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2024 年中考第三次模拟考试（广州卷）
数学·全解全析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求的）
1．下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A． 与2 B．2与 C．3与 D．0与3
【答案】A
【分析】根据相反数的定义求解：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0；
【详解】解：根据定义， 与2互相反数；
故选：A
【点睛】本题考查相反数的定义，理解相反数的定义是解题的关键．
2．如图，这是某几何体的三视图，则这个几何体是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了由三视图判断几何体的知识．认真观察三视图结合选项确定正确的答案即可．
【详解】解：结合三视图发现：该几何体为长方体和长方体的结合体，
故选：D．
3．已知反比例函数 的图象在第二、四象限，则k的值可以是（ ）
A．2 B． C． D．0【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数图象的性质，根据反比例函数 的图象在第二、四象限得出 ，从
而可得出答案．
【详解】解：∵反比例函数 的图象在第二、四象限，
∴ ，
故选：C．
4．下列运算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据同底数幂的乘法判断A选项； 根据完全平方公式判断B选项；根据合并同类项判断C选项；
根据积的乘方和幂的乘方判断D选项．
【详解】解：A选项， ，故该选项不符合题意；
B选项， ，故该选项不符合题意；
C选项， ，故该选项不符合题意；
D选项， ，故该选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，完全平方公式，积的乘方与幂的乘方，掌握公式是解题的关键．
5．一组数据：3，4，4，4，5，下列对这组数据的统计量说法错误的是（ ）
A．平均数是4 B．中位数是4 C．方差是4 D．众数是4
【答案】C
【分析】分别求解平均数、中位数、方差和众数，然后进行判断即可．
【详解】解：由题意得，平均数为： ，正确，故不符合要求；
中位数为：4，正确，故不符合要求；
方差为： ，错误，故符合要求；
众数为：4，正确，故不符合要求；故选：C．
【点睛】本题考查了平均数、中位数、方差和众数．解题的关键在于正确运算．
6．解不等式组 时，不等式①②的解集在同一条数轴上表示正确是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】分别求出两个不等式的解集，然后根据在数轴上表示解集的方法判断即可．
【详解】解：解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
不等式①②的解集在同一条数轴上表示为：
故选：B．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式解集，把每个不等式的解集在数轴上表示
出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，
“＞”要用空心圆点表示．
7．如图所示，在距离铁轨 的B处，观察由南京开往上海的“和谐号”动车，当动车车头在A处时，
恰好位于B处的北偏东 方向上， 后，动车车头到达C处，恰好位于B处的西北方向上，则这列动车
的平均车速是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】过点B作 于点M，利用垂直的定义可证得 ，利用已知条件可知，可得到 的长；再利用勾股定理求出 的长，然后根据
，代入计算求出 的长，即可求出这列动车的平均车速．
【详解】解：过点B作 于点M，
∴ ，
∵当动车车头在A处时，恰好位于B处的北偏东 方向上， 后，动车车头到达C处，恰好位于B处的
西北方向上，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴这列动车的平均车速为 ．
故答案为：A．
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等腰直
角三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理是解题的关键．
8．为响应“绿色出行”的号召，小李上班由自驾车改为乘坐公交车．已知小李家距上班地点20km，他乘
公交车平均每小时行驶的路程比他自驾车平均每小时行驶的路程少12km．他从家出发到上班地点，乘公
交车所用的时间是自驾车所用时间的 ，小李乘公交车上班平均每小时行驶（ ）
A．30km B．36km C．40km D．46km
【答案】B
