1989考研数学一、二、三真题+答案公众号：小乖考研免费分享_05.数学二历年真题_普通版本数学二_1987-2016考研数学二真题及答案解析

郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1989年数学试题参考解答及评分标准 1989 年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题参考解答及评分标准 数 学（试卷一） 一、填空题 (本题满分15分，每小题3分) f(3h) f(3) (1) 以知 f (3)=2,则lim -1 h0 2h 1 (2) 设 f(x)是连续函数，且 f(x) x2 f(t)dt，则 f(x) x1 . 0 (3) 设平面曲线L为下半圆Y=－ 1x2 ，则曲线积分 (x2  y2)       L  (4) 向量场u(x,y,z)xy2i yezj xln(1z2)k 在点p(1,1,0)处的散度divu 2 3 0 0 1 0 0  1 0 0      1 1  (5) 设矩阵A  1 4 0  ，I   0 1 0  则逆矩阵(A2I)1    0  2 2   4 0 3    0 0 1    0 0 1   二、选择题 (本题满分15分，每小题3分) 1 (1) 当x0时，曲线y  xsin x (A) 有且仅有水平渐近线； (B) 有且仅有铅直渐近线. (C) 既有水平渐近线，也有铅直渐近线； (D) 既无水平渐近线，也无铅直渐近线. (2) 已知曲面z 4x2  y2上点P处的切平面平行于平面2x2yz10，则点P的 坐标是 (A) (1,-1,2) (B)(-1,1,2) (C)(1,1,2) (D)(-1,-1,2) (C) (3) 设线性无关的函数y ,y ,y 都是二阶非齐次线性方程y p(x)yq(x)y f(x)的解， 1 2 3 c ,c 是任意常数，则该非齐次方程的通解是 1 2 (A)c y c y y (B)c y c y (1c c )y 1 1 2 2 3 1 1 2 2 1 2 3 (C)c y c y (1c c )y (D)c y c y (1c c )y (D) 1 1 2 2 1 2 3 1 1 2 2 1 2 3  (4) 设函数 f(x)x2,0x1,s(x)bnsinnx,,x，其中 n1 1 1 b 2 f(x)sinnxdx,(n1,2,)，.则s( ))等于 n 0 2 1989年 • 第1页郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1989年数学试题参考解答及评分标准 1 1 1 1 (A)  (B)  (C) (D) (B) 2 4 4 2 (5) 设A是4阶矩阵，且A的行列式 A 0，则A中 (A) 必有一列元素全为0； (B) 必有两列元素对应成比例； (C) 必有一列向量是其余列向量的线性组合； (D) 任一列向量是其余列向量的线性组合. (C) 三、(本题满分15分，每小题5分) (1) 设z  f(2x y)g(x,xy),其中函数 f(t)二阶可导，g(u,v)具有连续的二阶偏导 2z 数，求 . xy z 解： 2fg  yg , „„2分 x u v 2z 2fxg xyg g . „5分 xy uv vv v (2) 设曲线积分 xy2dx y(x)dy与路径无关，其中(x)具有连续的导数，且 0 (1,1) (0)=0.计算 xy2dx y(x)dy的值. (0,0) P Q 解：由P(x,y) xy2,Q(x,y) y(x),  , „„1分 y x 得2xy y(x), (x)x2C. 再由(0)0得C=0，故(x)x2. „„3分 (1,1) (1,1) 所以 xy2dx y(x)dy  xy2dxx2ydy . (0,0) (0,0) (1,1) 1 1 沿直线yx从点(0,0)到点(1,1)积分，得 xy2dxy(x)dy 2x3dx „„5分 (0,0) 0 2 (3) 计算三重积分 (x z)dy，其中是由曲面z= x2  y2 与z= 1x2  y2 所  围成的区域.  2 1 解：利用球面坐标计算 xdv d4d rsincosr2sindr „„1分  0 0 0  2 4  1  1  sind [(  sin2) 4]d 0. „„2分  0  2 4 0 4 0 2  1 1 1   zdv d4d rcosr2sindr 24 sin2d  . „„4分  0 0 0 0 2 4 8 1989年 • 第2页郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1989年数学试题参考解答及评分标准  所以 (xz)dv . „„5分  8 四、(本题满分6分) 1x 将函数 f(x)arctg 展为x的幂级数. 