文档内容
2024 年中考第三次模拟考试(无锡卷)
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共 10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有
一项是符合题目要求的）
1．2024是个非常特殊的数，下面四个含有“2024”数中,最小的数是（ ）
1 1
A． B．2024 C．-2024 D． -
2024 2024
【答案】C
【分析】本题主要考查有理数的大小比较，熟练掌握有理数的大小比较是解题的关键；由题意可根据有理
数的大小比较进行求解．
1 1
【详解】解：-2024<- < <2024
2024 2024
所以最小的是-2024；
故选C．
2．下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了因式分解的定义，把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式分解，根据因式分
解的定义逐项判断即可．
【详解】解：A．从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B．从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；C． ，分解不彻底，故本选项不符合题意；
D．从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意．
故选：D．
3．不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，进而在数轴
上表示即可．熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
【详解】
解不等式①，移项，合并同类项得，
系数化为1得， ；
解不等式②，去括号得，
移项，合并同类项得，
故不等式组的解集为： ．
∴在数轴上表示为： ．
故选：C．
4．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了幂的运算，乘法公式，合并同类项，先根据“同底数幂相除，底数不变，指数相
减”判断A，再根据单项式乘以单项式计算判断B，然后根据平方差公式计算判断C，最后根据“合并同
类项法则”计算判断D．【详解】因为 ，所以A不正确；
因为 ，所以B正确；
因为 ，所以C不正确；
因为 ，所以D不正确．
故选：B．
5．下列说法正确的是（ ）
A．函数 ，y随x增大而增大
B．直线 经过第一、二、三象限
C．函数 ，y随x增大而减小
D．函数 的图象向右平移2个单位后，函数解析式为
【答案】C
【分析】根据一次函数的性质分析判断A，B，再根据反比例函数的性质判断C，最后根据二次函数的平
移规律判断D即可．
【详解】因为函数 中， ，可知函数值y随着x的增大而减小，所以A不符合题意；
因为直线 中， ， ，可知直线经过第一、三、四象限，所以B不符合题意；
因为函数 中， ，可知图象位于第一象限，函数值y随着x的增大而减小，所以C符合
题意；
因为函数 的图象向右平移2个单位长度后，函数解析式为 ，
所以D不符合题意．
故选：C．
6．若实数x，y，m满足 ， ，则代数式 的值可以是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A【分析】本题考查了二次函数的性质，解二元一次方程组，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．联立
方程组，解得 ，设 ，然后根据二次函数的性质，即可求解．
【详解】解：
解得 ，
设 ，
，
，
有最大值，最大值为 ，
代数式 的值可以是1，
故选：A．
7．如图，把正方形 绕着它的对称中心 沿着逆时针方向旋转，得到正方形 ， 和 分
别交 于点 ， ，在正方形旋转过程中， 的大小（ ）
A．随着旋转角度的增大而增大
B．随着旋转角度的增大而减小
C．不变，都是
D．不变，都是
【答案】D
【分析】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及旋转的性质的综合运用．连接 ，， ， ，依据正方形的性质，即可得到 ，进而得出 ，根据全等三
角形的的性质，可得 ．同理可得， ，根据 ，
可知在正方形旋转过程中， 的大小不变，是 ．
