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2015年湖南省益阳市中考数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的）
1．（5分）下列实数中，是无理数的为（ ）
A． B． C．0 D．﹣3
2．（5分）下列运算正确的是（ ）
A．x2•x3＝x6 B．（x3）2＝x5 C．（xy2）3＝x3y6 D．x6÷x3＝x2
3．（5分）某小组5名同学在一周内参加家务劳动的时间如下表所示，关于“劳动时间”的这
组数据，以下说法正确的是（ ）
劳动时间（小时） 3 3.5 4 4.5
人 数 1 1 2 1
A．中位数是4，平均数是3.75 B．众数是4，平均数是3.75
C．中位数是4，平均数是3.8 D．众数是2，平均数是3.8
4．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（ ）
A．三棱锥 B．三棱柱 C．圆柱 D．长方体
5．（5分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，以下说法错误的是（ ）
A．∠ABC＝90° B．AC＝BD C．OA＝OB D．OA＝AD
6．（5分）下列等式成立的是（ ）
A． + ＝ B． ＝ C． ＝ D． ＝﹣
7．（5分）沅江市近年来大力发展芦笋产业，某芦笋生产企业在两年内的销售额从20万元增
加到80万元．设这两年的销售额的年平均增长率为x，根据题意可列方程为（ ）
第1页（共21页）A．20（1+2x）＝80 B．2×20（1+x）＝80 C．20（1+x2）＝80 D．20（1+x）2＝80
8．（5分）若抛物线y＝（x﹣m）2+（m+1）的顶点在第一象限，则m的取值范围为（ ）
A．m＞1 B．m＞0 C．m＞﹣1 D．﹣1＜m＜0
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线
上）
9．（5分）计算： ＝ ．
10．（5分）已知y是x的反比例函数，当x＞0时，y随x的增大而减小．请写出一个满足以上
条件的函数表达式 ．
11．（5分）甲、乙、丙三位好朋友随机站成一排照合影，甲没有站在中间的概率为 ．
12．（5分）如图，正六边形ABCDEF内接于 O， O的半径为1，则 的长为 ．
⊙ ⊙
13．（5分）如图是用长度相等的小棒按一定规律摆成的一组图案，第1个图案中有6根小棒，
第2个图案中有11根小棒，…，则第n个图案中有 根小棒．
三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
14．（8分）化简：（x+1）2﹣x（x+1）．
15．（8分）如图，直线AB∥CD，BC平分∠ABD，∠1＝65°，求∠2的度数．
第2页（共21页）四、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）
16．（10分）如图，直线l上有一点P（2，1），将点P 先向右平移1个单位，再向上平移2个单
1 1
位得到像点P ，点P 恰好在直线l上．
2 2
（1）写出点P 的坐标；
2
（2）求直线l所表示的一次函数的表达式；
（3）若将点P 先向右平移3个单位，再向上平移6个单位得到像点P ．请判断点P 是否在直
2 3 3
线l上，并说明理由．
17．（10分）2014年益阳市的地区生产总值（第一、二、三产业的增加值之和）已进入千亿元俱
乐部，如图表示2014年益阳市第一、二、三产业增加值的部分情况，请根据图中提供的信
息解答下列问题
（1）2014年益阳市的地区生产总值为多少亿元？
（2）请将条形统计图中第二产业部分补充完整；
（3）求扇形统计图中第二产业对应的扇形的圆心角度数．
第3页（共21页）18．（10分）如图，在 ▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠CAB＝∠ACB，过点B作