1x 1  解： 由 f(x) (1)nx2n, (1 x1) „„2分 1x2 n0 x  x   (1)n1 得 f(x) f(0) f(t)dt  (1)nt2ndt  x2n1. 0  2n1 0 n0 n0  而 f(0)arctan1 ， „„5分 4 1x   (1)n 所以arctan   x2n1, (1 x1). „„6分 1x 4 2n1 n0 五、(本题满分7分) x 设 f(x)sinx (xt)f(t)dt ,其中 f 为连续函数，求 f(x). 0 x x x 解：f(x)sinxx f(t)dt tf(t)dt, f(x)cosx f(t)dt, f(x)sinx f(x). 0 0 0 即 f(x) f(x)sinx， „„2分 这是二阶常系数非齐次线性微分方程,初始条件为y|  f(0)0,y|  f(0)1. „„3分 x0 x0 其对应齐次方程的通解为yC sinxC cosx. „„4分 1 2 1 x 设非齐次方程的特解y* x(asinxbcosx),可得a0,b ；于是y*  cosx. „„5分 2 2 x 因此非齐次方程的通解为yC sinxC cosx cosx. „„6分 1 2 2 1 1 x 又由初始条件定出C  ,C 0，从而 f(x) sinx cosx. „„7分 1 2 2 2 2 六、(本题满分7分) x  证明方程lnx=  1cos2xdx在区间(0，+)内有且仅有两个不同实根. e 0  解： 1cos2xdx2 2 . „„2分 0 x 1 1 记F(x) lnx2 2，则F(x)  ，F(e)0. e e x 因当0 xe时，F(x)0，F(x)递减；当e x时，F(x)0，F(x)递增； 1989年 • 第3页郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1989年数学试题参考解答及评分标准 故F(x)在区间(0,e)和(e，)内分别至多一个零点. „„5分 又F(e)2 20，F(e3)0,F(e4)0.由零点定理，F(x)在区间(e3,e)和(e，e4)内 x  分别有一个零点.故方程lnx  1cos2xdx在(0,)内有且仅有两个实根. „„7分 e 0 七、(本题满分6分)  x  x  1 3  问为何值时，线性方程组 f(x)4x x 2x 2 有解，并求出解的一般形式. 1 2 3  6x x 4x 23  1 2 3 解：对方程组的增广矩阵进行初等行变换得 1 0 1   1 0 1   1 0 1         4 1 2 2  0 1 2 32  0 1 2 32 „„3分             6 1 4 23 0 1 2 43 0 0 0 1       当10，即1时，方程组有解. „„4分 x x 1  1 3 x x 1 这时方程组为4x x 2x 3，而 1 3 为其同解方程组. „„5分 1 2 3 x 2x 1  6x x 4x 5  2 3  1 2 3 x 1x 解之得 1 3 .其中x 取任意常数. „„6分 x 12x 3  2 3 八、(本题满分7分) 假设为n阶可逆矩阵A的一个特征值，证明： 1 (1) 为A-1的特征值；  | A| (2) — 为A的伴随矩阵A*的特征值.  证：（1）由条件知有非零向量满足A „„2分 两端左乘以A1 ，得A1. „„3分 1 1 因为非零向量，故0，于是有A1 ，所以 为A1的特征值. „„4分   1 （2）由于A1  A*， „„5分 |A| 1 1 故前一式又可写为 A* ， „„7分 |A|  1989年 • 第4页郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1989年数学试题参考解答及评分标准 |A| |A| 从而有A* ，所以 为A*的特征值. „„8分   九、(本题满分9分) 设半径为R的圆面的球心在定球面x2y2z2 a2,(a0)上，问当R取何值时， 球面在定球面内部的那部分的面积最大？ 解：设球面的方程为x2y2(za)2 R2.  R2 两球面的交线在xoy面上的投影为x2  y2  (4a2 R)2 . „„2分  4a2  z 0 记投影曲线所围平面区域为D .球面在定球面内的部分的方程为za R2x2y2 ， xy R 这部分球面的面积S(R)  1z 2 z 2dxdy   dxdy „„4分 x y R2 x2  y2 D D xy xy 2 R 4a2R2 Rr R3  d2a dr 2R2  . „„6分 0 0 R2 r2 a 3R2 4a 令S(R)4R 0，得驻点R 0(舍去),R  ， „„8分 a 1 2 3 4a 4a 由于S( )40.