【详解】解：如图所示，连接 ， ， ， ，
正方形 绕着它的对称中心 沿着逆时针方向旋转，得到正方形 ，
，
，
又 ，
，
，
又 ，
，
．
同理可得， ，
．
在正方形旋转过程中， 的大小不变，是 ．
故选：D．
8．下列命题是真命题的是（ ）
A．方程 有两个不相等的实数根；
B．不等式 的最大整数解是2；C．顺次连接对角线相等的四边形各边中点得到的四边形是矩形；
D．直角三角形的两条直角边长分别为6和8，则它的外接圆的半径为5．
【答案】D
【分析】此题考查真假命题，根据一元二次方程的判别式、解不等式、菱形的判定理、直角三角形外接圆
的直径逐一判断．
【详解】解：A、方程 ， ，无实数根，原说法错误；
B、不等式 的解集为 ，最大整数解是1，原说法错误；
C、顺次连接对角线相等的四边形各边中点得到的四边形是菱形，原说法错误；
D、直角三角形的两条直角边长分别为6和8，则它的外接圆的半径为5，原说法正确；
故选：D．
9．我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形（如
图所示）．若直角三角形的内切圆半径为3，小正方形内切圆半径为 ，则大正方形的内切圆半径为（
）
A． B． C．15 D．
【答案】A
【分析】如图，设内切圆的圆心为O，连接 、 ，则四边形 为正方形，然后利用内切圆和直角
三角形的性质得到 ， ，接着利用完全平方公式进行代数变形，并结合勾
股定理 ，得出关于AB为未知数的一元二次方程，最后可解得 的长．
【详解】
解：如图，设内切圆的圆心为O、 为内切圆的半径，则四边形 为正方形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
而 ，
∴ ①，
∵小正方形内切圆半径为 ，
∴小正方形的边长为7，
∴小正方形的面积为49，
∴ ，
∴
即 ②，
把①代入②中得
，
∴ ，
∴ (负值舍去)，
∴大正方形内切圆半径为 ．
故选：A．
10．如图，在 中， ， ， ， 为 的角平分线，点 为 上一
动点，点 为 的中点，连接 ，则 的最小值是（ ）A．2 B． C．4 D．
【答案】B
【分析】当点 与点 重合时，点 在点 处，此时 ，当点 与点 重合时，点 在点 处，
此时 ，由三角形中位线定理得出点 在 上运动，当 时， 的值最小，由等边
对等角结合三角形内角和定理得出 ，求出 得出 的最小值为 ，
求出 的长即可得解．
【详解】解：如图所示：
当点 与点 重合时，点 在点 处，此时 ，
当点 与点 重合时，点 在点 处，此时 ，
为 的中位线，
，且 ，
点 为 的中点，
为 的中位线，
， ，点 在 上运动，当 时， 的值最小，
在 中， ， ， ，
， ，
， ，
，
为 的角平分线，
，
，
，即 ，
的最小值为 ，
，
，
， ，
，
故选：B．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．）
11．计算： ．
【答案】
【分析】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．利用零指数幂及算术平方根计算即
可．
【详解】解：原式
，故答案为：1．
12．无锡市2023年经济总量再创新高，综合实力持续增强，初步核算，全年实现地区生产总值15456.19
亿元，则将数据 15456.19亿元用科学记数法可表示为 元．
【答案】1.545619×1012
【分析】根据科学记数法的表示方法： 为整数，进行表示即可．
【详解】解：15456.19亿元=1545619000000元=1.545619×1012元
故答案为：1.545619×1012．
13．分式方程 的解 ．
【答案】
【分析】本题考查解分式方程，去分母将分式方程转化为整式方程，求解后检验即可．
【详解】解：去分母得： ，
去括号得： ，
移项，合并同类项得： ，
∴ ，
经检验， 是原方程的解；
故答案为： ．
14．某三棱柱的三视图如图所示，其中主视图和左视图为矩形，俯视图为 ，已知 ，
，则左视图的面积是 ．
【答案】
【分析】本题考查简单几何体的三视图，理解视图的定义，掌握简单几何体三视图的形状是正确解答的前
提．根据这个几何体的三视图，得出这个三棱柱，高为 ，设 ，由 求出 的值，进而确定 ，即可解答．
【详解】解：过点A作 ，由简图可知，这个几何体是三棱柱，高为 ，设 ，
，
∵ ， ，
解得 ，
∴ ，
则 ，