BE⊥AB交AC于点E．
（1）求证：AC⊥BD；
（2）若AB＝14，cos∠CAB＝ ，求线段OE的长．
五、解答题（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
19．（12分）大学生小刘回乡创办小微企业，初期购得原材料若干吨，每天生产相同件数的某
种产品，单件产品所耗费的原材料相同．当生产6天后剩余原材料36吨，当生产10天后
剩余原材料30吨．若剩余原材料数量小于或等于3吨，则需补充原材料以保证正常生产．
（1）求初期购得的原材料吨数与每天所耗费的原材料吨数；
（2）若生产16天后，根据市场需求每天产量提高20%，则最多再生产多少天后必须补充原材
料？
20．（12分）已知点P是线段AB上与点A不重合的一点，且AP＜PB．AP绕点A逆时针旋转
第4页（共21页）角 （0°＜ ≤90°）得到AP ，BP绕点B顺时针也旋转角 得到BP ，连接PP 、PP ．
1 2 1 2
α α α
（1）如图1，当 ＝90°时，求∠P PP 的度数；
1 2
（2）如图2，当点α P
2
在AP
1
的延长线上时，求证：△P
2
P
1
P∽△P
2
PA；
（3）如图3，过BP的中点E作l ⊥BP，过BP 的中点F作l ⊥BP ，l 与l 交于点Q，连接PQ，
1 2 2 2 1 2
求证：P P⊥PQ．
1
第5页（共21页）六、解答题（本题满分15分）
21．（15分）已知抛物线E ：y＝x2经过点A（1，m），以原点为顶点的抛物线E 经过点B（2，
1 2
2），点A、B关于y 轴的对称点分别为点A′，B′．
（1）求m的值及抛物线E 所表示的二次函数的表达式；
2
（2）如图1，在第一象限内，抛物线E 上是否存在点Q，使得以点Q、B、B′为顶点的三角形
1
为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，P为第一象限内的抛物线E 上与点A不重合的一点，连接OP并延长与抛物线E
1 2
相交于点P′，求△PAA′与△P′BB′的面积之比．
第6页（共21页）2015 年湖南省益阳市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的）
1．（5分）下列实数中，是无理数的为（ ）
A． B． C．0 D．﹣3
【考点】26：无理数．
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有
理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无
理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：A、是无理数，选项正确；
B、是分数，是有理数，选项错误；
C、是整数，是有理数，选项错误；
D、是整数，是有理数，选项错误．
故选：A．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，2 等；开方开不
尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数． π π
2．（5分）下列运算正确的是（ ）
A．x2•x3＝x6 B．（x3）2＝x5
C．（xy2）3＝x3y6 D．x6÷x3＝x2
【考点】46：同底数幂的乘法；47：幂的乘方与积的乘方；48：同底数幂的除法．
【分析】根据同底数幂的乘法，可判断A；根据幂的乘方，可判断B；根据积的乘方，可判断C；
根据同底数幂的除法，可判断D．
【解答】解：A、同底数幂的乘法底数不变指数相加，故A错误；
B、幂的乘方底数不变指数相乘，故B错误；
C、积的乘方等于乘方的积，故C正确；
D、同底数幂的除法底数不变指数相减，故D错误；
故选：C．
【点评】本题考查了同底数幂的除法，熟记法则并根据法则计算是解题关键．
第7页（共21页）3．（5分）某小组5名同学在一周内参加家务劳动的时间如下表所示，关于“劳动时间”的这