故当R 时，球面在定球面内的部分的面积最大. „„9分 3 3 十、填空题 (本题满分6分，每小题2分) (1) 已知随机事件A的概率P(A)=0.5,随机事件B的概率P(B)=0.6及条件概率P(B|A)=0.8， 则和事件AB的概率P(AB)=0.7 (2) 甲，乙两人独立的对同一目标射击一次.其命中率分别为0.6和0.5.先已知目标被命中， 则它是甲射中的概率是0.75 (3) 若随机变量在(1，6)上服从均匀分布，则方程x2+x+1=0有实根的概率是0.8. 十一、(本题满分6分) 设随机变量X与Y独立，且X服从均值为1，标准差(均方差)为 2 的正态分布，而Y 服从标准正态分布，试求随机变量Z=2X-Y+3的概率密度函数 解：因相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布，故只需确定Z 的均值 E(Z)和方差D(Z). „„1分 由于E(Z)2E(X)E(Y)35， „„3分 1989年 • 第5页郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1989年数学试题参考解答及评分标准 D(Z)22D(X)D(Y)9. „„5分 1  (z5)2 所以Z 的概率密度函数为 f (z) e 18 . „„6分 z 3 2 1989年 • 第6页郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1989年数学试题参考解答及评分标准 数 学（试卷二） 一、填空题 【 同数学一 第一题 】 二、选择题 【 同数学一 第二题 】 三、【 同数学一 第三题 】 四、(本题满分18分，每小题6分) (1) 【 同数学一第四（1）题 】 (2) 求八分之一球面x2y2z2 R2，x0,y0,z 0的边界曲线的重心，设曲线的 线密度1. 解：设曲线在XOY，YOZ，ZOX坐标平面内的弧段分别为L ,L ,L (如图)， 1 2 3 2R 3 则曲线质量为m ds3  R. „„2分 L+L L 4 2 1 2 3 记曲线重心为(x,y,z)，则 1 x   xds „„3分 m L+L L 1 2 3 1     xds xds xds m L L L 1 2 3 1   2 2  R Rx 2R2 4R   xds0 xds   xds   dx  . „„5分 m L 1 L 3 m L 1 m 0 R2 x2 m 3 4R 4R 4R 4R 由对称性知y z x  ，即所求重心为  ， ， . „„6分 3 3 3 3 (3) 设空间区域由曲面za2x2y2与平面z 0围成，其中a为正的常数，记表 面的外侧为S ，的体积为V ，求证： x2yz2dydzxy2z2dzdxz(1xyz)dxdyV . S 证： 由高斯公式知原式＝（1＋2xyz）dxdydz „„2分  V 2 xyzdxdydz. „„4分  因关于XOZ 坐标平面对称,xyz是上关于y的奇函数,故有 xyzdxdydz 0.„„6分  所以欲证等式成立. 五、(本题满分7分)【 同数学一 第五题 】 六、(本题满分7分)【 同数学一 第六题 】 七、(本题满分6分)【 同数学一 第七题 】 八、(本题满分8分)【 同数学一 第八题 】 九、(本题满分9分)【 同数学一 第九题 】 1989年 • 第7页郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1989年数学试题参考解答及评分标准 数 学（试卷三） 一、填空题 (本题满分21分，每小题3分) (1) limxctg2x 1/2 . x0  (2)  tsintdt=  . 0 x (3) 曲线y   (t 1)(t 2)dt 点(0,0)处的切线方程是 y 2x . 0 (4) 设 f(x) x(x1)(x2)(xn)，则 f(0) n! (5) 【 同数学一 第一、(2)题 】  abx2 ,x0 (6) 设 f(x)  sinbx 在x0处连续，则常数a与b应满足的关系是 ab . ,x 0   x (7) 设tan y x y，则dy  cot2 ydx . 二、(本题满分20分，每小题4分) (1) 已知yarcsine x，求y (e x) e x ( x) 1 e x 解：y    . „„4分 (1e2 x) (1e2 x) 2 x(1e2 x) dx (2) 求 . xln2 x  dx  dlnx 解：   . „„2分  xln2 x  ln2 x 1  C. „„4分 lnx 1 (3) 求 lim(2sinxcosx)x. x0 1 解： lny ln(2sinxcosx) „„2分 x 2cosxsinx 利用罗比塔法则有limlnylim 2. „„3分 x0 x0 2sinxcosx 1 故lim(2sinxcosx)x e2. „„4分 x0 1989年 • 第8页郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1989年数学试题参考解答及评分标准 