文档内容
2016 年四川省绵阳市中考数学试卷（教师版）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分，每小题只有一个选项最符合题
目要求
1．（3分）﹣4的绝对值是（ ）
A．4 B．﹣4 C． D．
【微点】绝对值．
【思路】计算绝对值要根据绝对值的定义求解，第一步列出绝对值的表达式，第二步根
据绝对值定义去掉这个绝对值的符号．
【解析】解：∵|﹣4|＝4，
∴﹣4的绝对值是4．
故选：A．
【点拨】本题主要考查了绝对值的定义，绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；
一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0，比较简单．
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．x2+x5＝x7 B．x5﹣x2＝3x C．x2•x5＝x10 D．x5÷x2＝x3
【微点】合并同类项；同底数幂的乘法；同底数幂的除法．
【思路】根据合并同类项法则、同底数幂的乘法法则和除法法则进行判断．
【解析】解：x2与x5不是同类项，不能合并，A错误；
x2与x5不是同类项，不能合并，B错误；
x2•x5＝x7，C错误；
x5÷x2＝x3，D正确，
故选：D．
【点拨】本题考查的是合并同类项、同底数幂的乘除法，掌握合并同类项法则、同底数
幂的乘法法则和除法法则是解题的关键．
3．（3分）下列图案，既是轴对称又是中心对称的是（ ）
A． B．
第 1 页 / 共 30 页C． D．
【微点】轴对称图形；中心对称图形．
【思路】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解析】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形．
故选：C．
【点拨】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识．轴对称图形的关键是寻找对称
轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分
重合．
4．（3分）如图是一个由7个相同正方体组合而成的几何体，它的主视图为（ ）
A． B． C． D．
【微点】简单组合体的三视图．
【思路】根据主视图是从物体正面看所得到的图形解答即可．
【解析】解：根据主视图的定义可知，此几何体的主视图是A中的图形，
故选：A．
【点拨】本题考查的是简单几何体的三视图的作图，主视图、左视图、俯视图是分别从
物体正面、侧面和上面看所得到的图形．
5．（3分）若关于x的方程x2﹣2x+c＝0有一根为﹣1，则方程的另一根为（ ）
A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．3
【微点】根与系数的关系．
【思路】设方程的另一根为m，由一个根为﹣1，利用根与系数的关系求出两根之和，
第 2 页 / 共 30 页列出关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值．
【解析】解：关于x的方程x2﹣2x+c＝0有一根为﹣1，设另一根为m，
可得﹣1+m＝2，
解得：m＝3，
则方程的另一根为3．
故选：D．
【点拨】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程 ax2+bx+c＝0
（a≠0），当b2﹣4ac≥0时，方程有解，设为x ，x ，则有x +x ，x x ．
1 2 1 2 1 2
6．（3分）如图，沿AC方向开山修建一条公路，为了加快施工进度，要在小山的另一边
寻找点E同时施工，从AC上的一点B取∠ABD＝150°，沿BD的方向前进，取∠BDE＝
60°，测得BD＝520m，BC＝80m，并且AC，BD和DE在同一平面内，那么公路CE段
的长度为（ ）
A．180m B．260 m C．（260 80）m D．（260 80）
m
【微点】勾股定理的应用．
【思路】先根据三角形外角的性质求出∠E的度数，再根据锐角三角函数的定义可求
BE，再根据线段的和差故选即可得出结论．
【解析】解：在△BDE中，
∵∠ABD是△BDE的外角，∠ABD＝150°，∠D＝60°，
∴∠E＝150°﹣60°＝90°，
∵BD＝520m，
∵sin60° ，
∴BE＝520•sin60°＝260 （m），
公路CE段的长度为260 80（m）．
答：公路CE段的长度为（260 80）m．
第 3 页 / 共 30 页故选：C．
