文档内容
2024 年中考第三次模拟考试（山西卷）
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．这是2024年3月某日的气温实施预测情况，则通过预测图可知，下午5时的气温和此时气温的相对差
值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了有理数减法的应用，直接根据有理数减法的运算法则进行计算即可得出答案．
【详解】 下午5时的气温是 ，此时气温为
下午5时的气温和此时气温的相对差值为
故选D．
2．国有企业是中国特色社会主义的重要物质基础和政治基础，是中国特色社会主义经济的“顶梁柱”．
下列国有企业标志中，文字上方的图案既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的概念，根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某
一点旋转 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个
图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，
这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，熟练掌握知识点是解题的关键．【详解】A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项符合题意；
D、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：C．
3．下列是一位同学在课堂小测中做的四道题，如果每道题10分，满分40分，那么他的测试成绩是（
）
（1）
（2）
（3）
（4）
A．40分 B．30分 C．20分 D．10分
【答案】B
【分析】本题考查了整式的乘除运算，熟练掌握整式的乘除运算法则是解答本题的关键，根据整式的乘除
运算法则即可逐步判断答案．
【详解】第（1）题， ，正确，得10分；
第（2）题， ，原题解答错误，得0分；
第（3）题， ，正确，得10分；
第（4）题， ，正确，得10分；
所以这位同学的测试成绩是30分．
故选B．
4．北京时间2月25日晚，2024年世界乒乓球团体锦标赛在韩国釜山落下帷幕．中国男、女队双双登顶，
分别夺取11连冠和6连冠．图①是乒乓球男团颁奖现场，图②是领奖台的示意图，则此领奖台主视图是（
）A． B．
B．C． D．
【答案】B
【分析】本题考查主视图．主视图是从几何体正面观察到的视图．
【详解】解：领奖台从正面看，是由三个长方形组成的．三个长方形，右边最低，中间最高，
故选：B．
5．随着科技发展，骑行共享单车这种“低碳”生活方式已融人人们的日常生活．如图是共享单车车架的
示意图，线段 分别为前叉、下管和立管（点 在 上）， 为后下叉．已知
， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
先利用平行线的性质可得 ，再利用角的和差关系可得 ，然后利用平行线的
性质可得 ，即可解答．
【详解】解： ，
，
，
，
，
，
故选：C．
6．提倡绿色出行，新能源汽车越来越受大家青睐．某品牌新能源汽车 店经销商统计了1月份到3月份
的销量，该品牌新能源汽车1月份销售25辆，3月份销售36辆，且从1月份到3月份销售量的月增长率相
同，该品牌新能源汽车销售量的月增长率为（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设新能源汽车销量的月平均增长率为x，根据1月份及3月份
店新能源汽车的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】解：设新能源汽车销量的月平均增长率为x，
依题意，得： ，
解得： （不合题意，舍去）．
所以，该品牌新能源汽车销售量的月增长率为 ，
故选：B．
7．物理兴趣小组在实验室研究电学时设计了一个电路，其电路图如图1所示．经测试，发现电流 随
着电阻 的变化而变化，并结合数据描点，连线，画成图2所示的函数图象．若该电路的最小电阻为
，则该电路能通过的（ ）
A．最大电流是 B．最大电流是
C．最小电流是 D．最小电流是
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数的解析式，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利
用待定系数法求出它们的关系式．可设 ，由于点 代入这个函数解析式，则可求得k的值，然后
代入 求得I的值即可．
【详解】根据电压 电流 电阻，设 ，将点 代入得 ，解得 ，
；
若该电路的最小电阻值为 ，该电路能通过的最大电流是 ，
故选A．
8．如图，某型号千斤顶的工作原理是利用四边形的不稳定性，图中的菱形 是该型号千斤顶的示意
图，保持菱形边长不变，可通过改变 的长来调节 的长．已知 的初始长为 ，如
果要使 的长达到 ， 那么 的长需要缩短（ ）
A．6 cm B．8 cm
