文档内容
2015 年兰州市初中毕业生学业考试
数 学（A）
注意事项：
1.全卷共150分，考试时间120分钟．
2.考生必须将姓名、准考证号、考场、座位号等个人信息填（涂）写在答题卡上．
3.考生务必将答案直接填（涂）写在答题卡的相应位置上．
一、选择题：本大题共15小题，每小题4分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1．下列函数解析式中，一定为二次函数的是
A． B．
C． D．
2．由五个同样大小的立方体组成如图的几何体，则关于此几何体三种视图叙述正确的是
A．左视图与俯视图相同 B．左视图与主视图相同
C．主视图与俯视图相同 D．三种视图都相同
3．在下列二次函数中，其图象的对称轴为 的是
A． B． C． D．
y A
A
C
B C
正面 O D B x
第2题图 第4题图 第5题图
4．如图，△ABC中，∠B = 90º，BC = 2AB，则cosA =
A． B． C． D．
5．如图，线段CD两个端点的坐标分别为C（1，2）、D（2，0），以原点为位似中心，将
线段CD放大得到线段AB，若点B的坐标为（5，0），则点A的坐标为
A．（2，5） B．（2.5，5） C．（3，5） D．（3，6）
6．一元二次方程 配方后可变形为
A． B． C． D．
7．下列命题错误的是
A．对角线互相垂直平分的四边形是菱形 B．平行四边形的对角线互相平分
C．矩形的对角线相等 D．对角线相等的四边形是矩形
8．在同一直角坐标系中，一次函数 与反比例函数 的图象大致是
y y y y
O x O x O x O x
A B C D9．如图，经过原点O的⊙P与x、y轴分别交于A、B两点，点C是劣弧OB上一点，则∠ACB =
A．80° B．90° C．100° D．无法确定
10．如图，菱形ABCD中，AB = 4，∠B = 60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连接EF，
则△AEF的面积是
A． B． C． D．
11．股票每天的涨、跌幅均不能超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能再涨，叫做涨停；当
跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停．已知一支股票某天跌停，之后两天时间又涨
回到原价，若这两天此股票股价的平均增长率为x，则x满足的方程是
A． B． C． D．
12．若点 ， 在反比例函数 的图象上，且 ，则
A． B． C． D．
y
B A
y
C
P B D C
A O x
E F
O A x
C
第9题图 第10题图 第13题图
13．二次函数 的图象如图，点C在y轴的正半轴上，且OA = OC，则
A．ac + 1= b B．ab + 1= c C． bc + 1= a D．以上都不
是
14． 二次函数 的图象与x轴有两个交点A ，B ，且 ，点P
是图象上一点，那么下列判断正确的是
A．当 时， B．当 时，
C．当 时， D．当 时，
15．如图，⊙O的半径为2，AB、CD是互相垂直的两条直径，点P A
P
是⊙O上任意一点（P与A、B、C、D不重合），过点P作 M
PM⊥AB于点M，PN⊥CD于点N，点Q是MN的中点，当点P
Q
沿着圆周转过45°时，点Q走过的路径长为 C D
O N
B
第15题图A． B．
C． D．
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．
16．若一元二次方程 有一根为 ，则 ．
17．如果 ，且 ，那么k = ．
18．在一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的n个小球，其中有5个黑球，从袋中随机
摸出一球，记下其颜色，这称为一次摸球试验，之后把它放回袋中，搅匀后，再继续摸出
一球．以下是利用计算机模拟的摸球试验次数与摸出黑球次数的列表：
摸球试验次数 100 1000 5000 10000 50000 100000
摸出黑球次数 46 487 2506 5008 24996 50007
根据列表，可以估计出n的值是 ．
y
19．如图，点P、Q是反比例函数 图象上的两点，PA⊥y轴于
A P
点A，QN⊥x轴于点N，作PM⊥x轴于点M，QB⊥y轴于点B，
Q
连接PB、QM，△ABP的面积记为S
1
，△QMN的面积记为S
2
，
B
则S
1
S
2
．（填“>”或“<”或“=”）
20．已知△ABC的边BC = 4cm，⊙O是其外接圆，且半径也为 O M N x
4cm，则∠A的度数是 ．
第 19 题
图
三、解答题：本大题共8小题，共70分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
21．（本小题满分10分，每题5分）
（1）计算： tan ；
（2）解方程： ．
22．（本小题满分5分）如图，在图中求作⊙P，使⊙P满足以线段MN为弦且圆心P到∠AOB
两边的距离相等．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字
笔加黑）
A
M
O N B
第22题图
23．（本小题满分6分）为了参加中考体育测试，甲、乙、丙三位同学进行足球传球训练．球从
一个人脚下随机传到另一个人脚下，且每位传球人传球给其余两人的机会是均等的，由
甲开始传球，共传球三次．
（1）请利用树状图列举出三次传球的所有可能情况；（2）求三次传球后，球回到甲脚下的概率；
（3）三次传球后，球回到甲脚下的概率大还是传到乙脚下的概率大?
