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2024 年中考第三次模拟考试（河北卷）
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共16个小题，共38分，1～6小题各3分，7～16小题各2分，在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的)
1．有理数-3的相反数是（ ）
1 1
A．-3 B．3 C．- D．
3 3
【答案】B
【分析】本题考查了相反数的定义，根据相反数的定义进行判断即可，解题的关键是熟练掌握相反数的定
义，只有符号不同的两个数互为相反数．
【详解】解：有理数-3的相反数是3，
故选：B．
2．下列选项中的两个相似图形，不是位似图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是位似变换，掌握两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应
边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形是解题的关键．根据位似图形的定义解答即可．
【详解】解：根据位似图图形的定义可知选项A、B、D中的两个图形都是位似图形，C中的两个图形不是
位似图形，
故选：C．
3．下列各式计算结果为a6的是（ ）
A．a2 ⋅a3 B．(a2) 4 C．a3+a3 D．a8÷a2
【答案】D
【分析】本题考查了幂的运算，同底数幂的乘法，幂的乘方，合并同类项，同底数幂的除法，熟练掌握各
知识点是解决本题的关键．依次根据定义化简每一项即可．
【详解】解：A、a2 ⋅a3=a5，故本选项不符合题意；
B、(a2) 4 =a8，故本选项不符合题意；
C、a3+a3=2a3，故本选项不符合题意；
D、a8÷a2=a6，故本选项符合题意．
故选：D．
4．如图，河道l的同侧有M、N两地，现要铺设一条引水管道，从P地把河水引向M、N两地．下列四种
方案中，最节省材料的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了垂线段最短的运用，实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之
间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择．根据垂线段最短以及两点之间线段最短，求解即可．
【详解】解：依据垂线段最短，以及两点之间，线段最短，可得最节省材料的是：
故选：D．
5．要求加工4个长为4cm、宽为3cm的矩形零件．陈师傅对4个零件进行了检测．根据零件的检测结果，
图中不合格的零件是（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是矩形的判定定理，根据矩形的判定定理：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩
形；（2）有三个角是直角的四边形是矩形；（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形解答即可．熟练
掌握矩形的判定方法是解答本题的关键．
【详解】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，能判定矩形，不符合题意；
B、其中四边形中三个角都为直角，能判定矩形，不符合题意；
C、对角相等的四边形不一定是矩形，不能判定形状，符合题意；
D、一组对边平行且相等，能判定平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形，则能判定矩形，不
符合题意．
故选：C．
2
6．下列算式中，与有理数 -2 相等的是（ ）
3
2 ( 2)
A．(-2)× B．- 2×
3 3
2 2
C．-2+ D．-2-
3 3
【答案】D
【分析】本题主要考查了有理数的乘法，加减运算．根据有理数的乘法，加减运算逐项判断即可求解．
2 4 2
【详解】解：A、(-2)× =- ≠-2 ，故本选项不符合题意；
3 3 3
( 2) 4 2
B、- 2× =- ≠-2 ，故本选项不符合题意；
3 2 3
2 4 2
C、-2+ =- ≠-2 ，故本选项不符合题意；
3 3 32 2
D、-2- =-2 ，故本选项符合题意；
3 3
故选：D
7．不等式组¿的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了解不等式组，在数轴上表示不等式的解集；分别解两个不等式，在数轴上表示不等式
的解集，即可求解．
【详解】解：¿
解不等式①得：x<-3
解不等式②得：x≤1
在数轴上表示不等式的解集如图，
故选：A．
8．图（1）是矗立千年而不倒的某木塔一角，全塔使用了54种形态各异的斗拱．斗拱是中国建筑特有的一
种结构，位于柱与梁之间．斗拱由斗、升、拱、翘、昂组成，图（2）是其中一个组成部件的三视图，则
这个部件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是有较强的空间想象能力，难度不大．根据三视图结合四个选项找到正确的答案即可．
