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2024 年中考第二次模拟考试（广州卷）
数学·全解全析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选
项中，只有一项符合题目要求的）
1．若一个数与它的相反数在数轴上对应的点之间的距离为4，则这个数是（ ）
A．-2 B．0 C．±2 D．±4
【答案】C
【分析】根据相反数的性质，结合数轴确定出所求即可．
【详解】解：若一个数与它的相反数在数轴上对应点之间的距离为4，
则这个数是±2，
故选：C．
【点睛】此题考查了数轴，以及相反数，熟练掌握相反数的性质是解本题的关键．
2．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的
图形进行解答即可．【详解】解：根据主视图和左视图为矩形可判断出该几何体是柱体，
根据俯视图是两个矩形可判断出该几何体为
．
故选：D．
【点睛】本题考查由三视图想象立体图形．做这类题时要借助三种视图表示物体的特
点，从主视图上弄清物体的上下和左右形状；从俯视图上弄清物体的左右和前后形状；
从左视图上弄清楚物体的上下和前后形状，综合分析，合理猜想，结合生活经验描绘
出草图后，再检验是否符合题意．
3．如图， 内接于⊙O， ，则 的度数为（ ）
A． B． C．75° D．120°
【答案】B
【分析】本题考查了圆周角定理，直接利用圆周角定理即可得出答案．
【详解】解：∵弧 对的圆心角是 ，对的圆周角是 ，
∴ ，
∴ ．
故选：B．
4．下列运算结果正确的是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】依次根据合并同类项，同底数幂的乘法（ ），单项式乘单项式，
2
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！幂的乘方公式（ ）对各选项判断即可．
【详解】A． 与 不是同类项不能合并，故该选项错误；
B． ，故该选项错误；
C． ，故该选项错误；
D． ，故该选项正确．
故选：D．
【点睛】本题考查合并同类项、幂的相关计算和单项式乘单项式．解题的关键是掌握
幂的乘方、合并同类项法则、同底数幂的乘法及单项式乘单项式的运算法则．
5．一个不等式组 ，那么它的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先求出每个不等式的解集，后把解集表示到数轴上即可．
【详解】解： ，
解不等式①，得： ，
解不等式②，得： ，
∴该不等式组的解集为 ，
其解集在数轴上表示如下：
故选：B．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，解集的数轴表示，熟练求得不等式组
的解集是解题的关键．6．如果当 时，反比例函数 的函数值随x的增大而增大，那么一次函
数 的图象经过（ ）
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数的图象性质： 与y轴交于 ，当 时，
在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当 时， 在y轴的负半轴，
直线与y轴交于负半轴．① 的图象在一、二、三象限；②
的图象在一、三、四象限；③ 的图象在
一、二、四象限；④ 的图象在二、三、四象限．反比例函数的
图象性质，反比例函数 的图象是双曲线，当 ，双曲线的两支分别位
于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当 ，双曲线的两支分别
位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．由反比例函数的性质可判
断k的符号，再根据一次函数的性质即可判断一次函数的图象经过的象限．
【详解】解：由题意得： ，
， ，
∴一次函数 的图象经过第一、二、四象限，
故选：B．
7．某班进行演讲比赛，其中6人的成绩如下： ， ， ， ， ， （单位：
分），则下列说法不正确的是（ ）
A．这组数据的众数是 分 B．这组数据的方差是
C．这组数据的平均数是 分 D．这组数据的中位数是 分
【答案】D
4
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！【分析】根据平均数、众数、中位数和方差的定义分别计算即可．
【详解】解：这组数据从大到小排列为 ， ， ， ， ， ，
分出现次数最多，则这组数据的众数是 分，故A选项正确，不符合题意；
处于中间的两个数是 ， ，则这组数据的中位数是 分，故D选项错误，符合
