图象交于 ， 两点（ 在 左
边）， 为二次函数 的图象上的一点，当点 的横坐标为 ，点 的横坐标为
时，求 的值；
（3）若将线段 先向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到的线段与二次函数
的图象只有一个交点，其中 为常数，请直接写出 的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3） 且 或
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数 的表达式即可；
（2）连接 ， ，过点R作 交 的延长线于点M，分别表示出 、 的长，根据正切的定义即可得到 的值；
（3）分 和 两种情况讨论求解即可．
【小问1详解】
解：由表格可知，二次函数 的图象经过点 ， ， ，代入
得到
，
解得 ，
∴二次函数 的表达式为 ；
【小问2详解】
如图，连接 ， ，过点R作 交 的延长线于点M，
∵点 的横坐标为 ，
∴ ，∵ ，
∴抛物线的对称轴为直线 ，
∵点P与点Q关于直线 对称，
设点 ，
则 ，解得 ，
∴点P的坐标为 ，
当 时， ，
即 ，
则 ，
∴ ，
，
∴ ，
即 的值为 ；
【小问3详解】
由表格可知点 、 ，
将线段 先向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到 、 ，
由题意可得，二次函数 ，与线段 只有一个交点，
当 时，抛物线 开口向上，顶点 在 下方，当 时， ，
即 ，
解得 ，
∴ ，
当 时， ，即 ，
解得 ，
∴ ，
此时满足题意，
当 时，抛物线 开口向下，顶点 在 上时， ，
解得 ，
此时满足题意，
将点 代入 得到 ，解得 ，
将点 代入 得到 ，解得 ，
∴ ，此时满足题意，综上可知， 且 或 ．
【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质、待定系数法求二次函数解析式、锐角三角函数、不等式的应
用等知识，数形结合和分类讨论是解题的关键．
