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Born to win
1992 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上.)
(1) 设函数 由方程 确定,则 ____________.
(2) 函数 在点 处的梯度 ____________.
(3) 设 则其以 为周期的傅里叶级数在点 处收敛于
____________.
(4) 微分方程 的通解为 ____________.
(5) 设 ,其中 则矩阵 的秩
____________.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是
符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内.)
(1) 当 时,函数 的极限 ( )
(A) 等于2 (B) 等于0 (C) 为 (D) 不存在但不为
(2) 级数 (常数 ) ( )
(A) 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 收敛性与 有关
(3) 在曲线 的所有切线中,与平面 平行的切线 ( )
(A) 只有1条 (B) 只有2条 (C) 至少有3条 (D) 不存在
(4) 设 ,则使 存在的最高阶数 为 ( )
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3Born to win
(5) 要使 都是线性方程组 的解,只要系数矩阵 为 ( )
(A) (B)
(C) (D)
三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分.)
(1) 求 .
(2) 设 ,其中 具有二阶连续偏导数,求 .
(3) 设 求 .
四、(本题满分6分.)
求微分方程 的通解.
五、(本题满分8分)
计算曲面积分 ,其中 为上半球
面 的上侧.
六、(本题满分7分)
设 , ,证明对任何 ,有 .
七、(本题满分8分)
在变力 的作用下,质点由原点沿直线运动到椭球面
上第一卦限的点 ,问当 取何值时,力 所做的功 最
大?并求出 的最大值.Born to win
八、(本题满分7分)
设向量组 线性相关,向量组 线性无关,问：
(1) 能否由 线性表出？证明你的结论.
(2) 能否由 线性表出？证明你的结论.
九、(本题满分7分)
设3阶矩阵 的特征值为 ,对应的特征向量依次为
,又向量 ,
(1) 将 用 线性表出.
(2) 求 ( 为自然数).
十、填空题(本题满分6分,每小题3分.)
(1) 已知 , , ,则事件 、 、
全不发生的概率为___________.
(2) 设随机变量 服从参数为1的指数分布,则数学期望 ___________.
十一、(本题满分6分)
设随机变量 与 独立, 服从正态分布 , 服从 上的均匀分布,试
求 的概率分布密度(计算结果用标准正态分布函数 表示,其中
).Born to win
1992 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析
一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.)
(1)【答案】
【解析】函数 是一个隐函数,即它是由一个方程确定,写不出具体的解析式.
方程两边对 求导,将 看做 的函数,得 .解出 ,即
.
【相关知识点】1.复合函数求导法则：
如果 在点 可导,而 在点 可导,则复合函数
在点 可导,且其导数为
或 .
2.两函数乘积的求导公式：
.
(2)【答案】
【解析】对函数 求各个分量的偏导数,有
； ； .
由函数的梯度(向量)的定义,有
,
所以 .
【相关知识点】复合函数求导法则：
如果 在点 可导,而 在点 可导,则复合函数
在点 可导,且其导数为
或 .Born to win
(3)【答案】
【解析】 是 区间的端点,由收敛性定理—狄利克雷充分条件知,该傅氏级数在
处收敛于
.
【相关知识点】收敛性定理—狄利克雷充分条件：
函数 在区间 上满足：(i) 连续,或只有有限个第一类间断点；(ⅱ) 只有有限
个极值点.则 在 上的傅里叶级数收敛,而且
(4)【答案】 为任意常数
【解析】这是标准形式的一阶线性非齐次方程,由于 ,方程两边同乘
,得
.
故通解为 为任意常数.
(5)【答案】1
【解析】因为矩阵 中任何两行都成比例(第 行与第 行的比为 ),所以 中的二阶Born to win
子式全为0,又因 ,知道 , 中有一阶子式非零.故 .
【相关知识点】矩阵秩的定义：如果矩阵中存在 阶子式不为零,而所有的 阶子式全为零
时,则此矩阵的秩为 .
二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.)
(1)【答案】(D)
【解析】对于函数在给定点 的极限是否存在需要判定左极限 和右极限
是否存在且相等,若相等,则函数在点 的极限是存在的.
, ,
,故当 时函数没有极限,也不是 .故应选(D).
(2)【答案】(C)
【解析】对原级数的通项取绝对值后,再利用等价无穷小 ,
,
又因为 级数： 当 时收敛；当 时发散.
所以有 收敛.
收敛.所以原级数绝对收敛.应选(C).
注：对于正项级数 ,确定无穷小 关于 的阶(即与 级数作比较)是判断它的敛散性
的一个常用方法.该题用的就是这个方法.
