文档内容
2000—2023
金榜畴代
GLISTIME明德■弘段■惟耕08
金物时快身研数学系列目分研家及含国务大考研培州学极特定用书
数学历年真题
数学历年真题
全精解析·提高篇
全精解析•提高篇
编著◎李永乐王式安武忠祥宋浩姜晓千硕哥(薛威)刘喜波
编著◎李永乐壬式安武忠祥宋浩姜晓千硕鼾(薛威)刘喜波
章章纪纪民民 陈陈默默申申亚亚男男毕毕生生明明朱朱杰杰王王一一鸣鸣吴昊紫紫云云
生编建议与与《数《数学学复复习习全全书书·•提提高高篇篇》》《《数数学学基基础础过过关关666600题题》》《《数数学学强强化化通通关关333300题题》》配配合合使使用用，，学学习习更更高高效效
22000099--22002233年年的的考考试试真真题题，，逐逐题题逐逐步步解解析析
真超真相
历历年年考考题题题题型型分分类类全全汇汇总总，，解解锁锁命命题题“套“套路路””
内内含含答答题题区区域域，，题题目目与与解解析析分分册册，，做做题题不不受受答答案案影影响响，,
升级优化工
核核对对答答案案便便捷捷易易用用
(2)
考考试试时时看看到到题题目目，，模模糊糊地地记记得得书书上上看看到到过过同同类类题题目目，，但但清清晰晰地地记记得得自自己己没没有有做做。。
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中中国国农农业业出出版版社社
V CCHHIINNAAAAGGRRIICCUULLTTUURREE PPRREESSSS2009-2023
金榜畸代
2009—2023 金绘七
GLISTME明图必毁，惟科
金榜时代考研数学系列丨V研客及全国各大考研培训学校指定用书
金榜时代考研数学。系列I V研客及全国各大考研培训7校指定用15
数数学学历历年年真真题题
全精解析•提高篇矗福
全精解析·提高篇答案册
编编著著◎◎李李永永乐乐王王式式安安武武忠忠祥祥宋宋浩浩姜姜晓晓千千硕硕哥哥(（薛薛威威）)刘刘喜喜波波
章章纪纪民民陈陈默默申申亚亚男男毕毕生生明明朱朱杰杰王王一一鸣鸣吴吴紫紫云云
￥ N中中国国农农业业出出版版社社
V CCHHIINNNAA AAGGRRIICCUULLTTUURREE PPRREESSSS
·.北北京京·.目录
目录
Contents
Contents )
第第一一篇篇最最新新真真题题
2
2
0
0
2
2
3
3
年年全全国国硕硕士士研研究究生生招招生生考考试试数数学学（(一一）)参参考考答答案案………………………………………11
第第二二篇篇真真题题分分类类解解析析
第一部分高等数学…………………………………………………………………………11
第一部分高等数学...............................................................11
第一章函数、极限、连续…………………………………………………………………11
第一章 函数、极限、连续....................................................... 11
第二章一元函数微分学…………………………………………………………………36
第二章一元函数微分学 ........................................................36
第三章一元函数积分学…………………………………………………………………62
第三章一元函数积分学 ........................................................62
第四章向量代数和空间解析几何………………………………………………………86
第四章 向量代数和空间解析几何 .............................................. 86
第五章多元函数的微分学………………………………………………………………87
第五章 多元函数的微分学 .....................................................87
第六章重积分……………………………………………………………………………102
第六章重积分.................................................................102
第七章曲线、曲面积分…………………………………………………………………114
第七章 曲线、曲面积分....................................................... 114
第八章无穷级数…………………………………………………………………………124
第八章无穷级数...............................................................124
第九章常微分方程………………………………………………………………………135
第九章常微分方程............................................................ 135
·1 ·
. 1第二部分线性代数…………………………………………………………………………142
第二部分线性代数 •- 142
第第一一章章行行列列式式….…..…..…...…..…..…..…...…..…..…...…..…..…...…..…..…...…..…..…..…...…..…..…...…..…..…...…..…..1
1
4
4
2
2
第二章矩阵………………………………………………………………………………148
第二章矩阵................................................................... 148
第三章向量………………………………………………………………………………159
第三章向量................................................................... 159
第四章线性方程组………………………………………………………………………170
第四章线性方程组.............................................................170
第五章特征值与特征向量………………………………………………………………184
第五章特征值与特征向量......................................................184
第六章二次型……………………………………………………………………………198
第六章二次型.................................................................198
第三部分概率论与数理统计………………………………………………………………211
第三部分概率论与数理统计............................................ 211
第一章随机事件和概率…………………………………………………………………211
第一章随机事件和概率........................................................211
第第二二章章随随机机变变量量及及其其分分布布….…..…...…..…..…...…..…..…..…...…..…..…...…..…..…...…..…..…...…..…..…..…...…..2
2
1
1
4
4
第第三三章章多多维维随随机机变变量量及及其其分分布布….…...…..…..…..…...…..…..…...…..…..…...…..…..…...…..…..…..…...…..…..…..221177
第第四四章章随随机机变变量量的的数数字字特特征征….…..…...…..…..…...…..…..…...…..…..…..…...…..…..…...…..…..…...…..…..…. …2
2
2
2
5
5
第五章大数定律和中心极限定理………………………………………………………236
第五章大数定律和中心极限定理............................................... 236
第六章数理统计的基本概念……………………………………………………………238
第六章数理统计的基本概念....................................................238
第七章参数估计…………………………………………………………………………241
第七章参数估计................................ 241
第八章假设检验…………………………………………………………………………250
第八章假设检验...............................................................250
·2 ·
• 2 •第一篇最新真题
22002233年年全全国国硕硕士士研研究究生生招招生生考考试试
数数学学(（一一)）参参考考答答案案
一一、、选选择择题题
((11)) 【【答答案案】】 BB..
【【解解析析】】((方方法法一一))
y e+ 1
kk == lliimm 又 == lliimmllnn ( fe H-----)= ) 1=,1,
x x—1
→00 0
[ e+ 1 ]
bb == lliimm ((/y —-k kxx)) == l liimmxxFIlnn( (fe H----)— 1)1-1
x—1
X0~0*8 →X-*O0O L \ 工 1 / J
== lliimmxx [ |"lnl|n ( (1l ++ 1 门 )]== lliimm 7 %工 = = — 1
e
, »
→L080 L \ ee((xx —— 11)) / J xx→-0000 ee((xx —— 11)) e
1
则则所所求求斜斜渐渐近近线线方方程程为y为 =y =xx ++ ^
e
.·
e
—
((方方 法法二二)) yy ==x xllnn (( e e + ----- 1 7 )=) =工x ++ xxllnn「1 [ 1—+—z―~ 1 1 ]
\ xx— — 11 / L ee((xx —— 11)) J
= = x x + + — 1 + 4- { IxxllnnF [1 1 ++ -7— 1 -1 r.[ 1 \,
e e I L ee((xx —— 11)) J e e J
其中lim{/xxllnn [ F1l ++ r 1 1 iS r ~ .1 l~ 1 1 })=。，则所求斜渐近线方程为y = x + 1 ·
其中lim e =0,则所求斜渐近线方程为y=x+ e
0x-001 L ee((.xx —— 11)) J e J e
((22))【 【答答案案】】 CC..
-a士√a2—46
【解析】 微分方程的特征方程为足+以+6 = 0,特征根为入点=一“ 士彳二纣
【解析】微分方程的特征方程为x2+ax+b=0,特征根为λ?,2=
2
乙
若若a疽2-一4b4>50,>则0特,则征特方征程方有程两有个两实个根实且根λ且?君≠丈λ据?..
微微分分方方程程的的解解为为> =y=GC?5e,2 ++C。?e2昨22工,，在在((一-o8o,, ++c8)上)上无无界界..
a
·
若若 aa22 —-4 4bb= =0, 0则,则λ义:1 ==λ A?z ==—— y2.
微微分分方方程程的的解解为为y =y =((GC ?++CC2?工x))ee↓T,\在在((一-∞8,, ++c8)上)上无无界界..
-a±√4b-a3i·
若 一 45 V 0,则 A112 = 一- 士炸一叽
若a2-4b<0,则λ?.?=
2
·1·
-1 -数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析·•提提高高篇篇((数数学学一一)) 》
微微分分方方程程的的解解为为y y== e广+=，
(
(GC?ccooss "
√
气
4b-a
。
2
-x工++C ?Cs2isn
√
i
4
n
b-α
°寸
x)
)
·
，
2 2
如果此解在(-o,+oo)上有界，则a=0,进而b>0.
如果此解在(-oo,+oo)上有界，则a = 0,进而$>0.
因此答案选(C).
因此答案选(C).
。
【【评评注注】】 本本题题还还可可从从选选项项出出发发，，验验证证只只有有((CC))符符合合条条件件..
((33))【【答答案案】】 CC..
{x
x
=
=
3
3
t
t
,
,
x
sin
x·
【解析】 当t≥0时， y =
【解析】当£>0时, y = tsin t, 3 3
y = tsin t.
x= t, 人 工sin工 ,x≥0,
当当 t£ 0,
3—sin -37-十—9cos —3 9 x > 0,
3 3 9 3
y
y
'((
X
x))=
0, x= 0,
-sin x-xcos x, x<0.
x < 0.
由由此此可可知知yy'((xx))连连续续，，又又由由
1 +x.
-sin 工 -cos 工-0
3 3 9 3 =
2,
2
y
y
?
\
(
(0
0
)
) == lliimm
x 9
x→0+
— sin x—xcos x
y-(0)= lim x =-2,
x→0~
可可知知y/”((00))不不存存在在..
【【评评注注】】 泰泰勒勒公公式式判判断断导导数数存存在在性性..
{ 工.-sin 工 = 工( 工 +… ) = z 含 2 ++……,x≥20 0,,
y = 3 3 3 3 9
-—xxssiinn xx ==-—x x((xx -—… •.•)) ==-—x
j
2
c2
+
+
…
•••
, xrn?
LOO -(A(ABB))2
n≥r?,(r:= n)
r3 2 广1，（厂 = 〃）・
i
又又厂r［[（(AABB)2/］]≤〈r厂(（AABB)）,,故故
rr3 ?==n n++r[ r([(AABB)2)2]]≤ 0 0 1 1 0 0 - - 1 1 ((行行最最简简形形)),，
31 -9 —1. 001 1
_3 1 -9 -1. _0 0 1 1 .
人x?=—3x?,
工
i
方 方 程 程 组 组( (* * ) ) 同 同 解 解 于 于〈x工?=x?,
2
x?=—x?.
x z ?】' (-—33
1
工? 1
通解为x= 12 =x? ,x?∈ R.
通解为x = =0 -1 ，工< G R.
x? —1
Z3
1
x 了 4 1 .
4 ,
1 2
2
γ=x?a?+x?α?=—3x? 2 +x? 1
r =
3 1
—3° 2 1
=工4 -6 +x? 1 = k 5 ,k = =— — x 4 ?∈ G R R . .
-9 1 8
正正确确答答案案为为((DD))..
·4 ·
• 4 •2023年全国硕士研究生招生考试数学(一)参考答案
年全国硕士研究生招生考试散学(一)参考答案
(8)【答案】 C.
(8)【答案】C.
1
【 【解 解 析 析 】 】 由 由 X X 〜 ～ P P (1 ( ) 1 , ) P , { P X ( X = = k k } ) = = k!' e1(k==0 ,01,1,,22,,……))，,EEXX ==1 .1.
EE((| IXX--EEXX |D) ==E E((I| XX -—11 1|)= =1|0 0- —1 1| | PP({XX ==0 0}} ++ 2S1 k繇-一1 I1 PI (P{XX= =k }&}
=
k4==11
1 00
=§++乙切(龙k--11))PP({XX= = k k)}
e
= =1
1 0
+2(k-1)P(X=k)-(0-1)P(X=0}
=—e + Y(A- 1)P(X = k}- (0- 1)P{X = 0}
=
e =a=0o •
1 1 2
1 1 2
=-e ++E E((XX--11)) ++ - e 三=—e'.
e e e
答答案案选选((CC))..
(9)【答案】 D.
(9)【答案】D.
【 【解 解析 析 】 】 由 由 (n- 0 1)Si ~x'(n-1)~, (m- 20 1 2 )S ~ ～ X x 2 2 ( ( z m w - - 1 ) 1 , ) 且 ,且 相 相 互 互 独 独 立 立 ， ，得 得
( (〃 n- 一 1 1 ) ) S 身 i n-1 =
n — 1 2Si
尊 ～〜F
F(
(
n
n
-
-
1
l
,
,m
m-
-
1 )
1
.
).
S
(m—1)S m-1
202 -1
U(J I
答答案案选选((DD))..
(
(
1
1
0
0
)
)
【【答答案案】】 A
A
.
.
【【解解析析】】XX】?与与XX2?独独立立，，服服从的从分的布分均布为均N为(r N/(μ),记d2丫), =记 XY=, X一? -Xxz?，则,则YY〜～NN((00,,22<02/)),?,==
aa| IY YI. I由,由无无偏偏估估计计的的定定义义知知E由G==σ°,,即即
EE((aa I| YY I|)) == f + 0o aa l| yv l| —— 1 =.e e d 之 ° d y 、 = = [ + 002laayy — 1 e e 之 d A y y
J-00 √ 而 2π 应 √20 J 0。 2 2 √ 后 πo
20
= a·
=a .孚==g。,,
√π
√π
解得a =季.答案选(A).
解得a = .答案选(A).
2
二二、、填填空空题题
((L1111))【答答案案】】 一-22..
【【解解析析】】 由由题题设设知知
x2
ax+bx2+x一 +a(x2)
ax bxz + x — 2 + o(x2)
ax+bx2+In(1+x)
11 = l[i. m ax + &r2 +ln(l +x) = lim
1 =
→
l
m
i
-
m
0o
-------e-
b
-2 j—--
—
- - -c
c
-o-
o
-s
s
- - -
x
x--------
x
l
i →
im
0
-
[[
--
1
-
H
-
+
--
x
--
2
-
o
-
+
--
o
-
G
-
(
--
x
--
2
--
])
--
]
- -
—-
--
『 11--y
x
2
2
++oo((xx22))] ]
1
((aa ++ 1l))xx ++ ( (bb一----
2
lx ) 2x +20+o&(2x)2)
,
= lim
=hm-------------3-----------------------------
→l0。 并x22++oo(&x22))
2
则则 aa ==-—1 1,,6b ==2 2..故故 aadb ==-—2 .2.
·5 ·
• 5 •数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析·•提提高高篇篇(（数数学学一一)）
(12)【答案】x+2y-z=0.
(12)【答案】T + 2y — z = 0.
【解析】 令F(x,y,z)=x+2y+In(1+x2+y2)-z,则在点(0,0,0)处切平面的法向量为
【解析】 令F(i，v，z) = x + 2jz + ln( 1 + x2 + ) — z,则在点(0,0,0)处切平面的法向量为
=
2x 2y
n n =={ F{!F,；F, F,,；F, F/：)} {1 ]+ + 1+x 2 号2 x + y2 ,o2 + +I l+x了 2 2 ) + yp2 , , - — 1 1 =={1{1,,22,, -—1 1}},,
(
(
0
0
.
.0
0
,
.
0
0
)
) 1 + ] + V 1 + + y ((00.,00,,00))
因因而而所所求求切切平平面面方程方为程z为 +x 2+v2 —y-zz ==0 0..
。
((1133))【【答答案案】】 00..
:
【解析】 当n≥1时，
【解析】当〃21时，
2
a 劣 。 = = 2 2 ((11 —— xx))ccooss mntπxdxxd =x=—- 22 x x c co o s s n n n π xd x x d = x= — - — x xd d s s i in n n n π njc x
10 0 W7CJ 0
=— 0 . 0 0
2 1 2 2 cos nπx1 =— 2
------n- 2 π- -x r s s i i n n n n n π x x 1。 十+ — I s si i n n m n z π jcd x x d x=- n25π 2 2? cos nnx 一 n2π 粉 2 [(（一-1 1)）"" -一1]以.
nn I o nnπizJj 0 o 0
因因而而 aaz2n。 == 00,, ((nn ==1 ,12,,2…,…))..
。
所所以以、乙口a2”? ==0 0..
w=1
»i= 1
1
((1144))【 【答答案案】】
2
:
【【解解析析】】J ff((jcx))ddjcx == J
f
，
(
(jx ?
)
)cd Lzx +
+
J /
f
(
(
x
x
)
)
d
dx
x
.
.
;
2
x=t+2 门。
f f/((xx))ddax? =—== [
f
/(
(
i
t +
+
2
2
)
)
d
d
t
z
;
=
=
[ /
f
(
(
x
x +
+
2
2
)
)
d
d
x
x
J 2 =-J J o J o
1 ,
=f [[/f((hx) )++ zx]]cLdrx == f /
f
(
(
x
x
)d
)
j
d
7
x
+
+
2
1J0
0 J 0
L
2 门。 1 1。
J /(x)dx = J /(x)dx + J /(x)cLr + -|- =
f(x)dx= f(x)dx+ f(x)dx+ 2 三 2
0
11
(
(
1
1
5
5
)
)
【 【答答案案】】
y9.
【【解解析析】】y =y=k加?。a];++k k?2aa?2 ++k ?ka3a?3, >
1 ,
γr'a'ia ;==k刈;((aai ;,Q,ai)? +)+ 心k?((％a，?a,ia) ?+) +么k(?皿(a，a?,】)a?=)=3加3k?==((pβ,a,】a);)==11 以,ki ?== §，
3
γ
y1 a
'
2
a ?
=
=
加
k;((
a
a
】
;，a ,
2
a)?
+
) +
k
k
2
?
(a
(
2
a
,
z
。
,
2
a)?
+
)
奶
+k
(
?
。
(
3
a
’a
?
?
,
)
a
=
?)
3
=
奶
3k
=
?=
(
(
。
β
,。
,
2
a)?
=
)
—
=-
3
3
以
,k
2
?
=
=
—
-1
1
,
,
1
y
r
'
1 a
a
3
? =
=
k?
刈
((a
a
?
i
,
,。
a
3
?))
+
+k
奶
?(
(
α
。2
?，a ,
3
a
)
?
+
) +
奶
k?
(皿
(a
，
?
。
,
3
a)?
=
) =
3
3
心
k ?
=
=((β P，,
"3
a)?)
=
=
—
-1
1
,
，
k
幻
? =
=
—
— 3
=
1 1 11
ki + kl + kl = * ++ 11 ++ § =马.
ki+k烂+号=
9 9 9
y y y
1
((1166))【 【答答案案】】
3
【解析】 P(x=Y)=P(x=Y=0}+P(x=Y=1)
【解析】 P{X = V} = P{X = Y = 0} +P{X = V = 1}
==P
p
({X
x
= =0 , o,Y
y
= =0
o
)} ++P
p
({X
x
= =1 ,i,Yy==1 }1}
==PP({XX= =0 }0}PP({YY ==0 0}} ++PP({XX= =1 }1}PP({YY ==1 1}}
=
=
2 ·Cg( 1 ) 2 1 ·Cl( 1 )2 1·
十
3 2 3 2 3
1
答案应为§•.
答案应为
3
· 6 ·
• 6 •L " ' 《《22002233年年全全国国硕硕士士研研究究生生招招生生考考试试数数学学((一一))参参考考答答案案 ?
三三、、解解答答题题
(17)【解】(I)设曲线y=y(x)在点(x,y)处的切线方程为Y-y= y'(X-x),则在y轴
(17)［解】(I )设曲线、=伙丁)在点(工以)处的切线方程为丫一 v = >(X-x)，则在v轴
1
上的截距为y-xy',从而有x=y-xy',y'—
上的截距为y —巧'，从而有x = y — xy' ,y — x"y ==-—1 ,1解,解此此方方程程得得
y丫(&x)) ==x (xC(—C I—n I nx x))..
由由曲曲线线过过点点(1(,12,)2,)即, 即y(yl)( 1=) =22 可可知知,，C C== 22,,则则 yy((xx)) ==x (x2(—2 —In I nx x))..
(II)由 /(x) = | t(2 — In t)dt (x > 0)可知
(Ⅱ)由f(r)= t(2-In t)dt(x>0)可知
f(x)=x(2-In x).
f (x) = x(2 — In jc).
令令 f
/(
(
x
x
)
) =
=
0 得
0
得驻驻点点 x
x
=
=
e 2
e
,
2,
当当 0
0
<
V
x<
z
e
V
2时
e?
，时f,(/x
(x
)
)
>
>
0,
0
f
,
(
/
x
(x
)单 )单调调增增，，当当
ez
e
V
2
z
)) ==x ?x,5显，显然然
当当工x <<00时 时，,/f((工x,,00) )<< f/((00,,00)) ==0 0,,
当当 了x>>0 时0 时，,/f((xx,0,)0 )>> f/((00,,00)) ==0 0,,
((00,,00))不不是是极极值值点点..
在在点点((
1
1
,
,
1
1
)
)处处，△， =△
B
=
2
B
-
2
A
-
C
AC =
=
1 >
1
0
>
,(
0
1
,
,
(
1
1
)
,
不
1)
是不是极极值值点点..
2 10 8 100
在在点点((
\ 3 O
M ，
2
黑
Lt7 I
))
!
处处,，△ △= =B 2B —2— ACAC = =—-2 房
7
V<00,,且且AA ==
2 Lt 7 I
>>0 0,,取取极极小小值值
乙/ =—
2 10 4
f((2_ 10)\ 4
f| 3 27 729
J\ 3 '27 729,
【【评评注注】】 本本题题中中在在驻驻点点((00,,00))处处，，二二元元函函数数取取得得极极值值的的充充分分条条件件失失效效，，此此时时要要用用极极值值的的定定义义来来
判判定定..
((1199))【【解解】】 由由高高斯斯公公式式可可得得：:
山
I=
((22zz -—x zxszsiinn yy+ +3y 3s_iynsi n xx)^ddxxddyyddzz..
·7·
-7 -,。
数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析·•提提高高篇篇(（数数学学一一)）
山
由由于于 n0关 关于于x xOOz面z 对面对称称，，且且 ((—-xxzzssiinn yy ++3 y3s/isinn xx)^ddxjcdAydydz z == 0 0..
几
I= 山 2zdx — dydz = 2 dxdy zdx
0
= my,(
2
= g ((11——xx))22ddxxddyy == J dej ((11 —— rrccooss θO'))22rrddrr
0
z2+y3<1
-r2+y2^l
=
=(r(1i_f2.cos0+T1c°s^)^
( cosθ+ cos26) dθ
2 3 4
= 0
5
5 π。
4
(20)【证明】(I)由泰勒公式可知
(20)【证明】(I)由泰勒公式可知
f/( ( xX) ) == f/((00))++f/'((00))xx ++ ( - n ^ ) xx22 ==f /((00))xx ++ ( « n ^ ) x
x2
2
,
,其
其中
中
η
"介
介
于
于
。
0与
与
x
_r
之
之
间
间
.
.
2! 2!
”(m)
则则 ff((aa) )== f/((00))aa ++ ^
2
-
!
^a
a
2
2
,
,
(
(
0
0
<
< η<
<
a )
a
,
),
①①
f/((--aa)) ==--f/((00))aa ++ ^ f”
2
j (
!
^ g) (
(
-
-
a
a
)
)
2
2
,
,
(
(
-
-
a
a
<
< η
72
<
<
0
0
)
)
,
,
②②
乙!
①①++②②得得
a2
f /( ( a a ) ) + + / f ( ( - - a a ) ) = = y2C [f r ” (7 ( 1 η )+ )+ / } ， ( ( g 72 ) ) ] ］ . . ③③
又又子/Z((Xx))在在[［n恰,，η俗]］上上连连续续，，则则必必有有最最小小值值mm和和最最大大值值MM..而而
1
m≤ [f”(η)+f(n)]≤M.
2
1
由 由 介 介值 值 定 定 理 理 知 知 ，存 ， 在 存 £ 在 6 E ∈ ［瓜[，η牛, ］ η U ] ( c — (- a a , , a a ) ) ,使,使 得 得 , f ( ( Q e ) = = y2 [ ［/ f( /(η 7, ) ) + + 子 / ( /(n 7 ) 2)] l .
1
代代入入③③式式得得 ff«(e))== -4[［/f((aa))++f/((--aa)])l.
a3
a
((Ⅱ11))设设f，((］x))在在x］?。∈€( -a,a)a取)取得得极极值值，，则则/f((xxo?)) ==0,0由,由泰泰勒勒公公式式可可知知
f”(E)
/f((xx) )== f/((xX?O)) ++ f/( &x?o))((Zx —-x工?0))++
2!
((工x—一x工?0))22
”(6)
= = f( /( x x ?) 0) 十 + 2! ((xx -—x?x) 0 2 ) , 2 其,其中中=£介介于于x工。0与与x之］之间间，，
(5)
则则 ff((--aa))==f，((x?)瓦+ 2! ( ( - - Q a- - x z ?°))22,,((--q a< V 5 & < x < 。 X ) o ,),
(6?)
f
/(
(
a
a
)
)
=
= f
y
((x
x0
?
)
)
+
+
2!
(
(a
a -
—
x
i
?
o
)
)
2
2
,
,
(
(x
x
0
。
V
<
&
6?
V
3)2 = M + 姥，
人x?= yi,
z?= y?+y?,
其中.
z?= y?,
]1
x? = 1-1 2 21 =[ - 1 1 - - 11 _1. 2 10007o- y y i i
总之： x? 0 1 -1 x2 01 1 -1 01 1 1 1 y yz ?
x? 0 0 1 23 0 1 00 0 1 1_ y?
1 )3
= 1-11 yi
01 0 y?
0 0 1] Y?
1-11
"1 _ 1 r
令令PP == 0 0 1 1 0 0，,在在可可逆逆变变换换xx ==P y P 下 y ，下f ,[ ( ( x工?,\ x,x?2, » x x ?3))化化为为g( g y ( ? y , i y必?,，y/?3))・.
0 0 1.
-0 0 1_
(（ⅡH)）不不存存在在正正交交矩矩阵阵Q。,，使使得得在在正正交交变变换换xx= =Qy 下Qy，下f(，/x&?,1x?，血,x，?1)3化）为化g为(yg?（·vy瑚?,y必?)）.
・
原原因因如如下下：若：存若在存正在交正变换交x变 =换 Qxy=.使Qyf,=使xTfA=xx1 =Ax （=Q(yQ）yT)A^（A6(yQ） y=) =yyTQ'TQA1QAyQ y==矿y1的By，,则则8B ==
Qq1tAaQq与与A相A似相，似从，从而而特特征征值值相相同同..
1-λ 00
1 -A 0 0
令令 || BB--AλEE || == 00 11 1 - - λ A 1 1 ==((11- —λ A))( (22 -—λ A)) ((—- λA) )== 00, *
01 1-λ
0 1 1 —A
·- 99 ·-数学历年真题全精解析·提高葡(数学一)
数学历年真题全精解析• BMI （数学一）
求求得得BB的的3个3个特特征征值值为为λ；h? ==0 ,0λ,A?2 ==1 ,1λ,A?3 == 2 2..
0 1-1
0 1 -1
1 1 0
而而 I |AA —- EE |\ == 1 1 0 ≠夭00,,这这说说明明；xU? ==1 不1不是是A的A特的征特值征值，，所所以以AA,B,B不不相相似似..
-10 1
-1 0 1
1
“+m +0 2
x·
( （2 2 2 2 ） ) 【 【 解 解 】 】 （ ( I I ） ) E E （ ( X X ） )= xxff(&x,,、y）)cdLrxdd;yy == - π(（xx22++y2/)）ddxxddyy= =0, O因,因被被积积函函数数
-cs, -00 2+ 7t
是是工x的的奇奇函函数数..
2
同 同理 理,，E（YE(） Y=) =O0,,EE（X(XYY） )== J r心y 号π ( 以 x2 + + 寸 y2) ）& dr 心 dy= = 0. 0 总 .总 之 之 ， ,X X 与 与 丫 Y的 的 协 协 方 方差 差 C C o o v v （ ( X X , , y Y ） ) = =0 0 . .
2+v<1
x2+y21 1>时 1 ，时f，，xx( &x)） ==0 .0.
4
{
如(11 ++ 22y/2）) √十I-y,2,-1≤y≤1;
3π 一1
同理fy(y)=
同理/y（>）=
00,, 其其他他..
由由于于ffxx（(xx）)hfyS(y）)J≠ff(（xH,，，y)）,，故故XX与与Y不Y不相相互互独独立立..
{■f/(<00,,yy)） == f/xx(（00)）f/yr(（yy)）
(（方方法法二二)） 如如果果XX与与YY相相互互独独立立，，则则f/(&x,,y少)==fxA(x（)xf）y/(yy（)j/成）成立立，,"(（1 1 ■
,y
司)= =
f
外 x(（号 1 )）
f
片
y(
（
y
少
)
也 也
2 2
成立，即f £ ( （ 0件,y) ）=京 fx(0 ？ ) 为常数.
成立，即 f ( （T2 1 , , y y ) ） 三 f / x x l ( （t 1 2 ) ） 为常数.
2
,、 Ayy2
π
f(0,y)
但但现现在在 f ，( ( （矿 1 ,刃y) 三= 7 2 π（(7 1 - + + - y - / 3 -- ' ） - ) 显显然然不不为为常常数数，，xX与与丫Y不不独独立立..
2 4
【【评评注注】 】如如果果，f（(1x,,少y)==fxf(xx（)^f）rf(yyC)y成）成立立，，则则ff(（xx,9yy)）≠丰0的0的定定义义域域必必为为[［x了;1, ,xx?2]］× X[或y?,，y力?］]
矩矩形形..本本题题f/(&x,,y})）≠夭0的0的定定义义域域为为x2x+2y +2≤/1 ,<圆 1形,圆，形不，可不能可能独独立立。.
(（ⅢIII）)FFz（?z(） x=) =PP({ZZ≤^zz}} == PP({XX22+ +Y2Y≤2 z}.
当当 zz 1 1时 时，，FFz?（(Zz）)==1 .1.
2x. 0≤z≤1
故Z的概率密度为，z（z）={「Z'
故Z的概率密度为fz(z)=
0, 其他.
I o, 其他.
·10 ·
. 10 .第二篇 真真题题分分类类解解析析
第第一一部部分分 高 高等等数数学学
第第一一章章 函函数数、、极柢限眼、、连连续痍
一一、、极极限限的的概概念念与与性性质质
解解题题加加速速度度
------------------------------
11..【【答答案案》】C C.,
【解析本题主要考查考生对数列极限的e—N定义的理解.其定义是“对任意给定的ε>0,
【解析本题主要考查考生对数列极限的e-N定义的理解.其定义是“对任意给定的e>0,
总存在正整痴鬲n>N时，恒有| x.-a |N时，恒有|x,-al的0e?,>取0|, 取|x-, -a a||<≤22ee中中的的εe == 骨,，则则有有
3
2
|
I
x
工.
.
一
-a
a
l
|
≤
<2
2
e
e
=
=
|
3
e£l; <e? >00,,总总存存在在正正整整数数NN,,当当nn>>N 时N，时恒，恒有有
|\ xJC。„ —一 aa l| <'证证明明中中出出现现的的主主要要问问题题是是考考生生证证明明了了数数列列(修a。,｝)单单调调减减少少而而没没能能证证明明a
a
。
n
≥200..
"
I « I 本本题题的的难难度度值值为为00..1177.. > I . I
『 = = = = = = = = =•= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =』
3.【答案】 A.
3.【答案】A.
【解析】(方法一)直接法
【解析】（方法一）直接法
由由llimima,a ,== aa,，且且aa ≠乂 00知知，，lilmi m\ |aa„ ,|I == l| aal >|>0, 0则,则当当n充"充分分大大时时有有
8 n-*oo
→00 →00
lal
I a“ |>呻
|a。I>
2
----- 乙
故故应应选选(（AA)）..
(（方方法法二二)） 排排除除法法
2 -----一
若若取取aa,。, ==2 2 ++ -n,,显显然然aa ==2, 2则,则(B（)B和）(和D（)D都）不都正不确正；确；
n
2----------..
若 若 取 取 a a 。 , = = 2 2 一 -n-,,显显然然aa ==2 ,2则,则(C（)C不）不正正确确.故.故应应选选(（AA).）.
n
…………………………… ………………
" 【【评评注注】】 本本题题主主要要考考查查数数列列极极限限的的性性质质.. II
----=J』
L= = = = = = £ = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
4.【答案】 B.
4•【答案】B.
【【解解析析】 】因因为为a
a
。
” >
>0
0
(
3
n= 1
=
, 2
1
,
,
…
2,
)…,所），所以以数数列列{S｛,£)是｝是单单调调增增加加的的..
如如果果(｛SS.,}｝有有界界，，则则由由单单调调有有界界准准则则知知{2 ) \ / a((-)#+a)d*
(x-a)(x+b)
→00
= e*-6.
=e--4.
(方法二)原式=bmekmm,而
（方法二） 原式=limexln<—,而
。12·?
第第一一章章 函函数敬、、极极限限、、连连续续
x2
limxln = lPi mxlj n(/11 +i ((aa —- b6))xx ++a abb )
4(/ 一 〃)& +a ==llmxln'1 + a-a)(i + 6)
→00 (x-a)(x+b) x→0 (x-a)(x+b)
= lPi mx· (
(
q
a
—
-
b
b
)
)工x
+
+ a
ab
b
蝮]• (x-a)(x + 6) (（等等价价无无穷穷小小代代换换)）
→0 (x-a)(x+b)
= a-b,
a — 6,
x2
[ ] = e-.
则lim (x - a) & + 5)]，=
→o (x-a)(x+b)
((方方法法三三) )对对于于“"18~””型型极极限限可可利利用用基基本本结结论论：：
-
若若l l im im a a (x ( ) x )== 00,,llimim j ?(βx)( = x) 8=o,,且且 l l im i ma (a工()R x) (工β ) ( = x) A = , A则, 则limli(lm +(1a+(ax()x)^)) x) = = e ? eA .
由由于于
lima(工)R(Q = lim 工x'2一- (&x -一a a))( &x ++b b))
lima(x)p(x)= lim ·工
x
*
—
0
»O
0
O X
→
—»
0
oo
0
((xx —-a a)) ((xx ++b 6))
= lPi m ((aa —-b 6))xx22 ++a abbax: = a — b,.
=蝗 ( & x — — aa))(Gx+ 彳 b) 方= aT，
x2 】= e~.
[
故故lliimm (x - a) & + 5)]
(x-a)(x+b)
x→00
( ( 方 方 法 法 四 四 )l)i^m[ [ (x-a x x) 2 2(x + 6)] ] = lim [((xx —-a a) x ) 2 ((xx ++b b))]「
r→00 (x-a)(x+b). x→001
a b 一x
== lliimm ( [ 1 1 — - x— )=I .· lilmim ( [ 1 1 + + x— )
→x-*0o1o \ 3C / →i-*o0o \ JC /
=e2·e→= e2-.
ea ・ e~6 = L.
TI
II 【【评评注注】】 本本题题是是一一个个“"1I~-”"型型极极限限.. II
II
方法一是将所求极限凑成基本极限lim(1+x)÷=e的形式后求极限；
■' 方法一是将所求极限凑成基本极限liind+x）- = e的形式后求极限；
Il X→—00
: 方方法法二二是是将将原原式式改改写写成成指指数数形形式式，，然然后后用用等等价价无无穷穷小小代代换换（(或或用用洛洛必必达达法法则则）); II
: 方法三和方法四都是利用关于"IB"型极限的基本结论求极限.以上四种方法是求“I"" U
方法三和方法四都是利用关于“1~”型极限的基本结论求极限.以上四种方法是求“1~”:
:型常用的四种方法，往往第四种方法最简单，而第四种方法所用的关于"I"”型极限的结论也:
型常用的四种方法，往往第四种方法最简单，而第四种方法所用的关于“1~”型极限的结论也，
"很很容容易易证证明明.. "
llimim（(l+1+aa（(zx））)“)n == llimim（［{l[+1a+a（z(）x］)*]}}«(sK))>= =e e^A
II
该该结结论论在在以以后后求求““11~8”，，型型极极限限时时可可直直接接用用。.
G1+m
[llnn(( 1 1++ xz)) ]
2(1（22001111,,1155题题)）【【解解】 】 （ ( 方 方 法 法 一 一）)l l i im m x e | == lliimmee 2e-x-1>
x—0
x →X—0O
I• n l ln n ( ( l 1 + + 了 x) ) (1+ Ilnn( (1 1++ xx))—-x工))
x m-----------lI-nn-( 1 + x
= lim
而而 lliimm -----e72—~~1---- lim--------- x （(等等价价无无穷穷小小代代换换)）
0 e — 1 →x-*00
lo —
= lliimm llnn((1l++xx)—)-xx
x2 （(等等价价无无穷穷小小代代换换)）
→0 X〜2
x—0
1
1 -1
1+x
= lliimm*—
(（洛洛必必达达法法则则)）
2x
rx→—0o Lx
一x
—z
1+x 11
= l1-i m 1 + x
hm ——
2x 2
xx→-*O0 LX 2
· 13 ·
・13・数学历年真题全精解析·提高篇(数学一)
数学历年真题全精解析•提高篇（数学一）
1 1 =e+.
[Ilnn(( 1 1++ xz))
则则lliimm x e
1 1
『I ln n ( ( l 1 + +x z ) ) ] == lliimm [ r1i ++ llnn((11++xj))—~xJ]p11
(（方方法法二二)） 由由于于lliimm x x
→j- 0*0| →•r—00|
· 1
而而 lliimm llnn((l1+
x
+xx))--xx
e'
1
-1
= lliirmnllnn((l1 ++
x
x
2
x)一)-xr
(（等等价价无无穷穷小小代代换换)）
→0 0
.T-・0
1
临M-1 =—
1+x 1
= lim
2.x 72
1→0
·
(Ilnn((l 1++^x)) )\~ = e 1
则l → im e
r ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1
【【评评注注】】 这 这是是一一个个““1 1" 型”型极极限限.方.方法法一一是是改改写写成成指指数数形形式式后后用用洛洛必必达达法法则则和和等等价价无无穷穷"
I.
小小代代换换，
，方
方
法
法
二
二
中
中
用
用
的
的是
是
关
关
于
于
“
“1
1
‘
“
”
”
型
型
极
极
限
限
的
的
基
基
本
本
结
结
论
论
.
.
显
显
然
然
方
方
法
法
二
二
简
简
单
单
.
. II
H
本题中的极限lim Ilnn（(l 1+了+x）)一- x* it
本题中的极限lim x2 也也可可用用泰泰勒勒公公式式求求解解..
it
*0
x一 x2
lliimm l 比 n ( ( 1 1 + + x z ) ) — — x 工 = lim ( ( 一 z _ 寻 2 乙 + +o o ( ( x x 2 2 ) ) ) ] / 工— =— 1 1 ·
x2 =1l i• m \ x2 2 II
艹.r—00 0 j*-・0
L
ri1
[ t2( 1-1) —t dt
e? dt
(
<
2
2
0
0
1
1
4
4
,
,
1
1
5
5
题题)）【【解解】】（(方方法法一一）) l
l
i
im
m
------ 1
x21lnn((1l++§)
x
c.7
[ e
匚 ( 1-1)-t dt
F(Ai)T dr
= lim 1 (等价无穷小代换)
→
l
+
i
…
m-----------
x
--
2
-
·
-----
_
-1
1
-
_
（等价无穷小代换）
x
= l l i im m [ r(e e~ 2 - — 1 ]) ) — - x z] ] (（洛洛必必达达法法则则)）
十
1
x=t
e'—1 —
lim
lim — t2 (（变变量量代代换换)）
→0*
/-►o'"
e'—1
= lim 4 - 1
2t (（洛洛必必达达法法则则)）
→1—00 2z
= 1X
2
1
Ⅲ r,7
（方法二）临归 [ ( e 1上 ? -1 d d t t [p t ( 2((ee÷+l-)1) -t小d£t
(方法二) lim 1
x
T
2I
n
n( 1
1 +
+ Ix 1 ))
=
→
lim
+ x2·
x
1
(（等等价价无无穷穷小小代代换换）
L
= lim x了22 (( ee1* --1 1)) 一 - x z ] ]
（(洛洛必必达达法法则则)）
→+
二 r.7
= l l i im m
[x2( 1
xx 十+ 2 2 ! L
1
x2 ?
+
+
o
°(( x
1
? 2 ))-一 x x] (（泰泰勒勒公公式式)）
→+
1·
三 2
2'
·14·
・14・一
第一章 函数、极限、连续
函数、极限、连续
1
(2015,9题)【答案】
（2015,9题）【答案】 22.
【解析】 lim Ilnn((ccooss xx)) = lliimm 业In[土1+(尊cos£x-二1 2 ) 2 ] 2
【解析】lim x2 x2
→0 x2 →0
•r—O .r—0
1
x2
= lim c CO o S s x X — — 1 1 = lim 2 =— 1 1·
x2 lim x2 ----—2-----
→J-*O0 →
l
0
O
2*
— sin x
—cossin xx =一
或或l临im I l n n ( (c c
x
o o ,
2
s s x > ) ) == lhimm cos x = lliimm — 「 「 t a a n n 工 x 1
x.r→—0O →x—00 2 2x x → •r~» 0 0 2 2 x x 2
1·
5(2
（
0
2
1
0
6
1
,9
6
题
,9
)题【）答【答案案】】
2
1
希
利。 台
tIn(1+ tsin t)dt t In(1+tsin t)dt
t ln(l + isin t)dt t ln(l + fsin t)dt
【【解解析析】】 lliimm ^- = l l i im m 虹
1— cos x2 1
→0 1 — cos X' 0 扣x?
x-*O 0
2
xln(1+xsin x) x2sin x = 1
= lliimm xln(l+xsin x) = lliimm ' sm z
x→0 2.x3 → .l 0 O 2 2 . j7 x2 云 2
6(2020,9题)【答—案】-1.
（2020,9题）【答案】 -1.
[ 1 1 ]
【 【解 解 析 析 】 】 （ ( 方 方 法 法 一 一 ） ) l
→
i
0
m
]
e'— 1 1 Ilnn(( 11 1 ++ xx)) ］是是一一个个““8c ——c 8 ” ” 型 型 不 不 定 定 式 式 . . 利 利 用 用 等 等 价 价 无 无 穷 穷 小 小 量 量
x-*O
替替换换及及洛洛必必达达法法则则，，得得
1 1
lim [ 1 ln(l 1 +_r) ] ] == lliimm IInn(d1++x，))-7e′ ++ 11
→ j— 0 0 e eJ ' — - 1 1 In(1+x) →.r—00 ((eeJ'--l1))lnln((l1++xx))
1 一e'
1
1+x
= lliimm Ilnn((1l++xQ) —- ee，2++1 l == l临im 】+ 工
x2 2x
→0 →0 2x
x—0
1 一e'
1
= lim ((11++xx))2 =—1.
2 =—1.
→0 2
x-»0
x2 z2
(（方方法法二二） ) 因 因为为lnI（nl+(1z+x） )== xh一—号+十o。?|(（工x22）)0, e=' =11++工x++号++o,。(2（x/2)）,,所所以以
2 2
乙 乙
, x2 z2
lliimm l 血 n ( ( 1土 1+x x 以 ) 2 - = e2 土 +1 1 == liimm X工 一— 2 u ++o 0?1((Xx22 )) x —- 2 x Z一 — m 2 u ++o 0?2((xX22 )) = = - - 1 l . .
→x-*00 x→0
x—0
(2021,17题)【解】(方法一)
（2021,17题）【解】（方法一）
(1+ 2dt)-(e2-1)
ssiinn xx(
原原式式== lliimm 0
*0 ((eeJ2 —— 1D)ssiinn xx
,r-*0
e'dt
ssi
i
in
n
n x
工
(
((11 ++ j e' dr))--( e(e2x— -1 1))
= lim
0 x2
0
lO
量
cCoOsS xJiT ( ( 1 1 + + J e e* / ' c d k ) )+ + s s i in n x x · • ex e/-e
= lim 0
lim 2x
→0 2x
· 15 ·
• 15・。
数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析·•
:
提提高高篇篇(数（芯学学一- )
—
ccooss xx -—1 1+ +co cso s xj-J /e' Adtt ++s siinn xx •· e′+ +11 —- ee'x
= lim
2x
xx→—00
cos x re'dt
do。'击+ 临si蚂n x·We2 + iim—b
cos x-11 cos 1—e2
= l[•i m COS X — 1 +I l1i. m +lim +lim
lim-----2--x--------r lim----- 2x 2x 2x
→x-^00 Z JT → t-» 0 0 →X-»00 LtJC →x-*00
1 1 1 = x1 ·
=0十o+l十+l_4
2 2 2 2
2'
Jd
e' dt sinx-(e?—1)
+lim sin z — (e* — 1)
( （ 方 方 法 法 二 二 ) ） 原原式式== lliimm e2-—---1- + lim
0j-*o e — 1 →lo0 ((ee3J ——1 l))ssiinn xx
下
limhe/id^t + limSinH-(e'-l)
= lim +lim sin x-(e2-1)
x x2
→x—00 e X xx—→00
cos x— e'
= lim +lim
lim lim
1—F 2.x
xx→-*00 1 →x-*00
— sin x— e'
=1+lim
2
x→0
1 1
= 1— ·
2 三 2
0
8(2
（
0
2
2
0
2
2
,
2
1
,
题 1题)【）【答答案案】】 B
B
.
.
【【解解析析】】（(方方法法一一）) 直直接接法法
f(x)
由 由 li 眺 m 偌==1,1及'及li娜ml1n1 xx= =0可。知可，知l，四imf/(&x)）==0,。故,故应应选选(B（B).）.
In x
→1 →1 →1
(（方方法法二二）) 排排除除法法
{（ l In n 工 x, . x 工 7 ± ^ 1 1 , ,
令令 人 f
/
(（X x）)=
= ,
1, x=1.
（1 ♦ X = 1.
f(x)
显 显然 然 f / ( & x) ） 满 满 足 足 l 甄 im 1令孕= =1 1 , ， 但 但 f / ( （I 1 ） )= = 1 1≠ 尹 0 0 , ,
ln x
→1
ln x-1
f/( (11)) == l liimm ~ = = 0 0 0 0 ,，
x—-1
→x-*1l X — 1
则则排排除除(（AA)X(CC)）..
{ 1
若若令令/f((xx)) == « IInn xx ++ ((xx- ~1) l2)s2isinn x x—— — 1 1 ,, x«≠r 尹1 1,, 则则
0 x=1,
0 •Z = 1,
1
“ 、 Iinn xx ++ ((xx- —1) l2)s2isinn—七
f(x) x-1
lliimm g == l liimm--------------；-----------三二1 ==1 1,,
In x In x
→x-*1i In x xx→—1i I一n x
但但l四im/f('(,x)) == lliimr [ nxf 1 l ++2 2(&x— -1l))ssiinn 土 1 一 -c c o o s s 土 1 ]不] 存在，则排除(D),故应选(B).
x—1 x-1 不存在，则排除(D),故应选(B).
→1 →1
解解题题加加速速度
√Ⅱ+tanx-√1+sin x
1
1
. .【【解解】》
l
i
im
m 1 + tan z — J\ + sin
xxllnn(( 1 1++ xx)) —-x x22
→角
· 16 ·----------
«第-一*章 函函数数、、极极限限、、连连续续
tan x- sin x
= lim tan x — sin x (分子有理化
lim ________ ________ （分子有理化）
→ lo 0 x x [ [l l n n ( ( l 1 + + x x ) ) — - x x ] ] ( ( √ 5/1 I + + t ta a n n x x + + √』I \ + + s s i i n n x z ) )
1
-x2
Ax2
= =
1 1 lim t ta an n r z ( ( 1 1 — — c c o o s s « x r ) ) _ _1 1 _ .l. im 2 2___
(（等等价价代代换换）
2 2
2 xx→-*0o x«[r[llnn(( 1 1++ xx)) -—x x]] 2 x—→0 0 Ilnn(( 1 1++ xx)) 一— xx
= 1 2x = 1 2x =— 1。
1 lri m 2x 1l「i m 2 一 x x 1
4 1 4 2
4 xx→—0o 1 -11 4 xx→—0o — x 2.
1+x 1+x
#+
………………… …0…………… ………………… ……… …………………
【【评评注注】】 本本题题是是一一个个音型型极极限限，，主主要要是是利利用用有有理理化化，，等等价价无无穷穷小小代代换换和和洛洛必必达达法法则则求求极极限限。. 1
0
= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =s!l
0
22..【【分分析析】】 本本题题是是““I•””型型极极限限，，由由于于分分子子中中含含有有蒂幂指指函函数数，，通通常常的的求求解解方方法法是是将将它它化化为为指指数数
0
函函数数形形式式，，然然后后用用等等价价无无穷穷小小((ee2'--1l～〜xz)代)代换换，，然然后后再再用用洛洛必必达达法法则则..
2+cos x'
IInn(( ( 2 + cos 工 )\
[解】(方法—) 原式=lim e -— m( * 平 3 3 ) ) — ---- 1 -- = lim--------x--3---------
【解】(方法一) 原式= lim x2 = lim (等价无穷小代换)
x→0 x x→0 x
x-*0 x—0
— sin x
—sin 1
In(2+cos x)-In 3 2 + cos x
= = l r l i i m m - l - n -- ( - 2 -- - + --- - c - o -x- s -2 5- x -- ) - - — --- - I - n -- - 3 - = = l l vi i m m -- 2 - - + --2 - c -x- o - s -- - x --
=一
xx→-*00 JC
· =一
→x-»00 uJC
1 1 sin x 1·
=_ 1 lliimm —1_____主匹=_ 1
2 2 x氏→0 22+ + c coos工sz x x 66,
2 + cos x
./( 2 + cos x )\
ehx\nn (( ) ) —— 1] Ilnn(( 33 )
= lim
((方方 法法二二)) 原原式式== lliimm --------x-23-------- = lim--------x--2%--------
0 X—0 X X→—o0 x
cos x-1
In(1+ )
3 cos x-1
== lliimm -------x-2= lim COS0=J lFi-m 3x2 (等价代换)
=— → x-0 0 X → X-O 0 3x
1·
1
=——6—
6・
Ip = = = - — - = = — = = — — - - = — - — — — = = = = = ~ = ~- ~~~~ = = -~~ = ~- = ~ =j]
0
: 【
【
评
评
注
注
】
】
本
本
题
题
是
是
一
一个
个乂型型极极限限，，又又出出现现了了暴暴指指函函数数，，将将其其改改写写成成指指数数形形式式后后用用等等价价无无穷穷：
0
:小代换是关铤.
小代换是关键. ：
--J
1
1_
3 3 . . 【 【分 分 析 析 】 】 由 由 于 于 li li m m x2 1 == lliimm m e, ， 而 而 lliimm I 也 n x 己 x == lliimm - x 1 y- == lliimm — 1 x = =0 , 0 则 ,则 本 本 题是 题 一 是 个 一 “ 个 0° "0 ” °”
xx→ *4+-0000 +x >40~°° X-*-f-OO JC xX→-»4+-O0O0 1 →x-*++°0° «27
型型极极限限，，通通常常是是改改写写成成指指数数形形式式或或取取对对数数后后用用洛洛必必达达法法则则..
1
mGxm-1)
【【解解】】 原原式式== limli me”
X-*+°O
x→+00
In(x÷-1) (x)
又 lim 呻_1）== lHimm ,（节一)）''一
又lim 1 (洛必达法则)
+x~0»+8 I In n J x C →x-*4+-°0° 1 (/ ÷T— 11)、
x
·17 ·
・17 -数学历年真题全精解析•提高篇（数学一）
[. 1 — In x 1 — In X In x.
lim -----)
L+"\r(e丁 一 1) In x x
=—1,
原式=e-1 =—.
e
M
W
—
数学历年真题全精解析·提高篇(数学一)
ar 1 In x,
xe
m ( x2 x2 )
x(e平)
= lim = lim
e￥-1 -1
→+1 →十*
1 — In x 1— In x In x.
= lim = lim L—1～
→+x(e℃-1)
→+6
In x (e x )
=-1,
1
原式=e-1= e
— 1 0
44..【【分分析析】】这这是是一一个个““8co —-o 8o””型型极极限限，，一一种种方方法法是是作作倒倒代代换换工x==§
t
,,然然后后通通分分化化为为音
0
型型；；另另一一
1
种种方方法法是是将将Inln( (（1l++
x
| ) ）用用泰泰勒勒公公式式展展开开.
1
【
【解
解
】
】
（
(
方
方
法
法
一
一
）
)
令
令
工
x
=
=
｝,，则则
t
1
原
原
式
式
=
=
li
li
m
m [ F
t
—----
t
- 1 -
2
l
I
n
n
（l
(
+
1+
t
t
）
)
］ ] == llimim 't--I比n
t
(?
2
1十+t'）)
→/-*0o L £ t 」 →/-»0o t
1
1-
1 _ 1+t —1 = 1·
= lim = lim
=四 →0 2t = ^ →0 2 2( （T 1+ + t 7 ) ）= T2-
(（方方法法二二)） 由由泰泰勒勒公公式式得得
=
ln(1+ 1) 1 1 ( 1 ) ,
x x 2x2+o| x2
二
lim
[
x-x2In(1+x
1 )
= lim
[1
x2·0(
1 = 1
→m e 2 x2 21
「 【评注】 本题所求极限是**00 - 00 ”型，求**00-00 ”型极限常用以下三种方法： :
【评注】 本题所求极限是“c-c”型，求“c—”型极限常用以下三种方法：
II II
0.
: （(11）)通通分分化化为为““3"”（当(当所所求求极极限限为为分分式式差差的的形形式式)。）. ：
0
： （2）根式有理化（当所求极限为根式差的形式）. ：
(2)根式有理化(当所求极限为根式差的形式)。
: （(33）)变变量量代代换换或或泰泰勒勒公公式式（(当当所所求求极极限限为为其其他他形形式式)）.. ：
55..【【答答案案】】 CC..
【解析】(方法一)lim互xfS(x))±+s isinn 66工x
【解析】(方法一) lim
x2
→J—00 X
xf (x) + [ 「66.-x 一— ^ 1 r((66xx))33 ++oo((xx33))"]|
xf(x)+
3!
== lliimm ----------------------告--------------(泰勒公式) (泰勒公式)
→x—00 Xx3
== lliimm ^f((xx))2++66 -- 3366 == 00.,
x2
→L00 x
则 则 lliimm £f(国 x x 2 )++ 66 == 3366..
→■r—00 X
(方法二)由lim寸xf(x廿)+s血in 66x* == lHimm [[x打f(3x))++66x幻]+土(s＜in血 66工x-一66x工))=°知
(方法二) 由lim x2 x3 =0知
xx→-00 X →.r-00 X
· 18 ·
・18 -第一章 函数、极限、连续
第一童 函数、极限、连续
lliimm/f((.xx))++66 == lliimm 6 6 x x — -s s i i n n 6 6 x x
x2 x3
x l →0 O X →.r-*0O X
1
#(（66 x工)）3
1
= = 削 lim 一 6 x2 (x x — -si n s x i 〜 n 6 -x32 )
→0 0
= 36.
=36.
xf(x)+sin 6x
((方方法法三三) )由由l liimm
x
[
3
迎 §.z == 00知 知，，当当 zx →f 00时 时，，”xf((《rx)) ++s siinn 66xx ==o o((xjf33) ) ,♦则则
→0 X
x-*O
sin 6.x
/f((xx) )==--^
x
^ ++o o(x(F2)),,
sin 6x sin 6x
6- 6c - sin 6x
6— x £ ++o 心(x2)) b-x----------
f(x)+6
l临im 冲力== lim = lim
x2 x2 x2
→0 x' →0 →0
x-0 x-*O
6x— sin 6x
= lri m 6x — sin 6x = 3o6z?.
lim ------x--3\------ = 36.
→0 X
X—0
(方法四) 排除法
（方法四）排除法
令 令 xtf / ( ( xx) ) + + s i s n in 6 6 x x = = 0 , 0 显 ,显 然 然 有 有 l l i im m
xf(x)
x
+*
3
s isinn 6
阪
x
==0 0 , ,
x→0
x-*0
sin 6.x,
此时,/&）= 一性里
此时，f(x)=— x
sin 6x
6-__ sin 6x
x 6r— sin 6x
lliimm f竺(x)旦+6 = = l l i im m — = l[i. m 6j? — sin 6jc = 3*6.
x2 x2 lim-------x-3:------ = 36.
→0 0 x l →0 O jc
显显然然（(AA)）(（BB)）(（DD)均）均不不正正确确，，故故应应选选(（CC)）..
1
66..【【解解】】（(方方法法一一） ) 当当
j
x
c
→-► 00时时，，11 —— ccooss工x～〜2 x2,,ssiinn，1zx～〜xj1?,,则则
1
-|-xx22[x—-I lnn((1l ++t atann xi))]]
(1-cos x)[x-In(1+tan x)] 2
l]iimm ( 1 — cos c)[»r — ln( 1 + tan z)] = lim
sin'x lim--------x-2--------:---------------
→r*0o sin41 →0 JC
•r—O
sec2x
1]_- sec纭
= lii. m _x —I nl(n1( +1 +t atann xx)) = lPi m 1 1 + + t t a a n n x x
lim-----2-.--x-2t—j---------- = lim---4-.--x--；---------
→x—0o 2x →x-*0o 4x =
= l临im 1 1 + + ta ta n p ： x- 二 se 竺 c2 也 x = 1 (lim tan x — lim tan2r ) 1 ·
4x 4 r 74
0x—o 4x →# +0 工
(（方方法法二二)）
1
lim (l—cosQDc — lnd + tanz)]=临捉x2公[x--I就n(1】++t atann x了))]]
(1 — -cos x — )[x — -In(1+tan x)] 2
lim = lim
sin'x x1
x→0 sin1 x → x-* 0 0
x-In(1+tan x)
= lliimmx-ln(l + tan x)
2x2
→0
x—0
= l]i血m((―x——ttaann zx)) —— [[lln 2 n( . (l x 1 2 ++t taann zx)) -—t atann xh]] [ ((ttaan ni x—- zx)) ～ 〜 ~ 3 1 jxt33 .x—-I lnn((l1 ++xx)) ～ 〜 — 2 1 - x x2 2 ] 1
→0 o 乙」
L0
1 1
..((_# - ' x ) 3 _) ((_ %taann2纭x) =)]
3 2 1 ·
= lim
lim--------------2t—x27--------------- — 4·
0x—O 2z： 4
· 19 ·
-19 -数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析·•提提高高篇篇(（数数学学一一)）
7.【答案】 et.
7.【答案】eK
【
【解
解
析
析
】
】 l
既
im
(（ 1 亨 +e2 广)cot T == 既lim(（11 ++ e 守 2— 广 1)cot , 1
2 2
x→0 ·x→0 =
又lim e2-1, cot x= lim 工 COS工 1 ,
2 2 sin x 2
→0 x→0
则颐( 1+ 亨 e2 )广 606 x = 1
则lim = eT.
2
→0
三三、、求求数数列列的的极极限限
Q9/(（22001111,,1188题题)）【【证证明明】 】（(II)）由由拉拉格格朗朗日日中中值值定定理理知知，，存存在在$E£∈ （(nn,n,n ++1 D),,使使得得
1 1 ,
Ilnn( (( 11 ++ § n ) ) ==I lnn((nn ++1 1)) --I Inn nn == m
=
则则； 寿 1 < ln(l + 1) +ln ( (1l ++ §))++…..・ ++I nln ( (1l ++ +))—— IInn nn
>In(1+1)+1n| n
2
==InIn2 2+ (+I (nIn3 -3 I—n 2In) 2+)… ++ …(I+n ((lnn+(n1 )+- 1I)n — nIn) —n) I—n I n nn
==Ilnn(（nn ++1 1)） -—l Inn nn >>0 0..
从从而而数数列列(修a。”｝}有有下下界界，，故故该该数数列列收收敛敛..
「』 = = = - = = = = = = = = = = = = * = = = = = = = = * = = = = = = = = = * = = = = * = =』
11 【【评评注注】】 本本题题中中((II ))是是对对一一个个不不等等式式的的证证明明.高.高等等数数学学中中有有两两个个常常用用的的不不等式等：式： "
|| π · it
: ((1l))ssini nxx <x>00时时,e，' —e 2l>-1w>x,,则则由由幻x>?>00,,知知e知e2== 当二
x?
>1,x?>0.
> 1 ,x2 > 0.
e??—1
若若xX?* >>00,则,则e2+=1 土= 二1 >>11知 知 x+ 工 ?> + 0 ,>即0数,即 列 数 { 列 x, ｛ } 右 下 ｝ 有 下 界 有界 。 .
x?
a
, Ne' -—- 11 Qe 七2·一-11 ·
,x+1= In
由由 xx,n ee'x*++»1 == eer-' ·— -1 1知知 eeJ'*++> 1== ---------= In-----------x--,----.
工4。 xn
e3·—1 e2。—1
x • + Z 1 + — — x 。 xn = = I i I p n e -- x - " x -- 一 ,-- - 1 - - — --I Ii n n e e j' " · = = I I» n n - e -- J - - - - — -- -- 1 .
x,e1·
z” jc„ ex-
·-220 0·・第一章 函数、极限、连续
第一章 函敬、极限、连续
令f(x)=xe'-(e2-1),x∈(0,+c),则
令f (工)=xeJ ~ (ex — 1) E [0, +8),则
/f((O0)) ==0 0,,
f(x)=e'+xe2-e2=xe2>0,x∈(0,+c)
f (x) = e* + xex — ex = xex > 0,z £ (0, + °°)
则f(x)>0,xe2>e2-1,x∈(0,+o).
则 /(x) > O,xex > eJ — 1 G (0, + °°).
e2·—1
xXh +-11 -—x ,== I Inn e "] ] <x>00时时 ， ，e' —e1 l->1>zx,,则则由由*xi?>>O0,,ee知22== e''二1 >>11可可知知，,xx2? >>00,由,由归归纳纳
xH?i
法法可可知知xx。n >>0 0,即,即(｛x%。｝}下下有有界.界由x.,由e+1 ==e亦3·一-11知知
e',—e°
e2·—1
e e ' * + i 1 = = ---x-。--- - 三= -------§ ==e ^.√/1 —I -xr2 'dxd x..=.----- 1 1-| x工~1'(d]((11 —-x x22))量7
。一 3.
0
=— 0 0
=一£
1
了 x” 1 1 ( ( 1 1 一 — 了 x 2 2 ) ) 号
1 '+n-1
「 x 工 ”l- Z 2( ( 1 1 — _ x ^ 2) )号d&x
3 3
0
= 3 0o 3 Jo
n—1 n—1
x~2√1-x2dx- x”√1-xdx
3 3
= 0
= n "- - 厂 1 1 (J xJ°：l22 J√\ 1—- x—r2 d&x— _J xx"' √JlI -_x ./d drz) ))
3
道 10
= n-1
="了 (Sai-一 —a .g”)),，
3
o
n-1
从从而而有有 aa。n == n ~a„a。-2((rni ==2 ,23,3.,… — )).
n+2
n-\~2
((fⅡl))由由于于｛{%a.｝}单单调调减减少少，，且且为a,>>00,,则则
a。 a. a。
C ≤ ≤a全, = = 1 1 . .
a,2 α-1
Qft-2 ^n-1 J
a.
n-1
又 又 lim = l li i m m n 兀 + 一 2 1 = = 1 1 , ,
a--2 n-»oo 71 + 2
"~*8 Qi
a。
由由夹夹逼逼定定理理知知l1i而m 旦 ==11..
L8a Qr-i1
→0
。21 ·
-21 -数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析·•提提高高篇■((数数学学一一))
1匣2((2022,3题)【答案】 D.
2022,3题)【答案】D.
【解析】(方法一) 直接法
【解析】(方法一)直接法
π π
由由于于当当一一2夸 ≤ <工 x, " ≤ 〈寻
2
时时，，0 0〈≤ c c o o s s n x, ≤ < 1 1 ,而 ,而s s i i n n x z 在 在 [0 [ , 0 1 , ] 1 内 ]内单单调调且且连连续，续则，则由由l l i i m m s s i i n n ( (c c o os s x x , „ ) )
存存在在可可知知
—
limcos x。
limcos jc„
n-»3
存存在在，，但但lliimmx。n未未必必存存在在，，如如
→n~^o0c>
人 π
—
-f2 ,，n为〃奇为数奇数，，
x。=
4 = v , n
身置，n〃为为偶偶数数，，
2
则则 " lli ― imm ccooss jc x „ 。== 00,,ll ” i 一 im » mssiinn((ccooss xxM.) )==0 ,0但,但li * lmi → mx。xw不 不存存在在，，故故应应选选((DD))..
·08 M-»OC
((方方法法二二)排)排除除法法
人 π
-号.， n"为为奇奇数数，，
2
令令工x，,==<
π
号,， n为"为偶偶数数，，
2
则贝l]lliimmccooss((ssini nx „x), )== llimimccooss[[((—- 11))"']] == c cooss 11,,
M -♦ jO M-*O2
l→liimmssiinn((ccooss
j c
x
„)
, )
=
= lliimmssiinn(O(0) )== 00,,
→
但但lliimmxx,,不不存存在在，,llimimssinin x x.,也也不不存存在在，，故故排排除除(A(A))((BB))((CC)),,应应选选((DD).).
”一» ”一»
Z 8
—
、/1 解 解 题 题 加 加 速 速度 度 —
1
1
.
.
【【分分析析本题是一个
一
“
个
1~
“
”
1'»
型
”
极
型
限
极
，
限
可
，可
利
利
用
用
“
“
1
1
~
。"
”型
型
极
极
限
限
的
的
基
基
本
本
结
结
论
论
求
求
该
该
极
极
限
限
.
.
【【解解】】由于
—
1 22 1
= 1
(ntan 1 ) 2 = tan n 1+ ttaann-n n - 1 - ----n- n - 1
n 1 1 + 1
[ 1
n n
n
1 1 1 1
ttaann-n-------n- tan n n ,
而而l→liimm n n n2= lim
1
1 (
1 )3
n n
n
0
这这是是一一个个“.“号””型型数数列列极极限限，，不不能能直直接接用用洛洛必必达达法法则则，，通通常常是是化化为为相相应应的的函函数数极极限限后后再再用用洛洛必必
0
达达法法则则，，为为此此考考虑虑极极限限
=
tanx一x sec2x—1 tan2x x2 I
lim x' = lim = lim tan2x = lim
3x2 lim 3x2 3x 3
+0 →0 r •r → — 0 o 3x2
1 1
tan =
n n
1 ,
则则lliimm 1) 3
(
n
=e+.
1
(ntan )
故lim
理
· 22 ·
-22・—
第一章 函数、极限、连续
第一章 函数、极限、连续
II tan 1 1 1 ( 1 ) 3
n n n 1
I I I I 【 【评 评 注 注 】 】 事 事实 实 上 上 l l i im m ( 1) = lim 3 ( 1 ) 三 =s 3 ,，这这利利- 用用了了等等价价无无穷穷小小代代换换..
→6
it n n
II 1
11 ttaann 1 x—- 7x～〜-^-xx33 ((xx →—►0 )0也)也是是一一个个常常用用的的结结论论。.
3
|| 3
L - -.......
2.【答案】 B.
2 .【答案】B.
【解析】(方法一) 由于00(i=1,2,…,m).
lim + 成 + …+ 口二=max {a,},其中 at > 0（i = 1,2,…，m）.
00 I>£
b
•,
a b
=
l
既
im (
u
a-*
+
+b ?
广
")
片上 == l四im V(（
a
7 1 )）" + +(（T 1
b
)）° = i
a
1 -
→0
" 【【评评注注】 】本本题题属属llimim为 √；+a]成+a2++ … ・・・ ++a*m,, (, a（;a>, 0>)型0）极型限极.限方.法方一法是一将是将底底数数中中最最大大的的提提:
11 →rtf 08
:出来；方法二是利用夹逼定理；方法三是利用此类极限的一个常用结论，该结论可用方法一和:
出来；方法二是利用夹逼定理；方法三是利用此类极限的一个常用结论，该结论可用方法一和
"方方法法二二中中的的两两种种方方法法来来证证明明，，该该结结论论可可直直接接用用，，会会给给我我们们带带来来方方便便，，如如 "
II »
工
: lliimm 7√1 1++ 22”" ++33"”,,lliimm Jl1++_xr”” ++ (（#）"（x > 0） :
2 (x≥0)
”→f0 90 →”-*080 V \ U J
Il 11
»都都可可用用该该结结论论求求出出。. "
1
33..【【答答案案】】
2
【【解解析析】】 这 这是是一一个个nn项项和和的的数数列列极极限限，，常常用用的的是是两两种种方方法法————夹夹逼逼定定理理和和定定积积分分定定义义..由由于于
· 23 ·
-23・数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析·-提提高高篇篇(数（数学学一一)）
1 1
2 m n2 2 n + ( + n n n + - + + - + 1 - n - ) - w - -<--;-- n - n - 2 - 2 v ++ 1 nn - + - + -- 1 - l -- + --- n - n - 2 2 - - + + -- 2 n 1 n -- + - + -- 2 - 2 -- + -- … ---- + --- n 1- n - 2 - 2 -- + + - n n 1 n -- + - + -- n - - n < - --- 2 n- - - n ^ -2 n - 2 - v n + ( + (n n n n - + +- + 1 - + 1- ) - 1 - 1 - ) ---------
1 1
-|-
n
n
(
(n
n +
+
1 )
1) ^r
-
n
n
{
(
n
n
4
+
~
1
J
)
)
=
〔,
:r ； i • 2u 11. i • 2 u 11
而而l liim 8 m n — n 2 2 十+ ] nn + — 十n n 二= — 2Z ,，l → — himm 8 n — 〃 2 2 十+ I n？j +十 | 1 1 I = 2Z 9
→00
1 + 2 +…+ n = 1·
则 lim( ( z 工1 工 i + 写--工，L, ------ 1- i J )
则l ”一 im 8 \ nn 2~+r nn ++1 1 nn 2++ nn ++2 2 n n 2 + ~r n n + -v n n / 2 2
00
= = = * = ' = = = ' = = = ‘ = = = = = = = 「 = = = = = = = =兰= = = = = = = = = =』
…………… ……1…
；■ 【【评评注注】 】本 题本用题到用一到个一常个用常的用求的和求公和式公1 +式 21 ++2・+・・…++ 〃n == 2y - n n ( ( n n + + 1) l . ). ;
2
=
1+tan
π+ 29 1 + tan n—
( )
44..【【解解】】((方方法法一一)) 因因为为ttaann(
4
~^---
n
- )=------------
2
，所,所以以
\ 4 n / 11— t.a n 2
1 — tan n——
2 m 2
1+ tan 2喝t an 2
1 + tan —n Ztan n——
原原式式== lliimm 2 = = l l i im m 1】++厂土 2
0 1 1 - - t a ta n n n → “f 0 8 0 1 1 - — t a ta n n ——n
n
,
1-am1 4un
2 1
2tan 2mn工 工。 1-tm
n = e'.
= lim 1+
2
00 1- tan
n
（(方方法法二二）) 这这是是一一个个1L”型型极极限限..
π
原
原
式
式
=
= l
li
i
m
m
[ [l1 ++ ( (ttaann((于
4
+ + 号 2
n
))-一11 门 )],,而而
00
tan( π + 2 n)-1
tan
( π + 2
n )- tan
π
4 4 4
lim = lim
1 1
0 n →0 n
sec2e· 2
n π π 2
= lim (傍 0>,0故,f故(1/)X=I1） 是= 唯1一是唯极一小极值小，值即，即最最小小值值..
x2
了 Xx-=11
1
（ (HⅡ）)由由 （ (I I）)的的结结果果知知lInnx x++ ^
x
->≥ 11,,从从而而有有
X
· 24 ·
・24・第一章 函数、极限、连续
第一章 函数、极限、连续
1 1
ln x,+ <1≤Inx,+
In xn ~\—— V 1 W In z” + x—。.
xm+1
ZirH Z”
于于是是x右,≤rH
从而数列(x。)单调增加，且有上界，故limx。存在。
从而数列S.｝单调增加，且有上界，故limz”存在.
n+~0»08
记limx,=a,可知a≥x?>0.
记limz” = □，可知 a > Xi > 0.
0ir~0*8
1 1
在在不不等等式式IInn xx,, ++ — <<1 两1两 边 边 取 取 极 极 限 限 ， ，得 得IInn aa ++ 【a ≤<1 1..
Xm+1
a
"1
1 1
又又 IInn aa ++ — a ≥11,,则则 IlnnQ a ++ 【 a ==1,1可,可得得 aq ==1 ,1即,即l liimmxxn, ==1 .1.
CL CL → n~ 0 * 0 8
广— — — — — — —~ — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — —— — — — — — — — — — — ——子
【评注】 本题是一道综合题，其难点是(II),而求解(ⅡI)的关键是建立(I)和(ⅡI)的联系.
【评注】 本题是一道综合题，其难点是（口），而求解（口）的关键是建立（I）和（口）的联系.
6.【答案】 A.
6.【答案】A.
(-1)”
【 【解 解 析 析 】 】由 由 于 于 l l i i m m a a 。 , = = l l i it m n √ 街 π 一 -l l i im m ~n = =1 1 , , 又 又
"0-»08 "→f 80 0 00 72
1
aa?｝ ==2 2> >1, 1a,%? ==√晅2-—§
>0
0
,
,
当当〃n>〉N时
N
，时，
az
>1 .
1.
→+0 1
pllnn((1l++tr22))ddtz . n , 2.
0 x° = lim In(1+x2)
又又因因为为
→ l
l
im
i
*
m
F
F
&
(x
)
) == l
l
i
im
m
------------------ = →limo* ---a-x--一—1 —
→o+
lo+ lo+ z r-o+ az
x2 = 1
= lim limx3-,
=
→
li
o
m
+
a-x J~ 1-r = —a oli*mx3-*,
lo+ oil a ._o+
由
由题
题
意
意
li
l
m
im
F
F
(x
(
)
x )
=
= 0
0
,
,
得
得
a
a
<
<
3.
3
综
.综
上
上
所
所
述
述
，，1 1
<
< α
a <
<3
3
.
.
→o+
j—o+
r【评注】本题主要考查用洛必达法则和等价无穷小代换求极限及变上限积分求导.
【评注】 本题主要考查用洛必达法则和等价无穷小代换求极限及变上限积分求导.
五五、、无无穷穷小小量量及及其其阶阶的的比比较较
15(2009,1题)【答案】 A.
困(2009,1题)【答案】A.
x— sin ar
【【解解析析】】((方方法法一一) )由由题题设设知知lliimm f~^in ==1 .1又.又
→ t-*0
o
xx2 Ilnn(( 11 —— harr))
· 27 ·
-27 -数学历年真题全精解析·提高篇(数学一)
数学历年真题全精解析•提高篇（数学一）
x— sin ax x— sin ax
lliimm z —sin az = lliimm x 一 sm ox
—hx (（等等价价无无穷穷小小代代换换)）
xx→-0o, xx2^llnn(d1 —— bbxx))
—
→JT—00 _ bx
1 — acos ax
= lliimm 】f — o 3b s x2 ar (（洛洛必必达达法法则则)）
→0 一 3城
x-*0
1 — cos x
= lliimm — cos z (
（a
a =
=
1 ,
1
否 ,否则则与与题题设设矛矛盾盾)）
x→0
——33b&xz22
1
-x2
2
= lim
—3bx2
(（等等价价无无穷穷小小代代换换)）
→0
J-—0
1
奈==1,】，
6b
1
则则b6 ==一- 如,,故故应应选选(（AA),）,
6
o
(ax)3
(（方方法法二二）) 由由泰泰勒勒公公式式知知ssini na ra =x= aarx —- ^
3
^
!
^- ++o o(（xx33)）,,则则
〕！
。7
xx一—\a ax x — — ( ‘ a 言 x)3 )++o o((xx33)) "1
x— sin ax 3!
lliimm i —sinar = lliimm ——!=---------------------------
→x—0o xx2^Inln(1d —— bbxx)) xx→—00 xx22Ilnn((l1 —— bbxx)}
a3
((11 —— aa))xx ++ 齐 zx3' ++o o((xx33))
3!
= lim 5!
— bx1 （(等等价价无无穷穷小小代代换换)）
→0 _ bx
=1.
1.
人1-a=0,
1 — a = 0,
a3 1
由由此此可可解解! 解 解得 得a a== 1l,,bb==-_?..故故应应选选(（AA)）..
3! 6
3l — i 0
=1,
-以b i
x— sin ax r— sin ax
( （方方法法三三)
）
由
由
l i- i
h
m
m
x jl
2
——
1 /
ss
I
ii
-
nn
- -
aa
-
xx
T =
=
h
lv
m
i m z —
—
s
b
m
x3
az ==1 i知 知a“= =1 ,]则,则
→x—0o xx2 Ilnn(( 11 —— bbxx )) xx→-*00 _ bx
1
1 x3■
x—sin ar — sin x 6 ,
1]== lliimm x — — b sl x n 3 心 == lliimm x — ~ b s x i 1 nx = l li i m m —bx1
x X → — 0 0 _ bx → x— 0 0 _ bx xx→~*0o — bx
1·
从而b =— £•.
从而b=- 6
b
x2 +x2 z2
(皿20 (2 1 0 5 1 , 5 1 ,1 5 5 题 题))【【解解】 】因因为为 ln I ( n l ( + 1 x +x ) ) = = x ] - — : § + § ++o o(x33)) ,,sisni in x=ix —-名■ ++o o((xx33)),，所所以以
2 3 3!
Z 3 3 j
a a
f/(（xx）) ==( （1l++aa)）xz++(b（5—一 号 2 )眼x2++ 告 3 了x3 3 ++o(。x（了3) 3）.
乙
o
由由于于当当x→0时时，,f，(&x)）～〜k奴x3,则则
I — 0 3,
入
1+a=0,
1 + Q = 0,
a
b— =0,
b — % = 0,
2
a
£ == 如k,
3
3 '
1 12.·
则则 qa ==-—1 l,,bb ==-_
2
,k =—
3
·28 ·
-28・第一章 函数、极限、连续
第一章 函数、极限、连续
[1f7i(（2200191,91,题l题)【）【答答案案】】 CC..
1
【【解解析析】】 由 由于于当当了x-→ >0 0时时，x — — t t a a n n I x-～----- 3 则x3,则
O =—
x— tan x 1
li.i m x — tan x 1_
lim-----x-2\----- 3
→X-O0 X
所所以以左k==3,
3
故 ,故应应选选(C（C ).
）.
。
因18(22002200,1,1题题)【）【答答案案】】 DD..
。
【【解解析析】】(（方方法法一一）) 利利用用结结论论:：若若f（fH(）x)和和gg（(Gx)在在*x ==0某 0邻某邻域域内内连连续续，，且且当x当→0时0时，，f顶(（x工)）～
gg((xz)),,则则J f(t)dt ～ gg((t£))ddtz..
