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2015年湖南省怀化市中考数学试卷
一、选择题（每小题4分，共40分；每小题的四个选项中只有一项是正确的，请将正确选项的
代号填涂在答题卡的相应位置上）
1．（4分）某地一天的最高气温是12℃，最低气温是2℃，则该地这天的温差是（ ）
A．﹣10℃ B．10℃ C．14℃ D．﹣14℃
2．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．x2+x3＝x5 B．（x3）3＝x6 C．x•x2＝x2 D．x（2x）2＝4x3
3．（4分）体育课上，某班两名同学分别进行了5次短跑训练，要判断哪一位同学的成绩比较
稳定，通常要比较两名同学成绩的（ ）
A．平均数 B．方差 C．众数 D．中位数
4．（4分）下列不等式变形正确的是（ ）
A．由a＞b得ac＞bc B．由a＞b得﹣2a＞﹣2b
C．由a＞b得﹣a＜﹣b D．由a＞b得a﹣2＜b﹣2
5．（4分）下列事件是必然事件的是（ ）
A．地球绕着太阳转
B．抛一枚硬币，正面朝上
C．明天会下雨
D．打开电视，正在播放新闻
6．（4分）一个多边形的内角和是360°，这个多边形是（ ）
A．三角形 B．四边形 C．六边形 D．不能确定
7．（4分）设x ，x 是方程x2+5x﹣3＝0的两个根，则x 2+x 2的值是（ ）
1 2 1 2
A．19 B．25 C．31 D．30
8．（4分）下列各点中，在函数y＝﹣ 图象上的是（ ）
A．（﹣2，4） B．（2，4） C．（﹣2，﹣4） D．（8，1）
9．（4分）如图，甲、乙、丙三个图形都是由大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，小正
方形中的数字表示该位置小正方体的个数．其中主视图相同的是（ ）
第1页（共15页）A．仅有甲和乙相同 B．仅有甲和丙相同
C．仅有乙和丙相同 D．甲、乙、丙都相同
10．（4分）一次函数y＝kx+b（k≠0）在平面直角坐标系内的图象如图所示，则k和b的取值范
围是（ ）
A．k＞0，b＞0 B．k＜0，b＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＞0，b＜0
二、填空题（每小题4分，共16分）
11．（4分）二次函数y＝x2+2x的顶点坐标为 ，对称轴是直线 ．
12．（4分）分解因式：ax2﹣ay2＝ ．
13．（4分）方程 ＝0的解是 ．
14．（4分）如图，在正方形ABCD中，如果AF＝BE，那么∠AOD的度数是 ．
三、解答题（本大题共8小题，共64分）
15．（8分）计算： ．
16．（8分）解不等式组： ，并把它的解集在数轴上表示出来．
17．（8分）已知：如图，在△ABC中，DE、DF是△ABC的中位线，连接EF、AD，其交点为O．
求证：
（1）△CDE≌△DBF；
（2）OA＝OD．
第2页（共15页）18．（8分）小明从今年1月初起刻苦练习跳远，每个月的跳远成绩都比上一个月有所增加，而
且增加的距离相同．2月份，5月份他的跳远成绩分别为4.1m，4.7m．请你算出小明1月份
的跳远成绩以及每个月增加的距离．
19．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，AB＝2
（1）求作 O，使它过点A、B、C（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（⊙1）所作的圆中，求出劣弧 的长l．
20．（8分）甲乙两人玩一种游戏：三张大小、质地都相同的卡片上分别标有数字1，2，3，现将
标有数字的一面朝下，洗匀后甲从中任意抽取一张，记下数字后放回；又将卡片洗匀，乙
也从中任意抽取一张，计算甲乙两人抽得的两个数字之积，如果积为奇数则甲胜，若积为
偶数则乙胜．
（1）用列表或画树状图等方法，列出甲乙两人抽得的数字之积所有可能出现的情况；
（2）请判断该游戏对甲乙双方是否公平？并说明理由．
21．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E是BC的中点，以AC为直径的 O与AB边
交于点D，连接DE ⊙
（1）求证：△ABC∽△CBD；