【详解】解：根据俯视图是一个正方形，只有选项C符合题意，其他选项均不符合题意，
故选：C．
9．已知一个水分子的直径约为3.85×10﹣9米，某花粉的直径约为5×10﹣4米，用科学记数法表示一个水分子
的直径是这种花粉直径的（ ）
A．0.77×10﹣5倍 B．77×10﹣4倍 C．7.7×10﹣6倍 D．7.7×10﹣5倍
【答案】C
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不
同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】由题意得：(3.85×10﹣9)÷(5×10﹣4)= 7.7×10﹣6倍，
故选C．
【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左
边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
10．已知两艘轮船以相同速度从港口O同时出发，甲轮船航行的方向是北偏东60°，乙轮船航行的方向是
南偏东60°，经过相同时间t后，乙轮船行驶的路程为a．关于甲、乙两轮船的位置，说法如下：
①甲轮船在乙轮船的东北方向；②甲轮船在乙轮船的正北方向；
③甲、乙两轮船之间的距离为a；④甲、乙两轮船之间的距离大于a．
其中判断正确的有
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【答案】C
【分析】根据题意得出△AOB是等边三角形，即可求解．
【详解】解：如图所示，依题意OA=OB，
∵∠AOB=180°-60°-60°=60°
∴△AOB是等边三角形，
∴∠OAB=60°=∠AOC，
∴AB∥OC
∴甲轮船在乙轮船的正北方向；甲、乙两轮船之间的距离为a；
故②③正确，
故选：C．
【点睛】本题考查了方位角，等边三角形的性质与判定，熟练掌握方位角的定义是解题的关键．
11．阳阳同学在复习老师已经批阅的作业本时，发现有一道填空题破了一个洞（如图所示），■表示破损
的部分，则破损部分的式子可能是（ ）
( 3 ) x x+1
化简： ■- ÷ =
1-x x+1 x-1
x-3 x+3 x2-x+1 x2+5x+1
A． B． C． D．
x-1 x-1 x2-x x2-x
【答案】A
【分析】本题考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．根据题意残损部分
x+1 x 3
的式子为 ⋅ + ，再计算即可．
x-1 x+1 1-x
x+1 x 3
【详解】解：残损部分的式子为 ⋅ +
x-1 x+1 1-x
x 3
= -
x-1 x-1
x-3
= ．
x-1
故选：A．12．如图，量筒的液面A－C－B呈凹形，近似看成圆弧，读数时视线要与液面相切于最低点C（即弧中
点）．小温想探究仰视、俯视对读数的影响，当他俯视点C时，记录量筒上点D的高度为37mm；仰视点
C（点E，C，B在同一直线），记录量筒上点E的高度为23mm，若点D在液面圆弧所在圆上，量筒直径
为10mm，则平视点C，点C的高度为（ ）mm．
A． 30-2√6 B．37-4√6 C．23+2√6 D．23+4√6
【答案】A
【分析】本题考查了圆周角定理，三角形中位线定理和勾股定理．作出图形，证明BD是⊙O的直径，由
垂径定理得AG=BG，求得⊙O的直径为14，再根据三角形中位线定理结合勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，连接BD、OA、OB、OC，OC交AB于点G，
∵∠DAB=90°，
∴BD是⊙O的直径，
由垂径定理得AG=BG，
∴OG是△BAD的中位线，
∴OC∥DE，BC BO 1
∴ = = ，
BE BD 2
∴BC=CE，
1 1
∴OC= DE= (37-23)=7，
2 2
∴⊙O的直径为14，
∵AB=10，
∴AD=√142-102=√96=4√6，
∴AE=14-4√6，
∵CF∥AB，
EF EC 1
∴ = = ，
AE EB 2
∴EF=7-2√6(mm)，
∴点F的高度即点C的高度为7-2√6+23=30-2√6(mm)，
故选：A．
13．定义新运算：m※n=m2-mn-3，例如： 2×3=22-2×3-3=-5，则关于x的一元二次方程
x※a=1的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有实数根 D．没有实数根
【答案】B
【分析】本题考查根的判别式，根据新运算的法则，列出一元二次方程，根据判别式的符号，进行判断即
可．
【详解】解：由题意，得：x※a=x2-ax-3=1，
整理，得：x2-ax-4=0，
∴Δ=(-a) 2-4×(-4)=a2+16≥16>0，
∴方程有两个不相等的实数根；
故选B．
14．如图，⊙O的半径为2，圆心O在坐标原点，正方形ABCD的边长为2，点A、B在第二象限，点C、
D在⊙O上，且点D的坐标为(0,2)，现将正方形ABCD绕点C 按逆时针方向旋转150°，点B动到了⊙O
上点B 处，点A、D分别运动到了点A 、D 处，即得到正方形A B C D （点C 与C重合）；再将正方