【点拨】本题考查的是解直角三角形的应用，熟知三角形外角的性质及锐角三角函数的
定义是解答此题的关键．
7．（3 分）如图，平行四边形 ABCD 的周长是 26cm，对角线 AC 与 BD 交于点 O，
AC⊥AB，E 是 BC 中点，△AOD 的周长比△AOB 的周长多 3cm，则 AE 的长度为
（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．8cm
【微点】平行四边形的性质．
【思路】由 ▱ABCD的周长为26cm，对角线AC、BD相交于点O，若△AOD的周长比
△AOB的周长多3cm，可得AB+AD＝13cm，AD﹣AB＝3cm，求出AB和AD的长，得出
BC的长，再由直角三角形斜边上的中线性质即可求得答案．
【解析】解：∵ ▱ABCD的周长为26cm，
∴AB+AD＝13cm，OB＝OD，
∵△AOD的周长比△AOB的周长多3cm，
∴（OA+OD+AD）﹣（OA+OB+AB）＝AD﹣AB＝3cm，
∴AB＝5cm，AD＝8cm．
∴BC＝AD＝8cm．
∵AC⊥AB，E是BC中点，
∴AE BC＝4cm；
故选：B．
【点拨】此题考查了平行四边形的性质、直角三角形斜边上的中线性质．熟练掌握平行
四边形的性质，由直角三角形斜边上的中线性质求出AE是解决问题的关键．
8．（3分）在关于x、y的方程组 中，未知数满足x≥0，y＞0，那么m的
取值范围在数轴上应表示为（ ）
A． B．
第 4 页 / 共 30 页C． D．
【微点】二元一次方程组的解；在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组．
【思路】把m看做已知数表示出方程组的解，根据x≥0，y＞0求出m的范围，表示在
数轴上即可．
【解析】解： ，
×2﹣ 得：3x＝3m+6，即x＝m+2，
①把x＝m②+2代入 得：y＝3﹣m，
②
由x≥0，y＞0，得到 ，
解得：﹣2≤m＜3，
表示在数轴上，如图所示：
，
故选：C．
【点拨】此题考查了解一元一次不等式组，二元一次方程组的解，以及在数轴上表示不
等式的解集，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
9．（3分）如图，△ABC中AB＝AC＝4，∠C＝72°，D是AB中点，点E在AC上，
DE⊥AB，则cosA的值为（ ）
A． B． C． D．
【微点】解直角三角形．
【思路】先根据等腰三角形的性质与判定以及三角形内角和定理得出∠EBC＝36°，
∠BEC＝72°，AE＝BE＝BC．再证明△BCE∽△ABC，根据相似三角形的性质列出比例
式 ，求出AE，然后在△ADE中利用余弦函数定义求出cosA的值．
【解析】解：∵△ABC中，AB＝AC＝4，∠C＝72°，
第 5 页 / 共 30 页∴∠ABC＝∠C＝72°，∠A＝36°，
∵D是AB中点，DE⊥AB，
∴AE＝BE，
∴∠ABE＝∠A＝36°，
∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝36°，
∠BEC＝180°﹣∠EBC﹣∠C＝72°，
∴∠BEC＝∠C＝72°，
∴BE＝BC，
∴AE＝BE＝BC．
设AE＝x，则BE＝BC＝x，EC＝4﹣x．
在△BCE与△ABC中，
，
∴△BCE∽△ABC，
∴ ，即 ，
解得x＝﹣2±2 （负值舍去），
∴AE＝﹣2+2 ．
在△ADE中，∵∠ADE＝90°，
∴cosA ．
故选：C．
【点拨】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，线
段垂直平分线的性质，相似三角形的判定与性质，难度适中．证明△BCE∽△ABC是解
题的关键．
10．（3分）有5张看上去无差别的卡片，上面分别写着1，2，3，4，5，随机抽取3张，
用抽到的三个数字作为边长，恰能构成三角形的概率是（ ）
A． B． C． D．
【微点】三角形三边关系；列表法与树状图法．
【思路】确定剩下的三边长包含的基本事件，剩下的三张卡片上的数字作为边长能构成
三角形的基本事件，即可求出能构成三角形的概率．
【解析】解：剩下的三边长包含的基本事件为：（1，2，3），（1，2，4），（1，2，
第 6 页 / 共 30 页5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5），（2，3，4），（2，3，5），（2，
4，5），（3，4，5）共10个；
设事件B＝“剩下的三张卡片上的数字作为边长能构成三角形“
则事件B包含的基本事件有：（2，3，4），（2，4，5），（3，4，5）共3个，
故p（A）
故选：A．