(3)【答案】B
【解析】先求出切线的方向向量,再利用方向向量与平面的法向量的数量积为0得切点对
应的 值.Born to win
求曲线上的点,使该点处的切向量 与平面 的法向量 垂直,
即可以让切线与平面平行.
曲线在任意点处的切向量 , ,即
,解得 .(对应于曲线上的点均不在给定的平面上)
因此,只有两条这种切线,应选(B).
(4)【答案】(C)
【解析】因 处处任意阶可导,只需考查 ,它是分段函数, 是连接点.
所以,写成分段函数的形式,有
对分段函数在对应区间上求微分,
再考查 在连接点 处的导数是否存在,需要根据左导数和右导数的定义进行讨论.
, ,
即
同理可得 ,即 .
对于 有
所以 在 不可导, 不存在,应选(C).
(5)【答案】(A)
【解析】 , 向量对应的分量不成比例,所以 , 是 两个线性无关的解,故
.由 知 .
再看(A)选项秩为1；(B)和(C)选项秩为2；而(D)选项秩为3.故本题选(A).
【相关知识点】对齐次线性方程组 ,有定理如下:Born to win
对矩阵 按列分块,有 ,则 的向量形式为
那么, 有非零解 线性相关
三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分.)
(1)【解析】由等价无穷小有 时, ,
原式= ,
上式为“ ”型的极限未定式,又分子分母在点 处导数都存在,所以连续应用两次洛必达
法则,有
原式 .
(2)【解析】这是带抽象函数记号的复合函数的二阶混合偏导数,重要的是要分清函数是如何
复合的.
由于混合偏导数在连续条件下与求导次序无关,所以本题可以先求 ,再求 .
由复合函数求导法则得
,
.
【相关知识点】多元复合函数求导法则：如果函数 都在点 具有Born to win
对 及对 的偏导数,函数 在对应点 具有连续偏导数,则复合函数
在点 的两个偏导数存在,且有
；
.
(3)【解析】分段函数的积分应根据积分可加性分段分别求积分.另外,被积函数的中间变量
非积分变量,若先作变量代换,往往会简化计算.
令 ,则 当 时, ；当 时, ,于是
四、(本题满分6分.)
【解析】所给方程为常系数的二阶线性非齐次方程,所对应的齐次方程的特征方程
有两个根为 ,而非齐次项 为单
特征根,因而非齐次方程有如下形式的特解 ,代入方程可得 ,故所求通
解为 ,其中 为常数.
【相关知识点】1.二阶线性非齐次方程解的结构：设 是二阶线性非齐次方程
的一个特解. 是与之对应的齐次方程
的通解,则 是非齐次方程的通解.
2. 二阶常系数线性齐次方程通解的求解方法：对于求解二阶常系数线性齐次方程的通解
,可用特征方程法求解：即 中的 、 均是常数,方程
变为 .其特征方程写为 ,在复数域内解出两个特征根 ；
分三种情况：
(1) 两个不相等的实数根 ,则通解为
(2) 两个相等的实数根 ,则通解为
(3) 一对共轭复根 ,则通解为 其中Born to win
为常数.
3.对于求解二阶线性非齐次方程 的一个特解 ,可用待定
系数法,有结论如下：
如果 则二阶常系数线性非齐次方程具有形如
的特解,其中 是与 相同次数的多项式,而 按 不是特征方程的根、是特征方
程的单根或是特征方程的重根依次取0、1或2.
如果 ,则二阶常系数非齐次线性微分方程
的特解可设为
,
其中 与 是 次多项式, ,而 按 (或 )不是特征
方程的根、或是特征方程的单根依次取为 或 .
五、(本题满分8分)
【解析】将原式表成 ,则 .
以考虑用高斯公式来求解,但曲面 不是封闭的,要添加辅助面.如果本题采用投影法计算是
比较复杂的,故不采用.
添加辅助面 ,法向量朝下, 与 围成区域 , 与 取 的外
法向量.在 上用高斯公式得
.
用球坐标变换求右端的三重积分得
.
注意 垂直于平面 与平面 ,将积分投影到 平面上,所以左端 上的曲面Born to win
积分为
(极坐标变换)
.
因此 .
【相关知识点】1.高斯公式：设空间闭区域 是由分片光滑的闭曲面 所围成,函数
、 、 在 上具有一阶连续偏导数,则有
或
这里 是 的整个边界曲面的外侧, 、 、 是 在点 处的法向量的
方向余弦.上述两个公式叫做高斯公式.