组数据，以下说法正确的是（ ）
劳动时间（小时） 3 3.5 4 4.5
人 数 1 1 2 1
A．中位数是4，平均数是3.75
B．众数是4，平均数是3.75
C．中位数是4，平均数是3.8
D．众数是2，平均数是3.8
【考点】W2：加权平均数；W4：中位数；W5：众数．
【分析】根据众数和中位数的概念求解．
【解答】解：这组数据中4出现的次数最多，众数为4，
∵共有5个人，
∴第3个人的劳动时间为中位数，
故中位数为：4，
平均数为： ＝3.8．
故选：C．
【点评】本题考查了中位数、平均数、众数的知识，解答本题的关键是掌握各知识点的概念．
4．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（ ）
A．三棱锥 B．三棱柱 C．圆柱 D．长方体
【考点】U3：由三视图判断几何体．
【分析】根据三视图的知识，正视图为两个矩形，左视图为一个矩形，俯视图为一个三角形，故
这个几何体为直三棱柱
【解答】解：根据图中三视图的形状，符合条件的只有直三棱柱，因此这个几何体的名称是直
三棱柱．
故选：B．
【点评】本题考查由三视图确定几何体的形状，主要考查学生空间想象能力及对立体图形的
认识．
第8页（共21页）5．（5分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，以下说法错误的是（ ）
A．∠ABC＝90° B．AC＝BD C．OA＝OB D．OA＝AD
【考点】LB：矩形的性质．
【分析】矩形的性质：四个角都是直角，对角线互相平分且相等；由矩形的性质容易得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠BAD＝90°，AC＝BD，OA＝ AC，OB＝ BD，
∴OA＝OB，
∴A、B、C正确，D错误，
故选：D．
【点评】本题考查了矩形的性质；熟练掌握矩形的性质是解决问题的关键．
6．（5分）下列等式成立的是（ ）
A． + ＝ B． ＝
C． ＝ D． ＝﹣
【考点】6C：分式的混合运算．
【专题】11：计算题．
【分析】原式各项计算得到结果，即可做出判断．
【解答】解：A、原式＝ ，错误；
B、原式不能约分，错误；
C、原式＝ ＝ ，正确；
D、原式＝ ＝﹣ ，错误，
故选：C．
【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
7．（5分）沅江市近年来大力发展芦笋产业，某芦笋生产企业在两年内的销售额从20万元增
第9页（共21页）加到80万元．设这两年的销售额的年平均增长率为x，根据题意可列方程为（ ）
A．20（1+2x）＝80 B．2×20（1+x）＝80
C．20（1+x2）＝80 D．20（1+x）2＝80
【考点】AC：由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】123：增长率问题．
【分析】根据第一年的销售额×（1+平均年增长率）2＝第三年的销售额，列出方程即可．
【解答】解：设增长率为x，根据题意得20（1+x）2＝80，
故选：D．
【点评】本题考查一元二次方程的应用﹣﹣求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化
后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．（当增长时中
间的“±”号选“+”，当下降时中间的“±”号选“﹣”）．
8．（5分）若抛物线y＝（x﹣m）2+（m+1）的顶点在第一象限，则m的取值范围为（ ）
A．m＞1 B．m＞0 C．m＞﹣1 D．﹣1＜m＜0
【考点】H3：二次函数的性质．
【专题】16：压轴题．
【分析】利用y＝ax2+bx+c的顶点坐标公式表示出其顶点坐标，根据顶点在第一象限，所以顶
点的横坐标和纵坐标都大于0列出不等式组．
【解答】解：由y＝（x﹣m）2+（m+1）可知为顶点（m，m+1），
由顶点在第一象限得m＞0且m+1＞0，