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了菱形的性质以及勾股定理的应用，设 与 相交于点O， 与 相交于
点 ，由菱形的性质得出 ， ， ，
，利用勾股定理求出 和 ，进而求出 和 ，然后详解，即可求出答案．
【详解】解，设 与 相交于点O， 与 相交于点 ．
∵四边形 和四边形 是菱形，∴ ， ， ， ，
，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 的长需要缩短 ．
故选：D．
9．两家牛奶销售公司招聘送奶员，下面的海报显示两家公司的周薪计算方式：
甲公司
一星期内送出的前 瓶牛奶，每瓶牛奶 元，此后，每多送一瓶每瓶多 元．
乙公司
底薪 元．此外，每送出一瓶牛奶将额外有 元．
小明决定应聘当送奶员，下列正确表示两家公司的周薪计算方式的图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查函数图象的知识，解题的关键是根据题意，判断出周薪与送奶数量的关系式，即可．
【详解】由题意可知，甲公司的周薪与送奶数量是分段函数，当送奶数量小于或等于 瓶是正比例函数，
当送奶数量大于 瓶是一次函数；乙甲公司的周薪是送奶数量是一次函数．
∴选项A符合题意．
故选：A．
10．如图，量筒的液面A－C－B呈凹形，近似看成圆弧，读数时视线要与液面相切于最低点C（即弧中
点）．小温想探究仰视、俯视对读数的影响，当他俯视点C时，记录量筒上点D的高度为37mm；仰视点
C（点E，C，B在同一直线），记录量筒上点E的高度为23mm，若点D在液面圆弧所在圆上，量筒直径
为10mm，则平视点C，点C的高度为（ ）mm．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了圆周角定理，三角形中位线定理和勾股定理．作出图形，证明 是 的直径，由
垂径定理得 ，求得 的直径为14，再根据三角形中位线定理结合勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，连接 ， 交 于点 ，
∵ ，
∴ 是 的直径，由垂径定理得 ，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的直径为14，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴点F的高度即点C的高度为 ，
故选：A．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．计算 的结果是 ．
【答案】
【分析】本题考查二次根式的混合运算，利用乘法分配律计算即可．
【详解】原式，
故答案为： ．
12．如图所示，未来公园的广场背景墙上有一系列用灰砖和白砖铺成的图案，图①有1块灰砖，8块白砖；
图②有4块灰砖，12块白砖；以此类推．若某个图案中有49块灰砖，则此图案中有 块白砖．
【答案】32
【分析】本题主要考查根据图中图形的变化情况，通过归纳与总结得出变化规律的能力，先找到规律：每
一个图案均比前一个图案多4块白色瓷砖，第n个图案中，白色瓷砖的个数为 ，黑色瓷
砖块数为 块，即可求解．
【详解】解：根据图形分别得出各个图形中白色瓷砖的个数分别为8、12、16、20…，
由此可得出规律：每一个图案均比前一个图案多4块白色瓷砖，
∴第n个图案中，白色瓷砖的个数为 ，
根据图形分别得出各个图形中黑色瓷砖的个数分别为1、4、9…，
由此可得出规律：第n个图形中灰色瓷砖的块数为： 块，
∴某个图案中有49块灰砖，则该图案为第⑦个图案，即 ，
∴此图案中有白砖 （块）．
故答案为：32．
13．“中国古村看吕梁，吕梁景点甲天下”．在“我可爱的家乡”主题班会中，老师准备了A“九曲黄河第
一镇”碛口古镇，B“三晋第一名山”北武当山，C“群峰环列同卦象”的卦山，D“中国佛教净土宗”发源地
悬中寺，这四个特色古村的照片各一张，并将它们背面朝上放置（照片大小及背面完全相同）．甲同学从
中随机抽取一张不放回，乙同学再从剩下的照片中随机抽取一张，然后甲、乙根据抽取的照片对古村作相
关介绍．则两人恰好介绍“碛口古镇”和“北武当山”的概率是 ．【答案】
【分析】先统计出甲、乙抽取情况的组合数量，再统计出两人恰好介绍“碛口古镇”和“北武当山”的数
量，根据概率的公式进行计算即可．
【详解】解：总共有 四张照片，
∵甲、乙两个同学抽取的组合总共有： ； ； ； ； ； ； ； ； ；
； ，总计12种，
当甲、乙两个同学抽取的组合为 和 时，两人恰好介绍“碛口古镇”和“北武当山”，
∴两人恰好介绍“碛口古镇”和“北武当山”的概率为： ；
故答案为： ．
14．如图，已知 的面积为12，结合尺规作图痕迹所提供的条件可知， 的面积为 ．
【答案】4
【分析】由作图知M，N分别为 的中点，利用中位线定理得出 ，再利用等底
同高三角形面积相等得 ，最后利用相似比得出面积比，即可得解；
【详解】连 ，由作图知M，N分别为 的中点，
∴ ，
由等底同高三角形面积相等得又∵
∴
∴
∴
∴
∴
故答案为：4
15．如图是一张菱形纸片，点E，F分别在边 上，将纸片分别沿着 与 折叠，使D与B落在
对角线上点G处，若恰好 ，则 ．
【答案】
【分析】连接 , 设 , 根据 ，可得 的值， 再利
用 ，得 ，进而解决问题.