xln(1t2) dy d2y (4) 已知 求 及 . y arctgt dx dx2 1 dy 1t2 1 解：   ， „„2分 dx 2t 2t 1t2 d2y 1 1 1t2    . „„4分 dx2 2t2 2t 4t3 1t2 1 2 1 (5) 已知 f(2) , f(2)0 及  f(x)dx1，求  x2 f(2x)dx. 2 0 0 解： 设t 2x，则 1 1 2t2  x2f(2x)dx  f(t)dt „„1分 0 2 0 4  1  t2f(t) 2 2 2 tf(t)dt  „„2分 8  0 0  1  2   2 tdf(t) „„3分 8  0   1  tf(t) 2  2 f(t)dt   1 [11]0. „„4分 4  0 0  4 三、选择题 (本题满分18分，每小题3分) (1) 【 同数学一 第二、(1) 题 】 (2) 若3a2 5b0，则方程x5 2ax3 3bx4c 0 (B) (A) 无实根 (B) 有唯一实根 (C) 有三个不同实根 (D) 有五个不同实根   (3) 曲线ycosx( x )与x轴围成的图形绕x轴旋转一周所成的旋转体的体积为 2 2 (A) /2 (B)  (C) 2 /2 (D) 2 (4) 设函数 f(x)及g(x)都在xa处取得极大值，则函数F(x) f(x)g(x)在xa (D) (A) 必取极大值 . (B) 必取极小值. (C) 不可能取极值. (D) 是否取极值不能确定. (5) 微分方程yyex 1的一个特解应具有形式（式中a,b为常数） (B) (A) aex b (B) axex b (C) aex bx (D) axex bx (6) f(x)在点xa可导的一个充分条件是 (D)  1  f(a2h) f(ah) (A) lim h f(a ) f(a) 存在 (B) lim 存在   h  h  h0 h 1989年 • 第9页郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1989年数学试题参考解答及评分标准 f(ah) f(ah) f(a) f(ah) (C) lim 存在 (D) lim 存在 h0 2h h0 h 四、(本题满分6分) 微分方程xy(1x)ye2x (0x)满足y(1) 0的解.  1x dx e2x  1x dx 解：由通解公式有ye x ( e x dxC) „„2分 x Cex e2x 即 y  . „„4分 x 再由y(1)0，得C e. „„5分 ex(ex e) 故所求通解为y . „„6分 x 五、(本题满分7分)【 同数学一 第五题 】 六、(本题满分7分)【 同数学一 第六题 】 七、(本题满分11分) x1 对函数y= ，填写下表. x2 单调减区间 单调增区间 极 值 点 极 值 凹 区 间 凸 区 间 拐 点 渐 近 线 解： 单调减少区间 (,2), (0,) （２分） 单调增加区间 (2,0) （３分） 极值点 2 （４分） 极值 1/4 （５分） 凹区间 (3,0),(0,) （７分） 凸区间 (,3) （８分） 拐点 (3,2/9) （9分） 渐进线 x0和y 0 （1１分） 1989年 • 第10页郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1989年数学试题参考解答及评分标准 八、(本题满分10分) 设抛物线yax2bxc过原点，当0 x1，时y0，又已知该抛物线与x轴及直 线x1所围成的面积为 1 .试确定a,b,c的值，使此图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体 3 积V 最小. 解：因曲线过原点，故c0. „„1分 1 a b 1 2 由题设有 (ax2 bx)dx   ，即b (1a). „„3分 0 3 2 3 3 1 a2 1 b2 又V  (ax2 bx)2dx(  ab ). „„5分 0 5 2 3 a2 1 1 4 将b的表达式代入上式得V [  a(1a)  (1a)2]. „„6分 5 3 3 9 2a 1 2 8  5 令V   a (1a) 0，解得a . „„8分 a   5 3 3 27   4 3 代入b的表达式得b . „„9分 2 ５ ４ 5 3 因V（ － ）＝ ０及实际情况，知当a ,b ,c0时，体积最小. „„10分 a ４ 135 4 2 1989年 • 第11页郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1989年数学试题参考解答及评分标准 数 学（试卷四） 一、填空题：(本题满分15分，每小题3分) (1) 曲线yxsin2 x在点(  ,1  )处的切线方程是 yx1 . 