（2）求证：直线DE是 O的切线．
⊙
22．（8分）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P以每秒1个单位的速度从
第3页（共15页）A向C运动，同时点Q以每秒2个单位的速度从A→B→C方向运动，它们到C点后都停
止运动，设点P，Q运动的时间为t秒．
（1）在运动过程中，求P，Q两点间距离的最大值；
（2）经过t秒的运动，求△ABC被直线PQ扫过的面积S与时间t的函数关系式；
（3）P，Q两点在运动过程中，是否存在时间t，使得△PQC为等腰三角形？若存在，求出此
时的t值；若不存在，请说明理由（ ≈2.24，结果保留一位小数）
第4页（共15页）2015年湖南省怀化市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题4分，共40分；每小题的四个选项中只有一项是正确的，请将正确选项的
代号填涂在答题卡的相应位置上）
1．【分析】用最高气温减去最低气温，然后根据有理数的减法运算法则减去一个数等于加上
这个数的相反数进行计算即可得解．
【解答】解：12℃﹣2℃＝10℃．
故选：B．
【点评】本题考查了有理数的减法，熟记减去一个数等于加上这个数的相反数是解题的关
键．
2．【分析】原式各项计算得到结果，即可做出判断．
【解答】解：A、原式不能合并，错误；
B、原式＝x9，错误；
C、原式＝x3，错误；
D、原式＝4x3，正确，
故选：D．
【点评】此题考查了单项式乘以单项式，合并同类项，同底数幂的乘法，以及幂的乘方与积
的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
3．【分析】根据方差的意义：是反映一组数据波动大小，稳定程度的量；方差越大，表明这组
数据偏离平均数越大，即波动越大，反之也成立．故要判断哪一名学生的成绩比较稳定，
通常需要比较这两名学生了5次短跑训练成绩的方差．
【解答】解：由于方差能反映数据的稳定性，需要比较这两名学生了5次短跑训练成绩的方
差．
故选：B．
【点评】此题主要考查了方差，关键是掌握方差所表示的意义．
4．【分析】A：因为c的正负不确定，所以由a＞b得ac＞bc不正确，据此判断即可．
B：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，据此判断即可．
C：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，据此判断即可．
D：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不
第5页（共15页）变，据此判断即可．
【解答】解：∵a＞b，
∴ c＞0时，ac＞bc； c＝0时，ac＝bc； c＜0时，ac＜bc，
∴①选项A不正确； ② ③
∵a＞b，
∴﹣2a＜﹣2b，
∴选项B不正确；
∵a＞b，
∴﹣a＜﹣b，
∴选项C正确；
∵a＞b，
∴a﹣2＞b﹣2，
∴选项D不正确．
故选：C．
【点评】此题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个
正数，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方
向改变；（3）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号
的方向不变．
5．【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件．
【解答】解：A、地球绕着太阳转是必然事件，故A符合题意；
B、抛一枚硬币，正面朝上是随机事件，故B不符合题意；
C、明天会下雨是随机事件，故C不符合题意；
D、打开电视，正在播放新闻是随机事件，故D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的
概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不
发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
6．【分析】本题根据多边形的内角和定理和多边形的内角和等于360°，列出方程，解出即可．