【详解】如图, 连接 ,设
，
，
，
，
，
，
∵四边形 是菱形,
∴ ,
即 ,
解得 ,
∴ , ,
∴ , ,
∴ ,
设 , ,
则 ,
∵ , ,
∴ ,
，即
整理得
，
化简得
则解得
，
故答案为：
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（10分）（1）计算： ；
（2）因式分解： ．
小刚的解题过程如下：
第一步
第二步
．第三步
请问小刚同学第一步变形用到的乘法公式是①__________（写出用字母a，b表示的乘法公式）；
小颖说他的步骤中有错误，并指出第②_______步出现了错误；
请用小刚的思路给出这道题的正确解法．
【答案】（1） ；（2）① ，②二，正确解法见解析
【分析】本题考查了实数的混合运算，因式分解，解题的关键是熟练掌握实数的混合运算顺序，以及因式
分解的方法和步骤．
（1）先将0次幂，算术平方根，负整数幂化简，再进行计算即可；
（2）先根据平方差公式，将第二个括号进行因式分解，再提取公因式即可．
【详解】（1）解：
；（2）解：①小刚同学第一步变形用到的乘法公式是 ，
故答案为： ；
②第二步有错，
故答案为∶二；
这道题的正确解法如下：
．
17．（7分）【调查活动】
小峰同学为了完成老师布置的社会活动作业：《A市初中生阅读水平的现状》，
随机走访了A市的甲、乙两所初中，收集到如下信息：
①甲、乙两校图书室各藏书18000册；
②甲校比乙校人均图书册数多2册；
③甲校的学生人数比乙校的人数少 ．
【交流质疑】
小峰把收集的信息和组内的同学交流后，一位同学表达了自己的看法，认为小峰同学没有收集到甲、乙两
校的“人数”和“人均图书册数”等重要信息，没法进行系统研究．
(1)【问题解决】
聪明的你有何看法？请你根据上述三个信息，就甲、乙两校的“人数”或“人均图书册数”提出一个用分
式方程解决的问题，并写出解题过程．
(2)【解后反思】
以上解题的过程，很好地诠释了方程在解决实际问题中的作用，这充分体现了什么数学思想？
【答案】(1)见解析
(2)方程思想
【分析】（1）问题：甲、乙两校的人数各是多少？设乙校的人数为x人．根据“甲校比乙校人均图书册数
多2册”可列方程，即可；问题：甲、乙两校的人均图书册数各是多少？设乙校的人均图书册数为x人．根据“甲校的学生人数比乙校的人数少 ”可列方程，即可；
（2）这充分体现了方程思想，即可．
【详解】（1）解：问题：甲、乙两校的人数各是多少？
设：乙校的人数为x人．根据题意可列方程：
解得：
经检验， 是原方程的解，且符合题意，
人 ，
答：甲、乙两校的人数各是900人、1000人．
问题：甲、乙两校的人均图书册数各是多少？
设：乙校的人均图书册数为x人．根据题意可列方程：
解得：
经检验， 是原方程得解，且符合题意，
册
答：甲、乙两校的人均图书册数各是20册、18册．
（2）解后反思：方程思想
18．（8分）为促进我区初中数学学科的发展，我区教体局拟在2023年7月组织初中数学学科命题比赛，
某教学集团在进行初赛时，按照两个环节进行．
环节一：评委分别从几何直观、推理能力、创新意识、应用意识、运算能力、模型观念这六大核心素养按
照每项100分对参赛试题进行评分，后再按权重比例100分制记入总分；
环节二：参赛教师在几何直观、创新意识、推理能力、模型观念四个素养中随机抽取两大素养对试题进行
说题，评委按照每项100分进行评分，后各占50%记入总分
评委对1号参赛试题的评分如图表①所示；10套参赛试题中“创新意识”的评分如图表②所示．
图表①
创新意 运算能
几何直观 推理能力 应用意识 模型观念
识 力
评
85 90 90 80 70 75
分(1)图表②中10个“创新意识”成绩，众数是________，中位数是________．
(2)如果几何直观、推理能力、创新意识、应用意识、运算能力、模型观念的成绩按 计算，请