0 0o
1
1
((AA)) Jo ( (4 e 2- - 1 D ) d dt t ～ t t 2 2 d d t t = = 3 -x3.
0 o
门 2
((BB)) JjnIn((l1 ++√ 5/iTr))ddt～r-^t
t
T3
2
d
d
t
t =
=
-
9
=
-
-x
x
T
25.
.
5
5
f s si i n n xx t2dt～ J t2dt= 1 x3.
( sins int 2dt～ 〜J t2 dt t2dt := 3
Jo o0 3
r 2 1 重 5
( ( m。 √ V s s i i n n 3 ' ^ t d d z t～ tT 2 dt ～ t 1 Tddtt = _ 55 2 ( ( _ 2 / 2 ± )V ) x z5 ?
0
故故应应选选(（DD).）.
(（方方法法二二）)设设f(六x了)和）和φ甲(x&)在）在x工=0=某0邻某域邻内域连内续连，续且，且当当x了→―0 时0时，Jf(（Rx)）和和q么(工x)）分分别别是是x的的
(a)
>（x）
mm阶阶和和n阶n阶无无穷穷小小，，则则 f/(（tf）)ddrt是是zx →->00时时的的nn({mm+ +1) 1阶）无阶无穷穷小小..
0o
(
(A
A)
) J ((ee" 2—-1l))ckd,tm, m== 22,,〃n == 11,,则则 nn(.(mm ++ 11)) ==3 .3.
3 5·
((BB)) jjnIn((l 1++ √yFF))ddzt,m,m ==
,n
=
= 1
1
,
，
则
贝lJ "
n
(m
(m
+
+ 1
1)
) =
= *・
2 2'
0 u 乙
smx
(C) sint 2dtt2,mdt =,m 2=,2〃, =n= 11,,则则 nn{(mm ++1 1))= = 3 3..
。
0
3
(D) √』ssiinn"'dtzdt,m,m == -|,-n==2 2,,则则 nn((mm+ +1 )1)= —5 .5.
2
。
故故应应选选(（DD)）..
(（方方法法三三)） 由由于于
[((e/2 -一1 l))ddt£ . e2--1 1
1
lim = lim
lim -------x-3=------- = lim —3x2— 三 3
→0 X →0 6JC
lO lO
故故当当x]→0+
0
时
+时
，
,£(（ee-22 —-1l)）ddtz是是三三阶阶无无穷穷小小量量..
。0
同同理理，， ;
=
In(1+√T)dt
ln( 1 + a/?) dt ln(1+√x2) 2
lim = lim ln(] + a/P") 2
→ lim 0+ ------- √ -= x ------- = → lim o+ 时 5 √x 5
l<)+ x-*0+ 2
5
0十时,f lInn（( 11 ++√ F)）ddtz是是身阶阶无无穷穷小小量量；;
故故当当xz→0+时， 2
J o Z
· 29 ·
・29・。
数学历年真题全精解析·醒高覆(数学一)
►► 数学历年真题全精解析■（数学一）
”sm
sin t2dt
= 1
lim = limssiinn((ssiinn22jxr))ccooss x1
x2 lim 3x2 3
4性 *.|-0*0 3x2 3
J
fssiinm r.r
故故当当xi→f0 *0时+时，,J sSiinn tt22ddtt是是33阶阶无无穷穷小小量量；;
0
1-comx
I —cos .r √_S_i__n_'__tdt
5/ sin'ck √sin'(1-cos x)sinx (1-cosx)+x √2
o l li i ' m m 00 x3 = = l li i m m J sir? (1 — 5. c x os 7)sin z = l l i im m (1 — C 5 O 5 . S x ? _ 三 = 也 2 2 0 0
0 →0
.r—0* .r-*0 1
故故当当工x→f0+（r时时，,J f 1 — COS 4 而√_s___i_ " _n__ d'_trd是t是55阶阶无无穷穷小小量量..
0
综综上上可可知知，，正正确确选选项项为为(（DD)）..
解解题题加加速速度
1【答案工
【【解解析析】 法一) li l i. i m m 3 - 3 - s s - i i - n n -- - x x - c - — - — - x 7 - s s - i i - n n -- - 3 3 -- z x = l li i m m 3 3 c c o o s s j c c x k — — .x 3 * 3 c - c o o s s 3 3 j x " (（洛洛必必达达法法则则)）
性•r ►(> CX 0,r-*0 ckxk~x
—sin x+3sin 3x
= 33 lliim— m —sin x + 3sin 3jc （(洛洛必必达达法法则则)）
cckk(k(—k-1l))xx*-k~22
.r—0
= 1 ( l → im— — s 2 s . i in x n x x + + l l i im m 33ssi 2 inn x 3x)) (（4k ==3 3)）
= C 2i →a-*00 2jc
1 ( 1 + 9 )=1.
c 2 2
由由此此得得cc == 4 4..
((方方法法二二)) 由由泰泰勒勒公公式式知知
工
sin x=x—
sin X — X — 3y!r ++o 0( (xT33 ))
〕!
sin 3x= 3x一 (3.x)
sin 3z = 3了 一 -3-!---+Fo o ((x j 3 c3) )
3!
x1
则 贝lj f /( (jx * ) ) = = 3 s 3 i si n n x x — -s s i in n 3 3jc—x = = 3 3 x z — — 2 — — 3 3 . z x 十 + (' 3W 3 x ! )3 + + o o ( ( x 3) )
Z o!
==4x4]33+ +o (ox(]33) )～〜44x^33 (当(当x →Z —0► 时0 时))..
故故 k&= =3, 3c == 4 4..
22..【【解解】】（(II )）由由题题意意得得
1+x 1 x+x2— sin x x2+x-sinx
a = lim( 1 + z 1 ) == lliimm 如 了 == lHimm 土七 sin*
a lim sin x x x2
0 sin x JC →0 xissmin x x → j-0 0 x
—
1 1 ·x2
r— sin x 6 JC 1
= 11++ lliimm 三二纹==11+ +l ilimm 鱼 = 1.(x— sin x～ x3)
x2 x22 =1, (x — sin x 6
→.r-*00 →x—00 X
1+x 1 x+x2-sinx-rsin x
(
（
Ⅱ
n）
)
因
因为为
＞
f工(）x一)-。a=
s
1
s
i
i
n
+
n
z
x
x
x±
X
--11 == w +
x
jr
s
s
i
in
n x
sin 了
jc
1
-x3
lliimm f g (x x ) ? — " a = li l -i i m m ((r j?+ +1) 1()x x (—j +r r ?2 9 — s isnin x jt ) ) = = l h ri m m —x 66 * r+rT2- , , (x x — — s si i n n jc x～ 6 1 x3)
x-»0 →j-*00 →r-*00 J：
· 30 ·
-30 -第一章 函数、极限、连续
第一章 函数、极限、连续 ◄◄
=
所所以以当当kk ==1 时\，时有，有lliimm f -~ ( ^ xx — °) k— -a - = { 1 •・
6
xL→0 o x b
此此时时/f(（Xx）)—-a Q与与xZ是是同同阶阶无无穷穷小小(&x →fO0)）,,因因此此4k ==1 .1.
『一一…---…
Il 11
II
" 【【评评注注】】 本 本题题中中用用到到一一个个常常用用的的等等价价无无穷穷小小，当，工当-x*→00时时,，a：-xs-isninxx~～-i6-xx33 ..它它给给本本题题的的"
0 '•
II
«求解带来方便. ：
求解带来方便.
—
二 二 SJ 土 ii — = = — _一 = 一 _ — — 一 — 二 一 — — _ - 二 三 = 三 “
33..【【答答案案】】 CC..
【【解解析析】】 因 为因为cosc oxs —x- 11 ==x sjirsnin aa((xj)r),,所所以以
1
1_ x22 =—
sin a(x) cos x--11 ]. 2 2, 11
lliimm 迦 x 心== lliimm cos x— z 2s----- = = l l i im m ---x-2$— 2
0 →0 →0 2
x-*0 JC r-»o X LO X
π
则则有有llimismisni an(ax()x =)= 00,,又又 ||aa((xx)) | |V< £•,，则则llimimaa(x(x) )== 00,,所所以以
2
xx→-*00 u
j—*0
→0
=—
lliimm ssiinn
x
aaO(x)) == lliimm aa((
x
£x)) 1 1_
2
→0 x→0 2
j—»O JCX x-*O JC
故故应应选选(（Cc)）..
44..【【解解】】(（方方法法一一)）
1—cos x·cos 2x·cos 3x
1= l →ii. m 1 — cos x • acxo”s 2z • cos 3z
1 = lim------------------------------------
ax
sin x·cos 2x·cos 3x+2sin 2x·cos x·cos 3x+3sin 3x·cosx·cos 2x
= lii. m sin x ・ cos 2t • cos 3j? + 2sin 2x • cos x • cos 3j? + 3sin 3z • cos z • cos 2i
lim------- na.x"-1
→r—00 nax
sin x·cos 2x·cos 3x+2sin 2x·cos x·cos 3x+3sin 3x·cos x·cos 2x
= l 卜 l i i m m sm x • cos 2jc • cos + 2sin 2x ・ c 2 o a s x x • cos 3 - x - - + --- 3 -- s - m -- -- 3 - z -- - • - - c - o -- s - - x -- - • - - c - o -- s - - 2 -- x ((nn ==2 2))
→0 2ajc
T—0
=
1+4+9 7
=
2a
=
三
Ma,，则则 aa ==7 .7.
La a
((方方法法二二))
1—cos x·cos 2x·cos 3x
1i = li.i m 1 — cos jc • a c x o ” s 2x • cos 3jc
1 = hm-------------------z----------------
→0 ax
x-*0
x2
1 1 - - [1 l- - y 2 ++Oo(x(X22)) (弩2 2 x)^2+ +o 心 (x2 ) ) ][11-_(警3 2 x)21 + + 0( 。 x (了 2 2 ) )]]
= = l l i im m ----- ax” (（泰泰勒勒公公式式)）
→0 cucn
T—0
x2
X2 , ((22xx))22 +, ( (3 3x工))2 2 ,,八
2方十 --2- ---- 1---2--5-- + -- o -。 ( ( x 工 2) ) 14x2,
= l[i•m乙 Li ax”乙 = li.i m 14x2
=lim-------------------- ------------------ 四2耘ax" ，
→x-0o ax →0
则则 〃n ==22,,a口 ==7 .7.
((方方法法三三))
1— cos x·cos 2x·cos 3x
1 1 — cos x • cos 2x • cos 3x
1= lim ax”
1 = hm-------------------z----------------
→0 ax
x—0
= lim ((11 -— ccooss xx)) ++c cooss xx(( 11 -—c ocso2s a x x 2) ” x+)c +os c oxsc zocso s2 x2( jt 1( —1 —c ocso s 33xx))
=hm------------------------------------------:---------------------------------------
→x—00 ax
·31 ·
-31・►► 数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析·• ■提高■丽(（数数学学一一)）
=
i a 1 rl[ilmim 1 l — — x c c 2 o ? s S H x ++l ］i血m cCoOsS x*(（11— x 二 2 ccooss 22xz)）+十li临m ccooss zxccooss 22弓x x ( 2 11—— ccooss 33以x) ] (n = 2)
= a |_ → lo 0 x =r→—o0 x r x → —o 0 x
1 1 22 32 7
( )
a 2 十 2 十 2 a,则a=7.
55. 【.答【答案案】 】B.B.
【【解解析析】】 因 因为为lnI，n（2l( +1+ 22xz)）,,(（1l ——c coos sxz)）+ 1 均均是是比比zx高高阶阶的的无无穷穷小小，，且且当当zxf→ 00++时时
Ilnna°（l( +1+ 22xx)）～〜(2（x2)x°）°= =2 *2xa°xa
～
(（11 —— CcoOsS xZ)） 1 + 〜 ( （万
1n
x 丁 2 2 )
v
）
±1
。
=
=(（2
1i
) ）
1上
" x 招 。1
2 2
2
则°> 1,且£> L由此可得1 Va V2,故应选（B）.
则α>1,且α >1.由此可得1<α<2,故应选(B).
a
66. 【.答【答案案】】 D.D.
1
【【解解析析】】（(方方法法一一） ) 由由1x →-►0。时时，，ttaann工 x一-工x～ 〜x3知知，,ttaann xx的的泰泰勒勒公公式式为为
3
1
t ta a n n re = x= 1 x + 3 x3++o (0（x那3)）
O
1
/、 aQ ++( （b。-一1 l)）zx ++c CxZ?2 ++ (（dd— — ! ) x?++o (o（xz3')）
3
又lim 心p(x)—了 ta北n x== l临n --------------------―U----------------- ==0 0,,
又lim x3 x2
→x-*00 X →x-*00 X
1
所
所以
以
a
a
=
= 0
0
,
,b
b
=
=1
l,
,
c
c
=
= 0
0
,
,d
d =
= § ,,故故应应选选(（DD)）..
3
（(方方法法二二）) 显显然然，，。a==00,,此此时时
bx+cx2+dx3-tan x b+2cx+3dx2—sec2x
lim p/）(（x］)）— — ttaann zx = l1i. m bx + ex1 + t£z3 — tan x = lvi m b + 2cx 4- 3dx2 — sec2
lim -------x--2:------- = lim--------------x--35-------------- = lim--------------3-x--2---------------
→0 →0 x 0 3x
lo jc io o
由由上上式式可可知知，，。b==11,否,否则则，，等等式式右右端端极极限限为为8co,,则则左左端端极极限限也也为为c8,,与与题题设设矛矛盾盾..
1+2cx+3dx2—sec2x 2c 1
limp。(（x工)）—— ttaann xX = lim 1 + 2cx + 3dx2—sec2 = lvi m 2c +. d—t 1
lim ------x-3--=------- = lim-------------3-—x2~2------------j-:- = lim3 .-x----a — —
3
→x—0o «r →x—0o x x →—0 o 3jc 3
1
则则cc ==0 ,0d,d == §
,
，故
故应
应
选
选
(
（
D
D
)
）
.
.
3
77. 【.答【答案案】 】C.C.
【【解解析析】 】①①是是真真命命题题，，由由Qa（(Zx）)～〜β伙(Qx)知知
l1 i•m ' aU (（x- )） = 1-1,
hm ―― = 1,
→l0O β/?（(］x)）
a2(x)
则则lliimm 匕尸!
=
=
1 ,
1
从
,从
而
而
a2
a
(
（
x
1
)
）
～
〜
β
任
(x
（z
).
）.
→-r-00 β # ( （ x JT ) ）
②② 是是假假命命题题，，如如Q（az(x）)==x工,，βB（(xx）) ==-—x ,Z显 ,显然然，，当当xZ→ -►0时。时，,a疽2(（zx)）～〜任β(（xx)）,，但但aQ(（xZ)）～〜βB（(JxC)）不不
成成立立..
③③ 是是真真命命题题，，由由Qa(&x）)～〜βR（(工x）)知知
lhimm' a a (（z x)）- ― β 8 (（x z ) ） ==11— —l limi β m (x) ==11 -—1 1= =0 0,,
→0 aa(（xx)） x—o aa(\xx)）
lo →0
·・3
3
2
2
·・第一章 函数、极限、连续
第一章函数、极限、连续 ◄◄
则则 a
q
(
(z
x)
)
-
—
β
B
(
(
x工)
)
=
=
o
o
(a
(a
(
(
x
x
)
)
)
)
.
.
④④是是真真命命题题，，由由
a
a
(x
(
)
x )
—
-p
g
(
(z
x
)
) =
=
o
o
(
(
a
a
(
(
x
x
))
))
知知
lima(x)-β(x)
=1—lim
β(x)
=0,
→0 a(x) x→0 a(x)
则则lliimm β 粤 ( U x) ==1 ,1即，即a(x)～〜p(Bx（)工.）故.故应应选选(C（C).）.
0x -og a(（xz)）
六六、、函函数数的的连连续续性性及及间间断断点点类类型型
[皿9(2（201061,64,题4题)【）【答答案案】】 DD..
1
n , 1 1
【 【解 解 析 析 】 】 仁 f- （ ( 。） 0) = =11 ,/f+( （ 0 。 ) ） = = l 理 im / f( （x x) ） — x ； f / ( （ 0 0 ) ）== l理im 于 x ，(（ n 出 +1 V<工x≤＜ 4n ) ）
0 →0+
1 1 1
_ n n
1- ≤ x < →1
1 1
n n+1
72 + 1
1
_1_
n
则则 lliimm Mx- = = 1 . 1.
→0+
1
l°+
故故f
/
(
（x
x)
）
在在x
z
=
=
0 处 0处可可导导..
叨20(（2200117,71,1题题)【）【答答案案】】 AA..
【【解解析析】 】 要 要使使/（fx(）x)在在zx ==0 处0处连连续续，，则则需需
llimim /f((xx) )== llimim ff ((工x))==f/((00))
→0-++ x→0c7-
1
1i —c os√r~x -2z-((√Vxx))22 = 1
→ li 0 m l f i ( m x / ) ( = x ) l → i = o m + lim l " a _ x I cos』=工 l x = → im 0+ 临 a 匕 x --------- 2a
l°+ lo+ z-*0+
lliimmf/((jx：)) == lliimmbb == bb
x→0~ →0-
1 1
即即；;25-a ==b,方从，从而而有有aabb == -2r-.
故故应应选选（(AA)）.
解题加速度
ax3
ln(1+ax3)
11 ..【【解解】 ))== l
→
lii
0
mm
~ x x — — a a r r c c s s i in n x x
= l
→
i
0
m
~ xx— — aarrccssiinn xx
(（等等价价代代换换)）
3ax2
= lim 3 az2 (（洛洛必必达达法法则则)）
1
→0 1-
√1一元
3ax2
= lim (（等等价价无无穷穷小小代代换换)）
1 -x2
2
=—6a.
=—6a,
ee*" ++ xI?2 —- aoxr -—1 1 < ]. ee*" r++ /x2 —-a oxx— —1 1
lliimmf/((xx)) == lliimm -----!------------------ = = 4 4 l li i m m -----------x-25---------- (（等等价价代代换换)）
x→o+ xsi. n 工Z →o+
xsin — 4 xl0+ X
4
· 33 ·
・33・数学历年真题全精解析·提・高B篇0|( 数学一)
►- 数学历年真题全精解析• （数学一）
ae"+2x—a
= = 4 4 . ]l h .i m m a -- e - * - ^ - -- + 2- -x 2 - « - z - - — --- - a (（洛洛必必达达法法则则)）
→0*
lo+
a2ea +2
==4 4l临im 。十2
2 (（洛洛必必达达法法则则)）
→0o++ L
=2a2+4.
=2a2 +4. —
令令 llimim/(fx()x =) =llimim/f(了()x，)得,得一6-a6 =a =22aza +2+ 44,,解解得 得a =a=—- 11 或或 aa ==-—2 2,,
0j-»o~ .r-*0 r 十 →o
当当 aa ==-—1 时1 时，,lliimm/f(j(?x) )== 66 ==f (/0(O),)即,即f f((xj)c在)在x z= 0=处 0连 处续连，续，
→0°
.r—0
当当aa ==-2—时 2，时,lliimmf/((xx)) ==1 21≠2尹f(/(0O),),则则xz= 0=为 0?为(xf)(的x)可的去可去间间断断点点..
→x^O0
-…一=---- r----------------- --------
1 1
: 【【评评注注】】 本 本题题求求解解中中用用到到一一个个等等价价无无穷穷小小代代换换，，当当工x→-*00时时，1— , 1 〜一#工x七2. :
√1—x 2
„ ～— 2 „
1 1
” I' 事事 … 实实上上 … 11一 -- -- - ,.. . 1 .. .. = = 1 1 — — 1 ( ( 1 1 - — x J 2 72 ) 1 )~ 2 〜 — — x X 2 2 . . … 'I "
2
√1-x2
“ 71 -J2 2 u
—
22..【【解解】】 先 先求求极极限限得得到到ff(（x工)）的的表表达达式式，这，这是是一一个个““1L~””型型极极限限，，由由于于
sin t sin t- sin x
sin t =1i +. sin t — sin x
- =1 :---------
sin x sin x
sin x---------------sin x
sin t— sin x· x x
l«i. m sin t — sin x x x
→r-xx
lim-s-
s
i-
i
-
n
n- -
x
x:- --------
ss ii
•
nn
—
tt
-
——
--- -
ss
-
ii
-
n
-
n
- :
x
- ---=s
s
i
in
n-- -x----
jc jc
lliimm( (/ - s S i - . i - n l - l - t t )、丽商 n 户 r - - 前m n : x = = e e a _ m J g _ ,
→x
—\ ssiinn xx) /
由由ff( （x工)）表表达达式式知知7x ==0 及0及x=工kπ=(kkn=（.±k =1士,± 12, ,士… 2),…都）是都f是(x/)（的 jc）间的断间点断点。.
由由于于llimim/（fx(）x )== lliimmee的 ==ee,，则则xz= =0为 0f为(xf)（的x）可的去可间去间断断点点；；而而在在xx ==k kxn(（kk= ±=士1 ,1±, ±2 ,2…,…)）
x-»0 .r-*0
处处f，(x&)有）有一一个个单单侧侧极极限限是是无无穷穷大大，，则则二x=k=π如(以k=±=士1,1±,±2,2…,…)均）均为为第第二二类类间间断断点点，，如如在在x1= π=六处处，,
lliimme,=
=
+c
+
,
8
但
,
但l
x
il→immee=E07 ,=显 0然,显l然i→lmimee=左 =是8典是型典的型错的错误误..
→r-*mx~ x-*ir+ J-*K
33. .【【答答案案】】 AA..
【【解解析析】 】显 显然然只f有(x)两只个有间两个断间点断
z
点
=
x
0
=0和和
1
x
=
=1 ,
1
因 ,因为为
1
lim/(j7)= lim I?nn |' x|J , sin x = limln \ x \ • sin x (lliimm ------ , == 11 ))
limf(x)= lim sin x= limln|x|·sinx
x-1T x—11
→
■r—
0
o →x-00 I X — 1 I →x-00 \ .r *0 I J' — 1 ! /
= limln lx l·x
=limln | H | • 7 ((等等价价无无穷穷小小代代换换))
j→—00
1
x
== lliimm I以n」.|产x]== l→liimm ( ( 洛 洛 必 必 达 达 法 法 则 则 ) )
1 1
→x-*00 xi —0 _ 1
x2
x x2
==-—lilirmnxz =
=
00
→X—00
则则1x ==0为 0f为(x/)X的i可)的去可间去断间点断，点，又又
InIxI
lliimm /(fj(7x ) )== lliimm .^n ' X . ssiinn xx == ssiinn 11 ·• lliimm I加n[1(+了(x-——1)]
→+ →+ 工—11 x—1
.L1+ L1+ I 1 I I* X — \
· 34 ·
-34・第一章 函数、极限、连续
第一章 函数、极限、连续 ◄◄
则a(x)-β(x)= o(a(x)).
则 a(x) — B(工)=o(a(x)).
④④是是真真命命题题，，由由
a(
a
x
(
)
x )
—
- p(工x)
)
=
=
o
o
(
(
a
a
(
(
x
x
)
)
)
)
知知
lliimm' g & (x 仁 )— B 珂 (x) == 11 —一 lliimm β粤( R x) ==0 0,,
a(x) a(x)
→lo0 a(x) →x—00
B(x)
则则l liimm 3：" ==1 ,1即,即a (ax(x)～) β队(x工).）・故故应应选选(（CC)）..
→x-o0a(x)
六六、、函函数数的的连连续续性性及及间间断断点点类类型型
皿9(2（021061,64题,4题)【）【答答案案】】 DD..
1
_1_
n , 1 1
【 【 解 解 析 析 】 】 仁 f- (0 ( ) 0 ) = = 1 1 , ，A f. ( ( 0 0 ) ) = = l l i i m m， f( & x) )x -f / ( X 0 0 ) )== l → lii o mm + 千 x ，(（ n 出 +1
故故应应选选((AA)).
((方方法法二二) ) 由由于于/f((0O)) ==0 ,0由,由导导数数定定义义知知
f7((00))= = l liimm f心( x x) == lliimm (怎e''一-11)("e2'—一22)…)"(e4"盐—n)
.rT→-*00 JC →r-*00 XJC
·39 ·
・39・数学历年真题全精解析·题高疆(数学一)
►► 数学历年真题全精解析• ■■(数学一)
e'-1
= lim
·lim(e2-2)…(e"—n)
=lim ---x---- . limCe2^ — 2)--,(e"r — n)
→0 X →0
x—0 x—0
=
=
( -
(
1
-
)
!
·
)•
(
(
-
-
2
2
)·
)...
…
.....
·
.(-
(
(
-
n
(n
-
-
1
1
))
) )
=
= (
(一
- 1
l
)
)
*
i
(
(
n
n
-
-
1) l)!
!
.
.
(方法三) 排除法，令n=2,则
(方法三) 排除法，令» = 2,则
f(x)=(e'—1)(e2+—2),
/(x) = (eJ-l)(e2i-2),
f(x)=e'(e2-2)+2e2(e2-1),
f'(工)=ex (e2J — 2) + 2e2j(ex — 1),
了(0)=1-2=-1.
/(O) = 1 - 2 =- 1.
显显然然((BB))((CC))((DD)均)均不不正正确确，，故故应应选选((AA))..
6(2013,11题)【答案】√2.
0(2013,11题)【答案】V2.
=
dy sin t+tcos t-sin t
■ dv sin t + tcos t — sin t =t,
【 【解 解析 析 】 】 d亍x =--------c-o-s- t--------=t,
ckr cos t
d2y 1 1
=1·
dx2 cos t三 cos t'
d2y
=√2.
dx2
1-
= = = = = = = = = = = = * = = * = = = = = = * = = = = = * = = * = = = = = = = = = =
" 【【评评注注】】 本 本题题主主要要考考查查参参数数方方程程求求导导，，是是一一道道基基本本题题..但但仍仍有有不不少少考考生生填填写写了了错错误误结结论论"
II d2y . dy II
；,
d
拦
x2 -÷
==11.究.究其其原原因因，，应应该该是是从从
d
学
x
==t£得得出出了了错错误误的的结结果果.这.这是是考考生生在在求求参参数数方方程程所所确确定定函函"
11 dj- It ax 11
i' ii
•'数数二二阶阶导导数数时时常常见见的的错错误误..
ii
虹=： = = = = = = = = = - = = 」 = - = = = = =二三三三= = = = = = = = = = = = = = = = ==且
■
((2
2
0
0
1
1
3,
3
9
,
题
9题
)【
)【
答
答
案
案
】
】
1
1
.
.
【【解解析析】 】由 、由一yz- =x= eeJ-(1”-y)知知，，了 x== 00时时，，、y==11,,
y
j/
'
—
- 1
]
=
=
e 2
e
-
*
*
E
[
C
((1
1
-
—
y
y
)
)
-
—
x y
x
' y，]
-\
1
[ 1 ] f
/
(
■ ( n仔))--f/(x0o))
则则当当 1x= =0时 0 ，时,yJ′ ==1 ,1l, → liimmnzz[/f*(( + n ))-—1 1J= = l l i im m --------1----------= =f 广 ( ( 0 0) ) = = 1 1 . .
n →n-*0o0o 1_
M-»co n
n
【评注】 本题主要考查隐函数求导和导数定义.
[ 【评注】本题主要考查隐函数求导和导数定义. JI
田8(2(021041,41,01题0题)【)【答答案案】】 1.1.
【【解解析析】 】由由，了'((工x))==2
2
(
(
x了-一1 )
1
,
)
x ,工∈
e
[ 0
[
,
0
2
,
]
2
知 ]知，，/f
X
(
z
x
)
)
=
=( x
(
-
x
1
-
) 2
I)
+
2
C
+
.又
C.
f又(x/)(为工奇)为函奇数函，数，则则
f
/(
(
0
0
)
)
=
= 0
0
,
,C
C =
=
-
-
1 ,
l,
f
/(
(
x
x
)
) =
=
(
(
x
x
-
-
1 )
I)
2
2
-一1 .
1.
由于f(x)以4为周期，则
由于Mz)以4为周期，则
f(7)=f[8+(-1)]=f(-1)=-f(1)=1.
/(7) = /'[8+(— 1)] = /(- 1) =-/(1) = 1.
9(2017,9题)【答案】 0.
Q(2017,9题)【答案】0.
1
【【解解析析】】/ (f(xx))== 厂吾是是偶偶函函数数，，则则ff(ax))为为奇奇函函数数，.f/”((xx))为为偶偶函函数数，，/f°3(>x()工为)奇为函奇函数数，，
1+x1
则f3)(0)= 0.
则广3>(0) = 0.
1皿0((2200220,01,100题题)【)【答答案案】】一一√显2..
【【解解析析
】
】((方方法法一一) )由由于于
。40
. 40 .第二章 一元函数微分学
第二章一元函数微分学 44
ddyy == ------- 1 ( （ 1 ] + t ）dckt == — 1 ddtj,ddrx == — t dckt
t+√P+1 √2+1 √1+t √1+
/r+F /TTF
=
dy 1
所所以以字==,，故故
dx t
ax t
=—
= ·
d2y d dy dt 1 √1+t
d2y = d_/d3/\ d£ =_[. yTTZ
ddxx22 dd At d d j x tJ ddxx t t 2 2 tt
d2y
从从而而凯=f一√2.•
dx2
1=1
(方法二)由题意，可只考虑t>0,从而t=√x2-1,于是y=In(√x2-1+x).故
（方法二）由题意，可只考虑t>0,从而，=二T,于是丁 = lnS-1+了）.故
= =
d 业 y = 1 ]— ( （， x 工 ++11 \ = 1 ]
dx √x2-1+x √x2-1 √x2-1
dz y/x2 —T + 了 ' \/xz 1 I JS _了
d2y
1
dx2 =-x(x2-1)
由 由 于 于 当 当£ t = = 1 时 1时 ， , x x =√ —4 2, 2 所 ,所 以 以 =
d2y d2y
=-√2.
d2y
dx2 dx2
dx2 rl=i1 应
2
[
Ⅱ
J]
(（2
2
0
0
21
2
,
1
1
,
2
1
题 2题)【）【答答案案】】
3
=
dy
dy = 44ee''++44(”t—-1l)）ee''++22tt == 22t,
【【解解析析】】
dx 2e'+1
万 2e' + l '
d2y = d, dt 1 ·
（^y _ d /＞、 dz =_2 ·o 1
dx2 dt' (2t)· dx 2e'+1
Ax2 A=t Ax 2e +1
d2y 2
纹 =2
dx2 3
dx2 Itl=o0 3 *
1凰2(（2200221,13,3题题)【）【答答案案】】 AA..
【【解解析析】】(（方方法法一一)） 直直接接法法 由由泰泰勒勒公公式式知知
x33 11
s si i n n
j c
x = = x x — — —6 ++o o(（xx33)）, »-1―+:—x27 ==1 1- —x 2丁+ o+( ox（x33)）
6 1 +1
sin x = x一x2 7
则则： sin f = (（了 _《++o。(（x了33)））（(11 _- x了22 ++o 0(&x33）)）)==x]—-- x3x +3+ oo（(xx33）)..
1 1 + + X \ 6 O / 60
7
7
所所以以
q
a==11,,》b== 00,,c c ==—-
6
,故故选选(（AA)）..
0
sin x
(（方方法法二二）) 排排除除法法 由由于于，f（Z(）x)== 泮1+菱x2是是奇奇函函数数，，故故其其在在1 x== 00处处的的泰泰勒勒展展开开式式中中只只有有奇奇
次次项项..因因此此bb =
=
0 ,0故,故排排除除(（CC)）(（DD)）选选项项..此此时时
sin x
f/(（Xx)）== 1+x 工 2% == x]+ +c x成13+ +o (Ox（X33 )）
1 + X
sin x
即即：
1
尸
+
？
x 2 —
-x
X
= —c x
cj
3 c3+ +o( ox（3x)3.）.
1 +x
sin x
当当工x∈£( 0（,00,8)时）时，，空与一-xI 2• "2,",
则
则
(—1)"2"n!
y舟'"((00) )== (一 1)"2"”!
33，"+
1
((方方法法二二)利)利用用幂蓦级级数数展展开开，，为为求求寸y”>'((00)),,将将、y==
2
次
x+3
¥在在xz= =0处 0展处开展为开幂为级幕级数数，，则则其其展展开开
Zz + 3
式中槌”次幕项的系数y'"为(0)%，即可求得严(。).
式中x的n次幂项的系数为 ,即可求得y'm(0).
n!
1 = 1 1
1_ = J_ _1
2x+3 3 2
2z + 3 — T 1, +, 2 x
1 +
—3 x
1 [ 2 2 2 ]
三
=§
3
[11--*
3 x
了
+(
+(
3
韧x)〜2+…••+•(-+1()-”】)”((
3
知
x)”
”+
+
•
…
••].
2"
等
等
式
式右
右
端
端
x
工
”
”
的
的
系
系
数
数
为
为
(—
(-
1
1
)”
)"
3
湍
*+
亍
1
,，则则
2"
y(*)(0)
七詈==((--1])”)”缶
n! 3”1
(—1)"2"n!·
故y)(0)= (-
故广(0)= 3"+
3+
点
" 【【评评注注】】 本本题题属属于于高高阶阶导导数数计计算算，.计计算算高高阶阶导导数数通通常常有有33种种方方法法：： "
I„I 11..求求一一阶阶，，二二阶阶，，然然后后归归纳纳, "n阶阶I 导 导数数U .. I„I
" 2 2. . 利利用用泰泰勒勒公公式式((适适合合求求具具体体点点高高阶阶导导数数)).. "
|| II
„ 33..利利用用已已有有高高阶阶导导数数公公式式：： „
Il π π n
II
11 ((ssini nJ 7)xG),)' )== ssini(nj(? x++ nn· ・告 2 ))；;((ccoso s j- )x) '==2C;u1~*vv/(k*>.. 11
11 Z Z io m
=0
IL 土 = — 土土
1
22..【【答答案案】】 e
e
【【解解析析】 】函函数数丁 y== f
/
(
(
f
/(
(
x
x)
)
)
)
可
可
看
看做
做
y
y =
=
f (
f(
u
u
)
)
,
,
u
u
= f
=
(
f
x)
3
的 复
的
合
复合
，，当当xh= =e时
e
，时,
1
u = /(e) = InTe =号.
u=f(e)= In√e = 2
由由复复合合函函数数求求导导法法知知
·42 ·
-42・第二章 一元函数微分学
第二章一元函数微分学 44
dy
学==子/((«u))· . f/((xX)),,
dx
d dx y == f/(($ 2 1 ) ) •·，?'((ee))==22·. 2 土 1 e = e 1 X
=e \ Z / Ze e
lc
【评注】 本题主要考查复合函数求导法，以上解法是直接利用复合函数求导法.而如果:
【评注】 本题主要考查复合函数求导法，以上解法是直接利用复合函数求导法.而如果
it it
dy
:先先求求出出复复合合函函&数 Jy ==f (/?((/x()x)的))表的达表式达，式然，然后后再再求求擘 ,，显显然然就就麻麻烦烦多多了了.. ：
dx
x=e
Il di … '•
|L_ —…_________________ _ ________________ ______ -J
1
33..【[答答案案】] z 1 .
√1-e-T
J\ 一 e"4
【【解解析析】 】由 y由 =y =/f、((]x))== j J√l 1—- e4/ddt/,,知知yy ==0 时0时，,xz= -=1—.根 1,据根反据反函函数数的的求求导导法法则则有有
-1
dx = 1 = 1 dx 1
dj" _ y1. _ ] dz = ]
d d y y Vr √1 _ - e d， d 如 y y,==o0 三 √711 --e -e-T1'
44..【【解解】 】在 y 在-xye-^x'e ~=1 =11中中，令，x令 =x =00得得、y==1.1.
等等式式Vy —— xe-I==1 两1两边边对对xJ求C求导导得得
y'-e-!—xy'e-1= 0.
y — e— —xyr ^~x = 0.
由由yy -—x xee~-^11 ==1 可1可得得xez~e1i= y=- v1,—代 1,入代入上上式式得得
(2-y)y'-e~1= 0. (*)
(2 — y)yf — e^-1 = 0. (* )
由由工x==0,
0
y
,y
= 1
=
,
1
得 ,得y '
y
l
1
,
4,
。
_0
=
=
1 .
1.
在在((** ))式式两两边边对对xx求求导导得得
(2-y)y"-y12-er'y′=0.
(2 — y)y — y，2 — e^"1 y = 0.
由由 xh= =0 .
0
y以=1=,y
1
'
,
|
J
…
L
。
=°
=
=
1 得
1
得y '
y
|
"
.
I.
。
-o
=
=
2 .
2
因.因为为
y
d 乎 x ==f(广In(I ny v- s—i sni nx z)) ( (-- — -- c c o o s s z x) ), ,
dx y
一
dz
故故半 ==00..又又
dx
dz xr==o0 y' y”
d
dx
2
2
x ==了 /((IInn vy --s siinnx 了))( (
y
- — -- c c o o s s 工 x)2 )++ff((Ilnn ；yy --s siinnxw) ()
y
(-----( ( ； y
y
' ?
2
) — 2 +F ssiinn xx ) ,
d2≥ 一
所所以以窘 ==了f((00))(2( 2—- 11)) ==1 .1.
dx2
:=0
31
55..【【答答案案】】 32
【【解解析析】 】由 由方方程程勺x2++x；y/+ y=3 3=3可可知知，当，x 当= x1=时1时、=y=11..方方程程工2x+2+巧xy++yy3 ==3 两3两端端对对xz
求求导导得得
2x+y+xy'+3y2y′=0. ①
2x + y + ry' + 3,y2y' = 0. ①
3
将将x*= =1 ,1y以=1=代1入代上入上式式得得y/'((I1))=-
4'
①①式式两两端端再再对对工x求求导导得得
·43 ·
. 43 .M—
数学历年真题全精解析·墨高■(数学一)
aa数学历年真题全精解析，（数学） 浏瞩
2+y'+y'+xy"+6yy'2+3y2y"=0.
2 + >' + J + xy" + 6yy" + 3y2y" = 0.
3
将将工x==1,
1 ,
y
y
= 1
-
,
1
y
,j
'
/
(
（l
1
）
)
=
=
—
- 4代代入入上上式式得得
31
y”(1)=-
32
66..【【答答案案】】 00..
【【解解析析】 】显显然然/f ■（ ( * x ） ) = = e m e『+e + 是 e- 周 g 期是为周2期π为的 2 偶 k的函偶数函，数故，故f( f x ' ) 3 是 > 周是期周为期2为π 2 的 n 奇的奇函函数数，,
”(x)是周期为2π的偶函数，f(x)是周期为2π的奇函数，则
E）是周期为2冗的偶函数，尸（工）是周期为2k的奇函数，则
/产*(（22t π t） )==f /”*(（00)） == 00..
三三、、导导数数的的几几何何意意义义
妒解解题题加加速速度度
11..【【答案答 案1
【【解解木 析 y
y
= x
=
2
x
与
2
曲
与曲
线
线
y=
、
al
=
nx
al
(
n
a
x
≠
（a
0 )
乂
的
0
公
）的
切
公
点
切
为
点
(
为
x
（
?
工
,
。
y
，
?
义
)
）
,
，
则
则
x6 = aln xg,
{x? = aln x0
a
2.x。=
2jc0 =x—o 。
1
由由此此可可得得x
z
。
o =
=√
V
e
e
,
,a
a =
=
2
2
e,
e
故 ,故应应选选(（C
C
)
）
.
.
P=-- = -TT = = -- -?s----- = -- -- -r=-- = -T?- = = = = = - = = -- = - = = -^
【【评评注注】】 本本题题主主要要考考查查导导数数的的几几何何意意义义，.两两曲曲线线相相切切，，在在切切点点处处不不仅仅导导数数值值相相同同，，而而且且函函"
II II
数数值值相相同同..部部分分考考生生未未能能选选出出正正确确选选项项，，可可能能是是只只注注意意到到在在切切点点处处导导数数值值相相等等，，而而未未利利用用函函数数"
I'值值也也相相等等的的条条件件..
L
{x= rcos 9.
2.【分析】 此类问题的一般方法是将方程r= 1 —cos。代入广=rC°Sf'便可得到曲线的参
2.【分析】此类问题的一般方法是将方程r=1—cosθ代入 便可得到曲线的参
y = rsin θ,
\y = rsin 们
数数方方程程(（θ。为为参参数数)）,，然然后后用用参参数数方方程程求求导导法法求求出出切切线线斜斜率率..
【【解解】 】 曲 曲线线r r== 11— 一c cosoθs。的的参参数数方方程程为为
—
{xx= (=1 -（c1o —sθ co)sc Oo'）scθos= 9 c=o scθos— 9 c—o sc2oθs?。,，
1
< 1
sin 20,
yy ==(1 —（1 c—o scθos )0s）isninθ 0= = s isninθ 0— — —2 sin 2。，
π
令
令
0
0=
=音
6 ,
,
得
得
切
切
点
点
坐
坐
标
标
为
为(√
2
修
③
——, 子
3
4
，号
2
1
一
√
4
季
③)
）.
—
切切线线斜斜率率为为 —
= =
d dy y _ yy′f （.(O0')） I _ c c o o s s θ。— — — c c o os s 2 2 0 。 = _ 1 .,
ddxr 68“-1 (!0 3)） 100-=÷普 —— ssiinn 0θ++ ssiinn 2200 6ff==-^ '
则所求切线直角坐标方程为劣一 (（§1 _乎√③)） = = x 停 - (一√③ 乎 3)），即
则所求切线直角坐标方程为y— ,即
2 4 2 4
5 3√3
x- y+,5 3^3 n
=0,
= 0,
4 4
=—
( 1 ③) [x一 (√③ 3)
法法线线的的直直角角坐坐标标方方程程为为y、—一 ,即
2 4 2 4
·44 ·
. 44 .—
第第二二章章 一一元元函函数数微微分分学学 ■◄
√3
1
x* ++ y】 ++手-辛==00..
4 4
4 4
π
+In√2.
33..【【答答案案】】y +y +xx == ^4 + ln72.
t
t
dy= 1+t2
【
【解
解析
析
】
】
d
$
x
=
1
==t,
1+t2
1 + i2
曲线上对应t=1的点处的切线斜率为1,因而该点处法线的斜率为一1,于是所求的法线方程为
曲线上对应2 = 1的点处的切线斜率为1,因而该点处法线的斜率为一1,于是所求的法线方程为
π
y-In√2=- ( x一 ),
y — \n^2 =— (z -于),
4
π
+In√2.
即y+x=
即 j/ + x = -4j- + In>/2.
lf== = = = = = = = = = = = = = = = ~ = - = - = - = -=：-'?T'= = = =! = = ~ = = ~~~!：,= -= n]
【评注】 本题主要考查导数的几何意义和参数方程求导法.
" 【评注】本题主要考查导数的几何意义和参数方程求导法. "
44 ..【【答答案案】】 一-22..
【
【解
解
析
析
】
】
由 曲
由
线
曲
v
线
=
y =
/(
f
x
(x
)
)
与
与
y
y =
=
x 2
x
-
2
x
—
在
x
点
在
(
点
1,(0
1
)
,
处
0)
有
处有
公
公
共
共
切
切
线
线
知
知
f/((I1)) == 00,,f/((11)) ==( (22xx--1 1)) I| , - =] , = =1 1 , ,
-2
(1+ )
则1而疗(n圣)=1血宗 • ” + 它)-f竺(1) =-2/(1) =-2.
则limnf ( )= lim —2n n+2 =-2f(1)=-2.
n +2 n+2 -2
→
n-*
0
o
0
o \Tl i- Z / →080 n i- Z Z
n+2
n + 2
四四、、函函数数的的单单调调性性、、极极值值与与最最值值
圈1③
(
(
20
2
1
0
0
1
,
0
1
,
6
1题6题)【解)【】 解函】数函
/
数
(x
f
)
(的x)定的义定域义为域(一为8(,-+,8+)),,且且
2 。dt — - 2te'dt,
ff((jcx)) ==x x22J e" dz — j te~'2 d—t,
1 1
—
ff( (x工))== 22xzj e e ~ 2 ,2 d d t t + + 2 2 x x 3 3 e e~ - x 1 * - — 2 2 x x 3 3 e e- - ^ 1 4 1 = = 2 2 x xJ d e~ t ,2 d , t,
1
令令ff( (x工))==0,0得,得x=x0 =,x 0=,±x =1,±列 1表,列如表下如：下：
x -1 0 1
((--0o0o,,--11)) _ 1 ((--11,,00)) 0 ((00,,11)) 1 ((11,,4+-c0o0))
X
+
+
f'(x) 0 0 0
f' (x) — 0 + 0 — 0 +
f f ( ( x工) ) 极极小小 极 极 大 大 极 极小 小
由由以以上上表表格格可可知知,，，( f
z
(
)
x单)单调调增增加加区区间为间
(
为
-b
(-
O
1,
)
0和)和(1 (1
,
,
+
+
8
c));；f尸(x(了)单)单调调减减少少区区间间为为((―一8c,o, —-1
1
)
)
和和((00,,11))..
/(x)的极小值为，(± 1) = £ ((11 -—t Z))ee1"/2d dtt= =0, 0极,极大大值值为为f /((00)),,
f(x)的极小值为f(±1)=
te-'dt = te~'dt = 1 (1- 1 )
f /( ( 0 0 ) ) = = 一 — f te~lZ dr = f te~'2 = — e
2
0
· 45·
,45・数学历年真题全精解析·提高履(数学一)
►► 数学历年真题全精解析• ■（数学一）
【评注】本题主要考查变上限积分求导和定积分计算，以及求函数单调区间与极值的方「
【评注】 本题主要考查变上限积分求导和定积分计算，以及求函数单调区间与极值的方
,;法法.考.考的的是是基基本本内内容容和和常常见问见题问，题但.但该该题题的的得得分分率率并不并高不，高考，考生生的的主主要要问问题题是：是：
：
g
li 2 II
: ①①不不能能正正确确求求出出/? （ (Xx ） )== 22x^ ee~2,d2td是z是最最普普通通的的错错误误。. :
: ②②部部分分考考生生由由于于粗粗心心只只求求出出一一个个驻驻点x点 =x =00,,漏漏掉掉了了驻驻点点rx==±±l1.. :
③③部部分分考考生生不不能能正正确确表表示示单单调调区区间间，，将将单调单增调加增区加间区写间成写了成
（
了
-1
(
,
-
0
1,
）
0
U
) U
（
(
1
1,
,+
+o
8
o)）,
,
单单调调减减"
:少少区区间间写写成成了了（一(8-,o ,—- 11)） UU( 0（,01,1).）. '：
I!___________________________________________________ -_________ -____________________ J
([2E0（1240.114,61题6题)）【【解解】 】方方程程丁y3++工xy/2++工x22、y++6 6= =0两 o端两端对对x工求求导导得得
3y2y1+y2+2xyy'+2xy+x2y′=0
3】勺'4-jz2 + 2xyyr + 2巧 + x2y = 0 (（11)）
在在(⑴1式)式中中令令寸y=′0=,0得,得丁 y+2 +22xyx y== 00,,由由此此可可得得y y== 00,,jy/ ==-—2x 2,了显,显然然yy= 0=不 0满不足满足原原方方程程..
将将 yy ==-—2x代代入入原原方方程程 yy3 3++ 巧xy22 ++了x22丁y ++6 6= =0 ,0得,得-一6x63F+ +6= 60 =,解 0,得解得x? x=0 1=、 1f/((11)) ==-—2、2、/f((11)) ==0 0..
对对((11))式式两两端端再再对对zx求求导导得得
6yy'1+3y2y"+4yy'+2xy12+2xyy"+2y+4xy'+x2y”=0
6无，2 + 3^2 v，z + 4yy , + 2xyf2 + 2xyyH + 2jy + 4书'+ x1 y = 0
4
将将 xr= =1 、1 Jf((l1)) ==-一2、2、了/'((11)) ==0 0代 代入入上上式式得得 子/(I()1 )== § >>00..
9
则则函函数数、y==f /('x&)）在在x=h 1=处
1
取处得取极得极小小值值，，且且
/
f（(
I
1
）
)
=
=-
-
2
2
.
.
105§(（2200171.72,2题题)【）【答答案案】】 CC..
【【解解析析】】(（方方法法一一)） 直直接接法法
由由 /f（( j x）)/f（( x x）) >> 00知 知
[ 1 ]
[+子尸(x&)）了 ==f (x)?(x)>>0 o,,
2
1
则则+ ? 尸 (x & ) ） 单 单 调 调 递 递 增 增 ， ，从 从 而 而 尸 f （ ( 了 x ） ) 单 单 调 调 递 递 增 增 ， ， 由此 由 可 此 知 可 尸 知 （ f1( ） 1 > )> 尸 f( （― -11) ） ..
2
上上式式两两端端开开方方得得
lI f/((11))|1>>11 f/((--11))1I..
((方方法法二二) )排排除除法法
1
若 若取 取 / f ( ( X x ) ) = = e e ' '， , 则 则 / 了 '(z ( ) x = )= e e r ' , f , (. f jc ( ') x f ) '(. f x ( ') x = )= e e 2< 2 > ^> 0 0 , , / f (1 ( ) 1 ) = = e e , ,/ f ( ( — - 1 1) ) = =—e,
e
显显然然 /f(I()1 )>>/f((--11)),, II f/((I1)) ||>>1| f/((--11))1 .I.
由由此此可可知知，,(B(B))((DD))选选项项是是错错误误的的..
1
若 若取 取 f( f .j ( c x ) ) = = — - e er ' ， , 则 则 f' 了 (.x ( ) x = ) — = - eJ e , ' f( , j f c) ( f x r ) (j f c) ( x = ) e = 2x e 2 > > 0 0, ,/ f (l ( ) 1 ) = = — - e e , ,/ f ( ( — - 1 1 ) ) . = ..- - ---e.
e
由由此此知知，/(fI()1 )< =1, = 0.
①①式式两两端端再再对对工x求求导导得得
6 6j x : + + 6 y 6 ( y y (y ' r ) ) 2 2 + + 3 y 2> 2 y2 y y ” " + + 3 ^y y " ” = = 0 0 ② ②
x=1, x=-1,
{•27 = ] {/ ，—]
将 -,'―八’及及 yJ′ == o0 代代入入②②式式得得 /y(°I)( =1)-= 1- 1<< 00.,y/”(-( 1-)1 =) =22 >>0 0,,
y V = = 1 1 . , Iy、 == 00
·. 4466 ·.第二章 一元函数微分学
第二章 一元函数微分学 4
则y=y(x)在x=1处取极大值，y(1)=1,在x=-1处取极小值，y(-1)=0.
则y — 7（z）在z = 1处取极大值,_y（l） = 1,在z =— 1处取极小值,、（一1） = 0.
1囱7(2200119,92,2题题)【）【答答案案】】 BB..
【［解解析析】】 lliimm £f(0x）)-x --f 久 (O ° ) ）== lliimm x 足 l 1 n 1 x z x -- - -- 0 - == lliimmIln nxx ==c 8o,,
→0+ x→o+ o+
Z Z
l（）+ l（）+ x-*0+
则f+(0)不存在，从而x=0是f(x)不可导点.
则f'+（0）不存在，从而X = 0是f（H）不可导点.
又又在在xx == 00的的左左半半邻邻域域/（Xf）(x=) I= x| |x x||<<00 ==f (/0（0)）,,在在zx ==0 的0的右右半半邻邻域域/"f（工(）x)==rxlnl nIx <<
0
0
=
=
f(
/
0
（
)
0
,
）
则 ,则f八(x
z
)在 ）在x=
x
0 处
=
取
0处
极
取
大
极
值
大
，
值
故 ，故应应选选(（B
B
)
）
.
.
1［E8(（22002211,1,l题 题)【）t答答案案】】 DD..
【解析】 由导数定义知
【解析】由导数定义知
e2-1
^zl--1i
x e3—1 —x
/fC(O0)）= = l liimm =-x--------== llimim e' — x Q 2
0 JC →0 X
■r—0 = .r—0
e2—1 1
= l］i.m eJ ~ 1 1
=四二2厂x =万2
→0
故故应应选选(（DD)）..
1.【答案寸e
1 ,
【【解解析】析因为y=1=『x2（(221nl nzx ++ 22)）,,令令Jy′ == 00得得驻驻点点工x==§
e
,
当当x工∈£ ( （0°,，§ 1
e
) ）时时,，:/y<′0<0以,y（(工x)）单单调调减减少少；；当当x*∈£ ( （§e 1 ,门1 ] ］时时，，Jy>′O>0,，yV(（xz)）单单调调增增加加，，
则
则j
y
»（
(
x
x
）
)
在
在
工
x
=
=
*e 1 处处取取到到区区间间(（00,,11)］上上的的最最小小值值，，最最小小值值为为yV (（ +e 1 )） = = e e 2 ^' ·
1-x2
22..【【解解】 】由 工由'+x2 y+2yy2' y='= 11 -—y j'Z, ,得得yJ′ ==
1
?
+
工
y
*
2
/.
,
令
令
）
y
'
′
=
=0
。
,
，得
得x
=
=
士
±1 ,
1
且
,且
1 +、
当当 *x<<-一1时1 时，,yy' <<0o;；当当一-1 1<〈x<工1 v时 1， 时y,'y> 0>;o当；当x>工1〉时1， 时y，′丁 <<0o..
所以，函数y=y(x)在x=-1处取得极小值，在x=1处取得极大值.由方程x2+y2y′=1-y′得
所以，函数丁 = y（x）在x =— 1处取得极小值，在X = \处取得极大值.由方程 jc2 + y2y = \ — y得
(（11++yy2)y′ == 11-—x2了,2, ①①
手 了
］(（11++y丁2)）d心y == j(（1l--xx22)）ddxx,,
x3+y3-3x+3y= C.
j? + ,3 一 3z + 3、= C.
由由）y（(22） )== 00得 得C C= =2 .2.
x3+y3-3x+3y=2, ②
j? +— 3了 + 3了 = 2, ②
由由②②式式得得 火y(一-11)） ==0 0,,y火(11)） ==1 .1.
33..【【答答案案】】 BB..
【【解解析析】】(（方方法法一一)） 直直接接法法
由f(x)在x=x。处有2阶导数知，f(x)在x=x。处连续，又f(x?)>0,则在x。的某邻域
由/（x）在x = x0处有2阶导数知，/■'（*）在x = x0处连续，又/（x0） >0,则在*。的某邻域
内内f/(x（x)>） 0>,则 0在,则该在邻该域邻内域f内(x/)（单x）调单增调，增故，故应应选选(（BB).）.
(（方方法法二二)） 排排除除法法
令令六f(工x)）==x工3,3显,显然然f六(x工)）=x=3工在3x在=0x处 =2 0阶处可2导阶，可导且，在且x在=0工的=邻0的域邻内域单内调单增调加增，加，但但了/(（00）)==
·47 ·
. 47 .► 数数学学历历年年真题真全题精全解析精·解提析高篇■(（数数学学一一)）
00,,则则排排除除(（AA)）..
令f(x)=x',显然f(x)=x'在x=0处2阶可导，且在x=0的邻域内是凹函数，但/”(0)=
令/（x） = ±'，显然/（x） = x'在x = 0处2阶可导，且在工=0的邻域内是凹函数，但/7（0）=
0
0
,
,
则则排排除除（(
C
C)
）.
{ 1 1
2 x2+2x'sin x,x•≠X 夭0 0, ,
令令，f（(工x）)== 则 则
0, x=0,
0, 1 = 0,
{ 1 1
x+8x3sin —2x2cos x, x≠0.
, x + 8jt3 sin -x----2x2 cos — •z 关 0,
f/((]x))==< z z
0, x=0,
、0, z = 0,
{ 1+24x2sin 1 —12xcos 1 —2sin 1 , x≠0.
,, 1 + 24jc2sin —x — 12j?cos —x — 2sin —x , z 尹 0,
”/(x(x)) == < z 工 工
1, x=0,
.1 ♦ z = 0,
1
] 24
子 /( ” 0) ( 0 = ) = 1 1 > > 0 , 0 f” ,/ 2
2
n
zm
π
+
+
-
π
2 y
=1 1 十 H--
(
-
"
-
2
--
n
-
十
-
π
---
+
--
号
π--
)
-
)
-22 —-2 2< 0V, (0n,充(〃 分充大分大)。)・
2
则则f/(（xx)）在在x=z0 =的 任0的何任邻何域邻内域都内不都是不凹是函凹数函，数排，排除除(（DD),）故,故应应选选(（BB)）..
五五、、曲曲线线的的凹凹向向，，拐拐点点及及渐渐近近线线
1[9E(2（021011,11,题1题)【）【答答案案】】 CC..
xy
【【解解析析】】（(方方法法一一） ) 图 图示示法法：：由由曲曲线线方方程程）y= =&(x ——11)）(&x—一 y
22)尸2(&x一-33)）33(愆x-一4)4?）可，可知知，，该该曲曲线线和和了x轴轴有有四四个个交交点点，即，
h
即=x =11,,了x ==2 2,,
2 3.
xw= =3 ,3x =4=,且 4,在且x在=2z取 =极 2大取极值大，值x=,*4 取= 极4取小极值小，值则，则拐拐点点只只能能在在另另 —一 x
0 4
外外两两个个点点上上，，由由右右图图不不难难看看出出（(33,,00)）为为拐拐点点，，故故应应选选(（CC)）..
(（方方法法二二） ) 记 记 g（gQ(x )== (&x-—11)）(（x了-一2)22）2(&x- —4 )4'）,',则则
y>= =(x（—x-33)3）3gg(（xx)）.
设设gg(（zx)）在在x*= 3=处 3的处泰的泰勒勒展展开开式式为为
gg(（xx）) == aa0? ++ a q ? i（( z x —- 33)） ++… …
则则yy ==a ?Q(o（xz- —3) 33尸+a+;(x（-«r3 —) ?3+T… +,…由，该由该式式可可知知
yy"z（(33）) ==0 ,0y,j"/"(（33)）= = a oa0· ・ 33!!≠尹0 0..
因因为为a角o==g(g3)（3≠）0丈,由0,拐由点拐的点第的二第二充充分分条条件件知知(3（3,0,0)）为为拐拐点点..
2巫0(2（201021,21,1题题【）【答答案案】】 CC..
x2+x x2+x
【【解解析析】】 由由lliimm yy == lilimm 七 * f ==1 =1 =l ilimm 七 * f == l】i血m yy ==1 ,1,
+x2-1 xJC2-1 →-
十X->4-oo +oo 1 If—S 1 x-»—OC
得得y>= 1=是
1
曲是线曲的线一的条一水条平水渐平渐近近线线且且曲曲线线没没有有斜斜渐渐近近线线..
x2+x
由 由 lliimmyy == lliimm 号土f == 8,,得得x=x1 =是 曲\是线曲的线一的条一铅条直铅渐直渐近近线线，,
x2—1
→1” 1 →X—11 x — 1 =
x2+x 1
由 由 l li i m my y = = l l i im m 七十f ■ , ，得 得 工 x= = - 一 1不 1是 不 曲 是 线 曲 的 线 渐 的 近 渐 线 近线 ， ,
x2-1 2
·-1 →-1,JC — 1 Z
x-*-l X—-1
所所以以曲曲线线有有两两条条渐渐近近线线，，故故应应选选(（CC)）..
21(2（201041,41,1题题【）【答答案案】】 CC..
1
xx+ + s siinn x l
【解析】(方法一) 由于lim f(x) = lim =1 =a,
【解析】（方法一） 由于lim x = lim------x------- = 1 = a,
→ X-* 0 o 0 o JC 0 X
·・4
4
8
8
·
-第二章 一元函数微分学
第二章一元函数微分学
1 —x 1
lliimmE[/f((Jrx)) —-a oxr]]= =l ilmim| ( (j x c + + s i si n n —x — )== l → liimmssiinn —x == 00= =b 6,,
■
→
Tf
0
8
0
H→—800 \ JC / .r-* X JC
1
所所以以曲曲线线;yy = = Xx ++s isinn —x 有有斜斜渐渐近近线线yy ==x ,z故,故应应选选((CC))..
x
1
( ( 方 方 法 法 二 二 ) ) 考 考 虑 虑 曲 曲 线 线 > = y= x x + + s i si n n —x 与 与 直 直 线 线 y = = x x 纵 纵 坐 坐 标 标 之 之差 差 在 在 z x → -► c 8 时 时 的 的 极 极 限 限
x
l li i m m ( (z x + + s s i i n n —x 1 工— x\ ) = = l l i im ms s i i n n —x 1 = = 0 0 , ,
JC / JC
_r-»8 \ j—*^o
1
则则直直线线y y== x是是曲曲线线jy y== xx+ +s isinn — x 的的一一条条斜斜渐渐近近线线，，故故应应选选((CC))..
jc
x
~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ - ~ ~ ~ ~ ~ ~
【【评评注注】 】 由 由渐渐近近线线的定的义定可义知可，知直，线直y =线 ya=x a-r\-+bb是是曲曲线线yy ==f (/x（) j?的）的渐渐近近线线的的充充要要条条件件是是：
lim[f(x)-ax-b]=0,方法二直接利用了该结论.
:lim[/（x） — ar — b~\ = 0,方法二直接利用了该结论.
L - = = = = = = = = = = = = =二= = = = = = = = = = = =二二= = _ = = =====；三===』
y
2圉2(（2200115,51,1题题)【）【答答案案】] CC..
【 【解 解 析 析 】 】由 由 图 图 知 知 ， ，/ f （ ' 刀 (x ） ?) = =? / ( ' x （ ? 工 ) 2 = ） 0 = ,f 0 ” ，/ (0 '（ ) 0 不 ） 存 不 在 存 ， 在 其 ，其 余 余 点 点 上 上 二 二 阶 阶I f " ( X x) /
导导数数f广”（Q(x)存存在在且且非非零零，则，曲则线曲＞线 =y=/f（(xx）)最最多多有有三三个个拐拐点点，，但但在在x =x= xx?,的的\ / /
两两侧侧二二阶阶导导数数不不变变号号，，因因此此不不是是拐拐点点；而；在而h 在=x0=和0和x x== xx?2的的两两侧侧二二阶阶导导数数 \ / /
变变号号，，则则曲曲线线y y==f /(x（)x有）有两两个个拐拐点点，，故故应应选选(（CC)）.. —
x? 0
Zc
x
2-
?
-------\x
妒解题加速度 I
解题加速度
1.【答索】C
].【答
【【解解析析】 在在关建系i式式f(+x)+ [[，f'（(工x）)了] 2== _xr中中令令工x==00,,得得/f'(（00）) ==0 0,,
等式f”(x)+(x)]2=x两端对x求导得
等式f （X ]2 = h两端对x求导得
f(x)+2f(x)f'(x)=1.
+2/（x）/（x） = 1.
在在上上式式中中令令
x
x
=
=0
0
,得 ,得f广(0
（
)
0
=
）
1
=
≠
1
0,
^
由
0
拐 ,由点拐的点第的第二二充充分分条条件件得得(
（0
0,
/
f
（
(
0
0
）
)
）
)为为曲曲线线＞ y==f
/
(
（
x
x
)
）
的的
拐拐点点，，故故应应选选(（CC)）..
" 【【评评注注】 】从从题题设设可可知知/'f（( h x）)的的三三阶阶导导数数存存在在，这，是这因是为因，为（工f）(=x)-=[-[/f（(工x）)了]2++工x右右端端可可导导.."
II II
|＞ 设设 /f"'(（血x。）=)=/f"（(£＜x＞）。=)=……==f-1(（x工?0)）==0 ,0但,但f(x?（)了≠0）0尹( n0≥（" 22) ,2则）,则：： 'I
: （(11-）)当当nn是是奇奇数数时时，，点…点（z(。x，?/,（fJ：(。x））?)为)为曲曲线线、=y=f，(（x*)）的的拐拐…点点.. :
: （(22）)当当”n是是偶偶数数时时，，工x=工=x。。为为函函数数/Xf(z）x)的的极极值值点点，其，中其当中/当＜n,f（x(ox）?)＜< 00时时，，*x ==女x。为为八f了(x）)：
",
的
的
极
极
大
大值
值
点
点
，
，
当
当
产,
f（(
X
x
o
?）)
＞
>0 时
0时
，
，•
x
！
=
=
x。
工0
为
为
f(
/
x（)
X
的）的 极
极
小
小
值
值
点
点.
.
J
22..【【答答案案】】(（一-o 8o,,1=1)(）或（或(-（一o∞8=,,11)])）..
dy 3t2—3 t2—1 -2
由于卜沼=导 =1+ 一2 ,
【【解解析析】】 由于 dx =3t2+3 2+1
·
1 +
=
t
〃
2
+
+ 1
1
d d2 2 y y d d(/1ii+ - — 2 2\) 1 1 4 4z t ,
d dx x 2 d d t t\ t r2 2 + + 1 1 / d dx x 33((fz2 2++ 11))3
dt
dt
d2y
由由题题设设知知! 尝 03 ,>则 0x,(则t)x是(tt)的是单t的调单增调加增函加函数数，,
dx2
ax
…………… ……
xx((00)) ==1 1,, lliimm xx((it) )== llimi m(i(3 t+3 3+r3 +t +1)1 )==—-c8,,
→-
YX--=*—oo
故故xz的的取取值值范范围围为为(一(8-,,11))((或或((一-8,1,1))].)・
·49 ·
・49・►
数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析·-提提高高篇篇(（数数学学一)）
33..【【分分析析】 】 问 问题题的关的键关，键是，要是确要定确在定x 在= x1=1附附近近函函数数yy == y火(xz)）的的二二阶阶导导数数y”加(x)）的的正正负负..
【【解解】】（(方方法法一一） ) 方 方程程J^lyn lyn — y x- x++ yy ==0 两Q两端端对对x求z导求导，，得得
y'ln y+2y'-1=0,
y\n y + 2yf — 1=0,
1
解解得得yJ′ == 混—，,再再对对Zx求求导导得得
2+In y
-y′ =
y”= -1
〃 _ — _ ____— 1____
y(（22+ +1n I n yy)）22 yy(（22 ++1 nIn yj/)）33*
1
将将(（zx,,jOy) ==( 1（1,1,1)）代代入入上上式式得得yy "l|>,=-i ?==—- g >0 ,0从,从而而f/((xx)单)单调调增增加加..
又因为f(0)=0,所以，当-10,
又因为 f' (。) = 0,所以，当一 1 Vr V 0 时，/(X)<0；当 0 Vz V 1/(*) >0,
于于是是/f
'
((0 0))=
=
0 是 0是函函数数f(成x)&在)在(-
(
1
-
,
1
1
,
)
1
内
)
的内的最最小小值值..
1+x x2·
从从而而当当 一- 11 V
≥
0
0口,x ∈€ [
[
0
0
,
,
1
1
]
)
.
.
1+x 2x
由由于于 f?'((x
t
)) == IInn ?土 x 十+ 厂
1-
匹
x2
-—s siinn xx- —x ,xx^∈x £( 0(,01,1))..
1—x
1+x
Ilnn|^ >>0 0,,
1—x
1 — x
2x
>2x=x+x>sinx+x,
- 1 - - -- x - 2 «〉2z = z + z > sin z + z,
1 —
从而有了(x)>0,x∈(0,1),又f(O)=0,则
从而有 f'3 > o,x e(0,1)，又 /(O) = 0,则
f(x)≥0,x∈[0,1].
y(x)2 o,工 e [o,i).
1+x
x2·
从从而而当当—-11 <
≥
0
0时时，，曲曲线线
v
y
=
= f
/
(
(
x
x
)
)
在在区区间间[
[
0
0
,
,1
1]〕上上是是凹凹的的，，曲曲线线
jy
y
=
= f心(x)应应
位于过两个端点为(0,f(0))和(1,f(1))的弦y=f(0)(1-x)+f(1)x的下方，即f(x)≤g(x).
位于过两个端点为(0/(0))和(1,/(1))的弦y = /(0)(l-x)+/(l)x的下方，即/(x)
0
0
时 时，,/广(x&))单单调调增增加加， ，/?((£e))
〈
≤/?((η/),,从从而而当当
了
x £∈ [
[0
0,
,1
1]
]
时时，
，F
F
(h
(x
)
)
<
≤
0
0
,
,即即
/
f((X x))≤
<
gg((x7)),，故故应应选选((DD))..
、/1解题加速%
解题加速度
f(x)
11.. 【证刚具方法一—)) 由由于于l→liimm 』'
>
0 ,
0
则
,则
f (
/
x(X ))≥x.
((方方法法二二)) 同同方方法法一一，，由由 lliimm f f( 3x x) == 11得 得，,ff(0()0 )== 00,，fr''((00)) ==1 1,则,则
→0 X
x-0
ff( (工x))==f/((xx))- —f (/(00))= f=( cf')
(
x
c
,
)j
(
c,
c
(
介c 介于于0。与与x z之 之间间))
由由于f于”(x)>>0 o,,则则ff(x')s单调单增调增加加，，
若若 xx >>0 ,o则,则 fr((cC))>>f (r0()0=)1=, 从i,从而而f (fc()x)≥ 2f，''((00))了x ==x x,,
c jc
若若 1x 0,则F(x)单调增加，从而x=0为F(x)唯一的驻点，
又尸'&) = /(t) > 0,则F'(z)单调增加，从而h = 0为F(x)唯一的驻点，
又又Fr“(0()0 )== f/'”(0()0 >)> 00,,则则FF((xx))在在xx= 0=处 0取处极取小极值小，值，
且且^x ==0 为0为F(Fx&)在)在((-一o,8+,)+上8唯)上一唯的一极的值极点值点，，则则有有FF((00))为为FF(( h x))在在(一(-8 , +,+8)上)上的的最最
小值，又F(0)= f(0)-0=0,则对一切x有f(x)≥x.
小值，又 F(0) = /(0) -0 = 0,则对一切了有/■(£)
((方方法法四四) ) 由由f/”z(x()x )>>0 0知知，，曲曲线线yv= f=( x/)(是x凹)是的凹，的则，则曲曲线线在在其其任任一一点点的的切切线线上上方方..
f(x)
由由lliimm 』xW- ==1 知1知，,/f((00)) ==0 ,0f,/(z0()0)= 1=, 则1,曲则曲线线在在(0(0,0,0))点点的的切切线线方方程程为为v y== xx,,
→X—00 X
从而有f(x)≥x.
从而有/(^) 2 X.
—
22..【【证证明明】】 先先证证右右边边不不等等式式..设设
x一a
φ(x)== IInn xx —-I Inn aa —— ((xx >> aa >>0 0))
√ax
y/ax
因为
因为
′州(x))== -x
1
- √
1
a
(
2
土
√
1
x十
+_
2x
a
√x
) =— ((妇
2
√
x
x
√
一-√
/
插
—a
a
x
)) 2'
< v 0 o , ,
T X 2 V7 2 2x y/ax
故故当当xx>>a时 a，时φw((zx))单单调调减减少少..又又
q
φ(q)( a=) =00,所,所以以当当x x>> aa时时，寸g((zx) )<<φ(p((aa)) ==0 0,即,即
x—a
In x— In a<
In x — In a >aa时时，,IInn 6b-- IInn a a<< 吁兰,，即即
√ab
Vab
。52 ·
-52・第二章 一元函数微分学
第二章一元函教微分学 ◄◄
In b-In a 1
In ♦ — In 一 a>0).由拉格朗日中值定理知，至少存在一点E∈(a,b),使
(方法一) 设函数户(工)=ln*w>a>0).由拉格朗日=中值定理知,至少存在一点£6 (a,b),使
In b—In a 1
mj — mw ==(I(n] nx”)' |
b —a r=8 5
—2
rt — n
1 1 2a
由由于于 0 0 V b > a■—2 +b2,7 , ， 从 从 而 而
亦E b a' + b-
In b — In a 2a
ln - — In • >f 2-
b—a a2+b·
b — a a2 + 62 *
((方方法法二二) )设 /设(xf)( =x) (=x(2 x+2a+2a)2(l)n( xI n—x I-nI an)a —) -22a(aj?( —x- aa))((xx>>aa >>0 )0,)因,因为为
----------------- 1
—2a
f f ' ( ( x工) ) = = 2 2 x x ( ( I ln n x a: - — I I n n a a ) ) + + ( x (j 2 c2 + + a 2 a2 ) ) —x — 2a
x
(x—a)2
>0,
= 2x(In x-In a)+ x
=2j?(ln x — In a) + -------> 0,
x
故故当当1x>>aQ时时f(/x()X单)调单调增增加加..
又又 f
f(
(
a
a
)
) =
=
0
0
,
,
所
所
以
以当
当工x >
>
a
a
时
时
，
,，
f
(
(
]
x)
)
>
>
f
，
(
(
a
。
)
)
=
=
0,
0
即
,即
(x2+a2)(Inx-In a)-2a(x-a)>0.
(x2 + a2 ) (In jc — In a) — 2a{x — a) > 0.
从而当b>a>0时(a2+b2)(Inb-Ina)-2a(b-a)>0,即
从而当 b>a > 0 时(a2+62)(ln^-ln a) -2a(6-a) > 0,即
2a In b— In a
2〃 >f(
f
π
3
)
)
= 0
=
, x
0
∈
,x
(
£
0 ,
(
π
0,k
)
)
.
.
因因此此，/(f]()x)在在[0[,0招,π上]单上调单增调加增，加当，0 V当。0> ff((aa)),,即即
bsin b+2cosb+πb>asin a+2cos a+πa.
6sin b 4- 2cos。+ 穴。〉asin a + 2cos a + na.
七七、、方方程程根根的的存存在在性性与与个个数数
3235((2200111 1>,171 题7题)【)解【】解(】方法(方一法) 一令 )/令(xf) (=x )A=a rcktaanr zc t—aznx,则-x f, (则工)f是(x()一是8(,-+, +8))上上的的奇奇
函函数数，，则则其其零零点点关关于于原原点点对对称称，因，因此此，只，须只讨须论讨/论(xf)(x在)在[0(, 0+,+8c))上上的的零零点点个个数数..
k k-1-x2
又又/f•((00))==00,,小f(x)==击一-11 ==化声.
1+x2 1+x2
(1)当k-1≤0,即k≤1,f'(x)<0(x>0),f(x)在(0,+c)上无零点.
(1) 当龙一 1 <0,即&0),/(x)在(0,+8)上无零点.
(2)当k-1>0,即k>1时，在(0,√k-1)内f(x)>0,又f(O)=0,则f(√k-I)>0,
(2) 当 k-i>0,即&>1 时，在(o, JT=T)内 /(X)>0,又/X0)=0,则 /(>0,
在在(√(=k-T1, ,++o8o))内内 /f((xx)) 数数学学历历年年真题真全题精全解精析·解墨析高■篇((数数学学一一))
综综上上所所述述，，当当4k <≤ 11时时原原方方程程有有一一个个实实根根，，当当Ak >>1 时1，时原，原方方程程有有三三个个实实根根..
((方方法法二二) )ff(Jx))= =k a^racrtcatannx -xx —是 x奇是函奇数函，数只，只需需讨讨论论f(fxS)在)(在0,(0+,c o+)°内°的)内零的点零个点数个，数为，为此此，，令令
x
gg((zx)) == a-r-c--t-a-n- --x-----kb,x∈£( 0(0,,+ o+∞ oo))..
arctan x
gg((xz))与与ff((xj)c在)在(0(,0+, c+o)8内)零内点零个点数个相数同相同，，又又
x
JC
aarrccttaann xx 一— ；1―+:——x2« =
g'(x)= ((11 ++x f2) )a arrccttaann z x—- xz
g ⑴ _ —(arctan K
(arctan x)2 ((11 ++x2 x)2( )a (racrtcatann x j ) t)22 '
令令φ(p(j(c)x )== ((11 ++x
jc
22 ))aarrcctatna
j
n
c
—x- zx,,则则 妒q((zx)) ==2 2xzaarrccttana nxx >>0 0,,xjr∈ £( 0(0,,+ +o oo)o.).
φ所(o()0)== 0o,,则则<φp(x()x>)> 0o,,从从而而gg''a(x))>> 0o,,gg((xz))在在((o0,, ++) o上o)单上调单增调加增加，，又又
x
l li i m mg g ( (j x r) ) = = l x l → i im o m + ( a — a r r c c t ta a - n n - - x x - 一- 时k) / ==11 —_ k4,,
r-*04 x—0F
x
lliimm ff(x(x)) == lliimm (
a
-
r
-
ct
X
a n
-
x
—一 kQ) ==+ +0 08..
→+0 arctan x /
_r-»+8 →j—十
((11)) 若若kk≤ <1 l,,gg(&x))在在((00,, ++c)8无)零无点零，点原，原方方程程有有唯唯一一实实根根xx ==0 0;；
((22)) 若若k&> >1, gl(,gx)(在z)(在0,(+0c,)+内8有)唯内一有零唯点一，零点原，方原程方程有有三三个个实实根根..
2垂6((22001177,,1188题题))【【证证明明】】((II ))由由lliimm 也 f(
x
x) >00,在,在( ( 00,,ee))内内区f
x
(x玫)
L0 卜 H Z
<
V
0,
0
则 ,则存存在x在?∈e(0(,oe,)e使)使f八(x?⑥)<)0
V
,又
0,
f又(1
f
)(>
l
0
)
,
>
由
0
连 ,由续连函续数函零数点零定点理定知理至知少至存少在存E∈在((x乃;,1，1)),,
使使/f((£e)) ==00,即,即方方程程ff((xz))= 0=在 0区在间区(间0,(10),内1)至内少至少存存在在一一个个实实根根..
((ⅡU ))令令 FF((xx)) ==f (x)f(x),则则
FF''&(x)) == ff(x3)"g(x)) ++[ ?L(/x()
jt
])]22
→
f(x)
又又由由lliimm久归存存在在，，且且分分母母趋于趋零于，零则，lim则/l(xi)m f=( x/)(=0f)( 0=)0=0,,又又/f'((£e) )== 00,,
x
→0
a—0+ Z X—()+
由由罗罗尔尔定定理理知知存存在在7en∈(o(,0f,)),使,使E/()n)==0 o,,
则则 F
F
(
(0
0
)
) =
=
f (
y
O()
o
?)/ (0()
o
=)0
=
, F
0
(
,
η
F(
)〃=)f
=
( η
f5
))f
f
(
'
η
5
))=
=
0 ,
o
F
,f
(g(q )= f
=
(
/
e)($ f)’
/
((? e))
=
=0
o
.
.
由由罗罗尔尔定定理理知知存存在在申ηe∈((o0,,7η),)使,使FF'(′.()η= )o=,0存,存在在邛xe∈ (
5
η，
e
,)é，使),
f
使'(F恰(η)=)=o0,,即即小η和和η牟是是
方方程程
yf((xx))/f,”/(x()x+) +[?(x)]2== 0o
的的两两个个不不同同的的实实根根，，原原题题得得证证..
解解题题加加速速度
1 1..【【答 答厕
1
1
【 【解 解 析 析】 •f tx ' ) )= X |x +1x X ——c cooss Xx,,则则f/((xX))是是偶偶函函数数，，因因此此，，只只需需讨讨论论/f((Jx-))在在
= I I <■ +|
((00,, 4+o-oo)o内)内零零点点的的个个数数..