1 1 1 1 1 1 1 1
形A B C D 绕点B 按逆时针方向旋转150°，点A 运动到了⊙O上点A 处，点D 、C 分别运动到了点
1 1 1 1 1 1 2 1 1D 、C 处，即得到正方形A B C D （点B 与B 重合），…，按上述方法旋转2024次后，点C 的坐
2 2 2 2 2 2 2 1 2024
标为（ ）
A．(0,2) B．(-1-√3,-1-√3) C．(0,-2) D．(2+√3,-1)
【答案】C
【分析】本题考查图形与旋转，根据题意找到规律，12次为一个循环，则C 的坐标与C 相同，求出C
2024 8 8
的坐标即可解决本题．
【详解】解：如图，由图可知，每12次一个循环，
∵2024÷12=168⋯8，
∴点C 的坐标与C 相同，
2024 8
由图和题意，可知：C (0,-2)；
8
∴点C 的坐标为(0,-2)；
2024
故选C．
15．2024年元旦期间，某超市为了增加销售额，举办了“购物抽奖”活动：凡购物达到200元即可抽奖1
次，达到400元可抽奖2次，……，依次类推．抽奖方式为：在不透明的箱子中有四个形状相同的小球，
四个小球上分别写有对应奖品的价值为10元、15元、20元和“谢谢惠顾”的字样；抽奖1次，随机从四
个小球抽取一个；抽奖2次时，记录第1次抽奖的结果后放回箱子中再进行第2次抽取，……，依次类推．小明和妈妈一共购买了420元的物品，获得了两次抽奖机会，则小明和妈妈获得奖品总值不低于30元的概
率为（ ）
1 1 3 1
A． B． C． D．
6 4 8 2
【答案】C
【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，
适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况
数与总情况数之比．列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求
解即可．
【详解】解：列表得：
1
10 20 谢谢惠顾
5
2
10 20 30 10
5
3
15 25 35 15
0
3
20 30 40 20
5
1
谢谢惠顾 10 20 0
5
由表格可得，共有16种等可能出现的结果，其中小明和妈妈获得奖品总值不低于30元的情况有6种，
6 3
∴小明和妈妈获得奖品总值不低于30元的概率= = ，
16 8
故选：C．
16．如图，在△ABC中，以A、B为圆心，AC、BC长为半径分别作弧交于点C'，连接BC'、AC'，在
1
C'B上截取点M，以点C'为圆心，C'M长为半径作弧交C'C于点N，以大于 MN的长分别以点M、N为
2
圆心作弧交于一点，点C'与这点连线的直线交BC于点P，交AB于I．若BC=2√5，CC'=4，则BP的长
为（ ）139
A． B．10(√5-2) C．5√5+3 D．10
5
【答案】B
【分析】通过作图痕迹推导出△BCC'，△ACC'为等腰三角形，C'P为角平分线；通过三角形全等，证明
BO⊥CC'，结合角平分线的性质，可得△CKI≅△C'OI；在△BKI中用勾股定理，计算出BI；再由
CH∥BO，推出△BIP∼△CHP，得出BP和CP的比，最后结合BC的长度得出BP的长度．
【详解】延长BA交CC'于点O，作CH∥BO交C'P的延长线于点H，
由题意可知，BC'=BC=2√5，AC'=AC，C'P是∠BC'C的角平分线，
在△BAC'和△BAC中¿
∴ △BAC' ≅△BAC
∴ ∠C'BO=∠CBO，
在△BC'O和△BCO中¿
∴ △BC'O≅△BCO
1
∴
∠BOC'=∠BOC，C'O=CO= CC'=2，
2
又∵ ∠BOC'+∠BOC=180∘，
∴ ∠BOC'=∠BOC=90∘，
在Rt△BOC'中，BC'=2√5，C'O=2，∴ BO=√BC'2-C'O2=√ (2√5) 2-22=4，
∵ C'P平分∠BC'C，过点I作IK⊥BC'交BC'于K，
∴ IK=IO
在Rt△C'KI和Rt△C'OI中¿
∴ Rt△C'KI≅Rt△C'OI
∴ C'K=C'O=2
∴ BK=2√5-2
设IO为x，则IK=x，BI=4-x，
在Rt△BKI中，BI2=BK2+K I2，
即(4-x) 2=(2√5-2) 2+x2
可得x=√5-1，
即BI=4-(√5-1)=5-√5，
∵ HC∥IO，
∴ ∠C'IO=∠H，∠C'OI=∠C'CH，∠OBC=∠BCH，∠BIP=∠H，
∴ △C'IO∼△C'HC，△BIP∼△CHP，
又∵ C'O=2，C'C=4，
IO C'O 2 1
∴ = = = ，
CH CC' 4 2
∴ CH=2IO=2√5-2
又∵ △BIP∼△CHP，
BI BP 5-√5 √5
∴ = = = ，
CH CP 2√5-2 2
不妨设BP=√5a，CP=2a，BC=2√5，
∴ √5a+2a=2√5，
2√5 2√5(√5-2)
∴ a= = =10-4√5，
√5+2 (√5+2)(√5-2)
∴ BP=√5a=√5(10-4√5)=10(√5-2)．
故选：B．
【点睛】本题考查段已知线段及角平分线的作图，角平分线的性质，全等三角形的证明，勾股定理的应用，
相似三角形的证明与应用，合理作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共3个小题，共10分.17小题2分，18～19小题各4分，每空2分）