根据图表①计算1号参赛试题在第一环节中的得分．
(3)张老师在环节二中，随机抽取了两大素养，请用树状图或列表法，求张老师同时抽到“推理能力”和
“模型观念”的概率．
【答案】(1)90；
(2)
(3)
【分析】本题考查了众数、中位数，列表法或画树状图求概率．
（1）根据众数和中位数的定义求解；
（2）根据图表①，利用加权平均数即可求解；
（3）画出树状图即可求解．
【详解】（1）解：由图表②知，90出现的次数最多，故众数为90；
中位数为： ；
故答案为：90； ；
（2）解： ；
答：计算1号参赛试题在第一环节中的得分为 ；
（3）解：几何直观、创新意识、推理能力、模型观念分别有1、2、3、4表示，画出的树状图如下：共有12种等可能结果，其中恰好抽到推理能力、模型观念的结果有2种，
则抽到推理能力、模型观念的概率为： ．
19. （8分）修建于清乾隆二年（1737年）的山西临县文峰塔，塔为楼阁式塔，塔基是用当地山上石头，
细凿成石块砌成，塔身为砖结构，塔八角九级，每级四个窗口，十字对开，可谓八面来风。登塔远眺，县
城风光一览无余，湫川风景尽收眼底。某综合与实践小组开展了测量文峰塔塔身的高度项目化学习活动，
活动报告如下：
项目
测量文峰塔塔身的高度
主题
活动 经历项目化活动过程，引导学生在实际情境中发现问题，并将其转化为数学问题，运用三角函数
目的 知识解决实际问题
活动
测角仪、皮尺等测工具
工具
示意
图
如图：（1）利用测角仪在塔底D处测得文峰塔顶点A的仰角为 ；
（2）利用测角仪在塔底C处测得的文峰塔顶点A的仰角为 ；
测量
（3）利用皮尺测量每个台阶的高度计算出两处台阶的高度均为2m（即点B和点C，点C和点D
步骤
的垂直距离均为2m），
利用皮尺测量每个台阶的宽度及点C和点D到台阶边缘的距离计算出点C和点D的水平距离为
18m（已知A、B、C、D、E均在同一平面内）
请运用所学知识，根据上表中的数据，计算文昌阁阁身 的高度．（结果取整数．参考数据：
）
【答案】43m
【分析】过点 作 于点 于点 ，则四边形 是矩形．设 ，则，
AG=AB+BG=x+2, AE=AG+GE=x+4
再求得 ，得到x+2≈1.54x(x-18)
解方程即可得到文峰塔塔身 的高度．【详解】解：过点 作 于点 于点 ，如图所示，则四边形 是矩形．
∴ ．
由题意，可知．BG=GE=CH=2 DH=18, ∠ADE=45°,∠ACG=57°
设 ，则AG=AB+BG=x+2, AE=AG+GE=x+4
．∵ ，
∴DE=AE=x+4，
∴． CG=HE=DE-DH=x-14
在 中，∵ ，
∴ ，即x+2~1.54x(x-14)
解得x≈43.6．
答：文峰塔塔身 的高度约为43.6m．
20．（9分）【阅读与思考】平移是初中几何变换之一，它可以将线段和角平移到一个新的位置，从而把
分散的条件集中到一起，使问题得以解决．
【问题情景】如图1，在正方形中 中，E、F、G分别是 、 、 上的点， 于点O，
求证： ．
小明尝试平移线段 到 ，构造 ≌ ，使问题得到解决．
(1)【阅读理解】按照小明的思路，证明 ≌ 的依据是_______；(2)【尝试应用】
如图2，在5×6的正方形网格中，点A、B、C、D为格点， 交 于点M．则 的度数为
_________；
(3)如图3，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A、B、C、D都在格点处， 与 相交于
点P，求 的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】对于（1），根据正方形的性质得出两组角及夹边对应相等，即可得出答案；
对于（2），平移 至 ，根据勾股定理可得 是直角三角形，进而求出 ，根据平行线的性质
得出答案；
对于（3），平移 至 ，根据勾股定理可知 是直角三角形，即可得出 ，再根据平行线
的性质得出答案．