2 2  xn (2) 幂级数 的收敛域是 [1,1) . n1 n1 x x x 0 1 2 3  (3) 齐次线性方程组 x x x 0 只有零解，则应满足的条件是 1 . 1 2 3  x x x 0  1 2 3  0 若x0 (4) 设随机变量X 的分布函数为F(x)  ,则A = 1 ； Asinx 若0x/2  1 若x/2   P{|x|< }= 1/2 . 6 (5) 设随机变量 X 的数学期望 EX=μ ,方差 DX=2，则由切比雪夫(chebyshev)不等式， 有P{ X  3} 1/9 . 二、选择题：(本题满分15分，每小题3分) (1) 设 f(x)2x 3x 2, 则当x→0时， (B) (A) f(x)与x是等价无穷小量 (B) f(x)与x是同阶但非等价无穷小量 (C) f(x)是比x较高阶的无穷小量 (D) f(x)是比x较低阶的无穷小量 (2) 在下列等式中，正确的结果是 (C) (A)  f(x)dx f(x) (B) df(x) f(x) d (C)  f(x)dx f(x) (D) d f(x)dx f(x) dx (3) 【 同数学一 第二、(5) 题 】 (4) 设A和B均为nn矩阵 , 则必有 (C) (A) AB  A  B ( B) ABBA (C) AB  BA (D) (AB)1  A1 B1 (5) 以A 表示事件 “甲种产品畅销，乙种产品滞销”， 则其对立事件A为 (D) (A)“甲种产品滞销，乙种产品畅销” (B)“甲，乙产品均畅销” 1989年 • 第12页郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1989年数学试题参考解答及评分标准 (C)“甲种产品滞销” (D)“甲种产品滞销或乙种产品畅销” 三、计算题 (本题满分15分，每小题5分) 1 1 (1) 求极限lim(sin cos )x x x x 1 解：设u  ，则当x时，u 0. x 1 ln(sinucosu) lim 原式lim(sinucosu)u ｅｕ0 u . „„1分 ｕ0 ln(sinucosu) cosusinu 而lim lim 1 „„4分 ｕ0 u ｕ0sinucosu 于是原式＝e. „„5分 2z (2) 已知z  f(u,v)u  x y,v xy，且 f(u,v)的二阶偏导数都连续, 求 . xy z f u f v f f 解：       y „„2分 x u x v x u v 2z 2f u 2f v  2f u 2f v f      y     „„4分 xy u2 y uv y vu y v2 y v 2f 2f 2f 2f f  x  y xy  u2 uv vu v2 v 2f 2f 2f f  (x y) xy  . „„5分 u2 uv v2 v (3) 求微分方程 y5y6y 2ex 的通解. 解：由特征方程为r25r6(r2)(r3)0，知特征根为2,3. „„1分 于是对应齐次微分方程的通解为y(x)Ce2x C e3x. „„2分 1 2 其中C ,C 为任意常数.设所给非齐次方程的特解为y*(x) Aex. „„3分 1 2 将 y*(x)代入原方程，可得A1，故所给非齐次微分方程的特解为y*(x)ex. „„4分 从而，所给微分方程的通解为y(x)Ce2x C e3x ex. „„5分 1 2 四、（本题满分9分） 设某厂家打算生产一批商品投放市场，已知该商品的需求函数为 x  p p(x)10e 2 且最大需求量为6，其中x表示需求量，p表示价格. （1）求该商品的边际收益函数；（2分） （2）求使收益最大时的产量，最大收益和相应价格. （4分） （3）画出收益函数的图形.（3分） 1989年 • 第13页郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1989年数学试题参考解答及评分标准 x  解：(1) 收益函数为R(x) px10xe 2, 0 x6; „„1分 dR  x 边际收益函数为MR 5(2x)e 2. „„2分 dx x  (2) 由R5(2x)e 2 0，得驻点x  2. 0 5 x 由于R|  (x4)e 2 5e1 0. „„4分 x0 2 x0 x  可见R(x)在点x2处达到极大值，亦即最大值R(2)10xe 2 20e1. x2 于是当产量为２时，收益取最大值20e1，而相应的价格为10e1. „„6分 (3) 由上面的计算结果，易得下表 x [0,2] 2 [2,4] 4 [4,6] R  0   R    0  20 40 R 单增，凸 极大值 单减，凸 (4, ) 单减，凹 e e2 „„9分 收益函数的图形为 五、（本题满分9分）  x 若0 x 1 已知函数 f(x)   ，试计算下列各题： 2x 若1 x  2 2 4 (1) S  f(x)exdx ，（4分）； (2) S  f(x2)exdx，（2分）； 0 1 0 2 2n2  (3) S  f(x2n)exdx （n=2,3,„）（1分）； (4) S S .