17．若√27与最简二次根式5√a-1可以合并，则a= ．
【答案】4
【分析】此题考查了最简二次根式和同类二次根式，根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽
方的因数或因式；被开方数是整数，因式是整式，进行逐一判断即可，熟练掌握最简二次根式的定义和同
类二次根式是解题的关键．
【详解】解：由√27=3√3，
∵√27与最简二次根式5√a-1可以合并，
∴a-1=3，解得：a=4，
故答案为：4．
18．如图，要设计一个装彩铅的圆柱体纸盒，已知每支铅笔大小相同，底面均为正六边形，边长记作2a．
下面我们来探究纸盒底面半径的最小值：
（1）如果要装10支铅笔，小蓝画了图①、图②两种排列方式，请你通过计算，判断哪种方式更节省空间：
．（填①或②）
（2）如果要装24支铅笔，请你模仿以上两种方式，算出纸盒底面最小半径是 ．（用含a的代数式
表示）
【答案】 图① √109a
【分析】(1)图①由10个正六边形构成，图②由10个正六边形和4个正三角形构成，分别计算出其面积比
较大小即可，
(2)要装24支铅笔，要使纸盒底面最小，按图①方式排每个正六边形相邻的空间最小计算出半径即可；
【详解】（1）∵一个正六边形可以分为6个全等的等边三角形，且边长为2a∴小三角形的高=√(2a) 2-a2=√3a
1
∴S =6S =6× ×√3a×2a=6√3a2 ，
正六边形 小三角形 2
图①由10个正六边形构成
S=10×6√3a2=60√3a2 ，
图②由10个正六边形和4个正三角形构成
S=10S +4S =10×6√3a2+4×√3a2=64√3a2
正六边形 小三角形
∵60√3a2＜64√3a2
∴图①更节省空间
故答案为：①
（2）由（1）可知，每个正六边形相邻空间最小，此时的盒地面半径最小，如图
以中点O为圆心，OA长为半径纸盒底面半径最小,过O点作OB⊥AB，由（1）可知，OB=
3×2√3a=6√3a
在Rt AOB中，AB=a，OB=6√3a
△
OA=√AB2+OB2=√a2+108a2=√109a
纸盒底面最小半径是√109a
故答案为：√109a
【点睛】此题主要考查了平面镶嵌，正多边形的面积，勾股定理，以及圆的知识，解题的关键要读懂题意
画出示意图．k
19．如图，直线AB分别与x轴、y轴交于点A，B，与反比例函数y= (k≠0，x>0)的图象交于点C，D，
x
过点C，D分别作y轴、x轴的垂线，垂足分别为E，F．
（1）若图中阴影部分的面积等于3，则k= ；
（2）若CD=5AC，且EF=1，则AB= ．
【答案】 6 7
【分析】（1）连接OC．由图可知S =S =3，再根据反比例函数k的几何意义即可解答；
△CEO △CEF
6 ( 6) ( 6) ( 6)
（2）由（1）可知该反比例函数解析式为y= (x>0)，设C p， ，D q， ，则E 0， ，
x p q p
6 6 6 6 6
F(q，0)．利用待定系数法求直线CD的解析式为y=- x+ - ，直线EF的解析式为y=- x+ ，
pq q p pq p
则EF∥CD．即可证四边形DBFE和四边形ACEF都为平行四边形．连接OD，过点F作FG⊥AB于点
G．由反比例函数k的几何意义可求出S =3，从而可求出S =2S =6．又可求出
△DFO ▱DBFE △DEF
S =S =3，结合CD=5AC，且△ACF和△CDF等高，可求出S =5S =15，进而可求出
△ACF △CEF △CDF △ACF
S =S +S +S =24．根据三角形面积公式可求出FG=6，最后根据梯形面积公式即可
梯形ABEF ▱DBFE △CDF △ACF
求出AB的长．
【详解】解：（1）如图，连接OC．由图可知△CEO与△CEF同底等高，
∴S =S =3．
△CEO △CEF
k
∵点C在反比例函数y= (k≠0，x>0)上，且CE⊥y轴，
x
|k| |k|
∴S = ，即 =3，
△CEO 2 2
解得：k=±6．
∵该反比例函数位于第一象限，
∴k=6．
故答案为：6；
6
（2）由（1）可知该反比例函数解析式为y= (x>0)，
x
( 6) ( 6)
∴可设C p， ，D q， ，
p q
∵CE⊥y轴，DF⊥x轴，
( 6)
∴E 0， ，F(q，0)．
p
设直线CD的解析式为y=ax+b，
则¿，解得：¿，
6 6 6
∴直线CD的解析式为y=- x+ - ．
pq q p
设直线EF的解析式为y=a'x+b'，
则¿，解得：¿，
6 6
∴直线EF的解析式为y=- x+ ，
pq p∴EF∥CD．
∵CE⊥y轴，DF⊥x轴，
∴DF∥BE，CE∥AF，
∴四边形DBFE和四边形ACEF都为平行四边形．
如图，连接OD，过点F作FG⊥AB于点G．
6
∵点D在反比例函数y= (x>0)上，且DF⊥x轴，
x
6
∴S = =3．
△DFO 2
∵△DFO与△DEF同底等高，
∴S =S =3，
△DFO △DEF
∴S =2S =6．
▱DBFE △DEF
∵S =3，
△CEF
∴S =S =3．
△ACF △CEF
∵CD=5AC，且△ACF和△CDF等高，都为FG的长，
∴S =5S =15，
△CDF △ACF