+π
注注意意到到 /f(0()0 )==--1 1< <0, 0f(,/π(7)t)==π耕 +岳 x 4 - ++ +1 1> >0 ,0且,且
1x1 1
ff( (x工))== 才了一* 十 + + + s i si n n x 工 > 0 > , x0∈,z (C0 , ( π 0 ,t)t,),
4 2
则则f/((xx)在)在(0(,0π,n))内内有有且且仅仅有有一一个个零零点点..
当
当x
x>
>
π
it
时
时,
，
y&
f)(x
=
)
1
=
1
|
1
x
+
l
+
+
|
+
h
1 x
仔
l
—
+-
c
c
o
o
s*
s
>
x>
耕
x+
+
+
汗
x+
+
+
+
1>
1
0
>
,
0
则
,则
f(
y
x(r ))在
在
(
(o
0
,
,
+
+ )
8
内)内 有
有
且
且
… ………………… ………
仅仅有有一一个个零零点点，故，方故程方I程工||+x l+|+ +_1r x| l土+一- ccooss xX= =0在 0(在—(一0,8+c,0+)内8有)内且有仅且有仅两有两个个实实根根..
·・5
5
4
4
·・—
第二章 一元函数微分学
第二章一元函数微分学
22..【【分分析析】 】问 题问等题价等于价讨于论讨方论程l方n4x程-I4n11nx-x4 +ln 4x+x4-x^- k== 00在在((00,,+十co8)内)内实实根根的的个个数数..
【【解解】 】 令 令9(φ了()x=) =W Izn '—x -441nl nre +x+ 44了x —一k如,则则
’(P ， ,( (j x t 、 ) ) = 4 4 1 - I -x n n - 3 - 3 j - x - - ----- 4 x4 -- - + - . - 4 4 . = = —x 4 4 ( /( I 1 n l 3n z 3 — x - 1 1 1 + +I x x ) ) . 、
XX X
显然，(1)=0,且
显然，妒(1)=。，且
当当00 )0 ,>φ0(,x甲)&单)单调调增增加加..
又
又
lliimm^q((x)x )== lilmi ［mI[n l式n比x(纭In一34x)- +4 )4+z 4—x妇-k]==++ o8,,
→
l
0O**
J-*O4
lim q(x)= lim[lnx(In3x-4)+4x-k]=+c,
lim(p(jc) = lim ［In x(ln3x — 4)+4z — k} =+8,
a—*4-oo
x→+00
φ
99(
(
1
1))
=
=
4
4 —
—
k
龙
,
,
则
则
当4-k>0,即k<4时，g(x)无零点；
当4一&〉0,即互<4时晔&)无零点；
当当44 -一k=龙0=,即0,k即=4&时 =， 4q时(x,甲)有(工)一有个一零个点零；点；
当4-k<0,即k>4时，g(x)有两个零点.
当4-友V0,即互>4时吟(工)有两个零点.
综综上上所所述述，，当当&k <<4 时4时，，两两条条曲曲线线没没有有交交点点；；当当互k==4时4时，，两两条条曲曲线线只只有有一一个个交交点点；；当当欠k>>4 时4时，,
两两条条曲曲线线有有两两个个交交点点..
4π
3 3 ..【【证证明明】 】令令 /( f( t x ) ) = = 4 4 a a rc r t c a t n a x n — x j - - x + + 3 一 — √ V3 3 , ,则 则
4 (√3-x)(√3+x)
-1=
f(x)=
7 b = 1i++x2P-1 = —1r++x^2~~.
----------
令
令
f
/■
(x
'
)
(*
=
)
0
=
,
0
解
,解
得
得
驻
驻
点
点
x工?
\
=
=
-√
—/
3,x、玖?=
=
√姬3.
. .
由单调性判别法知f(x)在(一，一√3)上单调减少，在[-√3,√3]上单调增加，在(√3,+c)
由单调性判别法知/(X)在(一8, —将)上单调减少，在［一疗,屈上单调增加，在［冲,+8)
上上单单调调减减少少..
因因为为f/((一-V√33)) ==0 ,0且,且由由上上述述单单调调性性可可知知f(/一(-√V33)是)是f(/x)(X在)(在一(c-o0,√0,37)3上)的上最的小最值小，值，
所以x=-√3是函数f(x)在(一∞,√3)上唯一的零点.
所以X = —73是函数/(x)在(—00,73］上唯一的零点.
又又因因为为/f■(√(屈3) ==2(2 ( 停 4π 一一√ 4 3))>>0,0且,且lilmimf (/x()x=)- =co—,所8以,所由以连由续连函续函数数的的介介值值定定理理知知f/((x*))在在
3
\ O / x-*+1>) ,1则),则f( /x()x在)在2上连上连续续，且，且
1 1
(1- )
=
/((|1)
)
= —2 ~g2" -_ 11 ==-— *1 V。/⑴="T > 0.
f( 2 1 2" <0,f(1)=n-1>0.
1-
1-T2
1 1
由 由 连 连 续 续函 函 数 数 的 的 零 零 点 点 定 定 理 理 知 知 ，方 ， 程 方程 心 f( x=)=00在 在(( 2 §,,11)) 内 内 至 至 少 少 有 有 一 一 个 个实 实 根 根 . . 当 当 ； x r ∈ £ (( 2 §,,11))时时，，
· 55 ·
・55・►►
数数学学历历年年真真题全题精全解精析解·墨析高■■((数数学学一一))
f/((xx)) ==n xn"r'-i 1++ (3n —-1 l))rx‘2T- 2--+--…-- +22xx ++ 11 >>0 0,,
1
故/(x)在((§,，11))内单调增加.
故f(x)在 2 内单调增加.
1
综上所述，方程/(，)= 0在(($,，11))内有且仅有一个实根.
综上所述，方程f(x)=0在 内有且仅有一个实根.
2
1
( ,1)
((Ⅱn))【t解解】】 由由x,∈6 (y»l)知知数数列列{Sx,,)｝有有界界，，又又
2
x;+x21+…+x。=1
7；； + 1；厂 ~\---- xn = 1
x?￥l+x?+?+x{+…+x…?=1
］川 + 工加 + H------ b J^n+\ = 1
因因为为Xx#S| >>00,所,所以以
x"+x21+…+x。>x;+x{+…+x+1
君 + 驾"I H------ jc,, > zZi + z# H---------F 石+i
于于是是有有x,>xm1,n=1,2,…,
即{x.》单调减少.
即｛.｝单调减少.
综综上上所所述述，，数数列列(sx,”}｝单单调调有有界界，，故故{ax。。}收收敛敛..
x。一x,+1
__ rrbl = 1,
记记。a==lilimmxz,”，,由由于于 x;+x?1++ •…•• ++ xx,n ==1 ,1则,则号
1
-
—
--
x
-
.
—=1,
→”一8 JC„
1 —
1 a
令 令 n→► 8 并 并 注 注 意 意 到 到! <0 +0,+所,所以以
x *0+
f-(0)= limf(e)= limf(e)= A
f- (0) = lim/($) = lim/^f) = A
+0*
0•叶r-0+ L0‘
故故 ff+、 ((00))存存在在，，且且 nf- ((00)) == AA..
((方方法法二二)) /f；- ((00)) == lliimm fg(x-)- x二f7(°0)) (
(
右
右导
导
数
数
定
定
义
义
)
)
.*r・0(T X
f(x)
== lliimm 乙件 ((洛洛必必达达法法则则))
1
x—0+ 1
=A.
=A.
·56 ·
,56・第第二二章章 一一元元函函数数微微分分学学 44
fr~ = = = = = = = = = = = = = ~ = = = = = = = = = = = ~ = = = = = = = ="- = = = = = = 习==］］
f(b)-f(a)
: 【【评评注注】 】 辅 辅助助函函数数也也可可构构造造为为F&F()x =)= f(x)—- f" 一 .尸^妇x,/F&(x)) ==[ fQ(0b)) -—f (_fa()a)]］xz :
b — a
“ h~a ii
11 -—( (b6— —a a))ff(ixx))等等.. 11
『 = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =…--…-□』
2国8((22001133,,1188题题))【【证证明明】】((II ))因因为为ff((xG)是是区区间间[-［—1,11,]1上］上的的奇奇函函数数，，所所以以f/((00)) == 0 0..
因因为为函函数数f/((xx)在)在区区间间[0［,01,1]上］上可可导导，，根根据据拉拉格格朗朗日日中中值值定定理理，，存存在在£E∈6 ((00,,11)),,使使得得
f
/(
(
I
1
)
)
-
-
/
f
(0
(O
)
)
=
= f
/
(e(e )
)
又又因因为为/(fI()1 )== 11,,所所以以/f((fE)) ==1 .1.
(Ⅱ)(方法一) 因为f(x)是奇函数，所以f(x)是偶函数，故f(-)=f(G)=1.
(n)(方法一) 因为尸怎)是奇函数，所以/(X)是偶函数，故/•'(-$)= z(f)= 1.
令F(x)=[f'(x)-1]e',则F(x)可导，且F(-=)=F(E)= 0.
令 F&) = C/(x)-l］ex,则 F(z)可导，且 F(-e)= F(f) = 0.
根根据据罗罗尔尔定定理理，存，在存"在6n ∈(-?(,-$e)e )UC ((--11,,11)),,使使得得FF'('3n))== 00..
由由 FF''(3η))== [E}/°(7()η+)+/?(7()η-)l->1]，e且? 且e，e关?≠ 0,0得,得,3子()n+)+广?3(n))==1 .1.
((方方法法二二)) 因因为为f/((xx))是是[［-—1,11,]1上］上的的奇奇函函数数，，所所以以f/(x()X是)偶是偶函函数数，，
令F(x)=f(x)+f(x)-x,则F(x)在[-1,1]上可导，且
令 F(x) = /z(x) + /(x) —z,则 F&)在［—1,1〕上可导，且
FF((l1) )== f/'((I)1 )++/f(1(1) )-- 11 ==f /(1()I)
F(-1)=f'(-1)+f(-1)+1=f(1)-f(1)+1=f(1)
F(-l) = /(-1)+/(-1) + 1 = /(D-yCD + l = /(I)
由罗尔定理可知，存在η∈(-1,1),使得F′(η)= 0.
由罗尔定理可知，存在?€ (-1,1),使得F'Ct)) = 0.
由由 FF''((hx)) ==f/”(z(x)) ++f/'((工x))-一11,知,知
”/'((/n+)+_f/('η'(/)--11 ==0 ,0即，即f”,((？n))++f/((η?)) ==1 .1.
(
(
方
方
法
法
三
三
)
)
因
因
为为f(心x)是
是
[-
［
1
一
, 1
1
]
,1
上
］
的
上
奇
的
函
奇
数
函
，
数
所
，所
以
以
f(
/
x
&
)是
)
偶
是
函
偶
数
函
，
数
”
，尸
(
(
x
了
)是
)是
奇
奇
函
函
数
数
，
，由
由((I
I
))
知知，，存存在在E5C∈ ((00,,11)),使,使得得f'f伐(E))==1.1.
令令 FF((xx)) ==f f''((xx)) ++ f/((xx)) -—x z,,则则 FF''((xx) )== ff( (xx))+ +f 'f( (xx)) -—1 ,1,
FF''((Qe )== ff"((fe))++yf'((eQ)- —1 =l f=” f('E(E))
F
f
''((—-
q
t)
=
=f
，
"(
(一
- e
?
)
)
+
+
f
/
(-(- =
e
)-)1
-
=
i
-
=
f”
- f
(
'
8
e
)
当当尸f((eE)) ==0 时0 时，,/f('f()E +)+/f((f)E )--11 ==0 ,0即,即f /(e()?+)f+(/e()?=)1 .=结 1论,结得论得证证..
当f(E)≠0时，F'(e)F'(-=)=-[f(∈)]2<0,
当尸(£) 乂 0 时,F'(£)F'(—£) =- ［/(f)? < 0,
根根据据导导函函数数的的介介值值性性，存，存在在n∈(-(?-,=$6))UC( -(—1,11),1,)使,使得得F′F('3η))==0 0.即,即
”/((/n+)+/f((η/ -)1-1 ==0 0,,
故故 r了((7n))++f/((n7))==1 .1.
" 【【评评注注】 】 本 本题题是是一一道道微微分分中中值值定定理理的的证证明明题题，，其其难难点点在在于于((UⅡ ))中中辅辅助助函函数数的的构构造造.. "
: 欲欲证证 /f(”/(+n)，+'f((？)n)== 11,,只只要要证证 /了((/n+)+((rf'3(η)—) -11))== 0o,,即即 :
: [［((/f&(x))--1l)'K+(ff(ro)-i1))]］|」…,==0o.. :
: 因因此此，，应应考考虑辅虑助辅函助数函F数(工F()x=) =［[，f'&(x)) 一-1 l]］ee'';； :
" 另另一一种种思思路路是是欲欲证证/f,((η7))++/f((η7))==1 ,1只,只要要证证ff”'5(η)+)+ff('5η))—- 1\= =0. °因-因此此，，应应考考虑虑辅辅助助函函:
数
H 数
F
F
(
(
x
z
)
)
=
=
f
f
(x (工)
)
+
+
f (
/(
x
x
)
)
-
—
x .
X.
ii
" 方方法法三三用用到到了了达达布布定定理理((即即导导函函数数的的介介值值性性定定理理),)这，这个个定定理理不不是是《《考考试试大大纲纲》》要要求求的的考考试试‘"
II 11
:内内容容..部部分分考考生生使使用用了了此此种种解解法，法只，只要要书书写写正确正，确不，不影影响响得得分分，.
J
切((22002200,1,91 9题题)【证)【明证】明(I】 )(设I )I 设/(c|)f (\=c )M|=.若M. c若 =c 0= 或0或 c c== 22,,则则 MM ==I f| /((cc)) || ==0 .0.
一一般般地地，，当当MM==0 0时时，，八f(了x))=三0,0对,对任任意意的的∈£6∈ ((00,,22)),,均均有有| |ff'((Ee))II≥2MM..
·57 ·
. 57 .►►数数学学历历年年真题真全题精全解精析·解是析高■篇((数数学学一一))
当当 MM>0>且0 且lf (| c/()c|)= M1=时 M， 时必，必有有c ∈c e( 0(,02,2))..
若c∈(0,1),由拉格朗日中值定理知存在≠∈(0,c),使
若c£ (0,1],由拉格朗日中值定理知存在£6 (0,c),使
f(c)-f(0) f(c)
f/((e£))== f(c)—八。)=/(<-)
C c — - 0 0 三 Cc
M
从 从 而 而 有 有 I | r f( (Q e) I 1 = = 1 l f竺(c)」I 三 =也≥Mm..
C C CC
若若 cC∈ £( 1(1,2,2),],同同理理知知存存在在 ≠££∈ ((cc,2,2) )gC( (11,2,2)),,使使
f心(e)== 八f( 22))一-f /(Xcc)) = —-ff(c〈c))
三 2—c
22— — (c 2 — c
= M
1f(c)I
从 从 而 而 有 有 I I r f( 捋 E) ) | I = = 1 /(r) 1 = 吾 ≥2 Mm..
2—c 2—c
综综上上所所述述，，存存在在£≠£∈(0(,02,)2,)使,使得得| /I(ff()e) ||>≥MM..
((Ⅱ[I))II f/((cc)) |I == MM..
当当cc ==0 或0或2时2，时，MM=0 =; (0反；(证反法证)法不)不妨妨设设M>M0,>则 0c,∈则(c 0£, 2()0,,当2)c,当≠c1时丈，1时由，拉由拉格格朗朗日日中中值值
定定理理，,存存在在&h ∈G((00,,cc)),, & ∈e((cc,，22)),,使使得得
f/((＞ £
1
；『'
f
八
(x
了
)
）
d
&
x,与
，与
题
题
设
设
矛
矛
盾
盾
.
.
d-(.
原原题题得得证证..
；解题加速度
解题加速度
回I
1.【证明r i 要证f(η)=y,即要证f(η)-n=0,令F(x)=f(x)-x,由题设知F(x)在
1.【证ffi典m < I，要证 /(7)= rj,即要证 f(rj)-7)= 0,令 F(z) =/■&)—*,由题设知 F&)在
[ [ 0 0 , , 1 1 ] ] 上 上为 连续，下 2 1 ) =f(/( ( y 2 1 ) )-y 1 2 == 11 -- j 1 2 >>0 O,F,F((11)) ==f (/(11))--11= -=1<-0l .<由0连,由续连函续函数数零零
1
点定理知，存在η∈ e ( (y , . 1 l ) ),,使使 FF((η/ )==00即 即f (/η(7))==η .7).
点定理知，存在y 2
(（Ⅱ n）)为为证证存存在在E∈
e
(（0
0
,
,
η
/,
)使,使得得
r
f（(
Q
E)-λ[
-
f(E
f
)-日
］
=
=
1 ,
i
也 ,也就就是是要要证证
e
3
[f(（Q E )
—
- 1
i］
]
—
-?心[捋f(）e一)-曰]==0
0
,
,
令令 φg(x）) ==e -e*-^[fL(/x（)x-）x-]x,则Lφ则(么x)工在）[在0,［η0,]讪上上满满足足罗罗尔尔定定理理条条件件，，由由罗罗尔尔定定理理知知存存在在£E6∈ (（00,,
nV)）,,使使矿g(（5Q) ==0 .0即.即
广e-**［[（(/f（(£E）)一- 11)） -一λ。(f(£∈） 一)-E如)]==00,,
但但 ee@*≠ 尹0 ,0则,则[［?/■('E（£)）- 一1]1-］λ一[ f(∈)—-6曰]==0,0故,故f/(e（)Q-λf[ Lff(（£∈）—)-£5〕] ==1 1..
22. . 【 【分 分 析 析 】 】对 对 ( （ II) 只 ）只 要证 要 明 证 存 明 在 存 η∈ 在 (0（,02,2)）,使,使］：f/&(x)）d&x= =2 f2(/η（^)）,,这这是是积积分分中中值值定定理理的的推推
a
广，因为这里要求g属于开区间(0,2),而不是闭区间[0,2],
广，因为这里要求V属于开区间（0,2）,而不是闭区间［0,2］,
对对(（Ⅱ
fl
)
）
只只要要能能证证明明f
/
(x
（x
)在 ）在[0
［
,
0
3
,
]
3
上
］
有上三有个三点个函点数函值数相值等相，等反，反复复用用罗罗尔尔定定理理即即可可证证明明.•
门;
【【证证明明】】（I(I）)设设FF（(Gx) == j：/f(（tQ)cdkt,,（(O 0＜≤工x≤＜22)）,,则则
广;
£f/(（xx)）cdkxr == FF(2（2)）— —F F(0（0)）..
由由拉拉格格朗朗日日中中值值定定理理知知，，存存在在
v
n ∈
6
(（0
0
,
,
2
2
)
）
,
,
使使
FF(（22)） -一F (F0（)0=） =2F 2'(Fn')3=） =2f 2(η/（7)）,,
即
即
门。
j f/(（xx)）ddxj-= =2 f2(η/（^)）..
· 59 ·
. 59 .一
数学历年真题全精解析·墨高墨(数学一)
►► 数学历年真题全精解析• ■■（数学一）
由由题题设设 22/fX(00）)== J /
f(
（j
x
-
)
）
d
d
x
j?
知
知
，
，/
f
'（
(
/
n )
=
=f
/
(0
（0
)
）
.
.
o”
(（Ⅱ
□
)
）
由
由
于
于
f心(x)在
在
[
［
2
2
,
,
3
3
]
〕
上
上
连
连
续
续
，
，则
则
f
f盘(x
）
)在
在［
[
2
2
,
,
3
3
］
]
上
上
有
有
最
最
大
大
值
值
M
M和
和
最
最
小
小
值
值
m
m
,从
,从
而
而
有
有
f(2)+f(3)
m≤ ≤M.
2
由连续函数介值定理知，存在c∈[2,3],使
由连续函数介值定理知，存在。£ ［2,3］,使
/f(⑵2)+f严(3) .
f/(（cc）) ==
2
由由(（II )）的的结结果果知知
f/(（00）) ==f f(η（rf）) == _f/"（(cc）)，,（O(0V x < z 1 V , 1,
【【解解析析】】 F （Fz(）x)== <
In xdr, x≥1 Jx7((lnI n j? x—- 11)) ++ CC2?», xz≥ 21 1,，
In zdz, ——
llimim [[(j(? x—- l1)?) +2+ GC]] ==C C?], ,l liimm[[jrx(l(nI jnr —x- 11) )++ CC2?] ]==—-1 1 ++C ?C,2»
→,r—1～1~ x→-艹r4"
则则 GC ?==—-1
i
++C
g
?,，令令 GC ?==CC,，则则 CC2 ?== 11 ++C C,,
"(x—-1I)V2++CC,, x z < V 1 , 1,
FF(&x))==
Ijx?((lnI n7 x—- 11) )++ 11 ++ CC,, x≥
z 2
1 .
1・
{((Jx? -—1 )12),\ x z < V 1 1 , ,
令令。C==00,,则则 FF((xz))==
jx?((lnI nxx —- 11)) ++ 11,,x≥冷1.1・
故故应应选选(（DD)）..
2t
02((2
(
0
2
1
0
8
1
,
8
1
,
5
1
题
5题
)【解
【
】
解 】 令』令√
—
e
]
' -
=
1
L
=t
则
, 则
e'
e
=
' =
1
1
+
+ t2,x
=
= I
ln
n
(
(
1
1
+
+t
Z2
2
)
)
,
,
d
d
x
x
=
=
p-pp-d
d
z
t
.
.
1+t2'
Jee22j 'aarcrtcatna nV e√ —e' 1- d1jdr x== 打 ( (1 1 + + z 2 z ) 2 2 ) 1r+ 2 + 2 t t t ?2 a a r r c c t ta an n t td dt t
=?
1
=J((11 ++2 )Z2a )racrcttaann ztdd( 1( 1++ tZ22) )== -^-Jaarrccttaann zdt(d 1( 1++ zZ2) )22
2.
=
1 1 (1+22)1
=夺(1+尹)2arctanf —匕？dd£t
(1+t2)2arctan t—
2 2. 1+t2
= 2 2 J 1 + r
1 1
=-^-(1 + Z2)2arctan t----[d + /)dt
(1+t2)2arctan t— (1+t2)dt
2 2.
Z Z J
=§ 1 (1 + Z2 )2arctan Z — 1 (t+ 1 t3)j++ CC
二 2 (1+2)2arctan t— 2 3
= 1 [e2arctan√e'-1-√e'- I 1- 1( ( e e ′ ，- -1 1 ) ) + 3 7 ]]++CC..
2 e2j arctan 3
—
解解题题加加速速度度
1+x 1 ,
1.【嘴我字=八则工=土，
1.【解设， x =t,则x= 2-1
弥+ /^)& = Jln(l+.d(土 )== 1% 告)—J 土 . 土
In(1+, 1十x)dx= In(1+t)d ( 1 ) in(1+t) ? 1 · 1 -dt.
x t2-1 -1 2—1 t+1'
而而
1 1
『 [ 1 d»t. == 1_f ((zt ++ 1l))--((tr--1l))dt
J ((产2 -一1)1()。t++1 1)) — 2 2 . J ((产p-一1)1)(。t++1 1))
· 62·
-62 -— —
第第三三章童 一一元元函函数数积积分分学学
1( 1 1
=1[(土-Tnhy)gdt
三 2. 2—1
—(t+1)
?
= = l 1 !(r 1 h-7 1 TT-(7 2 TT7))ddrt
4. t—1 t+1 (t+1)2
= 1 1 1
=|ln-I(n(Zt—-l1))一-|lnI(nz( t++ l1)) ++ 2(7^1)++CC,.
4 4 2(t+1)
所所以以
问In( ( 1++,归 1+x ) ) &dx == I " n(1+t)
十
+『 1 -In' t 害 +1 一〜 1 ++ Cc
x 2—1 4 t—1 2(t+1)
==x顽ln( 1】++, / 1 ? + ) x) + + 小 1 In((E√I++x+&√x))一-4 1 忌 √x +& ++ CC
x 2 2 √1十工+√x
==xillnn ( (1l ++ 1十 x x ) ) + + -|- 2 1 lnI( nJ(\√ +Iz+ +x+"√)x +)+ 1 2 x—一 + 1 2 J√ z +x + j?x ?++ CC..
7
… …… ……… ……
«' 【【评评注注】】 本本题题主主要要考考查查计计算算不不定定积积分分的的两两种种基基本本方方法法，，即即换换元元法法和和分分部部积积分分法法.. "
22..【【解解】】设 设心Inx==，t,,则则“x==e',"f(（t，i）)== 些In(1e芯+'e')
1
f/((xx))ddj;x == J l1”n( 11 e寸+ ' e。'))ddzx ==-— Jl l n n ( ( 1 1 + + e e J ' )d ) e d -x e = = - — e ~ e ' -x l ln n ( ( 1 1 + + e 4 2 ) ) + + J £-^-—-ddjx：
1+e'
e2
/)+[(1】 -—]； )
==-e-~e~'rllnn((l1 ++ e')+ 1+e'；)&dx ==-—e ~e-'Jllnn((l 1++ eex1) )++ zx -—I lnn((l1 ++ ee*')) ++ CC
==xx-(—1 (+1e +~ 'e~)xl ) nln(( 11 ++e e2J )) ++C C..
:
arcsin√x+ln x,
3 3 .【 .【 解 解 】 】 arcsin \ √ [x x + In d d x z = = 2 2 ((aarrccssiinn4√xx ++I Inn xx))dd((√Vxx))
dx dx
= 2√x(arcsin√x+In x)- dx
=2 >7x(arcsin \[x + In x)— ————22|
√1-x √x
\/1 —
X '
==22√ -x/z((aarrccssinin V√x x++ lInn xx) )++ I* d日"(1 -x乂))—-4 4√ \[xx
√1-x
J y/1 — x
=2√x(arcsin√x+Inx)+2√1-x-4√x+C.
=2 arcsin -/r + In z) + 2』\ — z — 4 \[x + C.
二:、、定定积积分分概概念念、、性性质质及及儿几何何意意义义
0(（2200111,14,4题题)【）【答答案案】】 BB..
【【解解析析】】同同一一区区间间上上定定积积分分大大小小比比较较最最常常用用的的思思想想就就是是比比较较被被积积函函数数大大小小..
π
由由于于当 当0 V0z sin xdx — sin xdx + e1 sin xdx
m
0 J J J n
0 0
2e''sin xdx.
=1+ r2n 2 .
=L + ex sin xdx.
又又 ee'j2s siinn xx <<0 ,0x,x∈ E(π (k ,2»2x k )),，则则
C2k
3 s2 i. n xdx<0
eJ sin xdx V 0.
e。 重
从而有I?0.由于
以以下下证证明明 ex sin xAx > 0.由于
3* 3s 2 i . n xdx= ，2k cs 2 i . n xdx+ & es2 in. xdx
eJ sin xdx = "ex; sin xdx + eJ sin xdx
#
22置k
=e1 sin rdx+e2广
,2jr sin xdx + e W ‘ s si i• n n
x
x
g
Ad
j c
x ( ( 积 积 分 分 中 中 值 值 定 定 理 理 ) )
J 2x
=2(e2-e3)>0 (2x0 (27cVSV37c,7tV'V27t),
则则I?>> 1L?，,】1? =#sin x如图二.该曲线与工轴所围三块区域面积分别记为
图一
S?,S?,S?(如图二所示).显然S?0, S S
” eJ sin xdx = S】> 0, *x
0 0 可 元 S 2π 3π
1 e'sinxdx=S?-S?<0,
IL? == j e/ sin zdjc = S】—S2 V 0,
I?= e ex ' 2 s s in i n xd x x d = x = S S j ? — - S S 2 ? + + S S 3 , = = S S ? 】 + + ( ( S S3 ? - — S S ? ? ) ) > > S S ? 】 =1?, 图二
= L ,
00
故故II2?<2 >1 1++了x（(]x尹≠00）)可可知知NN == e2 十 K.
量 骨
K==「专((11 ++√ \/ccooss xx))Adx x>> 「* 1iddπz ==π i,t,
K
重 1号
则则KK>>MM>N>,故 N应,故选应选(C(C).).
08(2（022012,14题,4题)【）【答答案案】】 BB..
【 【解 解 析 析 】 】( （方 方 法 法 一 一 ） )直 直 接 接 法 法 将将区区间间[0[,01,]1n]等”等分分，，则则△△孔x?== n 【
1
， , 第 第 互 k个 个 子 子 区 区 间 间 为 为
[
「
k
号
—
n
1 ,"
n
k k_] ,
n L n n
由由于于
k-1 = 2k-2 2k-1 2k = k
k — 1 _ 2 互一2
f(
（
x
g
)dx
,
,
0
→00-1
故故应应选选(（BB)）..
。门
(（方方法法二二）) 排排除除法法 取取/f（(xx）) ==1 ,1则,则j[
f
&
(x
）
)
d
d
z
x=
=
1
l
.
.
2k-1 1 1 1
l瓯im乙fl(（穿)）我== l瓯imn”·.我=§≠关11,，
→ 2n 2n 2n 二 2
-1 →0
·65 ·
• 65・数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析·・提提高高篇篇(（数数学学一一)）
lliimm 为 2 乙 m 〃f( k- ~ 1 )
n
1 == lliimm22nn· • —
n
1 ==2 2≠ 11,9
2n
*”-→*80 0& -=1 i \ uTi / ~n 8 ??
2m k 2 2
l
li
i
m
m 力2f/'((£))2
== lliimm22nrz· • — ==4 4≠ 11,,
2n n n
.，—08— 挡1 \Ln)n →0 n
n-«>
排排除除((AA))((CC)()(DD)选)选项项，，故故应应选选((BB))..
09((2200222,24,题4题)【)【答答案案】】 AA..
【解析】 当x∈(0,1)时，
【解析】当z £ (0,1)时，
。
x x
1+ sin x
音
2
、 re x <.1,.
x x A t7a t n an x x ， t t7a a n n x x \ 1 •
x
tan x
由由x 坦>
ta
知
n
x知，，LI ?>>IL?,，因因此此，，排排除除((CC))((DD))..
x tan x
x 地 _x x π
由由；
t
二
an
-
x
<<1 知1知，I?=
tan x
dxv< 手
4
= 4.
=4e — 4 dh = 4.
1
、/1解题加速度
解题加速度
π
11..【【答答
8° —
【解析】由于x2cos2x为奇函数，sin2xcos2x为偶函数，则
【解析】 由于x3cos2^为奇函数,sin2xcos2^为偶函数，则
量 量 量 骨
((
j
x c33 ++s siinn22
jc
x))
c
c
o
o s2s 2xdx== 22 ssiinn22xxccooss2j2rxdjdrx == 22(J ssiinn22xxddjx： —— J ssiinn^'zxedLx)r))
_A 。 ……………………<…0 ………………… 。 ………… 0 ………… 0
π π π·
( | 1 x×f-A 3 x×± 1 ×xf)
==22| 2 2 4 2 2 竺 8
— ~8'
22..【【解解】】((方方法法一一)) 令令 xz= =s isnin tt,,则贝I] ddxx= =c ocso st dtdtt
—
一x x2 2 a a r r c c s s i in n x dx= 量 f坦 tsin 业 2tco 竺 s t 电 . dt = = js t i s n in 恤 2tdt = = j 量 :信( t 一t竺cos尹 2t) dt
√1-x cos t 2 2 dz
cos t 0
。0 0
π
量 1 •i tsin 2t 1儿
= 三 π 4 4 0 0
J
I 4
,
. 0 0
t
zd
ds
si
i
n =
n
2
2
t
t
=
= n
1 16 6
2 fsin
4 4
2t
0 0
2 十+y
4
j2ssiinn 22ttddtt
1 量 1
7T gecooss 22zt fK2 +§•
十
16 8 16 4
16 o 0
x2arcsin x. 0 小
( （ 方 方 法 法 二 二 ) ） —— 2 a rcsin xd d .x r = = ( - ( - xj - ： - 22 - - - — - 1 - - ) - 1a - ) - r - a - cr - cs siinn - xx - + - + - a - r - a - c - r - sc - si -- inn -- - xx -dd A zx
√1-x √1-x2
O Jl 一小 0 0 — x'
=—
arcsin x
— ( (√1-x 甘 2a a r r c cs s i i n n x x)dx+ ar ._ c _ si _ n _ _ x _ d d x z
6 0 0 0 』 √ \ 1 _ -x 寸 2
—r、1—平arcsin x 1 1 +f1 (/ — — x •z a a r rc c s s in i x n + . 1 ) , )\ d , x+ 中 a a r r c c s s i in n x x dx
jc V 1 arcsin x x( √1-x
√1-x
0 0 0 o
= 。
( — —x x2 a a r r c c s s in i n x + , x )\
d
,
x+
11 arcsin2-x 1
----√-,--I-----x-2_•-----z ) & + y 2 arcsin2 jc
π 0o
x2arcsinx 。 1
1 j?2 arcsin xd , x+, J_ . 7^_
。√1-x ]十2 十十百8.
0 2
移移项项得得
π
之
x2arcsinx 1
2 2 0 o J √ a \ r 1 c - s - i x n S 2 七d工x_ _ = π f2 1 十 + . 况 K 8 2
x2arcsin x, + 1
则则 j:
√
.22 arc
1
s
-
in
x
xd , x_
=
=
1讦
tt
6
2
十
.
4
1
o
了
33..【【解解】】(（方方法法一一)） f f( ( jc x ) ) d d jc x = =x j f c ( f x) xxff'f((xx))ddxx
( x)
0 00 0
·70 ·
-70 -第三章一元函数积分学
第三章一元函数积分学
;
=π sin t sin x
dt — x dx
π;一x
= J 0 0 π 7T — — — 1t J 0 0 7C — X
π一x、
=I 5---- ssiinn x dxxd x== f ssiinn xxddxx == 22..
Jon — J 0
0元 。 工jc
((方方法法二二) )f f /( ( x x )d ) j d ? x = = [ f /( ( x x ) ) d d ( ( x x - — π k) ) ,
J o J 00
了 .
==(x(—X —π K))f/((xX)) — f((JxT— —π K))/f/Z((xx))ddxx
. 。=— o J0o
。x一π、
=—I . ----- ssiinn x dxxd x== I ssiinn xxddxx == 22..
π一x
。
Jon — x J 0o
门。 sin t
((方方法法三三) )「f/(•x&))d&x == pddxxp豆鲍dMt,
π—t`
J 0 J 0
J 00 7C — t
交换积分次序，得
交换积分次序，得
sin t
[/f((xx))ddxx == [ ddtz[ ‘in 'd&x == [* ssiinn ttddtt == 22..
π—t`
0 t 0
Jo Jo Jt 7： — Jo
8π
4
4
. .【【答答案案】】
3
8
√
tc
3
一
3疗
d(x一 1 )
2x-1 2
【【解解析析】】 x广2 2 2 一 x z 工 + + x 3 ++ 3 11 d & 」 x = = ' x2一x+1 ddxz ++4 4
(
1)2 3
0 工一 2 十 4
1
xX一_x_
1 8 2 1
—=llnn((xx2 2—- xx ++1 )1) I
十
+ 兰aarrccttaann--- —I
l
0
o
√
V
③
3
√匝③
I
0。
2
。 ~2
=
8π
8
穴
3√3
3底
√3
π。
5 5. . 【 【答 答 案 案 】 】 I In n 3 3 — — 3 ;
。
2x—4 2x+2 dx
【【解解析析】】 '2 xx22 2 ++ x 22 - xx 4 ++ 4 ^ d. X x =_ ~ J f xo 2 2X2+ 2 +2 x 2 x + x+ 2 + 4 4 d d ,x x — 6 6 _ J [ o 2 x X22 ++22 d* xx ++4 4
0
=
=
I
l
n
n
(
(x
x
2
2
+
+ 2
2
x
工
+
+
4
4
)
) |
2
--6 6
加
j
dd((xx++1l))
0 ((*x ++1 1))2—+33
6 x+1 2
= 1n 3— arctan
√3
√③ 10
= In 3—
-
'
争√③ π.。
=In 3 3
。
四四.、变变上上限限积积分分函函数数及及其其应应用用
［1£7(（2200009,93,3题题)【）【答答案案】】 DD..
【解析】由y=f(x)的图形可看出，f(x)在[-1,3]上有界，且只有两个间断点(x=0,x=
【解析】 由了 = /（x）的图形可看出/（*）在［一1,3］上有界，且只有两个间断点（工=0,工=
22)）,,则则f/(（xx)）在在[［--11,,33]］上上可可积积，，从从而而FF（(Qx) == ］/f(（t，)）d&t应应为为连连续续函函数数，，所所以以排排除除(（BB).）.
·71 ·
. 71。
数
数
学
学
历
历
年
年
真
真
题
题
全
全
精
精
解
解
析
析
·•提提高高篇篇(
（
数
数
学
学
一
一
)
）
又又由由FF&(x）)== 上 f / ( （ t £） ) 出 dt 知 知， ，F F （ ( 0 0 ） ) = =0 0 ,排 ,排 除 除 (（C C ) ） . .
(（AA)）与与(（DD)）选选项项中中的的FF(x（z)在）在[-[1-,10,]0上]不上不同同，，由由
门。
F（x） = | lIddzt == xx,,xx∈ C [[-—1 1,,00]]
F(x)=
排排除除(（AA)）,,故故应应选选(（DD)）..
、/1解题加速度
解题加速度
11..【【答答案】 A.
。
【解析1 ) 先作变量代换将被积式中的x换出来，然后再求导.
）先作变量代换将被积式中的工换出来，然后再求导.
1
令令x2-t2=u,以则，则—一2t2dtAtt= —du d,ut^dtdtt ==—— -^d-duu,,
2
1 1
J tf (x2 — Z2)di =— -y| 2y(u)du = y-J /(u)du,
tf(x2- 。 t2)dt=- 2 ,f(u)du = 2 f(u)du,
0
2
则 则 dx d . tf(x2~- t2)dt== 4 1 2 - d d x. [ 2 / f ( ( u u ) ) d d u u = = - 2 1 ^r f f ( {x x 2 2 ) )· ・ 2 2 x x = =x x f( /( x x 2) 2.) . .
0 L
djrJ o Z dxJ o
故故应应选选((AA))..
((方方法法二二) ) 排排除除法法：：取取 f f M (x) = = 1 , , 1 显 ,显然然满满足足题题设设条条件件，，而而
d d
…… g f tt f f( ( …xx …22 —… -t … t22… ))dd… tt = = - p - f tt dd t t = = xx . . ……
dx, dxJ
axj o aj：J 0o
由由此此可可知知，，选选项项(B(B))((CC))((DD))都都是是错错误误的的，，排排除除((BB))((CC))((DD)),,故故应应选选((AA))..
。
2
2
.
.
【
【分
分
析
析
】
】 本
本
题
题
要
要
计
计
算
算
的
的
积
积
分
分j"f((Qx)ddxz的的被被积积函函数数ff((xz)没)没给给出出，，但但给给出出了了一一个个关关于于，f(怎x))的的
1
变变上上限限积积分分的的等等式式「 tf/f((22xx--tr))ddti == 4-
a
a
r
rc
c
t
t
a
a
n
n x2
,通
,通
常
常
等
等
式
式
两
两
端
端
求
求
导
导
可
可
解
解
出
出
/
f
(
(
x
x
)
)
.
.
2
J1 o0 Z
;
【【昏解?】 】令 u令 =u =22xx —— tt,,则则du == —-d dtt,,
f t
t
f
f
{
(
2
2
x
x
—
-t
t
)
)d
d
t
t
=
=
—
-
\ ((22xx -—u )uf)(/(uu))dduu == 22xx\ ff ((uu))dduu —- I*
u
u
f
/
(
(u
u)
)d
du
u
.
.
J 0 J 2x J x J x
; ;
于于是是得得
C2x 1
2x C2x ] arctan x2.
2zJ /f((uu))dduu —— j uuf/((uu))dduu == —2arctan x2.
;
等等式式两两端端对对zx求求导导得得
x
22「/（"）血 + 2“（2顶（2工）一/&）） 一（2可（2了）• 2— ”（z）） = ,
f(u)du+2x(2f(2x)-f(x))-(2xf(2x)·2-xf(x))=
1+x?
x
即即 2 ff((uu))dduu ==
1+x?
+
+
x
x
f
/
(
(
x
.r
)
)
.
.
[十
Z
1 3 3·
今令 Xx ==1 1得 得2 fy( ( uu))dduu == 4- ++ 11 == ,故故[fy((xx))ddxx == 4
2 2 4
J
1 Z Z J1 4
33. .【【答答案案】】 BB..
【解析】(方法一) 排除法：选一个符合题设条件的具体函数，取
【解析】（方法一）排除法：选一个符合题设条件的具体函数，取
人 1. x 0,
'1, 。0,
0, x=0,
ff( （工x）)== y 0, x = 0,
-1,x<0,
,—1, z V 0,
·72·
・72・第第三三章章 一一元元函函数数积积分分学学
则
一合小
1dt, x>0
人 x, x>0
0
利;
FF(（xx）) == J f/(（ti)）dd«t == < 00,, xx =- 00== <
0
0,
,
x
x
=
= 0
0
=
=
|
|
x
x
|
|
° 『（-1）血，vo —一x, ， xv % ― dAj x
c
== Ilnn((ssiinn x x++ ccooss xx) )++C C..
sin x+cos x
J sin x 十 cos x
由由题题设设知知,，/（0f）( 0=) =00,,于于是是cC==0 ,0因,因此此
π1
[0,
f/((xx)) == Ilnn((ssini nxx ++c coossx x)), x∈E [。，廿]
4
「 【评注】 这里用到一个常用结论:尸［/&）］ = 了，事实上兀尸（z）］ = z. 】
【评注】这里用到一个常用结论：?'[f(x)]=x,事实上f[?'(x)]=x.
J
一 = = = - = = - = = - = = - = - = = =
1!_= -
五五、、与与定定积积分分有有关关的的证证明明题题
四(2010,17题)(I)【证明】当0≤t≤1时，因为0≤In(1+t)≤t,所以
固(2010,17题)(I )【证明】 当0 <<< 1时，因为0 ( ln(l+t) W £,所以
00 ≤< || IInn tZ || [[llnn((1l ++t )t)]]"" ≤>00,,使使
·75 ·
. 75 .。
数学历年真题全精解析·提高篇(数学一
数学历年真题全精解析•提高篇(数学)
;
00 ≤W|l trllnn tt |≤MM,t,t∈ e(0(,o1,l)],,
M
则 t « " " l | I I n n t t | l dz d t≤M r t " ? -1 ' d d t i = = —n .
n
J o
M
→
由由lliimm n— ==0 及0及夹夹逼逼定定理理知知lilmimu。“” == 0 0..
n
n-*oo n-*8
「= = = = = = = = = = = * = = = = * = = = = = = * = = = = = * = = = = = = = = = = = = = =『
" 【【评评注注】】 本本题题是是一一道道综综合合题题，，主主要要考考查查定定积积分分的的不不等等式式性性质质和和求求极极限限的的夹夹逼逼定定理理，，同同时时"
I L I 这这里里用用到到一一个个常常用用的的函函数数不不等等式式 I U I
x
II II
" r1-y+—x << Ilnn((l 1++ xx)) < 0>, 则0,f则(x，)&在)[在a,［ba],上刀单上调单增调加增，加，故故
ff((工x))>>f /((aa))= =0, 0x,∈z £( a(,ab,b))..
门;
( ( Ⅱ U) ) 设 设 FFO(x) ) = = x x 2 2 , ,g g ( ( z x ) ) = = j /f((i)td)fd,t(,a( Va≤ 工 xV≤bb))，则,则 gg'&'()x=)=，f((工x))>>0 0,故,故F F(x(工)),,gg((xz))满满
足足柯柯西西中中值值定定理理条条件件，，于于是是在在((aa,,bb))内内存存在在≠g,,使使
b2—a2 =
FF((bb)) —- FF((aa))= 胪一:♦ = ((x•2))'，
三 J
gg((bb)) —-g g((aa)) 出(|7f(()«)ddt«))1/ i'
f(t)dt— f(t)dt x=8
4
b2—a2 = 25
即
f(E)'
f(x)dx
(Ⅲ)因为f(e)=f(g)-f(a),在[a,e]上应用拉格朗日中值定理，在(a,∈)内存在一点η,使
(III)因为f(E)= 在［a，E］上应用拉格朗日中值定理，在(a,Q内存在一点"，使
/f((fe)) ==f (/'η(〃))((5£-—a)a)..
从从而而由由((Ⅱ口))的的结结论论得得
:
b甘2—
—
a
a
2， =
=
2
2$
5
了(η)(5—a)'
f(x)dx
25 尊
故故 f/('(η,))((胪b—2-aa2 2))==ε占—萸 aa J ■
f(
/"
x
&
)
)
d
&
x.
.
通
22..【【证证明明】】(I(I))由由00 V≤gg((工x))≤W 11得得
门;
0≤ gg((tQ)dd：t≤W l Id d z t = =x x - a — , a x , ∈ x [ E a 也 ,b ， ] 。 . ].
门;i [f+a”+fUgg((zn)daz
((ⅡH ))令令 FF((uu))= ff ((xx))gg((xj：))ddxj：— — I " f/((xx))ddxj.：.
只
只
要
要
证
证
明
明F
F(
(b
b
)
) ≥
2
0
。
,
，
显
显
然
然
F
F
((a
a
)
)
= 0
=
, 只
0,
要
只
证
要证
明
明
F(
F
u)
(
单
u)
调
单
增
调
加
增加
，
，
又
又
·・ 7766·・第三章 一元函数积分学
第三章一元函数积分学
心;
a+
FF'z((uu)) == yfX(〃u))gg((”u))一- f/((q + J gg((tt))ddit))gg( (u以))
==gg((u〃)) [ pf((〃u))—- f/((a a + + J gg((tQ)ddtl ) )]. ·
九
由由((II))的的结结论论 00≤< [ gg((it))ddi t≤xx —- aa知 知，，qa〈≤qa ++ (* 尊 gg((it))ddit ≤xx,,即即
J a J a
aq≤f/l((a + pgg((zt))ddtz)),,因因此此，，FF'('Q(u )>≥O0,,FF(0b)) ≥N00..
1c0e
思fa+f6g(r)dt rb
故 故 a f f( ( x x ) ) d d x x≤ /f((xx))gg((xx))ddxx..
J 4a J a
3
3
.
.
【【证证明明】】((
I
I )
)
设设M河与与m为
m
连为续连函续数函f(数x)八在了[a),在b]切上上的的最最大大值值和和最最小小值值，，即即
m≤f(x)≤M,x∈[a,b].
m < /(x) W M,x E
:
.
由由定定积积分分性性质质，，有有
: mm((bb— — aa)) w< j ff( (xx))ddxx ≤MM((bb -—a q)),,
[ff((xx))ddxx
即即mm≤ <匕------< ≤ M M. .
b —a
b — a
由由连连续续函函数数的的介介值值定定理理，，至至少少存存在在一一点点η7)e∈[也a
;
,,: b殂],，使使得得
1
A
S)=己换，*
; f(η)= f(x)d工.
b— a.
即即 j ff((jxc))ddxj： = = f f(n ( )7/() (b6— —a a))..
((Ⅱ口))由由((I
I
)的)的结结论论，，可可知知至至少少存存在在一一点点"n∈£ [
[
2
2
,
,
3
3
]
]
,
,
使使
Jφ(p((xx)d)xd x== p<(jpn(7)/)((33 -—2 )2=) φ=( <ηp(7)/).,
2
3
又由 J Q(z)dz =低(")知，2 V , W 3.
又由φ(2)> φ(x)dx=φ(n)知，2<η≤3.
2
对q(x)在[1,2]和[2,]上分别应用拉格朗日中值定理，并注意到q(1)〉0o,,( (i1 <6<<2 )2,),
2-1
z — 1
(n)一?(2)
甲加’(6)?)== £<221^<2) <<00,,((22<<6??2 <> 11时 时，，[ +00 . dx ―崩收
收敛
敛
，
,
→ l+ +一 x 户 “ 1 1 * → l+ + f (I \ 1 -i +i x J 1 _\ J1i« x r “ (l ( + 1+ z x) ) ^
·78 ·
-78・第三章 一元函数积分学
第三章一元函散积分学
dx
故故当当aaV<1l且且aa+ +b >b1>时 1，时，广亍芝 p收收敛敛..
J 0 xz" ((11 ++x )z°)
故故应应选选(
(
C
C
)
)
.
.
2困2((22002200,,1111题题))【【答答案案】】n n++ aamm..
“+ 配+0 +0 +00 ,
【解析】| /(x)dx =— | [,(了)+ 寸'&)]& =—f (z) L — a/(x) | ,
【解析】 f(x)dx=- [f"(x)+af'(x)]dx=-f(x) — af(x)
0 1o
10 0
只只需需求求出出，f((++o8o))== lliimm ff( (x工))及及f/((++c )o=o) l=i ml imf (fx ()工即)即可可..
x→-*+4-0o0o Jr—→*4-+o0o0
微微分分方方程程的的特特征征方方程为程；e为 +x 2oA+ a+x +i 1== 0o,,
-a土√a2—4·
λ, i.2 _= — Q 士 J& — 4
A1.2 =— 2
2
当当aa>>2时2，时,a;I?】,,?％为为两两负负实实根根,，f(f工()x=)=GC?ee^2 ++C ?Cez2e2^,,
当当 a q ==2 时2 时，，人A1 ?==λ义2 ?==-—1 1, »f/((xx)) ==( C(C?]+ C+? Cx2)xe)?e-*X, , 。
e.
当 0 < a V 2 时/(了)= ( (GCiccooss ^ √ H 4- Z a2 xr+ +C ?Cs2isinn √ 5/4 4 ~ -a2 x)
当00+°8 Jx—→*4-+0000
+00 +0 +0
f(x)
&
d x
=
=
一
-
[f"(x)++寸a'f('工(x))]]丑dx==--/f((xx)) |*°
—
°-
a
a
f
/
(
(
x
x
)
)|^
0
0 0
==ff(1 0(0))+ +a fa(/(00)) == nn+ +a amm..
π·
2辱B(2
2
02
0
1
2
,
1
1
,
1
1
题 1题)【）答【答案案】】于4.
【 t解 解析 析 】 】 。 +00 2+2 d d x x z +2 = + 4*8 d d x z == aarrccttaann(x(x ++1 1)) I ++080 二 π 2 7t _ 4 π k = __ π 4 TC ·
x2 +2x +2 0 1l ++( (xz++1l))2 0 T-T ~ T
—
解解题题加加速速度,度
11..【【分分析折，本题本的题被的积被函积数函是数幂是函蓦数函和数指和数指函数数函两数类两不类同不函同数函相数乘相而乘得而，得应，应该该用用分分部部积积分分..
一
【解】，序IR由于
【解】为法一)由于
=
\（i x l e? l + ）Qdx == 开 Pxdd((（rr 1 ^)）=iT x -7-f ? 岳 dx 7
(1+e?1)2 1+e?1 1+e?+ 1+e
e'
x
X
三 1 -- + - e - ~ -- 1 ---------1--+--e--- d dx x= I1T+e^?T-Inn((l1 ++e e2'))++CC,,
1+广 J l + ex
xe
(i x + x e e ? E 1 & dj x = = lim [ 1+e -—Ilnn((1l ++e 2ex)) ] J + + I I n n 2 2
(1+e?1)2 +0 l+eJ
xe' xe'
l
li
i
m
m[
1I+
jc
Te
e
?2 —Ilnn((l1 ++e e'x))
] ]== lliimm (
1
7
+
^
e
7 -—I lnn[[ee''((1l++ee*f))]])
xJ→-*+40-0oo|
J →l++080 11 x+e' e I
。 [ ]
== lliimm F i 学-7 —-x x- —I nln(( 11 ++e e?-J) )]
1+e1
i8 LI + eJ J
x→+00|
一x
[ ]
== lliimm「i | x工-—Ilnn((1l ++e ?e_*x))1==0 0,,
1+e2
l+8 L1 + e J
x→+00
+0 xe?1
故 (l + xe e* djx= = In I n 2 2 . .
0 (1+e~1)2
1
『 xe?1 dx= 『 +0 xe2 dx=一 xd ( )
(（方方法法二二)） (TTF7dx = =_rxd(1T+Te7)
0 (1+e?*)2 0 (1+e2)2
10
·・
7
7
9
9 ·
--
—
。
数
数
学
学
历
历
年
年
真
真
题
题
全
全
精
精
解
解
析
析
·
•
提提高高篇篇(
（
数
数
学
学
一
一
)
）
=— x + + dx
「8 d-
1+e2 Jo 11 ++e」2
1 + b 0 10
"8 2
= dx = +0m e?
上= dx
=L r
1+e' 1+e-
0 l + e' 0 1+e-'
Jo
+00
4-00
==—-l1nn((1l ++e ?e*-x)) = = 1 n In 2 2 . .
0
o
;
22. 【.【答答案案】】 D.D.
“
400 】[ dx + dx
【【解解析析】】广
f
，
(
(
x
力
)d
如
x
=
=
「滂『+「8点，
1 J1l((JxC—— 11))~11 Je e xln°+1x'
xln^JC
dx
当
当
a
a
-
-1
l
<
<
1,
1
即
,即
α
a
<
V
2时
2时
，
，「厂-收收敛敛，,
J 11 ((Xx —— 11))~1
dx = “+0s dln x =? +00 du ,
f+o° dz = r+o° din z = r+o°
du_
J e xln"+1
x
x J ee I In n ® + 44 1 ] x J 1i u
u
+
^
1
}
J+00 dx
则当a>0时，广-7与一收敛，故0 Va V 2时原积分收敛.
则当α>0时， 收敛，故0>1 ,1收, 敛收，敛， ((aa>>00);)(；2(2)) a (X — 1 Q)" :d ' x 力p≥211, ， 发发散散..
二
3π。
33. .【【答答案案】】
8
O
几 1 几 dx
【【解解析析】】 —_1d&x== 「一
x2+2x+5
jc2 + 2x + 5 J-oo ((xx ++1 I))22 ++4 4
=
=
1 x+1 1 3
= _1 aarrcc,tt aannz_+_1 3 π。
一 21 2 就8
-00.
4【答案】 A
4.【答案】A.
In x In x 门 In x
【【解解析析】】 "___ In dx= In x dx ++ 11 In x d.x,
0. x°(1( 1—-x)1- 0 x?p(a1-—xxy)~1-pAjc 方 x ” P((1 1 —x)1- '
0
?
士 In x ln x,
In x°
一 dx与 ddxr同同敛敛散散..
00 x”?((1U-x)1- 0
In
dx收敛的充要条件是p<1.
面 收敛的充要条件是p < 1.
da:
In x dx
又又当当x→11时时， ，lnI zn x== lInn[[l 1++ ((zx—-11))]]～ 〜 xz-—1,1则,则[-八* %】
d
d
x
z
与
与[斤如
同
同
敛
敛
散
散.
.
Jf xx°p{(l1 —— xx))1 -' J f1 ((11 —— jrx) )p
p
dx
而[：d* dz收敛的充要条件是一/>< 1,即力>—1,
而 dx收敛的充要条件是-p<1,即p>-1,
J (1—Xx)) -〃
f Q 1 —
故故一-11 )
于于是是LL上上任任意意一一点点((xx,,yy)) ==(f ((tf()t,)c ,ocso st r))处处的的切切线线方方程程为为
sin t
Y— cos t=-
[X-f(t)].
y - COS r =一 一 /(i)l
了(t)
令令YY= 0=, 得o,此得切此切线线与与x轴z的轴交的交点点为为(f((/(t«))ccoott tz ++f (/(tz)),,O0))..
由由((/f((tt))ccoott tz ++f (/t(r)),,0O)到)到切切点点(f((/(tr)),,ccooss tt))的的距距离离恒恒为为11,,有有
(f(t)cott+f(t)-f(t))2+(0-cost)2=1
(/(t)cot z + /(t) -/(z))2 + (0 - cos f)2 = 1
π π
解 解得 得 /f((it)) ==±± s 黯 in2 . t 由.由 ff((tt)) >>0 10((00 V< t<号)),,且且 /f(0()O )== 00 知知 ff((tt) )>>00 ((00<>0时0，时，亨 12 普<<00,故,故L是L是凸凸的的..
dx2
dy
(（ⅡII）)当当 1t == 00时 时，，^x'（'O(）0 =)= 00,,jy/（'0(）0 =)= 44,,zx（(00） )== 1l,,jyy（(O0） )== 00,,裂 ==8 0,,
dx
dz t/==o0
则则当当tt= =0时 0，时L,L在在对对应应点点处处切切线线方方程程为为x*= 1=, 不1,合不题合意题，意，故故设设切切点点(（血xo,，义yo）)对对应应的的参参数数为为鬲to>>00,,
则则LL在在(x（五?,以yo。)）处处的的切切线线方方程程为为
2
( -1)
y-(4（4t扁?一-t将6）)== （ —1）(（工x-一2惊—一1)］.）.
to
令令 xx =―-―1, 1y =0=, 得0,得话 &+ t+? 而-2一=20 ,=解 0得,解t得? =£<> 1=或 1t 或。扁=-=2—(舍2（舍去去).）.
由由tt0o ==1 知1知，，切切点点，为为（(22,,33）),且,且切切线线方方程程为3为，=y =*x++11..
(（Ⅲ皿）)令令>y ==44tr- —t2r2 ==0。 ,0得,得t?4==00,t"?z==4,4对,对应应曲曲线线LL与与xz y y ì
—
轴轴的的两两个个交交点点(（11,,00)）和和(（1177,,00)）,,由由以以上上讨讨论论知知曲曲线线LL和和所所求求的的切切 ③矽!/
线线如如图图所所示示，，故故所所求求平平面面图图形形的的面面积积为为
L
s = L（工 +1）& - j yAx \ .
S= (x+1)dx一 ydx
-1
-不(-11 ,,60）/)O （(11,,00） ) (（1177,,00） )Xx
= 9
=4- (（44tz--t?2)）dd(（ft2 2++1 l)）
2 一
Z J 00
= 6 [。 7
=—［(（44tt —— tt22)） ·• 22ttddtt == 4・
2 3
Z Jo0 0
(（方方法法二二)） (（II)）同同方方法法一一..
{（1 x = = t / 2 + +1 1 , , _____
(（Ⅱ口)）由由 \y y = = 4 4 , t t — -t t 2 2 2 ( “ t n ≥ o 0 ） )知知tt==√jix=-1r,所,所以以
· 82 ·
-82・第三章 一元函数积分学
第三章一元函散积分学 <
y=4t-t2=4√x-I-(x-1).
y = — t2 = 4 x/x — 1 — (x 一 1).
由由于于当当x五?==1时 1时，,L
L
在在对对应应点点处处切切线线方方程程为为xh= =1, 不 1,不符符合合题题意意，，故故可可设设L
L
在在点点((x孔?,，y义?))处处的的切切
线线方方程程为为
2
yy— — yyoo == (( z -2-- -~1 l))(z —鬲),(了0 > 1).
(x-x?),(x?>1).
√xo-1
\ J a — 1 /
将将x ==-1—, 1y,=丁0 =代 0入代上入式上，式，得得
jc
· 2
• 2
—一 弘y。==(( --1P)((--l1-—Txn?)),,
√x?-1
Jzo — 1
-2+√x?-I
-—44√ yjTxq ?-1I ++( (ixo? —- 11 )) == ---2
√
了
x。-I
~~
(
(X
x
o
。
+
+ 1
1
)
)
,
,
Jlo — 1
整
整理
理
得
得(X (
O
x
-
。
1
-
)
1
+
) +
/
√
zo
x
_
。
1
-
_
I -
2
2
=
=0
0
,
,
即
即
(
(
√
Jio
x 。
—
-
1
I
+
+ 2
2
)
)(
(
J
√
z。
x。
一1
- 1
一
-
1
1
)
)
=
=0
0
,
,
解解得得JxCO。 == 22,,并并得得了y0 o== 33,,因因此此切切线线方方程程为为y =y =
j
x
c+
+1
1
.
.
—
((IⅢD))在在vy ==4 √4石x-二1-T(x—-&1)—中—1令)中y=令0,、得=L0与,得x轴L的与z交轴点的为交(点1,为0()1和,0()1和7,(107),,0故),故所所求求平平
面面图图形形的的面面积积为为
SS == J((Zx ++1 l))ddzx -_ j [[44 √\/xx —- 11 -—( (xjt- —1 )l)]]ddxr
-1
= 9 ) 8(x-1)÷_ 1 1 2
=3—[牧一1 馆一扣
2 3
2(x—1)2
= 1
9 13 7
9 13 7
——
2
——
6
三——
3
2 6 3 ,
【评注】本题主要考查的是参数方程确定的函数的导数，参数方程所表示的曲线的切线]
【评注】 本题主要考查的是参数方程确定的函数的导数，参数方程所表示的曲线的切线
:及 及 所 所 围 围 的 的面 面 积 积 。 .由 由 于 于 曲 曲 线 线 是 是 用 用 参 参数 数 方 方 程 程 表 表 示 示 的 的 ， ，因 因 此 此 ， ， 在 在 解 解 第 第 ( (hⅡ x ) n (Ⅲ i) ) 两 两 问 问时 时 应 应 用 用 参 参 数 数 方 方 程 程 比 比：
:较较方方便便，，即即方方法法一一较较方方便便，，而而把把参参数数方方程程化化为为直直角角坐坐标标方方程程((即即方方法法二二))稍稍复复杂杂一一些些.. ：
: 考考生生的的问问题题主主要要是是：： :
11 ((11))部部分分考考生生将将参参数数方方程程二二阶阶导导数数求求错错.. ：
: (
(
2
2)
)
不
不
少
少
考
考
生
生
搞
搞
不
不
清
清
参
参
数
数
方
方
程
程
所
所
表
表
示
示…的 的
曲
曲
线
线
L
L
的
的
基
基
本
本
形
形
状
状
，当
，当
然
然
面
面
积
积
也
也
就
就
求
求
错
错
了
了
。
. ：
L= = = = = = u = = = = = = = = - = = = -- - = = -- -- -- = -- = -- -- = = = =--』
～; y
22..【【解解】】((1I))D?9与与D?D如2图如图所所示示，，则则
?;
VVi? ==π k [ yyz3ddxx ==π K [ ( (2 2 x x 2 z ) Y 2 d dx x
= J a J a
4π
(32—a?),
5
D
202 a x
x2dy 0 2
V?=πa2·2a2—π
22
= 2πa?—π 义-dy
2
0
=2πa?-πa?=πa'.
=2na4 — na4 = 7ta4.
4π
(n )V = V, + V2 =华(32 — a') +山,
(Ⅱ)V=V?+V?= (32—a?)+πa',
5
0
· 83 ·
・83 -数学历年真题全精解析·提高篇(数学一)
数学历年真题全精解析•提高篇(数学)
dV
务==4r4tat3q3( (11 —— aa)).
da
dV dV dV
当 当 aQ ==1 时1时 ， , d 羿 a = =0 0 ; ； 当 当 0 0 < V aq< 1 V 时 I ， 时, d 华 a > >0 o ,V ，v 单 单 调 调 增 增 加 加 ； ；当 当 。 a> > 1 时 1时 ， , d 华 a V <0 0 ,V ,V 单 单 调 调 减 减 少 少 ； ;
aa da da
129.π,
则则a。==1时1时V最V大最大，，且且最最大大值值为为吼V+?+VV2? ==峪爪
5
□
一 一
1
33..【【解解】】((II))由由对对称称性性知知容容器器位位于于Vy == §上上、、下下两两侧侧部部分分的的容容积积相相等等，，因因此此，只，只须须考考查查一-11≤<
2
1 1
y≤ 2 部 部 分 分 ， ， 曲 曲 线可 线 表 可 示 表为示工为 = x心=f(y = )=√1-y2
(-1≤y≤
2
)
,则则容容积积
貌 9π。
VV ==2 2j πtt/严2 ((>y))ddjy< == 2 π2kJ ( ( 1 1 — -y j 2 >2 ) ) d d y ^ ==
-1 -1 4
(Ⅱ)容器内侧曲线记为x=f(y),在y轴取小区间[y,y+dy],对应容器内小薄片水的质量为
(U)容器内侧曲线记为工= f(y),在'轴取小区间Ly,y+dy3,对应容器内小薄片水的质量为
Pπf(y)dy(P为为水水的的密密度度)),，抽抽出出这这部部分分水水需需走走的的路路程程近近似似为为22 ——y了,将,将此此薄薄层层水水抽抽出出需需做做的的功功近近似似
等等于于
d
d
W
W
= p
=
g
P
π
gn
f
f
(
2
y
(y
)
)
(
(2
2 -
—
y
v
))d
d
y
y
人
= 1
Pi°gg7πt(l( —1- j/y2 2)()2( —2- y)dy, —- I1V≤yv≤V*,
2
: 1
Pgπ(2y-y2)(2—y)dy, ≤y≤2,
2
1
则W =πDg (1-y2)(2-y)dy+npg (2y-y2)(2—y)dy
1
=πg[中 ]
(y3-2y2-y+2)dy+ (y3-4y2+4y)dy
-1 平
…… ………
27 27×103
πPg =
三 πg(J).
8 8
11 。
4. 【答案】界
4.【答案】 20°
【【解解析析】】质质心心的的横横坐坐标标为为
11
x_ = 「邳 x2( (Q x) d d z x x(-x f 2 + +2 2 x 工 + + 1 ) l) d dw x = 1 | 2 | 1 ]] 1
x '=~ ________ 三=-
1
----------------------------- =---
5
---=三—20°.
f/(x)dx JJ。：((T+2*+l)d 工 f 20
(-x2+2x+1)dx
。?(x)dx 3
af
5 5 . . 【 【解 解】 】 由 由 a 芸 y= = 2( 2 y 3 + + 1) 1 可 )可 知 知 ， ,f f ( ( x x , , y y ) ) = = j 2 2( 3 y + + l 1 ) ) d d y y = = ( y 3 + + 1 1 )2 )2 +φ + ( g x) ) . .
又又•f/(()y，,)y))== ((y、++1 )12)2- —(2 (-2y —)l、n) lny 丁,则,则
((、y++1 1))22 —-( (22 -—y -))llnn yy ==( y3++11))22+ q+(#y()),),
故故q(p((yy'))==-—(2 (-2y —) lj^n) lny y,曲,曲线线 ff( (x工,，yy)) ==0 的0 的方方程程为为
((;yy ++1 l))22 ==( 2(2- x—) "IInnx ,z(, 1(1≤ y ++1 l))22ddxx ==π kJ ((22 —-x x ) ) l ln n x x d d x x == ((22l1nn 22 —— ))π「。.
4
66.. 【【解解】 】 设 设切切点点AA的的坐坐标标为为((x©?,,y少?)),，则则切切线线方方程程为为
1
. y V — — V y】i== x—? ((Xx— —xX?]))..
Z】
将将点点((00,,11))代代入入，，得得 Xix ?== ee22，,丁y1 ?==2 .2. 一
所所求求面面积积为为
2
fe2 In xdx一 、11 e? fe2
S S = = In xAx — ((ee2 2—- 11)) ·• 22 ==x lxlnn xx — d dx x — -e e 2 2 + +1 1
2
J i Z i 1 J i
=2e2-e2+1-e2+1=2.
=2e2 - e2 + 1 - e2 + 1 = 2.
所所求求体体积积为为
—
π
VV ==π 7tl IInn22xxddxx 一—y .• 44. ·• ((ee22 —— 11))
3
1
4π(
==π7t((xxllnn2x2 x—- 22xxllnn xx ++2 2xx)) — ^((ee2 2—- 11))
3
1i 3
2π
三
=弩
3
((e/2 —-11))..
,
π
77.. 【【答答案案】】 12
【解析】 所求面积为
【解析】所求面积为
1 1{量
SS == J3 ssiinn22 33O0dd0θ == ( (11 —— ccooss 6609))ddθ0
2. 4.
0 0
=
= + 1 ((°0—- § 1 ssiinn 666°))| 骨 ： = =g π .
12
4 6
0
·・8855 ·-数学历年真题全精解析·提高篇(数学一)
数学历年真题全精解析•提高篇（数学一）
第第四四章章 向向量量代代敬数弥和空空间间解解析析巾几句何
.求-、求点点到到平平面面的的距距离离
:、、求求旋旋转转面面的的方方程程
(（22000099,1,17题7题)【）【分分析析】】 S
S
及S及?为
S
两为个两旋个转旋面转，面方，方程程可可直直接接写写出出；;所所围围立立体体的的体体积积可可利利用用定定积积分分或或二二
重重积积分分来来计计算算..
x22 y22 +| z22
【【解解】】(（II)）SS?的,的方方程程为为分十+以4 ==1 .1.
4 3
4 3
x2 y2 1 3
过
过
点
点
(
（4
4,
,0
0
）
)与
与亨
十
+苓
=
=
1相
1相
切
切
的
的
直
直
线
线
方
方程
程
为
为
）
y
=
=±
± (（&xr— — 22)）
,
,切
切点
点
为
为(（11,, 士士言)）
,
,
所
所
以
以
S
S
?
2
的
的
4 3 2 2
方方程程为为
1 2
y2+x2= ( x—2 )
2
3 9
(（Ⅱ□ )）SS?］及及SS?2之之间间的的体体积积等等于于一一个个底底面面半半径径为为音、、高高为为33的的锥锥体体体体积积与π与部部分分椭椭球球体体体体积积VV
2 4
Z 4
3 5
之之差差，，其其中中VV == “π (（44 —-x Jr2?)）ddzx == =兀π.。
4 4
4 J1 4
9 π一 5π=π.
故故所所求求体体积积为为% — % =穴.
4 4
4 4
。86·
, 86・第
«
五
£
章
«
多多元元函函数数的的微微分分学学
第第五五章章 多多元万函函数薮的的微微分分学学
.一求、求多多元元函函数数的的偏偏导导数数及及全全微微分分
Ⅱ0(（22000099,,9 9题题）【)答【案答】案x】f12 x+f ?f'?2 ++x xyyffm".2.
—
az
a2z
【解析】 由由a夺x ==f/?I+ +f?/1· •y V,得，得条—音~ = = x工f /' " \2 z + +f f ? 2 + + x z y > f / a = .・
axay
ox oxoy
02((（22001100,,22题题)【）【答答案案】】 BB.. —
,"
【【解解析析】 】令令GG（(hx，,vy，z,）z )== FF
(
（x于
y
,x？
之)
）,,因因为为
az=—G:
=— F'|
(
x
y
2
)+F?(
x
2
2
) F
F
'
：
·
• N
y +
+
F ?
F
·
； •三x
z
adxz G. 1 三 工 F? X X
dx F2·
F； •x-
X
1
G =— F F 1；· • — x【 =—E
③dzz =_旦,
a E y =FGG. ； = F F 2；· .l 1 X ~ F 兄 ?' '
x
所以
所以
x a ad z xz +- y a d z z = _ y y F F ′ \ + +z z F F ? f2 y y F F ? \ = _ F F ? \ · • x z =z.
ay F? F F?
赤+、元=一旦 fT = _fT
因因此此应应选选(（BB)）..
= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = n = = = = = = = s;s = -- -- = !s;s--- - =
az
Ox,
[【评注】此题也可两边求全微分求得套，苏 ]
【评注】 此题也可两边求全微分求得 3x ayi
J
0（(22001111,,1111题题)【）【答答案案】】 44..
=
aF ysin xy
【【解解析析】】 由由羿="%,,得得
3x
a«z 11 ++( x（巧y)尸2
= =
a2F 2sin 2x
JF I _ (/2sin 2z )\/ I _ 44(（11 ++4 x纭2)'c）cooss 22>xr -—1 61x6szisinn 22«xz I =_4 ..
adxx22 I x.r==00.,yy==22 （ 1 1 + + 4 4 x x 2 2 / I xx==00 （( 11 ++4 4x^22) ）22 I xx-=00
故故应应填填44..
D(（22001111,,1166题题)）【【分分析析】 】利利用用多多元元复复合合函函数数的的求求偏偏导导法法则则及及gg''(（1l)） == 00..
ax
【【解解】 】 由 由题题意意gg'（'l(）1)==00..因因为为a舞x== y必fí++y昭g’'(（x工)）f出2,，有有
a2z
/ f =f?+y[xf?(x)fn]+g'(x)fz+yg'(x)[xf?(x)fa],
= fi + yVxfu + g（z）Rz] + g'（工）/! + yg'（.x^xfu + g（x）/2z]，
axdy
dxdy
所以令x=y=1,且注意到g(1)=1,g′(1)=0,得
所以令h = y = 1,且注意到g（l） = l,g'（l） = 0,得
a2x
亲§| _i ==f?工(1（1,1,1)）++名川(1（,11,)1+）子+?化(1（,11,1)）..
axdy
友的ly;=== 1 1;
· 87·
・87・数学历年真题全精解析·提高篇(数学一)
数学历年真题全精解析•提高篇（数学一）
5(2012,3题)【答案】 B.
0（2012,3题）【答案】B.
f(x,y)
【【解解析析】】 若若极极限限lliimmx 您
2+y
*
3
存存在在，，则则有有lilmim/（fx(,x>,）y )== 00,,
→ yX→— 0 00 X '十： y x* →-*000
y-*0 y-»0
又由f(x,y)在(0,0)处连续，可知f(0,0)= 0.
又由f{x,y）在（0,0）处连续，可知/（0,0） = 0.
f/L,(（00,,00）) == lliimm f■/(（x",0)）-~~f f(0（0,,00)）== l1i血m f ， ( 分 x,O 。 ) ? ·• zx ==0 .0.
x2+02
x→0 工X →0 x + 0
x-0 x-0
类
类似
似 f
r
.；(
（0
0
,
,
0
0
）
)
=
=
o
0
.
于于是是
lliimm ■
f(
<
x
&
,
，】
y
）
)
一
-f
，
(
（
0
°
,
，
0
°
)
）
-
一
[f
［
.
乙
(
（
0
°
,
，
0
°
)
）
x
*
+
+
f ,
£
(0（0 ,0
,0
)）y
无
]
;S28 /√Ix2 ++ y.2
== lliimm f/(x,Oy) == lliimm f 尊 (x, 穿 y) · y√^xT2+7y?==00..
x2+ y2
*0 √x2+y 0
-0 y→0
由由微微分分定定义义知知f
/
(（x了,,y
v
)在 ）在(0
（
,
0
0
,
)
0
处 ）处可可微微，故，故应应选选(（B
B
).
）.
【【评评注注】】
1
1.
.
本本题题主主要要考考查查二二元元函函数数连连续续、、偏偏导导数数、、可可微微的的定定义义..
II II
" 22..可可采采用用举举反反例例排排除除错错误误答答案案：： "
|| II
<' 取取工f(以x,y）)==I|*x l| ++l | yv| 排I 排除除(（AA)）,,f/（(xx,,>y） )== xx+ +y 排j-排除除(（CC)）(（DD)）.. ，
IL= = = = — ____________________________ .一—
0(（22001155,,1111题题)）【【答答案案】】一-d dxx..
【【解解析析】】此此题题考考查查隐隐函函数数求求导导..
令令 F(x,y,z)== eex '4-+xxyyzz ++ xz+ +c ocossx z- —2 ,2则,则
F
F
/
X
(
{
x
x
,
y
y
z
,
)
z )
=
= y
y
z
z
+
+
1 -
1
s
—
i n
si
x
n
,
i
F
’
1
F
,；=
=
xz
x
,
z
F
9
/
F
(
[
x
(
,
x
y
,y
,z)=
=
e
e
2
z
+
+
x
x
y
y
.
.
又又当当zx ==0 0,,y)==1 时1时e°e，==1 ,1即,即zz= 0=. 0所.所以以
az =— az =—
adxz F F ′ ；( ( 0 0, , 1 l, , 0 0) )
=-1
i
, a
d
y
z F F ,；( ( 0 0 , , 1 l , ,0 0) )
=0
A
.
3x (O11) FF,：((00,,1l,,00)) 'dy (0>1) FF'*(00,,1l,,00))
(0.1) (0.1)
因因而而 dz|0.)==一-d丘x.
dzl, y== 11时时，，zz==1l..
方方程程两两边边求求全全微微分分
zdx+(x+1)dz-2ydy=2xf(x-z,y)dx+x2[f?·(dx-dz)+f?dy]
zclr + (x + l)dz — 2ydy — 2xf(x — z,>)dx + x2C/i • (& — dz) + f'zdy~\
把把xx ==0 ,0y,=y1,=xl=,1z代=入l代上入式上，式有，有
ddzz|l ==-~d"xdz+ 2+d 2yd.y
((方方法法二二)) 易 易得得z x== 00，,vy==1时l时，，zz==1l..
一
方方程程两两边边分分别别对对x,y求求偏偏导导数数
az
zZ++(&x++11)）a襄x==22x”f ++x工25f (（11-- ? a襄 z x ))），
az az' 1…
[
& + 1）繇一-2 2y、==x工2［f/ì 1 ·•(（一嘉)）++f&? ,
(x+1)ay
?y,
把把1x ==0 ,0y,、=1=, z1=,12代=入1代上入两上式两，式有，有
az
?z
aXx = = — — 1 1 , a 奕 y ==29,
a工 '3yyllnn z z== xx((llnn 3y/ -—I nIn xx)),,
y x
对对x工求求偏偏导导，，得得
az
dz
yy· ・ 3x - ==1 lnn ^y —-l lnnxx+ +x ·x* ( (—手
x
1 ))==Ilnn ;yy -—I nInx x— —1 .1.
2
az =
√2(
当当xz= =1, ly,;=y2 =时 2，时有，有x=z√ =2相,代\代入入上上式式得得a祭x =-^((llnn 2 2—-1 1))..
2
((11..22)) Z
= N = = w = n = = = n = = = = = = = = = = = = = = = =
y 上
II ( )i II
" 【【评评注注】】 二 二元元函函数数2x== (x 乏)'对对工x求求偏偏导导，，应应当当作作幂羸指指函函数数求求导导，，可可先先取取对对数数或或化化为为指指数数"
II XX / "
II '•
:函函数数再再求求导导.. 」
-----J
44..【【解解】】 由由复复合合函函数数的的链链 a导导 u法法 =则则得得 ae au an=
adux ? ad u ue · .a四x + | du adrx] _ a 3 u u I a3 a nu u ' ,
加.云十
a
祈
η .3]=加?k十
十祈，
a
d
u
u
=a
d
u
u a a 5 g . ad
a
nu
u · a
3r
n
) = a
au
+b',
a
()u
u
ay a6 ay十 ay a# aη'
dy 3& dy dr, dy af a』
所所以以
= a au
a2u
a2w 3 ((d 3 u u 1 a以 )
ax2 θ dx x \ a6 e 十 a3nq) an. an
= · · ·
a2u a2u +a2u a2u
ac - ) - 2e - U -・ —a—x—j十— 1 --- d3 - 22 - - u - • a— Dxj n - —i , — a d --η 2 - - U ・ — ad j- rx ) — 1—十 , - a -- dds - 22 - a - un - • a3xg ■—
350n
= dx a.r)dx t)rf 3 工 2同'3 工
a d 2 2U u +,d aa2 z n u u +, 29 a 32 2 u u
a定5 +瑟+ 2a曲eoη'，
= au
a
d
2
2u
u
=
? a_((a3eu,daa uun)\)
ay 十
③dxxdayy dy \ ae dr) / an an.