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，解题的关键在于根据时间关系列出方程．设小李乘公交车上班平均每小时行驶 ，则他自驾车平均每小时行驶 ，根据乘公交车所用的
时间是自驾车所用时间的 列出方程，解方程即可．
【详解】解：设小李乘公交车上班平均每小时行驶 ，则他自驾车平均每小时行驶的路程 ，
根据题意列方程，
，
解得： ，
经检验， 是原方程的解，
∴小李乘公交车上班平均每小时行驶36km
故选：B．
9．如图，P为 外一点， 、 分别切 于点A、B， 切 于点E，分别交 、 于点C、
D，若 ，则 的周长为（ ）
A．8 B．6 C．12 D．10
【答案】C
【分析】本题考查切线长定理．根据切线长定理，得到 ，进而得到 的周
长为 ，即可．
【详解】解：由切线长定理，可知： ，
∴ 的周长 ；
故选C．
10．已知方程x2- x+2m=0有两个实数根，则 的化简结果是（ ）
A．m-1 B．m+1 C．1-m D．±（m-1）
【答案】C
【分析】关于x的方程x2- x+2m=0有两个实数根，即判别式 =b2-4ac≥0．即可得到关于m的不等式，
△从而求得m的范围，代入 即可得到结果．
【详解】解：∵x2- x+2m=0有两个实数根，
∴ =b2-4ac=8－8m≥0
∴△m≤1，
∴ =|m-1|=1-m，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的化简，一元二次方程根的情况与判别式 的关系：（1） ＞0 方程有两
个不相等的实数根；（2） =0 方程有两个相等的实数根（3） ＜0 △方程没有实数根．△ ⇔
△ ⇔ 第二部分 非选择题（共90△分）⇔
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．“北斗系统”是我国自主建设运行的全球卫星导航系统，国内多个导航地图采用北斗优先定位．目前，
北斗定位服务日均使用量已超过3600亿次．3600亿用科学记数法表示为 ．
【答案】
【分析】科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，n为整数．确定n的值时，要看把原
数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：3600亿 ，用科学记数法表示为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，
n为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键．
12．已知抛物线 经过点 和 ，则 （填“ ”“ ”或“ ”）．
【答案】
【分析】分别把 和 代入 ，求出 ， ，即可求解．
【详解】解：当 时， ，
当 时， ，∴ ．
故答案为：
【点睛】本题考查二次函数的图象上点的特点；能够用代入法求二次函数点的坐标是解题的关键．
13．如图是根据中国女子代表团在第30届奥运会上获得的奖牌情况绘制的扇形统计图，共计获得奖牌50
枚，图中金牌对应扇形的圆心角的度数是 ．
【答案】 或 度
【分析】本题主要考查了求扇形统计图中对应项目的圆心角度数，用360度乘以金牌所在的扇形的占比即
可得到答案．
【详解】解：
，
∴金牌对应扇形的圆心角的度数是 ．
故答案为：
14．四边形 是正方形，E，F分别是 和 的延长线上的点，且 ，连接 ， ， ．
若 ， ，则 的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质及勾股定理，解决本题的关键是证明
，得到 ， ．
【详解】解：四边形 是正方形， ，
∴ ， ，又∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
在 中， ， ，
∴ ，
∴ 的面积 ．
故答案为： ．
15．如图， 中， ，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交 于
点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于点E，作射线 交 于点
D，则线段 的长为 ．
【答案】
【分析】利用角平分线的性质构造辅助线，将 的面积分解成 的面积和 面积和，转化成
以 为未知数的方程求出 ．
【详解】如图：过点 作 于点 ，
，
由题意得： 平分 ，
，，
，
，
，
，
；
故答案为： ．
【点睛】本题考查了勾股定理、角平分线的性质、直角三角形面积，重点掌握勾股定理的运用，直角三角
形的面积转换是解题的关键．
16．如图，四边形 中，点 、 分别为 、 的中点，延长 交 延长线于点 ，交 延
长线于点 ，若 与 互余， ， ，则 的长为 ．
【答案】
【分析】连接 ，取 中点为M，连接 ，根据三角形的中位线定理和勾股定理解答即可．
【详解】解：连接 ，取 中点为M，连接 ，∵点 、 分别为 、 的中点，M为 中点，
∴ 别为 的中位线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴. 与 互余，
∴ ，
∴ ，