∴S =S +S +S =6+15+3=24．
梯形ABEF ▱DBFE △CDF △ACF
1
∵S = EF⋅FG，EF=1，
△CEF 2
1
∴ ×1×FG=3，
2
解得：FG=6．
1
∵S = (EF+AB)FG，
梯形ABEF 21
∴ (1+AB)×6=24，
2
解得：AB=7．
故答案为：7．
【点睛】本题考查反比例函数k的几何意义，平行四边形的判定和性质，一次函数的应用，等积法的应用，
三角形和梯形的面积公式等知识，较难．正确作出辅助线，并掌握反比例函数k的几何意义是解题关键．
三、解答题（本大题共7个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．某个体儿童服装店老板以每件32元的价格购进30件连衣裙，针对不同的顾客，30件连衣裙的售价不
完全相同，若以40元为标准价，将超过的钱数记为正，不足的钱数记为负，则售价记录结果如表所示：
售出数量（件） 4 9 3 5 4 5
与标准价的差
+5 +2 +1 -2 -4 -6
（元）
(1)总进价是________元．
(2)在销售过程中①最低售价为每件______元；②最高获利为每件_____元．
(3)该服装店在售完这30件连衣裙后，赚了多少钱？
【答案】(1)960(2)34；13(3)225元
【分析】（1）用件数乘以单件进价计算即可；
（2）用标准价减去6即可得出最低售价，算出最高售价再减去进价即可；
（3）算出总售价减去总进价计算即可；
【详解】（1）解：30×32=960，
∴总进价是960元．
故答案为：960；
（2）解：①最低售价是：40-6=34（元）；
②最高利润为：40+5-32=13（元）；
故答案是：34；13；
（3）解：根据题意可得：
4×(40+5)+9×(40+2)+3×(40+1)+5×(40-2)+4×(40-4)+5×(40-6)-960=225（元）．
【点睛】本题主要考查了正数和负数的实际应用，准确计算是解题的关键．
21．【观察思考】
毕达哥拉斯常在沙滩上摆小石子表示数，产生了一系列的形数．如图1，当小石子的数是1，3，6，…时，
小石子能摆成三角形，这些数叫三角形数．如图2，当小石子的数是1，4，9，…时，小石子能摆成正方形，这些数叫正方形数．
【规律发现】
（1）图1中，第n个三角形数是______；图2中，第n个正方形数是______；（请用含n的式子表示）
【猜想验证】
（2）毕达哥拉斯进一步发现了三角形数和正方形数之间的内在联系：1+3=4，6+10=16，请证明：任
意两个相邻三角形数之和是正方形数．
n(n+1)
【答案】（1） ，n2；（2）见解析
2
【分析】
本题主要考查图形的变化规律，整式的乘法，因式分解,正确找出图形的规律是解题的关键．
n(n+1)
（1）根据题意得出第n个三角形数为 ，第n个正方形数为n2，据此可得答案；
2
（2）设任意两个三角形数为第k个数和第(k+1)个数，列出代数式并应用因式分解，即得答案．
n(n+1)
【详解】（1）由题意知第n个三角形数为1+2+3+⋯+n= ，
2
第n个正方形数为n2；
n(n+1)
故答案为： ，n2．
2
（2）设任意两个三角形数为第k个数和第(k+1)个数，
k(k+1) (k+1)(k+2)
则 +
2 2
(k+1)
= [k+(k+2)]
2
(k+1)
= (2k+2)
2
=(k+1) 2，
所以任意第k个数和第(k+1)个三角形数之和恰等于第(k+1)个正方形数；
即任意两个相邻三角形数之和是正方形数．
22．某校六年级200名学生参加了环保知识竞赛，已知竞赛得分都是整数，满分100分．随机抽取了部分学生的竞赛成绩作为一个样本，数据整理后分成6个小组，画出竞赛成绩的频数分布直方图，如图1所示
（每个小组可包括最小值，不包括最大值），同时画出竞赛成绩等第的扇形统计图，如图2所示（设竞赛
成绩为a分，0≤a<60为不合格、60≤a<80为合格，80≤a<90为良好，90≤a≤110为优秀）．根据图
中的信息回答下列问题：
(1)估计六年级参赛学生中成绩为良好的学生有________人；请把图1补画完整、补齐图2中缺失的数据；
(2)小明对统计图进行了研究，得出了如下结论：
①中位数一定落在80分—90分这一组内；
②众数一定落在80分—90分这一组内；
③仍有不合格的学生，该校环保知识宣传需进一步加强；
④从这两个统计图中能准确求出样本的平均数．
上述结论中错误的是________（填序号）．
(3)估计本次六年级参赛学生中荣获优秀的共有m人．学校“环保社团”决定：这m名学生都光荣的成为学
校的小小环保“宣传员”，从中选派x人帮助本年级参赛得分60分以下的学生普及环保知识．经计算，x
与(m-x)的积恰好等于样本容量的15倍．你认为x的值取多少比较合理，为什么？
【答案】(1)45人，补全图形见解析(2)②④(3)x=10合理；
【分析】（1）由总人数乘以样本优秀率即可得到答案，再求解样本容量及60≤a<70的人数，再求解扇形
图中的各百分比补全图形即可；
（2）根据中位数，众数，样本平均数的含义可得答案；
（3）根据x与(m-x)的积恰好等于样本容量的15倍建立方程求解x，结合得分60分以下的学生有
200×5%=10可得答案．
【详解】（1）解：∵(6+8)÷35%=40，
∴40-2-8-9-8-6=7，9