2.对于球面坐标与直角坐标的关系为：
其中 为向量与 轴正向的夹角, ； 为从正 轴来看自 轴按逆时针方向转到向
量在 平面上投影线段的角, ； 为向量的模长, .
球面坐标系中的体积元素为 则三重积分的变量从直角坐标变换
为球面坐标的公式是：Born to win
六、(本题满分7分)
【解析】证法一: 用拉格朗日中值定理来证明.
不妨设 ,要证的不等式是 .
在 上用中值定理,有 ；
在 上用中值定理,又有
由 所以 单调减,而 ,有 ,所以
,
即 .
证法二：用函数不等式来证明.要证 ,构造辅助函数
,
则 .由 单调减, .
由此, .改 为 即得证.
【相关知识点】拉格朗日中值定理:如果函数 满足在闭区间 上连续,在开区间
内可导,那么在 内至少有一点 ,使等式
成立.
七、(本题满分8分)
【解析】(1)先求出在变力 的作用下质点由原点沿直线运动到点 时所作的功
的表达式.点 到点 的线段记为 ,则
.
(2)计算曲线积分： 的参数方程是 从 到 ,Born to win
.
化为最值问题并求解：问题变成求 在条件
下的最大值与最大值点.
用拉格朗日乘子法求解.拉格朗日函数为 ,
则有
解此方程组：对前三个方程,分别乘以 得 ( 时)
代入第四个方程得 .
相应的 .当 时相应的 得 .
因为实际问题存在最大值,所以当 时 取最大值 .
【相关知识点】拉格朗日乘子法：
要找函数 在附加条件 下的可能极值点,可以先作拉格朗日函数
其中 为参数.求其对 与 的一阶偏导数,并使之为零,然后与附加条件联立起来：
由这方程组解出 及 ,这样得到的 就是函数 在附加条件 下的Born to win
可能极值点.
八、(本题满分7分)
【解析】(1) 能由 线性表出.
因为已知向量组 线性无关,所以 线性无关,又因为 线
性相关,故 能由 线性表出.
(2) 不能由 线性表出,
反证法：若 能由 线性表出,设 .
由(1)知, 能由 线性表出,可设 ,那么代入上式整理得
.
即 能由 线性表出,从而 线性相关,这与已知矛盾.
因此, 不能由 线性表出.
【相关知识点】向量组线性相关和线性无关的定义：存在一组不全为零的数 ,使
,则称 线性相关；否则,称 线性无关．
九、(本题满分7分)
【解析】(1)设 ,即是求此方程组的解.
对增广矩阵 作初等行变换,
第一行乘以 分别加到第二行和第三行上,再第二行乘以 加到第三行上,第三行自
乘 ,有Born to win
,
第三行乘以 、 分别加到第二行和第一行上,再第二行乘以 加到第一行上,有
增广矩阵 .
解出 , , ,故 .
(2) 由 为 的特征值可知,存在非零向量 使 ,两端左乘 ,得
,再一直这样操作下去,有 .
因为 ,故 .按特征值定义知 是 的特征值,且 为相应的特征向量.
所以有 ,据(1)结论 ,有
,
于是
.
【相关知识点】矩阵特征值与特征向量的定义：设 是 阶矩阵,若存在数 及非零的 维列
向量 使得 成立,则称 是矩阵 的特征值,称非零向量 是矩阵 的特征向
量.
十、填空题(本题满分6分,每小题3分.)
【解析】由条件概率和乘法公式：从 ,可知 ,
由加法公式：
,Born to win
故 .
(2)【解析】依题意,随机变量 服从参数为 的指数分布,故 的概率密度为
根据连续型随机变量函数的数学期望的求法,得出
.
十一、(本题满分6分)
【解析】方法一：利用分布函数求密度函数：
首先,因 ,所以 的密度函数为 ,
因 服从 上的均匀分布,故 的密度函数为 .
因为随机变量 与 相互独立,所以二维随机变量 的联合概率密度为
.要求 的密度函数,先求 的分布函数
.
(由标准正态分布来表示一般正态分布)Born to win
求出 的分布函数,因此,对分布函数求导得密度函数, 的密度函数为
其中 是标准正态分布的概率分布密度.由于 是偶函数,故有
于是 .
最终用标准正态分布函数 表示出来 的概率分布密度.
方法二：用卷积公式直接计算：
直接应用相互独立随机变量之和密度的卷积公式,求 更为简单.
因为随机变量 与 相互独立,由卷积公式
.
最终用标准正态分布函数 表示出来 的概率分布密度.