【点拨】本题主要考查了用列举法来求古典概率的问题，关键是列举要不重不漏，难度
不大．
11．（3分）如图，点E，点F分别在菱形ABCD的边AB，AD上，且AE＝DF，BF交DE
于点G，延长BF交CD的延长线于H，若 2，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【微点】菱形的性质；相似三角形的判定与性质．
【思路】设 DF＝a，则 DF＝AE＝a，AF＝EB＝2a，由△HFD∽△BFA，得
， 求 出 FH ， 再 由 HD∥ EB ， 得 △ DGH∽ △ EGB ， 得
，求出BG即可解决问题．
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∵AF＝2DF，设DF＝a，则DF＝AE＝a，AF＝EB＝2a，
∵HD∥AB，
∴△HFD∽△BFA，
∴ ，
第 7 页 / 共 30 页∴HD＝1.5a， ，
∴FH BH，
∵HD∥EB，
∴△DGH∽△EGB，
∴ ，
∴ ，
∴BG HB，
∴ ．
故选：B．
【点拨】本题考查相似三角形的性质和判定、菱形的性质、比例的选择等知识，解题的
关键是利用相似三角形的性质解决问题，学会设参数，属于中考常考题型．
12．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论： b＜2a； a+2c﹣b＞
0； b＞a＞c； b2+2ac＜3ab．其中正确结论的个数是（ ①） ②
③ ④
A．1 B．2 C．3 D．4
【微点】二次函数图象与系数的关系．
【思路】根据抛物线的图象，对称轴的位置，利用二次函数的性质一一判断即可．
【解析】解：由图象可知，a＞0，b＞0，c＞0，
第 8 页 / 共 30 页∵ 1，
∴b＜2a，故 正确，
如图易知A（①﹣1，0），B（﹣1，a﹣b+c），C（0，c），
当AB＝OC时，﹣（a﹣b+c）＝c，可得a+2c﹣b＝0，
当AB＞OC时，﹣（a﹣b+c）＞c，可得a+2c﹣b＜0，
当AB＜OC时，﹣（a﹣b+c）＜c，可得a+2c﹣b＞0，
故 错误，
②
∵ ，
∴b＞a，
设x ＞x
1 2
∵ x ＜0，﹣2＜x ＜﹣1，
1 2
∴x •x ＜1，
1 2
∴ 1，
∴a＞c，
∴b＞a＞c，故 正确，
∵b2﹣4ac＞0，③
∴2ac b2，
∵b＜2a，
∴ 3ab，
∴ b2＝b2 b2＞b2+2ac，
b2+2ac b2＜3ab，
∴b2+2ac＜3ab．故 正确．
故选：C． ④
第 9 页 / 共 30 页【点拨】本题考查二次函数的性质、解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利
用图象信息解决问题，题目比较难，属于中考选择题中的压轴题．
二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分，将答案填写在答题卡相应的横线
上.
13．（3分）因式分解：2mx2﹣4mxy+2my2＝ 2 m （ x ﹣ y ） 2 ．
【微点】提公因式法与公式法的综合运用．
【思路】先提取公因式2m，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
【解析】解：2mx2﹣4mxy+2my2，
＝2m（x2﹣2xy+y2），
＝2m（x﹣y）2．
故答案为：2m（x﹣y）2．
【点拨】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提
取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
14．（3分）如图，AC∥BD，AB与CD相交于点O，若AO＝AC，∠A＝48°，∠D＝ 66 °
．
【微点】平行线的性质；等腰三角形的性质．
【思路】先依据等腰三角形的性质得到∠ACO＝∠AOC，然后依据三角形的内角和定理
可求得∠C的度数，然后依据平行线的性质可求得∠D的度数．
【解析】解：∵OA＝AC，
∴∠ACO＝∠AOC （180°﹣∠A） （180°﹣48°）＝66°．
∵AC∥BD，
第 10 页 / 共 30 页∴∠D＝∠C＝66°．
故答案为：66°．
【点拨】本题主要考查的是等腰三角形的性质、平行线的性质的应用，求得∠C的度数
是解题的关键．
15．（3分）根据绵阳市统计年鉴，2014年末绵阳市户籍总人口数已超过548万人，548万
人用科学记数法表示为 5.48×1 0 6 人．
【微点】科学记数法—表示较大的数．
【思路】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的