∵200× =45，
40
六年级参赛学生中成绩为良好的学生有45人；
∵良好占9÷40=22.5%，
∴合格占1-22.5%-35%-5%=37.5%
补全条形图如下：
（2）由40个数据，第20个，第21个数据落在80分—90分这一组，故①正确；
众数是出现次数最多的数据，不一定落在80分—90分这一组内，故②不正确；
仍有不合格的学生，该校环保知识宣传需进一步加强；故③正确；
从这两个统计图中不能准确求出样本的平均数，故④不正确；
∴上述结论中错误的是②④；
（3）由（1）得：m=200×35%=70，样本容量为40，
∴x(70-x)=40×15，
整理得：x2-70x+600=0，
解得：x =10，x =60，
1 2
∵得分60分以下的学生有200×5%=10，
∴x=10合理；
【点睛】本题考查的是从扇形图与条形图中获取信息，中位数，众数的含义，样本容量的概念，一元二次
方程的解法，掌握以上基础知识是解本题的关键；
23．乒乓球被誉为中国国球．2023年的世界乒乓球标赛中，中国队包揽了五个项目的冠军，成绩的取得与
平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．如图，是乒乓球台的截面示意图，一位运动员从球台边缘
正上方以击球高度OA为28.75cm的高度，将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是
抛物线的一部分．乒乓球到球台的竖直高度记为y（单位：cm），乒乓球运行的水平距离记为x（单位：cm）．测得如下数
据：
9
水平距离x/cm 0 10 50 130 170 230
0
4
竖直高度y/cm 28.75 33 45 45 33 0
9
(1)①当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是________cm，当乒乓球落在对面球台上时，到起始点的
水平距离是________cm；
②求满足条件的抛物线解析式：
(2)技术分析：如果乒乓球的运行轨迹形状不变，最高点与球台之间的距离不变，只上下调整击球高度OA，
确保乒乓球既能过网，又能落在对面球台上，需要计算出OA的取值范围，以利于有针对性的训练．如图
②．乒乓球台长OB为274cm，球网CD高15.25cm．现在已经计算出乒乓球恰好过网的击球离度OA的值约
为48cm．请你计算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度OA的值（乒乓球大小忽略不计）．
【答案】(1)①49，230；②y=-0.0025(x-90) 2+49
(2)乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度OA的值为4.11cm
【分析】本题考查了二次函数的应用，画二次函数图象，二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的
性质是解题的关键．
（1）①根据二次函数图象的对称性求得对称轴以及顶点，根据表格数据，可得当y=0 时，x=230；②待
定系数法求解析式即可求解；
（2）根据题意，设平移后的抛物线的解析式为y=-0.0025(x-h) 2+49，当x=274时，y=0，代入进行
计算即可求解．
【详解】（1）解：①观察表格数据，可知当x=50和x=130 时，函数值相等，
50+130
∴对称轴为直线x= =90，顶点坐标为(90,49)，
2
∵抛物线开口向下，
∴最高点时，乒乓球与球台之间的距离是49cm，当y=0时，x=230，
∴乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是230cm；
故答案为：49；230；
②设抛物线解析式为y=a(x-90) 2+49，
将(230,0)代入得，0=a(230-90) 2+49，
解得：a=-0.0025，
∴抛物线解析式为y=-0.0025(x-90) 2+49；
（2）解：∵运行轨迹形状不变，最高点与球台之间的距离不变
∴可设平移后的抛物线的解析式为y=-0.0025(x-h) 2+49，
依题意，当x=274时，y=0，
即-0.0025(274-h) 2+49=0，
解得：h =134，h =414（不合题意，舍去）．
1 2
当h =134,x=0时．-0.0025(0-134) 2+49=4.11(cm)
1
答：乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度OA的值为4.11cm
24．筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，唐代陈廷章在《水轮赋》中写道：“水能利物，轮乃曲
5
成”．如图，半径为3m的筒车⊙O按逆时针方向每分钟转 圈，筒车与水面分别交于点A、B，筒车的轴
6
心O距离水面的高度OC长为2.2m，筒车上均匀分布着若干个盛水筒．若以某个盛水筒P刚浮出水面时开
11 11 3
始计算时间．（参考数据：cos43°=sin47°≈ ，sin16°=cos74°≈ ，sin22°=cos68°≈ ）
15 40 8
(1)经过多长时间，盛水筒P首次到达最高点？