· · · ·
a2u a2u a2u a2u a5
_ da2r u 2$ , d2 u . dj2 1 a*d2n u . dr] I 】32以.ag
三 = 菠・ a 万 y § 十 十 ae 菠 aη 3・ a 3 y , 十 十万孑・ a 3 y , 十 十 a 方 e3η 可・ a d y y
= aa2u a2u a2u
d2 U +. b:, ad2mU +, (fa +b) a d ea 2 η U '
a9
au
ay y
(a adue +i b, a
a
d
η
uu))\
。91 ·
-91 -数
数
学
学
历
历
年
年
真
真
题
题
全
全
精
精
解
解
析
析
·
•
提提高高篇篇(数
（数
学
学
一
一
)
）
= a(( a 3 a 2 2u 〃 +b +I bk (bk: a a d 2 n u u+ . a
=冲定a9 +， -\-b\b —2- + a
\ dr/
a2u
aa2nu
a2u
= a2 ++b屏2 碧++2 2a沥b a碧ean.
2
a定 3寸 冲7/
a2u au2 a2u
由
由
4
4
a d
碧
x j： 2 ~
++1 122
? o
警
x x a o y y
++5 5
a
马
d
d
y
2
y ]
==0,0得,得
a2u a2u a2u
((55aa22 ++ 1122aa++4 4))a至r ++( (55b胪2 ++1 122b》++44))
a
斡
η +
+
(
(
1
1
2
2
(
(a
a
+
+ b
6
)
)
+
+
1
1
0
0
a
泌
b +
+
8
8
)
)
a
斡
53η
==00..
留 a寸 a加q
{5x2+12a+4 =0
5a2 + 12a + 4 = 0,
因因而而《 5 5护 b 2 + + 1 12 2 6 b + + 4 4 = = 0 0 , , 解解得得
1122((。a++b 6)) ++1 100a沥b ++8 8≠乂0.0.
{a =- 2 人a =-2,
旦 a =— 2,
a 5 5 ' 或 或< 2
b, =- 2
b =-2, 5
b =— 2,
= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
=了
" 【【评评注注】】 此此题题主主要要考考查查复复合合函函数数链链导导法法则则的的熟熟练练运运用用，，是是对对运运算算能能力力的的考考核核，. 4II
----...1
55. .【【答答案案】】 CC.. 。
【【解解析析】】 计计算算选选择择题题中中各各项项
y
FF((xx
=
,,yy) )== (
(
x
jc
-
—
f(t)dt—
0 o
ttff(
(
t
z
)
)
d
d
t
z
,
, ?
aF F 貌Cx = ~y y
? 3 — x = ff((t)td)td +t +(x( —x -yy) )f(—x -y)y )—- {(xx —- yy)) / f (x ( x—- yy))== /fX(tQ)dctk,,
ox =—J 0
o
0
0
aF y
蓊 ay =- j f(t)dt(-j:( —x -yy)f)(fx( —x -y)y +)+ ((x x—- yy})ff (<(x x—- yy))==—- f/((tQ)dMt,
0 0
0
a2F a2F
d2F _ " 、d2F _ - 、
a
3
□x—
工
2 2 = — f f ( ( x
z
—
—
y
<
)
y)
,
，方
a"ny_]i = — f f ((
z
x -
—
y y ) ) . •
=—
0F aF a2F a2F
曰逐F _ dF d2F 芸，选©.
显然 3x ay ax2 三 ay2,选(C).
dx dy dx
二二、、求求多多元元函函数数的的极极值值
?E(2(020O9,O195,题15)题【)分【分析析】】先求先函求数函的数驻的点驻，点再，再用用二二元元函函数数取取得得极极值值的的充充分分条条件件判判断断..
{ f(x,y)===2 22xxx((（222 +++y yy222))） ===0 0,, 1
【【解解】】 由由 得 得 z x = = 0 o , ，v y = = 4 e
ffy,((jcx,y,)y )== 22xx22y y++ IIn ny +y +1 1== 00
1
而而 /fL" ==2 (22(2++y _2)/),/f£" ==2 2xx22 ++，,，以f",== 44x巧y..则则
y
f" ==2 2((22 ++ § 1 )) , ,阳 f% =0,f” = e.
(9.÷) e2 ((0。.4÷)) (0.i ) ) =—
因因为为f乙">＞0,0(f,（,以)2-）2f一"f乙"。以<0 V,所0以,所二以元二函元函数数存存在在极极小小值值f/ ( （(o0,, 1
e
i)）=-±
e
1 ·
L函S(（2200111,13,3题题)【）【答答案案】】 AA..
(y)·
【【解解析析】 】由由 zx ==f (Zx()xl)lnnf (f(yy),),有有z z?x({xx,^yy)) ==?( /xz)(Ixn)l nf (fCy)y,) z9Z,(y(xx,9yy)) == ff((xo)c)罗，),
f
f
((y
y
))
·・
9
9
2
2 ·
-第五章 多元函数的微分学
第五章多元函数的微分学
1
所所以以 zz；?((00,,00) )==f /((0O)NInn f/((00)) ==0 ,0z,,z(；(00,,00)) == f /((O0)) ^如)/f'((00)) == 00..
f(0)
故(0,0)是z=f(x)ln f(y)可能的极值点.经计算得
故(0,0)是z = /(x)ln /(>)可能的极值点.经计算得
z?,y)= f'(x)In f(y),
么(了,、)= f (x)ln /*(、)，
,
f(y)f(y)-[f(y)]2
”(x,y)= f(x)
[f(y)]2
(y),
z,(x,y)=f(x)
E(Z，V)= f ，
f(y)
所所以以
AA= =z" z.a( 0(0,,00)) ==f' f(0 (O)I)lnnf /((O0)), ,BB= =z"匕,(0(0,,00)) ==0, 0C,=Cz "=, (0,(00,)0=)f =°，(0()0.).
由由 BB22 一-A ACC< 0V,O且,且A >A0 >,C 0>,0C,有>0子,有( 0/()O>)0 ,>f (00,/)(>01) .>因 1此.因应此选应选(A(A).).
,— — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — -— *— -—7“
" 【【评评注注】】 此此题题与与最最近近几几年年直直接接求求二二元元函函数的数极的值极的值题的目题形目式形上式有上所有不所同不，同但，但实实质质是一是样一的样。的.11
------J
0[(32(021021,21,61题6题)【)【分分析析】】此题此为题常为规常题规型题，型只，只需需用用二二元元函函数数取取得得极极值值的的充充分分条条件件即即可可..
体
【【解解】 】令令_/f!.&(，)z),y=)广=e毕÷++zx …•厂平毕.•(_/)= (1 一了2)广孚 ==00,,
·(-x)=(1-x2)e?
单
f,(x,y)=xe ·(-y)=-xye1 =0,
= xe-J • (— y) =— xye~x = 0,
解得函数驻点，即可能极值点为(1,0)或(-1,0).
解得函数驻点，即可能极值点为(1,0)或(一 1,0).
易易得得
4 4,
ffn" ((xx,,yy)) ==— —2 x2ex?e-1 ++( (11- —x2 x)2·) • ee2一- · • (一 (- z x ) ) = = ( x (. 2 x2 - — 3) 3 x ) e x ? e一~,
·
ff"(xy x(,x,yy))= =(x (2x-2 1—) yl)·j •e ?L 侦,
4.
1.:
fg(z,y)=-x·e平-xy·e平
f'„ (x,y~) = — x • e」’_xy • e--·• (—(- >y) )== ((yy22 -—1 l))xexe.
(
(1
1)
)
在
在
驻
驻
点
点
((1
1
,
,
0
0
)
)
,
,
A=?.(1,0)=-2e+,B=?。(1,0)=0,C=?,(1,0)=-e+,
A =乙(1,0) = -2e-T,B =乙(1,0) = 0,C =已(1,0)= 一 广+,
由由BB22 --A CA=C- 2=e一-12<"0 ,V且0A,<且0,A知 V(01,,知0)(为1,极0)大为极值大点值，点极，极大大值值f/((11,,00))==e-广+*..
((22)) 在在驻驻点点为为((--11,,00)),,
A
A
=
=
f乙?1
(
,一0
1
)
,0
=
)
2
=
e +
2e
,
—
B
,
=
B
?
=
,(
以
-
(
1
一
,0
1,
)
0)
=
=
0 ,
O
C
,C
= f
=
m
乙
(-
(一
1,
1
0
,0
)
)
=
=
e
厂
+,
+,
由由BB22 --AACC= -=2-e2-61~<] 0<,且0,A且>0A,知>0(,-知1(,一0) 1为,0极)为小极值小点值点，，极极小小值/值■f(一(- 11,,00))==—-e厂+土.
z3 z2
1070((22001133,,1177 题 题 ) ) 【 【 解】 解 】 令 令Kf ( .w(x, ) y = )= * x2 % e * +> + + ((y、++夸 ) e2+y == ( ( x 工， 2 + + 了 y + +令) )e e + * y = = 0 0 , ,
3 3
x2 z3
ff,W(r,，yy))== ee**+y ++ (( y 、 + +苓))ee2*+y==( ( 1 1 + +y ) + + 令)ee2f>+ y==0 0,,
3 3
入
x3
x2+y+ =0, {x=1, {x=—1.
x2+> + y3 = 0, X = 1, X =— 1 ,
即即＜ z33 解 解 得 得＜y =- 4 4 ,或 或< y =- 2 2
1
1 +
+ y
V
+
+ 33
=
=
0
0
,
，
3 、=~T 3
4 , 2
故可能极值点为((11 ,, 一— §))，( (―-1 1,，一— "I" ) ))，.易易得得
故可能极值点为 3 3
,93·
・93・数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析· •提提高高篇篇(（数数学学一一） >•:
x3
f?,y)== ( （22h x ++ 22xx2 2++ jyy ++ 寻 ) ）ee2*),，
3
f"。(x,y)== ( （ 1 1 + + 了 x2 2 + +y 、 + + § ) ） e e 2+ f y , ,
3
fη(x,y)== (（ 2 2 + +y 、 + +专 ) ）ee2)f,
3
在在驻驻点点(（11,,一—号 4 )）处处，/二A=/f。二(。1,，一一* 4 !" ) ） = = 3 3 e 厂 ÷ + , , B B = =f 乙 " (（11,l一§ 4 )） = = e 厂1+，
3 3 3
4 =e÷.
C C ==f。乙 ( （11,，一一 § ) ）=广土
3
4
由由BB22-A-ACC —=-2 2ee-}i <<00,且,且A人=3=e+3>广0+知 >，。知函，数函数在在点点(（1】,，一一号)）处处取取到到极极小小值值为为一一 eeY+..
3
2 2 =—e 2 =e÷,
在在驻驻点点(（-一1I,t一 — y)）处处，，A A== f/。L ( （——11,,一_ 号 ) ）=—eY丁 , ,B B = = f。 乙(（_-1 1,一,—奇)）=e~3 ,
3 3 3
2
CC ==f已" ( （-一1 1,，一一音 ) ）== eeT}.
3 重
2
由 由B B 2 2 - - A AC C = 2 = e 2 ￥ e > l 0 > 知 0 ， 知 点 ，点 ( （ - - 1 1 ,一 ,-y)）不不是是极极值值点点.
3
4
因因而而此此函函数数只只在在点点(（11,，一一 §)）处处取取到到极极小小值值一- ee-+i..
3
1［£8(（22001155,1,177题题)【）【分分析析】】函函数数在在一一点点处处沿沿梯梯度度方方向向的的方方向向导导数数最最大大，，进进而而转转化化为为条条件件最最值值问问
题.
题.
【【解解】 】 函 数函，数&f,(、x）,y=) =1x++y '+ x+y巧在 点在(点x,（］y),处'）的处的最最大大方方向向导导数数为为
J√f∵卜工( xT,）y)+f3(x,y)=√(1+y)2+(1+x)2.
+ /?&,—） = J（］+y）2 + （］+«r）2.
构构造造拉拉格格朗朗日日函函数数
LL(（xx,,j/y,A,λ） =) =（1( +l+ yy）)2 2++ （(1l ++ xx)）22 ++λ A（(x2x +2+ /y 2++ 巧xy-一33)）
{(LL； ,（］(x,）,,y/,） λ= )2=（21 (+1 +zx） )++ 22Xxrx ++λ "y ==0 0,, ①①
令 令< L L , fy ( （x x, 9y y ,X ,λ ） = ) = 2 2 （1 ( + 1+ jz y ） ) + + 2 2A x y y + + λ Ax x = =0 0 , , ②②
LL/： &(x ,y人,）λ=)/= x+2 y+ y+2 巧+x y_- 33 == 0o,, ③ ③
②②一-①①得得(（^y--xx)）(（22++λA）) ==0 0,,
若若丫y ==工x,,贝则!］yy ==x z= ±=±1 1; ；若若义λ==——-22,,贝U则 z x==——-l1,y, y== 22 或或工x==22,,y了 ==-—1 .1.
把把两两个个点点坐坐标标代代入入√(I+少y)2+(1+x)工中） ，中f”(x5,y)在）在曲曲线线C上C上的的最最大大方方向向导导数数为为3.
/（1+ 2 +（1+ 2 3.
= = = = = = = U = = = 2fS! = = SI = = = = = = = = = = = = = = = = = = = ·= = -= -=- =- =- -= -= -= 7m
【【评评注注】】 此此题题有有一一定定新新意意，，关关键键是是将将之之转转化化为为求求条条件件极极值值问问题题。.
.......J
9［£(2（021081,81,166题题)）【【解解】】设设铁铁丝丝分分成成的的三三段段长长分分别为别了为,x、,,yz,,z则,;则c +x +vy ++ zz= =2, 2且,且依依次次围围成成的的圆圆
x ,Y ·
的的半半径径，，正正方方形形的的边边长长，，正正三三角角形形的的边边长长分分别为别；为2fπ'，乎
4
，告
3
.
2n 4 3
因因而而，，三三个个图图形形的的面面积积之之和和为为
=
Ss= =π M( 舟 x ) 2 + + ( （于 y ) ） 2 '+ √ 乎 ③ • ( （» ) 2 = £ x2 + y 若 2 + √ 新 3 z2.
2π) 4 十 4 3 4π十 16 十 36*
x2 y2 +√③
构造拉格朗日函数L（x,>,z,A） = = ++!买+章/+义（工+ 了 + 2 — 2）,
构造拉格朗日函数L(x,y,z,A)= 4π 16 36* z2+λ(x+y+z-2),
4tc
10 00
・· 9944 ·-第第五五章章 多多元元函函数数的的微微分分学学
人 x
人
L' = = 2嘉π ++λ " ==0 °,， x 了 = _ 2. 2π ”
π+4+3√3
江+ 4 + 3焰
y
L,= +λ=0, 8
=g8 +人=0, y = 8
由( O 得彳取y =π----+--4--+--3--√-- 3,
借 x + 4 + 3V3
√5
L!=
x+A=0, 6√3
18 z = 6,
π+4+3√3
LL；í=x+y+x-2=0 7T + 4 + 3 足
=x + + z — 2
1
此此时时SS取取最最小小值值为为----i一
π+4+3√3
k + 4 + 3V3
「= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =-『7
" 【【评评注注】】 可 可设设三三段段长长为为工x，\,,y2, 2—- x了—一y夕,将，将题题目目转转化化为为二二元元函函数数的的最最值值问问题题.. »
IL - =一 = = =_ = = =_ = M =一 =… = =_ M —_ —_ —_ J — — — =— — — — — — — — — — — — — — — — —
f?=3x2-y=0
1 1
(ft = 3x2 — y = 0 (/i 1 \
2讣1((22002200,,1155题题))【【解解】 】由由，
f, =2
o4
4 y
2
2-x=0
八得得驻驻点点为为((。0,，00)),，76■，育12 ・
\fy = 2\y — x = 0 乙/
可可计计算 A算 =A f=nf 。= 6=X6,Bx =, B=f="—= 1-,1C, =C f=yyf ?=8 4y8y,,
判判别别式式△△ == BB22 —- AACC ==1 —1 —28 288x8巧y..
在在((00,,00))点点处处,，△△ == 11 >>0, 0不,不是是极极值值点点；；
1 1 1 1 1
在在( ((§
6
，
1
佥
2
)点点处处,△， =△—= 3-V3<00且且AA= =1 >10 >,取 0,极取小极值小为值f为( (■
6
，
1
佥
2
)二=*——
2
2
1
1
6°
6-
2g]f(l(22002211,,1199题题))【【分分析析】】 曲曲线线CC上上的的点点到到xO廿y面为的面距的离距为离|为z|I ,z 利|,用利等用效等性效性，，目目标标函函数数取取为为2事..
【【解解】】 利利用用拉拉格格朗朗日日乘乘数数法法
令令 L(x,y,z,λ,=μ z)2= +z 2A+(λx2 +(x 22y+2 2—y2z -—x 6-6))++〃μ(4(z 4+x +2；2y y++ Nx -—3 300))
人
( L L , 1 = = 2 2 λ Xr x + + 4 4/ μ z = = 0 0 ①①
L,=4λy+2μ=0
Lfy = 4 人/ + 2“ = 0 ②②
L'=2x-λ+μ=0
yL；=2z —义+产=0 ③③
L1=x2+2y2-x-6=0
L；= / +2/ -z-6 = 0 ④④
L L； ; = = 4 4x x + + 2 23 y / + + x z — - 3 30 0 = = 0 0 ⑤⑤
由由①①②②得得λA((xx--44y^)) == 0 0..
若若λA == 00,,则则μ产==00,,代代入入③③得得xz= =0 ,0再,再代代入入④④⑤⑤得得
x2+2y2-6=0
((x2 + 2y2 —6 = 0
4x+2y-30=0
(4x 4- 2^ — 30 = 0
此此方方程程组组无无解解。.
若x-4y=0,即x=4y,代入④⑤得
若X — 4y = 0,即z = 4y,代入④⑤得
18y2-z-6=0
18^2 —z — 6 = 0
: 1 18 8 丁 y + + 恋 z 一 -3 30 0 = = 0 0
y=1, y =—2,
v = l'或 y =—Z,
可可解解得得 或
zz == 1122 双 z = 66.
z = 66.
可可见见，，所所求求的的最最大大距距离离为为6666..
2函2((22002222,,1133题 题))【【答答案案】】(［44ee-—22,, ++0o8).).
【【解解析析】 】原原式式变变为为(了(x22 ++丁y2))广e-(心+>、))《≤k人
令f(x,y)=(x2+y2)e-(++).
令 /(x,y) = 3+一)广".
· 95 ·数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析·・提提高高篇篇((数数学学一一))
{( f A , = = ( 2 (2 x工-一x2了- 2 y一2)-)e广-( 5 ry ) = = 0 0 {(X x = = 0 0 , , { ( x x = = 1 1 , ,
得 或{
\ ff, y ==( 2(y2y- x—2 x-2 y—2 y)2e)e-~((Jr^y+) ==0 '0 \ y y = = 0 0 . , \y y = = 1 1 . .
当当 xx= =0时 0 ，时f(0,y)= =y 2ye2'e-,>最 ,最大大值值为为4 e4-e-22,,
同同理理，，y y== 00时 时，,/f((xx,,00)) ==x 2xe2~e~,x最 ,最大大值值为为4 e4-e2-2..
xr22 +I yv22
=0,
且limf(x,y)= lim
且 lim /(x，3/) = lim —e2+y =。，
→+0° 十
y-*4-oo yy→-*-+|-0oo0
f
/(
(
0
0
,
,
0
0
)
) ==0 ,0f,(/(1l,,1l)) ==2e 2-e2-.2.
因因而而f
f
(
U
x,
,
y
y
)
)
的的最最大大值值为为4e
4
-次2,，
则有k≥4e2.
则有龙2 4厂2.
、/解解题题加加速速度度
11..【【分分中析j根根据据全全微微分分和和初初始始条条件件可可先先确确定定f/(&x,,y少)的的表表达达式式..而而ff((xx,,yy)在)在椭椭圆圆域域上上的的最最大大
值值和和最最小小值值，，可可能能在区区域域的的内内部部达达到到，，也也可可能能在在区区域域的的边边界界上上达达到到，，且且在在边边界界上上的的最最值值又又转转化化为为求求
条条件件极极值值..
af ?f
【【解解】】 由由题题设设，，知知a孚x== 22工x,，孚ay==一-2 2y、,，
ax dy
于于是是
/
f
(x
(
,
x
>
,
)
y )
=
= 〃x2
+
+ C
C
(
3
y)), ,且且(C^'3()y)==—- 2 2)y, ,从从而而
C
C
(y
(
)
y )==一- y>22 ++C
C
.
.
再再由由 /f(1(,11,)1 =) =22,,得得 CC== 22,,故故，f&(x,,少y)==x^2_-y丁2++2.2.
af af
令令a U x ==0。,，a兼y ==00,得,得可可能能极极值值点点为为X x== 00,9yy ==0 .0.f (/(00,,00))= = 2 2..
3工 dy
y2
再考虑其在边界曲线衣+* = 1上的情形:令拉格朗日函数为
再考虑其在边界曲线x2+ =1上的情形：令拉格朗日函数为
4
4
y2 ·
FF((xX,,Jy/,,Ax)) ==f，(x(了,y,少)+ +λ人( ( 了 x 2 2 + + 七-—1 1 ) )・
4
令令
人
?f.
FF；1== a孕x + 2Az = 2(1 + A)x = 0,
+2λx=2(1+λ)x=0,
dX
F,= af. +‘Ay 1
y F；=翌 + 零==——22jy/ ++ ^rλ\yy == 00,,
ay
2 2
dy Z Z
y2
F F：1 = =x * 2 2 + +%-一11 ==0 0,,
4
解解得得可可能极能值极点值 X 点= ox,«=y0 =, y2=,A2 ,=λ 4；=x4 =; x0=,y0 ,=y—= 2-,2A, =λ 4=；x4 ;=x =l91y, =y =00,A, a==—- 1l；;xx ==-—1 1,,
yV= =0 ,0x,义=-=1—.代1.入代入f( /x(,xy，)3z得)得f(，0(0,,± ± 22)) ==-—2 ,2f,z f((±± 11,,00)) ==3 3,,
可
可
见
见
z
z
=
= f
/
(
(
x
x
,
,>
y)
)
在
在区
区
域
域
D
D
=
=
{{
(
(
x
w
,y
)
)
xf2++苓
4
≤<11 )
内
内
的
的
最
最
大
大
值
值
为
为
3
3
,
,
最
最
小
小
值
值
为
为
—
一
2
2
.
.
「= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = — = = = = = * = = = = = = = = = = = = = 『
【【评评注注】】 本 本题题综综合合考考查查了了多多元元函函数数微微分分学学的的知知识识，，涉涉及及多多个个重重要要基基础础概概念念，，特特别别是是通通过过
II II
II II
1偏偏导导数数反反求求函函数数关关系系，，要要求求考考生生真真正正理理解解并并掌掌握握相相关关知知识识。.
------J
22..【【解解】 】 设设拉拉格格朗朗日日函函数数为为
F(x,y,z,λ,Q, =μ x)2= +x2 y+2 y+2 +z2z +2+ Aλ(z (一z x-2x —2- yy22) )++ /μz(x( -x+yy -+\r zz- —4 )4.).
令令
·96
・96・第五章 多元函数的微分学
第五章多元函数的微分学
人
(F/(x,y,z)=2x-2λx+μ=0,
= 2x — 2Xr +/z = 0,
F
F,
y
(
(x
x
,
,
jz
y
,
,
z)
z )
=
= 2
2y
y -
—
2
2
λ
Ay
y
+
+ μ〃
=
= 0
0
,
,
F'(x,y,z)=2z+λ+μ=0,
v Ffz(x9y9z) = 2z +义+“ = 0,
FF：/ &(x，y,y，z,) z=) =z z—- Jx：?2 _-_ yJ2 ==0。,，
F/(x,y,z)=x+y+z-4=0,
F^,(x,^,z) =i + _y + z —4 = 0,
得
得
人x=-2, 入x=1,
x =— 2, [x = 1,
y =1,
y=-2,或
y =—2,或 = 1,
z = 8, z = 2.
z = 8, z = 2.
故最大值、最小值分别为um.=(-2)2+(-2)2+82=72,umm=l2+l2+22=6.
故最大值、最小值分别为fx = (—2)2 + (—2)2+乎=72心 =12+12+22 = 6.
fr ~ = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =]|
φ(x,y,z)=0,
11 (
,√
/2)
2 )
=
= 0
0
,
,
得所求最大值为5√5,最小值为-5√5.
得所求最大值为5妨，最小值为一 5 V5.
^== = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = ^ = = = = = = = =- = - = = = = = -==711
……………………………………………………………………………………… …
-【【-评评-注注-】】-求= 求多多元元函函数数的的极极值值已连已续连几续年几考年查考，查仍，仍属属基基本本题题型型。.
— _ l — — — — — — = rr — 一 — ― — — — ― — = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = nJ
44.. 【【分分析析】】 应应利利用用多多元元复复合合函函数数的的求求偏偏导导法法则则及及取取得得极极值值的的必必要要条条件件..
az
【【解解】】 由由链链导导法法则则得得a夺x ==zZ.u+ 4z- .zvvv:x, ,其其中中uu ==x x+ +y, yv,v= f=( x/,(xy)，3,>所),所以以
dX
a2x
=z∠+zmv?+(z??)v?+z?v"y.
0xay = Z- + zmvy + (zw + zwvy)vx + zg 引.
由由于于f
/
((1
i
,
,
1
i
))=
=
2 是 2是f(u
y
,(v
u
)
,v
的)极的值极，值，则则
v,(1,1)=f.(1,1)=0,v,(1,1)=f,(1,1)= 0.
d(i,i)= = 0, Vy( 1,1)= g(i,i)= 0.
令令xx == yy= =1 ,1得,得
· 97 ·
・97・数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析·
•
提提高高篇篇(数心学一))
a2z
=z”(2,2)+z,(2,2)v(1,1)=f_(2,2)+f。(2,2)f。(1,1).
axay ,=匕(2,2)+匕(2,2)况,(1,1)=乙(2,2)+£(2,2)/(1,1).
dxdy | =；二1；
y=1
「== = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = ==司
|| 【【评评注注】】 该 该题题虽虽然然是是抽抽象象复复合合函函数数求求偏偏导导的的题题目目，，实实际际上上关关键键是是要要用用到到二二元元函函数数取取得得极极
II
直
Il 值的必要条件。 II
«值的必要条件. "
』・ = = =二= ， = = = = = = = = ： = = = = = = = = = = ■ = = = = = = — 土 = -= -= -= -= =- =- =- =J』
55.. 【[解f 】1 ((I )I
a
)
g
?
(
夏
axx,
F
y)
，)=f=( x,y-—x )z-) f—? (x,y-—x )z.).
OX
由由已已知知ff((uu,v,p)满)满足足的的等等式式，，有有
ag(x,y)
3x ==2 2((22xx- —y) ye)~e~3y= (=4 x(4—x 2—y 2)ye)?e'~y..
ox
((Ⅱ口))利利用用偏偏积积分分
g(x,y)=(2x2-2xy)e?+C(y)=2x(x-y)e??+C(y),
g&,y) = (2x2 — 2xy )e-y + C(>) = 2x(x — y)t~y + C(y),
即即 ff((xx9y, y—- xx)) ==2 2xx((xx -—y y))ee~yy+ +C (Cy()y',),
进进而而 ff((uu,,pv)) ==-—2u2vuev-e(Tw+f)w+)+CC((“u ++v z)O..
已已知知 f/((uu,,00))= =u 2ue2~e“-M,»则则 CC(u(“)=) =u2 eu~2e”--, 9
有有 f
/
(
(
u
u
,
,
v
v
)
)
= -
=
2—uv
2
e
i
-
c
(
u
+
€
w
~
)
^
+ (
+
u +
(
v
m
)
+
2e
p
-
)
(2me~+(wlH)-p=) (=u 2
(
+
u
v2 2+)ev-
2
()e=~+(0,H)~v.).
入 { I f ft . = = ( ( 2 2 u u - — u u 2 2 - — v 2 v2 ) ) e e~ - (, ( rH c ,) ) = = 0 0 { ( u u = = 0 O , , {( u u = = 1 1 , ,
令{ 得 或{
* \
f
ffv
. =
=
( 2
(2
v
v
- u
—
2
u
-
2
v
—
2 )
v
e
2
-
)e
(
_
w
(M
+
+v
u
)
)
=
= 0
0 " 1vv == 00., (pv == 11,,
可可计计算算/Lf -== ((22- —4u板+u+2必+v+2廿)e)-广(w2+),,
ff=m (=- 2(v一— 2r2 —u +2u〃 2++ Iv?2 +) e廿-)(ew-(+^0v),,
ff=w (=2 -(24 v—+ 4u
p
2 ++ v必2 )+e x-/()ew-+(m)..
在在((00,0,)0点)处点 A处 =A =22,B, B== 00,,CC==22..
△=B2-AC=-4<0,A=2>0.
A = B2 — AC =— 4 V 0,A = 2 > 0.
/f((«u,,vv))取取到到极极小小值值为为/f((00,,00)) == 00..
在在((11,,11)点)点处 处A A== 00,,BB ==-—2 e2e-~22 ,,CC ==0 .0.
△△ ==B B22--AAC=C4 e=- *4>e~04, >f( 0u,,/v()u在,v()1在,(11),处1)无处无极极值值..
三、反问题
三、反问题
2困3((2200114,41,17题7题)【)【分分析析】】根根据据已已知知的的关关系系式式，，变变形形得得到到关关于于f/((u“)的)的微微分分方方程程，，解解微微分分方方程程求求
得
得
f
f
((u
u
)
)
.
.
【解】 a由 z 由 Z x = =f / ( ( e e ' x c c o o s s y y) ) 得得
az
a岸x==f(/ez'(ceoxsc osy )y·) e• 'ecxocso s y',，a嘉y ==f'f(e ('ec'coos s yy))· •( —(—e 'es'siinn yy)),,
a2z
=f"(e'cos y)·e'cos y·e'cos y+f(e'cos y)·e'cos y
ax2 = f (excos y) • /cos y • e'cos y + f (eJcos y) • e'cos y
= f(e'cos y)·e2cos2y+f(e'cos y)·e'cos y,
= j (e^cos jO • e2jcos2y cos y)・ e'cos y9
a2z
* z
=f(e'cos y)·(-e'sin y)·(-e'sin y)+f(e'cos y)·(-e'cos y)
ay2 f (e'cos y) • (— exsin y) • (— e'sin y) + ff (e cos y) • (— e'cos y)
=f(e'cos y)·e2sin2y-f(e'cos y)·e'cos y,
= 尸(dcos y) • e2xsin2j> — f (eJcos y) • e'cos j,
·98 ·
・98 -第第五五章童 多多元元函函数数的的微微分分学学
a2z a2x
+
由由言+务==(4(z4+ze +'c eo'sc oys )ye)2e,2代x ,代入入得得，，
ax2 ay1
f(e'cos y)·e2r =[4f(e'cos y)+e'cos y]e2,
f (eJcos y) . e2x = [4/Xe'cos y) + e”cos yje* ,
即
即
子 f((
e
e
J
2
co
'
s
c o
y
s
) —
y )
4
-
/
4
(e
f
x
(
c
e
o
2
s
c
y
o
)
s y
=
) =
e 'c
e
o
'
s
c
、
os
，令
y
e
,
^
令
co
e
s
2
y
c o
=
s y
〃
=
，
u
得
, 得子(u)-4f(u)
=
= u
u
,
,
特征方程x2-4=0,λ=±2,得齐次方程通解y= C?e2“+C?e-2.
特征方程A2-4 = 0,A =±2,得齐次方程通解> =Cie2-+C2e-2\
1 1
设 设特 特 解 解 V y * * = = a a u u + + b 6 , , 代 代 入 入方 方 程 程 得 得 a a = = — - 4 ,b== 00,,特特解解y'==—- y4u u, ,则 则 原 原 方 方 程 程 通 通 解 解 为 为
1
u.
y= f(u)= C?e2“+C?e-2-
y = /(u) = Ci e2u 4- C2e-2"—4 'u.
1 1
由 由 /f((00) )== 00,/f(0(0)) == 00,,得 得 GC? == A 16 »,CC2? ==—— 1 土 6,，则则
lb lb
1 1 1
y y *v = = = ff(Cuu')) = —1 1 - 6 6e e ^ 2 u “ — 一 —1 1 —6 6q e ~ - ^ 2 u — — ~ 44 —u u.
、/1解题加速度
解题加速度
【【分分析析｝ ； 利利用用复复合合函函数数偏偏导导数数的的计计算算方方法法求求出出两两个个偏偏导导数数，，代代入入所所给给偏偏微微分分方方程程，，转转化化为为可可
求求解解的的常常微微分分方方程程 a.z .
?z
【解】 因因为为a冬x==f(fe' (ceoxsco sy )>e)2ecxocsos yj,y,a殳y ==-—f(fe2 (ceoJsco sy )^e)2esxisnin y,所所以以
dx dy
?x ?z
ccooss yy 刍一— ssiinn vy a蔡y == ccooss yy ·• ff( e(e'Jc cooss yy))eex' ccooss yy —-s siinn yy· • [[-—f (fe '(cexo cso sy )^eO'es'siinn yy]]
0x
dx dy
==f(fef '(ecxocso sy >))ee2x..
az az —
因因此此c cooss yV a襄x一— ssiinn Vy a寿y ==(4(z4+z e+2 cexocso sy >))ee2x可 可化化为为
ff( (ee'xccooss yy)) ==4 f4(/e(2ecxocsos yy))+ +e2 ecxocso s yy..
从从而而函函数数
/
f
(
(
u
u)
)
满满足足方方程程f
/
(
(
u
u
)
)
= 4
=
f (
4
u
/
)
(
+
u
u.
)+
这
u
是 .这一是阶一线阶性线非性齐非次齐微次分微方分程方，程直，直接接代代通通解解公公式式
u
1
得得该该方方程程的的通通解解为为f/((u«))= =C eC?“* —一 ：4 一16
4 10
1
由由/f(0()0 )== 00得得cC == 16 .故 故
10
1
/
f
(
(
«
u
)
)
=
=
^((ee4'""--44uu—-1l))..
16
±0
r【评注】一阶线性非齐次微分方程是非常重要的一类可解方程，要熟记其通解公式.对]
【评注】一阶线性非齐次微分方程是非常重要的一类可解方程，要熟记其通解公式.对
II U
:于于方方程程、y' +'+ /p>(&x))、y== qq((Hx)),,其其通通解解为为V =y =eeTfgw>k(yJ q q ( ( x z ) ) e e w k t g d c x l + r C + ) C ,C ) 为 ,C 任为任意意常常数数. ・ :
---J
11== = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = — — = = — = = — = — = = ss = = = = = ,= = = ~~^
四四、、求求方方向向导导数数与与梯梯度度
2虱4((22001122,,1111题题))【【答答案案】】(1(1,1,,11,)1或)或i +i+ jj ++k 虹.
af.·af ?f
【
【
解
解
析
析
】
】
根
根
据
据
梯
梯
度
度
定
定
义
义
g
g
r
r
a
a
d
d
/
f
(
(
x
x
,
,
>
y
,
,
z
z
)
)
=
=
((a冬x' a弟y 耳az) ),，于于是是
=
z , 1
grad((x巧y ++ 子))匚叩=(( y … ,x— 一 y之 ) ==( 1(1.,11.,11)).
grad( y y
(2.1.1) (2.1,1)
·99 ·
-99 --
数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析·
・
提提高高篇篇(数（数学学一一)）
故故应应填填（(11,,11,1,）1)或或 i i++ jj ++k .k.
2
@
5( §（2
2
0
0
1
1
6
6
,
,
1
1
0
0
题题)）【【答答案案】】
j +
j+
C
(y
y
-
-
1
V
)k
k
.
.
i j k i j k
a
i j
a a
k =
a
i
a
J ak
【【解解析析】】 rroottA A== a dx x a d y y az dz — a d d j x_ c a d d y y _ 0 d d x z _ = = j j + ( + y ( — y- 1 i ) ) k k , .
x+y+zxy z
P Q R
P Q R z + y + z xy z
2
2
6
0
(
（
2
2
01
0
7
1
,
7
3
,
题 3题)【）【答答案案】】 D
D
.
.
?f
= 2xy =4,
【【解解析析】】 ?x =4,
((11..22,,00)) ((11..22..00))
af
=x2 =1,
=1 ,
ay|
((11,.22,.00)) ((11,.22,.00))
?f
= 2z =0,
=0,
az|
(1.2.0) (1,2.0)
n(1.2,0)
1 , 2
(1,2,,0
2
)
2 2
nT 二 3 —3 ■—3—
n
所所求求方方向向导导数数为为
af 1 2 2
an =4× 1 +1× 2 +0× 9 =2.
4X 专+ 1X 号+ 0X 号=2.
3 3 3
(1,2,0)
(1,2.0)
故故选选(（DD)）..
2
3
7
3
(2
（2
01
0
8
1
,
8
1
,
1
1
题 1题)【）【答答案案】】 i—k.
【【解解析析】】 由由旋旋度度的的定定义义
k
a i j a j a k
rroott FF( (11,,11,,00))== adx a a y 0 d z = = (v 3 i— — zj 芍 — — x 衣 k) ） =i-k.
dx dy dz (1.1,0)
(1.1.0)
xy —yz zx
巧 —yz zx (1,1.0)
(1.1.0)
国28((2200119,91,61题6题)【)【解解】】((II) )函函数数xz= 2=+ 2a x+2 a+zb2y +2在 by(23在,(43),点4)处点处的的梯梯度度为为
ggrraadd xz||(a3..八4=={2{a2rar, ,22b如y)}a(3.,4)〉==( 6{a6,a8,8b6}}..
(3.4)
由由题题意意知知
=
入 66aa _ 8 86 b ,
-f3 —f4'，
√(6a)2+(8b)?=10,
/（6q）2 + （85）2 = 10,
解解得得aa == bb ==-—1 或1或a=a b== b1 (=舍 1（去舍去).）.
(（ⅡH）)曲曲面面方方程程为为
n
=z= 22 —-xf2 -一y丁2( Gx≥N0。)）,，其其在在皿xO面y面上上的的投投影影为为。D=={{(Cxr,,少y)||xx22++yy2≤ <22}）,,
所所求求面面积积为为
d 0
√I+(-2x)2+(-2y)dxdy= √1+4x2+4y2 dxdy
71 + (- 2x)2 + (- 2yY dxdv =“aJl + 4了2 + 4 丁 drdv
.0
=
13.
1 』 + \ 4 + r 4 . 厂 r 之• d r r d r = = 孕穴π.。
3
0
10
；； 【【评评注注】】 曲曲面面面面积积也也可可写写成成|| d d S S . . II
号 II
II II
·100 ·
-100 ・第第五五章章 多多元元函函数散的的微微分分学学
2囤9(
(
2
2
0
0
22
2
,
2
1
,
1
1
题 1题)【)【答答案案】】 4
4
.
.
【【解解析析】】 沿 沿梯梯度度方方向向的的方方向向导导数数最最大大
=
af.
nn == ggrraadd /f|(()]( = af) =={ 2{x2,x4,4y>})c(0o.i,)p=={ {00,,44}}
dx'
(0.1 ay] (0,1)
44{{ccooss aa,,ccooss β0}} == 44{(00,,1l}}..
最最大大方方向向导导数数为为 =
aa争fn| I = (( ? al f x^' , - c c o o s s a a + + ? a手 f y' . ccooss a)I ==00X×00 ++4 4×Xl1 ==4 4..
dn I( ( 0o,,1i) ) \dx ay / I( ( 0o,,1i) )
五五、、多多元元函函数数微微分分学学的的几几何何应应用用
3亚0((2200131,32,2题题)【)【答答案案】】 AA..
【【解解析析】 】令令 F F ( ( x x ,y , ^ y z , ) z = )= x x 2 2 + +c c o o s s( ( x x ^ y ) ) + + y y z z + + x x ,则 ,则
FF?；((00,,11, ,—- 11)) ==[ [22xz- —y sysiinn((巧xy))++ 11]] || (Oot1lt_-n) ==1 1,，
FF,；((00,l,, 1—, -1)1 =) =[[—- xxsisni(xn^() z+y z)]+ | z(O]tl |_no ==-—1 1,，
FF'；((00,,l1, ,—- 1l))==y圳|o<.。1,1.,_-“ )== 11,，
所所求求切切平平面面方方程为程
1
为 •(1工·一(
0
x
)
-
+
0 )
(—
+(
1
-
)
1
•
)
3
·
—
( y
1
-
)
1
+
)
1
+ 1
•
·(z+ (z
1
+
)
1
=
)=
0
0
,
,即即工x一-y
v
+
+
x
z
= -
=
2
—
.故
2.
选故选(A(A ).
).
331]((22001144,,99 题题))【答【案答】案2】z2-x、-一y-zz==1l..
【t解解析析】 】由由于于zz ==x2衣(1(-1 s—i nsi ny 了)+)y+2(寸1(—1 s—i sni nx z)),,则则
z
z
,
x
=
=
2 x
2
(
x
1
(1
- s
—
i n
s in
y )
y)
- c
—
o s
co s
x
x
·
•
y
y
2
2
,
,
x
z
1；(
(l
1
,
,
0
0
)
)
=
=2 ,
2,
z
z
,
y
=
=
-
—
x2
jc
c
2
o
co
s
s
y
y
+
+
2 y
2
(
^(
1
1
-
—
si
s
n
in
x
z
)
)
,
,z
z；,
(
(
l
1
,0
,
)
0 )
=
=
—
-1
1
,
,
所以曲面在点(1,0,1)处的法向量为n={2,-1,-1}.
所以曲面在点(1,0,1)处的法向量为” ={2,-1,-1).
故故切切平平面面方程方为程2&为—2(1)x 一- 13) -—( 0y)- —0)(z-(-zl)- 1=) =00,即,即2工2一x、-y一-2z—- 11 ==0 .0.
区32((2200118,82,2题题)【)【答答案案】】 BB..
【【解解析析】】 可可用用排排除除法法或或直直接接求求解解..
((排排除除法法) )显显然然平平面面xz= 0=与 0曲与面曲z面=xz 2=+ yx22相+切y2，相且切过，且点过(点1,(01,,00),0及)(及0(,01,,10,0))..
排排除除((CC))((DD))..
曲曲面面zz ==x 2x+2 y+2 的j/2法的法向向量量为为({22xz,,22y、,，-一1}1,},
对对于于((AA)),,平平面=面i x++ vy= -—zz=1=的 1法的向法向量量为为{{11,,11,,-一11}},,
人2x 2y -1,
2x __2y_ —]
T1 = 11 = — = 1° 1，
而而方方程程组组·」x+, y-z=1,1 无无解解，，排排除除((AA))..
x + y — z= 1,
zz ==x /2 ++y y22
故故正正确确答答案案应应选选((BB))..
入zo=x6+y6,
z0 = Xo + 3^0 ♦
((直直接接法法)) 设设切切点点坐坐标标为为(x(o瓦,y，o％, z,?初),)则，则-< {{22zxo。，2,/o2，y—o, 1-}1 )• ·{1{, 1—, -11,0,}0 }== 00,,
.({22zxoo，,22yy)o, ,—- 11}} ·• {{工x0。 一- 11,，弘yo，,2z。o} )== 00,，
入 x。=1.
x?=0,
Xo = 0, [xo = 1>
解解得得 ＜y外o ==00,或,或危 yo 。 = =1 1 . ,
zzo。 == 00 [ z z 。 Q = = 2 2 . .
所所求求切切平平面面为z为 =x 0=或0或2z2 +x+ 22；yy —-zz ==2 .2.
·・
1
10
0
1
1
·・数学历年真题全精解析·提高篇(数学一)
数学历年真题全精解析•提高篇（数学一）
.—
第六章 重积分
第六章 重识分
一.基、基本本概概念念及及性性质质
111(2（020090,92,2题题)【）【答答案案】】 AA..
【解析】 D?,D,两区域关于x轴对称，被积函数是关于y的奇函数，所以I?=I?=0;D?、D,
【解析】D2,Dt两区域关于工轴对称，被积函数是关于v的奇函数，所以h = /4 =0；玖、。3
两区域关于y轴对称，被积函数是关于x的偶函数，所以
两区域关于、轴对称，被积函数是关于x的偶函数，所以
I?= 2 ycos xdxdy >0,
2 jj ycos xdxdy > 0,
((x.y)lo S = -1 1 ((1+E n - i --儿----1- E --+---(-- n i -- " ----]-- • n / 2
=
1
=LdMx o（i+x）i（i+/）-dy,
0 (1+x)(1+y2)'
所所以以应应选选(（DD)）..
【【评评注注】】 11 ..也也可可用用定定积积分分定定义义计计算算 I
it
— l l ■ i → i 8 m 00 m - 蚓 命 乙 1 j 乙 -1 7 (( nn ++i i)•) J(( n n nm 222 ++□_j ;2 2)) 、 = = 1 l → 临 i 8 00 m 蚓 冬 - 乙 1 1 1 + + 1 ] 上 n 1 · 4n 1 2 j 痔 =1 。 11 ++( - 1 ( ] 工 n L )? · 1 n 1 n II
n n
· ·
== lliimm 夕乙 — 1 • — 1 lliimm 史≥ ---- 1 — •—1
i n n
→L008i-，1= 1 1]+ +n 上 n #*”*-008 j / - n 1 ] 1]+ +((工nZ))2 n 11
In) In0 J 11
=
1 1 1
=J： rkdxdx£ dy = dx dy.
0 1+x 01 点 +y2 心= £&£0 ( (1i++x工)()1；+iy+2)y')奴 :
22..以以往往多多次次考考过过定定积积分分定定义义求求极极限限，，本本题题是是首首次次考考查查二二重重积积分分定定义义求求极极限限，，题题目目较较新新颖颖. .:
IL== = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
· 102 ·
-102 -_
第第六穴章章 重重积积分分
解解题题加加速速度度
1.【答案AA.
1.【答窘
【【解解析S析 在在区区域域DD=(=( x{,(yx),>|)x|2x+2y+2≤/<1)l上}±，,有有O0≤ ≤2<1,1从,从而而有有
π
>1≥√x2+y?≥x2+y2≥(x2+y2)2≥0.
普2 >12 /工2 + - 2 工2 + 一 2 以 + C)2 > 0・
乙
π
由由于于ccooss
xZ在在(0
0
,，分 )
)上上为为单单调调减减少少函函数数，，于于是是
2
O≤cos√x2+y?≤cos(x2+y2)≤cos(x2+y2)2.
0 V cos -/x2 + y2 < cos(x2 + / ) < cos(x2 + 312 )2.
因此
因此
8 8
cos√z2+y2do< )8
JJcos ■>/x2 + >2 da < JJccooss((xx2 2++ yy22,))ddo o<< JJccoossC(xx22 ++y >22))22d doo,-,
D D D
故故应应选选((A
A
)
)
.
.
F = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = nl
【【评评注注】】 本本题题比比较较二二重重积积分分大大小小，，本本质质上上涉涉及及用用重重积积分分的的不不等等式式性性质质和和函函数数的的单单调调性性进进[I
[行行分分析析讨讨论论。.
--J
22..【【答答案案】】 BB..
【【解解析析】】利利用用重重积积分分的的性性质质即即可
0
可得得出出答答案案..因因为为第第11,,33象象限限区区域域有有关关于于x了,y以的的轮轮换换对对称称性性，，故故髭窿
名 品
HB
ydxdy = xdxdy,于是I?= (y-x)dxdy=0(k=1,3).
JJydxd^ = jprclrd_y,于是 Z* = Jj'cy — x） = 0（龙=1,3）.
Dk Dk Dk
在在第第22象象限限区区域域ED>?2上上y
、
-
一
x≥ z>00,第,第4象4象限区限域区D?域上±y-x>≤-x 0,<故0,由故重由积重分积分的的性性质质得得
I?>0。,14<0. 。
L > ，L V 0.
二、二二重重积积分分的的基基本本计计算算 。
3(2
（
0
2
1
0
1
1
,
1
1
,
9
1
题 9题)【）【分分析析】】把把二二重重积积分分化化为为二二次次积积分分，用，用分分部部积积分分法法..
b 6
(1 — ()
【【解解】】』.xyf",(x,y)dxdy = x yf",(x,y)dy) ) dx= x( ydf/(x,y)))dx.
0 10 0 0
D
;
用用分分部部积积分分法法
门
1
yyddff.x( (.xx,,yy)) == yf'(x,y) I — [ f.(x, 。 y)dy ==—- f ff. ： ((工 x,,。yjO)ddyy.
0 I1o0 J 0 o — J 0
交交换换积积
1
分分次次序序
0
()
£xx（joyyddf/?^(（xx,y，3)»)）)）ddxx ==-—£x（£f/.l(（xx,，3yi)）ddjy»)） dAxx ==-—£
xf:(x,y)dx
)dy.
x|
0 0 口 0 0
再再用用分分部部积积分分法法
1
J
J x xf f^ : （ ( x x , , y y ） ) d d j： x = = x xd d f /( ( x x ， , 3 y z) ) = =x x f( /( x x ,y ，3 ) /) L 1 - j ,1 ( ff{(xx^,yy))ddxx ==—— fl ff({xx,yyy))ddrx.,
J
9 0 0 0
心刃侦了，少&心= 。dy 。/(],、)& =
所所以以 xyf",(x,y)dxdy = J d? J
o
f(x,y)dx= aa..
0
D
「= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =7
i. 【【评评注注】】 注注意意在在计计算算二二次次积积分分的的过过程程中中对对分分部部积积分分法法及及已已知知条条件件的的应应用用.. "
_= = 一 — 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 = — — _ — — - ~: = = = = = = = = = 二二=sjj
·- 110033 ·・>
数学历年真题全精解析·提高篇(数学一)
数学历年真题全精解析•提高篇（数学一）
H(（2200115,54,题4题)【）【答答案案】】 BB..
【【解解析析】】 画画出出积积分分区区域域，，用用极极坐坐标标把把二二重重积积分分化化为为二二次次积积分分..
曲曲线线22xxyy ==1, 14,x4y巧 =1=的1极的坐极标坐标方方程程分分别别为为
1 1
rr == ] ,r == ]
/sin 26 √2sin 20
Jsin 2。 -/2sin 29
π π
·
直直线线,y==x,wy=√=3原x的的极极坐坐标标方方程程分分别别为为θ。==救,0==寺
4 3
d
儿叶 71
所所以以Jpf&(xa,cyL)dzxddjy/ == J： dθ / f ( ( r r c c o os s θ 0 , , r r s s i in n θ 0) ) r r d d r r. .应 应选 选 ( ( B B )。 ).
访
= W = = r = = n = = = = = = = = = = =兰= = = = = = = = = =
【评注】注意极坐标与直角坐标的转化dxdy = rdrd0.
【评注】 注意极坐标与直角坐标的转化cLzdy = rdrdG.
05(2（021061,61,155题题)）【【解解】】 积积分分区区域域D。关关于于x轴z对轴称对，称故，故由由对对称称性性知知
1+cosm) 8 量
jjrxcdlrrddvy 14-cos 8) r /c co o s s θ Od d r r = = —3 O . j f y * [[((11 ++co csoθs )03)—3 —1] lc]ocsoθs dOθdO
-子
=
D
= =16| 善 ((33ccooss220θ++3 3ccooss33θ0 ++c ocso^sθ40))ddθ0 == 1 孕 6 ×X((22 ++ 1 |1 5 |5 . π )\ 3 3 2 2 +,5 πc .
3. 3 1166'K)=T3 + 5n-
0
【【评评注注】】 计计算算过过程程中中用用到到了了公公式式
{n-1 ·n—3 ···· 1 π
以一1 n — 3 1 K
0 s si i n n " " z x d d z x = = 0 量 ccoossM x" xddxx == n n - — n n 1 1 · n n - n n - - - - — - -- 2 2 3 -- - • 3 -·- • - • …- • - -· • -- — -- 2 2 2 2 ・— 2 2 . nn为为正正偶偶数数，， 1
0
n n n
-
n
-
—
-
—
-- -
2
-•
2
••• •—
3 3
. n〃为为大大于于1的1的正正奇奇数数。.
it
it
否否则则计计算算稍稍显显复复杂杂..
II
==』
/解题加速度
解题加速度 y
。
1.【分析 出积分域，将二重积分化为累次积分即可.
片置分嚣 积分域，将二重积分化为累次积分即可.
1} y-x
【解】积分区域如如右右图图..因因为为根根号号下下的的函函数数为为关关于于xZ的的一一次次函函数数，，““先先Zx后后
D
y丁”’积积分分较较容容易朝，饷所以以 ;
y
「√y2—-x巧yd dxxddyy == J。ddy'L √y/yy12 —— xxyy ddxx x
0 1
0 0
D =一 2 1 3 ）3 Id：y y= 2山 y2dy = 2 ·
=-{£才y (y2——巧xy) 心=奇[豚心=音.
3. 3. 9
0 0 0
「° ___ = = __ = = = ___ = = = = __ = = = =7
•• 【【评评注注】】 计计算算二二重重积积分分时时，，首首先先画画出出积积分分区区域域的的图图形形，，然然后后结结合合积积分分域域的的形形状状和和被被积积函函
II
II II
11数数的的形形式式，，选选择择坐坐标标系系和和积积分分次次序序。.
II
二二二二二二匚二=—二=二二二二 = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =- -= -= -= -= -= JSal
22..【【分分析析】】 利利用用极极坐坐标标计计算
【【解解】】（(方方法法一-）) 由由（(1x一-11)）22 ++( y（了-1一)21≤）22<,得2,r得≤厂2 W(s2i（nsθin +0c +o scθos )0,）所,所以以
名
什 cos ff)
(x-— yy))ddxxddyy == ((rrccoossθ 0— — rrssiinn θ0))rrddrr
D
丿咛
de
(
升 cos 0)
n ((ccoossθ 0— 一 ssiinn θO)')rr22ddrr
量
·・
1
10
0
4
4
·・第六章 重积分
第六章重积分
=
孕 [ 1 2(sin 9+cosB)-[
= r I I y3 1 ((ccoossθ d-—si sni nθ 0))rr33 I | 2(sin W-cosW q Id d 0 o
0
=地斗
8
梏ft
= 与3 ((ccoossθ。一-s sininθ。))·. ((ssiinnθ 0++cocsoθs)。3)③d dθ。
J量i 3
= 8见户
=3j： ((ssiinn θ0 ++c coossθ 0))33dd((ssiinn θ0 ++c coossθ 0))
3.
量
. =—
= 8 1 8
=-f- ×X -j-((ssiinn θ0 ++c ocosθs 0)Y* I 4 =— ・
3 4 3
3 4 I f 3
(方法二) 如图将区域D分成D?, . D?两部分，其中 ty y=x
(方法二)如图将区域D分成D1,D2两部分，其中
DD?i =={ ({&x,,yy)) |111 —-√ Jz2 —-( &x- —1 )1)?2 ≤y))|I ((xx+D+2r+)y22+≤/1<},i再}利,再用利对用称对性称与性极与极坐坐标标计计算算即即可可..
。
【【解解】 】令令 DDi ?== {{((xx,9yy)) I| xx22 ++jyy22 ≤C 44}) ,9DD2? =={ (((xx,,jy/)) || ((xx++1 )l)22+ +y2^≤2 <1 }1,)»
?
ydo = 0. —
由由对对称称性性，』:ycb = 0.
0 0
D
『 √ \Zr x 2 2 + + y y 2 d d(g j = = JJ √ y/x + r+ y ~ d y g rd 一 ff — √Jzx'2 ++y y2 d也o
:
D D, D2
=
f2x dθC2 r2dr一
配
f
户
y do
事
f
[
-
-
2
2
c
e
o
o
s
s 60r2dr
=J "J r2 dr — I d01 r2 dr
0 号 0
= 16π 32 = 16
一皿一鲤一普( ( 3 3lπ-2 2 ) ) , ,
3 9 9
3 9
16
所所以以］J(( √7xx22++?y? ++ yy')tddoo == y 9 ( ( 3 3 πk - — 2 2 ) ) . .
D
^= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 5： = = = = = = = = = != = , = = = = = ==11
【【评评注注】】 本本题题属属于于在在极极坐坐 。标标系系下下计计算算二二重重积积分分的的基基本本题题型型，，对对于于二二重重积积分分，，经经常常利利用用对对
［I
"称称性性及及将将一一个个复复杂杂区区域域划划分分为为两两个个或或三三个个简简单单区区域域来来简简化化计计算算..
Um 二二二 二二二二 二=二 二二二二二二 = = = = ==== = = = =二二 二=二二二=二=- 二-=-==-=二J
2.【答案】 D.
2.【答案】D.
【解析】 由轮换对称性，有
【解析】由轮换对称性，有
%
IT aa √ 〃 f ( ( 工 x) ) ++b3√ / f / (y / ) 「 , 、do _= (T aa √ 〃 ? ( ( 「 y ) )++b4√ 』 f § (x 3 ), dMo
√f(x)+√f(y) √f(y)+√f(x)
=
1 a√f(x)+b√f(y) +“a√f(y)+b√f(x)
do
2列. L √yyf((ixy)++√ yyf((3yo) √f(y)+√f(x) 」
D
·107 ·
. 107 .数
数
学
学
历
历
年
年
真
真
题
题
全
全
精
精
解
解
析
析
·
•
提提高高篇篇(
（
数
数
学
学
一
一
)
）
=
·
。 a+bI a+b 1 a+b
a + 6 do = a + 6 1 π·22= a + 6π。
2 2 4 .22 = 2
2 2 .疽 2
D
应应选选(（DD)）..
= = = = = = * = = = = = = = = = = = = = = = * = ' = = = = = = * = = = = = * = = = ==.可
" 【【评评注注】】 被被积积函函数数含含有有抽抽象象函函数数时时，，一一般般考考虑虑用用对对称称性性分分析析..特特别别地地，，当当具具有有轮轮换换对对称称性性*
"(（xx,,yy互互换换，，DD保保持持不不变变)时），时往，往往往用用如如下下方方法法：： q "
1 1
1 1
II ^f f { ( x x , , y y ) ) d d x x d d y y = = f((yy .,xx^d)jdcrddyy = = * 2. [f(x, > y))+ + f / ( ( y > , , x x ) ) ] ]d d x xd d y y . . I I I I
D
II D D D II
33. .【【分分析析】】 被被积积函函数数展展开开，，利利用用二二重重积积分分的的对对称称.性性..
【解】 显然D关于x轴对称，且D= D?U D?,其中
【解】 显然D关于z轴对称，且D = D U Q,其中
D?={(x,y)IO≤y≤1,√2y≤x≤√1+y),
Di = {&,、)| 0 V y < 1 ,y[2y < x < J1 + 一 },
D?={(x,y)I-1≤y≤0,-√2y≤x≤√1+y2}.
0D2 = {(x,>) |— 1 £ V < 0,—显y 』\ + — }.
JJ(x + yYda = JJ(x3 + 3x2y + 3xj2 + y3 )dxdy
(x+y)3do = (x3+3x2y+3xy2+y3)dxdy
D =2D
= (x3++ 33巧ry22 ))ddzxddj/y++。((33了x2、2y++y3))&dx心dy
。
0 D
D
—
==22腿(x32++33x巧y22))d&xd心y++0 0 (被(被积积函函数数33x利2y+ +y 3/关关于于y'是是奇奇函函数数))
D>
=
=
2
2匚
dy
叫见 √1 尸 +?
(
(
x3
八
+3
3
x
戒
y2)
)
d
&
x =
=
2
2匚
(
(*1
工 十
+言3 -x2打y2'))| √ 尸 1+) 心
dy
= 0 √Z, 0 4 2 √ī,
1 1 8 9 14
=
2
4
.
-[((11++8 8y2/-—9方y14))d如y== §
2
(
(
1
1
+
+
g
5
)
) =
=
1
*
5°
3
Z J o Z O 0 10
= = = = = = = = = - =
。
" 【【评评注注】】 对对二二重重积积分分的的对对称称性性的的考考查查一一直直是是研研究究生生考考试试的的重重要要测测试试内内容容.. II
1L == = = = = = ,=。 = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = ==』
π
·
44..【【答答案案】】f.
4
【【解解析析】】 由 由于于积积分分区区域域DD关关于于x工轴轴，，yv轴轴对对称称，，则则有有
1品
JJyyddzxdjdyy ==0 0, ,jp2rd2rdjdryd3 ,== 44jj
x
x
2
2d
d
x
x
d
d
y
y
,
,
其
其
中
中
D
D
)
?
=
= (
{
(
(
x
z
,
,'
y
)
)|xx22 ++y y22≤ <1l,,xz≥>00,y,≥/20。}},，
D D :
从从而而 p
!
1 量 π
jj ( (x x 2 2 — -y 。y ) ) d d x xd d y y = =4 』xx'2 ddxrddyy == 44J2 dej r.22 ,• rrccooss22eOddrr == 2. ((11 +4 -c cooss 2206)) dAθd = = 号 4 .
0
0
D Dj
55. 【.答【答案案】】 D.D.
ty
【【解解析析】 】本本题题也也可可根根据据二二重重积积分分的的对对称称性性，，画画出出积积分分区区域域DD,,区区域域DD关关
于于x工,y以轴轴都都对对称称，，巧xy?5分分别别是是x,y的的奇奇函函数数，，11分分别别是是x,y的的偶偶函函数数，所，所以以
户
J(（巧xy 5? —-1 D)ddxxddjy/ ==—-JJcdLxcddyy ==—-22^ ddxxddyy ==——π 7.T. o
匹
2
一
D D -4
·・
1
10
0
8
8
·・。
第六章 重积分
第六童重积分
『=
【评注】 如果直接计算也可以，但比较麻烦且容易出错.
【评注】如果直接计算也可以，但比较麻烦且容易出错.
(xy?-1)dxdy= 号 dx 子 (xy?一-11)）心dy==£ 言 』 [ § 1 x功y| 1 ：“-一(1（—1 一 s isinn xx)） ( ］ddxr
jj (巧s — 1)dxdy = ÷ 6
wmt 量 sin x
D =1
量 1
( xcosx--11+ +si sni nxx ) jddxx( （利利用用对对称称区区间间上上奇奇函函数数的的性性质质)）
6
=—
重 用
dr =—π.
量
四四、、分分块块函函数数积积分分的的计计算算
、/1解解题题加加速速度度^
1.【分呻* 函数含有绝对值，应当作分区域函数看待，利用积分的可加性分区域积分即可.
1.【分析被积函数含有绝对值，应当作分区域函数看待，利用积分的可加性分区域积分即可.
【【解解】】 将 将K区M域DD分分成成两两个个子子区区域域：：
DD?i =={ (｛x（,］y,)、|）x|X22+ +y2 y≤2 <1, (x,y)∈6 DD}｝,，
DD?2 =={ (｛x（,zy,)'）| |xx22 ++y 2y>2 1>, (x,y)∈£ DD}｝,,
于于是是
。
言 名
|x2+y2-1|do=- (x2+y2-11)) ddxxddyy ++ (x2+y2-1) 1 d )d x x d d y y
=— — 1 8D2
量 古
do ((rr2 -—1 l))rrddrr++jj((xxz2 4+-y y2z- —1) Dddxxddy^—/ —jj((xx22 ++y J2— -1 1))ddxxddyy
0 ;0
= D)
π+
量
心：
=马 + [ ddxx\
(
(x
x
2
2 +
+
y
、
2
2
—
—
1
l
)
)
d
d
y
y
一
—「ddoe[ (
(
r
r
2
2
—
— 1
l
)
)r
r
d
dr
r
8
o Jo Jo0 Jo 0Jo
π 1
7T 1
————
4 3
4 3,
yi
22..【【分分析析】】被被积积函函数数yfC(rx，,vy）)== mmaaxx(（x巧y,1，)1是）是分分区区域域函函数数，，要要利利用用积积分分的的
可可加加性性分分区区域域积积分分..
【解】max*) = {{ xy 冒 ,xy≥ 藉 1, ： D?
【解】 max(xy,1)= 1. xy <1, 。 。
记记 DD?i =={ ({x&,,y、))|| xxyy≥
N
1
1
,
,
(
&
x, ,少y) ∈€
D
D}
}
,，以D?=={({(xz,,yy))|| xJcyy <
V
1 ,
l
(
,C
x,
r,
y
y
)
)
∈£ DD),},
D?
则 则 8 2×
O]
2
JJmax(xj^, l)dxd> = jpxryyddxzddy/++ JJddxzddy、
max(xy,1)drdy =
;。
D 四 佐
D] 1
= = 伍 J j ddxxj 2 l xxyy ddyy ++ J 2 ddxxj ddyy ++ J ； ddxxjx 1量 dAyy
1王 1 一星
=15 19
+In 2.
-In 2+1+2ln2=
—4 — In 2 + 1 + 21n 2 = 4 + In 2.
4 4
3
3
.
.
【【解解】】 因因为为被被积积函函数数关关于于
1x
x
2
,，3 y/均均为为偶偶函函数数，，0且且积积分分区区域域关于关x于,y轴轴均均对对称称，，所所以以
f(x,y)do=4 f(x,y)do,
Di
· 109 ·
-109 -数学历数年学真历题年全真题精全解 。精析解· 。析提•高提篇高(篇数（数学学一一)）
其其中中D。,I为0为D在D第在第一一象象限限内内的的部部分分..而而
1
f(x,y少)ddga == 广 f xx22ddao++ f 方工金亍费do
√x2+y
+廿y工<1 1 r 0 'O . . y y ≥ N
1
O 0
2K
x(^
x0
0
4
,
-
y
J,
^
<
0
2 V
2 -r
I y
1
1。
1
' =£dd4x /x22^dy++(L d d x xL ^by d d3 y， + + ^ dx ^ 7pbyddy>)))
1-x √X+y 1 0 √r+y
=
1
=&++√洌2ln1((1+1√+20),,
12
1乙
1
所所以 lizjf](/x(x,y,j))ddoa == -|- ++4 √4V22I1nn((1l++√V22)).
3
D
IT" = = JP"= = = = = = = = = = * = = = = « =
【评注】被积函数包含√x2+y时，可考虑用极坐标，解答如下：
: 【评注】 被积函数包含 有■时，可考虑用极坐标，解答如下： ：
1 九 1
" 『
f
f(
(
x
x
,
,
y
y
)
)
d
d
f
o
f =
=
IT ' -dd0.y>0 x>0.9>0
x>0,y>0 x>0,y>0
"
44..【【答答案案】】 a/2..
【【解解析析】】 II == J/f((xx))gg((>y —— xx))ddxxddyy == a
a
2
2 d
d
x
r
d
d
y
y
D
1 oo）dx对应的积分区域为
【解析】 二次积分 f(x,y)dx对应的积分区域为
-√1-)
DD= ={ (｛x（工,y,少)||-—√ J1I -—y —? ≤W xh≤ < 11- —y ,y,O0≤ Vy、≤V1 1}｝,，
一
则则
1-y 7的一+m0。 "香
』。 d 划 y _石7f，(&x以,y）&)d x Min ff((rrccoossθ 0,,rrssiinn 0θ)r)drrdr + + 啊do: ff((rrccoossθ 0,,rrssiinn θ0))rrddrr,,
-√1-)
。
故故选选(（DD)）.. 。
y
£j((22002222,,1188题题)【)(解解】】 积积分分区区域域如如图图.. 21
直直线线vy—-22=x=的工极的坐极坐标标方方程程为为
,
2
r = 2
r = s-in- -θ-—-- -c-o-s- -θ--', ”
ag sin 0 一 cos 0 -2 -10 1 2 X
刀 ?
则
则 I
I =
= J? d°j
(
(c
c
o
o
s
s θ
6 —
-s
s
i
in
n θ
O'
)
)2
2 ·
• r
r
d
d
r
r
+
+
J(c
(c
o
o
s
sθ
0
-
—
si
s
n
i n
θ
0
)
)
2
2
d
d
0
ej”m"50°fr ddrr
*叶
0
do
((11—-s sinin 22e0))ddθe++22\d。
作
π
==22 ( (专-—1】 ) )++〃π == 2 π2 it —— 22..
2
·110 ·
・110・第六章 重积分
第六章重积分
【评注】 还可考虑计算半圆与弓形区域积分的差.
【评注】还可考虑计算半圆与弓形区域积分的差.
解题加速度
解题加速
1
1
. .【【答答澈索B.
π
【【解解月山亚设该可可知知， 2 ≤x≤π n , ,s s i i n nx≤y≤1,则 则 O 0 ≤ < y 了 ≤1 < , 1 π t — c — a r ar c c s s i in n y y ≤ < x z ≤ < π 五,，
故故应应选选(（BB)）..
2.【分析】 化极坐标积分区域为直角坐标区域，相应的被积函数也化为直角坐标系下的表示
2 .【分析】化极坐标积分区域为直角坐标区域，相应的被积函数也化为直角坐标系下的表示
形形式式，，然然后后计计算算二二重重积积分分..
。 yt
【【解解】0 】直 角直坐角标坐系标下系D下 =D ={({(x了,y、)8|O≤以x≤1),0≤所y≤x)以,所以
I I = = jjrr22ssiinn θ0 \√/1I —-r r2c cooss 220Oddrrddθ0 == J — pr sinθ√1-r(cos'θ-sin2θ)·rdrdθ 1
sin 9 \/1 — r^(cos20 — sin20) • rdrdO
= D
6
D D x
=Jyy √\/1I —- xx22 ++ yjz2d drxddyy == J ddxxj yy √y/1I —- xx22, ++y y/2d dyy O x=1
= 0
D — —
1
=| ddxx| § √5/I 1—-xx22 ++yy'dd(( 11 --x /2 ++y 2y) )
2
0
= =j § 1 [ [ 1 1 — - ( (1 1 _ - 了 x2 2) ) 号]]d&x == § 1 — 1 ((11 —-x x22)) — 重^ddxx ((令令 xz= = s siinnθ 0,,00 V≤ 00≤V 号 π ) )
0
—3 3 3
0
2
= § 1 - 1 量 cos'θdθ= 1 - + 1 j 中 : ; ( ( 1 1 + + c o c s o s 2 2 0 0)\ 2 z do
3 3. 3 3 ―22 —) dd
0
= T 1 - I 1 f! 平 ((t 3
十
+ 1 1 CcOoSs 22。0++ § 1 ccooss 4400))费dθ==§ 1 一昂 1 π . 。
3 3. 8 2 8 3 16'
ó
33..【【答答案案】】 CC..
【
【
解
解析
析
】
】（日dx*] 2 /f(（xx,,>y）)ddj>y++ |'ddy^ 4-y 7f(（xx,,yy)）ddxx的的积积分分区区域域为为两两部部分分
x y
D
D
?
i
=
=
{ (
{
x
（z
,
,
y
y
)
）
|
|
1
1
≤
$
x
1
≤
<
2
2
,
,
x
1
≤
<
y了≤（2
2
)
},
,
£>
D
2
? =
=
{ ({x&,,y、)）|
I
1≤y≤2,y≤x≤4-
—
y
/
}
}
将将其其
.
合合并并写写成D成=D ={{&(,x少,y|) |l1<≤vy（≤22,,l1<≤zx<≤44 -—y y}},,
故
故
二
二
…重
重
积
积
分
分
可
可
以
以
表
表
示
示
为
为j：ddyj「jf(（xw,y)）ddx工.答.答案案应应选选(（CC)）..
1
44..【【答答案案】】 BB..
【解析】令x= rcosθ,y= rsinθ,则r=2所对应的直角坐标方程为x2+y2=22,
【解析】 令工=rcos。 d,y = rsin。，则r — 2所对应的直角坐标方程为x2 4- y2 = 22,
r
r
=
=
2 c
2
o
c
s;
o
θ
s 0
所所对对应应的的直直角角坐坐标标方方程程为（ 为
z
(
—
x
D
-1)
'+
2+
y
y 2
=
=1
1
.
.
π
量 ,
由 由「dθ f/((rr22 ))rdrdr r的的积积分分区域区 域2 co2sc 9o故.故选选((BB))..
J 0 0 J 22ccooss e0 Jo J V 2x-xc
55 ..【【签答案案】】 DD..
【解析】 交换积分次序
【解析】交换积分次序
· 111 ·
-111 ・。
。
,
数学历年真题全精解析·提高篇(数学一)
数学历年真题全精解析•提高篇（数学一）
y 尊，0 y 1 x2
中 2 ———ddxx== 间dx 切Mdy = X2 也dx
√I+x o √1+x 2. √1+x
，yi+x3
=
0
= 1 √I+x 2 2·
3 3
0
选(D).
选（D）.
。
。六六、、三三重重积积分分的的计计算算
4
&(（22000099,1,12题2题)【）【答答案案】】 刍π.。
15°
lb
【解析】 利用球面坐标 ,;
【解析】利用球面坐标
J2x
Q/zd'zddxdj/yddzz == J d"oj ddopjr，2ssiinn ^grr23ccooss22^qxdrlr
= 0
=j doj ccooss22q^dx(l—(— ccos oφs)j rr*4 ddrr
=—0 cos' · = 0
2π, 4
2 儿=宣兀π。
穴 3
=——15°cos 15'
1D 0
【【评评注注】】 也也可可利利用用先先二二后后一一的的方方法法：0:……
J
山 『 4
z
z
2
2 d
dx
x
d
d
y
y
d
d
z
z =
= z
z
2
2
d
d
z
zjj d
d
x
x
d
d
y
y
=
= "π(z12( 1—- zz22))ddzz ==
1
点
5°
兀 π , ,
-1 --i1 lo it
dx
机其其中中 DDg, =={ {((xx,9yy))|x2++y、2≤1-z2}.
| f 2 < i —/}.
IL = = = = = = = = = = = = = = = = = = =s J
1·
以9(2（02105,1152,题12)题【）答【答案案】】
4·
。
【【解解析析】】(（方方法法一一)） 由由变变量量的的对对称称性性知知
山 M,止 山 山
xdxdydz = zz ddxxddyyddzz,, jjj* 22yyddxxddyyddzz == jj 2zdxdydz,
xdxdyAz = jj 2zAxdydz y
n a a
n n n
则
则 。 。
山 ,Ⅲ -1 1-x-y
((xx ++2 y2,+y 3+z )3dz)xddryddJ zzddzz
0
( 1 ·
= = 3 3 d d x r ((11 —-x x- —y y)Y2ddyy == J ( ( 1 1 — - x x ) ) 3 3d d x x = =
o 0 0 4
(（方方法法二二)） 由由变变量量的的对对称称性性知知
迎 山：和
& (x + +2 2 y y + + 3z 3 ) z) d c x L d rd y ;y d d z z = = 6 6 [jJzzcdLxzddy.yddzz == 6gJ ddzzjjiz zd d x x d dy y (（先先二二后后一一)）
;。
a
1 1·
= = 6 6 乙z ·• - 2 ^- ( (1 1 — -z , z ) ) 2 2 d d z z = = M 4 ・
Z 4
—
七七、、重重积积分分的的应应用用
2·。
皿⑩(2(201001,01,21题2题)【乂答答案案】】冬
3
O ;; ;
;
r
山 UzRdxddy对dz 广
d
町
o
r
r
d
d
心
r
血
zdz = (
1
)dr
= r( 2 2
【『
l
做解
> ''
析
】
】Z
Z
z—
-
=
- -
a
S y---------
—
-- -
J0o
~ p
J
-
o
- ---
J
p
r
- -----
_
- -
J
-
o
- ---
J
-
o
- --
\ -πZ
- ----
L
- -
/
--
2m 1
皿ddxxddyvddzz £ dde]^。rrddrrj^:ddzz f
n 2
0
·112 ·
-112 ・—
第六章 重积分
第六章重积分
;
= r (( 卫 T~i2 ))i 1 oddog__ i 1 ×x22π,t__ 2
4 12 = 6 = 2
·
π 0 π
3
7t 匹 3・
2 2
2 ~2
2
故应填
故应填3
o
（ⅡU(（22001133,,1199题题)）【【分分析析】】 利利用用定定义义求求旋旋转转曲曲面面≥$的的方方程程；;利利用用三三重重积积分分求求nn的的形形心心坐坐标标..
=
x-1 y = z x X = = 1 1 - — z z , ,
【
【解
解
】
】
（
(
I
I)
）
直
直
线
线
L
L
的
的
方
方
程
程
为
为
-
王
1
二巳=
1
平=令
1
,,则则有有
y =z,
—1 1 1 y = zy
所所以以直直线线LL绕绕z轴z轴旋旋转转一一周周得得到到曲曲面面∑》的的方方程程为为
xx22++yy22 ==( （1l--zz)）22++xz22,,即即工x2 2++ /y2 -- 22z/ 2++ 22zx —- 11 ==0 .0.
(（Ⅱ口)）从从曲曲面面≥$的的方方程程可可看看出出，，。n关关于于x
x
O
O
z,
z
y
,y
Oz
O
面 z面是是对对称称的的，，则则形形心心坐坐标标为为
。山
。 --
zdxdydx
j。jjzdxd.ydz
"。 z=y=0,z= ·
x = y = 0,z山 =击-----------
dxdydz
dxdydz
曲曲面面2 Z的的柱柱面面坐坐标标方方程程为为
r =
r‘ ; =
5
√
/2
2
/
z
—
2-
2
2
z
z
+
+ 1
1
,n在在x
z
O
O
y〉面
面
的
的
投
投
影
影
为
为
D
D
: ：x
x
2
2
+
+
y
y
2≤
<
1 .
1
所 .所以以
[TT z z d d x x d dy ^d dz z = = f2 z z d dz z f2« d d θ 。 f / √ 2 z ? ?2 - - 2 2 « c + +1 l r r d d r r = =π k zz（(22zz2 2—- 22zz ++ 1l)）ddzz = = 号 1 3 4. 穴π,,
n
n 10
> 山 d dr x d d jz y d d z x = = C2 d d z z f2x d d o 。 f / √ 2 2 ? - - 2 2r c 4 + - 1 l r rd d r r = =m 穴 ( ( ( 2 2 z z 2 2 — - 2 2z z + +1 l ) ) d d z z = = 1 学 3 0. 穴π',
n n 0 0 0 0
7
故O的形心坐标为((0°.，0°,，§ ) )・
故Ω的形心坐标为 5
。 。
= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
【【评评注注】】本
本
题
题
中
中
三
三
重
重
积
积
分
分
的
的
计
计
算
算
用
用
先
先
二
二
后
后
一
一
法
法
较
校
为
为
方
方
便
便。
.
.