解得m＞0．
故选：B．
【点评】本题考查顶点坐标的公式和点所在象限的取值范围，同时考查了不等式组的解法，难
度较大．
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线
上）
9．（5分）计算： ＝ 4 ．
【考点】75：二次根式的乘除法．
【专题】11：计算题．
【分析】原式利用二次根式的乘法法则计算，将结果化为最简二次根式即可．
【解答】解：原式＝ ＝ ＝4．
故答案为：4
第10页（共21页）【点评】此题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
10．（5分）已知y是x的反比例函数，当x＞0时，y随x的增大而减小．请写出一个满足以上
条件的函数表达式 y ＝ （ x ＞ 0 ），答案不唯一 ．
【考点】G4：反比例函数的性质．
【专题】26：开放型．
【分析】反比例函数的图象在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而增大，则反比例函数
的反比例系数k＜0；反之，只要k＜0，则反比例函数在每个象限内，函数值y随自变量x
的增大而增大．
【解答】解：只要使反比例系数大于0即可．如y＝ （x＞0），答案不唯一．
故答案为：y＝ （x＞0），答案不唯一．
【点评】本题主要考查了反比例函数y＝ （k≠0）的性质：
k＞0时，函数图象在第一，三象限．在每个象限内y随x的增大而减小；
①k＜0时，函数图象在第二，四象限．在每个象限内y随x的增大而增大．
②
11．（5分）甲、乙、丙三位好朋友随机站成一排照合影，甲没有站在中间的概率为 ．
【考点】X6：列表法与树状图法．
【分析】列举出所有情况，看甲没排在中间的情况占所有情况的多少即为所求的概率．
【解答】解：甲、乙、丙三个同学排成一排拍照有以下可能：
甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲，全部6种情况，
有4种甲没在中间，
所以甲没排在中间的概率是 ＝ ．
故答案为 ．
【点评】本题考查用列举法求概率，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．
12．（5分）如图，正六边形ABCDEF内接于 O， O的半径为1，则 的长为 ．
⊙ ⊙
第11页（共21页）【考点】MM：正多边形和圆；MN：弧长的计算．
【分析】求出圆心角∠AOB的度数，再利用弧长公式解答即可．
【解答】解：∵ABCDEF为正六边形，
∴∠AOB＝360°× ＝60°，
的长为 ＝ ．
故答案为： ．
【点评】此题将扇形的弧长公式与多边形的性质相结合，构思巧妙，利用了正六边形的性质．
13．（5分）如图是用长度相等的小棒按一定规律摆成的一组图案，第1个图案中有6根小棒，
第2个图案中有11根小棒，…，则第n个图案中有 5 n + 1 根小棒．
【考点】38：规律型：图形的变化类．
【专题】16：压轴题；2A：规律型．
【分析】由图可知：第1个图案中有5+1＝6根小棒，第2个图案中有2×5+2﹣1＝11根小棒，
第3个图案中有3×5+3﹣2＝16根小棒，…由此得出第n个图案中有5n+n﹣（n﹣1）＝
5n+1根小棒．
【解答】解：∵第1个图案中有5+1＝6根小棒，
第2个图案中有2×5+2﹣1＝11根小棒，
第3个图案中有3×5+3﹣2＝16根小棒，
…
∴第n个图案中有5n+n﹣（n﹣1）＝5n+1根小棒．
故答案为：5n+1．
【点评】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出数字之间的运算规律，利用规
第12页（共21页）律解决问题．
三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
14．（8分）化简：（x+1）2﹣x（x+1）．
【考点】4I：整式的混合运算．
【分析】利用完全平方公式和整式的乘法计算，进一步合并得出答案即可．