(2)浮出水面3.4秒后，盛水筒P距离水面多高？(3)若接水槽MN所在直线是⊙O的切线，且与直线AB交于点M，MO=8m．求盛水筒P从最高点开始，
至少经过多长时间恰好在直线MN上．
【答案】(1)1.5(2)0.7(3)至少经过7.6秒恰好在直线MN上
【分析】本题考查了切线的性质，解直角三角形的应用，找对相应直角三角形是解决问题的关键．
OC 2.2 11
（1）连接OA，根据cos∠AOC= = = ，得∠AOC=43°，可得答案；
OA 3 15
（2）根据题意知，∠AOP=3.4×5°=17°，得∠POC=∠AOC+∠AOP=43+17°=60°，过点P作
PD⊥OC于D，利用三角函数求出OD的长；
OP 3
（3）由题意知OP⊥MN，利用cos∠POM= = ，得∠POM=68°，在Rt△COM中，根据
OM 8
OC 2.2 11
cos∠COM= = = ，得∠COM=74°，从而得出答案．
OM 8 40
【详解】（1）解：如图，连接OA，
5
由题意知，筒车每秒旋转360°× ÷60=5°，
6
OC 2.2 11
在Rt△ACO中，cos∠AOC= = = ，
OA 3 15
∴∠AOC=43°，
180°-43°
∴盛水筒P首次到达最高点的时间： =27.4（秒）；
5
（2）解：如图，
∵ 3.4 ∠AOP=3.4×5°=17°
盛水筒P浮出水面 秒后， ，
∴∠POC=∠AOC+∠AOP=43°+17°=60°，
过点P作PD⊥OC于D，在Rt△POD中，
1
OD=OP⋅cos60°=3× =1.5（米），
2
∴盛水筒P距离水面距离为：2.2-1.5=0.7（米）；
（3）解：如图，
∵ ⊙O MN ⊙O
点P在 上，且 与 相切，
∴当点P在MN上时，此时点P是切点，连接OP，则OP⊥MN，
OP 3
在Rt△OPM中，cos∠POM= = ，
OM 8
∴∠POM=68°，
OC 2.2 11
在Rt△COM中，cos∠COM= = = ，
OM 8 40
∴∠COM=74°，
∵∠POH=180°-68°-74°=38°，
38
∴ =7.6（秒），
5
∴至少经过7.6秒恰好在直线MN上．
25．根据以下素材，探索完成任务一：
如何设计购买方案？
某校40名同学要去参观航天展览馆，已知展览馆分为A，B，C三个场馆，且购买1张A场馆门票
素
和1张B场馆门票共需90元，购买3张A场馆门票和2张B场馆门票共需230元．C场馆门票为每张15
材1
元
素 由于场地原因，要求到A场馆参观的人数要少于到B场馆参观的人数，且每位同学只能选择一个场
材2 馆参观．参观当天刚好有优惠活动：每购买1张A场馆门票就赠送1张C场馆门票．
问题解决
任 确定场馆
求A场馆和B场馆的门票价格．
务1 门票价格
任 探究经费 若购买A场馆门票赠送的C场馆门票刚好够参观C场馆的同学使用，求此次购买门票所
务2 的使用 需总金额的最小值．任 拟定购买 若参观C场馆的同学除了使用掉赠送的门票外，还需购买部分门票，且让去A场馆的
务3 方案 人数尽量的多，最终购买三种门票共花费了1100元，请你直接写出购买方案．
探索完成任务二：
如图，在参观航天展览馆活动中，某班学生分成两组，第一组由A场馆匀速步行到B场馆后原路原速返回，
第二组由A场馆匀速步行到B场馆继续前行到C场馆后原路原速返回．两组同时出发，设步行的时间为t
（单位：h），两组离B场馆的距离为s（单位：km），图中折线分别表示两组学生s与t之间的函数关系．
（1）B，C两场馆之间的距离为______km；
（2）第二组步行的速度为______km/h；
（3）求第二组由A场馆出发首次到达B场馆所用的时间．
【答案】任务一：任务1：A场馆门票的单价为50元，B场馆门票的单价为40元；任务2：1210元；任务3：
购买5张A场馆门票，16张B场馆门票，14张C场馆门票或购买10张A场馆门票，12张B场馆门票，8张C
场馆门票；
任务二：（1）2；（2）10；（3）0.8h．
【分析】任务一
任务1：设A场馆门票为x元，B场馆门票为y元，根据题意列出一元二次方程组解答即可求解；
任务2：设购买A场馆门票a张，购买门票所需总金额为w元，求出w与a之间的函数解析式，根据一次函数
的性质解答即可求解；
6
任务3：设购买A场馆门票m张，C场馆门票n张，根据题意列出一元二次方程，得到n=20- m，根据
5
m，n均为正整数，运用分类讨论思想解答即可求解；
任务二
（1）根据函数图象即可求解；
（2）根据函数图象得到第二组2个小时步行了20km，据此即可求解；
（3）利用（2）中的结果即可求解；
本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，二元一次方程的应用，根据题意，正确得到方程（组）和函数解析式是解题的关键．
【详解】解：任务一
任务1：设A场馆门票为x元，B场馆门票为y元，
由题意，得¿，
解得¿，
答：A场馆门票的单价为50元，B场馆门票的单价为40元；
任务2：设购买A场馆门票a张，则购买B场馆门票(40-2a)张，
依题意，得a<40-2a，
40
解得a< ，
3
设此次购买门票所需总金额为w元，
则w=50a+40(40-2a)=-30a+1600，
∵-30<0，
∴ w随a的增大而减小，
40
∵ a< ，且a为整数，
3