∴ 为直角三角形，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】此题考查了三角形中位线定理，勾股定理，关键是根据三角形中位线定理和直角三角形的判定解
答．
三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分4分）
解方程： ．
【答案】 ， ．
【分析】此题考查了解一元二次方程 因式分解法．方程左边利用平方差公式分解因式后，利用两数相乘
积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
【详解】解：方程变形得： ，
即 ，
解得： ， ．
18．（本小题满分4分）
如图，在 中，D是AB的中点，过点D作 ，且 ，连接AE、CD．求证： ．【答案】见解析
【分析】根据平行线的性质得出 ，根据中点的性质得出 ，然后结合已知条件证明
，根据全等三角形的性质得出 ，根据平行线的判定定理即可得证．
【详解】证明： 是 的中点，
．
，
∴∠ADE=∠DBC
在∆ADE和 中，
，
．
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解
题的关键．
19．（本小题满分6分）
2023年9月23日晚，第19届亚运会开幕式在浙江杭州隆重举行．如图是小明收集的本届亚运会的四枚纪
念徽章（其中会徽徽章用A表示，宸宸、琼琼、莲莲三个吉祥物徽章分别用B，C，D表示），小明从这四
枚徽章中随机抽取两枚．请利用画树状图或列表的方法，求抽到的两枚徽章中有一枚是会徽徽章的概率．【答案】 ，画图见解析
【分析】本题考查用树状图或列表法求概率．根据题意用列表法将情况一一列举出，即可求得本题答案．
【详解】解：∵小明从这四枚徽章中随机抽取两枚，
∴用列表法如下图所示：
，
设：抽到的两枚徵意中有一枚是会徽徽章为事件 ，
根据上方列表可知，共有12种情况，其中有6种符合情况，
∴ ．
20．（本小题满分6分）
已知，△ABC在平面直角坐标系内，顶点坐标分别为A（0，4）、B（﹣3，5）、C（﹣2，3），正方形网
格中每个小正方形的边长是一个单位长度．
(1)画出△ABC向下平移4个单位长度后得到的△ABC ．
1 1 1
(2)画出△ABC 绕点A 顺时针旋转90°后得到的△ABC ，点B 的坐标为 ．
1 1 1 1 1 2 2 2
(3)求点C 绕点A 旋转到C 所经过的路径长为 ．
1 1 2
【答案】(1)见解析(2)图见解析，（1，3）
(3) π
【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A，B，C 即可．
1 1 1
（2）根据点B 的位置写出坐标即可．
2
（3）利用弧长公式计算即可．
【详解】（1）如图，△ABC 即为所求作．
1 1 1
（2）如图，△ABC 即为所求作，点B 的坐标为（1，3）．
1 2 2 2
故答案为：（1，3）．
（3）点C 绕点A 旋转到C 所经过的路径长＝ ＝ π，
1 1 2
故答案为： π．
【点睛】本题考查作图-旋转变换，平移变换，弧长公式等知识，理解题意，灵活运用所学知识是解题的关
键．
21．（本小题满分8分）
常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只用上述方法就无法分解，如
．通过观察，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公
式进行分解：
，这种分解因式的方法叫分组分
解法．利用分组分解法分解因式：（1） ；
（2） ．
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）将原式前三项利用完全平方公式因式分解，然后与第四项结合，利用平方差公式进行因式
分解；
（2）将将原式通过移项添括号变形为 ，然后先利用完全平方公式再利
用平方差公式进行因式分解即可．
【详解】解：
=
=
=
（2）
=
=
=
=
【点睛】本题考查利用公式法进行因式分解，掌握完全平方公式和平方差公式的结构巧妙进行因式分解是
解题关键．
22．（本小题满分10分）
学校为保护学生视力，课桌椅的高度都是按一定的关系配套设计的，研究表明：假设课桌的高度 是椅子的高度 的一次函数，表中列出了两套符合条件的课桌椅的高度：
第一
第二套
套
椅子的高度
桌子高度
(1)请确定 与 的函数关系式；
(2)现有一把高 的椅子和一张高为 的课桌，它们是否配套？为什么？
【答案】(1)
(2)配套，理由见解析
【分析】本题考查了一次函数的实际应用，掌握待定系数法求解一次函数的解析式是解题关键．
（1）设 与 的函数关系式为： ，将点 代入即可求解；
（2）令 ，计算出函数值，即可判断．
【详解】（1）解：设 与 的函数关系式为： ，
将点 代入得：
，
解得：
∴ 与 的函数关系式为：
（2）解：配套，理由如下：
当 时，
∴一把高 的椅子和一张高为 的课桌是配套的
23．（本小题满分10分）
如图，已知正方形 ，点E在边 上，连接 ．(1)利用尺规在 上求作一点F，使得 ．（不写作法，保留作图痕迹）
(2)若 ，求 的长．
【答案】(1)作图见解析