【解答】解：设这个多边形的边数为n，
则有（n﹣2）180°＝360°，
解得：n＝4，
第6页（共15页）故这个多边形是四边形．
故选：B．
【点评】本题主要考查多边形的内角和定理，解题的关键是根据已知等量关系列出方程从
而解决问题．
7．【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系，即可求得x 与x 的和与积，所求的代数式
1 2
可以用两根的和与积表示出来，即可求解．
【解答】解：∵x ，x 是方程x2+5x﹣3＝0的两个根，
1 2
∴x +x ＝﹣5，x x ＝﹣3，
1 2 1 2
∴x 2+x 2＝（x +x ）2﹣2x x ＝25+6＝31．
1 2 1 2 1 2
故选：C．
【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是
一种经常使用的解题方法．
8．【分析】只需把所给点的横纵坐标相乘，结果是﹣8的，就在此函数图象上．
【解答】解：∵反比例函数y＝﹣ 中，k＝﹣8，
∴只需把各点横纵坐标相乘，结果为﹣8的点在函数图象上，
四个选项中只有A选项符合．
故选：A．
【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵
坐标的积应等于比例系数．
9．【分析】由已知条件可知，甲的主视图有2列，每列小正方数形数目分别为2，2；乙的主视
图有2列，每列小正方数形数目分别为2，1；丙的主视图有2列，每列小正方数形数目分
别为2，2．据此可即可求解．
【解答】解：根据分析可知，甲的主视图有2列，每列小正方数形数目分别为2，2；乙的主视
图有2列，每列小正方数形数目分别为2，1；丙的主视图有2列，每列小正方数形数目分
别为2，2；
则主视图相同的是甲和丙．
故选：B．
【点评】本题考查几何体的三视图画法．由几何体的俯视图及小正方形内的数字，可知主
视图的列数与俯视数的列数相同，且每列小正方形数目为俯视图中该列小正方形数字中
的最大数字．左视图的列数与俯视图的行数相同，且每列小正方形数目为俯视图中相应行
第7页（共15页）中正方形数字中的最大数字．
10．【分析】根据一次函数的图象与系数的关系进行解答即可．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象经过一、二、四象限，
∴k＜0，b＞0．
故选：C．
【点评】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，即一次函数y＝kx+b（k≠0）中，当k
＜0，b＞0时图象在一、二、四象限．
二、填空题（每小题4分，共16分）
11．【分析】先把该二次函数化为顶点式的形式，再根据其顶点式进行解答即可．
【解答】解：∵y＝x2+2x＝（x+1）2﹣1，
∴二次函数y＝x2+4x的顶点坐标是：（﹣1，﹣1），对称轴是直线x＝﹣1．
故答案为：（﹣1，﹣1），x＝﹣1．
【点评】此题主要考查了二次函数的性质和求抛物线的顶点坐标、对称轴的方法，熟练配
方是解题关键．
12．【分析】应先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】解：ax2﹣ay2，
＝a（x2﹣y2），
＝a（x+y）（x﹣y）．
故答案为：a（x+y）（x﹣y）．
【点评】本题主要考查提公因式法分解因式和平方差公式分解因式，需要注意分解因式一
定要彻底．
13．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得
到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：2+2x﹣x＝0，
解得：x＝﹣2，
经检验x＝﹣2是分式方程的解．
故答案为：x＝﹣2．
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转
化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
14．【分析】根据全等三角形的判定与性质，可得∠ODA与∠BAE的关系，根据余角的性质，
可得∠ODA与∠OAD的关系，根据直角三角形的判定，可得答案．
第8页（共15页）【解答】解：由ABCD是正方形，得