∴当a=13时，w取得最小值，最小值=-30×13+1600=1210元，
答：此次购买门票所需总金额的最小值为1210元；
任务3：设购买A场馆门票m张，C场馆门票n张，则购买B场馆门票(40-2m-n)张，
依题意得，50m+40(40-2m-n)+15n=1100，
6
∴n=20- m，
5
又∵m，n均为正整数，
∴¿或¿或¿，
当m=5，n=14时， 40-2m-n=40-2×5-14=16>5 ，符合题意；
当m=10，n=8时，40-2m-n=40-2×10-8=12>10 ，符合题意.；
当m=15，n=2时，40-2m-n=40-2×15-2=8<15，不合题意，舍去；
∴购买5张A场馆门票，16张B场馆门票，14张C场馆门票或购买10张A场馆门票，12张B场馆门票，8张
C场馆门票；
任务二
（1）由函数图象可得，为2km，
故答案为：2；（2）由图象可得，第二组2个小时步行了8+2+2+8=20km，
∴20÷2=10km/h，
故答案为：10；
（3）∵第二组从A场馆出发首次到达B场馆所走的路程为8km，第二组的速度是10km/h，
∴第二组由A场馆出发首次到达B场馆所用的时间为8÷10=0.8h．
26．四边形ABCD是正方形，E是直线BC上一点，连接AE，在AE右侧，过点E作射线EP⊥AE，F为
EP上一点．
(1)如图1，若点E是BC边的中点，且EF=AE，连接CF，则∠DCF=________°；
(2)如图2，若点E是BC边上一点（不与B，C重合），∠DCF=45°，判断线段EF与AE的数量关系，并
说明理由；
(3)若正方形边长为1，且EF=AE，当AF+BF取最小值时，求△BCF的面积．
1
【答案】(1)45(2)EF=AE，理由见解析(3)
6
【分析】（1）如图所示，过点F作FG⊥BC交BC延长线于G，利用AAS证明∴△ABE≌△EGF，得到
BE=FG，AB=EG，进而证明CG=FG，得到∠FCG=45°，则∠DCF=45°；
（2）如图所示，在AB上取一点M使得BM=BE，先证明AM=CE，然后利用ASA证明△AME≌△ECF，
即可证明EF=AE；
（3）先利用一线三垂直模型分图1和图2两种情况，证明△ABE≌△EGF，推出F(m+1，m)，即点F
在直线y=x-1上运动；如图3所示，作点B关于直线y=x-1的对称点H，连接HF，则H(1，-1)，则
当A、F、H三点共线时，AF+HF最小，即AF+BF最小，求出直线AH解析式为y=-2x+1，联立¿，
(2 1) 1 1 1 1
求出F ，- ，则S = BC⋅(- y )= ×1× = ．
3 3 △BCF 2 F 2 3 6
【详解】（1）解：如图所示，过点F作FG⊥BC交BC延长线于G，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=∠DCB=∠DCG=90°，
∴∠ABE=∠EGF，∵EP⊥AE，即∠AEF=90°，
∴∠BAE+∠BEA=90°=∠BEA+∠GEF，
∴∠BAE=∠GEF，
又∵EF=AE，
∴△ABE≌△EGF(AAS)，
∴BE=FG，AB=EG，
∴BC=EG，
∴BE=CG，
∴CG=FG，
∴∠FCG=45°，
∴∠DCF=45°，
故答案为：45；
（2）解：EF=AE，理由如下：
如图所示，在AB上取一点M使得BM=BE，
∴AB-AM=BC-BE，即AM=CE，
∵∠B=90°，
∴∠BME=∠BEM=45°，
∴∠AME=135°，
∵EP⊥AE，即∠AEF=90°，
∠MEA+∠MAE=45°=∠MEA+∠CEF，
∴∠MAE=∠CEF，
∵∠DCE=90°，∠DCF=45°，
∴∠ECF=135°=∠AME，
∴△AME≌△ECF(ASA)，
∴EF=AE；（3）解：如图1所示，当点E在AB右侧时，过点F作FG⊥BC交BC延长线于G，以B为原点，
BC，AB所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，设E(m，0)，
∴OE=m，OA=OB=1，
同理可证△ABE≌△EGF，
∴FG=OE=m，GE=AB=1，
∴OG=OE+GE=m+1，
∴F(m+1，m)，
∴点F在直线y=x-1上运动；
如图2所示，当点E在AB左侧时，
∴OE=-m，OA=OB=1，
同理可证△ABE≌△EGF，
∴FG=OE=-m，GE=AB=1，
∴G(1-m，0)，
∴F(1-m，-m)，
∴点F在直线y=x-1上运动；
综上所述，点F的运动轨迹即为直线y=x-1；如图3所示，作点B关于直线y=x-1的对称点H，连接HF，则H(1，-1)，
∴BF=HF，
∴AF+BF=AF+HF，
∴当A、F、H三点共线时，AF+HF最小，即AF+BF最小，
设直线AH解析式为y=kx+b，
∴¿，
∴¿，
∴直线AH解析式为y=-2x+1，
联立¿，解得¿，
(2 1)
∴F ，- ，
3 3
1 1 1 1
∴S = BC⋅(- y )= ×1× = ．
△BCF 2 F 2 3 6
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，轴对称最短路径问题，一次函数与几何综合，等腰直角三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线是解题的关键．