（2分） n n 2n n0 1 2 解：(1) S  xexdx (2x)exdx. „„1分 0 0 1 1989年 • 第14页郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1989年数学试题参考解答及评分标准 1 1 1 其中 xexdx xex  exdx12e1， „„2分 0 0 0 2 2 2  (2x)exdx(2x)ex  exdxe2. „„3分 1 1 1 从而S 12e1e2 (1e1)2. „„4分 0 4 2 (2) 令t  x2，则S  f(x2)exdx f(t)et2dt S e2. „„6分 1 0 2 0 2 (3) 令t  x2n，则S  f(t)et2ndt S e2n. „„7分 n 0 0    (4) S S S e2n S (e2)n „„8分 n 0 0 n0 n0 n0 S e1  0  . „„9分 1e2 e1 六、（本题满分6分） 假设函数 f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且 f (x)0，记 1 x F(x)   f(t)dt，证明在(a,b)内F(x)0. xa a 证： 由于 f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，因此 1 1 x 1  1 x  F(x) f(x)  f(t)dt  f(x)  f(t)dt . „„2分   xa (xa)2 a xa xa a  1 x 由积分中值定理知，存在, a x，使 f()  f(t)dt. xa a 1 因此F(x) f(x) f(). „„4分 xa 又由于 f(x)0，知 f(x)在(a,b)上非增函数，所以当x时， f(x) f  . 1 因 0，故由此可知F(x)0. „„6分 xa 七、（本题满分5分）  0 1 0  1 1     已知X=AX+B,其中A 1 1 1 ,B  2 0 ,求矩阵X..         1 0 1 5 3     解： 以E表示3阶单位矩阵，由X=AX+B，有(E-A)XB. „„1分 1 1 0    其中EA 1 0 1 . „„2分     1 0 2   1989年 • 第15页郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1989年数学试题参考解答及评分标准  0 2/3 1/3   其逆矩阵为(EA)1  1 2/3 1/3 ； „„4分     0 1/3 1/3    0 2/3 1/31 1 3 1      于是X(EA)1B 1 2/3 1/3 2 0  2 0 . „„5分           0 1/3 1/3 5 3 1 1      八、（本题满分6分） 设   1,1,1  ，   1, 2,3  ，  1, 3, t  ， 1 2 3 (1) 问当t为何值时，向量组,,线性无关？（3分） 1 2 3 (2) 问当t为何值时，向量组,,线性相关？（1分） 1 2 3 (3) 当向量组 ,, 线性相关时，将表示为和 的线性组合.（2分） 1 2 3 3 1 2 解：设有实数k ,k ,k ，使ka k a k a 0，则得方程组： 1 2 3 1 1 2 2 3 3 k k k 0 1 1 1 1 2 3  k 2k 3k 0 （*）， 其系数行列式为 D 1 2 3 t5. „„2分 1 2 3  k 3k tk 0 1 3 t  1 2 3 (1) 当t 5时，D 0，方程组（*）只有零解：k k k 0.这时，向量组a ,a a 1 2 3 1 2, 3 线性无关. „„3分 (2) 当t 5时，D 0，方程组（*）有非零解，即不存在不全为0的常数k ,k ,k ， 1 2 3 使ka k a k a 0，这时，向量a ,a a 线性相关. „„4分 1 1 2 2 3 3 1 2, 3 1 1 1 1 1 1     k k 0 (3) 设t 5.由 1 2 3  0 1 2 知方程组（*）可化为 1 3 .     k 2k 0  1 3 5   0 0 0   2 3     令k 1，得k 1,k 2.因此，有a 2a a 0.从而a 可以通过a 和a 表示为 3 1 2 1 2 3 3 1 2, a a 2a . „„6分 3 1 2 九、（本题满分5分） 1 2 2    设A 2 1 2 ，     2 2 1   (1) 试求A矩阵的特征值.（2分） (2) 利用(1)小题的结果，求矩阵E A1的特征值.