∴左视图长方形的长为2，宽为1，所以左视图的面积是2．
故答案为： ．
15．已知一次函数 的图像不过第三象限，则方程 的根的个数为 ．
【答案】1或2
【分析】本题考查了一次函数的图像，一元二次方程根的情况，熟练掌握知识点是解决本题的关键．
由一次函数 的图像不过第三象限，得 ，分类讨论，当 时，方程为一元一次
方程，有1个根；当 时，方程为一元二次方程，根据 判断即可．
【详解】解：∵一次函数 的图像不过第三象限，
∴ ，
当 时， ，方程为一元一次方程，所以方程根的个数为1个；
当 时， ，由于 ，
∴ ，
∴方程有2个不相等的实数根，综上，方程根的个数为1或2．
故答案为：1或2．
16．四边形 为矩形，以 为边作等边三角形 ，连接 ，若 ， ，则 的长为
．
【答案】 或
【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的性质和勾股定理，根据矩形的性质，等边三角形的性质分
当 在矩形 外面时和 当 在矩形 内部时两种情况讨论即可，熟练掌握以上知识点的应
用是解题的关键．
【详解】 如图，当 在矩形 外面时，过 作 ，交 的延长线于点 ，
∴ ，
∵四边形 是矩形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ 是等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得 ，
如图，当 在矩形 内部时，过 作 ，交 的延长线于点 ，同理∴ ， ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得 ，
故答案为： 或 ．
17．在锐角 中， ， ，在 内有一点P，当 的和最小时，
的面积为 ．
【答案】
【分析】将 绕点B逆时针旋转 得到 ，证出 ，要 的
和最小时，即点 、 、P、C在一条直线上，即最小值为 ，过点 作 ，交 的延长线于
点F，求出 ， ，连接 ，即可求解．
【详解】解：将 绕点B逆时针旋转 得到 ，
∴ ，
∴ ， ， ， ， ，∴ 为等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
要使 的和最小时，即点 、 、P、C在一条直线上，即最小值为 ，
过点 作 ，交 的延长线于点F，
在 中， ，
设 ，则 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，即 ，
当 ，即 时， 最小，
此时， ， ，
连接 ，∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
18．如图，在平面直角坐标系 中，直线 与x轴交于点A，与y轴交于点B．将线段 沿
射线 方向平移t ( )个单位长度，得到对应线段 ，反比例函数 的图象恰好经过C，D两点，
正比例函数 与反比例函数 交于C，E两点，连接 ，若刚好经过点B，且 的面积为6，
则t为 ．【答案】 或
【分析】根据题意，得 ，解得 ， ，继而得到 ， ；结合
直线 与x轴交于点A，与y轴交于点B．继而得到点 ，根据平移性质，得到向
右平移 个单位长度，向上平移 个单位长度的平移变换，且 ，确定变换后
，结合反比例函数的性质，确定 ，继而得到 ，过点C作
轴于点F，过点D作 轴于点N，交直线 于点M，利用分割法表示三角形的面积，解方程求得
，计算即可，本题考查了方程组的解法，平移，矩形的判定和性质，熟练掌握平移的思想，分割法计
算面积是解题的关键．
【详解】根据题意，得 ，
解得 ， ，∴ ， ；
∵直线 与x轴交于点A，与y轴交于点B．
∴点 ，
∵将线段 沿射线 方向平移t ( )个单位长度，得到对应线段 ，
∴根据平移性质，得到向右平移 个单位长度，向上平移 个单位长度的平移变换，且
，
∴ ，
∵反比例函数 的图象恰好经过C，D两点，
∴ ，
解得 ，
∴ ， ，
过点C作 轴于点F，过点D作 轴于点N，交直线 于点M，
∴四边形 是矩形，
∴ ， ，∴ ，
，
，
∵ 的面积为6，
∴ ，
整理，得
解得 ，
故 或 ，
故答案为： 或 ．
三、解答题（本大题共10小题，共96分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）计算或化简：
(1) ； (2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了实数混合运算，整式运算；