【解答】解：原式＝x2+2x+1﹣x2﹣x
＝x+1．
【点评】此题考查整式的混合运算，掌握计算方法与计算公式是解决问题的关键．
15．（8分）如图，直线AB∥CD，BC平分∠ABD，∠1＝65°，求∠2的度数．
【考点】JA：平行线的性质．
【分析】由平行线的性质得到∠ABC＝∠1＝65°，∠ABD+∠BDC＝180°，由BC平分∠ABD，
得到∠ABD＝2∠ABC＝130°，于是得到结论．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠ABC＝∠1＝65°，∠ABD+∠BDC＝180°，
∵BC平分∠ABD，
∴∠ABD＝2∠ABC＝130°，
∴∠BDC＝180°﹣∠ABD＝50°，
∴∠2＝∠BDC＝50°．
【点评】本题考查了平行线的性质和角平分线定义等知识点，解此题的关键是求出∠ABD的
度数，题目较好，难度不大．
四、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）
16．（10分）如图，直线l上有一点P（2，1），将点P 先向右平移1个单位，再向上平移2个单
1 1
位得到像点P ，点P 恰好在直线l上．
2 2
（1）写出点P 的坐标；
2
（2）求直线l所表示的一次函数的表达式；
（3）若将点P 先向右平移3个单位，再向上平移6个单位得到像点P ．请判断点P 是否在直
2 3 3
线l上，并说明理由．
第13页（共21页）【考点】F8：一次函数图象上点的坐标特征；F9：一次函数图象与几何变换；FA：待定系数法求
一次函数解析式．
【分析】（1）根据“右加左减、上加下减”的规律来求点P 的坐标；
2
（2）设直线l所表示的一次函数的表达式为y＝kx+b（k≠0），把点P（2，1），P（3，3）代入直
1 2
线方程，利用方程组来求系数的值；
（3）把点（6，9）代入（2）中的函数解析式进行验证即可．
【解答】解：（1）P （3，3）．
2
（2）设直线l所表示的一次函数的表达式为y＝kx+b（k≠0），
∵点P （2，1），P （3，3）在直线l上，
1 2
∴ ，
解得 ．
∴直线l所表示的一次函数的表达式为y＝2x﹣3．
（3）点P 在直线l上．由题意知点P 的坐标为（6，9），
3 3
∵2×6﹣3＝9，
∴点P 在直线l上．
3
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征以及一次
函数图象的几何变换．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移
中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
17．（10分）2014年益阳市的地区生产总值（第一、二、三产业的增加值之和）已进入千亿元俱
乐部，如图表示2014年益阳市第一、二、三产业增加值的部分情况，请根据图中提供的信
第14页（共21页）息解答下列问题
（1）2014年益阳市的地区生产总值为多少亿元？
（2）请将条形统计图中第二产业部分补充完整；
（3）求扇形统计图中第二产业对应的扇形的圆心角度数．
【考点】VB：扇形统计图；VC：条形统计图．
【分析】（1）用第一产业增加值除以它所占的百分比，即可解答；
（2）算出第二产业的增加值即可补全条形图；
（3）算出第二产业的百分比再乘以360°，即可解答．
【解答】解：（1）237.5÷19%＝1250（亿元）；
（2）第二产业的增加值为1250﹣237.5﹣462.5＝550（亿元），画图如下：
（3）扇形统计图中第二产业部分的圆心角为 ．
【点评】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图，解题的关键是读懂统计图，从不同的统计
图中得到必要的信息是解决问题的关键．
18．（10分）如图，在 ▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠CAB＝∠ACB，过点B作
BE⊥AB交AC于点E．