L= = = = = = = = = = = = = = = 。 = 二=二 二二二 = 。 = = = = = = ==== = = = = === = = = =』
[020((22001199,,1199题题))【【解解】】设设。Ω的的形形心心坐标坐为标丘为,(§x,,2y,)2,)因,因为为Q关Q关于于yyOOzz平平面面对对称称，，所所以以3 x== 00,,
对对于于 00 <≤ Zx ≤< 11 ,,记记 DDm, =={ {(x&,。,y/)) |I x"2 ++( y(jy- —x) z2)2≤ W( 1(1- z—) Z2)}2 ,)则,则
只 π,
VV == 仙 jjjddxxddyyddzz == J ddzzjjddxxddjyy == J πk(
(
1
1 —
— z
z
V
)2
d
d
z
z
=
=
专，
。 。 ;。 3
0 n D« °
山Ⅲ 山：和
JJyyd&xddy/ddzz == J ddzzjyyddxxddyy == J ddzzj ddθ《
(
(
z
z
+
+
r s
r
i
s
n
in
θ
O
)
')
r
r
d
d
,
r
a 0 0
= .o π,
=J kπz( z 1 ( 1—- zz))22ddzz = = 令，
12
山U π ,
zdxdydz = J ddzzjJzzcdLxzddyy == J kz(1 — zYdz =令，
: z dxAydz πz(1— z)2dz = 12′
n ° D« ° 0
ydxdydz = ,z= z z d dx rd d y yd d z z
1 = T1,·
所以y=
所以V V 4
一
Vv 4
( 1,1)·
故。的形心坐标为（0°,，/，§）・
故Ω的形心坐标为 4 4
·113 ·
-113数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析·•提提高高篇篇(（数数学学一一)）
第第七七章章 曲曲线伐、、由曲面曲积粳分分
一一、、第第一一类类曲曲线线积积分分的的计计算算
13 ,
13·
1(2（020090,91,11题1题)【）【答答案案】】
T6'
【解析】 由题意可知ds=√1+4x2dx.所以，
【解析】 由题意可知ds= 71 + 4x2dx.所以，
一
方 之。Z 1 E
xds = J xx√ a/11 ++4 4xx'2 ddxx == √5/II ++4 4xx22 dd((1l ++4 4xx22))
•ids = 8.
0
= 1 · 2 √压= 13
J . 4 、J/((l 1++4 Sx2)3 13
8
o
3
o
I6"*
0
π
·
2 (（2200118,81,12题2题)【）【答答案案】】
3
【解析】 利用第一类曲线积分的轮换对称性。
【解析】利用第一类曲线积分的轮换对称性.
5
中 1
) xyds = ((xxyy -+b yyzz ++x xzz) ) ddss == ((X x + + y J7 + + z) z 2 )2 - — (x(2 X + 2 y + 2 / + x + 2 ) / ] ) d ]d s s
3.
=—
π·
1
=_导产ds ==—-*
6 3
= = = = = = = = = = = = = = = = M = = = = = = M = = = = h = = = M =
" 【【评评注注】】 此此题题运运用用了了变变形形的的技技巧巧及及曲曲线线积积分分的的代代入入化化简简.. II
IL- - __________________________________________ _ _jj
y
二二、、第第二二类类曲曲线线积积分分的的计计算算
0B((2200110,01,11题1题)【)【答答案案】】 00., 撰;
【【解解析析】 】 如 如图图所所示示,L， =L =LL?++LL?z,，其其中中
-1 O 1
LLj? ：:yy == 1l++xx,,((—-1 1 ≤^x x <<00)),,LL?2:：j y ==1 1- —x,x(,(00≤ xx< <1 )1.).
所所以以
?
儿
J xxyyddxx ++x x22d dyy == xxyy ddxx ++ xx22ddyy ++ xxyy ddxx ++x x22 ddyy
L?
=
=I [Exx(( 11 ++ xx)) ++x X22]]ddxx ++1 [Cxx((l1 —-x x)) -—x 2x]2]ddxx
= 0
=J ((22xx2 2++ xx))ddxx ++ J
(
(x
x—
—
2
2
x
x
2
2
)
)
d
d
x
x
=
=
0
0
.
.
-1 0
1^== = != = -!=? — = — — = = — — — — = — = = — = — — — —————=——=—-
【【评评注注】】 此此题题也也可可补补曲曲线线，，用用格格林林公公式式..
Q((22001111,,1122题题)【)【答答案案】】π兀.
【【解解析析】】 用用斯斯托托克克斯斯公公式式直直接接计计算算
· 114 ·
. 114 .第七章 曲线、曲面积分
第七章曲线、曲面积分
。
dydz dzdx dxdy
dyadz dzadx dx a dy
中 xzdx+xdy+ 2 dz = aax a 旦 y adx = （T ydydz+xdzdx+dxdy
> xzdx + xdy + 2 = dx 3y di = ydydz + xdzdx + dxdy
l Z x z = = r x + + y y xz x y z 2 t z = = jr x j + + y y
XZ X 2
= 2
(
(1-x— y)dxdy = ddoe[ （(11 ——r rccoossθ 0— —r srisnin θ 0）) rrddrr ==π n..
（1-x — y^dxdy =
z2+32<1 J 0 J 00
故应填π.
故应填X.
【【评评注注】】 注注意意其其中中对对坐坐标标的的曲曲面面积积分分的的计计算算，，用用到到了了矢矢量量点点积积法法..本本题题可可把把曲曲线线的的参参数数
II II
II '•
"方方程程写写出出，，用用参参数数法法计计算算也也可可.. "
一 ―--二二二二二三二二二二二二二二二二 = = = = = = -= -J
Ils；——————————————―—— =zJi
■5(2(021021,21,91题9题)【)【分分析析】】 通通过过补补线线段段后后利利用用格格林林公公式式计计算算即即可可..
【解】设点O(0,0),A(2,0),B(0,2),补充线段O,且设由曲线弧OA,AB,BO围成的平面区
【解】 设点O(0,0),A(2,0),B(0,2),补充线段页,且设由曲线弧疝，页围成的平面区
域为D,则由格林公式有
域为D,则由格林公式有
II == | 3x2 ydx + (x3 + x — 2y}dy
3x2ydx+(x3+x—2y)dy
=
儿 儿
=J _^33xx22j>yddx x++ ((xx33 ++x z- —2y 2)yd)Ayy— —33xx22 yyddxx ++ ((xx33 ++ xz- —2 y2)y)ddyy
L+70 70
=
九
=JJ(
(
3
3
x
x
z
2
-
—
3
3
x
x
2
2
+
+1
1
)
)
d
d
x
x
d
d
y
y
一
- J ((-- 22yy)) dd_yy
2
D =
π
= =- 1 ^- ·• Kπ ·• 2222 —— 1 ·• k π • ·I2l 2++ y32/2 I 0 =普——44..
4 2 2
4 Z 122 Z
06((22001133,4,4题题)【)【答答案案】】 DD.. —
。
【【解解析析】】 题 题中中 I I / ,：( i = = 1 1 , , 2 2 ,3 ,3 ,4 ,4 )是 )是四四个个第第二二类类曲曲线线积积分分，，直直接接无无法法比比较较大大小小，，可可利利用用格格林林公公式式
转转化化为为二二重重积积分分，，然然后后比比较较大大小小..
y3 aQ. ?P y2 ·
由 由题 题 意 意 知 知 F P ( ( z x ,y ,y ) )== vy + + % 6 ,,QQ(&x — ,,yy)) == 22xx— —寻 3 ,,于于— 是是 ? 攀 x ―孚 a—y ==11- —x2衣一—券 2 .
0 o
— ox dy 乙
设L,(i=1,2,3,4)所围的区域为D,(i=1,2,3,4),用格林公式有
设L,(i = 1,2,3,4)所围的区域为D.i = 1,2,3,4),用格林公式有
I ， ? = = J 仲 (1 1- - x — 2一 - y 夸 2 )dx ) dy 岫x= 日reosθ=「薄 卵 岫( 1-r2cos20— 2sin20 )rdr
% 2 y = rsinθ 0 2
=B r r
2mag]( r一rcos2θ ( r2 r'cos2θ 1
= 岫( 学与) ) ddr「 == f ( 仔-馈'工— ) dθ
£ 2 2 2 8 8 de
= 0 8 0
10 0
=L , 竹 2 r ( （ / 百 3 8 3 _一 c c o o 8 s s 2 2 0 0)\ ） d d Jnθ ° = = J f [ 。 2 2 w = (/ （ 3 8 百 3 --- 1 1 - + + - c - o 1 c ） s o d6 s e 2 2 = 0 6)\ 百 dJZθ汗 1 ，= 8 5 5 π,
0 8 —0
I?== 。 J J ( （11—-Xx22-^ y 2 2 , )）d&x如dy x y i = m ° r r c s o i s n 项 6 a [ 2* 喝 叩 仁 √ 一 (（11-—r2/ccoos2sθ纽—一r2至si 2 n2弊θ))r rd d r r
） yy = rsin 0 Jo0 J 0 o \ 2
r
= 2xa](
r一
r2c
2
os2θ
2 ) dr =
2x(
2
r*c
8
os20 r
8
? 厚72d
d θ 。
0 0 8 0
10
2* sin2θ 2x 1 — cos 20 1 π,
「* sin2（9d.θ. = 1 — COS 2dθ0= 1
三 2厂d。= 一44一也=万2 4,
0 0
IL? == ( jf 1 （11 -Tx2— 一 y 苓)）d&z如dy = 检 J2r 二 eos 们 6 儿 「 2ma 阿 n]( ；(（11 -一2 r22/c cooss220。—- * r2sin20) ）V√22rrddrr
2 y = rsin 8 2
0
B 0
·115 ·
• 115 ・—
— —
数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析·・提提高高篇篇(（数数学学一一)）
;
2。 r r
r一 3 J 3r'cos2θ 1
==√域2 dθ ( r3cos20— )dr =√同2 ：(仔-啰 ) d0
3£ (r-p2cos20-^2)dr = 2 8 58 |：dO
0
3√2.
3
=√2 g8s s i i f n O 20 d d 。 θ = = ( (1 1— — c co os s 2 2 0 @) )d d O o = = " 8 ^灰π,，
0 o o
( y2 x= reos
I?= 1—x2— ¥ 2 ) ) d d z r d d y y x — rcos 副 ( (1 1 - — r2 r c 2 o c s o 3 s 0 2 - 0 r — 2s r i 2 n s 2 i θ n2 6 ) √ )4 2 1 r r d d r r
y =√Zrsig
; y = VFrsi
D4 2。
√2
1
==√V22J ddo°J (( rr —-r r33) )d drr == 1 dθ_= V2π,
4 2
比比较较上上面面四四个个数数的的大大小小，，mamxa{xI{,}1 }==I ?L,，故故应应选选(（DD)）..
1K z 0 0 y y 11
11
”其其中中 D,={({x(],,y、))|x2++y2、≤1}.
Dry = I 2 V ]}. 11
L — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — —
❸(
(
2
2
0
0
1
1
5
5
,
,
1
1
9
9
题题))【【分分析析】】直直接接写写出出空空间间曲曲线线的的参参数数方方程程，，用用基基本本方方法法计计算算..
y2
{
x2+ =1,(一厄 、
工'+当=1， l
2 r-
【【解解】 】 曲 曲线线LL投投影影到到zxOOyy面面上上的的平平面面曲曲线线方方程程为为〈 2 (-√2≤y≤√2),
JS
z=0,
= 0,
z
x= cosθ,
{
X = COS 们 π π
曲 曲 线 线 L L 的 的 参 参 数 数 方 方 程 程 为 为by ==√ V2sin2 θs.i(nθ从 从 - 专 到 到 一 一号)） , ，因 因 而 而
2 2
z = cosθ,
cos
Z =
((yy ++x z))ddjx" ++( z(z22 -—x 2++y) yd)Ay+y (+x 2(jcy22y)2 )ddzz
=
量JL
[-(√Zsinθ+cosB)sinθ+√2sinθ√Zcosθ+(cos2θ·2sin2θ)(-sinθ)]do。
E— G/^sin 0+ cos O')sin O + V^sin 0显cos 0 + (cos20 • 2sin20) (— sin 0)]d
=量-
s
s
i
in
n
2
2
0
a
d
d
<
θ
9
((奇奇偶偶性性))
。
==22√ 2 量 s s i i n n 2 2 O 9 d d d θ = = 2 2 √ ^2 2 × X 1 X× π = = 孝 √2 兀 . π。
2 2 2
【【评评注注】】 此此题题可可利利用用斯斯托托克克斯斯公公式式转转化化为为求求面面积积分分来来计计算算..
·116 ·
・116・第七章 曲线、曲面积分
第七章曲线、曲面积分
09(2（022002,01,61题6题)【）【分分析析】】挖挖去去奇奇点点(0（,00,)0,）用,用格格林林公公式式..
【【解解】 】取取LL?:.4zx^2++y2y=2e 2=(ee22（足e2够足小够)小,方），向方为向顺为顺时时针针方方向向，，则则
0
I= L 叫 +L? 4 4 x x —若 2+ y y dx"+ 4 而 x 工 2+ + y y2 d " y-( 中 ,粽 4 4 x .x 2 — +y g y 2 dx+ 4 扉 x x2 + + y y 板 2 dy.
= = -4x2-8xy+y2
4x— y x十y aQ ?P ·
令 令 P P = = 4 4 x § 2 + + y 沌 3 ,Q==4；艺2， , 计 计算 算 得 得a碧x = a I y f = 4(4x2 + J3"'
4x2牛y2 dy (4x2+y2)2
1 1山
因因而而 II ==0 0一 — 独， ((4z4 x—-jOy)ddr +x+ &(x++ _yy))ddyy ==甘 4jj22ddxxddyy,，其其中中 DDi? =={ ({x(,zy,/))| 4| x42x+2 +y2y≤2 ^e2e}2.).
e2]
。 9
2
所 所以 以 II == e M 2 -×Xπ7t×Xee×X 6号 2 = = 元 7 . t.
€ L
[皿0(（22002211,,2200题题)）【【解解】】（(II )）由由二二重重积积分分的的几几何何意意义义，，当当且且仅仅当当被被积函积数函4数-4x-zx
-
2
>
-y22在在D
D
上上非非
负
负
时
时
，，1（ I
D
(D
）
)
达
达
到
到
最
最
大
大
，
，
因
因
而
而
D
D
1
?
:x
:
2
x2
+
+ y
/
2 ≤
<
4
4
.
.
2
此
此
时
时I
I
（
(
D
D
】
?
）
)== J ddo°j (（44 -—r2 r)2·） r• drrd r= =8 π8i.t.
0
re2+42+y 4ye2+/-x
（□）令「=竺拦吉2,,QQ= =k『·
(Ⅱ)令P= x2+4y2 x — 2 + + 4 4 y ,2 2 .
x + 4>
当当(x&,
，
y
少
)≠丰(0
（
,
0
0
,0
)时
）时
，
，
=
a a3QQ x = （(88巧xyee*'”+'u 一'- l1）)&(zx 2++44八y2）)一-22xz(（44y；yee2*+'J4 '—-x了)）
云一 ( （ x x 1 2 + + 4 4 y > 2) 2） 2 2
=
,
a
9P
P
_
(
（8
8
*
x
y
y
e
e
‘
2
f
+w
'
1
+
+ 1
1
)
） （
(
z
x，2
+
+4
4
y
P
2)
）
-
—
8 y
8
(
>
x
（工
e2
/
+
+
v
”
′
' +
+ y
少
)
a--y------------—-------------------------------- ,
dy
((xx22++44y2y))2
aQ ?P
显显然然a羿x
三
=
a
羿
y
dx dy
挖挖去去奇奇点点
（
(
0
0
,
,
0
0
）
)
.
.令令
L
L:：F x2
+
+4
4
y2丁= e
=
2(
e
e
2
2
（
足
e2
够足小够)小,取），顺取顺时时针针方方向向，，有有
[水 (aQ aP) 14(
j Ppd&x ++Q Qd心y == 。（a罢x一蜀)）d&x心dy—--e1^..(x(ex*e* ′++ yy))ddr x++ ((44^ye*e '—-x x))ddyy
θyj e2J
=—D直,、 L
3D] L
1白
— 2. ( x x e e * ′ + + 了 y ） ) & d x + + ( （4 4 必 ye' — -x x ) ） d d y y
0
格格林林公公式式 1
—2dxdy =-
2 ·π·e· 6 =—π,
—2dxdy =— e-y2 • k • e • -2y =— v,
其其中中 DD\1 == ({((Hx,,yy)) |I xx:2 ++y y2 ≤< 44,,xx22 ++44y丁2 >>e 2e2}) ,»DD= ={ ({x(,xy,j)r)| x| 2x+2 4+y42≤/ e2e2}}..
口(H((22002222,,1199题题))【【解解】 】((方方法法一一) )用用斯斯托托克克斯斯公公式式
dydz dzdx dxdy
dydz dzAx dxdy
山 a a a
IT= aax d_ a3z
ay
dx ay 云
= yyzz22 —- ccooss xz 22xxxz22 22xxyyzz+ +xs xisninz |z
(-2xx)dydz+z2dxdy
4x +z'
投影转换 ,— 4 心 x -广 ) drdy (法向量n- 4 4 x x 2y })
文X之Z ·. √1-4x2-y? √1-4x1-y √1-4z2-y
）&如（法向量”
工
代代入入方方程程
((—-88xx22 ++ 11 -—4 x4x22- —y 2y)2d) dxxddyy
(4z2++孩y3<《1,=工≥0。.・y丁≥0。1}
(4/ 1, 2 2
· 117 ·
-117 ・数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析·•提高篇((数数学学一一))
。
=
—
(1-12x2-y2)dxdy,
(1 — 12x2 — y2) dxdy,
(4z2+y3<1?t>0.y>0)
<4x24-/0.y>0} —
r.
令令 zx == y2ccooss θ9,,yy == r srisniθn。,，有有
II ==音 π 一[ 量 。 ddeoj ((33r,2ccooss22θ0++r2/ssiinr2?θ 。 ) ) ·. y r. ddrr
8 2
=
=寻 π 一 1量。 ((宇 3 c8os*2θ ++ £ 1 ssiinn2%θ))dd0θ == 0o..
8 2. 4 4
z
(
(
方
方
法
法
二
二
)
)
利利用用可可加加性性
+见 +
I"=L+L+L L
= 4 L? 4 L, L?
儿
—dx+ — cos zdx+rsin zdz+0 D- y
= —dr + — cos zdx + xsin zdz + 0
JL
l} j
lL2? 士 江
L?
其其中中LL
i
?：4:x42x +2 +yy2 2== 1l((xx≥ 20 0,，yL≥ N0 0)),，LLz? :：44xx2 2++ zz22 ==1 (l(xx≥ 20 ,0z9z≥ N0 )0.). x
,
量 1 1
而而L -—d dxx == J： yssiinn fθfdfdfθ ==
2 2
0
在在x皿Oy面面补补线线用用格格林林公公式式
— 8 1
儿 J -—c ocoss zzddxr ++x szisnin zzddzz == Jo0ddxr一— ( (j ——ddxx ++ J 0Oddzz))
L? L? L,
以 D 如 L5
己
1
=f ddxx == f ddax： ==-— *,
三 2
J Ll., J * 2
1+ 1
所所以以 II == T
2
+ ( (-T2 ) )= = 0 o . -
|j!rr = = = = = r = = w = = = = = = = = = = = = = u = = = = = = u = = = = = = = u = u
【【评评注注】】 还 还可可考考虑虑用用斯斯托托克克斯斯公公式式转转化化为为第第一一类类曲曲面面积积分分计计算算..
= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
三三、、平平面面曲曲线线积积分分与与路路径径无无关关的的问问题题
[£((22001166,,1177题题))【【分分析析】】先先利利用用偏偏积积分分法法求求出出ff((xx,,yy)),,再再利利用用积积分分与与路路径径无无关关并并选选取取特特殊殊积积
分分路路径径求求出出I(Ktt))..
【【解解】】 因因a"f拨(x,”y))==(2(2x+z1+)le)2e?'L,，故，故f (f(x.x,,yy~))= x=e x2e·2i e• -e?->+ +q( xd x++ ((11 --x ex2e-^>n)ddyy
=J Lt dx dy J L, L,
。
=L PP((xi,，yy))dd;xr ++Q Q(x&,y’j)Oddyjy
=
aP aQ
由由a零y =a攀x ==- 一 (2x (2+x1 )+e 2l=))e,知i,曲 知 线 曲 积 线 分 积 与 分 路 与 径 路 无 径 关 无 ， 关，
dy dx
故 Ki) = J (2x + 1)e2xdx + J (1 — e2~y)83/ = t + e2-<.
故I(t)= (2x+1)e2dx+ (1-e2->)dy=t+e2-.
10
·118 ·
・ 118 -第第七七章章 曲曲线线、、曲曲面面积积分分
由由 Ir'(z() t=) =11 -- ee22-*- ='= 00,,得得
£
t== 22,,而而 TI'((t)t )== ee2-2--,,rr(2()2 =)= 11 >>00,,
所所以以，，当当tt ==2 时2时，I，I((tQ)取取极极小小值值，，即即最最小小值值，，最最小小值值/I((22)) == 33..
[图£((22001177,,1111题题))【【答答案案】】一-1 1..
x 一ay
【【解解析析】 】 记 记PP == x■2-2+^ y-2-—,1Q ,Q = = x2+y2—.1.P,计计算算得得
xz + y= — 1 + 寸—] =
aP —2xy aQ 2axy
9P _ — 2xy 3Q _ 2axy
a E y = ( J x2 + + y2 J — 一1) l 2 ) ’ 2 宓Jx =(&x22 ++ yJ2 -—1 l))'2 '
?Q ?P
由
由
积
积
分
分
与
与
路
路
径
径
无
无
关
关
知
知
0
鬃
x 三
=零
ayl
,,得得aa ==--1 .1.
3工
叫E((2200191,94,题4题)【)【答答案案】】 DD..
=
aQ =?P 1 1
【【解解析析】】 由由题题意意知知，，在在上上半半平平面面内内积积分分与与路路径径无无关关，，因因而而鬃=
a
零
y
=yA,，选选PP((工x,，少y)==工x一一
y'
3
3
x
工 dy y£ y
『= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =』
2 = = = = = = ^ = = = = = = = = = = 7
aP 1
!： 【 【 评 评 注 注 】 】 选 选 项 项 ( (CC) ) 虽 虽 然 然 也 也 满 满 足 足 ： 票ay= 三 y」',,但但其其在在y'轴轴正正半半轴轴，，故故没没意意义义..
L --J
四四、、第第一一类类曲曲面面积积分分的的计计算算
E15((22001100,1,199题题)【)【分分析析】】本本题题考考查查了了空空间间曲曲线的线计的算计与算投与影投、影第、第一一型型曲曲面面积积分分的的计计算算等等多多个个知知
识识点点，，属属综综合合题题..
【【解解】】((11))求求轨轨迹迹CC..
令令F
F
(
(
x
x
,
,
y
y
,
,z
z
)
) =
=
x 2
X
+
2
y
-I
2
- y
+
2
z
+
2-
z
y
2
x
—
- 1
y
,
z
故
—
动 1,故点动P(点x,
P
y
(
,
x
z
,
)
y
的
,z
切 )的平切面平的面的法法向向量量为为
nn =={ 2{x2,x,22yy- —z ,z,22zz- —y )y},,
由由切切平平面面垂垂直直aQzyO,y得,得2z2-xy-y ==0 0..
注注意意到到P
P
在在椭椭球球面面S
S
:
:
x
x
2
2
+
+
y 2
y
+
2
z
+
2 -
z
y
2
z
-
=
yz
1 上
=
， 1上故所，故求所曲求线曲C线的
C
方的程方为程：为：
lxx22 ++ yy22 ++ zz22 —- yyxz ==1 1,, { jx x2 2 + + y 3 yy22 ==1 1,»
{ 4'
即
摭2z一->y ==0。,,
U-> = 0.
2x—y = 0.
((22))计计算算曲曲面面积积分分..
y2
因 因为 为 曲 曲 线 线CC 在 在 了 x O Oy 了 平 平 面 面 的 的 投 投影 影 为 为 。 D 。 ,: ：水 x2+ +毛 = =11,又,又 方 方 程 程xx22++yy22++zz2l--yyzz ==1 两1两 边 边 分 分 别 别
4
3
对对xx,,yy求求导导得得
az az
?z ?z
22xz ++2 2zza|x^一-了y a卷x==00,, 2y2y+ +2 ?2z a 亲 y —- z z — y -==0 0
Dy
解解得得
az=
2x ?z 2y一z,
adxz _ 2z ”dz = 2, — 2
y—2x ay 三 y —2z
8x y — 2z9 dy y — 2z *
ddSS ==√ JIl++zz;f++zg,ddxxddyv == J1] ++ ((^ 2 ^ x )2) 2 + ( 2y一x ) 2 dxdy
y—2z 十 y —2z
√4x2+5y2+5z2—8yz, √4+y2+z2-4z
= 正辛耳军ES&dxddvy ==
J4+" +f〒
金dddrdvy,，
ly-2x ly-2zI
\ y-2z\ \ y~2z\ >
于于是是
· 119 ·
. 119 .数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析·.提提高高篇篇(（数数学学一一)）
;
(x+√3)ly-2zl 山;
I= U，划£#dS == J(x(x++V√③3))ddxxddy, ==√V33fddxxddy,
√4+y2+z2-4yz
■ry
2 xy
= = √ V 3× IX π 7 × tX 1 l × X 会== 22π"..
√③
「 【评注】对于第一类曲面积分，注意利用曲面的方程化简被积函数表达式.
【评注】 对于第一类曲面积分，注意利用曲面的方程化简被积函数表达式.
√③ 。
（ 1n6( （ 2200121,21,21题2题 )【 ）【 答 答 案 案 】 】每
12^
【解析】 由第一类曲面积分的计算公式得(z=1-x-y)
【解析】由第一类曲面积分的计算公式得（2=1 一工一 了）
az'
联y2 ddSS == 山 J ; y/3. J11 ++ (（ z a割 1 x )2 + + (（ a 亲 y. ) ] T d&x如dy
;
= = √ 吃 3 攸y2 2 d & xd心y ==√ a/33 dy 貌1-y yy22ddxx == √3 ,
121
0
其中平面区域D。:x+y≤1,x≥0,y≥0.
其中平面区域D中：•r + yW 1,工>0,、2。.
{z=√x2+y,
1 囱 7(（22001177,,1199题题)）【【解 解 】 】(（II)由）由题题意意知知，，CC的的方程方为程为"+丁，消去£得x2+ 2 = 2x.
消去z得x2+y2= 2x.
z2=2x,
[z2 = 2x,
故故CC在在xO平y平面面上上的的投投影影曲曲线线方方程程为为
x2+y2= 2x,
lx2 + y2 = 2x,
z= 0.
\z = 0.
(Ⅱ)S的质量为
（n）s的质量为
m 5
M = 山
M= sμ（(xx,.,yy,,zz）)ddSS = = 』99 √Jax? 2++y、22 ++z 好2ddSs
=
S s
-
出9√2√x2+y2√2drdy,
42 J寸 + 丁 必clrd.,
其其中中 DD=={ ({x（x,9yy)）| |x x22++y2/≤ <22x}x,}所,所以以
量 位
MM= =1 818「ddo。] rr22ddrr == 4488 f*2 ccooss33θ9dd00
-十 J —y J 0 J -亏 量
0
重量 2
==9966J2 ccooss33a0dd00 == 9966 ×X -y == 6644..
3
0
五五、、第第二二类类曲曲面面积积分分的的计计算算
[[8g(（22000099,,1199题题)）【【分分析析】】 用用高高斯斯公公式式但但有有奇奇点点，，根根据据题题目目特特点点挖挖掉掉一一个个小小球球面£ 面 Z：x?:2 x+2丁+y 2++
2=R2,
z2 =
r切 xdydz+ydzdx+xdxdy
【 【解 解 】 】1I == 0 翌士住土卒业,其 ,其 中 中 》 × 是 是 曲 曲 面 面2^2+x22+ 丁 2y2 + +z / 2= = 44,,
Y (（xx22++yy22++zz22)）+T
a =
a 3P P = = a±x( （ 工 x \) = 一 y 2 + + / z2 一 - 2 2 x 工' 2 ,
3丑x a工'(（了xz2++寸y2++z2/)）?*' （(〃x2++y/2++z/2）)宇’
a =
a a 3 y Q Q = = a a y _(（ . y \ ) =充 x 2 + +z ♦ 2 — -2 2 y 一 2
3y a 拱 (Wx2++y—2++x♦2）)+' (3x2++y.2++x.2）)/'
·120 ·
・120・第第七七章章 曲曲线线、、曲曲面面积积分分
a =
a adRz R = = zd_<( 名z ) \_ x 工2 2 + +y - 2 - — 2 z 2/ 2
3z (x2++y2/++z2)/÷）如 (（xxz2 ++ y>22 ++z z22）)^ '
所以
所以 —
a adP P x + ,3 a Q Q + a 3R R =_0 .
a 扳 y +3云x一 °・
由由于于被被积积函函数数及及其其偏偏导导数数在在点点(
（
0
0
,
,
0
0
,
,
0
0
)
）
处处不不连连续续，，作作封封闭闭曲曲面面(（内内侧侧)）
≥?:x2+y2+z2=R2,02
2
)
)
d
d
V
V
=
=
J* (Wx2 ++y J2))ddxzddy;yj 2+2 d血z == j dθ rr2 ((11 -—r r22)) rrddrr
3+y3
0
2+x2<1
a x24-y2
=
=J[[—-2 2xx((xx -—1 l))33 -—2 2yy((yy- —1 )I)33 ++( x(x22+ +y 2y-2 1—) D]djcrLdzydj
= i
以
=J [[—-2 2xx((xx -—1 l))33 -—2 2yy((yy- —1 )l)33 ++( x(x22+ +y 2y-2 1—) l])]dAxrddy^
=心
=JJ [[—- 22((xx4? ++ y寸1))++6 6((xx33 ++y 尸3))-一66((xx22 ++y j2z2)) ++2 (2(xz+ +y )3]z)d]dxxddjy>+ +( x(x22+ -y2y-2 1—) ]l)d]dxxddyy,,
;
一心
其其中中 DD。xy -:Xx22 ++y J2 ≤<1 L,而而 jj((|x33 ++y«3/))d&rd如y == JJ ((zx+ + y 、 ) ) d & x 心 dy= = 0.0.
。
% %
所 所 以 以 J ; J((xx -—1 1))'3 ddyyddzz ++ ((yy -—1 )l)33ddzzddxx ++( (zz- —1 )1d) dxxddyy
= ,
=JJ [[—- 22((xx4? ++y y1 )) -—5 (5(xx22+ +y 2了)2])d]x&d心y-一πK
;
%
(
==——22 [ ((11 ——2 s2isni2nθ20cocso2sθ2^))ddθ^[ dr5r d r —— 5 I* ddθ^f rrd3 rd r— —π n
。 J0o 。 J o Jo Jo0
==-—22J ( (11-— 1 ssiinn22 2206))ddo°J rr5? ddrr—— 7 . πtt==—— 4π4兀..
2 2
0
S20C((2200116,61,18题8题)【)。【解解】】 由由高高斯斯公公式式得得 。
山 而山
II == jUJ(2x — 2 + 3) dxdydz = jjj(2x + 1) dz dydz
(2x-2+3)dxdydz = (2x+1)dxdydz
= n n 0 n n
官
=J ddxzJJ ((22xx ++1 1))d dyyddzz == J (( 22«zr ++ 11)) Adrgddyyddzz
=
1 1·
=f ((22xx ++1 )l)· • ~
2
。• 22((11—— xx))2'ddrx == f ((22xx3 3—- 33xx22 ++ 1l))ddrx == -
2
5-.
J 0 L J 0 Z
「 【评注】 在三重积分的计算中，用先二后一方法积分较为简单，当然也可化为三次积分计算.】
【评注】 在三重积分的计算中，用先二后一方法积分较为简单，当然也可化为三次积分计算.
L…
29]Q((2200118,81,177题题))【【分分析析】】 补补曲曲面面用用高高斯斯公公式式..
x=0,
{
【解】 补曲面21 取后侧，则
【解】补曲面取后侧.则
3y2+3z2≤1,
"+3/ <1,
名
I/ == Jj xxddyyddzz ++( (yy33 ++2 )2 d) dzzddxx+ +z 3zd3 dxxddyy— — jpxcddyyddzz ++( (y^33 ++2 )2 d) dzzddxx+ +z3 zd3 xddxyd,y,
2#21
由由高高斯斯公公式式得得：：
『xxddyyddzz + +( ( y 丁 3 3 ++2 2 ) ) d d z z d d x x + + x 3 z d 3d x x d d y y
2421
=2+X)
山
=jjj* (1 + 3y2 + 3z2) dxdydz
(1+3y2+3z2)dxdydx
= a
n
山 山
=[[[ddxxddyyddzz ++3 3 IT[ (( vy22 ++z 2z2))d dxxddyyddzz
· 122 ·
・ 122 -,
第第七七章章 曲曲线线、、曲曲面面积积分分
=
1 4 √③ √③ 山
=!xקπ〃x×i1x× 尊 ×X 宰++33 IT (（Jy2++好z2)）√Jl1 -一3 3y丁2- 一3 z32成d 妍ydz
2 3 3 3
乙 J 5 5 JJ
3y2+3z2<1
3>24-3?<1
=
矿
2
9
2 . π
+
4+ 3
3
49 y√/1 1—- 33F^r rddrr == 点 2
9
-π兀 +十
4
4
5'
π== 堤 1
45
4π。
9 45 45
14π.
而 而jpcxddjyyddzz ++ (3y3 ++2 2)）ddzzddxx ++ zz33ddxxddyy == 00..所所以以 II ==芸穴.
45
32·
2圉2(2（021091,912,1题2)题【）答【答案案】】普.
,
3
O
【【解解析析】 】 曲 曲面N面在≥]在 O x〉O面y面上上的的投投影为影。为=D={{(（工x,,y少)| I x衣2+y+2式≤ < 4) 4 , } 代 ,代入入曲曲面面方方程程化化简简
工
户
[J√』J4 —- x—2 —-4 42// ddxxdd/y == jj* l| yyl | ddrxddyy == JJ l| y3^ l| ddrxddyj/
。 1 11
d 32·
==22J 具ddθ°j rrssiinn θ0 •· rrddrr == 32 —
3
0 T
困23(（22002200,1,188题题)）【【分分析析】】利利用用投投影影轮轮换换法法.. ,一
x y
； ,1
【【解解】 】曲曲面面 S：Z
z
:
=
z =√x+2+/2y的的法法向向量量人n=={( —-z?,-zZ,,,l1})=
√x2+y √x2+y?
Tx2 + y2 +3
则
则 I
I
n
=
-
-
jpP{'PQ,'QK,R}} ·• {{一-匕z?，,一- £z,,1,}1&}d心xd y(（DD:：l1<≤xx22++yy2≤ <44)）
= D
呢x[xf(xy)+2x-y]+y[yf(xy)+2y+x]
=『「工由&+2工一归+心顶（勺）+2? +工］— -zzfy■ ( （巧 xy ） )—-zz drdy
√x2+y2 √2+y2 dxdy
,
=D8D
=I[[√wx 2++ Jy{rf（(功xy）)++ 22√』Sx 2++ yG? -—z zff( （x工yy)） -—z q]ddzxddyy
=6D
U √\Zr22 ++yyd2xddxdyy
= D
= 儿 ）> 2* 『·・r面dr == 1 我 4. π。
3
0 1
「= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = * = = = = = = = — =『
【【评评注注】】 本 本题题只只给给出出f(连x)续连续，因，而因不而能不采能取采补取曲补面曲高面斯高公式斯方公式式的方方式法的计方算法.计算….」
-J
2■4(）2（022012,11,41题4)题【）答【答案案】】 4π
4k
.
.
【【解解析析】】 用用高高斯斯公公式式
。 正山
jjxr22 dd^yddzz ++y y22 ddzzddxx ++z zddxzddyy == jjj" (（22xx ++2 2y>+ 1+) 1d）x ddxydjdyzd.z.
z n0
由由于于。Ω关关于于zxOOzz面面及及y;OyzO面z面对对称称，，则则
山而
2rdrdydz = 2ydxdydz = 0,
2xdxdydz = 2ydxdydz = 0,
a
0
有有JJxr 22 dd、yddzz ++ yy22 ddzzddxx ++ zzddxxddyy == ddzz jj* ddxxddyy == 4 π4k ..
2 z x 2 2+ + 4 4 > y 2 3 < < 4 4
·123 ·
・123・数学历年真题全精解析·提高篇(数学一)
数学历年真题全精解析•提高篇（数学一）
第第■八、章章 无元穷窍级低数数
一一、、数数项项级级数数敛敛散散性性的的判判定定
】(2009,4题)【答案】 C.
（2009,4题）【答案】C.
1 1
【【解解析析】 】 取 取a“a ,==b九。==(（-一1) 1”）-二,,排排除除（(AA)）..取取aa。, == bb。" == 【，排除（B）（D）.
n,排除(B)(D).
√n
y/n n
F =
【【评评注注】 】可可直直接接证证明明
（
(
C
C
）
)正正确确，，由由
lim
li
a
m
„
a
=
。
0
=0 ,知,知存存在在
M
M>
>
0,
0
当 ,当n充〃分充大分时大时，，有有
→0
ii
II la.l≤M,因而ab:≤M6,由乙1b 0 .1收敛可知乙6? 0 收 0 敛，所以应选(C). it
II 0| 、 >0 ,0 二 且,且 b s isinn a a„ 。 2 + + b b , „ > > 0 0 , ,
2 2 2
a。—b.
• Q” bn <0.八
有有s siinn —2-— V 0.
2
π a。-b. π π a。—b.
又又一一
4
螺 2 1>, 1,
n2
m=1
·125 .
-125 -► 数数学学历历年真年题真全题精全解析精·解提析高篇■(（数数学学一一)）
3
(-1)”
即即。a＞> &.由由援乙 *条件收敛知，。＜2.应选（D）.
2 n2 条件收敛知，a<2.应选(D).
a=1
4
4
..【【答答案案】】 B
B
.
.
【解析】 可以通过举反例及级数的性质来说明4个命题的正确性.
【解析】 可以通过举反例及级数的性质来说明4个命题的正确性.
00
(（11)） 是是错错误误的的，，如如令令uun .==( -（-1)!”）",,显显然然乙u分。分散散，，而而吏乙(（用u??I- +1+u3?) 收收敛敛..
-1 m=1
n=1 n=1
(（2
2
)
）
是
是
正
正
确
确
的
的
，
，
因
因
为
为
改
改
变
变
、
、增
增
加
加
或
或减
减
少
少
级
级
数
数
的
的
有
有
限
限
项
项
，
，不
不
改
改
变
变
级
级
数
数
的
的
收
收
敛
敛
性
性
.
.
sn
μ+1 OO
(（33)） 是是正正确确的的，，因因为为由由lliimm 住u, >＞1 可1可得得到到u。u„不不趋趋向向于于零零3(n-→8),）所,所以以乙习u如,发发散散..
→18a Un
A=1
1 ,v,=— 1 0 OO 0OoO 0OO0
(⑷4)是是错错误误的的，，如如令令％u。 == n =~-n, , S 显 然 然2, 都 乙v. 发 都发 散 散， ， 而 而 乙 、 ( （ u 如 ,+ + v, s ) ） 收 收 敛 敛. .
" " mn==1 1 =n=1 1 nm== 11
故
故
选
选
(（B
B
)
）
.
.
【评注】 本题主要考查级数的性质与收敛性的判别法，属于基本题型.
" 【评注】本题主要考查级数的性质与收敛性的判别法，属于基本题型. "
[--=======;==================================』
二二、、幕幂级级数数的的收收敛敛半半径径、、收收敛敛区区间间及及收收敛敛域域
50(2（021011,12,题2题)【）【答答案案】】CC..
【【解解析析】 】幂幕级级数数乙力aa.“(（£x-1-)l”）”的的收收敛敛区区间间是是以以11为为中中心心的的对对称称区区间间，，排除排（除A(）A（)B(）B.)而.了而 x== 00
m n = = 1 1
0oo 牌n
时，由菜布尼茨判别法，级数乙(-1)°a。收敛.x=2时，由部分和数列S,=2a,(n=1,2,…)发
时，由莱布尼茨判别法，级数、（一 l）”a“收敛.了 = 2时，由部分和数列S" =、咨3= 1,2，…）发
=1
n=1 4=1 =1
00
散散知知级级数数乙豆aa。,,发发散散..因因此此应应选选(（CC)）..
w n = = 1 1
[63(2（021051,53,题3题)【）【答答案案】】 BB..
6e 00
【【解解析析】 】由由级级数数史乙aa.,条条件件收收敛敛可可知知幕幂级数级±数；乙a”Ca.r—(x 1-）1”)在*在* x== 22处处条条件件收收敛敛，，则则z x== 22为为
m=1 m=1
n=1 ”=1
co
幂级数乙a。(x—1)”的收敛区间的端点，故其收敛半径为1.
蓦级数习a,&—1）”的收敛区间的端点，故其收敛半径为1.
”m==11
0
由由幂昇级级数数的的性性质质可可知知幂暴级级数数乙立na四。,,(（工x—一1 1)）””的的收收敛敛半半径径也也为为11..
m n = = 1 1
由于I√3-11<1,13-1l>1,
由于 | V3-1 |＜ 1, | 3-1 |＞ 1,
故
故
x
x
= √
=
3
V
为
3为
收
收
敛
敛
点
点
，
口
x= 3
=
为
3
发
为
散
发
点
散
，
点
故
，故
应
应
选
选
(（B
B
).
）.
❷(（22002200,,44题题)）【【答答案案】】 AA..
0
8 OO
【【解解析析】 】由由阿阿贝贝尔尔定定理理可可知知，，当当I |r rIlV即0工时＞，0该时级，该数级收数敛收，敛，且且
m=1 = e-'
= 1
e- e-{m+1r
S?(x)= l x im 1—e?+ 1-e- e'-1'
1
]
对对SS&?()x =) =Y 如 2 x2+1 卞
,
，因
因
为
为
「
p=
=
l
l
i
im
m
(
3
n
+
+1
1
)
1 )
(
("
n+
+
2
2
)
)
==1 ,1所,所以以其其收收敛敛半半径径RR== 11,,当当工x==±士11
”=i nn(\nn ++1 1)) L8 1
m=1
nn((nn ++1 l))
时,级数力 00 华(±半1)二+均收敛，因此该级数的收敛域为L-bii
时，级数乙 均收敛，因此该级数的收敛域为[-1,1].
切 nn({nn ++1 1))
m=1
。
故故所所求求级级数数的的收收敛敛域域为为[(00,,11]]..
x”
0 00 1
OO OO —
又 又 S S j ? (r ( ) x = )= 、 2 —n , ,S S ^z ? (.x ( ) x = )= 2x~1 = = : 1 -- — ---- x -,
m臼=1 " m 臼 =1 1一工
dt
从从而而有有 SS ； ?((xx) )== 「免S?((tt)d)，d+t+ SS；?((00) )== 「
=
=
-
-
I
l
n
n
(1
(l
—
—
x
z
)
)
,
,
1-t
0 0
S
S
?
2(
(
x
x
)
)
=
=
f SS?；(Qt)c)kd t++ SS2?((00) )== I, -—I lnn((1l -—t t))ddtt ==( (11- —x )xl)nln((1l -—x x))+ x+, x∈(G0 (,01,)1,),
J o J o 0
当当£x ==1 时1时，,sS⑴?(1=)= 0o 2 oe 1 =2 援 080 ((n 11 成 一
n+
1[ 由
1
) )==11.・
n(n+1)
m=1 m=1
1
因
因
此
此
，
，
S(z
S
)
( x
=
) =
S
S
i
?
(x
(
)
x )
+
+
S
S
2
?
(
(
x
x
)
)
=
= e'—l
-~
1
7 ++( (11- —x) xl)nln((1l -—x x))+ x+, xx9∈x G(0 (,01,)1,),
e — 1
1 e
SS((1l)) ==S S? 】 ( ( 1l))++SS?2( ( 1l))==史~r ++ 1l ==里T・
e—1 e —1*
e — 1 e — i
综综上上所所述述：：
人 1
— ++( (11 -—x x))llnn((l1 —- xx)) ++x x,,x ∈x (G0 ,(01,)1,),
e矿2—一1
1
SS((xx)) == \
e
x=1.
— , x = 1.
e—1
Q9((22002222,,1144题题))【【答答案案】 】
_
-1
1
.
.
【【解解析析】】 用用比比值值判判别别法法，，
n"
l n 1 h - i * m o m- o u — 妇 uU + ,n 1 ( 1 \ ( J ( xC x二 ) ) )) = = l →n 1 l i — i , m m omo ( - (7 ( — ( n2 〃n + + ++ | 1 1 )i1 1 ) 、 )+ ) * ! 1 ! ' · • n T — 〃 l ! 1 r e e — j= — l n i1 l — i • m m 8 (/ - - -1 -- + - . - 1 1 - - 11 ) ' e e— ~X1= — e e_ - _ + j： ~1~1. .
n
\ n /
当当厂e-=|- -<1< 11,,即即]x>>一-1 时1时级级数数收收敛敛，，当当e—e--i 1>> 11,,即即xx<<-1时-\级时数级数发发散散..
因因而而aa ==-—1 1..
解题加速度
1
1.【答 e
1 .【答
ee°" ~— ((—r1 )—” 0.
【【解解析析】】 由由题题意意知知，,aa„。 == n2 >0,
n
· 127 ·
-127 -一
数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析·• ■提高■篇■(（数数学学一一)）
一
1
e" w+1
( 1 )
1- e
· n2 n2
a a m+ , 1 三 e e * * +1 ( 3 — n - ++ ( ( - 1 — 1 )1 ) )2 1 ” 2 ) +土1 ee"° —-( 必 (-一 1 )1”)” = = — (3n ++ 护 1 1))22 ° _ — e" 11- ( 1 ) ] →e(n→ oo).
e
1
所所以以该该蓦幂级级数数的的收收敛敛半半径径为为 e
e
lr= = = = = = = = = * = = = = = = = = = = = = = * = = = = = = = = * = = = = = = = = = *『
e"
09 1
Il 【评注】也可用下面的方法求解：002
n2
n
x”的收敛半径为 e
i ,而乙°° (/ -
n
1
2
)1 ”\n
x"的收敛半径
II
" m=1 n e m 切 =1 n a
H为为11,,取取两两者者最最小小值值即即为为所所求求.. ||
『 = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =』
2.【答案】 A.
=
am+1 3 b+
【解析】 如果lim an ,lim =3,则
b,
√⑤
2
am+1 a+1 2
a。 =
b.+1 1,
lim = lim 1
an b+1 5
→00
b。 b。
az
故幂级数乙 b.x”的收敛半径为5,应选(A).
—
m=1
三、求幂级数的和函数及数项级数的和
三、求蓦级数的和函数及数项级数的和
皿110（(22000099,,1166题题）)【【解解】曲】线曲y线 =y=x"°与与'y =x*)的的交交点点为为(（00,,00)）,,(（11,,11)）,,所所以以
a,= 0o ((J x C1 "一-x"/+】I))ddzx == ( n n + + 1 1 1 \ • x” / + 】 1一 n n 1 + + 1 —2 2 ,x丁*《++2 2 —n n + 1 + 1 1 1 n n + + 1 1 2 2 ? ,
从而
从而
=
s,= = Z p a. ” = = l 3 i 虬 mZ p N a.= ” = l 熙 im 借 ( 1 一§ 1 + + … •“ + +沽 1 1一 1 由)）== l炽im (（号 1 —由 1 )）=+ 1 , ，
S, 2 3 N+1 N+2 2 -… N+2 2
N→
=1
m=1
s?=2 援 0a s :- 1 = = M 020 (( 1 寿一 1 山)) = =§ 1 _§ 1 +§ 1 _ | 1 + 1 1 -
Sz = —2n 2n+1 2 3十 4 5 十 6
m=1 m=1
x"
1
由由 ilnn( (1 1++ xx)) ==x x— — 4
2
/x2 ++ …••• ++( (-—1 )l*)1i —
n
++… •••,,令令工x==1,1得,得
Z …n·
1 1 1
InI n2 2= =1 —1 — ( ----+十 +…) ) ==11 -—S S?2→=>SS2? ==1 1- —In I n 22..
2 3 4
11=------- = = = = = --= = = = = = =.- = -- = = - = = = -- = = -- = -- _ = _____^
【评注】 此题是定积分的几何意义与级数求和的一个综合题，特别是用到了常见函数
II 【评注】此题是定积分的几何意义与级数求和的一个综合题，特别是用到了常见函数 I
II II
]llnn（(l1++xz)的）的幂兼级级数数展展开开式式..
---J
[Ⅱ11(（2200110,01,18题8题)【）【分分析析】】用用比比值值判判别别法法确确定定收收敛敛区区间间，，进进而而确确定定收收敛敛域域；；利利用用蒂幂级级数数的的逐逐项项求求
导导求求和和函函数数.
u+1 x2+2(2n-1)
【【解解】】因因为为lliimm住
un
== lliimm 丁宾
2
匚?
=
=工
x2
气
,所
所以
以
当
当
x2
x
<
2<
1
1
,
,
即
即
一
-
1
1 <
V
x
*
<
V
1时
1
，
时，
2*(2n+1)
→”-»08 Un →”-*080 JC \ uTl ~J 1 ）
·128 ·
-128 -第八章 无穷级数
第八章无穷级数
原原幂慕级级数数绝绝对对收收敛敛..
8
当 当 x x = = ± ± 1 时 1时 ， ， 级 级 数 数 为 为、 乙 (淳—1)埒”1 , ， 由 由 莱 莱 布 布 尼 尼 茨 茨 判 判 别 别 法 法 可 可 知 知 显 显 然 然 收 收 敛 敛 ， ，故 故 原 原 幕 幂级 级 数 数 的 的 收 收 敛 敛 域 域 为 为
2n—1
cn — 1
m n = = 1 1
[-1,17.
L-bil
kg 2〃T
0
又乙
(-1)”「1x2,==是x2 (
（
—
一 1
1
）
)
）
1
x22--I1 ,今令
（2-n1—）1 22nn—-1l X
m=1 xn==1 1
m
(—1)1
f/（(xx） )= =522
I2 n—1） 1
x2-1口,x ∈£ (（—-1 1,,11)）,,
m=1
则则 ff( （工 x）)==乙方 00 (-（一1)-'x2(~D= 1
1+x2·
n切=1 1 +z
门
由由于于六f(00) )== 00,,所所以以/f((xx))== ff'f (（tt）)ddtt ++f /(0（0)=） =ar acrtcatnan x x..
o
···-----
从从而而蓦幂级级数数的的收收敛敛域域为为[—[-11,,11]],和,和函函数数为为fGf(）x =)= xzaarrccttana nxx.,xx ∈6 [[-—1 ,114]1.
「= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = * = = = = = = = = = =』
【【评评注注】 】 对 于对缺于项缺的项籍的■幂级级数数，一，般一用般比用值比判值别判法别确法定确收定敛收区敛间区间；本；题本也题可也将可t将t=x2转转化化
II = x2 * II
II
"为为不不缺缺项项的的累寂级级数数，.
L__ _ _ ___ _ — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — -— --— -— JI
[1£2((22001122,,1177题题))【【分分析析】】由由此此幂蒂级级数数的的构构成成可可知知，，其其和和函函数数可可以以通通过过几几何何级级数数求求导导和和求求积积分分
得得到到，，因因此此可可以以先先求求和和函函数数，，再再由由幕幂级级数数的的性性质质得得收收敛敛半半径径，，然然后后讨讨论论端端点点处处的的收收敛敛性性，，得得幂蓦级级数数
的的收收敛敛域域.
【解】乙 4 4n m 2 2 + + 4 4 n n+ +3 3 x : 2= 尸 020 ( （2 2 v n + + 1 I ) / 2 + +2 2 x22°n
【解】、
~22nn++1l~~z 4 22〃n++1l %
=0 n=0
n — 0
00 00 2
=2(2n+1)x2+乙 2 x2,
、（2n + l"+、 2n+1
2n + l
m=0 m=0
n=0 n==0
0oo0 0o0o ( x ) 1 - + . x2 2
因因为为、2(（22nn++1l）)zx" 2== (（22x2了1)*′）' == 1- =( （ 11—_x 为 2) ,'一-11 VrH 1—x?'
2n+l 1-x2
n=0
2g四 d1n
x2m+1
=
=
j： 1
dt =
1
In
1+x
,-1• 【【评评注注】 】幂暴级级数数求求和和尽尽量量将将其其转转化化为为形形如如乙习—n 或或2心n1I的的暴施级级数，数再，再通通过过逐逐项项求求导导：
: ”=】〃”=】 ：
m=1 n=1
H或或逐逐项项积积分分求求出出其其和和函函数数..本本题题应应特特别别注注意意工x==00的的情情形形.. J'
L^.= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
·131 ·
-131数
►
学历数年学真历年题真全题精全解精析解·析提• ■高■端(!数（数学学一)）
2.【分析】 因为幂级数缺项，按函数项级数收敛域的求法计算；利用逐项求导或积分并结合
2.【分析】因为蓦级数缺项，按函数项级数收敛域的求法计算；利用逐项求导或积分并结合
已已知知函函数数的的幂蓦级级数数展展开开式式计计算算和和函函数数..
(—1)”1x2+1
【【解解】】 记 记u（,工(x）)== （_ 福 1 ）1 _ ； 2n ） +l ,，则则
U” n(2n—1)
(-1)”x2m+3
(—l)"x2n+3
lliimm u哗+;(季x) == lliimm (3n ++1 1))((22”n ++1 1))
=|x|2,
”f8
u
U
,
n
(\ JxC )2
n-»oo
((一-1
1
)
)
*
1
x了2+外1
1
nn((22nn —— 11))
所所以以当当||xx||22 <<1,l,即B|Px||x<1|<时 ，1时所，给所幂给级慕数级收数敛收；敛当；当|x|z|>|1>时 1，时所，所给给幂蓦级级数数发发散散；;
当 当 x…=± ± 1时 1， 时 所 ，所给给幂蓦级数级为数 ( 为 -1 福 )- 耳 1 ，忐 (— 当 1)” 5,,均 均 收 收 敛 敛 ， ，
n(2n—1) n(2n—1)
故所给幂级数的收敛域为[-1,1].
故所给蓦级数的收敛域为[—1,1].
在
在(
(
一
-1
1
,
,
1
1
)
)
内
内
，，S( S
z
(
)
x
=
)= 乙
2
M
00
-
(/ -
n
1
(
7
)1
2
^
”
-
\
n
-
n
-
1
—
—
—
-
x1
-
2
-
1
T
1
*2
)
n+
)
T
- 1|
~
-l =
=
2
2x
x
/
S
J 02 3 0 0 、
7
((Z
o
(z
2
—
-
nn
- -
1
——
-
1)
-
”
-
x
1 l
7
n
)
—-
)
7
(
11
(7
x
22
厂
2
n
2m
n
n
\
))
== 22xjcSS;i ((xx)),,
m=1 。 m=1
00 (—1)”12 1
而而 SS；;((xx)=)=况2 (_；)言I ,,$S" (z(x ) )==乙史((-—1)1~)11x*21-? == —L-J,
2n—1 1+x2
臼 2"-1 臼, 1+x2
=1 =1
1
所所以以 SS；'((_rx) )—- SS/i ((00) )== f S"((tt))ddzt == f 。 ■-~ 1 ~ + ddit = = aarcrtcatna 工 n , x 又 , 又S； S('0()0 )== 00,,
J 0 J 1 十 2
0 0
于是S/(x)= arctan x.同理
于是 S\ (x) = arctan z.同理
: 一
S
S
?
i (
(
x
x
)
)
—
- S
S
?
i
(
(0
0
)
)
=
=
[ SS'] ((zt))ddzt == f aarrccttaann ttddtt
*
J 0o J o0
x
t 1
== tCarrcettaann tt — | xd-dtz ==x xaracrcttaann xx— — 4-llnn(( 11 ++x x22 )).
I0o J 0o 1 1 + + t 2 rz 2 2
1
又又 SS?] ((00)) ==0 ,0所,所以以S S?i( (xx))= x=a rjrcatrcatnan xx一 — ^-1I^n(( 11 ++x x22))..
2
故S(x)= 2x2arctanx-xln(1+x2),x∈(-1,1).
故 S(i) = 2x2arctan x — xln(l + x2) G (—1,1).
由由于于所所给给幕幂级级数数在在x x==±± 11处处都都收收敛敛，，且且S(Sx() x=) =22
jc
x2 2aarcrtcant axn —x-xxllnn((l 1++®x2))在在x工=±=士1处1处都都连连
续续… ，，所所以以SS((xx))在在xz= =±±1 成1成立立，，即即
…
S(x)=2x2arctanx-xln(1+x2),x∈[-1,1].
S(x) = 2r2arctan x — xln( 1 + x2) £ [— 1,1].
F= = = =… =… =… = = = = = = = = = = = = = = ^ = = = = = = = = = = = = = = = - = - = - = - = - = - = - = -…7
] 【【评评注注】】 本本题题幂暴级级数数是是缺缺项项幂暴级级数数，，则则应应采采用用函函数数项项级级数数求求收收敛敛域域的的方方法法，，属属基基本本题题型型.。J
33..【【分分析析】】 利利用用已已知知几几何何级级数数的的收收敛敛性性与与收收敛敛域域，幂，蓦级级数数的的逐逐项项求求导导、、逐逐项项积积分分性性质质求求解解..
1
OO
【【解解】】（(方方法法一一） )因因几几何何级级数数乙、x工°”==湾 1- 一 x, ， 且 且收 收 敛 敛 域 域 为 为zx∈£(（--1l,,1l).）.又 又
m=0
o 00 60
22(n（«+ +1) D(n（«+ 3+) 3x）°x"==乙吏(n（+"1 +)(〉n（+“2+) x2°）工”+ +乙 总(n 3+1 +) x1”）工”
xn ==0 0 n m = = 0 0 nm==00
00
8 co0
==(（2、x*广)"）+"(+2 （x、*1广)′），
=nx0=02 nm
x
==00
[2x-x2 ] + 1
=
=
(
（子-)）””+十(（
1
已
-x
)）′，== r
/f-^
T + rr^-v
= 11 ——x x 1 — x (L1（—l—xz)） J (1（1— —x x)）
3—x
,x∈(-1,1).
(1-x)?
e
由由幂幕级级数数的的逐逐项项求求导导性性质质知知蚓乙3( n++ 1l)）(（nn ++3 )3x）”z”的的收收敛敛域域为为（(--11,,11)）,,
m”=
=
0
0
。132 ·
-132 ・第八章 无穷级数
第八章 无穷级数
3 —x
和和函函数数 sS（(zx）)== w,*x∈(（--1i,1,)i.）.
(1-x)3
00
(方法二)幂级数乙(n+1)(n+3)x”的系数a,=(n+1)(n+3),又
(方法二) 籍级数、(” + 1)(” + 3)工”的系数a, = (w + lXn + 3),又
m=0
n = 0
li-i m α Q m n + + 1 i = li-i m ( (n n + +2 2 ) )( ( ?? n + + 4 4 ) ) =_1 1,
→L h 8 m 0 -a- a 。- n - = →1 h 0 m 80 (n十+1 11)、 )(, ( 〃n 十+3 r3)) 、—］，
所所以以收收敛敛半半径径R R== 11,,
00 00
当当
z
x =
=
1 时
1
时，，、乙
3
(n
+
+ 1
1
)
)(
(〃n
+
+ 3
3
)
)x
x
n
2
=
=2(n
+
+1) (
1
n
)
+
3
3
+
)发
3)
散发；散；
m=0 =0
n=0 n=0
00 o
co 00
当当 xx ==-—1时 1 时，，乙、(3n+ +1) 1()n(〃+ 3+) 3x)°xn ==乙 y(n^(+n1 )+( nl)+(3n) +( -31))(—” 1发)"散发散，,
mn==00 n=0 m=0
故故所所求求收收敛敛域域为为((--11,,11))..
设S(x)=乙(n+1)(n+3)x",x∈(-1,1).则
设 S(z) =、(7! + 1)3 + 3)*”，工 £ (-1,1).则
mn= =0
0
0 00
J sS((tt)d)z d=z=觉乙(”( +n +3)x1=1觉=2(n+2)x*1+克2工x**
= 3)z+ (n + 2)W +
------------------
mn==00 nn == 00 nm==00
J(
2 ] 工 ------ -- -
(n+2)t?'dt 十：
0 1x—x
m=0*
0 x =
=((2、x*广2))''++ 1 土 —x = ( 1一x ) 十1 工 -x
= mn=-00 X =
2x-x2 x 3x—2x2,
2了二矿 + 一__J = 3了. 一垃
十
1—x
((11—-xx))22 1-
=
x ((11 --xx))22
故 故和 和 函 函 数 数 s S （ ( x x ） ) = = [ 0 3x 5 —2 ^ x2 ] ] ' = 3—x ,x∈6( （ --1,11 ，》 ).
(1-x)2 (1—x)3
= = n = = n = M = = = = = = = = = = = m = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = F
I，
【【评评注注】】
季
累
级
级
数
数
逐
逐
项
项求
求
导
导
后
后
，
，其
其
收
收
敛
敛
半
半径
径
不
不
变
变
，
，但
但
端
端
点
点
可
可
能
能由
由
收
收
敛
敛
变
变
为
为
不
不
收
收
敛
敛
，
，
即
即
收
收
敛
敛
域
域>'
it II
«可可能能缩缩小小；；逐逐项项积积分分后后，，其其收收敛敛半半径径不不变变，，但但端端点点可可能能由由不不收收敛敛变变为为收收敛敛，即，即收收敛敛域可域能可扩能大扩，大.11
L= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =』
44..【【解解】】 用用比比值值判判别别法法
·
u f + l ? ( & x) ) = lim ((--44))*+11 ++1 1 44"” ·・((22〃n ++1 l)) x2=x2.
pp((zx)) == l →n l - ii *0 m © m 0o u
U
,
n
((xX)) = →" li f m 08 44”* 1(2(〃2n++ 33)) ((一-44))”" ++ 11 X 〜2
由p(x)<1,即x2<1亦是|x|<1,可知此幂级数的收敛区间为(-1,1).
由p（z） V 1,即/ v 1亦是I 1 Is 1,可知此籍级数的收敛区间为（一1，1）.
当当x…=±士1 时1时，扉幂级级数数为为为乙
00
忌(-4)”寄+1 ==2£
0
(
0
-〜1)*）">00))..
【【解解析析】】 这这是是典典型型的的齐齐次次微微分分方方程程，，可可按按一一般般方方法法求求解解..
y
y1In( )
xxyyf' ++ yj/((llnn xx -—I nIn yy)) ==0 变0 变形形为为 yy′ == x于In(于 x ).
=
y dy=xdu du du u(ln u-1)
令令 uu ==
x
—
,
,则
则
；
y
y =
= x
z
u
u
,
,
d
$
x
= z
d
半
x
+
+u
“
,
，
代
代
入
入
原
原方
方
程
程 x
x
dx
+
+u
u
=
=
ul
u
n
\
u
n
,
以
即
，即
!d
半
x
=x---—
X dz ax dz ax x
du =dx
分
分
离
离
变
变
量
量
得
得厂业~卞=虫
x
,，两两边边积积分分可可得得
uu((Ilnn u u—- 11)) x
IInn || IIn nuu —- 11 l| == IInn xz ++I Inn CG, ,即即 IInn 以u—-11 ==C xC.z.
y y =2x+1.
故故 Ilnnx^--11= C=x C.代r.代入入初初值值条条件件 y3/((11)) ==e e33,,可可得得 CC==2 ,2即,即I lnnx^ = 2x+l.
x x
综综上上，，方方程程的的解解为为V =y=衣xe52+‘1((工x＞>0 0))..
§3((2200115,51,61题6题))【【解解】】 ＞y ==f(Sx)在 在点点(x(ox,0f,(/(xx?o)))处)处的的切切线线方方程程为为
y-f(x?)=f(xo)(x-x?).
y — /"(工°) = f' (x0)(x — x0).
f(x。)
f (工o)
令令y、==0得0得，口x= x=。五一一六三/.
了(x?)
切切线线与与xx ==x。 x0及及x工轴轴所所围围区区域域的的面面积积为为
)
SS == - 1
2
j-f/((xx?0)) [x x o 0 一 — ( x
i
。
o
一
—
·
了
JL
(
x
m
.
)
1 =
=
4
4
,
,
即 即 Bn 72 1 1 了7 f( (( ( x x z ^ ? ? o ) )) )=_ - 4 4 九→ — 2 1 1 y22 =_ 一 4 y a 心 'f, ' 8 8 y泌 d d 2 ; y y =— 一 di & x→—一§ 8 y ==x z + + C C , ,
y
由由、y((00))== 22知 知，，CC ==-—44..
8
xE I.
则则所所求曲求线为曲y=线为了Z.
44 ——工 x
fj((22O01166,3,3题题)【)【答答案案】】 AA..
【【解解析析】】 利利用用线线性性微微分分方方程程解解的的性性质质与与结结构构.•
由由y少?==((11++z^2))22 -一√ J1I++x工,2y,?力==(1(+1x+2x)22)+2 √+ IJ+lx+是衣微是分微分方方程程
yy' ++p (x)y == qq((工x))
的两个解，知y?-y?是y′+p(x)y=0的解.
的两个解，知yi — yz是y + P(x)y = 0的解.
· 135 ·
・135・数学历年真题全精解析·醒离蕴(数学一)
►► 数学历年真题全精解析• ■■（数学）
故故（(少y?一-y费?）)'′+ +/?p（(了x）)3(1y —?-、y2?）)==0。,，即即
1 1
——2·2 . {.—. ]-----•· 2x2 —x-22 a√/1 I++ xx2 2pp（(j?x） )== 00,，
2 √1+x2
2 ^/1+x2
x
从
从
而
而得
得
p
p
（
(
工
x
）
)
=
=
—
-1y+rpxp2■-
y:+y?
又又： 业尹是是微微分分方方程程yJ′ ++ pp(（xH)）yV= q=( xq)（的w）解的，解代，代入入方方程程，，有有
2
[[(（11 ++工x22)）2勺]′'++》p（(工x）)（(1 1++工x 22）)2 2== qq(&x)）
解解得得gq（(了x）)==3 x3(x1（+l+x2x).2）因.因此此应应选选(（AA).）.
【评注】 本题也可把题中两个解代入微分方程y + p(x)y = 9(x),得到关于p(x),9(x)l
【评注】本题也可把题中两个解代入微分方程y'+p(x)y=q(x),得到关于p(x),q(x)
II I值I重
"的的方方程程组组，，解解方方程程组组可可求求得得p p ( ( x Q ), , q q ((x工).). "
[= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =J = =』
e。
0
5(
（
2
2
0
0
1
1
8
8
,
,
1
1
8
8
题
题）
)
【
【
解
解
】
】（(
I
I）)
若
若
八
f(
工
x
）
)=
=
x
工
,
,
则
则
方
方
程
程
化
化
为
为
y
J
′
+
+
v
y =
=
x ,
z
其
,其
通
通
解
解
为
为
y = e ar( (C+ 了 dx)= e? ( C+ xe'dx)
==e e^-(x C(C+ x+e x1e-x e—2 e)* =) =C eC?e~2x+ +x —x —1 .1.
((Ⅱ□))设设火y(
z
x
)
)为为方方程程的的任任意解意，解则，
y(
则
x+
y'
T
(
)
x
+
+T
y
)
(
+
x
y
+
(x
T
+
)
T )
=
= f
/(
(
x
x
+
+T
T
)
)
.
.
而f(x)周期为T,有f(x+T)= f(x).又y'(x)+y(x)= f(x).
而 f (工)周期为 T,有 /(x + T) = /(X).又 y\x) + y(x') = /(x).
因因此此 y'(+x +TT) )++ yy((xx ++T T))- —y' j(/(xz))- —y (yx(x))= 0=, 有0,有(e(e'x[[jy/((xx ++T T))- —y( vx()z])]))′‘ == 00,,
即e'[y(x+T)-y(x)]=C.取C=0得y(x+T)-y(x)=0,
即 + T) — >(])] = C.取 C = 0 得 y{x + T) — >(x) = 0,
yy((xz))为为唯唯一一以以TT为为周周期期的的解解..
6(2019,10题)【答案】√3e′-2.
0(2019,10 题)【答案】”3/ — 2.
2y
【【解解析析】】 方方程程变变形为形为浮d^y妇 == d&x,,有有
2+y2
2 + v
llnn(2( 2++ Jy 2) )== x] ++C C..
由由 >y((00) )== 11得 得C C= I=n In3 3..
2-+y2=3e1,
2 += 3ex ,
所求特解为y=√3e'-2.
所求特解为v =一 2.
广==三= = = = = = = = = = = =兰==兰兰* =====三==* ====兰= = = = = = = =兰子
【评注】由初始条件y(O)=1,开方取正号.
•' 【评注】 由初始条件、(0) = 1,开方取正号. 1
IL _ -J_ J]
❷7(2(201091,91,155题题))【【解解】】((II) 由)由一一阶阶线线性性微微分分方方程程的的通通解解公公式式知知
y3, == eeT -J m 人 (je-# .• e*&ud&x ++ C(?))== eeY((zx ++C C))..
由y(O)=0知，C=0,故y(x)=xe
由 y(0) — 0 知，C = 0,故 >(x) = xe-—.
( ( H Ⅱ ) ) 由 由 y y = = xe 知 知
y=(1-x)e÷,
= (l-x2)e-^,
y=(x2-3t)e
y" = (x3 — 3x)e-T ==x x((x.x22 -一3 3))ee T7 ,
令y"=(x3-3x)e? =0得x?=0,x?=-√3,x?=√3.
令 y = (x3 — 3x)e~T = 0 得 = 0,x2 = —V3 ,x3 = a/3.
·136 ·
-136 ・第九章 常微分方程
第兀章 常微分方程 ◄◄
当x<-√3或0√3时，y”(x)>0.
当一V3 把时,'”(£)> 0.
由此可知，曲线y=y(x)凹的区间为(一√3,0)和(√3,+c);凸的区间为(一o,一√3)和(0,√3).
由此可知，曲线）=火工）凹的区间为（一4,0）和（而,+8）；凸的区间为（一8,—有）和（0,^3）.
拐点为(一√3,-√3et),(0,0),(√3,√3e+).
拐点为（一用，-73e"^）,（0,0）,（73,73e^,）.
0
8((（2200222,21,177题题)【）【分分析析】】先先求求微微分分方方程程的的特特解，解然，然后后求求曲曲线线的的渐渐近近线线..
【解】 一阶线性微分方程的通解为
【解】一阶线性微分方程的通解为
y=ef
(2+、E)e*dx)
y = e ((C C + + j (2 + y/x ) J2**7"11 dx )
= = e e √ Y x((C C + +j((22++√5/x^))ee?"ddxz)))
=e~(C+2xeī)
=e-77(C+
= Ce~F+2x(C为任意常数).
=CeY + ZZC为任意常数).
------
由由、y((
1
1
)
)
=
= 3
3
得得C。==e,
e
故 ,故y
y
(
(
x
x
)
)
=
=
e
e
1
'W
F+
+
2 x
2
.
x.
显显然然曲曲线线没没有有铅铅直直渐渐近近线线和和水水平平渐渐近近线线，，而而
e1-ī+2x
y
a = lri m y = l]i. m e'Y + 2工 =29,
a = hm x— = lim— ------x------- = L,
■-If+-8 -JC --X-*4-OO X.
b= lim(y-ar)= lime1√r=0,
b = lim （.y — ax'） = lim e1-^ = 0,
→H-+>0+08 xX→-*++0<0»
曲曲线线有有一一条条斜斜渐渐近近线线y
y
=
=
2
2
x
z
.
.
J解题加速度
解题加速度
11..【【答答案玲】 x y ^ 22..
【【解解析析顾方幼程可可化化为为(（x可y)）′'==00,,积积分分得得巧xy==C,C代，代入入初初始始条条件件得得CC ==2 ,2故,故所所求求特特解解为为xxyy ==2 .2.
---- 1------
（f= - = = = = y - = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = - q]
dy dx
I! 【【评评注注】】 本 本题题虽虽属属基基本本题题型型，，也也可可先变先形
y
变形x,,再再积积分分求求解解..
it y x
...1
2.【答案】 B.
2.【答案】B.
【【解解析析】 】 由 由于于yyj?z(）x—)-队y?(&x）)是是对对应应齐齐次次线线性性微微分分方方程程yy′++PP(^x)yy= =0的 0非的零非解零，解所，所以以它它的的
通解是Y= C[y?(x)-y?(x)],故原方程的通解为
通解是Y = C[yi&）一力&）]，故原方程的通解为
y=y(x)+Y=y?(x)+C[y?(x)-y?(x)],
> =（x） + Y =（工）+ C以 &） — >2 &）],
故故应应选选(（BB)）..
_ — — — — 一 一 一 一 — — — 一一― — — — — _一 — — = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
U=_ n-i,1
" 【【评评注注】】 本本题题属属基基本本题题型型，，考考查查一一阶阶线线性性非非齐齐次次微微分分方方程程解解的的结结构：构： "
II y= y*+Y, ………………… …… 11
丁 • + 丫， "
I' … ……… ………………… w =
it 其其中中y’是是所所给给一一阶阶线线性性微微分分方方程程的的特特解解，,Y是是对对应应齐齐次次微微分分方方程程的的通通解解.• "
H V* Y
仃 一 r — — — — 一 一 一 = = = = = = = 〒 — — = = = = = = = = = = = — ==
-==---=4
x
3 3 . 【 .【 答 答 案 案 】 】 y y = = √In X x+1 ,x> > e - e 1 -1 . .
Jin z + ]
y
【【解解析析】】 令 令u u== xX,,则则原原方方程程变变为为
X
·137 ·
・137・数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析·• 提高篇(（数数学学一一)）
=—
u+x du = u— 1 du dx
u3→
dx 2 u3 2x
两两边边积积分分得得
=—
1 1 1
In x一 In C,
2u2 =---2-In x -----2-In C,
乙 乙
1 e 1 x= 1 2
即即工x== =>x = *顼e,将，将yJ _] ==1 代1代入入左左式式得得CC= =e ,e,
C C
r=1
2
£
故满足条件的方程的特解为ex=e?,即y= 工 ,x>e1.
故满足条件的方程的特解为ex = e/ ,即J = ■ J > e->,
— √In x+1
Jin z + 1
44..【【答答案案】】xx（(CC--ee--*O),,CC为为任任意意常常数数..
【【解解析析】】 原原方方程程可可改改写写为为
dy 1
dx x ·y=xe?,
于于是是通通解解为为
y=e+ xe*e+
(
1.山r ardx+C)
,一
=x
=x
(Jee-^Xddxx ++C ()?))
=
=
x (
x
C
(
—
C —
e?
e
1
-
)
i
.
).
2. 2ln x-1
55..【【解解】】原原方方程程变为变y'为—丁y-令= =凫三,则,则
2x
x2
2ln x-1
，=的(C+ '-e d - x )
2.x
= = x 2 / | 2((CC ++ 儿 J 2 岑 ln 2 .x x 2 —1 dx) )
1 1
=
=
x2
x
|
2((CC一-j
4
j
.
((221lnn xx
—
—-1l))dd
x
^
2
) j
·
1 2ln x-1 1 1 · 2
(C— dx)
=—x2| (c — 4 x2 十+ 4. x2 x
= J：2((CC一-2 2 1 ln lL x | — ZL 1 i__ 1 l_))== CCxz22一_ 1 |Ilnn xh..
=x2| 4x2 4.x2 2
1 1 1 1
由由 yV((l1) )== "|•得得 CC == y ,,有有 'y ==yxx22 —— yilnn Xx,,
4 4 4 2
进进而而所所求求弧弧长长为为
l1 == j: √ J1 1+ + y . " ' d % x= = j: J1l+ +( 1 (*_ 1 我)2 jddxz
2
工一2x
1
=
= =H(壹 x 2 + + 2 土 1 .x )d)x打= = ( 4 ( 1 事x2++ 2 1 物ln 丁x )|: 4 1 = ( 莉 e2+ + 11))..
1 1
二二、、高高阶阶常常系系数数微微分分方方程程的的求求解解
09((
（
2
2
0
0
0
0
9
9
,
,1
1
0
0题题）)【【答案答】案】一了-x
e
e
'+
'+
*
x +
+
2 .
2.
【解析】 由二阶常系数线性齐次微分方程的通解为y=(C?+C?x)e2,
【解析】 由二阶常系数线性齐次微分方程的通解为v = （G +G工）e',
· 138 ·
. 138 .第九章 常微分方程
第九章 常微分方程 ◄◄
得对应特征方程的两个特征根为n?=r?=1,故a=-2,b=1;
得对应特征方程的两个特征根为门=a = 1，故q =— 2,6 = 1 ；
对应非齐次微分方程为y"-2y′+y=x,设其特解为y1= Ax+B,
对应非齐次微分方程为y~2y+y = %,设其特解为V = Az +B,
代入得-2A+Ax+B=x,有A=1,B=2.
代入得一2A + Az + B = z,有人=1 ,B = 2.
所以特解为y^=x+2,因而非齐次微分方程的通解为y=(Ci+C?x)e2+x+2,
所以特解为y，= z + 2,因而非齐次微分方程的通解为了 = (Ci +C2x)ex+x + 2,
把
把
y
w
((0 0))
=
=2
2
,
,
y
j/
'
(
(
0
0
)
)
=
= 0
0
代
代
入
入
，
，得
得
Ci
C ?
=
=
0
0
,
,
C
C
2
?
=
=-
—
1
1
.
.
所求特解为y=-xe'+x+2.
所求特解为y =— xeT + j? + 2.
— — 一 一 一 一 一 一 一 一 — 一 一 — — 一― 一一 一 一― 一一― — — 一 — 一 一 = — = — = = = = = = = = 7=
r
【评注】 此类题通常考查二阶常系数线性微分方程解的结构和形式.
【评注】此类题通常考查二阶常系数线性微分方程解的结构和形式. "
•I ---J
(1E0((2
2
0
O
1
1
0
O
,1
,1
5
5
题题))【【分分析析】】直直接接利利用用二二阶阶常常系系数数线线性性微微分分方方程程的的求求解解方方法法..
【【解解】 】由 方由程方/程 —y 3"j-/ 3+y ′2y +=2 y0=的0的特特征征方方程r程2 —r 23-r 3+r +2 2== 00,,解解得得特特征征根根nr i== 1l,，ar ?== 22,,
所所以以方方程程
y
y
'-
"
3
-3
y
y
+
′
2
+
y
2 y
=
= 0
0
的的通通解解为为§y==C
C
ie
ie
'
J
+
+
C
C
?e
2
2
e2
.