值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相
同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解析】解：将548万用科学记数法表示为：5.48×106．
故答案为5.48×106．
【点拨】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其
中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
16．（3分）△OAB三个顶点的坐标分别为O（0，0），A（4，6），B（3，0），以O为
位似中心，将△OAB缩小为原来的 ，得到△OA′B′，则点A的对应点A′的坐标为
（﹣ 2 ，﹣ 3 ）或（ 2 ， 3 ） ．
【微点】坐标与图形性质；位似变换．
【思路】根据如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的
坐标的比等于k或﹣k进行解答．
【解析】解：∵以原点O为位似中心，将△OAB缩小为原来的 ，A（4，6），
则点A的对应点A′的坐标为（﹣2，﹣3）或（2，3），
故答案为：（﹣2，﹣3）或（2，3）．
【点拨】本题考查了位似变换：位似图形与坐标，在平面直角坐标系中，如果位似变换
是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
17．（3分）如图，点O是边长为4 的等边△ABC的内心，将△OBC绕点O逆时针旋转
30°得到△OB C ，B C 交BC于点D，B C 交AC于点E，则DE＝ 6 ﹣ 2 ．
1 1 1 1 1 1
第 11 页 / 共 30 页【微点】等边三角形的性质；三角形的内切圆与内心；旋转的性质．
【思路】（方法一）令 OB 与 BC 的交点为 F，B C 与 AC 的交点为 M，过点 F 作
1 1 1
FN⊥OB于点N，根据等边三角形的性质以及内心的性质找出△FOB为等腰三角形，并
且△BFO∽△B FD，根据相似三角形的性质找出B D的长度，再通过找全等三角形以
1 1
及解直角三角形求出C E的长度，由此即可得出DE的长度．
1
（方法二）令OB 与BC的交点为F，根据等边三角形的性质结合点O为△ABC的内心，
1
可得出OB的长度，由旋转角度为30°可得出△BOF、△B FD为等腰三角形，进而可求
1
出BF、FD的长度，再在Rt△DCE中，可求出DE的长度．
【解析】解：（方法一）令OB 与BC的交点为F，B C 与AC的交点为M，过点F作
1 1 1
FN⊥OB于点N，如图所示．
∵将△OBC绕点O逆时针旋转30°得到△OB C ，
1 1
∴∠BOF＝30°，
∵点O是边长为4 的等边△ABC的内心，
∴∠OBF＝30°，OB AB＝4，
∴△FOB为等腰三角形，BN OB＝2，
∴BF OF．
∵∠OBF＝∠OB D，∠BFO＝∠B FD，
1 1
∴△BFO∽△B FD，
1
∴ ．
∵B F＝OB ﹣OF＝4 ，
1 1
∴B D＝4 4．
1
第 12 页 / 共 30 页在△BFO和△CMO中，有 ，
∴△BFO≌△CMO（ASA），
∴OM＝BF ，C M＝4 ，
1
在△C ME中，∠C ME＝∠MOC+∠MCO＝60°，∠C ＝30°，
1 1 1
∴∠C EM＝90°，
1
∴C E＝C M•sin∠C ME＝（4 ） 2 2．
1 1 1
∴DE＝B C ﹣B D﹣C E＝4 （4 4）﹣（2 2）＝6﹣2 ．
1 1 1 1
故答案为：6﹣2 ．
（方法二）令OB 与BC的交点为F．
1
∵△ABC是边长为4 的等边三角形，O为△ABC的内心，
∴OB AB＝4．
∵旋转的角度为30°，
∴∠BOB ＝∠B DF＝30°．
1 1
∵∠OBF＝∠DB F＝30°，
1
∴△BOF、△B FD为等腰三角形，
1
∴BF＝OF ，
∴B F＝FD＝OB ﹣OF＝4 ．
1 1
在△CDE中，∠DCE＝60°，∠CDE＝30°，
∴DE CD （BC﹣BF﹣FD）＝6﹣2 ．
故答案为：6﹣2 ．
第 13 页 / 共 30 页【点拨】本题考查了等边三角形的性质、三角形内心的性质、相似三角形的判定及性质、
全等三角形的判定及性质以及解直角三角形，解题的关键是：（方法一）求出线段
B D、C E的长度；（方法二）根据等边三角形的性质、三角形内心的性质结合旋转，
1 1
求出BF、DF的长度．
18．（3分）如图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形．现