【详解】（1）∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
∴ ．
∵ ，且 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ≌ ．
故答案为： ；
（2）将 平移至 ，
设正方形的边长为1，根据勾股定理可知 ， ，
，
∴ ，且 ，
∴ 是直角三角形，且 ，∴ ．
∵ ，
∴ ．
故答案为： ；
（3）将 平移至 ，
设正方形的边长为1，根据勾股定理，得 ， ， ，
∴ ， ， ，
∴ 是直角三角形，且 ，
则 ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
21.（8分）项目化学习
为提高学生的劳动技能和实践水平，某学校经过多方努力，准备用 栅栏围建一块 的劳动实践基
地，并向全校发布了基地设计方案征集公告．为此，九年级（1）班开展了“我为创建劳动实践基地建言
献策”的项目化学习．在进行“任务一：规划实践基地形状”时，“智慧小组”欲将基地设计为矩形，以便分割区域进行种植．这样的设计合理吗？也就是，是否存在满足学校所给条件的矩形呢？该小组的同学
们积极思索，想到了如下解决方法：
【问题解决】
慧慧的思路是：利用一元二次方程解决．假设存在这样的矩形，设矩形的其中一条边长为 ，根据题意，
可得到一个一元二次方程，通过判断方程是否有解即可确定是否存在这样的矩形．
敏敏的思路是：利用函数图象解决．假设存在这样的矩形，设矩形相邻两边长分别为 ， ，可得
， ，满足要求的 可以看作是反比例函数 的图象与一次函数 的图
象在第一象限内的交点坐标．于是，可以通过看函数图象中是否有这样的交点确定矩形的存在性．
(1)请你分别按照以上两位同学的思路解决问题：是否存在满足学校所给条件的矩形？
(2)在解决问题（1）的过程中，你获得什么启示？（写出一点即可）
【答案】(1)存在，见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查一元二次方程以及函数的图像性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）根据两种思路分别计算即可；
（2）根据题意进行总结即可．
【详解】（1）解：假设存在这样的矩形，且相邻两边的长分别为 和 ，
根据题意，可得 ，
化简，得 ．
在这里 ， ， ，
．原方程有实数根．
存在满足学校所给条件的矩形．
解法二．假设存在这样的矩形，其相邻两边长分别为 ， ，则 ， ，
在同一直角坐标系中 ， 的图象如下：
因为两个函数图象有交点，所以存在满足学校所给条件的矩形．
（2）解：答案不唯一，如：方程和函数是解决实际问题常用的数学模型；数形结合是解决数学问题的一
种常用思想方法；方程和函数之间有着密切的联系等．
22．（12分）综合与实践
【问题情境】
综合与实践课上，老师发给每位同学一张正方形纸片 ．在老师的引导下，同学们在边 上取中点
E，取 边上任意一点F（不与C，D重合），连接 ，将 沿 折叠，点C的对应点为G，然后
将纸片展平，连接 并延长交 所在的直线于点N，连接 ．探究点F在位置改变过程中出现的
特殊数量关系或位置关系．
【探究与证明】
（1）如图1，小亮发现： ．请证明小亮发现的结论．
（2）如图2、图3，小莹发现：连接 并延长交 所在的直线于点H，交 于点M，线段 与 之
间存在特殊关系．请写出小莹发现的特殊关系，并从图2、图3中选择一种情况进行证明．【应用拓展】
（3）在图2、图3的基础上，小博士进一步思考发现：将 所在直线与 所在直线的交点记为P，若给
出 和 的长，则可以求出 的长．
请根据题意分别在图2、图3上补画图形，并尝试解决：当 时，求 的长．
【答案】（1）见详解；（2） ；（3） 或
【分析】（1）利用 证明 得 ，可得 ，即
可求证；
（2）由折叠得对称轴垂直平分对应点连线段，所以 ，继而可知 ，再由