\
设y"-3y'+2y=2xe'的特解为y*=x(ax+b)e',则
设 y — 3丁 + 2、= 2xex 的特解为 y * = x(ar + A)e「，则
(y')'=(ax2+2ax+bx+b)e',(y')"=(ax2+4ax+bx+2a+2b)e2
(V• )' = (az2 + 2az + ba: + 6)ex , (j/* )〃 = (az2 + 4az + fer + 2a + 26)e*
代代入入原原方方程程，解，得解a 得
=—
a =
1
-
,6
1 ,
=
b
—
=-
2
2
,
,故故特特解解为为
y*
y^
=
=
x
x(
(—
-x x- —2)
2
e
)
'
eT
,
,
所所以以原原方方程程的的通通解解为为
yy=
=
y +
v
y
+
'=
V
C ?e
=
2
C
+
i
C
e
?
x
e
+
2 r
C
-
2e
x
2
(
r
x
—
+
x
2
(
)
x
e
+
',
2
其
)eJ
中 ,其C中?, C
G
? 为
,C?
任为意任意常常数数..
1[1D(2(201021,29,题9题)【)【答答案案】】 ee'.\
【【解解析析】 】齐齐次次线线性微性分微方分程方/(程*f)"+(x/)&+)f(—x
2
)
/
-
&
2f
)
(
=
x)
0
=0的的特特征征方程方为程产为
+
r
r
+
—
r -
2
2
=
=0
0
,
,
特
特
征
征根
根
为
为
七
r?
=
=1
l
,
,
r
r
?
2
=
=
-2
-
,
2
因
,因
此
此
齐
齐
次
次
微
微
分
分
方
方
程
程
的
的通
通
解
解
为
为
/
f
&
(
)
x )
=
=C
G
?e
e
2，+
+
C
G
?e
e
-
-
2
气
.于
于
是
是
f/((xx)) ==C iGe'e-'2-C2?Ge-e2fr ,,，f'((了x))== CGiee2'++44CG?ee2f,,
代代入入f,”((*x))++/f•((x*))= =2 e2′e，得得
2C?e'+5C?e-2r= 2e'.
2Ge' +5Gef = 2ex.
从
从而
而
C
C
i
? =
=
1 ,
1
C
,C
?
2
= 0
=
, 故
0,故
f(
f
x ) (工=
)
e
=
2.
ex
应
.应
填
填
e 2 e，.
.
1[f2i((22001133,,1100 题题))【【答答案案】】C iC e?3ex 2++ CG? ee2' —— xxee22,i，其其中中CG?,，CC?为z为任任意意常常数数..
【解析】本题主要考查二阶常系数线性微分方程y”+py'+qy=f(x)解的性质和结构，关键
【解析】 本题主要考查二阶常系数线性微分方程y，+py' + qy = fM 解的性质和结构，关键
是是找找出出对对应应齐齐次次线线性性微微分分方方程程的的两两个个线线性性无无关关的的解解..
由
由
线
线
性
性微
微
分
分
方
方
程
程
解
解
的
的
性
性
质
质
知
知
\1
y
一
?-
*
y ?
=
=
e
e
3
3,，y，％?-
—
y?
j
=
3
e 2
=
是
e1
对
是
应
对
齐
应
次
齐
线
次
性
线
微
性微
分
分
方
方
程
程
的
的
两
两
个
个
线
线
性
性
无无关关的的解解，，则则该该方方程程的的通通解解为为
y
、
=
=
C?
C
e1+
^
C
+
?e
G
′
e
-x
'
e
-
2
z
,
e
其
f
中
其
C
中
?,
G
C?，G 为任
为任
意
意
常
常
数
数
.
.
[1£3((22001155,,22题题)【)【答答案案】】 AA..
1 1
【【解解析析】】 把把、y == 捉e2，*++((了x一一§)片
e2
代
代
入
入
微
微分
分
方
方
程
程
，
，待
待
定
定
系
系数
数
即
即
可
可
求
求
得
得
a
a
,
,
b
b
,
,
c
c
.
.
2 3
由由y.==y 2 1 ee22rx 十+ (( x 工-§ 1 3 ))ee，'得得 y/′ == ee2" ?++ ((工 x十 + 2 3 )e',,、y"" == 22ee22xr ++ ((工 x + + § 5 3 ))e，2,，
把y,y',y”代入方程y”+ay'+by = ce2,有
把 丁，)'，/ 代入方程：y〃 + ayf + by = ceJ ,有
1 5 2 1
((22 ++ a q ++ j6b))ee22" ++( (11 ++a q+ +b) bxUee' ++ ((y 十+ ya«一-扣b)/e2 == cced', ,
2 3 3 3
人
1
2 2 + + a q + + 2 -b^-=6 =0 ,0, a =—3,
a =— 3,
待待定定系系数数y 1 1 + + a q + + b 》 = = 0 . 0, 得得 b6 ==2 ,2因,此因应此应选选(A（A).）.
5 2 1 c =-1.
a一 b = c, c =— 1.
3十3 3
· 139 ·
-139 -数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析·.提■高■篇(数（数学学一一)）
= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
【评注】 其实，我们可看出齐次线性微分方程的特征根为1和2,非齐次线性微分方程的
II 【评注】 其实，我们可看出齐次线性微分方程的特征根为1和2,非齐次线性微分方程的II
it II
"一一个个特特解解可可为为yy ==xe',进,进一一步步求求得得a,ab,b,,cc.. 11
, 二二二二三三三三三二二 = = = = = = = = = = = ・ = . = = = = =』
Lm = - = = = = = = = = = =
[1E(2（0210166,,1166题题)）【【解解】】（(I I）)/y ”+ 2+丁2y′+钧+k=y=00的的特特征征方方程程为为产r++22rr ++k &= 0=, 其0,其特特征征根根为为
n?=-1-√1-k,r?=-1+√1-k
n =— 1 — •/! — k ,r2 =— 1 + y/1 — k
均均小小于于零零，，故火故工y(）x=)=GC?eeV'2 ++C G?ee'V..
-I1 m 1 +00 =— C.+ C? ,
而 而 '4-00 yy((.xx))ddxx == CG? — e e ' r* t x +C? e'2+ ( r;
ri r? r?
0 0 厂1 0 0
厂，
所所以以J y:y(（xz)）ddxz收收敛敛..
0
入
1 —r? 、]—k—2
C厂 ?_= 1 — a _ \/1 — k — 2
C?+C?=1,
C) = r---,--—------r---?-- 三= ---2--- ---√---/1—k
, ((Q +C2 = 1, 厂1 一 左 2 y/l^k
((UⅡ))由由贝y(0O))==1 i,,yj'/((o0))==1 ,1得,得 一,八 | 解解得得｛ 二_
n?C?+r?C?=1, n?—1 = √1-k+2
MG +r2C2 = 1, C厂 ?_= 厂】一1 _ y/l^k + 2
Cz2 —r---?---—------r---?-—------2--- ---√--, 1—k -
[ c — a 2
因此 ) 『\(工)& =—(( C 令++ C 令 ? ) = = 3 &
因此 y(x)dx=-
0 r? r? k
⑤05((22001177,,1100题 题))【【答答案案】】 ee~*x( (CC?ic cooss√ V22xx ++C ?Cs2isnin√ V22x^)x)..
【【解解析析】 】对 应对的应特的征特方征程方为程
r2
为
+
r
2
2
r
+
+
2
3
r +
=
3=
0
0
,
,解解得得
r
n
li
.
2
=
=
-1
-
±
1
√土2显i,
故通解为y =e-*(C?cos√2x+C?sin√2x).
故通解为 y = e-x（CicosV2j; + C2siny/2jc'）.
一
皿1G(（22002211,,1133题题)）【【答答案案】】—x衣2..
dy d2y. dy
【
【解
解
析
析
】
】
作
作
换
换
元
元
*
x
=
= e
e
'
，，
,
则
则
有
有x
巧
y′
'=
=
华
dt
，,了x2勺y””== 驹
dt
一华
dt
，,原原方方程程可可化化为为
at at at
d2y. dy+dy
—学 + 学-—44y）==0, 0即,即y "v"(（tr）) —-4 4y＞(（rt）) == 00,,
dr2
dt dt
at at at
这这是是二二阶阶常常系系数数齐齐次次线线性性微微分方分程方，程其，特其征方特程征为方，程一为42 =2- 40=,特0,征特根征为根“为 =r?=22,a,r =?=--22..
C?
该该方方程程的的通通解为 解y为 =y =GCe?”e 2++ GC?eel- ， 2==C?x2++
x
乌
2
x
代代入入初初值值条条件 件y（ly）(=1) 1= ,1了,'（y1'）( =1) 2= 可2可得 得G C=? =11 ,C,C2 ?== 00,,故故 yy ==x 2x.2.
、/解解题题加加速度
1.【答案】D.
1.【答
【解析】%所给解的形式，可知原微分方程对应的齐次微分方程的特征根为
【解析】由所给解的形式，可知原微分方程对应的齐次微分方程的特征根为
λ?=1,λ,=—2,
A） = 1,义z = —2,
则则对对应应的的齐齐次次微微分分方程方的程特的征特方征程方为（程义一为 1(）a（-义1+) (2x） +=2 )0=,0即,即A2 x+2A+λ-2- 2==0 0..
故故对对应应的的齐齐次次微微分分方方程程为为
y"+y'-2y=0.
y" + v' — 2、= 0.
又又y/'= x=ez'为e*原为微原分微方分程方的程一的个一特个解特，解而，而λA==1为 1特为征特单征根单，根故，故原原非非齐齐次次线线性性微微分分方方程程右右端端的的
非非齐齐次次项项应应具具有有形形式式八f(工x)）= =CeC'e(C'（为C常为数常)数.所）.所以以综综合合比比较较四四个个选选项项，，应应选选(（DD).）.
·140 ·
. 140 .第第九九章章 常常微微分分方方程程 4
|j== = = = = =J- = = = - = = = = = = = = = = =： = = = = != = = = = = - = = = = = = = = = = =-^
II 【【评评注注】】 对对于于用用常常系系数数非非齐齐次次线线性性微微分分方方程程的的通通解解反反求求微微分分方方程程的的问问题题，，关关键键是是要要掌掌握握"
II II
"对对应应齐齐次次微微分分方方程程的的特特征征根根和和对对应应特特解解的的关关系系以以及及非非齐齐次次方方程程的的特特解解形形式式.. 11
||_ J]
2.【答案】 C?e2+C?cosx+C?sinx,(C,C?,C,为任意常数)。
2.【答案】Qe2j + C2cos x + C3sin z, (G Q ,C3 为任意常数).
【解析】 y"-2y”+y'-2y=0的特征方程为x3-2x2+λ-2=0,
【解析】yw ~ 2/ + yf — 2y = 0的特征方程为A3 — 2A2 + A — 2 = 0,
即(λ-2)(x2+1)=0,解得λ?=2,λz?=±i,所以通解为
即(A-2)(A2 + 1) = 0,解得"=2,A2.3 =±i，所以通解为
………
y=C?e2+C?cosx+C?sinx,(C?,C?,C,为任意常数)。
y = Cx e2j + C2cos x + C3sin (Ci »C2 »C3 为任意常数).
= = = = = = * = = = * = = = = = = = r = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
" 【【评评注注】】 虽虽然然此此题题是是三三阶阶微微分分方方程程，，但但是是属属于于考考试试大大纲纲明明确确要要求求会会的的内内容容，. "
二 二二 = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =- -
1^ = = = = = = = = = = = = = = —
3.【答案】 C.
3.【答案】C.
【解析】±λ均是特征方程r2-x2=0的根.非齐次项为e”及e-的特解形式分别为x(ae2)
【解析】士义均是特征方程r2-A2 =0的根.非齐次项为职及的特解形式分别为了(。职)
及x(be-1),所以微分方程y”-x2y=e2+e-*(λ>0)的特解形式为x(ae*+be*).因此应选(C).
及)，所以微分方程y-^y = e* +e~^(A > 0)的特解形式为了(ae» +。广* ).因此应选(C).
「■= = = = = = - = *- = - = - = = = = = - = - = -- = = = " = = = = = ~ =====---
«| 【【评评注注】】 此此题题主主要要考考查查线线性性微微分分方方程程解解的的结结构构.. ”
-----J
IL* = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = --'
44.. 【【答答案案】】((CC,? ++CC?x2x)e)+e*i,s((CC?1,,CC?2为为任任意意常常数数))..
【【解解析析】】本本题题是是二二阶阶常常系系数数齐齐次次线线性性微微分分方方程程的的求求解解问问题题，，先先求求出出对对应应特特征征方方程程的的根根，，然然后后
直直接接写写出出方方程程的的通通解解..
1 1 1,
方方程程了y" "一- yy'' ++
4 y
=
= 0
°
的
的
特
特
征
征
方
方
程
程
为
为冒
x2
一
-λ
A +
+ 4
== 00,,解解得得两两个个根根为为义λ1,2? 2== §
2
，
则则所所求求的的通通解解为为」y==((CG?++C?Gx)Ge=e,*其,其中中C?G,C?，G为任为任意意常常数数..
5.【答案】 C?+e'(C?cos2x+C?sin2x),C?,C?,C?为独立的任意常数。
5. 【答案】G +eJ(C2cos 2x + C3sin 2Q，G ,C2,C3为独立的任意常数•
【解析】特征方程为-2r2+5r=0,即r(r2-2r+5)=0.
【解析】 特征方程为r3 - 2r2 + 5r = 0,即r(r2 -2r+5) = 0.
2±√4—20
解解得得 rri ?== 00,,rr22.33 == 2 ± # 丝==1±1 士2 2ii.
2
所所求求通通解解为为
yjy((xz)) ==C ?C+)e'+( eCx?(cCo2sc os2 x2+xC +?s Ci3ns2inx )2,z其),中其中C? ,CC)?,,CC2?»C为3 独为立独立的的任任意意常常数数..
·141 ·
-141数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析·• 墨高篇(
（
数
数
学
学
一
一
)
）
第第二二部部分分 线线性性代代数数
第第一一章章 行列式
一一、、数数字字型型行行列列式式的的计计算算
1|(（22001144,,55题题)【）【答答案案】】 BB..
【
【解
解
析
析
】
】 数数字字型型行行列列式式，，有有较较多多的的。0且且有有规规律律时时，，应应当当有有按按主主要要拉拉普普拉拉斯斯公公式式处处理理的的构构思思..
0 0 a a b0 c 00 0 d d cc J d O 0 O 0
=— =
a a 0 0 0 6 a 00 0 b b aa 6 b00 00 cc dd d d c c
0 0 c d0 0 c dd 00 三 _— 0 0 0 O d d e c — _ a a b b b b a a ==-—(a(da—d —bc b)e2)2..
c 000 d 0 a bb 00 0 0 0 0 b ba a
a b0 a b 0
a b 0 a b 0
c d 0 00 b
或或按按第第11列列展展开开,D ，= Da=Aa21A+z +cAcA4 ? = =- --aa c d 0 ——Cc 0 0 b
00 00 dd cc dd 0
0
((22001155,,1133题 题))【【答答案案】】 22((22”"--11))..
1
【【解解析析】】(（方方法法一一)） . .从从第第11行行开开始始，，每每一一行行的的号倍倍加加到到下下一一行行得得
2
2 10 0 … … 0 2
2
2
0
0
0
0
… …•. . 0
0 …
2
2
2 0 0 •.. 0 2
2
- - 1 1 2 2 0 0 ••• 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 … … 0 0 2 2 + + _ 2 2_
= ~2
0 : 0 - _ : 1 1 2 : 2 …・・・ : 0 0 2 2 = 0 0 - _ 1 1 2 2 ••• 0 0 2 2
::
;
0 0 2 2
0 0 0 ••• 2 2 0 0 00 0) • • • …22 2 2
0
0
0
0
0
0
… •・. -
_
1
1
2
2 0 0 00 00 …,・・ —_1 1 2 2
22 000 0… 00 2
2
22 0 0 0 0 00 2 2 2. 0 …· …0 2 2 + + 2 2 2 2
2 0 0
2+22 2
0 2 0 0 2 + 2? 2
0 2 0 0 2
= ……… 2+22 2 +23 = 2 2 … 00 2 2 + + 2 2 2 2 2 + + 2 2 3 3
00 00 22 00 2 + 2 2 2 2 +23 -" : -
: **· … : "::
2
22 ++2 222 +-…---+F2 2~”1一】
0 0 0 0 00 …· 2 2 2 2 2 2"2
00 00 00 -—1 1 2 2 2 + + 2 2 2 2 + + … ・・ + ・ 2 + ° 2”
2*T
2广
· 142 ·
-142 -第一章 行列式
第一章行列式 ◄
=2+22+…+2"=2(2"-1).
= 2 + 2, ------ 2" - 2(2"-1).
(方法二) 第2行开始，每一行的2倍加到第一行得
（方法二）第2行开始，每一行的2倍加到第一行得
2 2 0 0 0 0) ・…- 00 22 0 0 2 2 2 2 0 0… … 0 0 2 2 + + …2 2 2 2
-120 …02 -1 2 0… 0 2
-1 2 0 - ・ 0 2 _ 1 2 0 ••• 0 2
=
0 -12 … 0 2 0—12 … 0 2
0 -1 2 - ・ 0 2 0 -1 2 ••• 0 2
: : : : = : : : :
0 0 0 0 0 0 ・ … - 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 … • •• 2 2 2 2
0
0 0
0
0
0
- •
…
—
-
1
12
2
0
0
0
0
0
0
…・・・ -
-
1
1
2
2
0 0 23… 0 2+22+23
0 0 23 … 0 2 + 22 + 23
-1 2 0 …0 2
-1 2 0 … 0 2
=
0 -12… 0 2
0 _ 1 2 … 0 2
: : : : **:
0 0 0 … 2 2
0 0 0 … 2 2
0 0 0 …—1 2
0 0 0 … _ 1 2
0 0 0…… 2"12+22+…+2~1
0 0 0 … 2" …… ~ … 1 2+ 2? +… + 2广1
-1 2 0 … 0 2
-1 2 0 … 0 2
= 0 0 - - 1 12 2 …… 0 0 2 2
: : : ;
0 0 0 0 0 0 … 2 2 2 2
0 0 0 0 0 0 … … - _ 1 1 2 2
…
0 0 0 2+22+…+2”
0 0) 00 …… 0 2 + 2? + … + 2”
0 2
--11 22 00 …… (0 2
=
2
0 -1 2 0
0 -1 2 … 0 2
: : : :
0 0 0 0 0 0 … … 2 2 2 2
0 0 …-1 2
0 0 0 0 … -1 2
=
=
(
(
2
2
+
+
22
2
+
,
…
--
+
--
2
--
”
2
)
”
()(-一1)
1
*
)
1
*
·
•
((-一1
l
)
)
~1
i
=
=
2(
2
2
(
°
2"
-
-
1 )
1)
.
.
(方法三)(用递推法) 按第1行展开，建立递推公式，有
（方法三） （用递推法） 按第1行展开，建立递推公式，有
2 0 0… 0 2
2 0 0 ••• 0 2
-1 2 0… 0 2
-1 2 0 ••• 0 2
0 -1 2… 0 2
0 -1 2 … 0: :2
=
=
2D.+2
+
(
2
-1
(—
)+
1
1
)
·
*
((-一1 )1广~1==2D2。D—; ++22
: 三 :
0 0 0… 2 2
0 0 0 ••• 2 2
0 0 0 …-12
0 0 0 … -1 2
…
D
Dn
.=
=
2D.
+
;+2
2
=
=
2(2(22DD-,「z2 ++2 2)) ++2 2= =2 22D少-1; ++22+ +2 222
==2222((22DD
l
-3 ;++ 22)) ++ 22 ++2 22, ==2 323DD-_3; +4-2 2+ 42- 222+ +2 323
==22-"~11DD?1 ++2 2+ +2 22+, …----+--2 -21"=-1 2=+22 2++ 2…, +---2--”-- =2"2 (=2 2”(2"- 一1 )1.).
或或
D
D
”
,
+
+ 2
2
=
=
2
2
(
(
D
D
,+
i
2
+
)
2
=
)
2
=
2 (
2,
D
(
,
D
z
i
+
+
2)
2
=
)
…
=…
=2
=
~2
2
(
^2
D
(
?
D
+
2
2
+
)
2
.
).
22
2 2
又又因因玖D?== -1n 2。==6,6所,所以以D D,+“ 2+= 22 °= 22·i8.,8故,D故。 D=“2 =” +21*——2.2.
—1 2
·143 ·
-143 ・数学历年真题全精解析·提高篇(数学一)
数学历年真题全精解析• （数学一）
[r=~ = = = = ~~~_ = = = = = = = - = -- _~- = = = = - = - = = = - = = = = = - = ~~'q7l
[ 【【评评注注】 】 本 本题题难难度度系系数数00.. 225577..
03((22001166,,1133 题题))【【答答案案】】A4λ +?A+3x +32+A2x2 2++33Ax ++4 .4.
【解析】 按第1列展开
【解析】 按第1列展开
λ-1 0 -1 0 0
A -1 0 -1 0 0
D D = = λ A 0 0 λ A — - 1 1 ++4 (4—( —1 )1?)+4+1, λ A - —1 1 0 0
33 22 λ
A
+
+
】
1
0
0
λ
A
—
_
1
1
=λA|I
/
A λ
λ A
2 λ
— -
+
1 1
1 + + 3 3 · • ( ( - - 1 ) 1 3肿+1
- - 1 1 — 0 0 11I \)++44
λ —1
2 A + 1 A
=x?+x3+2x2+3x+4.
=A4 +A3 +2A2 +3A + 4.
或用逐行相加
a -1 0 0 λ-1 0 0 λ—1 0 0
A -1 0 0 A - 1 0 0 A - 1 0 0
0 λ —1 0 λ2 0 —1 0 = a2 0 —1 0
0 A - 1 0 A2 0 -1 0 A2 0 - 1 0
三
0 0 0 0 λ A — - 1 1 0 0 0 0 ? A — -1 1 A a 3 30 0 0 0 — - 1 1
4 4 3 3 2 2 λ A + +1 1 4 4 3 3 2 2 ,λ A+ + 1 1 4 4 3 3 2 2 λ A + + 1 1
λ -1 0 0
A —1 0 0
λ2
= A2 00 -- 11 00
λ3
0 0-1
A3 0 0 - 1
0 0
44 ++3 3x人 ++2 2xA22 ++( (x1+ +1 )1 )xA33 00 0 0
-1 0 0
-1 0 0
=(x(A?4 ++xA3+3 2+x22A+2 3+λ3A+ 4+) 4·) (•—(-11))+41+1 0 0 - -1 1 0 0
0 0 -1
0 0 -1
=x?+x3+2x2+3a+4.
A4 +A3 +2A2 +3A + 4.
(2020,13题)【答案】 a2(a2-4).
（2020,13题）【答案】 a2 3 —4).
【【解解析析】】 由由行行列列式式性性质质恒恒等等变变形形，例，如例把如2把行2行加加到到11行行,，3行3行加加到到44行行，，再再把把11列列的的（(一-11)）倍倍加加
到到22列列，，44列列的的(（一一 11）)倍倍加加到到33列列
a 0-1 1 a a 0 0 a 00 0
a 0 _ 1 1 a a 0 0 a 0 0 0
=
=
0 a 1-1 0 a 1 -1 0 a 2 -1
0 a 1 -1 0 a 1 -1 0 a 2 _ 1
- - 1 1 1 1 a a 0 0 — _ 1 1 1 1 a a 0 0 - - 1 1 2 2 a a 0 0
11 --1 1 0 0 aa 0 0 0 0 a a a a 0 0 0 00 0 a a
a2
=a2
== aa22( (aa2z ——4 4)),.
2 a
- = = = = n = r = - = = * = = = = = = = = = = L = = = P - —|
" 【【评评注注】】 基基本本计计算算题题，，解解法法非非常常多多，，也也可可每每列列都都加加到到第第11列列，，再再消消00………… ，
二二 = = 二 = 土 = — = = = = = — = = M — — 二二 = = 二 二 =
mm = = = m.
、/1解题加速度
解题加速度
1.【答案】
1.【答肄
【解系瘩
【解析1列月f(x)=0有几个根，也就是问f(x)是x的几次多项式.将第1列的(-1)倍
f3 = o有几个根，也就是问/'（工）是工的几次多项式.将第1列的（一1）倍
依次加至其条客列；有
依次加至其余各列，有
· 144 ·
.144 .第第一一章章 行
行
列
列
式
式
x-2 1 0 -1 x—2 1 0 0
x — 2 1 0 1 0 0
2x-21 0 -1 cz+ca 2x-21 0 0
2x-2 1 0 1 0 0
f
/
(（X x）)
=
=
3x-3 1 x-2 —2 3x-3 1x-2 -1
3z-3 1 x — 2 1 x — 2 — 1
4x -3 x-7 —3 4x -3 x-7 -6
4 j? 3 x — 7 -3 X — 7 — 6
= x—21 x—2 —1
x — 2 1 x — 2
=x(5x—5),
2x—21 x-7 -6
2x-2 1 x — 7
可可见见由由拉拉普普拉拉斯斯展展开开式式知知
”
f(工x)
）
是是x
z
的的2次
2
多次项多式项，式故，故应应选选(B（B ).
）.
【【评评注注】】
由
由
于
于
行
行
列
列
式
式
中
中
各
各
项
项
均
均
含
含
有
有
了
x,
，
若
若
直
直
接
接
展
展
开
开
是
是
烦
烦
琐
琐
的
的
，
，
故
故
一
一
定
定
要
要
先
先
恒
恒
等
等
变
变
形
形
；
；
更
更
不
不II
………………………………
［要错误地认为/（X）-定是--4-次-多-项-式--. “
要错误地认为f(x)一定是4次多项式.
--=J
22..【【答答案案】】 aa22 （(aa—-22"")）..
【【解解析析】】 因因为为 7 1
[ 1 ] 1 0--1r ] 1
_ 1 _ -1 0 ■ 1 -
A=ax1= 0 [1,0,-1]= 0 0 0 ,而a′α=[1,0,-1] 0 =2,
A = aaT = 0 [1,0, — 1]= 0 0 0 ，而 aTa = [1,0, — 1] 0 =2,
-1 -10 1 —1.
-1_ _一1 0 1 _ -1_
则则 A
A
2
2
=
=
( a
(a
a
a
1
T
)
)
(
(
a
a
a
a
1
T)
) =
=
a (
a
a
(a
?
T
a
a
)
)
a
a
?
T
=
=
2
2
a
a
a
a
1
T
=
=
2 A
2
.
A
于 .于是是
A"= 2"1A,
A" = 2"-'A
那么
那么
a—2”10 12~1
a-2' 0 2i
0 0 = a2(a—2”).
aI aEE—-AA"" || ==| | aaEE -—2 2~1fA || =- 0 a 0 = a2 (a — 2").
2~1 0 a—2"-1
2"-1 0 a - 2i
【【评评注注】】 若 若 对 对 特 特 征 征 值 值 熟 熟 练 练 ， ， 由 由 r（ r A ( ） A ) = = 1 1 ,知 ,知 A的 A 特 的 征 特 值 征 为 值 2 为 ,0 2 , , 0 0 .那 ,…0 么 ,那 ，…么 A”，…4 的 ”的 特…特 征…征 值 值 是…是 2” 2…” ,，
II
|| 00,,00..从从而而 aaEE--AA”n 的的特特征征值值是是 a a--22"”,，aa,,aa..故故 \ |aaEE --A A”" l| ==( a（a-2-"2)”a）2a.\
--------J
3
3
..【【答答案案】】（(一-1
l
)
）
~
i
1(
（
n
n
—
-
1
l
)
）
.
.
【解析】 把第2,3,…,n各行均加至第1行，则第1行为n-1,提取公因数n-1后，再把第1
【解析】 把第2,3，…，&各行均加至第1行，则第1行为-一1,提取公因数"一1后，再把第1
行
行
的
的
(（-一1)
1
倍
）倍
加
加
至
至
第
第
2,
2
3,
,
…
3,
,
-
n
,
各
W
行
各
，
行
可
，可
化
化
为
为
上
上
三
三
角
角
行
行
列
列
式
式
.
.
即
即
1 1 1 … 1
1 1 1 - 1 1
0 -1 0 … 0 0
0 — 1 0 0 0
0 0 -1 … 0 0
0 0 — 1 0 0
|| AA || ==((n72 -—1 1)) : ==(-(一1) 1*-)11((n”—一1 1))
0 0 0 … -1 0
0 0 0 — 1 0
0 0 0 … 0 -1
0 0 0 ••• 0 — 1
一 — _ — — 一 一 一 一 一一一― 一― — — — — — 一― — 一 = = = = = = = = = = = = = = = = = =_
------ -------- F
【【评评注注】】 除 除去去用用行行列列式式性性质质及及展展开开公公式式计计算算外外，，你你能能利利用用特特征征值值更更简简单单地地求求出出行行列列式式'•
II
II 11
« AI |A的 |的值值吗吗?？ "
L — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — -— —J —
· 145 ·
・145・数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析·
・
提四高皿篇(数（数学学一一)）
二、抽象型行列式的计算
:、抽象型行列式的计算
05((（22001133,,1133题题)）【【答答案案】】一-11..
【【解解析析】 】由 ％由 a,=-A,(i,=j= 11,,22,,33）)知知 AT==--AA°.\
那那么么 | |AA |l == || AA1?* || == || —- AA** l| ==( （-—1 )1尸3 || AA** ||==-—1A| Al 2|2,,
即即 || AA || (（11++|| AA l|)）==0,。，故故 |I AA| I为 为 00或 或-一11..
又又AA是是非非零零矩矩阵阵，，不不妨妨设设。a口u≠关00..于于是是
A|=aμAi+a?Az+a?A??=-(al;+ai?+a???0,
I A | = auAn +Q12A12 +外3人13 =— （flu + 房2 +渚3）尹 0,
所所以以| |AA l|==-—1.1.
06(（22001188,1,133题题)）【【答答案案】】-一1.1.
【【解解析析】 】 设 设标Aa1 ;==λ义1;。a1?，,曷Aa2 ?==λ人2?。α2，zA,］λ夭?义≠2，λ由zA,由2（aAi2 (+a?。+2a）?=)=a;++α。?2有有
λia?+λ2a?=α?+a?,(af-1)a;+(22-1)a?=0
Al fti + A2 «2 = ffi +。2，（厝一1 ）（X1 +（A2 — 1 ）（X2 = 0
人a
A?
?
—
- 1
1
=
=
0
0
,
,
因为a?,α?是不同特征值的特征向量，必线性无关，所以 3-1=0,
因为aj 02是不同特征值的特征向量，必线性无关，所以— 1 = 0,
λ?≠λ?.
•A1关人2 •
不妨设λ;=1,λ?=-1,故|A|=λ;λ?=-1.
不妨设义 1 = 1,人2 = —1,故 I A | — AiAz = ―1.
3
7((
（
2
2
0
0
2
2
1,
1
1
,
5
1
题
5题
)【
）【
答
答
案
案
】
】 2万
3
. 1
A■?An;Az
A2
i
1
A?
A3
?
1 一
A?z Azz A??
【【解解析析】】 AA*° == A】2 A22 A32 ,,AA“x ++AAz?21+ +A?A是31A是”A第 •1第行1元行素元之素之和和。.
[Ai? A? A?.
A3 A23 人33_
]
3
1c11n 7 1
= [22 22] 1 21 1 = 3 ■3 [， 1 = 2
3 ,
由由AA 1 2 ,，有有AA'' 2 2 = A*A ==| \AAI\EE 1 1 3 ,所以A' 1 2
1] 2 2 2_ _ 1 1 3] 1 3
2
3Q
即即 AAua ++ AA2?1 i++ AA31? ==万2.
、/1解解题题加加速速度
1
1
..【【答答蒙IC
【【解解析析，】利用行行列列式式的的性性质质，，有有
|Ia。?3,，a。?2 , 9 a 01 ; ·β++&β || ==| a|?。,3a，?。,2a，;＜X,1 βl+1 |+α 1 a ? 3 ,α，。2?，,aai ; ,0 , 2 B II
=
=
-|一aI ;,a,?。,2a
0
;
3
, β
,01
| -| |—a I;,a?,a
0
?
3
,β ,。?2 II
=
=
-
—
m+
m
l
+
a
|
j
a
,
}
a
9
?
(X
,
2,
B
0
, 2，a皿? l
I
=
=
n —
n —
m
m
.
.
所所以以应应选选（(
C
C)
）.
【【评评注注】】 作作为为抽抽象象行行列列式式，，本本题题主主要要考考查查用用行行列列式式的的性性质质恒恒等等变变形形、、化化简简求求值值..
·・
1
14
4
6
6
·・第一章 行列式
第一章行列式
1
2.【答案】
2.【答案】y2.
【
【解
解
析
析
】
】
由 已
由
知条
已
件
知
有
条
(A
件
2 -E
有
)
(
B
A 2
=
- E
A
)
+
B =
E
A
,
+
即
E(,
A
即
+
(
E
A
)
+
(
E
A
)
-
(
E
A-
)B
E)
=
B=
A
A +
+
E
E
.
.
2 01
■ 2 o r
0 30
因因为为 A A++ EE== 0 3 0 ,,知知 AA ++E E可 可逆逆..故故((AA--EE))BB= = EE..
—202.
_一 2 0 2_
两两边边取取行行列列式式，，并并用用行行列式列乘式法乘公法式公，式有，I A有 —|A E- E||・·| B| B||==11..
0 01
0 0 1
1
0 1 0
而而 | |AA —-EE||== 0 1 0==22,,故故 || BB |I == 2-y.
2.0 0
-2 0 0
«' 【【评评注注】】 本本题题考考查查的的是是利利用用矩矩阵阵的的运运算算来来计计算算行行列列式式。. "
|L == = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = ==』
33. 【.答【答案案】 】24.24.
【【解解析析】】 本本题题已已知知条条件件是是特特征征值值和和相相似似，，而而要要求求出出行行列列式式的的值值，由，由于于I A| A|l==Ⅱ JλI兀.,，故故应应求求出出
B-1 —E的特征值
B】一E的特征值.
1 , 1 ,1,1
由由AA～〜BB,知,知BB的的特征特值征是值是号,.那.那么么BB-1i的的特特征征值值是是22,,33,,44,,55..8B-1】—一EE的的特特征征值值是是1,1,
2 3 5
4
22,,33,,44.从.从而 而| 矿|B】1一-EE || ==1 1× X22×X33×X44 ==2 424..
·147 ·
-147 -► 数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析·• ■提■高籍■(（数数学学一一)）
第第二二辛章 耗矩阵阵
一一、、矩矩阵阵运运算算、、初初等等变变换换
d（(22001111,,55题题)）【【答答案案】】 DD..
【【解解析析】】 本本题题是是常常规规的的也也是是基基本本的的初初等等变变换换、、初初等等矩矩阵阵的的考考题题..按按题题意意
1007厂 100
-1 0 0- ■1 0 0-
A 110 = B, 001 B= E,
A 1 1 0 = B, 0 0 1 B = E,
001 010-
0 0 1. 0 1 0_
即即AAPP】?==BB,P,P?2BB ==E ,E从,从而而
PP?2((AAPP1?))== EE,,
PF EP?1 =
故故 A4= = P?1EPT1=P?PP2?P1：.\
即即应应选选(（DD)）..
「 【评注】 搞清“左乘”和“右乘”，记住初等矩阵逆矩阵的公式.本题难度系数0.796. 】
【评注】 搞清“左乘”和“右乘”,记住初等矩阵逆矩阵的公式.本题难度系数0.796.
虹二=三三 = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =二= = = = = = =二石==三』
日2(2（021021,26,题6题)【）【答答案案】】 BB..
【解析】(方法一) 本题考查初等矩阵，由于PP经列变换(把第2列加至第1列)为QQ,有,
【解析】（方法一） 本题考查初等矩阵，由于 经列变换（把第2列加至第1列）为 有
1007尸
-1 0 O'
Q= P 110 = PE?(1),
Q = P 1 1 0 PEZ1(1),
001
0 0 1_
那么 Q1AQ=[PE??(1)]~A[PE??(1)]
那么 Q~lAQ = LPE21(1)]-*A[PE21(D]
=E2E17i (1(11))PP1^A1APEP?E;2(1(11))
1
1 00° 1007 1007
=
=
-110 010 110 010
见
0 01- 002] 001- 002.
(（方方法法二二)）(本（题本利题用利矩用阵矩阵相相似似于于对对角角形形的的知知识识求求解解，，会会更更简简便便)）
依
依
题
题
意
意
，
，矩
矩
阵
阵AA有
有
3
3
个
个
线
线
性
性
无
无
关
关
的
的
特
特
征
征
向
向
量
量
aa?
】
,
，
a
眼
:,a?分
分
别
别
属
属
于
于
特
特
征
征
值
值
1,
1
1
,1
,
,
2
2
.
.
于
于
是
是
QQ的
的
列
列
向
向
量
量
α
。
;
】
+
+
α
。
?
2
,
，
a
。
?
2
,
，
a
。
?
3
也
也
是
是
AA的
的
3个
3
线
个
性
线
无
性
关
无
的
关
特
的
征
特
向
征
量
向
，
量
分
，分
别
别
属
属
于
于
特
特
征
征
值
值
1,
1
1
,1
,
,
2
2
.
.
1
故 故 Q Q 1 lA A Q Q = = 11
_ 22]
— — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — —
【【评评注注】】 近近十十年年没没有有出出单单纯纯矩矩阵阵运运算算的的考考题题，，但但早早年年考考的的一一些些题题型型应应当当复复习习..
03(（(22002200,,55题题)【）【答答案案】】 BB..
【
【解
解
析
析
】
】
矩
矩
阵
阵AA
经
经
初
初
等
等
列
列
变
变
换
换
得
得
到
到BB,,
故
故
存
存
在
在
初
初
等
等
矩
矩
阵
阵PP,,
（
(
，
i
=
= 1
1
,2
,2
,
,
…
••
,
•
t
"
)
）
使
使
· 148 ·
. 148 .-
第二章 矩阵
第二章矩阵 ◄◄
AP?P?…P,= B.
AP}P2 ,••Pt = B.
因因PP,.均均可可逆逆，，故故有有A A== BBPP「-1……时P?P1TP】1,,记记？P==P町1……P?时1P1拧,故，故应应选选(B（B).）.
/解题加速度
解题加速度
-------------------
1.【【答答索殍】33..J.
1.
作的4
r
【解析】粮。=a2，则
【解析】股α= α? ,则
7 1
_d
a2
* a? 「 a Q ,a ]% ? 。 aj 。 a 一 = - 1 1 _ -1 1 1 1 一 ,
1 3
c a a a T 「 = = α? [a? , , 口 az ， , 口 a?]= aza? a 房 2 a 。 za 口 ? = - _ 1 1 1 1- - 1 1
0-2 2 3]= 2 3
a?. L 为 a? 。 a? 】 a 。 ?a 。 ? a Q } ；- _ 1 1 - - 1 1 1 1 .
"3- 3 2
a?2(
而 而 a a ' T α a = = [ a [ i a , i a ,% ?, ， a 代 ?] ]as? = = a 房 1 + + a 房 2 + + a W }, , 所 所以 以 a a 1 a ' α =1 = 4 1 - + 1 1 + + 1 1 = = 3 . 3.
a?
&3-
『= =1
【【评评注注】】
本
本
题
题
皿
aa
丁
T是
是
秩
秩
为
为
1
1
的
的
矩
矩
阵
阵
，…
，
a。…'丁α…。
是
是
一
一…个
个
… 数
数
，
， 这
这
两
两
个
个
符
符
号
号
不
不
要
要
混
混
淆
清
.
.
且
且
若
若
A
A =
=
…qβ
邱
?
丁
,…
，
…
；；
II
II
II 其其中中α均,β为均〃为维n维列列向向量量，，则则。邛a1β==flβTaα == 、2as?. ・ (（矩矩阵阵AA主主对对角角线线元元素素之之和和).）. \
II
Iil_ ===二= = = = = = = = = === = = = = = = — —――一―— — — =— — — — — — — — — — ———~
2
2
..【【答答案案】】 0
O
.
.
【【解解析析】 】由 于由A于' —A "2-4=21A -=1 =（(AA -—2 2EE)）AA~1,i，而而
-10 1
-1 0 1 _
A-2E= 000
A-2E = 0 0 0
1 0-1
_ 1 0 -1.
易易见见
(
(
A
A
—
-2
2
E
E
)
)
A
A
= O
=
, 从
O,
而从而A”
A
—
" -
2
2
A
A
"1
i
=
=
0
O
.
.
-===========-========
【【评评注注】】 由 由于 于 1
101 101 = 2027
A2= 020 020 040 = 2A.
A2 2A.
1 0 1 101. 202-
利用数学归纳法也容易得出A°-2A~1 = 0.本题若用相似对角化的理论来求A”,虽说可得到
利用数学归纳法也容易得出A" — 2Ai =O.本题若用相似对角化的理论来求A”，虽说可得到
正正确确结结论论，，但但烦烦琐琐..
II
1
300°
3 0 0-
33. .【【答答案案】】 0 0 3 3 0 0
001.
0 0 1_
【【解解析析】】 本 本题题考考查查nn阶阶方方阵阵方方幕幂的的运运算算..由由于于 1 7
[7
=0 a? #
=
『「A A O O ] T 1 An O O 儿 1, a2
α2
O B. 」
LO B OO B职” 」 [
a?. a3
· 149 ·
-149 ・数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析·-墨■高■篇(数(数学学一一))
1 1
[ ■ 0 0 --1r 22 = ■ ■ 1 -—1 1 0 0 ■
又 又 ..易易见见
.1 1 0 o . - 0 0 - _ 1 . 1- 1
0-1 0 22 = -1 0 07
~0 _ 1 0 ■ ■— 1 0 0'
A2= 1 0 0 0 -10
A2 = 1 0 0 = 0 _ 1 0
0 0-1 0 0 1
,0 0 -1_ _ 0 0 1_
从从而而A妒20妣04==(A(2A)21)0100022
=
=
E
E.
.
那那么么
30 0
-3 0 0 '
B44-一2 A2=P-1A°'P-2A2=P1EP— 一 2A2== 0 3 0
02004 2A2 = p^lA2OO4p_2A2 = p 1 Ep 0 3 0
00-1
0 0 -1.
-- -7
it 【【评评注注】 】 若 若 P^ P A 1 P A P = =B B 则则P- P 1 A l ^ A P P =B ” = , B 通 ”，过通过相相似似求求A” A” 是是求求A A 的的方方幂兼的的重重要要方方法法..,1 II
- -.J
44 .【.【答答案案】】 -1一. 1.
- 1 1 0 0 0 7 0「 - 1 1 0 00 0 尸1 = - -2 2 1 1 --111
【【解解析析】】 已已知知 0 0 0 0 1 1 A A - - 1 1 1 1 0 1 - -1 1 0 0 ,，所所以以
0 0 1 1 0 0. _ 0 o 0 01 -1 0 0 0 0
1007 尸-1 [-2 1 —1” 1 00°儿1-1
A= 001 1 -1 0 -110
A
010 -1 0 0 0 01
= 1007 [-2 1 —1 [] 1007 = -1 1 -1
001 1 -1 0 110 -1 0 0
010 -1 0 0 001 0 -1 0
下下面面求求AA-1':： 日生班 1
-1 0 0 0107
nir,
-1 0 0 0 10 -1 1 -1 100
『
0 -1 0 001 0 -1 0001
7 7
10 0 0-1 0 1 00 0 -1 0
01-1 1-1 0 010 0 0 -1
01 0 0 0 -1 001 -1 1 -1
0 -1 0
]
A-1 = 0 0 -1 ,tr(A-1)=-1.
1
1 1 -1
F
1 + 1 1
II 【【评评注注】】 本 本题题也也可可求求出出AA的的特特征征值值为为Aiλ =?—=-11,,义λ2 =?= ii»,A?3 ?==-—i后i后，»ttrr((AA~?l1) )== = + { +十 ]・：
it λ? A? A?
II 义
Al A2 3 11
L
二二、、伴伴随随矩矩阵阵、、诃可逆逆矩矩阵阵
H((22000099,,66题题))【【答答案案】】 BB..
O O A A [ ~ 0 O A A ] -
【【解解析析】】由由 =(-(—1)12)2×X2 2I |AA |I |I BB| =| =6, 6知,知矩矩阵阵 可可逆逆，，那那么么
B O B O.
B O -B O-
· 150 ·
・150・第第二二章章 矩矩阵阵
◄◄
·
1 0 O A A '1 ' = 0 O A A 0 O A A * ~ 1 -1 =6 [ -O O B B -1 1- = [ - 0 O 6 6矿 B1 】 1 - = L - 0 O 2 2 B B ° " 1 一 1 ·
B 0. B O B 0. A-1 0 6A?1 O 3A° 0
-B O_ B O LB O- -A"1 O - -6A~l O - .3A* O -
故故应应选选((BB)).. ·
[0 A'儿 = -Xx?、 X?
O
本本题题也也可可设设 B 0. - X X ? 3 X. ，,那那么么由由AAAA・°==\|AA|\EE有有
= 1
1
0
O
A
A
[XX?i Xx?2] O
O
A
A [
E
E
O
O
'
~
1=
-
6
6E
E O
O '
B 0. X? X B O _0 E. 0 6E.
-B O X3 X4 B O O E- -O 6E-
由由 AAXX3? == 66EE→。XX?3= =6A 6-A1T= =3 3AA2 ,
故故应应选选((BB))..
((由由题题中中44个个选选项项可可知知必必有有X] X=?O=0,X,X4? ==0O,只,只需需检检查查XX?2或或XX,即3即可可))
『= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = * = = = = = = * = = = = = = = = = = = = =』
1
I „ I 【【评评注注】 】 本 题本考题查考的查知的识知点识有点:A有A-： =AA\A·\=E|A或|EA或*A°==|4|A|A|AT-1或或AA-T1= hAc 1 v A A ' * ;行 ;行 列 列" II
II 1 ' •
"式式的的拉拉普普拉拉斯斯展展开开式式；；分分块块矩矩阵阵的的求求逆逆公公式式..这这些些都都是是线线性性代代数数的的基基本本内内容容。. "
II 11
[ 本本题题难难度度系系数数00..665511.. J
5§((2200117,75,题5题)【)【答答案案】】 AA..
【解析】 A=maT是秩为1的矩阵，又α为单位列向量，有α'α=1.
【解析】A = aaT是秩为1的矩阵，又a为单位列向量，有aTa = 1.
故矩阵A的特征值为1,0,…,0(n-1个),
故矩阵A的特征值为1,(),•••,03 — 1个)，
所以E-αaT的特征值为0,1,…,1(n-1个),
所以E-aar的特征值为0,l,-,l(n- 1个)，
因因此此矩矩阵阵EE- —aaa′a不'不可可逆逆..应应选选((AA))..
06((22002222,,1155题题))【【答答案案】】—一EE..
【【解解析析】 】记 C记=CE=E—-((EE -—AA)-)1T,,已已知知CCBB ==A 且A且A可A逆可，逆，
所所以以 || AA || ==| |C C| || B| |B≠ |乂0 ,0从,从而而| |C Cl≠|^00,,C C可 可逆逆，，且且 B B== C(1TAA..
再再由由 C(CE( —E A-)A )= =((EE —-((EE--AA))T-)1(E)(-AE-) A=) E=E--AA--EE ==--AA,,
可可知知 cC ==--AA((EE- —A)A-)1-', ,CtT-*1 ==--( E(E-A-A)A)A-1-,1 ,
B-A=C-1A-A=-(E-A)A-1A-A=-E+A—A=-E.
B — A = C-1 A — A =— (E — A)A~} A — A =— E A — A =— E.
解题加速度
1
0 0 07
0 0 O'
-12 00
-1 2 0 0
1
1
. .【【答答案案】】
0-23 0
0 -2 3 0
0 —34.
-00 (0 —3 4j
【
【解
解
析
析
】
】虽
虽可
可
以
以
由
由
A
A先
先
求
求
出
出
(
(E
E +
+
A
A
)-
)
'
-
,
1
再
,再
作
作
矩
矩
阵
阵
乘
乘
法
法
求
求
出
出B
B,
,
最
最
后
后通
通
过
过
求
求
逆
逆
得
得
到
到(E (E
+
+ B
B
)
)
'
L
,但
但
这这种种方方法法计计算算量量太太大大..
本本题题实实际际上上是是在在考考查查单单位位矩矩阵阵恒恒等等变变形形的的技技巧巧，，我我们们有有
B
B
+
+
E
E
=
=
( E(E+ +A A)-l(EE -—AA))++EE
=(E+A)-1[(E-A)+(E+A)]=2(E+A)-',
=(E + A)T[(E — A) + (E + A)] = 2(E + A)T ,
所所以以
· 151·
-151r
►►
数数学学历历年年真题真全题精全解精析·解提析高■籍((数数学学一一))
[ 1 0 0 0
-1 0 0 0-
1 - -1 1 2 2 0 0 0 0
((EE ++B B)L1= =[ 2[(2E(E+ A+) A-)1T]]--1'== 号((eE ++ AA))==
2 0-23 0
0 -2 3 0
0 (0 —34]
_ 0 0 -3 4_
或或者者，，由
B
由
=
B =
(E
( E
+
+
A
A)
)-
-
'
(
(E
E-
-
A
A
)
)
, ,左左乘乘
E
E
+
+ A
A
得 得((E E +
+
A
A
)
)
B
B
= E
=
—
E
A
-
.
A
所 .所以以
(E+A)B+(E+A)=E-A+E+A=2E,
(E + A)B-|- (E + A) = E-A + E + A = 2E,
即有
即有
((EE ++A A))((EE+ +B B))= =2 E2E..
---7
" 【【评评注注】】本本题题既既综综合合又又灵灵活活，,是是考考生生失失误误较较多多的的一一道道考考题题，，其其解解题题思思路路方方法法值值得好得好好体好会体.会."
虹======================================-==-==-=J=』
1
100
ri o o-
1
22..【【答答案案】】 3 22 22 00
10
1_33 445 -5.
A A
【【解解析析】 】由 由徵AA"*人=|A建|E有有
A
晶
T
4A*.==E£,故,故(A""厂)-」1= T方AT..因因为为||AA||==110.。所.所以以
100°尸
-1 0 0~
1
((AA**) )--*1 == 二 220
10 2 2 0
10
345-
_3 4 5.
3
3
..【【答答案案】】 B
B
.
.
【【解解析析】】 对 对任任何何„n阶阶矩矩阵阵都都要要成成立立的的关关系系式式，，对对特特殊殊的的 n n阶阶矩矩阵阵自自然然也也要要成成立立..那那么么，，当当 A A可可
逆逆时时，，由由A*A *== \| AA |\AA-~1有'有
1
((MhA)),“ ==|\ kkAA| (\ k(AM))-~1*= =k ”/ ||A A|·〔• 4- A A - - 1 1 = = k k ?1 ^ A A ° ' . .
k
k
故故应应选选((B
B
)
)
.
. …
一一般般地地，，若若
4
A
=
= (
(a
ay
Q
)
,
,有有泓A=(=ka
(k
,
a
)
v
,
)
那 ,那么么矩矩阵阵A姐的 i的行，j行列
j
元列素元的素代的代数数余余子子式式为为
k ka a? …kai.,-1 ka1.+) …k ka ai
…… * 11 ,,, : ·*… In
… ………
k如a,
t
-1
,i
.1
…
… k
成
a-1.= ka=1+1 …… k·a,
如
- 1..
((姐kA))",==((--1)1中)巧 .-1 ,)-1 »-l,n
k如a汁+
:
1
i,
.
i
1 …
…
ka
%
, +
t+
1
1 .
.
)-
=
1
ka 1.+1
:
k
如
a
…
+
H
1
-l.
.
n
… … …
…
k k a an ka。1 k 加 a. ”, +1 …· ka。
n\ *,• n,j—l j+l *•. rtn
a11 a1.-1 αi.+1 aim
尸
Qll .• Qi, i 1:,)+1 ・..
…· …·
……
==((-1-)1+)叫k*-n1-l a- ,- 1 1 . .1 1 … … ・・ · a a - ,- 1 !. - ；- 1 ! a Q i- i 1 j . + j+ i 1 … … ,•* · a Q - l 1 I , e = = L k* A 1A
α+1,1 α+1.-1 ai+1.j+1 a,1.
,+ 1.1 : Qf:-l,n
***
am
αnl am.-1 am.j+1
Qnl "+i am
即即||k姐A||中中每每个个元元素素的的代代数数余余子子式式恰恰好好是是|AI A|相 |相应元应素元的素代的数代余数子余式的子k式1倍的，倍因，因而而，，按按伴伴随随矩矩阵阵
·152 ·
. 152 .第
第
二
二
章
章
矩矩阵阵
44
的的定定义义知知(（姐kA)）”.的的元元素素是是AA’*对对应应元元素素的的k?炉-1倍倍..
4
4 ..【【答答案案】】 DD..
【 【解 解 析 析 】 】 如 如对对任任何何nn阶阶矩矩阵阵AA ,,BB关关系系式式成成立立，，那那么么AA,,BB可可逆逆时时仍仍应应成成立立，，故故可可看看成成AA,,BB可可逆逆
时时 CC** ==??
由由于于
1 7
A A O O[「AA Oon -1 ' =\A\\B\ )A-1 0o -
CC*∵==I |CC | |CCT11 == O O B B 1 L _ o O B B . - =|A||B| L 0o B B -1 1-
= )~|\ AA |\ |\ BB|\ AAI-1 O O ] ' = [■ | | B B | A 1 ° A- 0o ]-
- 0 O |1 AA| || B| B|B | -B1.'1 - 0 O |1 AA| | BB** .
（
所所以以应应选选(DD)）..
作作为为选选择择题题，，根根据据这这四四个个选选项项，，也也可可如如下下判判断断：:
X: X?
， [X】X2 (~
设设 Cc·== [ ,，由由 CCCC*°==1| CC|lE E,有,有
X? X?
X3 x4 - =
1 1 AX; AX? 1
A O° X? X x ? 2- )AX) AX2- E E O° O'
==| \AA|\|\BB|\
-
0
O
Bb.JLXx?3 X
x
?
4- b
BX
x
、3
B
B
X
X
,- -O
O E
E
.
-
(
因因为为 AAXX?i ==| | AA| || B| B| E| →E=xX?]= |=A \| A| B\ |\ AB -\ 1A-=1~|l B=| \A B^ .\ 故应故选应选(DD).).
5
5
. .【【解】解】(I (
)
I
由
) 由
2A~
2
*
A
B
-
=
1 B
B
=
-
B
4
-
E
4 E
左
左
乘
乘
A 知
A知
AB
A
-
B-
2
2
B
B
-
- 4
44
A =
=
0
O
.
.
1
从从而而(A(A -- 22EE))((BB -—4 4EE))= 8=E ,8或E,或(A(—A —2E 2)E·) • #((BB -—4 4EE)) == EE,,
8
o —
1
故故 AA- —2 E2可E 可逆逆，，且且((AA--22EE))T-1 == !( (BB—-44EE)). —
8
o 7
((ⅡR ))由由((II))知知 AA ==2 2EE+ 8+( 8B(-B4 —E )4-E1).T而.而
1 1
x 0
0
4 4T
-3-2 0 -1=
-3 -2 0 -
1 2 3 0
((BB —— 44EE))T-1= 11 --22 00
8 18
0
0 10 —2.
_ 0 0 -2. 1
0 0 -
0 0 2.
7-
0 2 0
'0 2 0 '
故 A = -1-10
故 _ 1 _ 1 0
0 0-2-
0 0 -2_
IF
ii 【【评评注注】】 如 如果果只只是是要要证证明明AA—-22EE可可逆逆，，那那么么由由 ：
ii
AABB--22BB--44AA ==0 O →=> (A(A- —2 E2E))BB= =4 A4A.. '•
ii
i.因因为为AA可可逆逆，，知知| 4|A4 A|=|= 4433 || AAl |≠尹00.・故故|| AA- -2E 2|E· | |• |B B| ≠|尹0,0就,就可可证证出出AA--22EE可可逆逆..
IL；= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =』
66..【【解】解】(I()I由) A由A"A A=1 =AA**AA==|| AA || EE及 及AA**= |=A I |AA -| 1A,"1有,有
11= α 71
[一 E E 0 0 A α' [- AA a
PQ=
PQ =
-αa1TAA' * |1 AA1 .|
JLaαT b.
b- -αaT1AA' *AA++\| A A| |aαT 1—-aa^vAA'* αa ++ 6b || AAl | -
·153 ·
-153 -.
数学历年真题全精解析·墨高篇(数学一)
数学历年真题全精解析• ■■■（数学一）
0
α
=
A a '
-0)
|
|
A
A || (（b6- —a1
a
A
r
?
A
'
~
a
]
)
a
.
）- ,
(Ⅱ)用行列式拉普拉斯展开公式及行列式乘法公式，有
（n）用行列式拉普拉斯展开公式及行列式乘法公式，有
[ E 0 ]
-E 0 - =1A1,
| I p P | 1 = = =1 A |,
—aTA* 丨AI
30 o'A* I A | -
α
]
A a
P \P I \ | \ Q Q l \ = = I \ P PQ Q l1 == ==|A| Al2 (|2b(-6α — TaAT-A'-a1a))..
-0) | AA| (| b(-6α —1 aA1/ A1~α]a))-
又又因因 AA 可可逆逆，，|A|A| l尹≠ 00,故, 故| 2| Q| |== I| AA l| ((b。-一a 1
a1
A
A
'
~
a
}
)
a
.
).
由由此此可可知知。Q可可逆逆的的充充分分必必要要条条件件是是bb -—a '
a
A
T
'
A
α
~ a
≠夭0,0即,即α1
a
A
T
/
A
' α
a
≠
#
b
b
.
.
~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~
【评注】 本题考查分块矩阵的运算，要把握住小块矩阵的左右位置.要看清a?A-'α是一
|> 【评注】 本题考查分块矩阵的运算，要把握住小块矩阵的左右位置.要看清aTA-'a是一 n
Il II
"阶阶矩矩阵阵，，是是一一个个数数. »
J
二二 = = 二 二 = 二 二三土 — — = 二 — — 二二 = = = = = = = = = 一 二 = 」三 二 = = 二二 = 一 — 二二二
77..【【答答案案】】 一-11..
【解析】 按可逆定义，有AB = E,即
【解析】 按可逆定义，有AB=E，即
1aa'
((EE--aaaaTT)) ( ( E E + + ~a'aaT ) j==E E,,
1 1
所 所 以 以 E E + + — a a aa a ? r — — a a x a T ' — — — aα aa a ' ' a a a a T 1 — = E E . .
a a
ar(
0
又 又 a o ' 'a α = =( a(q ,0,0,,・…・・,，00,,a q )) : . = = 2 a 2 2 a , 2 有 ,有
a
_a _
1
( (
a
§ —— 11 —— 22aq ) jαaaaT? == 0O..
1
由由 aaxa ?r ≠#0 O,所,所以以a]- — 1 1 - — 2 a 2a = = 0 →0=>22aa22 ++ a q -—1 1= =0 .0.
a
1
解 解得 得qa ==-—1 ,1 ,aq = = 号 ( (舍 舍 去 去 ) ) . .
2
三三、、矩矩阵阵的的秩秩
£7|(((22001100,,55题题))【【答答案案】】 AA..
【解析】 本题考的是矩阵秩的概念和公式.
【解析】本题考的是矩阵秩的概念和公式.
因因为为
A
A
B
B =
=
E 是
E
m是阶m单阶位单矩位阵矩阵，，知知rr((AABB)) == m
m
.
.
又又因因 rr((AABB)) ≤r (r(AA))..
/解解题题加加速速度度
1.【答露》
1.【答
【【解解析析小前用秩用的秩概的念概|念A|I =A0 但|=有0n但—有1阶〃一子 1式阶不子为式0不来为分0析来、分析推、断推，断由，由于于
111… 1
1 1 1 1
a 1 a … a
a 1 a a
a a 1 … a
|\ AA |\ ==[ [((nn -—1 1))a q ++1 1]] a a 1 : a =[(n-1)a+1](1—a)1
a a a …1
a a a 1
1
1
由由rr((AA) )== n〃-一1 知1知||A lA= |0=, 故0,故a取 q取自自于于
1 — n
或或11..显显然然aa ==1 时1时，,
1 — n
1 1 1 … 1
1 i 1 -
1 1 1… 1 ,
1 1 1 1
A = :
A =
1 1 1…1
1 1 1 1
而而rr((AA))= 1=不 1符不合符题合意题，意故，故应应选选(B(B).).
r
F
nl
【【评评注注】】 因因为为AA是是实实对对称称矩矩阵阵，，若若特特征征值值熟熟练练，，亦亦可可用用相相似似来来处处理理..
II
a a … a
II
a
”注注意意：A： =A =(1( 1--
q
a))EE ++ ,，所所以以AA的的特特征征值值：(：〃 一(n1- )1a )+a +11,1, —1- aa((nn —- 11个个))
a a … a
ii ii
a a a
ii n
ii 「((〃n一- 11))q a ++1 1
1—a ii
1 — a
故故 AA～ ii
1—a_
1 — a
ii
IL
22..【【答答案案】】 CC..
【【解解析析】】 已 已知知矩矩阵阵AA求求rr((AA**)),,故故应应以以rr((AA')-公)公式式为为背背景景..根根据据伴伴随随矩矩阵阵A4’,秩秩的的关关系系式式
入
nn,, r(r(AA))= = n n,,
rr((AA#*))== {
1
1
.
， r
r
(A
(A
)
)
=
= n
n
—
~
1
l
,
,
.00,, rr((AA) )V< n〃 -一1 1,,
知知 rr((AA#* )) ==1 l?→(E-(AE)B- A=)= BE==>EB→ = B(=E(-EA-)A )1 ,
CC= =A +A4C-A C→4=C>(CE(-EA-A))= =A →A=C>C= A=( AE(-EA-)A-)1~,',
那那么么
BB--CC= (=E -A)1-A (-E A—(EA-)A1)=-'( E=— (EA-)A()E(E—-AA))~1=' =E .
(E-AY ' E.
故
故
应
应
选
选
((A
A
)
)
,
.
44..【【解】解】(1 )(因Ⅱ为) 4因, 为= AO3n=0 →| A|，A| '=l =00=→ | |AA || == 00,,
a 1 0
a 1 0
=a
而而 I| AA || == l 1 a a — 一 1 1
01
0 1l a
~00 11 00 "
所所以以aa —= 00.. 且f|.知知4A == 1 1 0 () - _ 1 1
00 11 00 _
((ⅡU ))由由 XX((EE--AA-') )--AAXX((EE--AA2-)) == EE..
→=>((EE--AA))XX(CE-EA-2A)2=) =E, EE-.AE,-EA—.EA′-A必2 可必可逆逆.. …7
1
~
1
1 _
- 1
1
070—-1
_
0
0
0
0
1 r-1
于于是是 XX== ((EE--AA)) ('E(E—-AA22)) J1 == - -1 1 1 1 1 1 0 0 1 10 0
_ 0 0 - -1 1 1- 1_ --11 002]2_
1
= 21-1 20-1 = 31-27
-2 1 7] 2 0 -r 一3 1 -2-
11-1 01 0 11-1
1 1 「I 0 1 0 = 1 1 _ 1
110 10 0 2 1 -1
_1 1 0 一 一1 0 0 _ _2 1 _ 1_
·- 115588 ·-第三章 向量
第三章向旨;
第第三三章章 向金量量
I
.向•、向量量的的线线性性表表出出
101
1 0 1
fJ(（22001111..2200题题)）【【解解】】（(II)）因因为为|a|i*,α,。?2,，α必?1l== 0 0 1 1 3 3 = =1 ≠ 1尹0, 0 所 ,所以以a,*a :;α，;贝线线性性无无关关..
115
1 1 5
那那么么a④;·，处α?，;久α不;不能能由由仇β，·艮β，艮·β线线性性表表示=示β·，艮β，·。3β线线性性相相关关..即即
1 1 1 1 3 3 1 1 3
1β·B·β1=, 124 01 1 =a-5=0,
fl\，。2，。代 1 =, 1 2 4 三= 0 1 1 a — 5 = 0,
1
1 3
3 a
a
00 22 a
a
-
—
3
3
所所以以a。== 55..
(（ⅡII）)如如果果方方程程组组 x;α;++工x?2。a?2 ++x1;3α。?3 ==β f(ljj（ =J 1=,2 1,3,2),都3）有都解有，解即，β即 ,0]β ,。,2β，。可3 可由a由;,α，。22, *α; 线线性性
表表示示..因因为为现现在在的的三三个个方方程程组组系系数数矩矩阵阵是是相相同同的的，，故故可可拼拼在在一一起起加加减减消消元元，，然然后后再再独独立立地地求求解解..对对 回
[
[
a
。
?
1
,，α%?,·
白
α3 M?:iβ,,
成
β
，
,
妇
β
作
]作
初
初
等
等行
行
变
1变
换
换
，
，
有
有
-11 00 11 1 1 1 1 3 3- 10 0 1 1 11 1 3 1 13' 1 1 0 0 1 1 1 : 1 1 1 3 3 一
0011 33 11 22 44 —► 0 0 1 1 3 3 1 1 2 2 4 4 —► 0 0 13 1 3 1 ' 1 2 2 4 4
_ 1 1 1 1 5 5 1 1 3 3 5- 5. 0 0 1 1 4 4 0 0 2 2 2 2_ 0 0 0 0 1 1 : - 1 1 0 0- - 2 2.
[1 2 2 1 1 5 5 _
1 4 2 10
1 4 2 10
[
1
1
-一1
1
0-
0
2
-
-
2.
所所以以0β ==2 a2;。+1 4+α 4:%- α—?山·，怯β==α «i; +42- a2?a·2，怯β ==5 a5(;Xi+ 1+0 aI?O—/ 2—α 2。?3..
厂〉_ r----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------------------1
" 【【评评注注】】 因因为为44个个三三维维向向量量β$,β，艮.β，.,α，a必必线线性性相相关关，，所所以以若若β,图艮，，艮β线线性性无无关关，，那那么么ae?,，a血?,，"
0 ,
II "
Ua;必必可可由由βP1,，B氏,β，&线线性性表表出出，，与与题题设设。矛矛盾盾，，故故$β，艮,β，禺,一β定一相定关相关，由，此由亦此可亦推可出推| 出0|世BB部,β1|==00.. !.
: 本本题题已已给给出出向向量量坐坐标标故故用用解解方方程程组组的的方方法法来来处处理理..如如果果题题有有向向量量坐坐标标就就解解方方程程，，如如果果没没:
:有有向向量量坐坐标标，，就就用用概概念念、、秩秩、、定定理理来来分分析析推推导导.. :
I. 难难度度系系数数数数一一 00..665577,,数数二二00..662277,,数数三三00.. 663300.. "
_.□
L_ . _ -_____ _________________________ _ _____________________
土土 -
r
02(2（021031,35,题5题)【）【答答案案】】 BB..
【【解解析析】 】对对矩矩阵阵
a
A,,C
c
分分别别按按列列分分块块，，记记
a
A ==[ a3?,a,<:»…2,・ ,
・
a ・，.a]”.]C，=c[ =ri ,EYr?i,,?…2，,…γ，.y]”].・
由由AABB ==CC有有
bu b?… bì。
b?? b?? … b?
[aj·,口α?.…,a.] ==[y[?勿,Y?,…,Y.].
[ai 2，…a] ，？2，•••，？”].
b。 b。… b.
出
-bn\ 2
.159 ·
・ 159 -数学历年真题全精解析·提高篇(数学一) %
数学历年真题全精解析•提高篇（数学一）
人 r(rYi ?== b6?na«ii+ +b?6α21«?2+ H…---+--b-。6„1α
a„
。,
又（Y松?==bi
b
?
l2
a
a
?
,
+
+
b?
b
?
22
a
a
?
2
+…+bo
b
?
„2
α
a„
。
,
H----------
又 ***
Y。=b?a;+b?a?+…+bma。
y„ = binai + butti bma„,
H----------
即即CC的的列列向向量量组组可可以以由由AA的的列列向向量量组组线线性性表表出出..
（
因因为为B
B
可可逆逆，，有有CCBB- t1 ==A .
a
类.似类地似地，,AA的的列列向向量量组组也也可可由由C的C列的向列量向组量线组性线表性出表，出因，因此此选选(BB).）.
■3((（22002200,6,6题题)【）【答答案案】】 CC..
， ， ，
【解析】 由直线标准方程知l0,2l?的方向向量分别是aa?==(（a 程方程组组①①x了;1a。?1 ++x了?a2。?2 ++x^?3a。?3= =a?。与4 与②②x工;a1。?1+ +x ?
JC
a
2t
?
t2
+ +x工?a3?。=4 a=?均。3 有均有解解..
先先考考虑虑方方程程组组①①::
λ 11 1 1 1
A 1 1 1 1 1
1·n+n
尸 +门
αI 0? ,0α22 ， , 。 α3 ?I l= 1 1 λ A 1 1 1 • 2 ((Aλ ++ 22)) 1 1 λ A 1 1
1·n+n
厂 +厂
1 1 3 1 • 3 1 1 1 λ
1 1 A 1 1 A
1 11
1 1 1
(
(—
-1
l
))n n +
+
r
a
?
0 λ-1 0
((Aλ++ 22)) 0 A-1 0 ==(λ:A—-1 )l)22((λA ++2 )2,).
(-1)n;++ 广n
(—Dri 3 0 0 λ—1
0 0 A- 1
当当人λ孑≠：一- 22,,λ义≠尹11时时方方程程组组①①有有唯唯一一解解..
当当λA ==1 时1时，, 7
1111 1 111
(a;, ， α?, ， CαC3? ， ,α?)= 1111 行行初初等等变变换换 0000
（ttl 0,2 O.\）
1 1 1 1 0 0 0 0
方方程程组组①①有有无无穷穷多多解解..
当当λA ==-2-时2时，,
-21 1 1 11-24
-2 1 1 1 - 「1 1 一 2 4]
(（αat :,.。α2，?口,3Q ， aa,.i?） )== 1 1 — - 2 2 1 1 — - 2 2 行行初初等等变变换换 0 0 1 1 - - 1 1 2 2
1 1 -2 4
_ 1 1 -2 4 _ 00 0 0 00 11_
方方程程组组①①无无解解..
总总之之，，当当Aλ #≠-- 22时时，，方方程程组组①①有有解解..
再再考考虑虑方方程程组组②②:：
λ A 1 11 1 = λ 1 1 1 0 0
a! ?s,a ， %2, aα ?I l== 1 1 λ A λ 1 λ A 0 0 ==(x32— —1 1))22.
=
11 λ2 1 1 x2 —1
1 1 A2 1 1 A2 -1
·
,
1
1
6
6
0
0
·・-
第三章 向量
第三章向量
当当义λ夭≠士± 1
1
时时，，方方程程组组②②有有唯唯一一解解..
当λ=1时，
当A = 1时，
1 111 1111r
_1 1 1
( （ α fit： ? * , % α? ， , a α < , ? a ,α ；,） ?)= 11111 行行初初等等变变换换 0 0 0 0 0 0 0 0
0000-
1111.
0 0 0 0_
方方程程组组②②有有无无穷穷多多解解..
当当λA ==-1-时1时，，
1
-1 1 1 1 1 -1 -1 -1
1 -1-1 1
行行初初等等变变换换
0 1 1 0
(（aaii ,.aa?2 ,α?,,aα3）?)==
1 1 1 -1. 0 0 0 1
方方程程组组②②无无解解.
总总之之，，当当 3λ≠—- 11时时，，方方程程组组②②有有解解..
综综上上，，当当义λ尹≠一-22,,λ2尹≠一-11时时，，方方程程组组①①②②都都有有解解，，正正确确答答案案为为((CC))..
fr ~ - - - ~ n］
" 【【评评注注】】 本本题题作作为为选选择择题题，，可可用用排排除除法法选选出出正正确确答答案案。. "
I, II
" 因因Aλ ==--2 时2时，，方方程程组组①①无 无解解，，故故排排除除（(AA)）（(DD)）.. "
Il 'I
>， 因因Aλ ==--1 时1时，，方方程程组组②②无无解解，，故故排排除除(（BB)）.. "
』= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =』
解解题题加加速速度度
1.【分殖』本题已知向量的坐标，故应当用讨论带参数的非齐次线性方程组是否有解的方法
1.【分析本题已知向量的坐标，故应当用讨论带参数的非齐次线性方程组是否有解的方法
来来回回答答..
1 7 7
【解】设设x;
x
α
xa
;
\
+
+
x?
x
a
2
?
a
+
2
x ?
+
α
x
?
3
=
a
β
3
.
=
对
0
[
.
a对?,
［
α
ai
?,,aα2 ,?a·3 β]作作初初等等行行变变换换有有
120 3' 12 0 3 1 2 0 3
47 1 10 0-1 1 -2 0-1 1 -2
01-1 b 0 1 -1 b 0 0 a—1 0
2 3 a 4 0 —1 a —2. 0 00 b—2.
所所以以
((I
I
) 当)当b≠62^时2，时线，性线方性程方组程[组ai［,
a
α
,
,a?,2a,a:]3］xx= β=无 p解无，解此，此时时β尸不不能能由由aia,,a ,2a;zα,a?3线线性性表表出出..
(Ⅱ)当b=2,a≠1时，线性方程组[aj［,aα, ,a?,2a,a?3]］xx= β=有唯一解，即
(U )当》=2,a夭1时，线性方程组 夕有唯一解，即
x
X
=
=
(x(;
X
,
1
x
,X
?,
2 ,
x
-^
?
3
))T
T
=
=
( -
(
1
―
, 2
1
,
,2
0
,O
)T
)T
.
.
于于是是β。可可唯唯一一表表不示为为P β=—=-aai? ++2 a2?a2..
当当b。==2,2a=,a1 时= ，1时线，性线方性程方组程组[a［?外,a,?a,2a,a?]3Jxx= β=有夕无有无穷穷多多个个解解..即即
xx ==( x(?x,i x
,j
?
cz
, ,xx?3 ))TT ==k ^((-―2 ,21,1,,11))πT ++ ((33,,00, ,—- 22))T..
于是β=(-2k+3)a?+ka?+(k-2)as,k为任意常数.
于是P= (—2& + 3)a】+S2+以一2)<»3”为任意常数.
……………… …
=
【【评评注注】】 常常规规的的基基础础题题，，方方法法、、思思路路应应清清晰晰，，计计算算不不能能出出错错，讨，讨论论要要全面全、面严、严谨谨，.
= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
22..【【分分析析】】 所 所谓谓向向量量组组((I I))与与((Ⅱ口))等等价价，，即即向向量量组组((II))与与((Ⅱ□))可可以以互互相相线线性性表表出出..若若方方程程组组
xe:aai; ++xx?2aa:2 ++x?xa3?a=3 β= 有0解有，解，即即βP可可以以由由aa?】,,aa?2,,aa3?线线性性表表出出..若若对对同同一一个个aa,,三三个个方方程程组组xx;1Oa1: ++
·161 ·
• 161数学历年真题全精解析·提高篇(数学一)
数学历年真题全精解析•提高篇(数学一)
工x?a血?++x孔?α山?==βp(ai ==1 ,12,,23,)3均)均有有解解，，即即向向量量组组((Ⅱn))可可以以由由((II))线线性性表表出出..
【【解解】 】 设 设x;α+;］+2x。:2a ?++7x0?α3 :==β。,((ii ==1 ,12,,23,)3,)由,由于于这这三三个个方方程程组组的的系系数数矩矩阵阵一一样样，•故故可可拼拼成成
一一个个大大的的增增广广矩矩阵阵统统一一的的加加减减消消元元..对对[a［e,α ,α;:β: P·l，β艮,，β&]］作作初初等等行行变变换换，，有有
11 1 1 2 2
-1 1 1 1 2 2 一
[ [ a a ; , , 0 α 2 ? , ; 。 α 3 : ： : $ β ， · 02 β •> P . ：i β ] ]== 0 0 1 1 - — 1 1 2 2 1 1 1 1
23 a+2 a+3 a+6 a+4
2 31 a + 2 :a + 3 + 6 + 4_ 1
11 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2
11：1 2 2一 口 1 1 1 2 2
0 0 1 1 - 一 1 1 ： 2 2 1 1 1 1 —> 0 0 1 1 - _ 1 1 2 2 1 1 1 1
0 0 11 aa \ aa ++1 1 a q + + 2 2 a_ 0 0 0 0 α a + + 1 1 : a a - — 1 1 a a + + 1 1 a— a — 1 1
(
(
1
1
)
)
当
当
a
。
≠-1时 1时，
，
行行列列式式|
I
a·
,
a
。
?
2
,，必 a?|
I
=
=
a +
a
1
+
≠
1
0尹,由
0
克
,由
拉
克
默
拉
法
默
则
法
，
则
知 ，知三三个个线线性性方方程程组组x?可a?++x乃?α％
++x乃?α。3? ==β P(i(i= 1=, 21,,32),均3)有均唯有一唯解一.解所.以所β以p,｝β·β可可由由向向量量组组((II ))线线性性表表出出..
由由于于行行列列式式
1 2 = 0
1 2 2 1 2 0
1 I β P1 · '02 β '0 , 3 β I l = = 2 2 1 1 1 1 2 1 1 0 0 ==6 6± 夭0 0,,
a+3 a+6 a+4 a+3 a+6 —2
〃 + 3 。+ 6 a + 4 。+ 3 。+ 6 — 2
故对任意的a,方程组x?β+x?B?+x?β=α,(j=1,2,3)恒有唯一解，即α?·a:a;总可由向量组
故对任意的a,方程组幻仙十互艮+匕3% = a,(顶=1,2,3)恒有唯一解，即d .a2 >a3总可由向量组
((Ⅱn))线线性性表表出出..
因因此此，，当当aa丰≠一-11时时，，向向量量组组((II ))与与((ⅡU))等等价价..
((22))当当aa ==-1-时 1，时，有有 1
111 122
1 1 1 2 2 -
[a;,α?;α::β·β,β.]→ 01-1 2 1 1
a2 ,。 3 : P\，%，妃— 0 1 -1 2 1 1 1
000
_0 0 0 --220 0 --22_
由由于于秩秩 rr((aa?i ·.aa2 ?.,aats) )#≠ rr((aai? , . α a2 ?.,aα3 -?fiβi),)线,线性性方方程程组组 J x i ? a α , +;+xx2?aα2 ?++x^?；<αa3 ?==β p无t 无解解，，故故向向量量β尬
不不能能由由αa, ·α?aα,,线线性性表表示示..因因此此，，向向量量组组((I I))与与((ⅡII ))不不等等价价..
33..【【答答案案】】 CC..
aβ无关
【 【 解 解 析 析 】 】 由 由α a . .f β i, , y γ 无 无 关 关→ 。七“代煮」 → = δ 3可 可由 由 αa.β/J线 线 性 性 表 表 出→ 出 δ 可 可由 由 α a , . β /J . .y y线 线 性 性 表 表 出 出 . .