（1）先由特殊角的三角形函数值、零次幂进行运算，化简二次根式，再进行计算，即可求解；
（2）先利用完全平方公式和平方差公式进行运算，再进行加减运算，即可求解；
掌握 ， ( )， ， 是解题的关键．【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
20．（8分）（1）解方程： ；（2）解不等式组： ．
【答案】（1） ， ；（2） ．
【分析】本题考查解一元二次方程和一元一次不等式组，解题的关键是掌握解一元二次方程的一般方法和
求不等式公共解集的方法．
（1）用因式方程法求解即可；
（2）求出每个不等式的解集，再求出公共解集即可．
【详解】解：（1） ，
或 ，
∴ ， ；
（2） ，
解不等式①得： ；
解不等式②得： ，
不等式组的解集为 ．
21．（8分）如图，在 中，对角线 、 相交于点 ， 、 分别是 、 的中点．
求证：
(1) ；
(2)四边形 是平行四边形．【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】此题考查平行四边形的判定和性质，关键是根据平行四边形的性质得出 解答．
（1）根据平行四边形的性质得出 ，进而利用 三角形全等即可；
（2）根据全等三角形的性质得出 ，进而利用平行四边形的判定解答即可．
【详解】（1）证明： 四边形 是平行四边形，
， ， ，
，
、 分别是 、 的中点，
，
在 与 中，
，
；
（2）证明： ，
， ，
，
∴ ，
四边形 是平行四边形．
22．（8分）数学社团开展“讲数学家故事”的活动．下面是印有四位中国数学家纪念邮票图案的卡片
A，B，C，D，卡片除图案外其他均相同．将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，同学们可以从中随
机抽取卡片，讲述卡片上数学家的故事．(1)小安随机抽取了一张卡片，卡片上是数学家刘徽邮票图案的概率是______；
(2)小明随机抽取了两张卡片，请用画树状图或列表的方法，求小明抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚
邮票图案的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查的是概率公式求概率，用画树状图法求概率．
（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）根据题意画出树状图，得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可
得出答案．
【详解】（1）解：∵共有 张卡片，
∴小安随机抽取了一张卡片，卡片上是数学家刘徽邮票图案的概率是 ，
故答案为： ．
（2）解：根据题意，画树状图如图，
由图可得，共有12种等可能结果，其中抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案的有 种，
∴抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案的概率为
23．（8分）某校文学社为了解学生课外阅读情况，对本校七年级的学生进行了课外阅读知识水平检测．
为了解情况，从七年级学生中随机抽取部分女生和男生的测试成绩，将这些学生的成绩x（单位：分，
）分为5组：
A组： ，B组： ，C组： ，D组： ，E组： ．并提供了这5个组的如下4条信息：
①不完整的扇形统计图和条形图
②女生成绩在 的数据为：70，72，72，72；
③男生成绩在 的数据为：72，68，62，68，70；
④抽取的男生和女生测试成绩的平均数、中位数、众数如表所示：
平均数 中位数 众数
男生测试成
76 a 68
绩
女生测试成
76 72 b
绩
请根据以上信息解答下列问题：
(1) ， ．
(2)从七年级一共抽取了多少名学生？
(3)在抽取的学生中，你认为男生测试成绩好还是女生测试成绩好？ 并说明理由．
【答案】(1)71，72
(2)从七年级一共抽取了20名学生
(3)女生测试成绩比男生好，理由见解析
【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图、中位数、众数等知识，理解两个统计图中数量之间的关系是
正确解答的关键．
（1）用C组的人数除以所占百分比可得总人数，再根据中位数和众数的求法求出a，b即可；
