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2016年考研数学二真题与解析
一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．
１．当 时，若 ， 均是比 高阶的无穷小，则 的可能取值范围是（ ）
（A） （B） （C） （D）
【详解】 ，是 阶无穷小， 是 阶无穷小，由题意可知
所以 的可能取值范围是 ，应该选（B）．
2．下列曲线有渐近线的是
（A） （B） （C） （D）
【详解】对于 ，可知 且 ，所以有斜渐近线
应该选（C）
3．设函数 具有二阶导数， ，则在 上（ ）
（A）当 时， （B）当 时，
（C）当 时， （D）当 时，
【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法．
【详解1】如果对曲线在区间 上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断． 显然
就是联接 两点的直线方程．故当 时，曲线是凹
的，也就是 ，应该选（D）
【详解2】如果对曲线在区间 上凹凸的定义不熟悉的话，可令
，则 ，且 ，故当
时，曲线是凹的，从而 ，即 ，也就是
，应该选（D）
4．曲线 上对应于 的点处的曲率半径是（ ）
（Ａ） （Ｂ） (Ｃ） （Ｄ）
【详解】 曲线在点 处的曲率公式 ，曲率半径 ．
本题中 ，所以 ， ，
Page 1 of 12对应于 的点处 ，所以 ，曲率半径 ．
应该选（C）
5．设函数 ，若 ，则 （ ）
（Ａ） （Ｂ） （Ｃ） （Ｄ）
【详解】注意（1） ，（2） ．
由于 ．所以可知 ， ，
．
6．设 在平面有界闭区域D上连续，在D的内部具有二阶连续偏导数，且满足 及
，则（ ）．
（A） 的最大值点和最小值点必定都在区域D的边界上；
（B） 的最大值点和最小值点必定都在区域D的内部；
（C） 的最大值点在区域D的内部，最小值点在区域D的边界上；
（D） 的最小值点在区域D的内部，最大值点在区域D的边界上．
【详解】 在平面有界闭区域D上连续，所以 在D内必然有最大值和最小值．并且如果在内
部存在驻点 ，也就是 ，在这个点处 ，由条件，
显然 ，显然 不是极值点，当然也不是最值点，所以 的最大值点和最小值点必定
都在区域D的边界上．
所以应该选（A）．
7．行列式 等于
（A） （B） （C） （D）
【详解】
应该选（B）．
8．设 是三维向量，则对任意的常数 ，向量 ， 线性无关是向量 线性
Page 2 of 12无关的
（A）必要而非充分条件 （B）充分而非必要条件
（C）充分必要条件 （D） 非充分非必要条件
【详解】若向量 线性无关，则
（ ， ） ，对任意的常数 ，矩阵 的秩都等于2，所
以向量 ， 一定线性无关．
而当 时，对任意的常数 ，向量 ， 线性无关，但 线
性相关；故选择（A）．
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）
9． ．
【详解】 ．
10．设 为周期为4的可导奇函数，且 ，则 ．
【详解】当 时， ，由 可知 ，即 ；
为周期为4奇函数，故 ．
11．设 是由方程 确定的函数，则 ．
【详解】设 ， ，当 时，
， ， ，所以 ．
12．曲线 的极坐标方程为 ，则 在点 处的切线方程为 ．
【详解】先把曲线方程化为参数方程 ，于是在 处， ，
，则 在点 处的切线方程为 ，即
13．一根长为1的细棒位于 轴的区间 上，若其线密度 ，则该细棒的质心坐标
．
Page 3 of 12【详解】质心坐标 ．
14．设二次型 的负惯性指数是 1，则 的取值范围是
．
【详解】由配方法可知
由于负惯性指数为1，故必须要求 ，所以 的取值范围是 ．
三、解答题
15．（本题满分10分）
求极限 ．
【分析】．先用等价无穷小代换简化分母，然后利用洛必达法则求未定型极限．
【详解】
16．（本题满分10分）
已知函数 满足微分方程 ，且 ，求 的极大值和极小值．
【详解】
解：把方程化为标准形式得到 ，这是一个可分离变量的一阶微分方程，两边分别积分可
得方程通解为： ，由 得 ，
即 ．
令 ，得 ，且可知 ；
当 时，可解得 ， ，函数取得极大值 ；
当 时，可解得 ， ，函数取得极小值 ．
17．（本题满分10分）
设平面区域 ．计算
Page 4 of 12【详解】由对称性可得
18．（本题满分10分）
设 函 数 具 有 二 阶 连 续 导 数 ， 满 足 ． 若
，求 的表达式．
【详解】
设 ，则 ，
;
由条件 ，
可知
这是一个二阶常用系数线性非齐次方程．
对应齐次方程的通解为：
其中 为任意常数．
对应非齐次方程特解可求得为 ．
故非齐次方程通解为 ．
将初始条件 代入，可得 ．
所以 的表达式为 ．
19．（本题满分10分）
设函数 在区间 上连续，且 单调增加， ，证明：
（1） ；
Page 5 of 12（2） ．
【详解】
（1）证明：因为 ，所以 ．
即 ．
（2）令 ，
则可知 ，且 ，
因为 且 单调增加，
所以 ．从而
，
也是 在 单调增加，则 ，即得到
．
20．（本题满分11分）
设函数 ，定义函数列
， ，
设 是曲线 ，直线 所围图形的面积．求极限 ．
【详解】
， ，
利用数学归纳法可得
，
．
21．（本题满分11分）
已知函数 满足 ，且 ，求曲线 所成的图形
绕直线 旋转所成的旋转体的体积．
【详解】
由于函数 满足 ，所以 ，其中 为待定的连续函数．
Page 6 of 12又因为 ，从而可知 ，
得到 ．
令 ，可得 ．且当 时， ．
曲线 所成的图形绕直线 旋转所成的旋转体的体积为
22．（本题满分11分）
设 ，E为三阶单位矩阵．
（1） 求方程组 的一个基础解系；
（2） 求满足 的所有矩阵．
【详解】（1）对系数矩阵A进行初等行变换如下：
，
得到方程组 同解方程组
得到 的一个基础解系 ．
（2）显然B矩阵是一个 矩阵，设
对矩阵 进行进行初等行变换如下：
由方程组可得矩阵B对应的三列分别为
， ， ，
Page 7 of 12即满足 的所有矩阵为
其中 为任意常数．
23．（本题满分11分）
证明 阶矩阵 与 相似．
【详解】证明：设 ， ．
分别求两个矩阵的特征值和特征向量如下：
，
所以A的 个特征值为 ；
而且A是实对称矩阵，所以一定可以对角化．且 ；
所以B的 个特征值也为 ；
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Page 9 of 12Page 10 of 12Page 11 of 12对于 重特征值 ，由于矩阵 的秩显然为1，所以矩阵B对应 重特征值 的
特征向量应该有 个线性无关，进一步矩阵B存在 个线性无关的特征向量，即矩阵B一定可以对角化，
且
从而可知 阶矩阵 与 相似．
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