，E为 中点，即可求证；
（3）第一种情况，当点P在点H左侧，先由勾股定理求得 ，然后由
求得 ，最后由“母子型”证明出 ，再由等角的正切值相等即可求解；第二种
情况，当点P在点H右侧，求解方法仿照第一种情况即可．
【详解】（1）证明：∵正方形
∴ ，
∵将 沿 折叠，
∴ ，
∵E为 中点，
∴ ，
∴ ，
在 和 中
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．（2） ，选择图2进行证明．
将 沿 折叠，
则 ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，而E为 中点，
∴ ，
∴ ．
（3）第一种情况，当点P在点H左侧，如图2，
∵ ，E为 中点，
∴ ，而
∴在 中， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ ；
第二种情况，当点P在点H右侧，如图3，
同理可求 ，此时 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
同理可得 ，
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ ．
综上所述， 或 ．
23．（13分）综合与探究：如图1，一次函数 的图象分别与 轴， 轴交于 ， 两点，二次函数 的图
象过 ， 两点，且与 轴交于另一点 ．
（1）求二次函数的解析式；
（2）点 是二次函数图象的一个动点，设点 的横坐标为 ，若 ．求 的值；
（3）如图2，过点 作 轴交抛物线于点 ．点 是直线 上一动点，在坐标平面内是否存在点
，使得以点 ， ， ， 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点 的坐标：若不存在，请
说明理由．
【答案】（1）二次函数的解析式为 ；（2）m的值为 或 ；（3）点N的坐标为
( ， )或( ， )或( ， )．
【分析】（1）先求得点B、C的坐标，利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；
（2）先求得 ，∠ABP ，设直线BP交 轴于E，利用待定系数法求得直线BE的解析式，
解方程组即可求解；
（3）根据菱形的性质，分①当CN为对角线、②DN为对角线、③CD为对角线三种情况讨论，根据图形
分别求解即可．
【详解】（1）∵一次函数 的图象分别与x轴，y轴交于B，C两点，
令 ，则 ，令 ，则 ，∴B(4，0)，C (0， )，
把B(4，0)，C (0， )代入 ，
∴ ，解得： ，
∴二次函数的解析式为 ；
（2）∵B(4，0)，C (0， )，
∴OB=4，OC= ，
∴ ，∴ ，
若∠ABC=2∠ABP，则∠ABP ，
设直线BP交 轴于E，
,
∴OE= ，
∴E(0， )或E (0， )，
1 2设直线BE 的解析式为 ，
1
∵B(4，0)，
∴ ，
∴直线BE 的解析式为 ，
1
解方程 ，
整理得 ，
∴ ，即m的值为 ；
同理可求得直线BE 的解析式为 ，
2
解方程 ，
整理得 ，
∴ ，即m的值为 ；
综上，m的值为 或 ；
（3）由（2）知 ，
∵CD//x轴，
∴ ，即 ，
抛物线 的对称轴为 ，
∴CD=2，
设点M的坐标为( ， )，如图：①当CD、CM为边，CN为对角线时，
则CD=CM=2， MDC是等边三角形，
∴点M在线段C△D的垂直平分线上，
∴ ，
∴点M的坐标为( ， )，
∴点N 的坐标为( ， )；
1
②当CD、DM为边，DN为对角线时，
同理可得点N 的坐标为( ， )；
2
③当CD为对角线时，
根据菱形的对称性知：点M与点N关于对角线CD对称，
∴点N 的坐标为( ， )；
3
综上，点N的坐标为( ， )或( ， )或( ， )．