用A 表示第三行开始，从左往右，从上往下，依次出现的第i个数，例如：A ＝1，A ＝
i 1 2
2，A ＝1，A ＝1，A ＝3，A ＝3，A ＝1，则A ＝ 195 3 ．
3 4 5 6 7 2016
【微点】规律型：数字的变化类．
【思路】根据杨辉三角中的已知数据，可以发现其中规律，每行的数的个数正好是这一
行的行数，由题意可以判断A 在哪一行第几个数，从而可以解答本题．
2016
【解析】解：方法一：由题意可得，第n行有n个数，
故除去前两行的总的个数为： ，
当n＝63时， 2013，
∵2013＜2016，
∴A 是第64行第三个数，
2016
∵每行的第三个数的特点都是：第三行是1，第四行是1+2，第五行是1+2+3，…
∴第64行第三个数是：1+2+3+…+62 1953，
故答案为：1953．
方法二：由题意可得，第n行有n个数，
第 14 页 / 共 30 页故除去前两行的总的个数为： ，
当n＝63时， 2013，
∵2013＜2016，
∴A 是第64行第三个数，
2016
∴A 1953，
2016
故答案为：1953．
【点拨】此题考查数字排列的规律，解题的关键是明确题意，发现其中的规律，计算出
所求问题的答案．
三、解答题：本大题共7个小题，共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
19．（8分）计算：（ ﹣3.14）0﹣| sin60°﹣4|+（ ）﹣1．
π
【微点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
【思路】本题涉及零指数幂、二次根式化简、绝对值、特殊角的三角函数值四个考点．
针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解析】解：（ ﹣3.14）0﹣| sin60°﹣4|+（ ）﹣1
π
＝1﹣|2 4|+2
＝1﹣|﹣1|+2
＝2．
【点拨】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题
目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握零指数幂、二次根式化简、绝对值等考
点的运算．
20．（8分）先化简，再求值：（ ） ，其中a ．
【微点】分式的化简求值．
【思路】先算括号里面的，再算除法，最后把a的值代入进行计算即可．
【解析】解：原式＝[ ]•
＝[ ]•
第 15 页 / 共 30 页•
，
当a 1时，原式 ．
【点拨】本题考查的是分式的化简求值，式中的一些特殊求值题并非是一味的化简，代
入，求值．许多问题还需运用到常见的数学思想，如化归思想（即转化）、整体思想等，
了解这些数学解题思想对于解题技巧的丰富与提高有一定帮助．
21．（11分）绵阳七一中学开通了空中教育互联网在线学习平台，为了解学生使用情况，
该校学生会把该平台使用情况分为A（经常使用）、B（偶尔使用）、C（不使用）三种
类型，并设计了调查问卷、先后对该校初一（1）班和初一（2）班全体同学进行了问卷
调查，并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中信息解答下列问题：
（1）求此次被调查的学生总人数；
（2）求扇形统计图中代表类型C的扇形的圆心角，并补全折线统计图；
（3）若该校初一年级学生共有1000人，试根据此次调查结果估计该校初一年级中C类
型学生约有多少人．
【微点】用样本估计总体；扇形统计图；折线统计图．
【思路】（1）先由折线统计图得到偶尔使用的学生有58人，再由扇形统计图得到了解
很少的学生所占的百分比，然后用58除以这个百分比即可得到接受问卷调查的学生人
数；
（2）先用总数分别减去其它三组的人数得到 C的学生数，再补全折线统计图；用c部
分所占的百分比乘以360°即可得到c部分所对应扇形的圆心角的大小；
（3）利用样本中c程度的百分比表示该校这两项所占的百分比，然后用1000乘以这个
第 16 页 / 共 30 页百分比即可得到c程度的总人数的估计值．
【解析】解：（1）由扇形统计图知B类型人数所占比例为58%，从折线图知B类型总
人数＝26+32＝58人，
所以此次被调查的学生总人数＝58÷58%＝100人；
（2）由折线图知A人数＝18+14＝32人，故A的比例为32÷100＝32%，
所以C类比例＝1﹣58%﹣32%＝10%，
所以类型C的扇形的圆心角＝360°×10%＝36°，
C类人数＝10%×100﹣2＝8人，折线图如下：
（3）根据此次可得C的比例为10%，估计该校初一年级中C类型学生约1000×10%＝
100人．
【点拨】本题考查了折线统计图：折线图是用一个单位表示一定的数量，根据数量的多