（1）求证：AC⊥BD；
（2）若AB＝14，cos∠CAB＝ ，求线段OE的长．
第15页（共21页）【考点】L5：平行四边形的性质；LA：菱形的判定与性质；T7：解直角三角形．
【分析】（1）根据∠CAB＝∠ACB利用等角对等边得到AB＝CB，从而判定平行四边形ABCD
是菱形，根据菱形的对角线互相垂直即可证得结论；
（2）分别在Rt△AOB中和在Rt△ABE中求得AO和AE，从而利用OE＝AE﹣AO求解即可．
【解答】解：（1）∵∠CAB＝∠ACB，
∴AB＝CB，
∴ ▱ABCD是菱形．
∴AC⊥BD；
（2）在Rt△AOB中，cos∠CAB＝ ＝ ，AB＝14，
∴AO＝14× ＝ ，
在Rt△ABE中，cos∠EAB＝ ＝ ，AB＝14，
∴AE＝ AB＝16，
∴OE＝AE﹣AO＝16﹣ ＝ ．
【点评】本题考查了解直角三角形及菱形的判定与性质、平行四边变形的判定与性质的知识，
解题的关键是读懂题意，选择合适的边角关系，难度不大．
五、解答题（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
19．（12分）大学生小刘回乡创办小微企业，初期购得原材料若干吨，每天生产相同件数的某
种产品，单件产品所耗费的原材料相同．当生产6天后剩余原材料36吨，当生产10天后
剩余原材料30吨．若剩余原材料数量小于或等于3吨，则需补充原材料以保证正常生产．
（1）求初期购得的原材料吨数与每天所耗费的原材料吨数；
（2）若生产16天后，根据市场需求每天产量提高20%，则最多再生产多少天后必须补充原材
料？
【考点】9A：二元一次方程组的应用；C9：一元一次不等式的应用．
第16页（共21页）【分析】（1）设初期购得原材料a吨，每天所耗费的原材料为b吨，根据“当生产6天后剩余
原材料36吨，当生产10天后剩余原材料30吨．”列出方程组解决问题；
（2）设再生产x天后必须补充原材料，根据若剩余原材料数量大于或等于3吨列出不等式解
决问题．
【解答】解：（1）设初期购得原材料a吨，每天所耗费的原材料为b吨，
根据题意得： ．
解得 ．
答：初期购得原材料45吨，每天所耗费的原材料为1.5吨．
（2）设再生产x天后必须补充原材料，
依题意得：45﹣16×1.5﹣1.5（1+20%）x≥3，
解得：x≤10．
答：最多再生产10天后必须补充原材料．
【点评】此题考查一元一次不等式组的实际运用，二元一次方程组的实际运用，找出题目蕴含
的数量关系与不等关系是解决问题的关键．
20．（12分）已知点P是线段AB上与点A不重合的一点，且AP＜PB．AP绕点A逆时针旋转
角 （0°＜ ≤90°）得到AP ，BP绕点B顺时针也旋转角 得到BP ，连接PP 、PP ．
1 2 1 2
α α α
（1）如图1，当 ＝90°时，求∠P PP 的度数；
1 2
（2）如图2，当点α P
2
在AP
1
的延长线上时，求证：△P
2
P
1
P∽△P
2
PA；
（3）如图3，过BP的中点E作l ⊥BP，过BP 的中点F作l ⊥BP ，l 与l 交于点Q，连接PQ，
1 2 2 2 1 2
求证：P P⊥PQ．
1
【考点】RB：几何变换综合题．
【专题】16：压轴题．
第17页（共21页）【分析】（1）利用旋转的性质以及等腰直角三角形得出∠APP ＝∠BPP ＝45°，进而得出答案；
1 2
（2）根据题意得出△PAP 和△PBP 均为顶角为 的等腰三角形，进而得出∠P PP ＝∠PAP
1 2 1 2 2
＝ ，求出△P P P∽△P PA； α
2 1 2
（3）首α先连结QB，得出Rt△QBE≌Rt△QBF，利用∠P
1
PQ＝180°﹣∠APP
1
﹣∠QPB求出即
可．
【解答】（1）解：由旋转的性质得：AP＝AP ，BP＝BP ．
1 2
∵ ＝90°，
∴α△PAP
1
和△PBP
2
均为等腰直角三角形，
∴∠APP ＝∠BPP ＝45°，
1 2
∴∠P PP ＝180°﹣∠APP ﹣∠BPP ＝90°；
1 2 1 2
（2）证明：由旋转的性质可知△PAP 和△PBP 均为顶角为 的等腰三角形，