题意；
这组数据的平均数为 ，故C选项正确，不符合题意；
方差为
，故B选项正确，不符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查方差，解题的关键是掌握平均数、众数、中位数和方差的定义．
8．如图，在坡角为30°的斜坡上要栽两棵树，要求它们之间的水平距离 为 ，则
这两棵树之间的坡面 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】 是 的斜边，这个直角三角形中，已知一边和一锐角，满足解直
角三角形的条件，可求出 的长．
【详解】解：如图， ， ， m，
∴AB=2BC，
∴ ，即 ，
解得： m，
∴ m，
故选：C．
【点睛】本题考查了坡度坡角问题，直角三角形的性质，勾股定理．应用问题尽管题型千变万化，但关键是设法化归为解直角三角形问题，必要时应添加辅助线，构造出
直角三角形．
9．课本习题：“A，B两种机器人都被用来搬运化工原料，A型机器人比B型机器人
每小时多搬运30kg，A型机器人搬运900kg所用时间与B型机器人搬运600kg所用时
间相等，两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？”下列四位同学列方程正确的是
（ ）
①设A型机器人每小时搬运xkg化工原料，则：
甲列的方程为： ；乙列的方程为：
②设A型机器人搬运900kg化工原料需要x小时，则：
丙列的方程为： ；丁列的方程为：
A．甲、丙 B．甲、丁 C．乙、丙 D．乙、丁
【答案】D
【分析】分别从不同角度设未知数列出方程进行判断即可．
【详解】解：设A型机器人每小时搬运xkg化工原料，则B型机器人每小时搬运
(x-30)kg化工原料,
则
故乙正确；
设A型机器人搬运900kg化工原料需要x小时，
则
故丁正确．
故选：D．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解题关键是合理设元，找到等量关系
列出方程．
10．已知关于x的方程 有实数根，则k的取值范围为
（ ）
A． B． 且 C． 且 D．
【答案】D
6
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！【分析】根据已知分1-2k=0和1-2k≠0分别讨论求出k的取值范围，再结合即可．
【详解】解：∵关于x的方程 有实数根，
若1-2k=0，则k= ，方程为 ，
此时方程有解，
∴k= ；
若1-2k≠0，则 ≥0，k+1≥0，
分别解得：k≠ ，k≤2，k≥-1，
则k的取值范围是：-1≤k≤2，且k≠ ，
综上：-1≤k≤2.
故选：D．
【点睛】本题考查了根的判别式的应用，能根据题意分1-2k=0和1-2k≠0分别讨论求出
k的取值范围，当1-2k≠0时还需要满足 ≥0，k+1≥0．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．5月5日，记者从襄阳市文化和旅游局获悉，五一长假期间，我市41家 级景区
全部开放，共接待游客约2270000人次．数据2270000用科学记数法表示为 ．
【答案】
【分析】科学记数法的表现形式为 的形式，其中 ， 为整数，确定
的值时，要看把原数变成 时，小数点移动了多少位， 的绝对值与小数点移动的位
数相同，当原数绝对值大于等于10时， 是正整数，当原数绝对值小于1时， 是负
整数．
【详解】解：2270000用科学记数法表示为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了科学记数法—表示较大的数，科学记数法的表现形式为 的
形式，其中 ， 为整数，表示时关键是要正确确定 的值以及 的值．
12．若二次函数 的图像经过点 ， ，则 （选填：﹥，﹤，=）
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的对称轴和开口方向，判
断所给点到对称轴的距离大小即可求解．
【详解】解：∵二次函数 的对称轴为直线 ，且图象开口向上，
又 ， ， ，
∴
故答案为：
13．明德华兴中学自2021年下学期恢复高中办学后，街舞社按四个年级分 、 、 、
四个学习小组，小明同学根据各小组的成员人数绘制了条形统计图（1），小华同学
绘制了扇形统计图（2），其中 ．
【答案】72
【分析】用360°乘以D组的人数和总人数得出D组所占的百分比即可得出答案．
【详解】解：四个小组的总人数为：4+8+12+6=30（人），
D组的人数在扇形统计图中所对应的圆心角的度数为：
，
∴m=72，
故答案为：72．
【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题意是解
