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2024 年中考第一次模拟考试
数学·参考答案
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
C B D A C A C D D D
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．3
12．
13．
14．
15．①②④
16.4
三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（8分）【详解】解：方程组 ，
两式相加，得4x＋4y＝4+a，
∴x＋y＝1+ ，(6分)
代入x＋y＜2，得1+ ＜2，
解得a＜4．
所以a的取值范围是：a＜4．（8分）
18．（8分）【详解】（1）解：∵AB∥CD，∴∠ACD+∠CAB=180°．又∵∠ACD=114°，∴∠CAB=66°．
由作法知，AM是∠ACB的平分线，∴∠AMB= ∠CAB=33°（3分）．
（2）证明：∵AM平分∠CAB，∴∠CAM=∠MAB，
∵AB∥CD，∴∠MAB=∠CMA．∴∠CAN=∠CMN．
又∵CN⊥AM，∴∠ANC=∠MNC．
在△ACN和△MCN中，
∵∠ANC=∠MNC，∠CAN=∠CMN，CN=CN，∴△ACN≌△MCN（AAS）．（8分）
19．（8分）【详解】解：（1）女生 组人数为 （人），
女生 人数为 （人），
则扇形统计图中 组人数为 （人），
女生 组的人数分别为1人，8人，15人，16人，总人数为40人，
将这40人的成绩按从小到大进行排序后，第20个数和第21个数的平均数为中位数，且中位数位于 组，
将女生 组中全部15名学生的成绩按从小到大进行排序为 ，
则中位数 ，
女生的成绩满分的人数为 （人），
女生 组成绩的众数是89，出现的次数是3次， 的人数为16人，且 ，
众数 ，
故答案为：1，88，100；（5分）
（2） （人），
答：估计该校1600名学生此次知识竞赛中优秀的人数为580人．（8分）
20．（8分）【详解】解：（1）如图，连接BF∵AD⊥m
∴
∵AB是⊙O的直径
∴
∴
∵ ，
∴
∴∠DAE=∠BAF （2分）
（2）连接OC
∵直线m与⊙O相切于点C
∴
∵AD⊥m
∴
∴
∵OA=OC
∴ （5分）
（3）连接OC
∵直线m与⊙O相切于点C
∴
设半径OC=OB=r在 中， 则：
∴
解得：r=2，即OC=r=2
∴
∴
∴
∴ ．（8分）
21．（8分）【详解】（1）如图 中，点 ，线段 即为所求；（4分）
（2）如图 中，直线 ，点 即为所求．（8分）
22.（10分）【详解】(1)①甲向东行进过程中， =60(t+10)=60t+600，t=5.5时， =60t+600=930．
甲返回过程中， =930-60(t-5.5)=-60t+1260．
②乙追甲所走的路程 =66t，
甲、乙二人在途中相遇时，66t=-60t+1260，
解得：t=10，
10+10=20(分)，
∴甲、乙二人在途中相遇时，甲行进的总时间为20分钟；（5分）
(2)由题意，
得：(60+m)×9+60×(9-5.5)≥930．
解得：m≥20，
∴m的最小值为20．（10分）
23.（10分）【详解】（1）如图1．∵四边形ABFD是平行四边形，∴AB=DF．∵AB=AC，∴AC=DF．
∵DE=EC，∴AE=EF．∵∠DEC=∠AEF=90°，∴△AEF是等腰直角三角形；（3分）
（2）如图2，连接EF，DF交BC于K．∵四边形ABFD是平行四边形，∴AB∥DF，
∴∠DKE=∠ABC=45°，∴∠EKF=180°﹣∠DKE=135°，EK=ED．∵∠ADE=180°﹣∠EDC=180°﹣45°=135°，
∴∠EKF=∠ADE．∵∠DKC=∠C，∴DK=DC．∵DF=AB=AC，∴KF=AD．在△EKF和△EDA中，
，∴△EKF≌△EDA（SAS），∴EF=EA，∠KEF=∠AED，∴∠FEA=∠BED=90°，∴△AEF
是等腰直角三角形，∴AF= AE．（6分）
（3）如图3，当AD=AC=AB时，四边形ABFD是菱形，设AE交CD于H，依据AD=AC，ED=EC，可得
AE垂直平分CD，而CE=2，∴EH=DH=CH= ，Rt△ACH中，AH= =3 ，
∴AE=AH+EH=4 ．（10分）24.（12分）【详解】（1）解： 中， 时， ．
即 ，
∴ ，
，
∴ ，
，
将 代入抛物线解析式得：
，
解得： ，
抛物线的解析式为 ；（3分）
（2）解：过点 作 ，过点 作 ，交 于点 ，过点 作 轴于点 ，则
， ，为等腰直角三角形， ，
∴ ，
，
，
∴ ，
，
设直线 的解析式为 ，
把点C，F的坐标代入得：
，解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
，
∴直线 的解析式为 ，
联立 ，
解得： 或 ，
．（8分）
（3）解：过点 作 轴，且 于点 于点 ，
∴ ，∴ ，
∵ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
由题意得：抛物线 解析式为： ，
设直线 ，由 ，得： ，
，
∵ ，
，
，
，
，
，
，
当 时， 恒成立，
直线 过定点 ．（12分）