少描出各点，然后把各点用线段依次连接起来．以折线的上升或下降来表示统计数量增
减变化．折线图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量的增减变化情
况．也考查了扇形统计图和用样本估计总体．
22．（11分）如图，直线y＝k x+7（k ＜0）与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例
1 1
函数y （k ＞0）的图象在第一象限交于C、D两点，点O为坐标原点，△AOB的
2
面积为 ，点C横坐标为1．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）如果一个点的横、纵坐标都是整数，那么我们就称这个点为“整点”，请求出图
中阴影部分（不含边界）所包含的所有整点的坐标．
第 17 页 / 共 30 页【微点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【思路】（1）分别令x＝0、y＝0，求得对应y和x的值，从而的得到点A、B的坐标，
然后依据三角形的面积公式可求得k 的值，然后由直线的解析式可求得点C的坐标，由
1
点C的坐标可求得反比例函数的解析式；
（2）由函数的对称性可求得D（6，1），从而可求得x的值范围，然后求得当x＝2、
3、4、5时，一次函数和反比例函数对应的函数值，从而可得到整点的坐标．
【解析】解：（1）∵当x＝0时，y＝7，当y＝0时，x ，
∴A（ ，0）、B（0、7）．
∴S△AOB |OA|•|OB| （ ）×7 ，解得k
1
＝﹣1．
∴直线的解析式为y＝﹣x+7．
∵当x＝1时，y＝﹣1+7＝6，
∴C（1，6）．
∴k ＝1×6＝6．
2
∴反比例函数的解析式为y ．
（2）∵点C与点D关于y＝x对称，
∴D（6，1）．
当x＝2时，反比例函数图象上的点为（2，3），直线上的点为（2，5），此时可得整
点为（2，4）；
当x＝3时，反比例函数图象上的点为（3，2），直线上的点为（3，4），此时可得整
点为（3，3）；
当x＝4时，反比例函数图象上的点为（4， ），直线上的点为（4，3），此时可得整
点为（4，2）；
第 18 页 / 共 30 页当x＝5时，反比例函数图象上的点为（5， ），直线上的点为（5，2），此时，不存
在整点．
综上所述，符合条件的整点有（2，4）、（3，3）、（4，2）．
【点拨】本题主要考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，依据三角形的面积求得
k 的值是解题的关键．
1
23．（11分）如图，AB为 O直径，C为 O上一点，点D是 的中点，DE⊥AC于E，
DF⊥AB于F． ⊙ ⊙
（1）判断DE与 O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若OF＝4，⊙求AC的长度．
【微点】三角形中位线定理；垂径定理；直线与圆的位置关系；切线的判定．
【思路】（1）先连接OD、AD，根据点D是 的中点，得出∠DAO＝∠DAC，进而根
据内错角相等，判定OD∥AE，最后根据DE⊥OD，得出DE与 O相切；
（2）先连接BC交OD于H，延长DF交 O于G，根据垂径定⊙理推导可得OH＝OF＝
4，再根据AB是直径，推出OH是△ABC⊙的中位线，进而得到AC的长是OH长的2倍．
本题也可以过O作OM⊥AC于M，根据全等三角形的性质以及垂径定理进行求解．
【解析】解：（1）DE与 O相切．
证明：连接OD、AD， ⊙
∵点D是 的中点，
∴ ，
∴∠DAO＝∠DAC，
∵OA＝OD，
∴∠DAO＝∠ODA，
∴∠DAC＝∠ODA，
∴OD∥AE，
∵DE⊥AC，
第 19 页 / 共 30 页∴DE⊥OD，
∴DE与 O相切．
⊙
（2）解法1：连接BC交OD于H，延长DF交 O于G，
由垂径定理可得：OH⊥BC， ， ⊙
∴ ，
∴DG＝BC，
∴弦心距OH＝OF＝4，
∵AB是直径，
∴BC⊥AC，
又∵OH∥AC，
∴OH是△ABC的中位线，
∴AC＝2OH＝8．
解法2：如图，过O作OM⊥AC于M，则四边形DOME是矩形，
∴∠DOM＝90°，
又∵DF⊥AB，
∴∠FDO+∠FOD＝∠MOA+∠FOD＝90°，
∴∠FDO＝∠MOA，
在△FDO和△MOA中，
，
∴△FDO≌△MOA（AAS），
∴AM＝OF＝4，
又∵OM⊥AC，
∴AC＝2AM＝8．
第 20 页 / 共 30 页【点拨】本题主要考查了直线与圆的位置关系以及垂径定理的运用，在判定一条直线为