24．（本小题满分8分）如图，在一面与地面垂直的围墙的同侧有一根高10米的旗杆AB和一
根高度未知的电线杆CD，它们都与地面垂直，为了测得电线杆的高度，一个小组的同学
进行了如下测量：某一时刻，在太阳光照射下，旗杆落在围墙上的影子EF的长度为2米，
落在地面上的影子BF的长为10米，而电线杆落在围墙上的影子GH的长度为3米，落
在地面上的影子DH的长为5米．依据这些数据，该小组的同学计算出了电线杆的高度．
（1）该小组的同学在这里利用的是 投影的有关知识进行计算的．
（2）试计算出电线杆的高度，并写出计算的过程．
A
旗杆 C
墙面
电线杆
G
E
D
H
B
地面 F
第 24 题
图
25．（本小题满分9分）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AB ≠ CD，BD = AC．
（1）求证：AD = BC；
（2）若E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD的中点，求证：线段EF与线段GH互相垂直平
分．
A E B
H G
D F C
第 25 题
图
26．（本小题满分10分）如图，A ， ，B ， 是一次函数 与反比例函数
图象的两个交点，AC⊥ x轴于点C，BD⊥ y轴于点D．（1）根据图象直接回答：在第二象限内，当x取何值时， ?
（2）求一次函数解析式及m的值；
（3）P是线段AB上一点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB面积相等，求点P的坐标．
y
B D
P
A
C O x
第 26 题
图
27．（本小题满分10分）如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，∠BAC的平分线AD交BC边于点
D．以AB上一点O为圆心作⊙O，使⊙O经过点A和点D．
（1）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AC = 3，∠B = 30°．
①求⊙O的半径；
②设⊙O与AB边的另一个交点为E，求线段BD、BE与劣弧DE所围成的阴影部分
的面积．（结果保留根号和 ）
A
O
E
C D B
第 27 题
图
28．（本小题满分12分）已知二次函数y = ax2的图象经过点（2，1）．
（1）求二次函数y = ax2的解析式；
（2）一次函数y = mx+4的图象与二次函数y = ax2的图象交于A（x、y）、B（x、y）两点．
1 1 2 2
①当 时
y
（图①），求证：△AOB为直角三
y
角形；
②试判断当 时（图②），△AOB的形状，并证明；
（3）根据第（2）问，说出一条B你能得到的结论．（不要求证明）
B
A
A
O x O x
图① 图②
第 28 题
图2015 年兰州市初中毕业生学业考试
数学（A）参考答案及评分参考
本答案仅供参考，阅卷时会制定具体的评分细则和评分标准．
一、选择题：本题15小题，每小题4分，共60分．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
答案 C B A D B C D A B B B D A C A
二、填空题：本题5小题，每小题4分，共20分．
16．2015 17．3 18．10 19．= 20．30°或150°
三、解答题：本题8小题，共70分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
21．（本小题满分10分，每题5分）
解：（1）原式= ……………………………………………………… 4分
=－1． ……………………………………………………………………… 5分
（2）∵ ，
∴ ， ……………………………………………………… 6分
∴ ， ………………………………………………………8分
∴ ．…………………………………………………………………10分
22．（本小题满分5分）
A
解：作出角平分线； ………………… 1分
作出垂直平分线； ………………… 2分
作出⊙P； ……………… 4分 M
P
∴⊙P就是所求作的圆．…………… 5分
23．（本小题满分6分）
解：（1）根据题意画出树状图如下：
O N B
甲
第一次 乙 丙
第二次 甲 丙 甲 乙
第三次 乙 丙 甲 乙 乙 丙 甲 丙 ……………………… 4分
（2）由（l）可知：三次传球有8种等可能结果，其中传回甲脚下的有2种．所以
P（传球三次回到甲脚下）= ． …………………………………………… 5分
（3）由（l）可知：甲传球三次后球传回自己脚下的概率为 ，传到乙脚下的概率为 ，所
以球传到乙脚下的概率大． ………………………………………………… 6分24.（本小题满分8分）
解：（l）平行 ………………………………………………………………………2分
（2）连接AE，延长AE交BF的延长线于点M，连结CG，延长CG交DH的延长线于
点N
∵AB∥EF ∴ ，即 ………………………3分