题的关键．
14．若正方形的面积为36，则该正方形的对角线长为 ．
【答案】
8
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！【分析】根据正方形面积公式，求出边长，再根据勾股定理即可求解．
【详解】解：∵正方形的面积为36，
∴正方形的边长为 ，
∴该正方形的对角线长为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握正方形四条边
相等．
15．如图,已知 分别是 和 的平分线，连接 ， ,
．
【答案】 /44度
【分析】过点 作 ，交 的延长线于点 ，过点 作 于点 ，过
点 作 ，交 的延长线于点 ，根据角平分线的判定和性质可得
， ，从而得到 ，再由角平分线的性质
和三角形外角的定义可得 ，进行计算即可得到答
案．
【详解】解：如图，过点 作 ，交 的延长线于点 ，过点 作
于点 ，过点 作 ，交 的延长线于点 ，
分别是 和 的平分线， ， ， ，
，
， ，
平分 ，，
，
，
分别是 和 的平分线，
， ，
，
，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了角平分线的判定与性质，三角形外角的定义及性质，熟练掌
握角平分线的判定与性质，三角形外角的定义及性质，添加适当的辅助线是解题的关
键．
16．如图，在Rt△ABC中∠BAC＝90°，点D和点E分别是AB，AC的中点，点F和
点G分别在BA和CA的延长线上，若BC＝10，GF＝6，EF＝4，则GD的长为 ．
【答案】
【分析】先利用三角形的中位线的性质求得线段 ，然后在 ，
， ， 中分别利用勾股定理即可求解．
【详解】解：∵点D和点E分别是AB，AC的中点，BC＝10，
∴ ，
∵Rt△ABC中∠BAC＝90°，
∴ ， ， ， 都是直角三角形，
10
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！∵GF＝6，EF＝4，
∴由勾股定理得， ①，
②，
③，
∴ ，得 ，
∵在 中， ，
∴ ，
解得 或 （不合题意，舍去）
故答案为：
【点睛】本题考查了三角形的中位线的性质及勾股定理的应用，此处勾股定理的灵活
运算是解题的关键．
三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步
骤）
17．（本小题满分4分）
解方程： ．
【答案】
【分析】运用因式分解法求解即可．
【详解】解：移项得： ，
因式分解得： ，
∴ 或 ，
解得： ．
【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解法解一元二次方程的一
般步骤是解题的关键．
18．（本小题满分4分）
如图，点 在线段 上， ， ， ．求证： ．【答案】见解析
【分析】首先根据平行线的性质得到 ，然后证明出 ，
最后根据全等三角形的性质求解即可．
【详解】证明：∵ ，
∴ ，
∴在 和 中，
，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查的知识点是全等三角形的性质和判定，解题的关键是熟练的掌握全
等三角形的判定．
19．（本小题满分6分）
如图， 在平面直角坐标系中，其中点 ，点 ，点 ．
12
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！(1)将 向右平移4个单位得到 ，在图中画出 ，并写出点 的坐标；
(2)求 的面积．
【答案】(1)见解析，
(2)
【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出 ， ， 的对应点 ， ， 并顺次
连接即可得到 ，根据点 在坐标系中的位置即可写出坐标；
（2）把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可．
【详解】（1）如图所示， 为所求，（2）
【点睛】本题考查作图 平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握平移变
换的性质学会用割补法求三角形的面积．
20．（本小题满分6分）
已知三个整式 ， ， ．
(1)从中选出两个进行加法运算，使所得整式可以因式分解，并进行因式分解；
(2)从中选出两个分别作为分式的分子与分母，要求这个分式不是最简分式，并对这个
分式进行约分．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）先找出两个整式的和，再看看能否分解因式即可；（2）先找出两个整