αa ,•pβ-»,oδ T相 h天关 J
或或者者用用秩秩来来分分析析、、推推理理：：
aa.，βP，,yy 无无关关→=>rr((aa,,pβ,y,)y )==3 →3 =r(>αr(a:,βp))== 22,,
α.β,δ相相关关=→>rr(a(»αp,»β5)δ V) <33,.从从而而 rr((αa.,pβ,6,)δ =)= 22,,那那么么
rr((aa,»βp.,yγ)) == r (ra(.aβ,p,δ,5,,γy))
所所以以δ5必必可可由由αa·，/βh,yγ线线性性表表出出..选选((CC))..
44 ..【【答答案案】】 BB..
【
【
解
解
析
析
】
】
因
因
为
为
P
β
可
可
由
由α
*
?
,
,
。
a
2
:，,
・
…
・・
,
，。
α
,“
。
线
线
性
性
表
表
示
示，
，故
故
可
可
设
设
βP == kk?xaa\i ++k ?ka2a?2+ …4--+--k--.kαma…m..
由
由
于
于
β
。
不
不
能
能
由
由
α
a
?
】
·
•％
α
，
?
…
·
,
…
a”
,
,—
α
】
_
线
,线
性
性
表
表
示
示
，故
，故
上
上
述
述
表
表
达
达
式
式
中
中
必
必
有
有
k
k
,n
。丰≠
0
0.
.
因
因
此
此
α…= 1
J = kv~(^βP~— k?«ai; ——k k?2αa2? -~… —k—… k-,n1-α\a…„^1\)),，
即即α可。可由由((UⅡ))线线性性表表示示，，可可排排除除((AA))((DD))..
·162 ·
-162 -第三章 向量
第三章向量
若α。可由(I)线性表示，设α。=l?α;+…+1-α,则
若可由（I ）线性表示，设arn = l}a\ +…+，则
β=(k;+k。l?)a?+(k?+k.I?)a:+…+(k…+k1…)α,
P =以 | + 如）。1 + （龙2 + kJ 2）«2 + …+ （友I + ）a/rt-i ,
与
与
题
题
设
设
矛
矛
盾
盾
，
，故
故应
应
选
选
(（B
B
)
）
.
.
jr - - -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- - - -|
II 【【评评注注】】 本本题题能能否否用用秩秩来来分分析析、、推推导导?？ '«
it >i
提示：r(a?a?,…,α.)= r(a?,a?,…,α…β),r(a?,α?,…,a_)+1=r(a?·α:,…,α…1,β).
11 提示：la】，…，a”）= r（a}，…，。”,，。），厂（。|，…，a”—）+ 1 =厂（。！，…，a”，i ・。）・ 11
1_==一一--一 =_一____ 土一 ________________________ ______________________________ -J
二'向.向量量祖组的的线线性性相相关关和和线线性性无无关关
50(2（021021,25题,5题)【）【答答案案】】 CC..
【解析】n个n维向量相关=|aa;i, ,aa:2, »…,,• ,>aa„. I=0,显然
【解析】〃个"维向量相关I I = 0
0 1-1
0 1 -1
a I ;a,. > a a x < , > a a 4： 1 I = = 0 0 - - 1 1 1 1 = = 0 0 , ,
.CC?l CC?3 C5?
所所以以ai0,,αa?；,,,αa:,必必线线性性相相关关..
[63(2（201041,46,题6题)【）【答答案案】】 AA..
【解析】记jj,β == aa,? ++k a?,B?=a?+la?.则
【解析】记 kai ,02 = a2 + la3.则
10
01
01
[B?,β]=[aj,a?,a?]
LP>，妃=3 .a2 ,a：,] 0 1
k l
1
10
一1 0一
若若a a ;, ., α a2 ?, ,a α 3 ?线线性性无无关关，，则则 Ea [ . a , ? a , 2 α ,a ? 3 , ] a?是]是 3 3阶阶可可逆逆矩矩阵阵，，故故〃（r仇(β.伉,β）) = =r r 0 0 1 1 — =2 2. ,即 即α 山 ; + + 知 ka 3,
k 1
_k I一
α?+la,线性无关，
% +如3线性无关.
反反之之，，设设αE ;,α山?线线性性无无关关，,aa, ;==00,则, 则对对任意任常意数常k,数l必必有α有;s+h a+?k,aα,?,+aliα +; l线a3性线无性关无，关但，α但;*,α，皿?,，
αa3,线线性性相相关关..
所所以以a①?++ha*?a,,a,a?+zl +a,/线a；,性线无性关无是关向是量向组量a组;,aα,,?a,2a,;a线3线性性无无关关的的必必要要而而非非充充分分条条件件..
、/1解题加速度
解题加速度
1.（ I ）【鬼翩F用特征值特征向量定义有：4«] =—。|，成"=。2・
1.(Ⅱ汇证丁、用特征值特征向量定义有：Aa:=-a;,Aa?=α?.
设 k?α;+k?α:+k?α? == 00.. ① ①
设 kiOi + k2a2 + k^a?.
②
用用A A 乘乘①①得得：： -一k加?aa;】++k?幻a?。+2 k+?么(α（。?2+ 4α 口?3)）== 0 0.. ②
③
①①一一②②得得：： 2 2 ^ k i : « a i ? — — k k 3 ? a a 2 ?== 00.. ③
因因为为α山·，久a:是是矩矩阵阵AA不不同同特特征征值值的的特特征征向向量量，，①α，％α线?线性性无无关关，所，以所妇以k=?0=0,,么k?==00..
代入①有k:a?==0. 因0 为a:是特征向量，a?≠0,0故, k?=0.从而a,α?,α?线性无关.
代入①有&2。2 .因为。2是特征向量，。2尹 故&2 = 0.从而，。3线性无关・
(（ⅡII）)I【 解解】 】由 于由 于Aa=;=—- αtt\;，A,（AX α2 =?=。α2，?&,A3a ?==a。?2 ++α 口?3,，有有
-~ 11 000 70-
A[ai,a:;a;]=[-ai,a?,a?+a?]=[a;,α?·a?] 011
A[a| ,%，。3〕= [― 02，。2 士 皿]=[。1，。2 03〕 0 11'
0 01.
_ 0 0 1_
·163 ·
・ 163 -数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析· • 提提高高篇篇(数数学学一)） —
-1 0 0
-一 1 0 0一
所 所 以 以 p P - ^ I 'A A P P = = 00 111 1
0 01
_ 0 0 1_
22..【【证证明明】】(（方方法法一一)） (（定定义义法法)）若若有有一组一数组k,k数?,k,?k,2…，…,k，包,,，使使得得
邲邮++k加?(β卜+％a ?） )++k幻?（(。β+ +a）?+)+……++k宙,（(夕β+ a+a, ）)== 00,
， ①①
则则因因a«;1,，处a?，,……，,。a，,是是AAxx ==0 的0 的解解，，知知AAaa,, ==0( 0i（=31 =,2 ,1…,2,,・t・・)u,用）,用A左A乘左上乘式上的式两的两边边，，有有
(k+k?+k?+…+k?)Aβ ==0 0..
以+ 刈 +处------h）Afl
由由于于A部β≠夭00,,故故
k+k;+k?+…+k,= 0.
k + k}+k2 + -+kt = 0. ②②
③
对①重新分组为(k+k?+…+k,)β+k;a 4?-+ k?a?+…+k,a, ==0 0,, ③
对①重新分组为以 + 加 + + k,）fl + k}a{ k2a2 + + ktat
把②代入③,得k;a;+k?α?+…+kα,= = 0 0..
把②代入③，得 k\a\ + k2a2 + + k,a,
由
由
于
于
α
tt\
,
,
α
%,
?,
・・
…
・
0,α
是
,是
基础
基
解
础
系
解
，
系
它
，
们
它
线
们
性
线
无
性
关
无
，故
关
必
，
有
故
妇
必
=
有
0
k=
以
0
2
, k
=
? =
0
0
,
,
…
…
仇
,k,
=
=0
0
,
,
------
代代入入②②式式得得k4= = 0 0..
因此，向量组ββ+α:,…,β+αa,线性无关.
因此，向量组夕，。+外，・・・/ + 线性无关.
(方法二) (用秩)经初等变换向量组的秩不变.把第1列的一1倍分别加至其余各列，有
（方法二）（用秩）经初等变换向量组的秩不变.把第1列的一1倍分别加至其余各列，有
， ・
[β,β+aai·β+α?,…,β+a;]→[β,a;,a?,»……,ae,]].
丁 】,0 + a? ,0 +-► 9a2
因 因 此 此 r,(（夕β,。,β++ aa】; ， ,•…••,，。β++ a劣?)）== r(rβ（0, ， aS? ,,…•••, 0a;)）..
由于α?,α?,…,α,是基础解系，它们是线性无关的，秩r(a?,α?,…,a;)=t,又β必不能由aαi,
由于外，阪，…，。，是基础解系，它们是线性无关的，秩，为，…，①）=J又。必不能由
， ） ，
a?……,a0,线 性表出(否则Aβ=0)0,）故, r(rα（a?,,a0?2,……,0a?,β)=t+1.所以
线性表出（否则钏= 故 ，夕）=£ + 1.所以
r(β,十β O+ha，?P· —β Oh+，a…?,，…。一, βa,+） a=)=2t++11,,
即即向向量量组组β/Mβ ++α a?】,,/β» ++血a?,，…
・・
, ・/β ++α劣,线线性性无无关关..
厂=一一= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =刁
1 【【评评注注】】 用用定定义义法法证证线线性性无无关关时时，.应应当当对对 "
I k?α:+k?α?+…+k,α, == 00 II ••
1 ^1«1 + k2a2 + + ktat
:作恒等变形，常用技巧是“同乘"与“重组”，本题这两个技巧都要用到. ：
作恒等变形，常用技巧是“同乘”与“重组”,本题这两个技巧都要用到。
j
另外，用秩也是一种常见的方法。
[ 另夕卜，用秩也是一种常见的方法.
----..-0
①
3 3 . . 【 【解 解】 】 设 设 k k ? }t a t} ; + + k k2 ? a a 2 ? + + … + +k k , ra a r , + + β Zp = = 0 0,, ①
因因为为β。为为方方程程组组的的非非零零解解，，有有
入
aμb?+a…i?…b?+…+a?b,=0,
01 缶 +。12缶 H------ a}„bn = 0,
az?b?+az?b?+…+azb,=0,
《201 + a22b2 + …+a2nbn = 0,
a?b;+arb?+…+amb。=0
+ar2^2 H-------ambn = 0
即
即
。
β
尹
≠ 00,,
。
β
/
a
1
?
=
=0
0
,…
,・
,β
・
a
・
,=
=
0
0
.
.
用 左乘①,并把βa,=0代入，得B?β=0.
用『左乘①，并把=。代入，得= 0.
因
因
为
为
β
。尹
≠00,,有 有β
0邛
β
＞
>0
0
,
,
故
故
必
必
有
有
1
I
=
=
0
0
.
.
从而①式为k;a;++k ?&a2?+2 …+ +ka,=0,由 =于 0α, ?,α?,…2,a,0线性无关，所以有
从而①式为 。 + krar 由于,。 ，••• 线性无关，所以有
kk\? ==k k?2 ==… = =k ,k=r =0 0..
因因此此向向量量组组aa:i, ,a皿?,，…
・・
, ・，a*.β /线线性性无无关关..
·164 ·
-164 -《 第 第 三 三 章 章 向 向星 量
【评注】由于不清楚。是齐次方程组的解，即伊* =0,许多考生没想到本题应当用左乘］
【评注】由于不清楚β是齐次方程组的解，即βa,=0,许多考生没想到本题应当用β左乘
:①式. ''
①式.
— = _ = —__________…_________________________= = ；- = = -=』
三三.、向向量量组组的的极极大大线线性性无无关关狙组与与秩秩
❷7(2(021071,713,1题3题)【)【答答案案】】 22..
【解析］】 因[Aa?1 ,,&Aa2?,，A&a?3]］= A=[a A?,［αa?i,·%α 0:],又α;,α?,α?是三维线性无关列向量，所以[［aai ,
【解析 因［恤 」，又ai ,a2 ,a3是三维线性无关列向量，所以
a«?2,,a«?3]］为三阶可逆矩阵.
为三阶可逆矩阵.
)
故rr((AAaa;i, Aα? »,AAaα3?)== rr((AA)) == 2.
故 ,Aa2 2.
解解题题加加速速度度
1.【解】对[a?a?,a?,a?]作初等行变换(把第1行的(一1)倍分别加至另三行1),有
)1+a 2 3 4 1+a 234”
1 2+a 3 — a a 0 0
[ai,α?,a?,a?]=
2 3+a 4
一a 0 a 0
1 2 3 4+a —a 00 a_
若a=0,则秩r(a?,az,a?,a?)=1,a,az,a?,a.线性相关。
有有极极大大线线性性无无关关组α组;，,且且。α?
=
=
2
2
a
a
i
i ,,α皿?==
3
3
a
a
i
:
,
,
a
a
4
4 =
=
4
4
a
a
1】..
2
1
若a±0,则有
若"0,则有
1+a 2347 )a+10000°
_1 +a 2 3 4- a+ 10 0 0 0-
-1100 -1 100
-1 1 0 0 -1 1 0 0
[aj,a?,a?,a?]→
[a】»«2 03 ,a4]
-1010 -1 010
-1 0 1 0 -1 0 1 0
-1001. -1 001.
_-1 0 0 1_ L -1 0 0 1_
当a=-10时，a:,az,a?,a.线性相关，有极大线性无关组α?,α?,a?,且α;=-α?—α?-α.
当a =— 10时9(X2，。 ，。 线性相关，有极大线性无关组。 ，。 ，。 ，且= — E —。 —。
3 4 2 3 4 3 4.
2 = = = u = = = = = = n = = = = = n = = = = = = = = r = = = = r = = = = =
1
'' 【【评评注注】 】 当 当a a==--1100时时，， "
II 11
0000?
|( r o 0 0 01 11
-1100
" r - -110 0 "
[ai,a?,a?,a?]→ = = B B . .
" || ,。 2 03 ，。 4 〕— — - 1 】1 0 0c 1 11 0 0c "
Il _ < H
I, -11 00 001 .1」
显然，矩阵B中第2,3,4列线性无关，故我们可回答α?,a?,a?是极大线性无关组。
'■ 显然，矩阵 中第2,3,4列线性无关，故我们可回答 是极大线性无关组.
B a2,03,04
: (注：极大无关组答案不唯一)，在 中，易见 "
(注：极大无关组答案不唯一),在BB中，易见
: ((00,, --11,, --1,1,- -1) iT)=T -=(0-,(1o,,0i,,o0,o)-)T(-0,(00,,01,,10,)oT)T- -(0(,o0,o,0,o,,1i))T,, :
"故故可可回回答答 a;〕==-α— ?a—2 —α a?i— ~~α at?- :
a
……………………… …
: 这样一种求极大线性无关组和回答线性表出的方法，大家要掌握. ：
这样一种求极大线性无关组和回答线性表出的方法，大家要掌握.
L--------
，
2.【证明】 因为r(I)=r(Ⅱ)=3,所以α?,α?,0α2?a线3性无关，而a;,α?,a?,α?线性相关，因此
.【证明】 因为 所以 线性无关，而,。 ，。 ，。 线性相关，因此
2 f( I ) = 7*( H)= 3, 2 3 4
a。?可可由由aj。,a，％?,a，。?线线性性表表出出，，设设为为a。?=l?α;+
+
l? 1α10.?1+l?a。?.
4 1 3 4 = +，3 3.
若k“:Ia?+k?a?+k?a?+k?(a?-α?)=00,即,
若 。】+ k2a2 +k3a3 +刈(。 —。 即
5 4)=
·165 ·
・165・数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析·
•
提提高高篇篇(（数数学学一一)）
（ ，
(^k1? —-l ?k?)α;+(k?-l?k?)α2 ?++ (（k&?3 -—L?3k&?4)α3 ?+k?4α5 ?== 00. .
l\kA ）（X1 + （k2 — ）。 ）。 + 力 。 、
由
由
于
于
rr(（Ⅲ DI )）= 4=, 即4 ,a即?,sα ?,·皿a，。?3,α，。 3?线线性性无无关关..故故必必有有
人k?-L?k?== 00, ,
k\ — /]
k:-l?k?= 00,,
k2 — lik} =
k
k3
?
—
-l
I
?
而
k?
=
=00,,
k? == 00
k.i
解解出出k幻?==0,0k以?=3 0=,k 0?=,&02, k=? =00,.加于=是0a.;于,α是?O,\α ,。;2,，α。 3;，。一5 α—;线线性性无无关关.即.即其其秩秩为为44..
r----------------------------------------------------------- 1
厂.----------- -- -- -------------------
【【评评注注】】 本本题题考考查查向向量量组组秩秩的的概概念念，，涉涉及及线线性性相相关关、、线线性性无无关关等等概概念念以以及及线线性性相相关关性性与与 I
•'向向量量组组秩秩之之间间的的关关系系.. *
t______________________=______________________________________________________ ___________ I
:
3.【解】 因β可由a?,Iα?,α:线性表示，故线性方程组4ia
3.【解】因%可由。 ，%， 7
1 3 9 x?
=
20 6 x? 1
x
-31-7 0]
有解.对增广矩阵施行初等行变换：
L — 1 3 9 9 一 b b
1 3 9 b] 1 33 9 b
2b—1
012 2b- 1
2 0 6 1 0-6-12 1—2b 2 6
6
-31-7 0] 0 10 20 3b 0000 3 3 b b 2 2 b。 一— 1 1
l 1 0 0 ~ 66
36 2b-1
由非齐次线性方程组有解的条件知 =0得b=5.
10 6
又又a。?1和和α。?2线线性性无无关关，，。α3 =?= 33a（X;1 ++2 a2?%,所，所以以向向量量组组a;t,tlα ,?%;，α。 3?的的秩秩为为22..
0 a 5
0 。5
由由题题设设知知向向量量组组β&,，艮β，,成β的的秩秩也也是是22,,从从而而 1 1 2 2 1 1 =0.0解, 解得得a 。== 151.5.
-110
-110
con 四四、、向向量量组组的的正正交交
08(2（022012,16,题6题)【）【答答案案】】 A
A
.
.
1
T 丁1 「[337]
【 【解 解 析 析 】 】α as ?= 0 ,，％α ?== 2 2 ,，aα：5 ?== 1
1 2
,1_ .2.
non
β
fli
=
=
a i
（X
· i，但B=
=
a?
%
— B
—
:
k
·
fli
B
,0
=
3
α
=
?-
。
L3 ?―β —
01
L
—
?
1
β
2^2
.
・
020
由由SScchhmmididt正t正交交化化公公式式 □
= =
_r T 1
k * I = = ( d （ （( α A 。 β 2? ,， ,' β妃 。β1 ) )） 一 2 2 2 厂 =1 ] , 项 β q = = 2 2 — 00 = 「 . 2 o ° 2 j ! ·
_11. _1_
L?=_
(（@。a3 ,,β01 )） _= 55
1 = 27
(（β&· Pβ.)）
·166 ·
. 166 .第第三三章章 向向量量
=
2 1
l/ ?_= (（α?·，。β2)）_ 2 _ 1
三 4 2
(（β庞?，,%B?)）=不=I"'
所所以以选选(（AA)）..
五万、、向向量量空空间间
09(2（020090,95,题5题)【）【答答案案】】 AA..
【【解解析析】】 本本题题考考查查过过渡渡矩矩阵阵的的概概念念，，用用观观察察法法易易见见
1
1 0 1
-1 0 r
1
1
[a;+α?
，
,
%
a ?
+
+
。
a
3
?
，
,
。
a
3
;
+
+
。
a?
1]
] =
=
[ a
[。
i
1
,
2'
-α2·
9-
§
3'
a。:提] 22 2
2
0o
乙 0
033.
0 3 3_
--------
所所以以选选(（AA).
- --7
" 【【评评注注】】 本本题题难难度度系系数数00..666655.. "
L.____________________ __ ________ = ■土 ・- = -_______ ____________
1皿0(（2200101,01,31题3题)【）【答答案案】】 66.. r
【解析】本题考查向量空间及其维数的概念，因为a;,α:,α;所生成的向量空间是二维，亦即
【解析】 本题考查向量空间及其维数的概念，因为③，如，。3所生成的向量空间是二维，亦即
1
向向量量组组的的秩秩r(ra（;a·i ,α%?,，%α?）)== 22..
1 12 11 2
一 1 1 2~| 「11 2 -
2 11 01 3
2 1 1 0 1 3
[a,a?,α?]=
[=〃 n—- rr(A( A* )' =)= 44 —- 11 ==3 3,,
故故AA° xx= =0的 0基的础基解础系解中系有中3有个3线个性线无性关无的关解的，解可，可见见选选项项(A()A(B)()B均)错均误错误。.
再再由由AA^'AA ==||A A| E| ,E及, 及|A| |A= |0 =, 有0,有A*AA=' A0 ,=知 OA,的知 A列的向列量向全量全是是A*Axx=0 =的 0解的，解而.而秩秩rr((AA)) ==3 3.,
口 7
故故AA的的列列向向量量中中必必有有3
3
个个线线性性无无关关..
1
0
最后，按A =0,即[aj,a?,a?,a:] =0,即α?+a?=0,
1 1
0]
说说明明αai? ,,<α»3;相相关关→=>α«i ·,aα2 ,:aα〔:相相关关..从从而而应应选选((DD))..
「 【评注】不要忘记 「
【评注】 不要忘记
II 人 ,1
I' nn, , r (rA()A =)= 7n7,. I
n 厂r((AA* ') )== < 11, , r(rA()A =)= wn —- 11,, :
" 100,, rr(A()A )<<7n7--11 1
•I ii
:当当没没有有具具体体的的方方程程组组时时，，一一定定要要有有用用解解的的结结构构，，用用秩秩来来分分析析、、推推导导的的构构思思.. "
[ 本本题题难难度度系系数数00.4.40077.. :
下下面面的的考考题题既既涉涉及及如如何何加加减减消消元元求求基基础础解解系系也也涉涉及及如如何何判判断断矩矩阵阵的的秩秩和和基基础础解解系系的的证证明明..
02((22001199,,1133题题))【【答答案案】】 奴k(11, ,一- 22,,11)尸,k，为&为任任意意常常数数..
【【解解析析】】 考考查查抽抽象象方方程程组组求求解解，，由由秩秩出出发发..
由由αai ?,,%α线:线性性无无关关知知r(rA()A 2)≥ 22..又又aα, =?=—-α at ;++2 2aa?2知知α,α,a?2 , 0 :0 0 0 0 0 ) …—: 00
a a a … a. 0 0 0…0
_a a a a _ .0 0 0 …0 _
由由于于〃n-一r(rA(A)=) n=- 1n, —取 1自,取由自变由量变为量x?为,乃x?，,孔…，,…x,，7,”得，得到到基基础础解解系系为为
a a ? \ = = (- ( 1 — , 1 1 , , 0 1 , ,0 … ,・,・0・, ) 0 π )' , ,如a?==(-(1―, l 0 , , 0 1 , , l … ,・・,・0 ,0 ) ) T T , , …・・・, ,a α „- . i , = = ( ( - ― 1 , 1 0 , , 0 0 ,0 , , … ・・・ ,，1 1 ) ) 丁
方方程程组组的的通通解解是是以：0ka ;++ kk:2aα2 ++……+k+。力a,l。a,,—其，中其k中?,加k?以,…2，,…k。，包,I为为任任意意常常数数..
((33))当当a。=(=1-(nl)-bn时)，6对时系，对数系矩数阵矩作阵初作等初行等变行换变，换把，把第第1行1的行(的一(1一)倍1)分倍别分加别至加每至一每行一，行有，有
-((11—— … nn))hb b b b b … b …b b b
b b ((11—-n”))bb b b ,・・ b b b h
b b . b b
b b ((11——n)nb )b… … b b
: : :
b b b b b b …• •·• ((1l—-n7n))bb b h
- b b b … b b· ••• bb ((11—-nn))bb]-
…
((1l—- … n n))bb bb bb … • • · • bb bh - - 1 1 — — 7 n ? 1 1 1 1 … ••• 1 1 1 1 -
n n b b ——nn bb 00 ••• 0 0 00 1 1 -——1 1 0 0 …••• 00 00
n nb b 0 0 — — n n b b 0 0 0 0 1 1 00 : — -: 1 1 …• •• 0 :0 : 00
:** : ―A :
n n b b 0 0 0 0 … ・・・ — — n n b b 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0- _ 1 1 0 0
- n n b b 0 0 0 0 … 0 0 ——nnb b__ _ 1 1 0 0 0 0 … ,・・ 0 0 - -1 1 _
1 -1 0 … 0 0
-1 _ 1 0 … 0 o -
0 1 -1 … 0 0
0 1 _ 1 … o 0
0 0 1 … 0 0
0 0 1 … 0 0
: : : : :
0 0 0 0 0 0 …… 11 —_1 1
0 … 0 0
_00 00 0 … 0 0 .
由
由
于
于
r
心
(A)
)
=
=
n-〃1一,有
1,
n有-r
n
(
-
A
r
)
(
=
A
1,
)
即
=
基
1
础 ,即解基系础只解有系1只个有解
1
向个量解向，量取，自取由自变由变量量为为x.,时则则基基础础解解
· 171 ·
-171数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析·•提提高高篇篇(数（数学学一一)）
系系为为aα ==( 1（1,1,1,1,1,,…・",，11)）.T故.故通通解解为为kkaa,(,k（h为为任任意意常常数数)）..
2
2
..【【答答案案】】 B
B
.
.
【解析】因为5≠5,知5一是Ax=0的非零解，故秩r(A) 0 02 2 1 1 1 1
- 0 0 - - 4 4- -2 2 — -2 2. . _0 0 0 0 0」 _ 0 0 0 0 0 0 00]_
得得到到方方程程组组AxA x== & 的的通通解解为为（0(,00,,10）,丁1+)友?+（一k( 1-,11,, 1一, 2-尸2)，,从从而而&5 ==( （--kk,,kk,,1l--22kk)?Y,r ,kk是是任任
意意常常数数..
2 :22 07
-2 2 0-
，
由由于于AA2== - -2 2- -2 20 0,，对对AA22xx= =5, ^由,增由广增矩广阵矩作阵初作等初行等变行变换换，，有有
_
4
4
44 00_
1
_ 2 2 2 20 0 - - 1 r 「 2 2 2 2 0 0 - — 1 r
-2-20 1 0一00 0
-2 -2 0 1 —> 0 0 0 0
4 4 0 000 0
_ 4 4 0 —-22]. _0 0 0 0 _
T
1 1 ( 1 )T
得得方方程程组组通通解解幻x?==一- 2 -u,x?= = u U , , x x ? 3 = = v 如 ,即 即 ξ§3 == 2 —u,u,v| ，,其其中中uU,,vP为为任任意意常常数数..
(（ⅡH）)因因为为行行列列式式
- - 1 1 1 -—kk 一万 1 2 1 一 — 〃 u = 0 0 0 _万 2 11 =— 1
15.5·5?|= 1 k u — =_号 2 尹≠0S,
1 k u 1 k U
— -2 21— \-2 2 k k V - 2 2 1 1 — 一2 2 k为 V
所所以以对对任任意意的的>k5,u,,v恒,有恒有I
&
|，
§ 2 忐
考|
序
≠
0
0,
,即
即
对
对
任
任
意
意
的
的
&
5
，&
5,
，
恒
恒
有
有
5,
线
5,5
性
线性
无
无
关
关
.
.
II 【【评评注注】】 本 本题题若若能能发发现现4A号5:==0,0那,那么么(Ⅱ（n)也）也可可用用定定义义法法来来处处理理：：
II (（ⅡU）)证证法法22 由由题题设设可可得得A45^?==0.0设.设存在存数在k?数,k,?k,2k,?k,3使,使得得 :
II
it k&】?&与 ++ kA?&52: ++k ?ξ?== 00 ①①::
it
II 等等式式两两端端左左乘乘A4,,得得 II
it k?A5:+k?A5?=0 II
，2劣&2 + ^3-^3 = 0
II II
k?E+k?A5?= 0
II 即即 心+幻&3 = 0 ②②:
II
II 等等式式两两端端再再左左乘乘AA,,得得 1
k幻?妒A2旨5?==00
it _______________ II
L = ;==-J
·- 117722 ·-第第四四章章 线线性性方方程程组组
即 k???==o0,,又与≠0o :
it 即 么窗 又&夭
II
于是k?=0代入②式，得k??=0,故k?=0.将k?=k?=0代入①式，可得k?=0,
it 于是&3 = 0代入②式，得互2& = 0,故幻=0.将人2 =么=0代入①式，可得加=0,:
i-t 从而&，壳档3线性无关. :
从而5,52,5线性无关。
:; 本 本 题 题 难 难 度 度 系 系 数 数 数 数 一 一 00.. 335566,,数 数 二 二00..336666,,数 数三 三 00..337788,,不 不 应 应 当 当 是 是 难 难 题 题 吧 吧 ， ，是 是 不 不 是 是 复 复 习 习 上 上 出 出 问 问 题 题 了 了 ？ ? ；
= = = = = = = = = = = = = = = = = = 二二=二三三二 = = = = = = = = = = = = = = = - = 二』
|
4
]
(
(2
2
0
01
1
0
0
,
,2
2
0
0题
题)
)
【
【
解
解
】
】((
I
I
)
)
因
因
为
为
方
方
程
程
组
组
Ax
A x
=
= b
b
有
有
2
2
个
个
不
不
同
同
的
的
解
解，
，
所
所
以
以
r(A
r(
)
A
=
) =
r
r
(A
(A
)
)
<
<3
3
,
,
λ 1 1
A 1 1
1
解解得得I| AA || == 0 0 λ A- — 1 10 0 ==(λ(A—- 11)) ==((xA ++1 1))((aA--11))22 ==0 0,,
1λ
1 1 3 A|
1 1
知知λA == 11或或λ义==-—11..
当当λ人==1时 1时 ， ， 1
a
111
"1 1 1 a
A== 000 1
0 0 0 1
111:1.
_1 1 1 1_
显显然然rr((AA)) ==1 ,brr((AA))= 2=, 此2,时此方时程方组程无组无解解，，λ义==11舍舍去去..
当当λA ==--1 时1时，，对对A仙x=b=的b增的广增矩广阵矩施阵以施初以初等等行行变变换换：:
1 3
10-1
-1 1 1 a 1 0 -1 2
-1 1 1 a ~2
((AA,,bb))== 0 0 - - 2 2 0 0 1 1 01 0 1
0 1 0
_ 1 1 1 1 - -1 1 11_
"T2
00 0 a+2
0 0 0 Q + 2_
因因为为AAxx ==b 有b有解解，，所所以以Qa ==-—2 2..
((ⅡU ))当当人?==-—11, a==-—2时 2 时，，
3
10-1 3 '
1 0 _ 1 2
~2
1
A→
1
010
0 1 0
_ ~22
_00 00 00 00 _
001
所所以以A仙x== b8的的通通解解为为 1
3
1
x= -1 +k
,其中k人为为任任意意常常数数..
x = 2
0
7
【【评评注注】】 本 本题题难难度度系系数数数数一- 00.. 666622,,数数二二00..559922,,数数三三00..6 62277..
蛙====二 = = = = = = =二二=二 = = = 二=―=二=二=二= = = = = = = = = = = = = = -= -=J』
50((2200112,22,20题。题)【)【解解】】(I()I按)第按一第一列列展展开开，,
1 1 a Q 0 0 a Q 0 0 0 0
A A l = | = 1 · 1 - 0 0 1 1 a Q ++a a((-—1 )1)+41+, 1 1 a Q 0 0 ==11— 一a1?
001 01 a
0 0 1 0 1 Q
((ⅡH)) 当当|I AA| |==0 时0，时,方方程程组组AAxx ==β夕有有可可能能有有无无穷穷多多解解，由，(由I )(I知)知。=a=11或或-一1.1.
((I1)) 如如果果 a=1,
a = 1,
· 173.
・173・数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析·
•
提提高高篇篇(（数数学学一一)）
7
1 1
1 1 10000 1 一 -1 1 0 0 : 1 1 ■ 口111 00 00 1 -
00 1
1
1
1
0
0
-
_
1
1
0
0
.
1
1
1
1
0
0 1
一 1
0
0
1
1
1
1
0
0
-
_
1
1
,
（(AA :2β）)== ―► —►
0011 0 0.011 0 0011 0
0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0
r
J 10 0 0 0 1 1 0 0 _ 0 _0 _ 1 10 0 1 1 -1 1 _ 0 0 0 0 0 0 0 0 —-22_]
于于是是rr(（AA)）≠丰rr(（AA: β:。)）,，故故方方程程组组Ax仙=β=无0解无，解舍，舍去去..
7
（(22）)当当 aa ==-1-时 1 ，时，
.
1 -10 0 1 1-1 0 0 1 100-1 0
0 1 -1 0 -1 0 1 -1 0 1 01 0-1 -1
,
(A:β)=
0 0 1 -1 0 00 1-1 0 001-1 0
-1 0 0 1 0 0 000 0 0
于是r(A)=r(A:β)=3<4.故方程组Ax=β有无穷多解，取x,为自由变量，得方程组通解为
x=(0,-1,0,0)?+k(1,1,1,1)π,k为任意常数.
r--------------------------------------------------------------------------------------1
•' 【【评评注注】】 难难度度系系教数00.. 665544,,00.. 662200,,00..662288.. "
I____________________________________ ______________________= -____ …__-__J_ J
[x:x?
06((（22001133.,2200题题）【【解解】】 设 设。C== x'a' ' x 2 ..那那么么 AACC--CCAA == BB,则, 则
」
M3 X-I x 1
] [ ] 01
10. 1 b.
11 +r。 ax
[~xX]: +十 aaa r- a pr +十 qjta i [•]] +12 心]]_ - 0 o 1 11
x+x ar
-.Z'l J?2 」 + j*.| ar 3」
.11 b.b\
人 -x?+ur? =0,
—jc2 + cur：i = 0,
-ar,+x?+ ax,=1,
即得方程组 —CUT + 也 + ax = 1,
即得方程组＜
x?一 又x近?一-x工?| ==1 1,，
x?— ax; = b.
x2 — az3 = b.
对对增增广广矩矩阵阵作作初初等等行行变变换换，，有有
0 -1 a 0:0 门10 -1 -1:1
「0 — 1 a 0 : O' ~1 0 - 1 --1 : 1 _
AT =- - — a a 1 1 0 0 a a \ 1 1 0 0 1 1 — -a a 0 0 : 00
——
1 0 -1-1 1 00 0 0 a+1
1 0 -1 -1 1 0 0 0 0 \ a + 1
_ 00 n11 o o n --aa 00 3b 0 0 0 0 0 0 0 0 '■ b b _
当当a。≠关-一1或1或b≠。0尹时0，时方.方程程组组无无解解..
当当aa ==-1—, 且1,且b=。0时=，0时方，程方程组组有有解解..此此时时有有在在矩矩阵阵CC满满足足AACC -—CAC 4= = B B..
1
7
由由于于方方程程组组的的通通解解为为 1
x
1
=
x? -1 0
+k? +k? k,k。为任意实数，
x? 1 0
x? 0
故故当当且且仅仅当当a a==-—1 ,1b, =0时，存在矩阵
,
[1+
+
k
加
,+
+
k,
奴 一
—
加
k
一
]
CC ==
k? k?
- 加
4C — C4 =
满满足足 AC-CA = BB..
。174·
. 174 .第第四四章章 线线性性方方程程组组
厂= = = = = = = = = = = —
r = = = = = = = = = = = = = = = =
" 【【评评注注】】 这 这是是当当年年考考得得比比较较差差的的一一道道题题，，难难度度系系数数00..336688,,00..338899,,00..446600,,考考生生在在计计算算上上失失"
Il a-e II
［误误的的情情况况非非常常严严重重，，希希望望大大家家复复习习时时要要重重视视基基本本计计算算.. J
f 7( l 2 ( 0 2 1 0 4 1 , 4 2 , 0 2 题 0题 )【 )【 分 分 析 析 】 】 (I ( ) I 是 ) 基 是 础 基 题 础 20，1 题 化 ，化 为 为 行 行 最 最 简 简 即 即 可 可 . . oo1
1
关关于于(( H Ⅱ))中中矩矩阵阵 B B, ,其其实实就就是是 A A x x = = 0 ,Ax= 1 ,Ax= 三三个个方方程程组组的的求求解解问问题题..
1
0
【【解解】】((II))对对矩矩阵阵A作A1作初初等等行行变变换换，，得得 7
1-23 -4 3 -1 1-2 3-4 100 1
"1 -2 3 —4- 一1 -2 3 -4" '1 _ 2 3 -4一 一] 0 0 1 ■ ,
A = 0 1-11 1 -1 1 0 1 -1 1 0 1 0-2
A = 0 1 _ 1 1 0 1 - 1 1 —A 0 1 _ 1 1 —► 0 1 0 -2
1 2 0 -3 00 1 -3 001-3-
_1 2 0 -3_ _0 4 -3 1 _ 0 0 1 -3_ 0 0 1 -3.
因因 nn —- rr((AA) )== 44 -—3 3= =1 ,1令,令x门?==11求 求出出 x了?3 ==3 3,,x乃?==22,,xa? ==-—11,,
故
故
基
基
础
础
解
解
系
系为
为
q
η
=
= ((-一1 ,
1
2
,
,
2
3
,
,
3
1
,1
)7 )丁..
((ⅡH))AABB ==E中EB中的B列的向列量向其量实其是实三是 n 三个 o0 个非非齐齐次次线0 线 10性性方方程程组组
[07
Ax= ,Ax= 1 ,Ax= 0
0] 0 [1]
的
的
解
解
.
.
由
由
于
于这
这
三
三
个
个
方
方
程
程
组
组
的
的
系
系
数
数
矩
矩
阵
阵
是
是
相
相
同
同
的
的
，所
，
以
所
令
以
囚
令
=
A=((A A:
；
E )
E
作
)作
初
初
等
等
行
行
变
变
换
换
：
:
"1 1 - -2 2 3 3- - 4 4 i 1 1 0 0 0 7 0 门 - -] -2 3 3 - - 4 4 i 1 1 0 0 07 0-
A = =( （ A A ： : E E ） )= = 00 1 1--1 1 11^001100 ― 00 1 1-—1 1 11 : 0 0 1 10
_11 2 2 0 0--33^00 00 11_ 00 4 4--33 11 i - -1 100 11_
T1 — 2 233 --44 ： 11 00 00一 1 1 - 2 2 0 0 5 5 ; 4 4 1 1 2 2 - 3 3 -
r
—► 00 11 --11 11 0 0 1 1 0 0 ―A 0 0 1 10 0 -2 2 -1- - 3 c 1 1
1 00 1 -3-1 -4 1
L0o .00 1 1—- 33 ； --11 41L _0 0 1 一 3 ： - 1 - 4 1 _
100 1 2 6-1r
-1 0 0 1 i 2 6 -
010-2 -1-3 1
—A 0 10-2^-1-3
001-3 -1-41
0 0 1 —3^—1 —4
由由此此得得三三个个方方程程组组的的通通解解：:
((22,, -—1 ,1-, 1—, 01),0?+)丁k ?+η加,邛k,;幻为为任任意意常常数数，,
((66,, -—3 3,,- 4—, 04),0?+)丁k ?+η龙,即k?业为任为任意意常常数数，,
2 2
(-1,1,1,0)T+ksn,k,为任意常数，
(—1,1,1 ,0)丁 + >1｝以 为任意常数，
3
2—k? 6—k? —1—k?
2 — k\ 6 —奶 一 1 一U
— -11 ++2 2k^1: -3一+ 3 2 + k ? 2奶 1 1 + + 2 k 2心 ?
故故所所求求矩矩阵阵为为BB ==
-1+3k?-4+3k? 1+3k?
,/k｝?,，幻k?以,k
3
?为为任任意意常常数数..
—1 + 34| 一 4 + 3幻 1 + 3么
k? k? k?
k2 心 -
「--------------- …子
•' 【【评评注注】】 本 本题题难难度度系系数数00..444455,,00..441166,,00..443366.. "
——一————_ _ ——————-——_ _ — — — — — _ - 一 一 一 一 - ■- _ 二二二=J二
—^11
£8*K2200115,55,5题题)【)【答答案案】】 DD..
【解析】 Ax=b有无穷多解=r(A)= r(A)<3.
【解析】Ax = b有无穷多解Ur(A) = r(A) < 3.
·・1
1
7
7
5
5
·・r
数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析·•提提高高篇篇((数数学学一一))
7
1 1 1 1 1 1 1 1 - 'I 11 1 1 1 11 ' ~ 1 1 1 1 1 1 1 1
…
1 1 2 2 a a d d —A 00 03141 -a a1- —11 。1 d d — -1 1 —► 0 0 1 1 a a — — 1 1 d d — -1 1
d2
14 a2 d2—1 00 a2-3a+2 d2—3d+2_
_1 4 a2 d2_ _0 3 a2 — 1 d2-l_ 0 0 a2 — 3q + 2 d2 — 3d + 2_
q2-3a+2=0,
(a2 — 3a + 2 = 0,
?a∈Ω,d∈Ω
Q,d £ n.
d2-3d+2=0,
\ d — 3d + 2 = 0,
A
或或AAxx ==b有 b无有无穷穷多多解解的的必必要要条条件件|| Al|= = 00..
111
1 1 1
12a
由由 |I AA || == 1 2 a == ((aa -—1 l))((aa —-2 2)) ==0 0,,aa ==1 或1 或2 .2.
14 a2
1 4 q2
r
再再分分情情况况判判断断AAxx ==b 是b是否否有有无无穷穷多多解解..亦亦有有((DD))..
0 9 ( ( 2(20011667,,2200题题))【【解解】 】对对((AA :: BB))作作初初等等行行变变换换
1-1-1 2 2 1 -1 -1 2 2
一 1 _ 1 -1 2 2 - 一] -1 -1 2 2 -
a
2 a l 1 0 a+ 2 3 —3 a—4
2 a 1 1 a —► 0 a + 2 3 -3 a — 4
-1 1 a -a-1 —2_ 0 0 a-1 1—a 0
-1 1 a —a — 1 -2. L0 0 a — 1 1 — a 0 _
当当 aa ==-—2时2 时，，rr((AA)) ==2 ,2r,r((AA: B: )B=) 3=, 方3,程方程组组无无解解..
当当aa≠^1l且且a≠a尹-2一时2，时有，有唯唯一一解解
- 1 1 - -1 1 _ -1 1 2 2 2 2 - -11 _- 11 --11 2 2 2 2 -
0 0 Q a ++ 2 2 3 3 —-33 a a — — 4 4 —► 0 0 a Q + + 2 2 3 3 3 -3 a— a — 4 4
_00 00 aa— — 11 1 1 — — a a 0 0 - 0 0 0 0 1 1 - _ 1 1 0 0 _
3a
1-10 1 2 10 0 1] 3q 一
1-101 2 1 - 1 0 ： 1 2 1 0 0 a+2
ri -1 o : 1 2「 α a+2
0 0 a a + + 2 2 0 0 0 0 a — a— 4 4 —► 0 0 1 1 0 0 ； 0 0 a2 ―► 0 1 0 0- a a — — 4 4
0 0 0 0 1 1 '： - — 1 1 0 0 貌 a + 2 0 1 0 0 a a +2 2
1
_0 0 1 i — 1 0 _
L0o 00 11 -1 0
—1 0
由由两两个个方方程程组组分分别别解解出出
x?=1.x?=0,x,=-1,
JT] = 1,12 =0,73 =— 1，
和和
3a a —4
xi= a+ 3a 2 ,工：= α a 命 — + 2 4x ' ? 4 = = . 0 °’
q + 2
3a
1
3q
1 a+2
q + 2
故故 XX == 0 a Q — — 4 4
0 a+2
a + 2
-1 0
-1 0
当当Qa ==1 时1时，， 1100
1-1-1 2 2 1 1
-1 -1 -1 i 2 2 - rl 0 0 : 1 1 _
由 由 00 3 3 33 [ --33--33 —► 0 0 0 0 1 1。 1 n --11 -_1 1
0,0 00 00 00 00 _ 0 0 0 i 00 00 _
分分别别解解出出两两个个方方程程组组的的解解
xX;\ ==( (11,, -—1 1.,00)) 丁 7++ 刈k((00,, —-1.1)
x0? ==(1(,1，-—1 .10,0))1丁十+互k2((0。,，-一1 1.,11))T.,
·176 ·
-176 -第四章 线性方程组
第四章线性方程组
[ 1 1
1 1
故故AAXX= = B B有有无无穷穷多多解解，，且且XX == —k 加 ,— 一 1 1 —k - 。 k — 2- 】 \ ,，k加,,，k心?是是任任意意常常数数，.
k? k?
2
加 上
”7
『—rrrs — — — — — — — — — — — — rr —
it
" 【【评评注注】】 本本题题难难度度系系数数00.. 446688..
--J
』= = = = = = = = = = = _ = = = = =
[皿0(
（
2
2
0
0
1
1
7
7
,
,2
2
0
0题题）)【【解】解】（ I( I）)由由
a
a
3
?
=
=a
a
;
,
+
+
2a
2
:
a
知 2知a?
a
,】α
,a
?
2
,
,a
a
3
?线线性性相相关关，故，|故
A
| A
| =
l=
0
0
,
,义λ==
0
0是是A
A
的的特特征征值值..又又AA有a 有31个
3
不个同不的同特的征特值征，值设，设为为λ;?U,x ， %?, ， 0
0
(（其其中中λ义?
1
,
“
x
2
?不不为为0
0
)）,，
FAi 1
那那么么AA～ A 人 ?2 ,，所所以以厂r(A(A) )== rr((AA)) == 2 2..
0
0.
((Ⅱ
II )
)由由 aa3 ?== aa;i ++2 a
2a
?
2
有 有α;
+
+ 2
2
a
a
?
2
-
—
a。?3= =0, 0那,7那么么
1 尸 1
■ 1 _ -1 _
A A 2 2 = = [a ［ i,α02?; ， a 。 ?3] 〕 2 2 =aO?i ++2 2 a a ? 2 - — a «?3 ==0 ,0,
-1. -1
-1_ -1_
Ax = 0
即即［[11,,22, ,—- 11]］丁π 是是 Ax=0的的解解..
1
又 又 A A 1 =[a?,α?,a?] 1 =a O ; h + + a?+ + a ? 口 =β = P , ，
3
1] 1]
即即［[11,,11,,11］丁]是是Ax如=β=/的J 的解解..
由由rr((AA)) =
=
2,
2
按 ,按解解的的结结构构知知AAxx= β=的。的通通解解为为xx= [
=
1 ,
［
1
1
,
,
1
1
]
,1
?
］
+丁k [+1虹,2
1
,
,
-
2
1
,
]
—
1 ,
1
k了为涂任为意任常意数常数。.
r
—~ — — —— —— — —— —— —— 一- 一— 一- 一— —— 一— 一— 一— ―— 一— 一— 一— ―— —— _— —— _ _— M = = = = = = = = = = = = = = = = —-1
【【评评注注】】 本本题题难难度度系系数数00..553366,,00..442222,,00..444455.. "
-J
」= M = M = = = = = = = = = =二= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =-
L
[Ⅱ[）(（22001188,,2211题题）【)解【】解】（I( ）I)矩矩阵阵AA经经列列变变换换得得矩矩阵阵B,B即,即AA和和BB等等价价，，矩矩阵阵AA和和BB等等价价0?
rr((AA)) ==rr((BB))..
1 2 a 12 a
1 2 a = 1 2 a 1 1 2 2
由由 |I AA l| == 1 1 3 3 0 ° = 1 1 3 3 0 0 ==00,又,又因因AA中中有有2阶2阶子子式式 13 =11≠丰0,0故,故YaV, Q恒,恒有有
1 3
27 -a 390
2 7 3 9 0
—a
rr((AA)) == 2 2..
1 a 2
1 2
a 0 1
0 1
0 11 ≠0.
又又 I| BB || == 0 1 1 ==22— —a q ,B,B中中有有2阶2阶子子式式 -11 尹0.
-1 1
-111
-1 1 1
rr((BB) )== 220? || BB|| ==0 0==a 2=, 2所,所以以 aa ==2 2..
((Ⅱ□))满满足足AAPP == BB的
日
的PP就就
2
是是A
2
AXX
1
==B 的B的解解..
1
1 22 1 0 6 3 4 4
[［AA :: BB]］ =
1 3 0
0 1 1 01-2
r
-1-1-11
事
27 -2-111. 00 0 0 0 0
解解方方程程组组，，得得 1 1 7
— 6° 3 = 1 4 = [27
A 2 =0,A -1 0 ,A -1 1
1 0 -1 0 [1
·
- 1
1
7
7
7
7 ·・数学历年真题全精解析·提高篇(数学一)
数学历年真题全精解析•提高篇(数学一)
3—6k? 4—6k? 4—6k?
-3 — 6加 4一6加 4-6^3 -
-1+2k?-1+2k?。-1+2k?
故故AAXX ==B B的的解解为为XX == —1 + 2kx —1 + 2&2 —1 + 2^3 ，,其其中中加k?,以k? 2 ,以k, 3 为为任任意意常常数数..
)
k? k? k?
-h k2 X _
| 3 3 - — 6 6 k 灯 4— 4 - 6 — k 6 。 奴 4 4 — -6 6 k 奴 1 3 3 . 4 4 分4 1
X| X| | == 1+2k;-1+2 + k : 2蜘 1 1 + + 2 2 k 如= - - 1 1 -1 - 1 1 1 = = k 幻 ?- 一 k: 奴 ≠ 夭 0. 0.
k k> X 大k\ k人2 幻1
所所以以满满足足 A AP P = = B的 B 所的有所有可可逆逆矩矩阵阵为为 7
3—6k? 4—6k? 4—6k?
3 — 6加 4一6龙2 4 —6 灯-
P P = = - ~ 1 1 + + 2 2 k 加 ;- — 1+ 1 + 2 k 2龙 ? 2 -1 — + 1 2 + k 2 ? 互 3 ,，其其中中幻k?尹≠幻k
k? k? k?
-h k2 艮 3 .
" 【【评评注注】】 本本题题难难度度系系数数00.. 446633,,00.. 339977,0,0..4 45500.. 』
I!__________________________________________________________________________________________ J
1[£2((22001199,,66题 题【)(答答案案】】 AA..
【
【解
解
析
析
】
】
三
三
个
个
平
平
面
面
两
两
两
两相
相
交
交
，
，没
没
有
有
公
公
共
共
交
交
点
点
，
，
即
即
方
方
程
程
组
组
无
无
解
解
，
，
从
从
而
而
r(
r
A
(A
)
)丰≠r
r
(
(A
A)
)
.
.
排排除除((BB))((DD))..
又又因因33个个平平面面互互相相不不平平行行，，法法向向量量互互不不平平行行(但(但共共面面)，)从,从而而r(rA()A )== 22..应应选选((AA).).
至至于于((CC)) r(r(AA)=) 1=,意 1味,意三味个三平个面平的面法的向法量向共量线共，线三，三个个平平面面平平行行((最最多多可可有有两两个个重重合合))..
鬣解题加速度
解题加速度
1【答紫)A
1.【答莫
【【解解析析，' 】因i 为为‘AA 是是 mm×Xnn矩 矩阵阵，，若若秩秩 r(Ar() A=) =m,则则 m==r r(( AA)) ≤Vr r((AA, , b8)) ≤< mm..于于是是 rr((AA)) ==r r((AA,,
bb))..故故方方程程组组有有解解，，即即应应选选((AA))..
或或，，由由rr(A(A)) == mm,知,知A的A行的向行向量量组组线线性性无无关关，，那那么么其其延延伸伸必必线线性性无无关关，，故故增增广广矩矩阵阵(A(A,,fbr))的的mm
个行向量也是线性无关的.亦知r(A)= r(A,b).
个行向量也是线性无关的.亦知r(A) = r(A,fe).
(B)(D)不正确的原因是：由r(A)=n不能推导出r(A,b)=n(注意A是m×n矩阵，m可能
(B) (D)不正确的原因是：由r(A) = n不能推导出r(A ,b) = n(注意4是m Xn矩阵，zn可能
大于n),由r(A)=r亦不能推导出r(A,b)= r,你能否各举一个简单的例子?
大于”)，由r(A) = r亦不能推导出r(A,。)= r,你能否各举一个简单的例子？
至至于于((CC)),,由由克克拉拉默默法法则则知知，，r(rA(A))== n〃时时才才有有唯唯一一解解，，而而现现在在的的条条件件是是rr((AA)) == r r,,因因此此((CC)不)不正正确确..
本本题题答答对对的的同同学学仅仅40%40 ,一—是是不不会会由由r(rA()A )== mm分分析析出出rr((AA,,bb)) ==m ,zw二 ,二是是误误认认为为rr((AA))== n"必必
有有 rr((AA))== nn..
22..【【答答案案】】 DD..
【解析】 因为“Ax=0仅有零解”与“Ax=0必有非零解”这两个命题必然是一对一错，不可
【解析】 因为“仙=0仅有零解”与“Ax = 0必有非零解”这两个命题必然是一对一错，不可
能能两两个个命命题题同同时时正正确确，，也也不不可可能能两两个个命命题题同同时时错错误误..所所以以本本题题应应当当从从((
C
C)
)
或或((D
D
)入 )入手手，，其其中中必必有有一一
个个是是正正确确的的..
[A α] [A a]
由由于于
α
1
1 0
:
. 是
是
n
n
+
+
1阶
1阶
矩
矩
阵
阵
，
,
A
A
是
是
n阶
n阶
矩
矩
阵
阵
，
，
故
故
必
必
有
有
r
r
α
£
1 0
°
. =
=
r (
r(
A
A
)
)
≤ n
n
<
<
n+
n
1
+
. 故
1,
选
故选
(D
(
)
D
.
).
La 0 J La 0 J
3.【解】 将(1,-1,1,-1)π代入方程组，得λ=μ.对增广矩阵作初等行变换，有
3.【解】 将(1,-1,1,-1)T代入方程组，得X= *对增广矩阵作初等
1
行变换，有
λ λ 1
-1 A A 1 0 O- rl 1 λ A A ? 1 1 ○o-
A= 2 2 1 1 1 1 2 2 0 0 —► 0 0 1— 1 — 2λ 2A 1— 1 — 2 λ 2A 0 0 0 0
32+λ 4+λ 4 1 02-2λ 4—2λ 1 1
_3 2 + A 4+A 4 1_ _0 2 — 2A 4 — 2A 1 1_
·178 ·
. 178 .第第四四章章 线线性性方方程程组组
1 λ λ 1 — 1 λ λ 1 0
-1 A A 1 0- 一］ A A 1 0
01—231—2λ 00 01 3 1 1
0 1 -2A 1 - 2A 0 1 0 —A 0 1 3 1 1
3 11 07104λ—2 2λ—1 2λ—1
0 1 3 1 j 1_ _0 0 4A — 2 2A — 1 : 2A — 1_
1 1
1 匚 i 1 o 0- - 1 i , 4 1 2 --— 2 1 ■ ,
— 2 z
( ( I I ) ) 当λ= 2 1 时 时， ，A A → — 01 3 1 1 —
0 13 1 1
00 0 0 0
0 0 0 0 0
因因r
r(
(
A
A
)
) ==r (
r
A
(A
)=
)
2
=
<4
2
,方
<4
程
,
组方程有组无有穷无多穷解多，解其，其全全部部解解为为
1 T
( ,-1,0.1)T
xx ==( 1(,1,- 1-, 11,,1-,1-)1T)+Tk+? (k1 ( , 1 - , 3一,13,,10,)0)? T + +k?龙| 2 (~T 2 1,0,1 ，,其其中中k k , t k ,k ? 2 为为任任意意常常数数..
「 1 1 λ A λ A 1 1 0 O 7 ' -1 1 0 0 - -2 20 0 - - 1 r 7
11 _
当 当 λ A ≠ y2 时 时 ， ,A A→ 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 ——► 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0
0131 1 00211
0 1 3 1 1_ 0 0 2 1 i _
因r(A)=r(A)=3<4,方程组有无穷多解，其全部解为
因r(A) = r(A) = 3<4,方程组有无穷多解，其全部解为
x
x
=
=
(1
(
,
1
-
,
1
—
, 1
1
,
,1
-
,
1
-
)?
1
+
)
k丁(+2奴,-
2
1
,
,
—
1 ,
1
-
,1
2
,
) 一?,
2
其
)L
中其k中为
k
任 为意任意常常数数..
1
( ( Ⅱ 口) )当 当 λ A = = y2 时时，，若若互x?==x?无,由，由方方程程组组的的通通解解，，有有
-1-3k?-k?=1+k?,
——1——3^1——上2 = 1 +加，
知k?=-2—4k
知 k2 =— 2 — 4^1.
将将其其代代入入整整理理，，得得全全部部解解为为
x?=2+3k;,x?=1+k?,x?=1+k?,x?=-3—4k?.
Xi = 2 + 3龙］,Z2 = 1 + 加，^3 = 1 + 加，幻=—3 — 4幻.
或或工x==(2(,21,1,1,1,,- —3) 3+)k丁?+(刈3,(13,,11,,1-,4 —), 4其),中其k中?为kx任为任意意常常数数..
1
当当λ义≠夭号时时，，工2x =?了=x3?知知一-11-—k =&1=+k 1,+即&k,=即-1& .=从—而 1只.从有而只唯有一唯解一(解-1(一,01,,00,,01),17).丁.
2
121
021 7 1
0 03
2
4.【解】 A= 2 『 1, 2 1 ,0 ]= 211 00 ,B== [ [11,,~ 1 2 2-,‘。0 『 ] 2 =2.
1 1 1
1 I 0°_
2
又
X
A
A
2
2
=
=
(a β
(af
?
l
)
T
(
)(
q
a
β
flT
?
)
) =
=
α
a
(
(
β
fi
α a))
p
β
T =
= 2
2
A
A
,所
,所
以
以
::
A?=23A = 8A,
A4 = 23A = 8A,
代代入入原原方方程程，得，1得6A1r 6=A x8=A8xA +x+ 1166xx ++y y,,即即
88((AA— — 22EE))xx= = Y y..
1
- — 1 i 2 1 0 0 0 0 r-1- 1 0 0
T 1 2 0 0
~~2
2 2 -1 — i 0 0 0 0 —► 0 0 1 1 - - 2 2 11
1
1 1 - -2 2 1 1 _0 00 00 00]_
2
T
021
0
0
所 所以 以xx== 。］ ++k』22 , ,& k 为 为 任 任 意 意常 常 数 数 . .
1
1
2
·・ 117799·・-
数学历年真题全精解析·提高篇(数学一)
数学历年真题全精解析•提高篇(数学一)
55..【【答答案案】】
•
DD..
111
1 1 1
1 a a2
【【解解析析】】 | 4 |A |= |= 1 a a2 ==( a-1)(b-1)(b—a), ((是是范范德德蒙蒙行行列列式式))
1 b b2
1 b b2
当当( (
a
a
—
-1
1
)
)
(
(
b
6
-
—
1
1
)
)
(
(
b
6
-
—
a)
a
≠ )夭0,
0
即 ,即a≠ a尹1,b1 ≠,b1尹,且
1,
a且≠
a
b走时
3
，时A,x
A
=
x
b 有
=
唯方有一唯解一，解由，由此此可可排排除除
((AA))((CC))..
当a=1时
当a = 1时
_
1
1
1
1
1
1
；1
r 一
1
1 1
11
1
1r
1 a a2 2 ( (— -1 1 ) ) r) n + + a n 0 a-1 a2-1 1
1 a a2 ;2 0 a — 1 a2 — 1 i
(-1)n+n
L1i b b2 4 (—l)r)+ r3 0 b-1 b2-1:3.3 J
b b2 j 4」 _0 6-1 胪一1
= 1 111r
-1 1 1
0 0 01
0 0 0 i
0 b-1 b2—1 .33
0 5-1 b2 一 1 3.
一
1
］
1
1
1
1
1r
=
11
1
1
1
1r 11
1
1
1
1r
若 若 b 。 = = 1, 1 则 ,则 0 0 0 0 00 1 1 = 0 0 0 0 0 0 1 i —► 0 00 0 0 0 1 i
0 0 b 6 - - 1 1 b2 b2 — 一 1 1 33_ _ 0 0 0 0 0 0 3 3_ 一 0 00 0 0 0 0 0
AAxx= =b 无5无解，解排，排除除((BB).).
【【评评注注】】 可 可经经讨讨论论得得出出，当，a当丈a1≠,》1,尹b≠1,1且,且a时≠b时，A，rA =x=》b有有唯唯一一解解，，其其他他情情形形时时AAxx == *
；b》无无解解.讨.讨论论过过程程如如下：下； ::
" 上上面面已已得得当当a a#≠ 11,6, by≠： 11且且aa≠.bb时时，，AAxx ==b 5有有唯唯一一解解.. "
r aa =
=
1 时 1时，，若若bb≠尹11,,则则 it
ii it
II 一 1 1 1 1 1 1 : 1 r 'I 1 1 1 1 1 1 r
I 11 I 1 1 a a a a 2 2 : 2 2 - ( -(—- - - 1 1- ) ) r-i n - ++ - - r皿 ► 0 0 a a - — 1 1 a W 2 - - 1 1 1 i
(-1)n+n
II
_
1
1
b
b
b
b
2
2
:44.. (—l)ri + ra
_
0
0
b
b
-
-1
1 b
b
2
2 -
-
1
1
1
3
3.
l:
1 1 1 1
ii ri 1 1 in
,
r?*n
rz**r3 0
0
b
6
-
-
1
1
b2胪—一1
1
3
3
H
0 0 0 1
ii 0 0 0 1.
Ii
AAxx= = b b无无解解..
aa ==1 时1时，，若若6b ==1 ,1则,则
1 1 1 1 1 1 r - 1 1 1 1 1 1 1r
0 0 a a - — 1 1 a2 a2 — 一 1 1 1 1 ---► 0 0 0 0 0 0 1 i
0 b-1 b2—1 3 000 0.
0 6-1 b2 一 1 3. 0 0 0 0_
Il AAxx == b b无 无解解..
: 总总之之，，a =a= 11时时AAxx= = b b无无解解..
11 类类似似可可得得。=b1=1•时时AAxx == bb无无解解..
' 当当。a≠尹11且且b6≠尹11时时，，若若aa ==b ,b,则则
~
1
1
1
1
1
1
1r
"1
1 1
1
1
1
1r
0 0 a a - — 1 1 a2 a2 — — 1 1 1 1 ---► 0 0 a a - — 1 1 a2 a — 2 一 1 1 1 1儿
0 b-1 b2—1 3 0 0 0 2
0 b-1 b2-l 3_ 一 0 0 0 2_
AAxx == b b无无解解..
·180 ·
・ 180 -第四章 线性方程组
第四章线性方程组
三三、、公公共共解解与与同同解解
[1£3(（2200222,26,6题题)）【【答答案案】】CC..
【【解解析析】】（
A
(
）
A不)不正正确确.例.如例
A
如
=
A= BB ==0为 O零为矩零阵矩阵时时，,
[nA O]— [~0 o 0o ~
方程组 yy= y ==00显然有非零解.
方程组厂E BB. J E 0八 O.＞ 显然有非零解.
LE LE 」
（(BB）)不不正正确确..例例如如A A== BB= O=为 O零为矩零阵矩阵时时，，
[_E丑 AA ] "I [「 EE O 0 + ~
方 方程 程 组 组 L.O c0 A A B B . J y y = = L O c O 0 O c.V 儿J y = =0 ° 显 显 然 然 有 有 非 非 零 零 解 解 . ・
L
y:
]
Vi
(（CC)）正正确确..设设yy == ,,少y?，,）y2?为为nn维维列列向向量量..
顷y?·」
=
廿 1 「 0 A 8 B ] l 1 y = [「 AA B B ' l[y y: n ] [「 A 细 y ? 1 + + B B y y ? 2 ]
若 右 l_ O O B B . T — L O o Bb. K- L BByy:2 = = 0 0 , ,
y?·
。
则则 AAyji; ++ BByy?2 ==0 0,,BBy‘?2 ==0 ,0所, 所以以 AAyy:】==00,,BBy’?2 ==0 .0.
，
又又因因为为AxA x== 00与与BBxx= =0 同0 同解解，，所所以以AAyy2 ?== 00,BB、yi ;==0 0,,
于于是是 [B B A A ' l y = [B B A‘]](「协y: ] = ]=[rBByy*? + +A a y > ? 2 ] = 0.
0O AA 」 O O A A . 」> y?·2 」 L AAyy? 2
反反之之，，若若 [ ・ B O B O . A A A a . ~] Y y = L _ B 0 B O A A A A ' . 水 ][■ y y? ? · ] ] = [ L B B y y ? } A A + + y y ? A A 2 y J ? 2 ] 」 I = = 0 0 „ ,
则Ay ?== 00,,BByji; +Ay? ==0 ,0所, 以Ay? ==0 0,,BBy/:i ==0 .0.
则 Ay2 +Ay2 所以 Ay2
，
又又由由AAxx == 00与与BBxx= 0=同 0解同解，，可可知知BByy2 ?== 00,AAyyi ?== 00,,
1 =
[ 「AA B8'〕 [「 AA B Bl[y y: n] )r A A y y ? ,+ +B B y y ? 2 ] 1
所以 yv == = = 0.
所以 LOo Bb.J LOo Bb.」 L y , ?· 2 」L B B y y ? 2 J =。・
，( )
c
总总之之，(C)是是正正确确的的..
1
[「 1 1 0° on ] r[o 0 0° 01
((DD))不不正正确确..例例如如若若AA == ,,BB == ，,易易见见ArA =x= 00与与 BBxx ==0 同0 同解解..
00. 1 0
_0 0 — _1 0 —
1
[ r 1 i 0° 01 儿 r 0 o 0 ° on [_ 0 o 0° o]-
AB = =0,
AB = = =0,
L 0 o 0. oJ L . i 1 0 o . J _ 0 0 0. 0-
=
BA = [ 「 0 ° 0 ° 。 ] 1 儿 ri 1 0° on] [ _0o 0°o]- = B.
BA = = =B.
L1i 0o.JL _
o
0 0.
0- _
1
1
0.
0-
=
[A A B B B 矿 '] 厂 00 B']儿yi] [B B y y ? 2 ]-
若若
0 A.
y
y =
=
0 AA. J L^2 - Ay?
==00,,则则 AAyy?=0,0B,yBj?2= 0=, 0y,:y任i 任意意..
.O A. .0 y?· L-如・
= 1
但但
[
-
B B
0 O
A A
B
A
.
A '
B
~ ]
-
y
y =
= [
.
B
O O
B A
B
'
.
[
y
y
?·
: ]
=
[B B y y ; x
B B
+ +
y y :
A A
2
y y ? 2 ]
J
= = [
-
B B
0
y
0
y : T]
-
，,当当B的y;1≠尹0。时时，, [
-
B B
O O
A A A
BB
"]
」
yy ≠
尹
0o..
解解题题加加速速度度
11 ..【【解解】，】(（11)）对芯方方程程组组(（II)的）的系系数数矩矩阵阵作作初初等等行行变变换换，，有有
)「 2 2 3 3 - - 1 1 0 0]] [「 1 1 0 0 - - 5 5 3 3]・
_11 22 11 -1—.1」—1_00 1 1 3 3 —
—
2.
2 -
由由于于nn-r-(rA（)A=）4 =-2 4=2-,2基 =础 2解,基系础由解2个系线由性2个无线关性的无解关向的量解所向构量成所，构成取，x取?,ax?，为了4自为由自变由量变，量所，所以以
·181 ·
・181・数学历年真题全精解析·提高篇(数学一)
数学历年真题全精解析•提高篇（数学一）
β=(5,-3,1,0)?,β?=(-3,2,0,1)是方程组(I)的基础解系.
四=（5, — 3,1,O）T,& = （—3,2,0,1尸是方程组（I ）的基础解系.
(2)设η是方程组(I)与(Ⅱ)的非零公共解，则
（2）设是方程组（I ）与（U ）的非零公共解，则
ntj= =kβ +k?
+
β
.
?
0
=
2
l ?
=
a;
/
+
|O
1?
|
α
+质
:,其
2 ,
中
其
k?
中
,k?
上
与
2
L
与
?,l
Z|
?
,
均
1＞
不
均
全
不
为
全为
零
零
的
的
常
常
数
数
，
,
那么kβ+k:B?-l?a?-l?a? ==0 .0.
那么加 P + k.p2 — hai — l2a2
由由此此得得齐齐次次方方程程组组(（Ⅲ皿)）
人 5k?—3k? —2l? +l?=0,
5"—3^2 —2/j +』2=0，
—3k;+ 2k +L? —2l?=0.
—3&]+2人2 + 1\ —2匕=0，
(Ⅲ)
kk\? -—(（aa+ +2 )2l）/?| -4l — ? 4 = 』2 0 = , 0，
k
k
?
-i
-
—
L ?
1\
-
—
(
（
a
口
+
+
8)
8
l
）
?，2 =
=
0
0
有有非非零零解解..对对系系数数矩矩阵阵作作初初等等行行变变换换，，有有
5 -3 -2 1 1 0 —a—2 —4
-5 -3 -2 1 - ■1 0 —a — 2 — 4
-3 2 1 -2 0 1 -1 -a—8
-3 2 1 -2 0 1 —1 — a — 8
1 0 -α—2 —4 0 2 -3a—5 —14
1 0 — a — 2 — 4 0 2 —3a — 5 — 14
0 1 -1 -a—8. 0 -3 5a+8 21 7
-0 1 - 1 一。一 8_ 0 -3 5a+ 8 21 -
10-a-2 —4
■1 0 —a — 2 — 4
01 -1 -a-8
0 1 —1 — a — 8
00 -3a-32a+2
0 0 —3。一 3 2a + 2
1 0 0 0 0 55 5。 a+ + 5 5 — — 3 3 a a — — 3 3_
当当且且仅仅当当aa ++1 1=0=时。，时r,(rⅢ（n)i）a = 2.
11 a
1 1 ci
1237 101
'1 2 3- ~i o r
235 011
对对(（II)系）系数数矩矩阵阵作作初初等等行行变变换换，，有有 2 3 5 ―► 0 1 1
1 1 2
_1 1 2_ 00 000 ]0_
可
可求
求
出
出
方
方
程
程
组
组
（I
( I
）
)的的通通解解是是工x
=
=
奴
k(一-1
1
,
,
-
一
1,
1
1
,
)
1
T
）丁
.
.
因
因
为
为（
(
-
-
1
1,
,
-
-
1
1
,1
,
)
1
应
）T
当
应
是
当
方
是
程
方
组
程组
(Ⅱ（U )的）的 解
解
，
，
故
故
有
有
-1-b+c=0,
（—1 —。+ c = 0,
1-一22--b胪2 ++c。++11= =0 .0.
解解得得人b==1l,,c c== 22 或或 6b ==0 0,,cc ==1 .1.
当当b。==0,0c,=「1=时 1，时方，方程程组组(（Ⅱfl )）为为
(（ x X ; ） + + x a ? = = 0 0 , ，
[22jx??i++2 2xx?3= = 00..
因因其其系系数数矩矩阵阵的的秩秩为为11,从,从而而（I( I）)与与（(UⅡ）)不不同同解解，故，b故 =b =o0,,cc==1应l应舍舍去去..
当当 aa ==2 ,2b,b= 1=, cl,=c2 =时 2， 时(，I（)1与）(与Ⅱ（U)同）同解解..
44..【【解解】】(（11)）对对方方程程组组(（II) 的）的增增广广矩矩阵阵作作初初等等行 1行变变换换，，有有
一 1 ] 1 1 0 0 - - 2 2 :— — 6 6- -11 000 0-1-|1-2-27'
A 瓦 ?= = 4 4 - -1 1 - - 1 1 — _ 1 1 1 1 —► 0 01 1 0 0 - - 1 1 - -4 4
_ 3 3 - - 1 1 -1 - 1 0 0 3 3 _ 0 00 0 1 1 --22 —-55].
由由〃n-一rr(（AA)） ==4 -43 —= 13, =取 1自,取由自变由变量量为为x了?4.・
令令x乃?==00,得,得方方程程组组（(II）)的的特特解解（一(-22,,—-44,,一-55,,00)）'『,，
令令x勾?==1,得1，得(I（)的I）导的出导组出的组基的础基解础系解系为为(1（,11,,12,,21,1)T）丁.
・
故故(（II)）的的通通解解为为：：xx ==( （-—2,2-,4 —,-45,, 一0)5π,0+）k丁(1+,奴1,12,,11,)2?,1,）k丁为以任为意任实意数实数。.
(（22）)把把（(II ）)的的通通解解 ©x =?=—- 22 ++k k,yxx2? ==-—4 +4 k+, kx,?x=3 -=5—+25 k+, x2&?,=了k4 代=入，代(入Ⅱ（)H整）整理理得得
人(（mm -—2 2)）(（^k —- 44)） ==00,,
< (（〃n-一44)）（(4k —- 44）) ==0 0,,
、t
t =
= 6
6
.
.
由由于于4k是是任任意意常常数数，故，m故 =m =22,,〃 n== 44,"t ==6 .6此.此时时(（DI）的的解解全全是是(（UI）I)的的解解.当.当m m== 22,,〃n ==4 ,4t"==6时 6时，，
易易见见rr（(AA2?） )==r r(（AA?2)）= =3, (3Ⅱ,（ )II 的）的通通解解为为αa+ +kη S形形式式..
所所以以xx= =(-（2_,2-4, ,--45,, 0—) π5,+0k）丁(1+,奴1,12,,11,)2?,1就）丁是就(Ⅱ是（)的II）通的解通，解从，从而而(（II)与）与(Ⅱ（I)I同）同解解..
·- 118833 ·-数学历年真题全精解析·提高篇(数学一)
数学历年真题全精解析•提高篇（数学一）
第第五五章章 将特税征值值与与将特税征⑴向量量
一一、、特特征征值值、、特特征征向向量量的的概概念念与与计计算算
（|
(
（
2
2
0
0
0
0
9,
9
1
,1
3题 3题)【）【答答案案】】 2
2
.
.
【【解解析析】 】因因为为矩矩阵阵
A
A =
=
1
/
的
fa
秩 T的为秩1,为所
1
以 ,所矩以阵矩A阵的
A
特的征特值征是值乙是、a。
a
,
„
0
,0
,
,
0
0
.
.
而本题乙a。就是a1β,故阳的非零特征值为2.
而本题就是a「p,故由『的非零特征值为2.
广.亍=-----------rr----------------------------------------------------------- = = ,---------- r------------ 』
"
【
【评
评
注
注
】
】
若
若
a
α
=
= (
S
a
1
i ,
,。
a
2
?
，
,
〃
a
3
?）)
T
?，,
P
β
=
=(
（
b
缶
?,
，》
b
2
?
，
,
。
b
3
?
）
)
丁
,
，
则
则 "
a?b?a?b?a?b?
,
A=阳1= a;b? a?b? a?b?
La;b? a?b? a?b?
"那那么么 || A E E - A — | A = x | 3=- (Ea ? — b?（Q + 0 a 1 ? b+? 也+a但? b+? 四)λ缶2）冒,而，而 a1 。 β '0 ==β 0α 丁。 ==a : a b ] 6 ? 1 + +a? a b 2 ? b2 + +a?ab 3 ? b3 . .
ii ii
一般地，如r(A)=1,有|λE-Al=x°-Zax?1,则a;=2a?,x?=…=λ,=0.
—般地，如 r（A） = 1,有 | XE — A | = A" —,则万=a„ ,AZ = ,,, = An = 0.:
”本本题题难难度度系系数数00..6 68800.. :
对对于于秩秩为为11的的矩矩阵阵的的特特征征值值公公式式应应当当熟熟悉悉!！
解解题题加加速速度度
11..【【答答案整】'44..
【 【解 解 析 析1】 这 这 是 是 一 一 个 个 基 基 础 础 题 题 ， ， 由 由 特 特 征 征 多 多 项 项 式 式
λ A 2 2 2 = λ A 2 2 2 2
λE-Al= - -2 2 λ 人一 -2 2 2 = - -2 2 λ A — — 2 22 2
2 2 λ—2 0 λ λ
2 2 A — 2 0 A A
λ 2 2 λ 0 2
A 2 2 A 0 2
=λ A — — 2 2 x A — — 2 2 2 2 =λ —-22 入A—-44 22 ==λA22((λA —- 44))..
0 1 1 0 0 1
0 1 1 0 0 1
可可知知非非零零特特征征值值是是;λI == 44..
22..【【答答案案】】 BB..
1
【I 解,析ir 1】 由由 AAαa ==λ Ma, α,a ≠尹0 ,0有, 有A2 Aα2a=λ =A αAA=aλ 2=α冒,。故，·故^3- A A 2 2 α a = = -
3
1 |-A λ 2 2 a a. .
o o
1 1 1 4
即即若若λ4是是矩矩阵阵A4的的特特征征值值，，则则4■2是盲是矩矩阵阵§劣
A2
2
的
的
特
特
征
征
值
值
，
，现
现
义
λ
=
=2,
2
因
,因
此
此
，
，?A
A2
2
有
有
特
特
征
征
值
值§.
.
再
再
利
利
用
用
3 3 3 3
O O O O
若
若
A
Aα
a
=
=
λ
S
α
，
,
则
则
妒
A-'
/
α
=
=
: 1
α
a,
,
从
从而
而(（y 1 A-A22)） -1 1
有
有
特
特
征
征
值
值 3 故
.故
应
应
选
选(
（
B
B
)
）
.
.
λ 3 4
· 184 ·
・184・第五章 特征值与特征向量
第五章特征值与特征向・
或或者者，，(
(§
1 A-A22)
「
-1
αa ==3 3(A(A-'T)2)2αa,,由由;λI == 22是是AA的的特特征征值值，，知知
1
!是是A41点的的特特征征值值，，于于是是
1
!是是((AA?"11))22
3 2 4
\ o / Z 4
的的特特征征值值，，亦亦知知应应选选((BB))..
3
3
.
.【
【
解
解
】
】
(
(
I
I
)
)
由
由
A
A =
=
qβ
邱
和
「和
a1＜1β
邛
=
=
0,
0
有
,有
A
A
2
2
=
=
(a β
(af
?
t
)
'
(
)
a
(a
β
^
T
'
)
)
=
=
α
a
(β
(/
α
a
))p β
T
?
=
= 0
O
a
a
β
fl’
? =
=
0
O
.
.
，
((口Ⅱ))设设;λl是是AA的的任任一一特特征征值值，iηj 是是AA属属于于特特征征值值λ人的的特特征征向向量量，，即即AA
tj
n ==λ加n,项η尹≠00..那那么么
A2n=λAη=λ2η.
A2q = AAtj = A2t|.
，
因因为为 AA2==0O,故, 故2ηEt =
j
0=, 又0,因又n因≠rj0^,O从,而从矩而矩阵阵A的A特的特征征值值是是λ义==0(0n3重重根根))..