圆的切线时，当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，通常连接过该公共点的半径，
证明该半径垂直于这条直线．本题也可以根据△ODF与△ABC相似，求得AC的长．
24．（11分）绵阳人民商场准备购进甲、乙两种牛奶进行销售，若甲种牛奶的进价比乙种
牛奶的进价每件少5元，其用90元购进甲种牛奶的数量与用100元购进乙种牛奶的数量
相同．
（1）求甲种牛奶、乙种牛奶的进价分别是多少元？
（2）若该商场购进甲种牛奶的数量是乙种牛奶的3倍少5件，两种牛奶的总数不超过
95件，该商场甲种牛奶的销售价格为49元，乙种牛奶的销售价格为每件55元，则购进
的甲、乙两种牛奶全部售出后，可使销售的总利润（利润＝售价﹣进价）超过371元，
请通过计算求出该商场购进甲、乙两种牛奶有哪几种方案？
【微点】分式方程的应用；一元一次不等式组的应用．
【思路】（1）设乙种牛奶的进价为每件x元，则甲种牛奶的进价为每件（x﹣5）元，
由题意列出关于x的方程，求出x的值即可；
（2）设购进乙种牛奶y件，则购进甲种牛奶（3y﹣5）件，根据题意列出关于y的不等
式组，求出y的整数解即可得出结论．
【解析】解：（1）设乙种牛奶的进价为每件x元，则甲种牛奶的进价为每件（x﹣5）
元，
由题意得， ，解得x＝50．
经检验，x＝50是原分式方程的解，且符合实际意义
故乙种牛奶的进价是50元，甲种牛奶的进价是45元．
（2）设购进乙种牛奶y件，则购进甲种牛奶（3y﹣5）件，
第 21 页 / 共 30 页由题意得 ，解得23＜y≤25．
∵y为整数，
∴y＝24或25，
∴共有两种方案：
方案一：购进甲种牛奶67件，乙种牛奶24件；
方案二：购进甲种牛奶70件，乙种牛奶25件．
【点拨】本题考查的是分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的
关键．
25．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C
（0，3），且此抛物线的顶点坐标为M（﹣1，4）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）设点D为已知抛物线对称轴上的任意一点，当△ACD与△ACB面积相等时，求点
D的坐标；
（3）点P在线段AM上，当PC与y轴垂直时，过点P作x轴的垂线，垂足为E，将
△PCE沿直线CE翻折，使点P的对应点P′与P、E、C处在同一平面内，请求出点
P′坐标，并判断点P′是否在该抛物线上．
【微点】二次函数综合题．
【思路】（1）由抛物线经过的C点坐标以及顶点M的坐标，利用待定系数法即可求出
抛物线解析式；
（2）设点D坐标为（﹣1，y ），根据三角形的面积公式以及△ACD与△ACB面积相
D
等，即可得出关于y 含绝对值符号的一元一次方程，解方程即可得出结论；
D
（3）作点P关于直线CE的对称点P′，过点P′作PH⊥y轴于H，设P′E交y轴于
点N．根据对称的性质即可得出△EON≌△CP′N，从而得出CN＝NE，由点A、M的
坐标利用待定系数法可求出直线AM的解析式，进而得出点P的坐标，在Rt△P′NC中，
第 22 页 / 共 30 页由勾股定理可求出CN的值，再由相似三角形的性质以及线段间的关系即可找出点P′
的坐标，将其代入抛物线解析式中看等式是否成立，由此即可得出结论．
【解析】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点C（0，3），顶点为M（﹣1，4），
∴ ，解得： ．
∴所求抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3．
（2）依照题意画出图形，如图1所示．
令y＝﹣x2﹣2x+3＝0，解得：x＝﹣3或x＝1，
故A（﹣3，0），B（1，0），
∴OA＝OC，△AOC为等腰直角三角形．
设AC交对称轴x＝﹣1于F（﹣1，y ），
F
由点A（﹣3，0）、C（0，3）可知直线AC的解析式为y＝x+3，
∴y ＝﹣1+3＝2，即F（﹣1，2）．
F
设点D坐标为（﹣1，y ），
D
则S△ADC DF•AO |y
D
﹣2|×3．
又∵S△ABC AB•OC [1﹣（﹣3）]×3＝6，且S△ADC ＝S△ABC ，
∴ |y ﹣2|×3．＝6，解得：y ＝﹣2或y ＝6．
D D D
∴点D的坐标为（﹣1，﹣2）或（﹣1，6）．
（3）如图2，点P′为点P关于直线CE的对称点，过点P′作PH⊥y轴于H，设P′E
交y轴于点N．
在△EON和△CP′N中， ，
∴△EON≌△CP′N（AAS）．
设NC＝m，则NE＝m，
∵A（﹣3，0）、M（﹣1，4）可知直线AM的解析式为y＝2x+6，