（2）用C组的人数除以所占百分比可得总人数
（3）从中位数、众数的意义进行判断即可．
【详解】（1）解：本次调查人数为： （名），
B组的人数为： （人），B组中的女生有： （名），调查人数中：女生有 （人），男生有 人，
抽查人数中，成绩处在中间位置的两个数的平均数为 （分），因此中位数是71，即 ，
在10名女生成绩中，出现次数最多的是72，因此众数是72，即 ，
故答案为：71，72，
（2）解：本次调查人数为： （名）
（3）解：女生，理由为：女生成绩的中位数、众数均比男生的高，
故答案为：女生，女生成绩的中位数、众数均比男生的高．
24．（10分）如图，在 中， 的角平分线 交 边于点D．
(1)以 边上一点O为圆心，过A，D两点作 （不写作法，保留作图痕迹）；
(2)判断直线 与 的位置关系，并说明理由；
(3)若（1）中的 与边 的另一个交点为E， ，求弧 的弧长（结果保留根号和
π）
【答案】(1)详见解析；
(2)详见解析；
(3) ，详见解析．
【分析】本题主要考查了复杂作图、切线的判定、勾股定理的应用以及弧长的计算，
（1）作出 的垂直平分线交 于点O，以O为圆心， 为半径作圆即可；
（2）利用等腰三角形的性质和角的平分线的性质求得 ，进而求出 ，从而得出 为
的切线；
（3）设 的半径为r，则 ，在 中，根据勾股定理求得r的值，进而根据已知求得
，然后根据弧长公式求得即可；
利用角平分线的性质得出 是解题关键．【详解】（1）如图所求，作出 的垂直平分线交 于点O，以O为圆心， 为半径作圆；
（2）直线 与 相切．
理由如下：
连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
∴ 为 的切线．
（3）设 的半径为r，则 ，
在 中， ，
∴ ，即 ，
解得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴弧 的弧长 ．
25．（10分）如图， 是 的外接圆，点O在 边上， 为 的切线，且 ， 的延
长线交 于点P．(1)求证： 平分 ；
(2)若 ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据切线的性质及 ，证明 垂直平分 ，推出 ，由圆周角定理即可证
明结论；
（2）先证明 ，根据勾股定理得出 ，进而求得 ，再
证明 ，根据相似三角形的性质即可得出 ，代入可求出答案．
【详解】（1）证明：如图1，连接 ，
是 的切线， 是 的直径，
∴ ，
，
，
，
∴ ，
点 是 的中点，
∴ 垂直平分 ，
,∴ ，
∴ ，
∴ 平分 ；
（2）∵ 是 的直径，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ．
26．（10分）某校羽毛球社团的同学们用数学知识对羽毛球技术进行分析，下面是他们对击球线路的分析．
如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网 与y轴的水平距离 米， 米，
米，击球点P在y轴上．他们用仪器收集了扣球和吊球时，羽毛球的飞行高度y（米）与水平距离x
（米）的部分数据，并分别在直角坐标系中描出了对应的点，如下图所示．同学们认为，可以从 中选择适当的函数模型，近似的模
拟两种击球方式对应的羽毛球的飞行高度y（米）与水平距离x（米）的关系．
(1)请从上述函数模型中，选择适当的模型分别模拟两种击球方式对应的羽毛球的飞行高度y（米）与水平
距离x（米）的关系，并求出函数表达式；
(2)请判断上面两种击球方式都能使球过网吗？如果能过，选择哪种击球方式使球的落地点到C点的距离更
近；如果不能，请说明理由．
【答案】(1)扣球的函数解析式为 ；吊球的函数解析式为
(2)两种击球方式都能使球过网；选择吊球，使球的落地点到C点的距离更近．
【分析】本题主要考查了二次函数和一次函数的实际应用：
（1）由函数图象可得，扣球的函数图象近似一条直线，而吊球的函数图象与抛物线相似，据此利用待定
系数法求解即可；
（2）分别求出两个函数当 时的函数值，然后与 比较即可得到结论；由题意可知 ，令
，分别求得 ， ，即可求得落地点到 点的距离，即可判断谁更近．
【详解】（1）解：由函数图象可得，扣球的函数图象近似一条直线，而吊球的函数图象与抛物线相似，
把 代入 中得： ，
∴ ，
∴扣球的函数解析式为 ；
把 代入 中得： ，
∴ ，
∴吊球的函数解析式为 ；