∴ ……………………………………………………………4分
∴ …………………………………………………5分
A
旗杆 C
由平行投影的知识可以知道∠AMB＝∠CND
墙面
电线杆
∴在Rt△NHG中，
G
E
∴ ………6分 D H N
B
地面 F M
∵在Rt△CDN中，
∴ （米）………………8分
所以，电线杆长为7米
25.（本小题满分9分）
证明：（1）做BM∥AC，BM交DC的延长线于点M，则∠ACD =∠BMD …………1分
∵AB∥CD BM∥AC
∴四边形ABMC为平行四边形 …………………………………………………2分
∴AC = BM
∵BD = AC
∴BM = BD A E B
∴∠BDM = ∠BMD
∴∠BDC = ∠ACD
H G
在△BDC和△ACD中
D F C M
∴△BDC ≌ △ACD ………………………………………………………4分
∴BC = AD ……………………………………………………………………………5分
（2）连接EG、GF、FH、HE …………………………………………………6分
∵E、H为AB、BD的中点 ∴
同理 ， ，∵BC = AD ∴EG = FG = FH = EH …………………………………………………
8分
∴四边形EGFH为菱形
∴EF与GH互相垂直平分 ………………………………………………………………9分
26.（本小题满分10分）
解：（1）当 时， ； ………………………………2分
y
（2）把A（－4， ），B（－1，2）代入y=kx+b得，
B D
P
，解得 ，
A
C O x
所以一次函数解析式为 ； ………………………………5分
把B（－1，2）代入 ，得m=－1×2=－2； …………………………………6分
（3）如图，设P点坐标为 ． …………………………………………………7分
∵△PCA和△PDB面积相等，
∴ ，
解得 ， ………………………………………………………………………………9分
∴P点坐标为 ． …………………………………………………………………10分
27.（本小题满分10分）
解：（1）直线BC与⊙O相切；……………………1分
连结OD，………………………………………2分 A
∵OA = OD ∴∠OAD = ∠ODA O
∵∠BAC的角平分线AD交BC边于D
∴∠CAD = ∠OAD E
∴∠CAD = ∠ODA
∴OD∥AC ……………………………………3分
C D B
∴∠ODB = ∠C = 90°
即OD⊥BC． ………………………………………………………………………………4分
∴直线BC与⊙O相切．
（2）①设OA = OD = r，在Rt△BDO中，∠B = 30°，
∴OB = 2r ………………………………………………………………………………5
分
在Rt△ACB中，∠B = 30°
∴AB = 2AC = 6
∴3r = 6 …………………………………………………………………………………6
分解得r = 2． ……………………………………………………………………7
分
②在Rt△ACB中，∠B = 30°，
∴∠BOD = 60°． …………………………………………………………………………8分
∴S = ． ……………………………………………………………9分
扇形ODE
∴所求图形面积为：S - S ．……………………………………10分
△BOD 扇形ODE
28.（本小题满分12分）
解：（1）由条件得1 = 4a， ，所以二次函数的解析式是 …………………1分
y
（2）①由 得 ， ，
即A（－2，1），B（8，16）…………………………3分
B
过A作AC⊥x轴于C，过B作BD⊥x轴于D，
则AC = 1，OC = 2，OD = 8，BD = 16，
∴ 又∵∠ACO =∠ODB = 90º
∴△ACO ∽ △ODB ………………………………4分
A
∴∠AOC = ∠OBD
C O D x
∴∠AOC ＋∠BOD = 90º
∴∠AOB = 90º 图①
∴△AOB为直角三角形 ………………………………………………………… 分
②△AOB为直角三角形， ……………………………………………………………… 分
证明如下：
y
过A作AC⊥x轴于C，过B作BD⊥x轴于D
由 得x2－4mx－16 = 0
解得 ， ………… 分
∴ B
A
∴ …………………………… 分
C O D x
∴OC•OD = AC•BD = 16
图②
∴ ………………………………………………………………………
分
又∵∠ACO =∠ODB = 90º，∴△ACO ∽△ODB ………………………………
分
∴∠AOC =∠OBD∴∠AOC ＋∠BOD =90º ∴∠AOB =90º
∴△AOB为直角三角形．
（3）可能的结论为 ………………………………………………………………… 分
1
如果过定点（0，4）的直线与抛物线y x2交于A、B两点，O为抛物线的顶点，那么
4
△AOB必为直角三角形．
如果过定点（0， ）的直线与抛物线 交于A、B两点，O为抛物线的顶点，那么
△AOB必为直角三角形．