其中E是三阶单位矩阵（3分） 1989年 • 第16页郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1989年数学试题参考解答及评分标准 1 2 2 解：（1）矩阵A的特征方程为|EA| 2 1 2 (1)2(5)0， 2 2 1 由此得矩阵A的特征值1,1,5. „„2分 1 （2）由于矩阵A的特征值1,1,5，可知A1的特征值为1,1, . „„3分 5 1 因此，有|EA1|0， ( )EA1 0.由此可见|(11)E(EA1)|0， 5 1 4 |( 1)E(EA1)|0，即|2E(EA1)|0，| E(EA1)|0. 5 5 4 于是，矩阵EA1的特征值2,2, . „„5分 5 十、(本题满分7分) e(xy) 若0 x ,0 y   已知随机变量X和Y的联合密度为 f(x,y)   ，  0 其他 试求：(1) P{X Y} (5分) ； （2）E(XY) (2分) 解：(1) P{X Y}  f(x,y)dxdy „„2分 XY  y  y  1   e(xy)dxdy eydy exdy ey(1ey)dy . „„5分 0 0 0 0 0 2     (2) E(XY)  xye(xy)dxdy  xexdx yeydy 1. „„7分 0 0 0 0 十一、(本题满分8分) 设随机变量在 [2,5]上服从均匀分布.现在对X进行三次独立观 测.试求至少有两次观测值大于3的概率. 解：以A表示事件“对X 的观测值大于3”，即A{X 3}，由条件知，X 的密度函 数为 f(x)    1 3 若2 x5 ，P(A)P{X 3} 51 dx 2 . „„4分 3 3 3  0 其他 以u 表示三次观测值大于3的次数（即在三次独立观测中事件A出现的次数）. 3 2 显然，u 服从参数为n3， p  的二项分布， 3 3 2 1 2 20 因此，所求概率为P{u 2}C2( )2 C3( )3  . „„8分 3 3 3 3 3 3 27 1989年 • 第17页郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1989年数学试题参考解答及评分标准 数 学（试卷五） 一、填空题：(本题共5小题，每小题3分，满分15分) (1) 【 同数学四 第一、(1) 题 】 (2) 某商品的需求量Q与价格P的函数关系为Qapb，其中a和b为常数，且a0，则 需求量对价格P的弹性是 b . 1 1 1 x1 (3) 行列式 1 1 x1 1 x4 . 1 x1 1 1 x1 1 1 1 (4) 设随机变量X ,X ,X 相互独立，其中X 在[0,6]上服从均匀分布，X 服从正态分布 1 2 3 1 2 N(0,22),X 服从参数为3的泊松分布.记Y  X 2X 3X ，则DY  46 . 3 1 2 3 (5) 【 同数学四 第一、(4) 题 】 二、选择题：(本题共5小题，每小题3分，满分15分) (1) 【 同数学四 第二、(1) 题 】 (2) 【 同数学四 第二、(2) 题 】 (3) 【 同数学一 第二、(2) 题 】 (4) 设n元齐次线性方程组AX＝0的系数矩阵A的秩为r，则AX＝0有非零解的充分必要 条件是 (B) (A) rn (B) rn (C) rn (D) rn (5) 【 同数学四 第二、(5) 题】 三、(本题满分20分，每小题5分) 1 (1) 求极限 lim(xex)x. x ln(xex) lim 解：原式  ex x . „„1分 ln(xex) 1ex 而 lim  lim „„2分 x x x xex ex  lim „„3分 x1ex ex  lim 1. „„4分 xex 1989年 • 第18页郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1989年数学试题参考解答及评分标准 1 因此 lim(xex)x e. „„5分 x (2) 已知z a x2y2 ，其中a 0,a 1,求dz. z x xzlna 解： a x2y2 lna  ， „„2分 x x2  y2 x2  y2 z y yzlna a x2y2 lna  . „„4分 y x2  y2 x2  y2 z z xzlna yzlna zlna dz  dx dy  dx dy  (xdxydy). „„5分 x y x2  y2 x2  y2 x2 y2 xln(1x) (3) 求不定积分 dx. x2 1 1 解：原式＝ dxln(1x)d „„1分 x x 1 1 ln|x| ln(1x) dx „„2分 x x(1x) 1 1 1  ln|x| ln(1x)   dx „„3分 x x 1x 1 ln|x| ln(1x)ln|x|ln(1x)C „„4分 x 1 (1 )ln(1x)C. „„5分 x 1x2 y2 (4) 求二重积分 dxdy，其中D是x2y2 1，x0,y 0所围成的区域 1x2  y2 D 在第I象限部分. xrcos 解：作极坐标变换 ， „„1分 xrsin  11r2 原式2d rdr „„2分 0 01r2  1 2   ( 1)rdr „„3分 2 0 1r2 1  1   ln(1r2) r2 „„4分   2  2  0  1  [ln2 ]. „„5分 2 2 1989年 • 第19页郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1989年数学试题参考解答及评分标准 四、(本题满分6分) 已知某企业的总收入函数为R26x2x2 4x3,总成本函数为C 8xx2，其中x表 示产品的产量.