1 2
α
∴∠APP ＝∠BPP ＝90°﹣ ，
1 2
∴∠P PP ＝180°﹣（∠APP +∠BPP ）＝180°﹣2（90° ）＝ ，
1 2 1 2
α
在△PP P 和△P PA中，∠P PP ＝∠PAP ＝ ，
2 1 2 1 2 2
又∵∠PP 2 P 1 ＝∠AP 2 P， α
∴△P P P∽△P PA．
2 1 2
（3）证明：如图，连接QB．
∵l ，l 分别为PB，P B的中垂线，
1 2 2
∴EB＝ BP，FB＝ BP ．
2
又BP＝BP ，
2
∴EB＝FB．
在Rt△QBE和Rt△QBF中，
，
∴Rt△QBE≌Rt△QBF，
∴∠QBE＝∠QBF＝ ∠PBP ＝ ，
2
第18页（共21页）由中垂线性质得：QP＝QB，
∴∠QPB＝∠QBE＝ ，
由（2）知∠APP ＝90°﹣ ，
1
∴∠P PQ＝180°﹣∠APP ﹣∠QPB＝180°﹣（90°﹣ ） ＝90°，
1 1
即 P P⊥PQ．
1
【点评】此题主要考查了几何变换综合以及相似三角形的判定和全等三角形的判定与性质等
知识，得出Rt△QBE≌Rt△QBF是解题关键．
六、解答题（本题满分15分）
21．（15分）已知抛物线E ：y＝x2经过点A（1，m），以原点为顶点的抛物线E 经过点B（2，
1 2
2），点A、B关于y 轴的对称点分别为点A′，B′．
（1）求m的值及抛物线E 所表示的二次函数的表达式；
2
（2）如图1，在第一象限内，抛物线E 上是否存在点Q，使得以点Q、B、B′为顶点的三角形
1
为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，P为第一象限内的抛物线E 上与点A不重合的一点，连接OP并延长与抛物线E
1 2
相交于点P′，求△PAA′与△P′BB′的面积之比．
【考点】HF：二次函数综合题．
【专题】16：压轴题．
第19页（共21页）【分析】（1）直接将（2，2）代入函数解析式进而求出a的值；
（2）由题意可得，在第一象限内，抛物线E 上存在点Q，使得△QBB′为直角三角形，由图象
1
可知直角顶点只能为点B或点Q，分别利用当点B为直角顶点时以及当点Q为直角顶点
时求出Q点坐标即可；
（3）首先设P（c，c2）、P′（d， ），进而得出c与d的关系，再表示出△PAA′与
△P′BB′的面积进而得出答案．
【解答】解：（1）∵抛物线E 经过点A（1，m），
1
∴m＝12＝1．
∵抛物线E 的顶点在原点，可设它对应的函数表达式为y＝ax2（a≠0），
2
又∵点B（2，2）在抛物线E 上，
2
∴2＝a×22，
解得：a＝ ，
∴抛物线E 所对应的二次函数表达式为y＝ x2．
2
（2）如图1，假设在第一象限内，抛物线E 上存在点Q，使得△QBB′为直角三角形，
1
由图象可知直角顶点只能为点B或点Q．
当点B为直角顶点时，过B作QB⊥BB′交抛物线E 于Q，
1
①则点Q与B的横坐标相等且为2，将x＝2代入y＝x2得y＝4，
∴点Q的坐标为（2，4）．
当点Q为直角顶点时，则有QB′2+QB2＝B′B2，过点Q作GQ⊥BB′于G，
②设点Q的坐标为（t，t2）（t＞0），
则有（t+2）2+（t2﹣2）2+（2﹣t）2+（t2﹣2）2＝16，
整理得：t4﹣3t2＝0，
∵t＞0，∴t2﹣3＝0，解得t ＝ ，t ＝﹣ （舍去），
1 2
∴点Q的坐标为（ ，3），
综合 ，存在符合条件的点Q坐标为（2，4）与（ ，3）；
①②
（3）如图2，过点P作PC⊥x轴，垂足为点C，PC交直线AA′于点E，
过点P′作P′D⊥x轴，垂足为点D，P′D交直线BB′于点F，
第20页（共21页）依题意可设P（c，c2）、P′（d， ） （c＞0，c≠q），
∵tan∠POC＝tan∠P′OD，
∴ ＝ ，
∴d＝2c．
∵AA′＝2，BB′＝4，
∴ ＝ ＝ ＝ ＝ ．
【点评】此题主要考查了二次函数综合以及直角三角形的性质和三角形面积求法，根据题意
利用分类讨论得出是解题关键．
第21页（共21页）