（2）解：在 中，当 时， ，在 中，当 时， ，
∵ ，
∴两种击球方式都能使球过网；
选择扣球，则令 ，即： ，解得： ，
即：落地点距离点 距离为 ，
∴落地点到C点的距离为 ，
选择吊球，则令 ，即： ，解得： （负值舍去），
即：落地点距离点 距离为 ，
∴落地点到C点的距离为 ，
∵ ，
∴选择吊球，使球的落地点到C点的距离更近．
27．（12分）问题提出
（1）如图①，在 中，点M，N分别是 ， 的中点，若 ，则 的长为 ．
问题探究
（2）如图②，在正方形 中， ，点E为 上的靠近点A的三等分点，点F为 上的动点，
将 折叠，点A的对应点G，求 的最小值．
问题解决
（3）如图③，某地要规划一个五边形艺术中心 ，已知 ， ，
， ，点C处为参观入口， 的中点P处规划为“优秀”作品展台，求点C
与点P之间的最小距离．
【答案】（1） ；（2） ；（3）【分析】（1）由点M，N分别是 ， 的中点，可得 是 的中位线，根据中位线定理求解即
可；
（2）由题意可得点G在以点E为圆心， 长为半径的 上运动，则 ，当点C，E，G三
点共线， 取得最小值，根据勾股定理在 中求出 的长，即可解答；
（3）延长 至点F，使得 ，连接 ，可得 ，则当 最小时， 最小．由
，可得点E在以点A为圆心，以 的长为半径的圆上，连接 ，设 与 的交点为点 ，
则 的最小值为 的长，过点F作 ，交 的延长线于点G，得到四边形 为平行四边形，
则 ， ， ，过点F作 交 延长线于点H，通
过解直角三角形可得到 的长，进而可解答．
【详解】（1）∵点M，N分别是 ， 的中点，
∴ ；
故答案为： ；
（2）∵在正方形 中， ，点E为 上的靠近点A的三等分点，
∴ ， ，
由折叠得：
∴点G在以点E为圆心， 长为半径的 上运动，如图，
∴ ，
∴当点C，E，G三点共线， 取得最小值．
∵在 中， ，
∴
∴ 的最小值为 ；
（3）如图，延长 至点F，使得 ，连接 ，∵点P为 的中点， ，
∴ 为 的中位线，
∴ ，
∴当 最小时， 最小，
由 ，可得点E在以点A为圆心，以 的长为半径的圆上，连接 ，
设 与 的交点为点 ，则 的最小值为 的长，
过点F作 ，交 的延长线于点G，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 为平行四边形，
∴ ， ，
∴ ．
过点F作 交 延长线于点H，
∵
∴ ，
∴ ，
∴在 中， ，
，
∴ ，∴在 中， ，
∴ ，
即 的最小值为 ，
∴此时
∴点C与点P之间的最小距离为 ．
28．（14分）若一次函数 与反比例函数 同时经过点 则称二次函数 为
一次函数与反比例函数的“共享函数”，称点P为共享点．
(1)判断 与 是否存在“共享函数”，如果存在，请说明理由；
(2)已知：整数m，n，t满足条件 ，并且一次函数 与反比例函数 存在
“共享函数” ，求m的值．
(3)若一次函数 和反比例函数 在自变量x的值满足的 的情况下．其“共享
函数”的最小值为3，求其“共享函数”的解析式．
【答案】(1) 或 ，见解析
(2)2
(3) 或
【分析】（1）判断 与 是否有交点，计算即可；
（2）根据定义， ，得到 ，结合 ，构造不等式组解答即可．
（3）根据定义，得“共享函数”为结合 ，“共享函数”的最小值为3，分类计算即可．
本题考查了新定义，解方程组，解不等式组，抛物线的增减性，熟练掌握定义，抛物线的增减性是解题的
关键．
【详解】（1） 与 存在“共享函数”，理由如下：
根据题意，得 ，
解得 ， ，
故函数同时经过 或 ，
故 与 存在“共享函数”．
（2）∵一次函数 与反比例函数 存在“共享函数”
，
∴ ，
解得 ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∵m是整数，
∴ ．
（3）根据定义，得一次函数 和反比例函数 的“共享函数”为
，
∵ ．
∴抛物线开口向上，对称轴为直线 ，函数有最小值 ，且点与对称轴的距离越大，函数值
越大，
∵ ，
当 时，即 时，
∵ ，
∴ 时，函数取得最小值，且为 ，又函数有最小值3，
∴ ，
解得 （舍去）；
故 ，
∴“共享函数”为 ；
当 时，即 时，∵ ，
∴ 时，函数取得最小值，且为 ，又函数有最小值3，
∴ ，
解得 （舍去）；
故 ，
∴“共享函数”为 ；
当 时，即 时，
∴ 时，函数取得最小值，且为 ，又函数有最小值3，
∴ ， 方程无解，
综上所述，一次函数 和反比例函数 的“共享函数”为 或
．