AD＝AB，∠DAB＝∠B＝90°．
在△ABE和△DAF中 ，
∴△ABE≌△DAF，
∴∠BAE＝∠ADF．
∵∠BAE+∠EAD＝90°，
∴∠OAD+∠ADO＝90°，
∴∠AOD＝90°，
故答案为：90°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了全等三角形的判定与性质，余角的
性质，直角三角形的判定．
三、解答题（本大题共8小题，共64分）
15．【分析】原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项利用特殊角的三角函数值计算，
第三项利用负整数指数幂法则计算，第四项利用零指数幂法则计算，最后一项利用算术平
方根的定义计算即可得到结果．
【解答】解：原式＝ ﹣1+4× ﹣2﹣1+3＝ +1．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
16．【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集并在数轴上表示出来即可．
【解答】解：由 得，x≤2，
由 得，x＞﹣1①，
故②此不等式组的解集为：﹣1＜x≤2．
在数轴上表示为：
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取较大，同小取较小，小大大小中
间找，大大小小解不了”的原则是解答此题的关键．
17．【分析】（1）根据三角形中位线，可得DF与CE的关系，DB与DC的关系，根据SAS，可
得答案；
第9页（共15页）（2）根据三角形的中位线，可得DF与AE的关系，根据平行四边形的判定与性质，可得答
案．
【解答】证明：（1）∵DE、DF是△ABC的中位线，
∴DF＝CE，DF∥CE，DB＝DC．
∵DF∥CE，
∴∠C＝∠BDF．
在△CDE和△DBF中 ，
∴△CDE≌△DBF （SAS）；
（2）∵DE、DF是△ABC的中位线，
∴DF＝AE，DF∥AE，
∴四边形DEAF是平行四边形，
∵EF与AD交于O点，
∴AO＝OD
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，（1）利用了三角形中位线的性质，全等三角
形的判定；（2）利用了三角形中位线的性质，平行四边的性的判定与性质．
18．【分析】设小明1月份的跳远成绩为xm，则5月份﹣2月份＝3（2月份﹣1月份），据此列
出方程并解答．
【解答】解：设小明1月份的跳远成绩为xm，则
4.7﹣4.1＝3（4.1﹣x），
解得x＝3.9．
则每个月的增加距离是4.1﹣3.9＝0.2（m）．
答：小明1月份的跳远成绩是3.9m，每个月增加的距离是0.2m．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出
的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
19．【分析】（1）使以O为圆心的圆经过A、B、C三点，即做三角形的外接圆，因为△ABC为
直角三角形，所以作斜边的中点，以该点为圆心OA为半径作圆即可；
（2）由，∠ACB＝90°，AC＝1，AB＝2，易得∠B＝30°，∠A＝60°，∠BOC＝120°，由弧长计
算公式得出结论．
【解答】解：（1）如图所示， O即为所求；
⊙
第10页（共15页）（2）∵AC＝1，AB＝2，
∴∠B＝30°，∠A＝60°，
∴∠BOC＝120°，
∴l＝ ＝
【点评】本题主要考查了三角形外接圆的做法，含30°直角三角形的性质及弧长的计算，数
形结合，掌握直角三角形的性质是解答此题的关键．
20．【分析】（1）列表得出所有等可能的情况数，找出甲乙两人抽得的数字之积所有可能出现
的情况即可；
（2）分别求出甲乙两人获胜的概率，比较即可得到结果．
【解答】解：（1）列表如下：
1 2 3
1 （1，1） （2，1） （3，1）
2 （1，2） （2，2） （3，2）
3 （1，3） （2，3） （3，3）
所有等可能的情况有9种，分别为（1，1）；（1，2）；（1，3）；（2，1）；（2，2）；（2，3）；（3，1）；
（3，2）；（3，3），
则甲乙两人抽得的数字之积所有可能出现的情况有1，2，3，2，4，6，3，6，9，共9种；
（2）该游戏对甲乙双方不公平，理由为：