式分别作为分式的分子与分母，再看看能否约分即可
14
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！【详解】（1）解：
或 ；
（2）解： 或 ．
【点睛】本题考查了最简分式，因式分解，约分等知识点，能熟记完全平方公式和能
正确约分是解此题的关键．
21．（本小题满分8分）
小明和小亮是一对双胞胎，他们的爸爸买了两套不同品牌的运动服送给他们，小明和
小亮都想先挑选．于是小明设计了如下游戏来决定谁先挑选．游戏规则是：在一个不
透明的袋子里装有除数字以外其它均相同的4个小球，上面分别标有数字1，2，3，
4．一人先从袋中随机摸出一个小球，另一人再从袋中剩下的3个小球中随机摸出一个
小球．若摸出的两个小球上的数字和为奇数，则小明先挑选；否则小亮先挑选．
(1)用树状图或列表法求出小明先挑选的概率；
(2)你认为这个游戏公平吗？请说明理由．
【答案】(1)见解析， ；
(2)不公平，见解析
【分析】（1）用列表法表示所有可能出现的结果，进而求出相应的概率即可；
（2）求出小明、小亮获胜的概率即可．
【详解】（1）解：根据题意可列表或树状图如下：
第一次
1 2 3 4
第二次
1 (1，2) (1，3) (1，4)
2 (2，1) (2，3) (2，4)
3 (3，1) (3，2) (3，4)
4 (4，1) (4，2) (4，3)
从表可以看出所有可能结果共有12种，且每种结果发生的可能性相同，符合条件的结
果有8种，
∴P（和为奇数） ；（2）解：不公平．
∵小明先挑选的概率是 （和为奇数） ，小亮先挑选的概率是 （和为偶数） ，
，
∴不公平．
【点睛】本题考查了列表法或树状图法求简单随机事件发生的概率，列举出所有可能
出现的结果是正确解答的关键．
22．（本小题满分10分）
金百超市经销某品牌童装，单价为每件50元时，每天销量为60件，当单价每件从50
元降了20元时，一天销量为100件．设降x元时，一天的销量为y件．已知y是x的一
次函数．
(1)求y与x之间的关系式；
(2)若某天销售童装80件，则该天童装的单价是多少?
【答案】(1)y与x之间的关系式为y=2x+60
(2)该天童装的单价是每件40元
【分析】(1)根据题意先设出y与x的函数关系式y=kx+b，再根据题目中的数据，即可
求出该函数的解析式；
(2)将y= 80代入(1) 中函数关系式，求出相应的x的值即可．
【详解】（1）因为y是x的一次函数．
所以，设y与x的函数关系式为y=kx+b，
由题意知，当x=0时， y=60 ；当x=20时， y= 100，
所以，
解之得：
所以y与x之间的关系式为y=2x+60 ；
（2）当y=80时，由80=2x+60，
解得x=10，
所以50- 10= 40(元)，
16
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！所以该天童装的单价是每件40元．
【点睛】本题考查一次函数的应用， 解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数关
系式．
23．（本小题满分10分）
已知抛物线 的顶点为点 ，与 轴分别交于 、 两点（ 点在
点的左侧），与 轴交于点
(1)直接写出点 的坐标为 ；
(2)如图，若 、 两点在原点的两侧，且 ，四边形 为正方形，其中顶
点 、 在 轴上， 、 位于抛物线上，求点 的坐标；
(3)若线段 ，点 为反比例函数 与抛物线 在第一象限内
的交点，设 的横坐标为 ，当 时，求 的取值范围．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3) ．
【分析】（1）利用配方把解析式配成顶点式即可；
（2）根据正方形的性质则可以得出 ，再由抛物线点的特征列出一元二次方程，
求解即可得出点 坐标；
（3）利用二次函数和反比例函数的增减性即可求解．
【详解】（1）∵ ，
∴顶点 ，故答案为： ，
（2）设 ， ，
∵抛物线对称轴为直线 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
将 代入 ，解得 ，
∴抛物线解析式为： ，
设 ，则 ，
∴ ， ，
根据题意，得： ，
解得： ， (舍去)，
∴点 ，
（3）∵线段 ，抛物线对称轴为直线 ，
∴ ， ，
∴ ，解得 ，
∴抛物线解析式为： ，
当 时，
对于抛物线 ， 随 的增大而增大，
18
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！对于反比例函数 ， 随 的增大而减小，
∴ 时，双曲线在抛物线上方，
即： ，解得： ，
∴当 时，双曲线在抛物线下方，