求利润函数，边际收入函数，以及企业获得最大利润时的产量和最大利润. 解：(1) 利润函数为LRC 26x2x2 4x38xx2 18x3x24x3. „„1分 dR (2) 边际收入函数为MR 26x4x12x2. „„2分 dx dC (3) 边际成本函数为MC  82x. „„3分 dx dL (4) 解方程 186x12x2 0，得x1, x1.5(舍去). „„4分 dx d2l 而由 (6x24x) 300 „„5分 dx2 x1 x1 知，当x1时Ｌ达到极大值L| (18x3x24x3)| 11. x1 x1 因为x0时，L(x)只有一个极大值，没有极小值，故此极大值就是最大值. 于是，当产量为１时利润最大，最大利润为11. „„6分 五、(本题满分12分) 2x2 已知函数y  ，试求其单调区间，极值点，及图形的凹凸性，拐点和渐近线， (1x)2 并画出函数图形. 4x 解：y ，令y0，得x0. „„1分 (1x)3 8x4 1 y ，令y0，得x „„2分 (1x)４ 2 于是，可列出如下表格： x (,1/2) 1/2 (1/2,0) 0 (0,1) 1 (1,) y   0  /  y  0    /  1 2 y   拐点( , )   极小值0   无定义   2 9 (1) 由表中计算结果可见： x0是函数的极小值点，极小值为０； „„3分 1989年 • 第20页郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1989年数学试题参考解答及评分标准 1 2 点( , )是该曲线的拐点； „„4分 2 9 区间(,0)和(1,)是函数的单调减区间； „„5分 区间(0,1)是函数的单调增区间； „„6分 1 在(, )上函数图形凸， „„7分 2 1 在( ,1)和(1,)上函数图形凹. „„8分 2 (2) 由limy2，知y 2为函数图形的水平渐近线； „„9分 x 由limy，知x1为函数的图形的铅垂渐近线. „„10分 x1 (3) 函数图形如下： „„12分 六、(本题满分5分)【 同数学四 第七题 】 七、(本题满分6分)【 同数学四 第八题 】 八、(本题满分5分)【 同数学四 第九题 】 九、(本题满分8分) 已知随机变量X和Y的联合概率分布为： (X,Y) (0,0) (0,1) (1,0) (1,1) (2,0) (2,1)   P X  x,Y  y 0.10 0.15 0.25 0.20 0.15 0.15   X Y 求：(1) X的概率分布； (2) X＋Y的概率分布； (3) Z sin 的数学期望. 2 解：(1) X的概率分为 X 0 1 2 PX x 0.25 0.45 0.30 „„3分 1989年 • 第21页郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1989年数学试题参考解答及评分标准 „„3分 (2) X+Y的概率分为 „„6分 X Y 0 1 2 3 PX Y s 0.10 0.40 0.35 0.15 „„6分 X Y   (3) E[sin ] sin00.10sin 0.40sin0.35sin 0.15 2 2 2 0.400.150.25. „„8分 十、(本题满分8分) 某仪器装有三只独立工作的同型号电子元件，其寿命（单位：小时）都服从同一指数分  1  x  e 600,若x0 布，分布密度为 f(x)600 ，试求：在仪器使用的最初200小时那，至少   0, 若0 有一只电子元件损坏的概率. 解：设三只元件编号分别为1，2，3；以A(i1,2,3)表示事件“在仪器使用的最初 i 200小时内，第i只元件损坏”；以X (i 1,2,3)表示“第i只元件的使用寿命”. i 由题意知X (i 1,2,3)服从密度为 f(x)的指数分布.易见 i  1  x  1 P(A)P(X 200) e 600dxe 3. „„5分 i i 200600 1  所求事件的概率 P(A A A )1P(A A A )1(e 3)3 1e1. „„8分 1 2 3 1 2 3 1989年 • 第22页