(2)
【分析】（1）只需要过点D作 于F即可；
（2）根据相似三角形的性质求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，点F即为所求；
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了尺规作图—作垂线，正方形的性质，相似三角形的性质与判定，熟知相似三角形
的性质与判定条件是解题的关键．
24．（本小题满分12分）
如图，直线 与双曲线 交于A， 两点，点A的坐标为 ，点 是双曲线第一象限分支上的一点，连结 并延长交 轴于点 ，且 ．
(1)求 的值，并直接写出点 的坐标；
(2)点 是 轴上的动点，连结 ， ，求 的最小值和点 坐标；
(3) 是坐标轴上的点， 是平面内一点，是否存在点 ， ，使得四边形 是矩形？若存在，请求出
所有符合条件的点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
5
(2) ，G（0， ）
2
(3)存在，点P的坐标为 或
【分析】（1）将 代入直线解析式，可求出m，即可求出答案；
(2)如图1，作 轴于点E， 轴于点F，则 ， ，利用相似三角形性质
即可求得 ，作点B关于y轴的对称点 ，连接 交y轴于点G，则 即为 的最小值，
运用勾股定理即可求得答案；
(3) 分两种情况讨论：P在x轴上，P在y轴上，利用相似进行求解即可．
【详解】（1）解：将点A的坐标为 代入直线 中，
得 ，
解得： ，∴ ，
∴ ，
∴反比例函数解析式为 ，
由 ，
解得 或 ，
∴点B的坐标为 ；
（2）解：如图，作 轴于点E， 轴于点F，则 ，
，
∴ ，
∴ ，
，
∴ ，
，
，
，
∴ ，作点B关于y轴的对称点 ，连接 交y轴于点G，则 即为 的最小值，
∵B，(-2, 3)，C(6,1)
∴B,C=√(-2-6) 2+(3-1) 2=2√17，
∴BG+CG=B,C=2√17，
设 的解析式为 ，
∵B，(-2, 3)，C(6,1),
∴ ，
解得： ，
解析式为 ，
当 时， ，
5
G（0， ）；
2
（3）解：存在．理由如下：
当点P在x轴上时，如图，
设点 的坐标为 ，过点B作 轴于点M，
四边形 是矩形，
∴∠OBP =900，
1∵∠OMB=∠OBP =900，∠BOM=∠POB,
1 1
∴ ，
∴ ，
，
， ，
∴ ，
，
经检验符合题意，
∴点 的坐标为 ；
当点P在y轴上时，过点B作 轴于点N，如图2，
设点 的坐标为 ，
四边形 是矩形，
∴∠OBP =900，
2
∵∠ONB=∠PBO=900,,， ，
2
∴ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，经检验符合题意，
∴点 的坐标为 ，
综上所述，点P的坐标为 或 ．
【点睛】本题是一次函数与反比例函数的综合题，主要考查了待定系数法，轴对称性质，线段和的最小值
问题，矩形性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是能利用轴对称解决线段和的最小值问题，能用
分类讨论的思想解决问题．
25．（本小题满分12分）
有公共顶点A的正方形 与正方形 按如图1所示放置，点E，F分别在边 和 上，连接
，点M是 的中点，连接 交 于点N．
(1)【观察猜想】线段 与 之间的数量关系是 ，位置关系是 ；
(2)【探究证明】将图1中的正方形 绕点A顺时针旋转 ，线段 与 之间的数量关
系和位置关系是否仍然成立？并说明理由．
(3)若正方形 的边长为m，将其沿 翻折，点D的对应点G恰好落在 边上， 有最小值
吗？有的话求出最小值，没有的话请说明理由．
【答案】(1) ，
(2)成立，理由见解析
(3)
【分析】（1）由正方形的四条边都相等、四个角都是直角，证明 ，得到 ，
，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证明 ，再通过导角得
，则 ，证得 ， ；（2）线段 与 之间的关系仍然成立，延长 到点 ，使 ，连接 ，则 ，
证明 ， ，类比（1）中所用的方法可证得结论；
（3）延长 到点 ，使 ，连接 交 于点 ，连接 、 ，将 转化为
，可求出 的最小值．
【详解】（1）如图1， 交 于点 ，
四边形 和四边形 都是正方形，
， ， ，
，
， ，
是 的中点，
，
，
；
，
，
，
，
，
，
，
故答案为： ， ；
（2）成立，理由如下：
如图2，延长 到点 ，使 ，连接 ，则 ，， ，
，
， ，
，
， ，
，
，
同理 ，
，
，
，
，
， ，
，
，
．
（3）如图3，延长 到点 ，使 ，连接 交 于点 ，连接 、 ，，
，
垂直平分 ，
，
由翻折得 ， ，
，
，
，
，
，
，
当点 与点 重合时， ，此时 的值最小，
的值也最小，
， ， ，
，
的最小值为 ，
故答案为： ．【点睛】此题重点考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一
半、旋转的性质、轴对称的性质、勾股定理等知识，解题的关键是作辅助线构造全等三角形、直角三角形．