即： ，解得： ，
∴ 的取值范围： ．
【点睛】此题考查了二次函数的图象及其性质、反比例函数的性质，熟练运用二次函
数与反比例函数的性质是解题的关键．
24．（本小题满分12分）
问题发现：
(1)如图 ，在 中， ， 为 的中点，以 为直角边，
在 下方作等腰直角 ，其中 以 为直角边，在 上方作等腰
直角 ，其中 ， 与 交于点 ．求证： ．
类比探究：
(2)如图 ，若将 绕点 顺时针旋转 ，则 中的结论是否仍然成立？请说明
理由；
拓展延伸：
(3)如图 ，在 的条件下，再将等腰直角 沿直线 向右平移 个单位长度，
得到 ，若 ，试求 的值．（用含 ， 的式子表示）
【答案】(1)证明见解析
(2)成立，理由见解析(3)
【分析】（1）利用 证明 ≌ ，可得结论；
（2）连接 ， ，首先利用 证明 ≌ ，得 ，
，再利用 证明 ≌ ，得 ；
（3）连接 ，由 同理得 ≌ ，再说明 ∽ ，得
．
【详解】（1）证明：由题意可得：点 、 、 三点共线，且 ，
，
，
，
≌ ，
．
（2）解：（1）中的结论仍然成立，理由如下：
如图 ，连接 ， ，
由题意得， ， ， ，点 为 的中点，
，
，
≌ ，
， ，
20
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又 ， ，
，
．
（3）解：由题意得， ， ，
则 ，
如图 ，连接 ，
由 同理得 ，
， ，
又 ， ，
∽ ，
．
【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判
定与性质、相似三角形的判定与性质、旋转和平移的性质等知识点，熟练掌握旋转相
似的基本模型是解题的关键．
25．（本小题满分12分）
问题探究：数学课上老师让同学们解决这样的一个问题：如图①，已知E是 的中
点，点A在 上，且 ．求证： ．
分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或者等腰三角形的性质．本
题中要证相等的两条线段不在同一个三角形中，所以考虑从全等三角形入手，而 与
所在的两个三角形不全等．因此，要证 ，必须添加适当的辅助线构造全
等三角形．以下是两位同学添加辅助线的方法．
第一种辅助线做法：如图②，延长 到点F，使 ，连接 ；
第二种辅助线做法：如图③，作 于点G， 交 延长线于点F.(1)请你任意选择其中一种对原题进行证明：
方法总结：以上方法称之为“倍长中线”法，在利用中线解决几何问题时，常常采用
“倍长中线法”添加辅助线构造全等三角形来解决问题．
(2)方法运用：如图④， 是 的中线， 与 交于点F且 ．求证：
．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【分析】（1）第一种辅助线做法：延长 到点F，使 ，连接 ．只要证明
22
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！△BEF≌△CED，即可解决问题．
第二种辅助线做法：作 于点G， 交 延长线于点F，先证明
△BEF≌△CEG，再证明△ABF≌△DCG即可．
（2）延长AD到点Aˊ，使得DAˊ=AD，连接BAˊ，只要证得△BDAˊ≌△CDA即可．
【详解】（1）第一种辅助线做法：
证明：如图1，延长DE到点F，使得DE=EF，连接BF，
∵E是BC的中点
∴BE=CE
在 BEF与 CED中
△ △
∴△BEF≌△CED（SAS）
∴BF=CD ， ∠F=∠CDE
又∵∠BAE=∠CDE
∴∠BAE=∠F
∴BF=AB
∴AB=CD
第二种辅助线做法：
证明：如图2，作CG⊥DE于点G，BF⊥DE交DE延长线于点E；
则∠F＝∠CGE＝∠CGD＝90°，∵E是BC的中点，
∴BE=CE
在 BEF与 CEG中
△ △
∴△BEF≌△CEG （AAS）
∴BF=CG，
在 ABF与 DCG中，
△ △
，
∴△ABF≌△DCG（AAS），
∴AB=CD ．
（2）如图3，延长AD到点Aˊ，使得DAˊ=AD，连接BAˊ，
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！∵AD是 ABC的中线，
∴BD=C△D．
在 BDAˊ与 CDA中
△ △
，
∴△BDAˊ≌△CDA （SAS）
∴BAˊ=AC， ∠Aˊ=∠CAD，
又∵AE=EF，
∴∠CAD=∠EFA=∠BFAˊ，
∠Aˊ=∠BFAˊ
∴BF=BAˊ
∴BF=AC．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、三角形的中
线等知识，解题的关键是学会添加辅助线构造全等三角形解决问题，属于中考常考题
型．