其中积为奇数的情况有4种，偶数有5种，
∴P（甲）＜P（乙），
第11页（共15页）则该游戏对甲乙双方不公平．
【点评】此题考查了游戏的公平性，以及列表法与树状图法，判断游戏公平性就要计算每
个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
21．【分析】（1）根据 AC 为 O 的直径，得出△BCD 为 Rt△，通过已知条件证明
△BCD∽△BAC即可； ⊙
（2）连结DO，如图，根据直角三角形斜边上的中线性质，由∠BDC＝90°，E为BC的中点
得到DE＝CE＝BE，则利用等腰三角形的性质得∠EDC＝∠ECD，∠ODC＝∠OCD，由于
∠OCD+∠DCE＝∠ACB＝90°，所以∠EDC+∠ODC＝90°，即∠EDO＝90°，于是根据切线
的判定定理即可得到DE与 O相切．
【解答】（1）证明：∵AC⊙为 O的直径，
∴∠ADC＝90°， ⊙
∴∠BDC＝90°，
又∵∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠BDC，
又∵∠B＝∠B，
∴△BCD∽△BAC；
（2）连结DO，如图，
∵∠BDC＝90°，E为BC的中点，
∴DE＝CE＝BE，
∴∠EDC＝∠ECD，
又∵OD＝OC，
∴∠ODC＝∠OCD，
而∠OCD+∠DCE＝∠ACB＝90°，
∴∠EDC+∠ODC＝90°，即∠EDO＝90°，
∴DE⊥OD，
∴DE与 O相切．
⊙
【点评】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切
第12页（共15页）线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直
即可．也考查了直角三角形斜边上的中线性质和相似三角形的判定与性质．
22．【分析】（1）如图1，过Q作QE⊥AC于E，连接PQ，由△ABC∽△AQE，得到比例式
，求得PE＝ ，QE＝ ，根据勾股定理得到PQ2＝QE2+PE2，求出PQ＝
t，当Q与B重合时，PQ的值最大，于是得到当t＝5时，PQ的最大值＝3 ；
（2）由三角形的面积公式即可求得；
（3）存在，如图2，连接CQ，PQ，分三种情况 当CQ＝CP时， 当PQ＝CQ时， 当PQ
＝PC时，列方程求解即可． ① ② ③
【解答】解：（1）如图1，过Q作QE⊥AC于E，连接PQ，
∵∠C＝90°，
∴QE∥BC，
∴△ABC∽△AQE，
∴ ，
∵AQ＝2t，AP＝t，
∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝10，
∴ ，
∴PE＝ ，QE＝ ，
∴PQ2＝QE2+PE2，
∴PQ＝ t，
当Q与B重合时，PQ的值最大，
∴当t＝5时，PQ的最大值＝3 ；
（2）如图1，△ABC被直线PQ扫过的面积＝S△AQP ，
当Q在AB边上时，S＝ AP•QE＝ t• ＝ ，（0＜t≤5）
第13页（共15页）当Q在BC边上时，△ABC被直线PQ扫过的面积＝S四边形ABQP ，
∴S四边形ABQP ＝S△ABC ﹣S△PQC ＝ ×8×6﹣ （8﹣t）•（16﹣2t）＝﹣t2+16t﹣40，（5＜t≤8）；
∴经过t秒的运动，△ABC被直线PQ扫过的面积S与时间t的函数关系式是：
S＝ ．
（3）存在．
当点Q在AB边上时，如图2，连接CQ，PQ，
由（1）知QE＝ ，CE＝AC﹣AE＝8﹣ ，PQ＝ t，
∴CQ＝ ＝ ＝ ＝2 ，
当CQ＝CP时，
①
即：2 ＝8﹣t，
解得；t＝ ，
当PQ＝CQ时，
②
即； t＝2 ，
解得：t＝ ，t＝8（不合题意舍去），
当PQ＝PC时，
③
即 t＝8﹣t，
解得：t≈3.4；
当点Q在BC边上时，
∵∠ACB＝90°，
∴△PQC是等腰直角三角形，
∴CQ＝CP，
∴8﹣t＝16﹣2t，
第14页（共15页）∴t＝8，∴P，Q，C重合，不合题意，
综上所述：当t＝ ，t＝ ，t＝3.4时，△PQC为等腰三角形．
【点评】本题考查了动点问题，相似三角形的判定和性质，三角形的面积，勾股定理，等腰
三角形的性质，特别是（3）要分类讨论，不要漏解．
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第15页（共15页）