∴当y＝3时，x ，即点P（ ，3）．
第 23 页 / 共 30 页∴P′C＝PC ，P′N＝3﹣m，
在Rt△P′NC中，由勾股定理，得： （3﹣m）2＝m2，
解得：m ．
∵S△P′NC CN•P′H P′N•P′C，
∴P′H ．
由△CHP′∽△CP′N可得： ，
∴CH ，
∴OH＝3 ，
∴P′的坐标为（ ， ）．
将点P′（ ， ）代入抛物线解析式，
得：y 2 3 ，
∴点P′不在该抛物线上．
第 24 页 / 共 30 页【点拨】本题考查了待定系数法求函数解析式、三角形的面积公式、全等三角形的判定
及性质以及相似三角形的性质，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出函数解析式；
（2）找出关于y 含绝对值符号的一元一次方程；（3）求出点P′坐标．本题属于中档
D
题，难度不小，（3）中求出点P′的坐标是本题的难点，使用垂直平分线的性质找点
的坐标亦可．
26．（14分）如图，以菱形ABCD对角线交点为坐标原点，建立平面直角坐标系，A、B
两点的坐标分别为（﹣2 ，0）、（0， ），直线DE⊥DC交AC于E，动点P从
点A出发，以每秒2个单位的速度沿着A→D→C的路线向终点C匀速运动，设△PDE
的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒．
（1）求直线DE的解析式；
（2）求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
（3）当t为何值时，∠EPD+∠DCB＝90°？并求出此时直线BP与直线AC所夹锐角的
正切值．
【微点】一次函数综合题．
【思路】（1）先有菱形的对称性得出点C，D坐标，然后用∠DCO的正切值，以及等
角的三角函数值相等列出方程，最后用待定系数法求出直线DE解析式．
（2）先求出菱形的边长，再求出EF，分点P在AD和DC边上，用面积公式求解；
（3）先求出∠EPD＝∠ADE，分两种情况用由菱形的边长建立方程求出时间t，用相似
三角形的比例式建立方程求出OQ，解直角三角形即可．
【解析】解：由菱形的对称性可得，C（2 ，0），D（0， ），
第 25 页 / 共 30 页∴OD ，OC＝2 ，tan∠DCO ，
∵DE⊥DC，
∴∠EDO+∠CDO＝90°，
∵∠DCO+∠CDO＝90°，
∴∠EDO＝∠DCO，
∵tan∠EDO＝tan∠DCO ，
∴ ，
∴OE ，
∴E（ ，0），
∴D（0， ），
∴直线DE解析式为y＝2x ，
（2）由（1）得E（ ，0），
∴AE＝AO﹣OE＝2 ，
根据勾股定理得，DE ，
∴菱形的边长为5，
如图1，
过点E作EF⊥AD，
∴sin∠DAO ，
第 26 页 / 共 30 页∴EF ，
当点P在AD边上运动，即0≤t ，
S PD×EF （5﹣2t） t ，
如图2，
点P在DC边上运动时，即 t≤5时，
S PD×DE （2t﹣5） t ；
∴S ，
（3）设BP与AC相交于点Q，
在菱形ABCD中，∠DAB＝∠DCB，DE⊥DC，
∴DE⊥AB，
∴∠DAB+∠ADE＝90°，
∴∠DCB+∠ADE＝90°，
∴要使∠EPD+∠DCB＝90°，
∴∠EPD＝∠ADE，
当点P在AD上运动时，如图3，
第 27 页 / 共 30 页∵∠EPD＝∠ADE，
∴EF垂直平分线PD，
∴AP＝AD﹣2DF＝AD﹣2 ，
∴2t＝5﹣2 ，
∴t ，
此时AP＝1，
∵AP∥BC，
∴△APQ∽△CBQ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴AQ ，
∴OQ＝OA﹣AQ ，
在Rt△OBQ中，tan∠OQB ，
当点P在DC上运动时，如图4，
第 28 页 / 共 30 页∵∠EPD＝∠ADE，∠EDP＝∠EFD＝90°
∴△EDP∽△EFD，
∴ ，
∴DP ，
∴2t＝AD+DP＝5 ，
∴t ，
此时CP＝DC﹣DP＝5 ，
∵PC∥AB，
∴△CPQ∽△ABQ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴CQ ，
∴OQ＝OC﹣CQ＝2 ，
在Rt△OBD中，tan∠OQB 1，
即：当t 时，∠EPD+∠DCB＝90°．此时直线BP与直线AC所夹锐角的正切值为 ．
当t 时，∠EPD+∠DCB＝90°．此时直线BP与直线AC所夹锐角的正切值为1．
【点拨】此题是一次函数综合题，主要考查菱形的性质，待定系数法求直线解析式，相
第 29 页 / 共 30 页似三角形的判定和性质，找出相似三角形是解本题的关键，分情况讨论是解本题的难点．
第 30 页 / 共 30 页