不妨设向量α,β的第11个分量a?≠00,,b?≠00..对齐次线性方程组(O(EOE-A-A))xx ==0 0的系数矩阵作
不妨设向量a,P的第 个分量句丈 缶丈 对齐次线性方程组 的系数矩阵作
L 7
初初等等行行变变换换，，有有
-a;b?-a?b?…—a;b。 b? b?… b。
—a\b~ 缶•.. "
-a?b?—a?b?…-a?b。 0 0 … 0
0E-A= : : —a …** 2b„ —► 0 0 -・・ 0
-a,b;-a,b?…-a,b。 0 0 … 0
—anbn_ _0 0 ・.. 0_
得到基础解系
得到基础解系
m.=(-b?,b?,…,0)?,n?=(-b?,0,b?,…,0)?,…,η-i=(-b.,0,0,…,b?)T.
m = (— b2,61 »,,, »0)T ,tj2 = (— b3,0,6),••• ,0)T ,…，tfl = (― 6„ ,0,0, )T.
于于是是矩矩阵阵AA属属于于特特征征值值;λi ==00的的特特征征向向量量为为
k?ni+k?η?+…+k1η-1,其中k,k?,…,k。;是不全为零的任意常数.
k} J/1 +幻可2 ------F ，其中加，奴，…以 I是不全为零的任意常数.
、二相相似似与与相相似似对对角角化化
1
一
1
］
11
1
…… 1
1 一 一
0
0
…
- ・
0
0
1
1 ■
1 1… 1 0 … 0 2
0
2
(2
(2
0
0
1
1
4
4
,
,
2
2
1
1题题))【【证证明】明 】记记
4
A
=
= 1 1 •.. : 1 ,B
=
= 0 - - : 0 2
**出
_ 1 1 1 1 … ... 1 1 _ _00 …. - 00 nn _
因因AA是是实实对对称称矩矩阵阵必必与与对对角角矩矩阵阵相相似似..
由由 || λAEE—-AA| |= =λ A”" -- nnA~"1-1= 0=, 知0,知A的 A 特的征特征值值为为n ”,0，0(n3-—1 个1 个).).
n
0
“ 〜 0
故故 AA～AA == . .
0
. 0.
又又由由|| λAEE —-BB| =|=(λ (A-n-7)iλ)A°^' 1==0 0,知,知矩矩阵阵BB的的特特征征值值为为nn,,00((nn--1 1个个))..
当当 λA == 00时时，,r(r0(EO-EB-)B )== rr((BB)) ==1 1,,那那么么 nn--rr((OOEE--BB)=) n=- 1»,-即1齐, 即次齐方次方程程组组((O0EE—~BB))xx ==
00有有n
n
-1
-
个
1
线个线性性无无关关的的解解，，亦亦即即
A
λ
=
= 00时时矩矩阵阵BB有有n-” 1一个
1
线个性线无性关无的关的特特征征向向量量.从.从而而矩矩阵阵BB必必与与
对对角角矩矩阵阵相相似似，，即即
n
0 ,
0
B～A=
B〜A =
0
0
从从而而AA和和BB相相似似..
· 185 ·
-185 -数学历年真题全精解析·提高篇(数学一)
数学历年真题全精解析•提高篇（数学一）
L = - = = = = = = - = - = 了 = 「-T -|
〜 〜
"II 【【评评注注】 】因 为因A为AA～,A故,故存在存可在逆可矩逆阵矩B阵使P?P使7 PA'PA, P=?= AA,,又又因因 BB～AA,故, 故存存在在可可逆逆矩矩阵阵“II
"PP22 使使 PP?jB'PBzP ?==
一
AA,, 于于是是 PPi ''AAPPt ?==P月?''BBRPn?P→zPH?'AP1PAi 月P?"P=1=BB.,令令 P P== PP?1,,即即有有 P P' A'PA P== BB.."
: 难度系数 0. 382,0. 354,0. 368. :，
难度系数0.382,0.354,0.368.
I_________________________________________________________________________________________J
3(2016,5题)【答案】 C.
0（2016,5题）【答案】C.
【解析】 由已知条件，存在可逆矩阵PP使P-1AP = B.那么
【解析】 由已知条件，存在可逆矩阵 使P AP = B.那么
B1=(P1AP)π=PA(P1)=P11ATP,
B[ = CP-'APy = PtAt（P~' ）t = PT'AtP,,
其其中中PP?| ==(p （Tp)T-）'T,即,即ATA与TB与π相相似似，，(（AA)正）正确确..
BB1 1= (=P -（p1-A'AP)P-）-1' ==P 1pA--'A1(TP（-p1T)）-T1 ==P 1A-'PP,,
即BP AA1-和' 和B1B相-‘似相，似(，B（B)正）正确确..
又
又
PP1"(（AA++AA1i ）)PP == PP1'AAPP++PP 1A'P=B+B1,
「 A P = B + B~},
即BP AA+ 4A- ′A"和1 和B +BB +′ B相 ' 似相，似(，D（D)正）正确确..
从从而而应应选选(（CC)）..
1
12”] [11"
， 「1 21 「1 11
特特别别地地，AA==[o
0 1.
J与
与
BB=="
0 1.
J相
相
似
似.
.
[22°] 21']
「2 21 「2 11
但但A A + + A A T T = = 22. 与 与B B + + B B T= = .12. 不不相相似似..
-乙 乙— —1 乙—
(2017,6题)【答案】 B. 7
Q（2017,6题）【答案】B.
00 0
0 0 0 _
【【解解析析】 】对 矩对阵矩A阵, 特A,征特值征为值2为,22,,12.,由1.2由E2-EA- A== 0 0 0 0 - - 1 1 知 知 其 其 秩 秩 为 为 1 1 . .
00 1
0 0 1 _
齐齐次次方方程程组组（(22EE -—A A)x）x= 0=有 02有个线2个性线无性关无的关解的，解亦，亦即即λ义= =2有22有个2线个性线无性关无的关特的征特向征量向，量，所所以以
A～〜C
C
相相似似..
0-107儿
0 一 1 0-
，
对对于于矩矩阵阵HB,特特征征值值为为2,22,,21,.1由.于由2于E2-EB-B== 0 0 0 0 0 0,，故故其其秩秩为为22..
001
0 0 1
齐齐次次方方程程组组（(22EE--BB)x）x= 0=只 0有只1个有线1个性线无性关无的关解的，解亦，亦即即λ人==2只2有只1有个1线个性线无性关无的关的特特征征向向量量，,
BB不不能能相相似似对对角角化化..故故应应选选(（BB)）..
■5(2（021081,85,题5题)【）【答答案案】】 AA..
【【解解析析】 】这这55个个矩矩阵阵特特征征值值都都是是11,1,1,1,1且且都都没没有有3个3个线线性性无无关关的的特特征征向向量量，，即即都都不不能能相相似似对对角角
1
4110°
1 0
011
化化..对对（(BB)）(（CC)）(（DD)）选选项项，,Aλ == 11都都是是有有2个2个线线性性无无关关的的特特征征向向量量，，而而 0 1 1 与与（( A A) ） 对对人λ==1 1 都都只只
001-
0 0 1
有有11个个线线性性无无关关的的特特征征向向量量，，所所以以选选(（AA).）.
1
1 1 0
1 1 0~ )
010
【【评评注注】 】如如P尸 == 0 1 0 ,,则则
001
L 0 0 1 1
1 10 1-10 110 110° = 11-1
1 1 0- 1 -1 0 1 1 01E 1 「1 1 一 11
p P - ~ 1 l 0 0 1 1 1 1 P P = 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 01 1 0 0=0 01 1 1 1 ,,亦亦知知选选(（AA)）..
0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 00 0 1 1 0 0 0 0 1 1
IL J
·
• 1
1
8
8
6
6 ·・第五章 特征值与特征向量
第五章特征值与特征向量
(2022,5题)【答案】 AA..
0(2022,5题)【答案】
【
【解
解
析
析
】
】((A A)
)
当
当
AA有
有
3个
3
不
个
相
不
等
相
的
等
特
的
征
特征
值
值
时
时
，
,
AA的
的
属
属
于
于
这
这
3个
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特
特
征
征
值
值
的
的
特
特
征
征
向
向
量
量
是
是
线
线
性
性
无
无
关
关
的的，，所所以以AA可可对对角角化化..
(B)AA有3个线性无关的特征向量是AA可对角化的充要条件.
(B) 有3个线性无关的特征向量是 可对角化的充要条件.
111
1 r
(
(
C
C
)
)
不
不
正
正
确
确.
.
例
例
如
如 AA== 0
0
1
1
0
0
,
,&
5 =
=
( 1
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,
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,
,
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,
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5:
=
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1
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，
,
—
-
1
1
尸
)1
，品
,5
=
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1
1
,
，1
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，
,
一
- 1
1
)
)丁
是
是
AA的
的
001
0 0 1.
两两两两线线性性无无关关的的特特征征向向量，量但，是但A是不A可不对可角对化角(因化为(因义=为λ1是=14是的A的33重重特特征征值值，而，r而(Er-(AE-)A )== 11,,
((EE-—AA))xx= 0=的 0解的空解间空间维维数数为为22))..
1007
■1 0 0一
(D)不正确.例如A= 023 ,,AA的特征值λ;=1,对应的特征向量为5=k;(1,0,0),
(D) 不正确.例如A= 0 2 3 的特征值A, = 1,对应的特征向量为& = "(l,0,0)T,
002.
.0 0 2.-
((k加?夭≠ 0 0) ). .心λ=?=λ A：( ? = = 2 2 , , 对对应应的的特特征征向向量量为为5&: ==k?蜘(0(, 0 1，, 1 0，0 ))T ' , ' ( '(k蜘?≠丈0) 0 .).
易易见见与冬，正5正交交，，但但4A不不可可对对角角化化(因(因为为(2(E2 —E-AA))xx ==0 的0 的解解空空间间维维数数为为1)1.).
解解题题加加速速度度
1
1..【【答答案2.
口
-
[
「「 [■ 1 1 0 0 k k' 「3
【【解解析析】】由由于于aβpT1 == 1 [[11,,00,,妇k]== 1 1 0 0 k k , ， 那 那 么 么由 由 碎 φ T ～〜 0 0 知知它它们们有有相相同同的的迹迹..
LiJ
1 10 k. 0
_1 0 k_ _ 0_
故故：：1+10++0 +龙k==33 ++0 0+ +0 ,0所,所以以 kk ==2 .2.
22..【【答答案案】】 BB..
1 00° 110尸
'1 1 0-
【【解解析析】 】(A)不正确.例如若P= 1 10 ,Q= 0 0 1 1 0 0,，则则
001. 001
.0 0 1.
1
100° 1 0 071 110° 110
1 0- ■1 1 0-
=
A = PAQ= 110 0-10 01 1 0 0 = 1 1 0 0 0 0
001- 001 000-
0 0 0] 0 1_ 0 0 0_
1-λ 1 0
A-λE|= 1 -λ 0 =(-(—λA)) ((Ax22 ——-λA ——-11)), >
0 0 —λ
AA的的特特征征值值不不是是11,,-一1,10,0..
((BB))是是正正确确的的..因因为为AA ==P APPA-P1 与'与A相A似相，似所，所以以A与AA与的A特的征特值征相值同相，同是，是1,-1反,0;反之之，，若若AA
的的特特征征值值是是11,, -一1 ,10,,0因,因为为A的A特的征特值征两值两两不两同不同，，所所以以AA可可以以相相似似对对角角化化，, AA的的相相似似标标准准形形为为AA..
1 1 0
[-1 1 0'
,
((CC))不不正正确确..((CC))是是A A 的的特特征征值值为为11,,- 一1, 01的,0充的充分分条条件件，,不不是是必必要要条条件件..例例如如AA == 0 0 - -1 1 1 1
0 00
0 0 0.
AA的的特特征征值值为为λA ?== 11,,xA?2 ==-一1, λ1,义?3= 0=, 对0,应对的应的特特征征向向量量分分别别为为
5&= (=1 ,(l0,0,,00))?T,,&5 ==( 1(,1-, 2一, 20,)0?)T,,5&? ==( -(-11,,11,,11))T..
· 187 ·
.187 .数学历年真题全精解析·提高篇(数学一)
数学历年真题全精解析•提高篇（数学一）
55,与，&不不是是两两两两正正交交的的，所，以所不以可不能可是能正是交矩正阵交。矩，使阵AQ ,=使 QAA=QQA Q-即'(Q即'AQ1QA Q== AA)）..
1 00” 1007
0 （T n 0 0-
,PT =
(（DD)）不不正正确确..例例如如PP == 0 0 2 2 0 ° ,祁= 0 0 2 2 0 0
003 003.
_0 0 3_ _o 0 3.
10 0 07 P 1 0 0 0 0 7 - 一 1 1 0 0 0 0 尸 - 一1 0 0 07 0 尸 - ,
A A = = PPAAPP t T == 0 0 2 2 0 00 0 - -- 1 1 0 0 0 0 2 2 0 0 三= 0 0 - -4 40 0
0 0 0 0 3-3」|_00 0 0 00]_ 00 ( 0 0 3 3_ 0 0 0 0- 0_
AA的的特特征征值值不不是是11,,-一1,1,00..
三
三
、
、关
关
于
于
相
相
似
似
时
时
可
可
逆
逆
矩
矩
阵
阵PP
7
0
(2
（2
0
0
1
1
5
5
,
,2
2
1
1
题
题
）
)
【解
【
】
解
（
】
I
(
）A
I )〜A～
Bn
B
2
→
a
Z
„
a ?
=
= 乙
£b
6
*
.
,
, 1
| A
A |
|
=
=
|
|
B
B
| ,
|
得
,得
0+3+a=1+b+1,
JO + 3+a = 1+6+1,
2a-3= b,
12a — 3 = b.
解解出出 qa ==4 ,4,b6= = 5 5..
λ-1 2 0
A- 1 2 0
0 λ-5 0
(（ⅡH）)因因为为A A〜～BB,,|AIλE—EA-A| |== ||AλEE--BB|| == 0 A-5 0 =(λ（人-一5)5(）λ（人-一1 1)）22,,故故得得AA
0 —3 λ—1
0 -3 A-1
的的特特征征值值：：1
1
,
,
1
1
,
,
5
5
.・
对对 Aλ == 11,,由由（E( E—- AA）)xx == 00,,
1 -2 3 1-237
-1 —2 3 " "1 -2 3一
-2 3
1 -2 3 0 0 0
1 2-3-
-1 2 -3_ 0 0 0_
一
得得基基础础解解系系％a ?== (（22,,1l,,00）)T?,,aa2 ?== (（-一3,30,0,1,1)）?丁,,
对对义λ==55,,由由（5(E5 —E- AA）)xx == 00,,
5-237 123 10
~ 5 -2 3~ -] 2 3] -1 0 1
1 23 011 011
1 2 3 0 1 0 1 1
—>
oj
000
_一1 2 1. 0 0 0 0 0_
得得基基础础解解系系。3 α
=
? =
（-
(-
1
1
,
,
-
-
1
1,
,
1
1
)
）T
.
. 1 1
—r
2-3-1 [1
- 2 -3 _1
令 令 P P = = [ a [ j 。 , 1 0 a 2 ? , 0 a 3 ? 〕 ] = = 1 1 0 0 - - 1 1 有有 PP- 1AAPP == AA == 1 1
0 1 1 5
_0 1 1 _ 5_
pr-- = = = = = - = = = -- = = = = - = - = = = = = = - = = - = = = = = --= = - = = - = = --^
] 【【评评注注】】 本 本题题难难度度系系数数00. .554400,,00. .446633,,00.. 551133..
·□
08(2（021061,62,12题1题)【）【解解】】(I（)I由 ）A的由特A征的多特项征式多公项式众
λ 1 —1
A 1 一 1
EI A-EA-A| |= = - -2 2 λ A + +3 3 0 0 ==λA(（Ax ++1 )l(）（λA ++2 2)）,,
00 00 入A
得得AA的的特特征征值值为为00,, -—1 ,1,— —22..
·188 ·
・188・第五章 特征值与特征向量
第五章特征值与特征向量
对对;λI == 00,,由由(O(0EE-A-A)x) x== 00
1
1
0 1-1 20-3
-0 1 - r •2 0 -3-
-23 0 01-1
-2 3 0 ―► 0 1-1
0 0 0 00 0
_ 0 0 0 . 0 0 0 _
得得基基础础解解系系(（或或特特征征向向量量)）γ为?==(3(,32,,22,)2π)丁.・
对对 Aλ ==—- 11,,由由(一(E- E—- AA))xx ==00
-11-1 1-107
-1 1 - r -1-1。-
—2. 2 0 0 0 1
-2 2 0 —► 0 0 1
_ 0 0 0 0 - - 1 1 . _00 00 00].
得得基基础础解解系系(（或或特特征征向向量量)）％γ ?==(
（
1
1
,1
,1
,0
,0
)
）
T
1
.
对对 Aλ ==--22,,由由（一( 2-E2 —E- 4A）)xx == 00
-2 11 -1 -2107
-2 -r 一一2 1 0-
-21 0 0 01
-2 1 0 —► 0 0 1
_ 0 0 0 0 — - 2 2 . _ -00 000]0.
a 1
得得基基础础解解系系(（或或特特征征向向量量)）为γ?==(（11,2,2,0,0)）7七.
311r
■3 1 ■0 -
令 令 p P = = [ n E , r y i， ? 处 , ， r?] = = 2 2 1 1 2 2 ，,有有广PA1PA P== AA == - -1 1
9
200- e1 -2.
_2 0 o_ _ -2_
3 1 1 0 0 1
■3 1 1"| p -r 0 0 1 '
1
那那么么 P-P'A1,A9P' P== AA"' ,,AA9 ==PPAA"gP p--i1 ==2 2 1 1 2 2 ((—-11))”" I 2 44 -—22--44
. 2 2 0 0 0 - Oj _ 1 ((—一 22))9g」L--22 22 11 .
-2+2" 1—2"2—2°
=
■-2 + 2"
-2+21001—21°°2—2”
—2 + 2100
0 0 0
. 0 0 0
((ⅡH))因因 BB2 2== BBAA,,知知仔B3==BB((BBAA)) ==B 2BA2A= B=A 2B,A归2,归纳纳得得
--2+2”1—2” 2—29
2 4- 2" 1 — 2" 2 — 2虹
B1=BA”=[a?,a?,a?] -2+21001—21002—2°
B，。。= BA"=［皿血血］-2 + 2】。。1 - 2100 2 - 2"
0 0 0
. 0 0 0 .
=
=
[(
［
-
(
2
—
+
2
2 "
+
)
2
a;
"
+
*
( -
+
2+
(
2
-
1
2
0
+
°
2
)
'°
a
°
, )翊(1，-(2
1
”一) 2卯α)?⑶+
+
(1
(
-
1
2
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1
2
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'°°
)
)
α城?，,((
2
2
-
- 2
2
"
"
) )外a;++((2
2
-
-
2
2
"
9
)
9
a
)
:皿]］.,
所以β=(-2+2")a?+(-2+210)az;B=(1-2”)a?+(1—21°")a?;
所以& = (- 2 + 2")O1 + (- 2 + 2100)a2 ；Pz = (1-2")01 +(l-2100)a2；
离& ==( 2(-22 -* )2a98?)+O(1 2+—(22”-2)"α)?a.2.
— — — — — — — — — — = — — — — — — — — — = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = _
【【评评注注】】 本本题题难难度度系系数数00.. 223366,,00..116611,,00..221122..
--J
IL ==二二二二二二二 = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = ====二二-二二二=二二=
0
9
(
(
2
2
0
0
1
1
9
9
,
,
21
2 1题题)【)解【】解(】
I )
(因I )
4
因 〜A
B
～ ,有B,、有
a*
Z a=.=、26弗.，,1
I A
A |
|
=
=
|
|
B
B
1.
x-4=y+1,
即厂4 =、+1,
即
4x-8=-2y,
(4x — 8 =— 2y9
解解得得 xx == 33,,、y==-—2 .2.
((口Ⅱ))因因 || AλEE--BB ||==( λ(A--22))((Ax ++1 l))((Aa ++2 )2,),
矩矩阵阵BB的的特特征征值值为为22, ,—- 11,,-一2.2.
·・
1
18
8
9
9
·・数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析·•提提高高篇篇(（数数学学一一)）
又又AA～〜BB知知A4的的特特征征值值为为22,, —- 11,,--22..
下下面面分分别别求求出出矩矩阵阵4A和和BB的特的征特征向向量量：：
4 2 -1 2107
-2-1 2 001
由(2E—A)=
0 0 4 000
得λ=2的特征向量a;=(1,-2,0),
1 2-1 貌 1207
由(-E-A)= -2-4 2 001
0 0 1 000
得λ=-1的特征向量a?=(-2,1,0),
r° 2 2 -1一7 r 「 2 2 1 1 .0 0 一
由由((一- 22EE —— AA))== - - 2 2- - 5 5 2 2 —► 00 22-_1 1
00 0
, 0 0 0 _ 「0 0 0 _
得得Aλ ==—- 22的的特特征征向向量量a3 a=? =((1,1 —,- 22, ,—- 144))T,,
1-2 1 2
-1 -2 1 - -2
-21-2 -1
令令 PP?i ==[ a[ja·i 血a?，,。a3?〕]== -2 1 -2 ,，有有 PP\[' AAPP?=A= _ 1
1 = A =
0 00 -4 —2—
.0 0 -4. -2.
对对矩矩阵阵B
B
,
,
由由((22EE--BB))xx= =0 得0 得λ;=I 2=的 2 特的征特征向向量量β 0= (=1 ,(10,,00,)0?)T,,
由由((―-EE- —B )Bx)x= 0=得 0λ 得=人-=1的—特1 的征特向征向量量β f=i2 (—- 1(,―3 ,1,03),0π)T,,
由由((一- 22EE -—B B)x)x= 0=得 0λ得=入-=2的—2特的征特向征量向β量氏=(=0,(00,,10),1π)T,,
1 -10° 2
1 一 1 o- 「2
令 令 P?=[β,'B0·2B]== 0 0 3 3 0 0 ，,有有 P?'BP=? =AA == 气 - -1 1
P2 = LP1
0 0 1. —2.
0 0 1. _ -2_
于于是是 PPf' AAPP?, ==P? P1^B PB?P,2得，得P ?PP^T1 AAPP?.PP?^1' == BB..
7
令令PP= =P ?P?1,，则则有有PP1 AAPP= -B .B其.其中中 J_
)
T1 1
1 _-_1_ ]
_
1
1 -2
-21
1 一
11 3 00 = 1 ~~33 1 1
P=P.P-1= -21 -2 1 1
p = PE —2 1 -2 0 0 j_ 0 0 = — -2 2— - -2 2
3 3
T
-00 00 —~44]_
001 0 0 -4
0 0 i_ _ 0 0 -4_
一= «■» = _ _
L 由于特征向量是不唯一的，因此可逆矩阵P是不唯一的.本题Pl中，如用-a?替:
II
【【评评注注】】 由于特征向量是不唯一的，因此可逆矩阵P是不唯一的.本题P?中，如用一a:替
1 1 1 II
一 1 1 1 1 u
换换，，可可得得PP == - — 2 2 - -1 1- - 2 2 ;；PP?2中中，，如如用用3
11
1 β替2替换换，，PPz?就就是是初初等等矩矩阵阵，，求求PPT?1是是不不是是直直接接有有:II
O
0 0 —4.
_ 0 0 一4. it
I: II
「公公式式了了?？
II it
皿①(（22002200,,2211题题)）【【解解】】（(II )）因因αa≠夭00且且αa不不是是AA的的特特征征向向量量..于于是是AAαa≠^kkga,,从从而而αa与与AAaa不不
共共线线，，即即。α，&,A a线线性性无无关关，故，故P P== (（aa,,AAaa)）可可逆逆..
· 190 ·
・190・第第五五章章 特特征征值值与与特特征征向向量
・
或或(（反反证证法法)）若若PP不不可可逆逆，，有有
I I = I
|PP| =|aa,^AAαa l1==00,,
。α与与AAαa成成比比例例，，于于是是AaA a==k初ar.・又又α。≠尹00知知αa是是A的A特的特征征向向量量与与已已知知条条件件矛矛盾盾..
（ (Ⅱ II） )（(方方法法一一） ) 由 由 A2 A a 2 a + + A Aα a — - 6 6 α a = =0 0 有 有A 2 A α 2a = = 6α 6a — — Aα Aa , ,
AP=A[a,Aα]=[Aα,A2α]=[Aα,6α—Aα]
AP = A[a,Aa] = \_Aa »A2a] = [Aa ,6a — Aa]
1
[0 6
·
=[a,Aa] 1-1
r
因P可逆，于是
因P可逆，于是
[06
P1, AP= ro 6 i ·
r P^}AP = 1-1 ・
-1 — 1 -
[0 6 λ —6
记8= ° & ，而 | AE — B | = " = A2 + A — 6 的特征值为2,— 3.
记B= ,而|λE-B|= =x2+λ-6的特征值为2,—3.
1 —1. -1 λ+1
-1 — 1」 一1 A + 1
于于是是AA有有2个2个不不同同特特征征值值，，从从而而AA可可相相似似对对角角化化..
((方方法法二)二 )因 A因2 +AA2+-6AE-6 =E =((AA--22EEX)A(A ++ 33EE)) ==( (AA+ +3 E3)E() (AA- -2 E2)E,),
由由 A A 2 2(i α ++ AAaα — -66a a== 00,,即即((妒A 2++ AA -—6 6EE))αa ==0 0,,
于于是是((AA--22EE))((AA ++3 3EE))αa ==0 0,,
即即((AA —- 22EE)) ((AAax ++3 3aa))= = 0 0,,
即即 AA((AAaα ++ 33aa)) == 22((AAaa ++3 3a)a,),
由由αa不不是是特特征征向向量量，知，知AaA +a+ 33。a≠关00..
从从而而λA ==2 2是是A的A特的征特值征，值,类类似似有有λA ==--3是 3特是特征征值值.下.下略略..
解解题题加加速速度度
11..【【解解9 】Q(I)）因因为为AA和和对对角角矩矩阵阵BB相相似似，，所所以以-一1 ,12,,2y以就就是是矩矩阵阵A的A特的征特值征值，，由由
λ+2 0 0
A + 2 0 0
EI a - £-A a l | == - -2 2 λ A - - x x — -2 2 = = (λ (A + +2 2 ) ) [[人x之2 — -( ( x x + + 1 ) 1) λ A + +( ( x x - — 2 ) 2 ] )] , ,
-3 -1 ?—1
-3 -1 A-1
知知λA ==—-2 2是是A的A的特特征征值值，，因因此此必必有有y y==—-2 2..
再再由由 Aλ = =22 是是 AA 的的特特征征值值，知， | 2知E|-2AE -|=Al 4=[422[ -222-(x2(+xl+)1 +) +((xx--22))]] == 00,,得得 ix ==0 .0.
— - 2 2 0 0 0 0] [7p-~1l
202 2
((ⅡH))由由于于 2 0 2〜 2
.33 11 11J _ -2.
-2.
对对义λ==—-1
1
, ,由由
(―
(-
E
E
—
-A
A
)
)
x
x
=
=
0 得
0
得特特征征向向量量
a
a
i
?
=
= (
(
0
0
,
,
-
—
2
2
,
,
1
1
) )丁,，
对对人λ==2
2
,
,
由由( (
2
2
E
E
—
-A
A
)
)
x
x
=
=
0得
0
特得特征征向向量量a。?
2
=
=
(0 ,
(0
1
,
,
1
1
,1
)
)
?
T
,
,
对对 λ
A =
=—-2 2,,由由((一-2
2
E
E
-
—
A )Ax)x= 0
=
得
0
特 得征特征向向量量a ?a=
3
(
=
1 ,(01,,0-,1 —) π1)丁..
0 0 1
-0 0 1
那那么么，，令令 PP ==[ [a。?1;,α%? ， ,aa3?〕]== - -2 21 1 0 0 ,，有有 PP~1 AAPP= = B B..
1 1 -1
_ 1 1 _ 1
·191 ·
・191・数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析·•提提高高篇篇((数数学学一一))
22..【【解解】 】 由 由矩矩阵阵4A的的特特征征多多项项式式
λ—3 —2 2 λ-1 —2 2
A — 3 — 2 2 = A-1 -2 2
|λAEE--AA || == k k λ A + + 1 1 — -k k = 0 0 A λ + + 1 1 — 一 k =( ( a A - — 1 ) 1 ( )( a A + + 1 ) I 2 )2 , ♦
-4 -2λ+3 λ-1 -2λ+3
-4 -2 入+ 3 A-1 -2 A + 3
得得到到矩矩阵阵AA的的特特征征值值为为11,,一-11,,-一11..
由由于于AA～〜AA,那,那么么λ人==-一1 时1时，，矩矩阵阵AA必必有有22个个线线性性无无关关的的特特征征向向量量，因，此因n此-rn(--rE(--EA-A)) ==22,,
即即 rr((—- EE —-A A)) ==1 .1 求.求出出 kk ==0 .0.
当当入x==1时1时，，由由((EE —-A A))xx= 0=得 0特得征特征向向量量aa?】=(=1(,10,,01,)1T)丁,，
当λ=-1时，由(-E-A)x=0得特征向量a?=(-1,2,0)T,a?=(0,1,1)T.
当 A =— 1 时，由(一E —A)x = 0 得特征向量 a2 = (— 1,2,0)丁，皿=(0,1,1)T.
□
1-107尸 1
,。 1-10- ■1 _
02 1 -1
那那么么，，令令 PP=[a?,az2,，。a?〕]== 0 2 1 ，,有有 PP--lA1APP == -1
= [di 3
1 0 1. —1.
_1 0 1_ _ 一1_
33..【【解解】】 ( (II))按按已已知知条条件件，，有有
AA[[aa?i ,,a。?,,。α〕?]== [a?+α?++α。?3,，22aa2? ++αa3?,,22血a ?++ 33aa?3]]
2 3 +<»2
11000(T]
,
=[a?,αz,a?] 1 2 2
=，。 ，口 〕12 2,
2 3
1 -1 3
_1 1 3_
1
1007
-io。- ・
所所以以矩矩阵阵 8 B = = 1 1 2 2 2 2.
113.
_1 1 3_
((Ⅱ口))因因为为a③?,，α如z，,。a3?线线性性无无关关，，矩矩阵阵C C== [3aj, ,a?皿,α血?]]可可逆逆，，所所以以CCT11 AACC == BB,,
即即AA与与BB相相似似..由由
λ-1 0 0
A-1 0 0
-1 λ-2 -2
|I AλEE--BB ||== -1 A-2 -2 =(λ-1)2(λ-4)=, (A-l)2(A-4),
-1 -1λ-3
-1 -1 A-3
知知矩矩阵阵B8的的特特征征值值是是11,,11,,44..故故矩矩阵阵AA的的特特征征值值是是11,1,1,,44..
(Ⅲ)对于矩阵B,由(E-B)x=0,得特征向量η?=(-1,1,0)T,η?=(-2,0,1)T.
(DI)对于矩阵 B,由(E-B)x = 0,得特征向量* = (一 1,1,0)丁，现=(一2,0,1)\
由由((44EE —-BB))xx= 0=, 得0,特得特征征向向量量μ ％? ==( 0(,01,,11,1))?T.. 7
"1 - ■[11 ,
那那么么令令P?=[η，,邛η，邛?,〕]，,有有 P1BP?== 1 1 ,，从从而而 P?C1"C-1 1AACCPP]?== 1 1
Pl =[0 2 3 [
【
4 4
_ 4. 4_
-1-207
r-1 -2 oi
故 故当 当 P P= = C P C ? P = 】 [ = a; [ , a α 】， ? a2 , a ,。 ?] 〕 1 1 0 0 1 1 = = [ [ - ― a a ?+ 】+ α 。 ?,，- 一 2 a 2。 ? 】 + + a? 皿 ,a，a ? 2 + + a? % ]时 ]时 ， ，
3 2
0 1 1
_ 0 1 1_
[
1 -
·
P-1AP= 1
= 1 .
4
_ 4_
·192 ·
・192・_
第91五五章章 特特征征值值与与特特征征向向量量
四四、、实实对对称称矩矩阵阵
[(H20(1200,160题,6)题【)【答答案案】】 DD..
【【解解析析】】 这 这是是一一道道常常见见的的基基础础题题，由，由AaA a== λAaa,,αa尹≠00知知AA"α"a ==λ'泌αa,,那那么么对对于于
A
A
2
2
+
+
A
A
= O
=
→
O
(
=>
x
(
2
A
+
2 +
λ
A
)
)a
a =
=
0
0
→
=>A
x
z
2
+
+ ?人==0
0
,
,
所所以以AA的的特特征征值值只只能能是是00或或一-11..
再
再
由
由
A
A
是
是
实
实
对
对
称
称
知
知
必
必
有
有
A
4
～〜A
A
,而
,而
A的
A的
对
对
角
角
线
线
元
元
素
素
即
即
是
是
A
A
的
的
特
特
征
征
值
值
，
,
那
那
么
么由
由
r
r
(
(
A
A
)
) =
=
3 可
3可
知
知
(D
(D
)正
)正
确
确
.
.
|p- = - = = = = = -- = -- = = = = = ~ = = - = ~- -~;s- = ~ = iS = ~ = = = = = S!- = ==i|
•' 【【评评注注】 】 本 本题题难难度度系系数数00..777755.. "
--=J』
■12((22001111,,2211题题))【【分分析析】】 本本题题未未给给出出具具体体的的矩矩阵阵AA,又,又需需要要求求A的A特的征特值征、值特、特征征向向量量，，应应当当考考
r
虑用定义法Ag=λa,α≠0来推理、分析、判断.
【解】(I)由r(A)=2知|Al=0,所以λ=07是A7的特口征P 值，又
乙
厂 1 -1] 1 =
=一
=
A 0 0 0 ,A 0 0
—1. 1 一1. 1 1
所所以以按按定定义义；I λ
=
=
1
1是是A
A
的的特特征征值值，a,:
=
=
(
(
1
1,
,0
0,
,1
1尸)是是A
A
属属于于λ；I = 1
=
的
1
特的征特向征向量量；；
=A -=1是— 1A的是特A的征特值征，值a,?皿=(=1,(01,,0-,1 —)π 1)是丁是A属A于属于λ义=-=1—的1特的征特征向向量量..
设设a她?=(=x?(,4x?，,五x?，1)3π尸是是A属•于属特于征特征值值λ人=0=的0特的征特向征量向，量作,作为为实实对对称称矩矩阵阵特特征征值值不不同同特特征征向向
{α?a?=x?+x?=0,
ala3 = xi + x3 = 0,
量量相相互互正正交交，，因因此此 aia?=x?-x?= 0. 解 解 出 出 a 。 ? 3 = = ( 0 ( , 0 1 , , 1 0 , ) 0 T ) . .
破 口3 = Xi — x3 = 0.
故故矩矩阵阵AA的的特特征征值值为为11,,- 一1, 10;,0特;特征征向向量量依依次次为为
k
知
?((1
l,
,
0
0
,
,
l
1
)
)
T
T,
以
k
2
?((
1
1
,
,
0
0
,
,
-
-
1
1)
)
π
T
,
以
k? 3((
0
0,
,l
1
,
,
0
0
)
)
T
?,
,其
其中
中
k
X
?
业
,k
2
?,
,如
k?
均
均
是
是不
不
为
为
0
0
的
的
任
任
意
意
常
常
数
数
.
.
(Ⅱ)由A[a?,αz,a?]=[a?,-α?,0],知
1-107 1 1 07 -1
=
A=[a?,-α?,0][a?,αz,a?]-1= 0 0 0 0 0 1 000
1-10
1 1 0] 100]
【评注】本题特征值不同的特征向量已经正交，也可考虑用正交矩阵、相似对角化来求
1 1
[
0
√2 √2 2
,
01 0 0
矩阵A,即令Q= ,则Q1AQ=A=
1 1 -1
0-
√2 √2.
7
A=QAQ-1=QAQT
1 0 1 [ 1 0 1 1
= √2 √2 1 √2 √2 = - 0 0 01 0 ” r
II
0 1 0 0 0 1 0 000
0 0 0 o
II
II 1 0- 1 -1. 1 0- 1 _ 1 1 0 0 0 0_
II √2 √2 √2. it
II it
L
· 193 ·
-193 ・数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析·
・
提提高高篇篇(（数数学学一一)）
1
n a ~a b b c c ~ - 1 i 1 r 尸= ■ - — 1 1 1 11 "
II
: 当 当 然 然 也 也 可 可 设 设AA== b b d d e e ,，由由AA 0 0 0 0 0 0 0 0 .1
II c e f. -11. _ 11 1.1J "
-C e f_ -1 1_
II 人
a-c=-1,
a — c=—1,
a+c=1,
a + c = 1,
b-e=0,
有
b+e=0,
c-f=1,
c — f = 1, II
II
c+f=1,
c + / = 1, II
・ II
001
"0 0 11 „
0 d 0
易易得得 a a== 00,,cc == 1l,,6b == 00,,ee ==0 0,,f/==00.即.即有有 AA== 0 d 0，,再再由由 r(rA()A )== 22^→>dd ==0 0..然然后后再再:
1 00 0oj '•
:来来求求特特征征值值、、特特征征向向量量.. :
" 不不要要忘忘记记实实对对称称矩矩阵阵特特征征值值不不同同特特征征向向量量相相互互正正交交这这一一重重要要定定理理，，由由此此构构造造齐齐次次方方程程组组
II
I.可可求求出出特特征征向向量量，，本本题题难难度度系系数数00.. 553344,,00.. 447799,,00..6 61177..
[1E3(（220O131,36,题6题)【）【答答案案】】 BB..
【【解解析析】】 两两个个实实对对称称矩矩阵阵相相似似的的充充分分必必要要条条件件是是有有相相同同的的特特征征值值..
λ—1 —a —1
A-l —a — 1
|1 AλE E—- AA l| == —-aaλ A — — b b — — a a = = ? A [ L x A 2 2 - — ( b (.b + + 2) 2 λ )A + + 2 b 2b - — 2a 2 2 a ] 2 . ]
-1 -a λ—1
_ 1 —a A — 1
因因为为
λ—2
A — 2
I1 λAEE -—B B\ |== λ X — -b b ==a(A)(—A —2) 2()λ (A— —b 6),),
λ
A
由由义λ==22必必是是A的A特的征特值征值，，即即
|| 22EE —-A Al |==2 [22[222 --22((6b ++2 2)) ++22b6-2-2aa22]] ==0 0,,
故故必必有有aa == 0 0..
由由λA ==b 6必必是是A的4特的征特征值值，，即即
|I bbEE--AAl =| b=[ b6[2屏- (一b+(62+)b 2+)26b+]2=60] ,=b 可0,6为 可任为意任意常常数数..
所所以以选选((BB)).. 7
a
1-1
'a 1 — r
,
(匣20(22012,12,211题 题))【【解解】】((1I))4A== 1 1 a a — -1 1 ,
-1 -1 a
-1 -1
a _
a A - — a a - - 1 1 1 1 = λ A — - a a + + 1 1 0 0 λ A —— -a a + + 1 1
IλXEE — — A A\ |== - - 1 1 x A - — a a 1 1 = - — 1 1 λ A — - a a 1 1
1 1 1 1 λ A — — a a 1 1 1 1 λ A — 一 a a
·194·
-194第第五五章章 特特征征值11与与特特征征向向屋量
= λ-a+1 0 0
A — a + 1 0 0
-1 λ—a 22
_ 1 A — a 2
1 1 λ-a-1
1 1 A — a — 1
==((λ人一-aQ ++1 )I)2?((人λ一-Qa —-2 2)),,
AA的的特特征征值值为为：—a -1 1,a, a—- 11 >,aa ++2 2..
λ
X =
=
a
a -
—
1 时
1
时，，
-1-1 1 11 -1_” r
-一 1 _ 1 1 - 一］ 1 ,
( (a a - - 1 1 ) ) E E - - A A = = L - - 1 1 - 一 1 1 1 1 —► 0 0 0 0 0 0
00 0
1 1 -1.
_ 1 1 -1- 0 0 o _
a
ai
? =
=
( -
(—
1,
1
1
,
,
1
0
,0
)
)
?
T
,
,a
a
2
? =
=
( 1
(1
,
,
1
1
,
,
2
2
)尸,，
λ
人=
=
q
a +
+
2 时 2时，，
2 -11 1017
-2 _ 1 r ■1 0 r
-1 2 1 011
((aa ++ 22))EE--AA == -1 2 i —► 0 1 i
— .1 1 1 1 2] 2_ 00 000]o_
a—?=(-1,-1,1)π,
L
乙
『 -1 -1
1 1 1
单单位位化化得得为y?==
√2
1 ,Y?=
√6
1 ,Y — ?= -1
√③
0 2] 1
11 11 11
,
√2 √6
721 716 √V③ _ 13 " a a — - 1 1 ]
1 1
令 令 P 卜 =[ = r ［为 ,r ， ? 72 ,，r 为 ? ］ ] = = √ V 2O2 √ V26 6 √V133 1 ,，则则 PTP ATPA =P =P~P} 1APA P== AA== ) q a — -1 1
a+2
_ Q + 2_
0 72 6 1 V 3
√6 √3
((ⅡU ))记记BB ==( a(a+ 3+) 3E)-EA,-BA是,B对是称对矩称矩阵阵.因.因AA的的特特征征值值是是q a -—1 1,,a口-一1 ,lag+ 2+, 2知,知B的8的特特征征值值
44,,44,,11,,故故BB正正定定.. — 。
PPTTBBPP == PPTT((aa ++3 3))EEPP—-PPTTAAPP 4 7
= a a + + 3 3 ' a a — - 1 1 = "4
a+3 — a—1 4
= a + 3 — a — 1 = 4
[
_ a a + + 3 _ 3_ 2, aa ++2 ]2. 1 1-
—
2 水2 尸 2
pT BP = 2 2 ,B= P 2 PTP 2 pT,
1- 1] 1 1
1 1 1 — 1 1
0
1 √2 √6 √2 √2
√③
2 2
1 1 1 见 1 2
C= P 2 PT= 2
√2 √6 √6 √6 √6
√③
1 1
2 1 1 1 1
0
√6 √3 √3 √③ √3
· 195 ·
-195-
数
数
学
学
历
历
年
年
真
真
题
题
全
全
精
精
解
解
析
析
·
•
提提高高篇篇(
(
数
数
学
学
一
一
)
)
5 -11
r 5 -1 r
1
=? -一1 1 55 11
三 3
1 1 5-
L 1 15」
「===========================================『
II 【【评评注注】 】当当λA ==a a-1-,1求,特求特征征向向量量时时，，可可用用常常规规的的((11,,00))((00,,11))来来赋赋值值，则，a则, a=? =((--11,,11,, n
ii »
0)?,a?=(1,0,1)T.此时a?,a?不正交，需进一步用正交化来处理.
[0尸，叫=(1,0,1尸.此时a, ,a2不正交，需进一步用正交化来处理. J
解解题题加加速速度度
11..【【解解少】翔由矩矩阵阵AA的的特特征征多多项项式式
A λ — - a a — - 1 1 _ - 1 1 = a A - — a a - — 1 1 λ A — - a a - — 1 1 0 0
λ I X E E — ^-A A | l = = - — 1 1 x- A — a 2 1 1 = - — 1 1 λ A — - a a l 1
-1 1 λ—a 0 a+1-λλ-a-1
-1 1 A — a 0 a+l-A A — a — 1
1 1 0
1 1 0
==(aA-a-a-1-1))22 - — 1 1 λ A — — a a 1 1 ==( (aA-a--a1-)l2)(2(λA--aq ++2 2)),,
0 -1 1
0 一 1 1
得得到到矩矩阵阵AA的的特特征征值值为为小λ=;A=λ2 =?=aa+4-1 1, »λA3 ?==aa— —22..
对对于于2λ == aa ++1 ,1由,由[［((aa ++1 )l)EE- A—] 4x=］x0 ,=得 0到,得2到个2线个性线无性关无关的的特特征征向向量量
aai; ==( 1(,l1,l,,00))Tπ,a,za ?==( (11,,00,,11))T..
对对于于 2λ == aa —-2 2,,由由［[((aa —- 22))EE -—A A]xjx= 0=, 0得,得到到特特征征向向量量 aa3 ?== ((-—1 ,11.1,»11))T..
11-1 a+1
'I 1 -r a + 1
那 那么 么 ， ， 令 令 F P = = [a?, ,。 a 2 ? ， , 。 a 3 ? 〕 ] = = 1 1 0 0 1 1 ,，有有 P-P 'A1PA P== AA == a a + + 1 1
01 1 a—2.
_0 1 1 - « - a — 2_
因因为为AA的的特特征征值值是是a+a+l1,a,a ++ 1l,,aa -—2 2,,故故A4-E-的E特的征特征值值是是aa,a,a,a,a-3-.3所.所以以
I
|AA- —E lE= | =a 2a(2 a(a— —3 )3)..
= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = ==7
" 【【评评注注】】由 4由〜AA～,知A,A知 —A E-E〜～AA--EE,于,于是是 «
a II
II *
tl I a
IAA —- EE I| == || AA -— EE| | == a == aa22((aa —— 33)), (1
a—3
11 q — 3 "
亦亦可可求求出出行行列列式式| |AA一-EE| |的的值值..
22..【【解解】】((II))对对方方程程且且AAx=xβ=的fl增的广增矩广阵矩作阵初作等初行等行变变换换，，有有
a
■11 11 aa : 1 1 - 11 11 a 1 1 一
A=
L = 1 1 a a 11 : 1 1 —► 0 0 a a — — 1 1 1 1 — - a a 0 0
_ a a 1 11i!- -2 2 _ _ 0 0 1— 1 — a a 1 1 - — a 7a 2 2 - — a a — — 2 2_
a
1
n11 a 11「
—► 0 0 a a -—1 1 1 1 — 一 a a ；0 0
-00 10 0 ((。a-一1 1))((。a++2 2)) : a a + + 2 . 2.
因因为为方方程程组组有有无无穷穷多多解解，所，以所r(以A)r (=A )r=(A r) ( 0 1 2
2 —1 -4. 000
_ 2 — 1 一4_ 0 0 o _
r
得得到到属属于于特特征征值值Aλ==--33的的特特征征向向量量皿a?==(（11,,-一2,21,)1T）七.
实实对对称称矩矩阵阵的的特特征征值值不不同同时时，，其其……特7特征征向向量量已已经经正正交交，，故故只只需需单单位位化化..
1 1.尸
β"L= √ 会 1 2 - 0 0 11 , ，成 β — ? — = √胸 1 1 3 7 T 工 1 ,B= √ 1 1 6 - - - 1 2 2 、 9 -
-1 1. 1
_-1 .1_
1 1 1
1_ ]-
√2 √3 √6
42 V3 V6
3
「3
1 2
0 _1_ 2
那那么么令令 Q Q = =[ β,,夕B 2 , , β & ] ]= = 0 √ V3 3 一√汞6 ,，得得 QQtA?QA =Q =QQ^A1QA Q==AA == 0 0
1 1 1
—-33].
1 _1_ 1
√2 √3 √6
V3
·・ 1
1
9
9
7
7
·
-数学历年真题全精解析·提高篇(数学一)
数学历年真题全精解析•提高篇（数学一）
第第六六章章 二二次农型型
一、、二二次次型型概概念念与与标标准准形形
7
a 0 1
la 0 1 -
1囹(（22000099,,2211题题）)【【解解】】（(II）)二二次次型型了f的的矩矩阵阵4A== 00 a a - — 1 1 ..由由于于
1 --11 aa- -1 .L
?-a 0 -1 λ—u λ—a 0
A — a 0 -1 = A -u X- a 0
IAE —A1= 0 λ-a 11 = 0 x—a 1
I AE-A | = 0 A — a 1 0 A — a 1
-1 1 x-a+1 -1 1 a-a+1
_ 1 1 A-a + 1 -1 1 A-a + 1
= λ义一—〃 u 00 * 0
λ—a
= ==((aA- -a )a() λ(A --( (aa+ +1 )1)))( (λA -- ((aa --2 2)))),,
-1 2 a-a+1
一 1 2 +1 I
所所以以AA的的特特征征值值为为义λi ;==a。,,λ人2 ?== aa+ +1, 1λ ,A?3 == a
q
— —2 2..
(（ⅡH）)因因为为二二次次型型f/的的规规范范形形为为y话i++y法i,，说说明明正正惯惯性性指指数数Pp == 2Z,,负负惯惯性性指指数数qq ==0 ,0那,那么么二二次次型型
矩矩阵阵A•的的特特征征值值为为++,,++,,00.・
显显然然a a—- 22<,；说,说明明二二次次型型矩矩阵阵AA的的特特征征
√2 T
值是1,1,0.又因。的第3列是(（g,,00,,尊 √②)），说明a, = （1,0,IF是矩阵A关于特征值;I =0的特
值是1,1,0.又因Q的第3列是 ,说明a?=(1,0,1)”是矩阵A关于特征值λ=0的特
2 2
征征向向量量..因因为为AA是是实实对对称称矩矩阵阵，，特特征征值值不不同同特特征征向向量量相相互互正正交交.设.设AA关关于于小λ=;=Aλ2 z== 11的的特特征征向向量量为为
aa= =( x&?,ix，及?,，x工?3）)丁1，,则则 aTa«'3 a=? =00,,即即 1x】?++了x3? ==0 0.・
取取a。;1 ==( 0（,01,,10,0)）?T, ,aa?2 ==(- （1―, 01,,10),1,）那丁，么那a么? ,aα】，。:2是 是λ人;1 ==λ A?2 ==1 的1 的特特征征向向量量..
由由 A[ai,a?,，α。3?〕]==[ a?,α，。?2,,00]］有有
1 1
0-107 0-11- -1
V _ 1 0-| -o -1 1-
， ，
A A= =[a [?a,】a，?。,200][][aa?i ,,aa?2,aa3?〕]T- 1== 11 — 00 00 11 00 00
_00 11 00]_ -00 11 1]1-
一 尸
= - 0 o - _ 1 1 0- 0- 1 -
0
0 1 1
10
1
'0-
= - T
1
2 1 0 0 - ~~
1
22
1
1 0
0
0
0
2 0 ru\ ~22
=
0
0
1
1
0
0
·
-00 11 0]0_ L -T
2
1 00
云2
1
. r~22
1 0
0 ~
1
2
1
2 _
· 198 ·
・ 198 -第第六六章草 二二次次型型
(（ⅡH）)由由于于AA+ +E 是E对是对称称矩矩阵阵，，且且矩矩阵阵4A的的特特征征值值是是11,,11,,00,,故故AA ++E E的的特特征征值值是是22,2,2,,11..因因为为AA
++E E的的特特征征值值全全大大于于00,,所所以以AA ++E E正正定定..
IT ■ = = = = = = = = = = =L = = = = = = = = = = = * = = = = = = = = 2
" 【 【 评 评 注 注 】 】 本 本题题也也可可把把 a1 a 9 ; a , 2 a 单 ?单 位 位 化 化 处 处 理 理 （它 (它 们 们 已 已 经 经 正 正 交 交 ！） !) 构 构 造 造 出 出 正 正 交 交 矩 矩 阵 阵 。 Q, ， 即 即 ••
1 1
0- ]_1_-
√2 √2 [
y/2晅晅
Q Q = = 1 1 0 0 0 0 ,，则则 QQ 1'AAQQ == gQT?AAgQ == 1 1 . . 于 于 是 是 有 有 A A== QQAAQQπ t =-… . „
„ 11 11 L 0oJ "
0
U √—2
√
—
2.
it
_ ii
3
Q "
因因为为在在((II))中中已已求求出出矩矩阵阵AA,,计计算算AA ++ EE的的顺顺序序主主子子式式△△】?== 音,，d△ ?==33,,△d ?==44全全大大于于„
2
0也0也可可证证出出AA ++E E正正定定..
: 本本题题综综合合性性强强，，知知识识点点多多，复，习复二习次二型次一型一定定要要搞搞清清二二次次型型和和特特征征值值知知识识点点之之间间的的衔衔接接和和:
，"转换，难度系数0.385. J
:转换，难度系数0.385.
§(（22001111,1,133题题)【）【答答案案】】 11..
【【解解析析】】 本 本题题又又是是一一道道线线性性代代数数与与二二次次曲曲面面的的简简单单综综合合题题..
由
由
于
于
二
二
次
次
型
型
x
x
A
4
T
t
x
x
经经正正交交变变换换化化为为标标准准形形时时， ，矩矩阵阵A
A
的
的
特
特
征
征
值
值
就
就
是
是
标
标
准
准
形
形
中
中
平
平
方
方
项
项
的
的
系
系
数
数
.
.
按
按
题题意意，，矩矩阵阵AA的的特特征征值值是是0,01,,14,,4据,据|4| A|l== Ⅱ11λ义，,，即即
1 a 1 0 a—10
1 a 1 0 a — 1 0
=
|AA l| == a a 3 3 1 1 = a a 3 3 1 1 ==-—((aa- —1 I))22 ==0 0,,
11 1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
可可见见a
a
=
=
1 .
1.
= = = M = = = = M = U = = = = = = = = = T = = W
【【评评注注】】 本本题题难难度度系系数数00.. 669933..
--J
(Q2(021021,22,12题1题)【)£解解】】((II) )因因为为rr((AATTAA))= r=1( Ar()A,对),对A施A以施初以初等等行行变变换换
1 0 1 10 1
-1 0 1 I rl 0 1 -
0 1 1 01 1
A= 0 1 1 0 1 1
A = — ,
-10 a 00 a+1
_ 1 0 0 a + 1
0 a -1.
_ 0 .0 0 0
所所以以当当aa ==-1-时1，时/r((AA)) == 2 2..
202
[■2 0( 2' ,
022
(（ⅡD）)由由（(II）)知知 A A t T A A = = 0 2: 2 ,
224.
2 :2 4_
a-2 0 -2 λ-22-λ 0
A — 2 0 -2 = A — 2 2 — A
那那么么 | |AλEE-A-AtTAA |l == 0 0 λ A — - 2 2 - - 2 2 00 λA --2 2 —一 22
-2 -2λ—4 -2 -2λ-4
-2 -2 义一4 -2 -2 人一 4
λ-2 0 0
A-2 0 0
=
0 λ- 2 _ 2
0 义一 2 —2 =λ(λ-2)(λ—6).
-2 -4 λ—4
--2 一 4 A-4
矩矩阵阵AT的A的特特征征值值为为0,02,2,6,6..
对λ=0,由(OE-ATA)x=0得基础解系(-1,-1,1)?,
对;（=0,由（0E-ATA）x = 0 得基础解系（-1,-1,1）T,
对对;λI == 22,,由由(（22EE--AATATA)x）x= 0=得 0基 得础基解础解系系(-（一1, 11,,10,)0?）丁,，
·- 119999 ·・—
数学历数年学真历题年真全题精全解精析解·析提•高篇(数（数学学一一)）
对
对
λ
人=
=6
6
,由
,由
(
（
6
6
E
E
-A
-A
TA
T
)
A
x
）
=
x
0 得
=
基
0得
础
基
解
础
系
解
(
系
1,（1
1
,
,
2
1
)
,
π
2）T
.
.
因因为为实实对对称称矩矩阵阵特特征征值值不不同同特特征征向向量量相相互互1 正—正交交，,故故只只需需单单位位化化 112
-11 乙 己
一 —1°
1 --1- 1 --1- 1
%为= = =1 √—3 -1 , m Y?== √ _一1 2 _ 1 1 ,Y7?= √6
祝
1
1」
42 0
_ 0 _
1 1 1
1
√3 —√卫2 √; 6
x? yi
= 1 1 1 3^1
那那么么令令 x?
√3 √2 √6
y?
yz
42 、
x? y?.
1 2
1_ 0 ‘3
√3 0 √6.
_ V3
有有 xxT?((AATATA)x) x== yyr?AAyy ==2 y2y2l+ +6y63另..
『= = = = = = = = = = = = = = = =
【【评评注注】】 当当然然如如果果直直接接计计算算也也可可行行，，但但计计算算量量是是非非常常大大..
it
1 0 1
10-1 0 1 -
-1 0 0 1 1
二二次次型型矩矩阵阵 AT A A T A = = 0 0 1 1 0 a -10 a 1 II
II
11 a—1
II _1 1 0 a -1.
=
2 0 1—a
■ 2
0 1+a2 1-a
0
1-a 1-a 3+a2
1 — a
2. 0 II
2 o
由由于于A A T T A中 q中有有二二阶阶子子式式 01+a2 = = 2 2 ( ( 1 1 + + a 2疽)≠)。0 0 . . it
0 1 + q；
II
所所以以二二次次型型，f的的秩秩为为220→ | |AATTAA ||==0 0..
it
20 1—a
2 0 1 -a it
0 1+a2 1—a it
又|ATAl=
又 | 4丁4 | = 0 1 +a2 1-a
1-al-a 3+a2
1 -a 1-a 3 +a2 it
it
=2(1+a2)(3+a2)-(1-a)2(1+a2)-2(1-a)2=(a+1)(a2+3),
=2(l+a2)(3 + a2) -(l-a)2(l+a2) -2(l-a)2 = (a + l)W+3),
所所以以aa
=
=-
-
1
l
.
.
it
难难度度系系数数 00.. 443366,,00.. 337777,,00.. 440088..
r it
5(2013,21题)【证明】(I)记x=(x?,x?,x?),则
（2013,21题）【证明】（I ）记X = &】，以，13）丁，则
,]尸
云「 x •X ?「
a?x?++aa?2xx?2 ++a ?ax3x?3= (=x?(,Xix ?,x,2x >?x)3 ) a2 ==(a（?Q,］a，口?2,a?)） X1?2
“?
。 _x?
L3.3_
类似地b?x?+b?x?+b?x?=x?β= PFx.
类似地 bixx + b2x2 + h3x3 = = Ptx.
故故 ff((Hx\? ,,xxt?，,工x
3
?
)
)
=
= 2
2
(
(
a
ai
?
X
x
i
i
+
+a a?2xx?2 +
+
a
a
?
3
x
x
?
3
)
)
2
2
+
+
( b(.?btxx?x +
+
b ?
6
x
2x
?
2
+
+
b?
&
x
3
?
x
)
3
2
)2
=2(x'a)(a1x)+(x?β)(p?x)
=2(xTa)(aTx) + (xT^)(pTx)
=xT(2axπ+即)x.
=xT(2aaT+fl»T)x.
又因2om1+郎是对称矩阵，所以二次型f对应的矩阵为2amT+郎T.
又因2aaT+fl5r是对称矩阵，所以二次型f对应的矩阵为2皿丁+庠t.
((ⅡH))因因αa,,β。均均是是单单位位向向量量且且相相互互正正交交，，有有
Aa=(2am?+即)α=2a(a'a)+β(βa)= 2a,
Aa = (2aaT + )a = 2a(aTa) + p(/JTa) = 2a,
Aβ=(2am1+即)β=2a(a1β)+β(Bβ)=β,
Afi = (2aaT +fl5T)p = 2a(aT/» +p(/Tp)= p,
· 200 ·
. 200 .第第六穴章章 二二次次型型
λAi ?== 22,,λ义z ?== 11是是AA的的特特征征值值..
又又因因为为a
a
m
a
?
T
,即
,flp
”
T
都都是是秩秩为为1
1
的的矩矩阵阵，，所所以以
r(A)=r(2am?+即1)≤r(2mmπ)+r(B)=2<3,
r(A) = r(2aaT+fl9T) < r(2aaT) + r(fl?T) = 2 < 3,
故故λ
；U
?
=
= 0
0
是
是
矩
矩
阵
阵
A
A
的
的
特
特
征
征
值
值
.
.
因因此此经经正正交交变变换换二二次次型型
f
f的的标标准准形形为为
2
2y
y
?
\
+
+
y
y
2
l
.
.
【【评评注注】】下下面面给给出出的的是是当当年年一一些些考考生选生择选的择方的法方，法当，当然然这这样样解解也也是是对对的的。.
因为二次型
因为二次型
II f f ( ( x工? 1 , »x x 2 ? > , x x 3 ? ) ) = = 2 2 ( ( a ai ? X x i ? + +a a ? 2 x x ? 2 + + a ? a x 3x ? 3 ) ) 2 2 + + ( b (缶 ?x 工 ? 】 + + b ? b x 2x ? 2 + + b? ^ x 3 ? ^3 ))2 2 II
=2(a}x1+aix2+a}x1+2a?a?x?x?+2a;a?x?x?+2a?a?x?x?)
=2(aiXj + afxf + a|x| + 2a\a2X\X2 + 2a1a3^i-^3 + 2a2a3X2JC3) II
II
II + + ( b (6 2 i x X 1 i + + b b 2 z x x 2 l + b + 3 b x l 3 x + l 2 + b ? 2 b 5 ? i b x 2 ? X x iX ?+ 2 2 + b ? 2b b } ? b x 3x ?x ix ? 3 + + 2b 2 ? b b 2 ? b3 x x ? 2 x x ? 3 ) ) II
II
II
II = = ( ( 2 2 a房f++b屏2))x工i；++(2 ( a 2 Z a +；b+2房)x)z z +； ( + 2 a (2 3 a +；b +3房)x)3h+；2 +(2 2 a ( ? 2 a为?纽+b+?缶b?缶))x五?x舟? II
II +2(2a?a?+b?b?)x?x?+2(2a?a?+b?b?)x?x?, II
+ 2(2。1。3 +6163)xix3 4- 2(2a2a3 + b2bz )x2x3»
II II
II
所所以以按按定定义义二二次次型型矩矩阵阵
II
II 2a2+b2 2a?a?+b?b? 2a?a?+b?b?
"2房 + 拼 2a}a2 + bxb2 2a)a3 + bib3~
II II
A= 2a?az+b?b? 2a2+2 2a?a?+b?b?
II A = 2a}a2 + b\b2 2房+步 2a2a3 + b2b3 II
_ 2 2 a a ? ia a 3 ? + +b 6 ? 1 b 6 ? 3 2 2 a a2 ? ^ a 3 ? +L +b b ? 2 b b ? 3 22a*3++b号房 _L II
II II
II = 2 2 a 房 1 2a?a Q- ? z 2 2 a ti ? i a U ? 3 b b\ 2 b b ? \ b?b? b b . ? 3 II
I II I 2a?a? 2 2/ a 0.2 2 2 2 a ^ ? 2 a 口 ? 3 + + b b ? i b b ? ? b b\ 2 b 缶 ?b? 缶, I II I
=q，2
II _ 2 2 a fli ? a a ，2 ? 2 2 a % ?a 口 ? 3 2 2 a a } ； _ b b ? \ & b 3 ? b?b? b号 _
II II
II 故 故 A A = = 2 2 a a m a ? T + + 郎 fl?T . . II
II II
II
难难度度系系数数 00.. 445544,,00.. 440000,,00.. 442266..
II
=JI
06((2(2001144,,1133 题题))【【答答案案】】[[--22,,22]]..
【解析】 由配方法可得
【解析】由配方法可得
f
/(
(
x
x
i
?
,
,
x
x
t
?，工,
3
x)?
=
)=
X
x
*
2
+
+ 2
2
a
a
x
xi
?
x
x
3
?
+
+ a
a2
3
x
x
j
}
—
-((x云2—-4
4
x
x
?
2
x
x
?
3
+
+
4
4
x
x
3
f
)
)
+
+
4
4
x
x
}
|
-
—
a 2
a
x
2x
2
j
=
=
(x
(x
?
i
+
+
a r
a
?
r
) 3)2
z
-
-
(x
(工
?
z
-
—
2x
2
?
x
)
3
2
)2
+
+
( 4
(
-
4
a
—
2
a
)
2
x
)
2
x
,
|,
因因为为负负惯惯性性指指数数是是
1,
1故,故
4
4
-
-
a
a
2
2
>
≥
0
0, ,解解出出
a
a
£
∈ [
[
-
-
2
2
,
,
2
2
]
]
.
.
Q
7(
(
2
2
0
0
15
1
,
5
6
,
题 6题)【)【答答案案】】 A
A
.
.
【【解解析析】】
f
f在在正正交交变变换换
x
x
=
=P
P
y
y
下下标标准准形形2
2
y寸1++y况2-一y3,乂意，味意味着着A的
A
特的征特值征值：：2
2
,
,1
1
,
, -
-
1
1
.
.
又
X
P
P
=[
=
e?
[
,
勺
e
,
z
。
,e
皿
?]
]
,说
，说
明
明
2,
2
1
,
,
1
-
,
1
-
的
1
特
的
征
特
向
征
量
向
依
量
次
依
为
次为
e?,
e
e
i
z，e ,e
g
?.
.
2
由e?是-1的特征向量，知-e?仍是一1的特征向量，故Q=[e,-eg,e?]时，二次型标准形
由e3是一 1的特征向量，知一e’仍是一1的特征向量，故Q = [ei，—e3，ez ]时，二次型标准形
r
为为：：22"y —i-蝮yz++y乂3,，应应选选((AA))..
或或者者，，由由
- 1 1 0 0 r 0- 0- -11 ( 0 0 07 ·
Q 2 = [ = e ? E , e - i, e — g , e e 3 9 ? e ] 2 = ] [ = e? [ , 跖 ez ,e , 2 e > ? e3 ] ~\ 0 0 r 0 0 1 1 = = P p 0 0 0 0 1 1 ♦
0 —1 0. 10 —10]
_0 -1 0_ -0 -1 0-
1 I 0 0 0 0 7 - y? y?
知 知 x x = = Q Q y y = = P P 0 0 0 0 1 1 y? = = P p ys
y2
_00 —-110]0_ y?. 一y 、 ?.
yz. 2_
又又因因二二次次型型
/
f((
X
x
!
?
,
,
x
x
2
?
,x
,
3
x
)
?在)在正正交交变变换换
x^
x=
P
Py
y
下下的的标标准准形形是是
2
2寸y1++y况2-一y3法,所，所以以f，在在正正交交变变换换
x=Qy下的标准形为：2yi+y3-(-y?)2,即2yi+y3-y2.
x = 0 下的标准形为：2抗 +'； —(— y»)2，即 2yi +>3 — >2.
本本题题难难度度系系数数00.. 335533..
·201 ·
. 201 .数
数
学
学
历
历
年
年
真
真
题
题
全
全
精
精
解
解
析
析
·
•
提提高高篇篇(数
(数
学
学
一
一
)
)
r
08((2200116,66,题6题)【)【答答案案】】 BB..
122-
-1 2 2-
,
212
【【解解析析】 】 二 二次次型型矩矩阵阵 A A = = 2 1 2
221.
2 2 1_
λ-1 -2 —2
A-1 -2 —2
-2 λ-1 -2 =(λ-5)(λ+1)2
由由特特征征多多项项式式1 |AλEE——AA || == 一2 / 1-1 -2 =(A-5)(A + D2,
—2 —2 λ—】
一2 -2 A-1
可可知知矩矩阵阵4A的的特特征征值值为为55,,--11,,--11..
那那么么经经直直角角坐坐标标变变换换二二次次型型的的标标准准形形为为5捎5y一2-展y2一-y乂3= 2=, 则2,表则示表示的的二二次次曲曲面面为为双双叶叶双双曲曲面面..
9(2017,21题)【解】二次型矩阵
0(2017,21题)【解】二次型矩阵
- 2 2 11 1 — -4 4厂'
·
A= 1 -1 1
A = 1 _ 1 1
-4 1a
-4 1 a _
由正交变换下标准形是λ:yi+λzy2,说明A的特征值为λ?,λ?,0.所以
由正交变换下标准形是A" +A2>h说明A的特征值为义|,人2,0.所以
2 1-4
2 1 -4
|Al= 1 1 _ - 1 11 1 ==-—33((aa -—2 2))= = 0 0,,
a
-4 1
-4 1 a
故故 aa= = 2 2..
λ-2 -1 4 λ-6 06-λ
A — 2 _ 1 4 = A-6 0 6-A
-1 a+1-1 1 x41 -1
由由 || AλE —E- AA |l== _ 1 A + 1 _ 1 -1 A +- 1 _ 1
4 -1λ—2 4 -1λ—2
4 -1 A — 2 4 一 1 ;—2
=
x-6
A - 6 0 0
= 1 一 λ 1 A + + 1 1 - — 2 2 ==λA((Aa ++ 33))((Aλ — -66) )== 00,,
—1 λ+2
I 4 ― 1 十2
得得矩矩阵阵AA的的特特征征值值：：66,,— -33,,00..
由由((66EE--AA))xx= =0 得0得基基础础解解系系aa;.==(1(,10,0,,- —1) 1,)即丁，λ即人=6=的6特的征特征向向量量..
由由((一-33EE- —A )Ax)=x0 =得 0基得础基解础系解系a?a=,( =1, (-11,, —1) 1π,1,尸即，即λ4= -=3-的3特的征特征向向量量..
由(0E-A)x=0得基础解系a?=(1,2,1),即λ=0的特征向量r .
由(OE-A)x = 0得基础解系a3 = (1,2,1)L即；l = 0的特征向量.
因因实实对对称称矩矩阵阵特特征征值值不不同同特特征征向向量量相相互互正正交交，，故故只只需需单单位位化化，，有有
1 2 1 25
1 「1 1 -1 1 ,
Y 7i := √2 0 0 ,Y?= √ 7 3 - - 1 1 , ，为 Y? — = √ 1 6 2 2
—1. 1 V6
-—1-
—
1 1 1 一
-j_ 2.
√2 √3 √6
V2 V3
1 2
那 那么 么 Q Q = = [ r [y , 】 Y ，了 ? 2 , , y 为 ?] ]= = 0 0 — √ 1 3 √7 一 1 6 - 6 2 1 1 , 邃 经x= = Qy有有
1 1
1 一
1 1 V6I
L~√^2 √3 √6.
1I
x
x
1
1 A
A
x
x =
=
y1VA6AV yJ=
=
6
6
yi-
2
1
3-yi.・
「 【评注】 本题难度系数0.574,0. 485,0. 539.
【评注】 本题难度系数0.574,0.485,0.539.
匕
· 202 ·
・202・第六章 二次型
第六章二次型
人x?-x,+x?=0.
X\— X2 +l3= 0,
）
0(2018,20题)【解】(I)平方和f(x?,x?,x?)=0=1 x x2 ? + + x x ? 3 = = 0 0 , , ① ①
x? +ar?= 0.
X] +0X3 = 0.
1-11
1-11
由由 0 0 1 1 1 1 = = a q- - 2 2 , ,
1 0 a
1 0 Q
如如果果aa≠丰22,①,①只只有有零零解解，，即即/f（(xxi ?,,工x2?口,3x）?7)==00只只有有零零解解1，，x x==0。.
1-11 102”
■1 -1 r -1 0 2~ ,
0 1 1 011
如如果果aa == 22,, 0 1 1 ——► 0 1 1
11 00 2]2_ 0 0 0 0 0 0_
①①基基础础解解系系为为（一(-22, ,—- 11,,11)）丁..
故故了f(（x与?,，五x?，,0x?）)== 00的的解解为为xx= k=(-虹2一,- 21,, —1) π,k为任为任意意常常数数..
（(Ⅱ U）)当
当
a
"
≠
2
2时
时
，
，
人y?=x?- r,+x?,
y\ =x} — jt2 +13，
令 y?= x1?2 ++x1?3,， ②
令〈了
2 =
y?=x? +ax?,
=了 +心
）3 1 3，
1-11
1 — 1 1
因 0 1 1
因0 1 1尹≠00,,②②是是可可逆逆坐坐标标变变换换..
1 0 a
1 0 a
f
f( （工x?
1 ,
,
x
x
2
?
,
,
x
x
3
?
）
)的的规规范范形形为为
y
y
\
i
+
+y
y
ī
\
+
+
y 3
y
.
l.
当当aa ==2 时2时，，
f(x?,x?,了,x?)=(x?-了x?++x 了?)2+(x?+x?)2+(x?+2x2?x)32
/（X1 »X2 3）=（11 — 2 3 ）2 +（x2 + Z3 ）2 +（X1 + ）2
=2x?+2xī+6x3-2x?x?+6x?x?
=2x? + 2x1 + 6x3 — 2xi 工2 + 6xi x3
1 1
==22 [ [z x i — — x ; （ ( jx*2? —— 33j*x3? ） ) + + -=（(・ix、2 :―- 33.jx*j?）)2 ]++ 22药x 43- 6+.16? —x §（(乃x:一—3心3x）)2
4 2
x 1 3 3 3
Q(/ 1 , 3 \2 . 3 x23 +. 3Qx ?x?+, 3 2
==22| （工】一y2Jx-2十 + 万213 j 十+ y2-rE + 3飞2心 + 万2商
=2 ( x?一 1 2 x Z2 ? ++ 芸 3 2 了 x?3 ） 2+ +荡 3 2 (（工x2? ++x于?)）22, ,
可可得得规规范范形形 yi+y2.
" 【【评评注注】 】 当 当Q =a =22时时，，如如注注意到意（到幻(-xxj-2x+?x+x3）?)++（(xx2?++xx?3)） ==x1?+12 +x?2,羽也，可也可先先经经坐坐标标变变换换
H «
人y?=x?-x?+x?,
II =Xj—x2+x3 ♦ II
y?= x?+x?,，- :
= X2+X3
»' 顷y?== xX?3 "
: 得得/f == yy1TBByy ==y yix+ +y iy+2 (+y （?y+ y+? y)z2）2= =2 y21y+\ 2+y2?/+； 2-¥y2?yyxy?z.. «
210°
" 「2 1 0] :
: BB== 11 22 00，,由由于于矩矩阵阵BB的的特特征征值值为为33,,11,,00,,从从而而知知规规范范形形为为z好ǐ++z彩2.. “
000.
n 0 0 0 :
n 本本题题难难度度系系数数 00..334477,,00..224488,,00.. 330033.. "
IuL^> 二=二二二 二 二 二 二 二—二，■二 三二二=_ 二 二—• — _ 一一 一 一 一— — — — — —一 一―—一一 一 — 一 _一J—j>
·203 ·
・203・A .数数学学历历年年真真题题全全精精解解析如·二提提高高篇篇(（数数学学一一)） 翔
nIn(2（021o9i,95,题5题)【）【答答案案】】 Cc..
【解析】 规范形由p,q而定，故从判断特征值入手.
【解析】规范形由力,q而定，故从判断特征值入手.
设Aa=λa,a≠0.由A2+A=2E,有A2α+Aα-2α=0即(x2+λ-2)α=0,
设 Aa == Aa ,a 0.由/V+A = 2E,有 A2a + Aa — 2a = 0 BP（A2 + A — 2）a = 0,
知知x
A
2
2
+
+
λ
A
-
-
2
2
=
=
0,
0
矩 ,矩阵阵A的 4的特特征征值值只只能能是是1 1或或-一2
2
.
.
又又因因|| AA| |==4,4所,所以以矩矩阵阵A4的的特特征征值值是是：：11,,--22,, ---22..
从从而而二二次次型型的的规规范范形形是是yyil—-yyzi—-yy3l..选选(（CC)）..
（162(（22002200,,2200题题）)【【解解】】（(I I）)二二次次型型，f经经正正交交变变换换xx==QQyy化化为为二二次次型型gg..记记二二次次型型ff,,gg的的矩矩阵阵
分分别别是是4A和和BB.即.即
71 1
A= [ r 1 1 - - 2 21 ,B= 「a a 2 2 " ]·
… A = - - — 2 2 4 4 J ,B = L 2 2 b b . - .
a+b=5,
因因 AA ～〜BB,,于于是是、乙叫a=?=£26如.,,1| AA| |= =| B| B| ,| 即,即J"” 5，
ab = 4.
\ab = 4.
又又因因
a
a
N
≥
b
b
,
,故故
a
a
=
= 4
4
,
,b
b =
=
1 .
1.
(（Ⅱ
H
）)对对二二次次型 型/ =f =
X
x
i
]
—
- 4
4 1x
x
!
?
X
x
2
?
+
+ 4 4隽x1和和
g
g =
=
4 y
4
i
"
+
+
4 y
4
?
/i
y力? +
+
y 2
y2
,，
只只要要令， »仁 x
x
?
?
=
=
=
-
加 y
y
z
i
, 即
,
即 [ - x
x
X
?
1
·
1 ■ = = [ ■
-
0
1
0
1 0
1
o
叩
J
]
L
儿
.
广y
yyz
i
z·
小
-
(x2 =—'1 , -•3?2 -
[ 0 1
Q= 「0 r
Q = -1 0
是是正正交交矩矩阵阵，，符符合合所所求求..
--1 0-
「= = = = = = = = = = = = = * = = = ¥ = = = = = = = * = * = = = = = = = = = = = = = = = =『
1 ) 1 2'1 ,
: 【评注】 如求出A的特征向量并单位化构造正交矩阵0=土「\ ：], :
【评注】 如求出A的特征向量并单位化构造正交矩阵Q?=
√5 -21.
it 归 L—2 1J ||
: 经经xx == QQ?xzz得得x工?A丁x仙= =55z老i.. :
" 类类似似构构造造正正交矩交阵矩0阵使Q?y使TByy 1=B y5=z5?z,即1,x即 =x =Q?z,y== QQ?2zz有有zz ==Q xQ'jyy,, "
ii 从而x=Q?Qz1y而得Q= Q?Q?1亦可. ii
从而 x Qz1 y 而得 Q\Q21 亦可.
y3? ==x乃? ++ 工x 3 :;
……………………………
u误误以以为为秩秩是是33.. »
a 0 b
~a 0 b -
22..【【解解】】（(11）)二二次次型型，f的的矩矩阵阵为为AA == 02 2 0 0 ,，设设AA的的特特征征值值为为λ“,（(1i==11,2,2,3,3),）由,由题题设设知知，,
b 0 —2.
0 -2_
(λAi +;+ Aλz +? A+3 λ= ?
q
=+a +2 2++ ((—-22)) ==1 1,，
有有 =→>Qa==11,,6b ==2 (2已(已知知b》>>0)0)..
AλiA?2λA3 ?=λ I ?A= |I =Al 2=2(—(- 22aa —-bb22)} ==——1 212..
((22))由由矩矩阵阵AA的的特特征征多多项项式式
λ-1 0 —2
A-1 0 -2 λ-1 —2
A-1 -2
Iλ XEE —- AA|= 0 0 λ A — — 2 2 0 0 =(λ(A —— 22)) -2 λ+2 ==(x(—A-22)2)2((λA ++3 3))
-2 义+ 2
-2 0 λ+2
-2 0 A + 2
得得到到AA的的特特征征值值义λ:==λ兀?==2,2λ,人?==——3 3..
1 3
1 0 —2: 10-2-
-1 0 -2- -1 0 -2-儿
0 0 0 —> 000
对对于于人λ==22,,由由(2(E2E-A-A))xx == 00,, 0 0 0 0 0 0
-20 4 00 0
-2 0 4 _ _0 0 0 _
得得到到属属于于;λ I = = 2 2 的的线线性性无无关关的的特特征征向向量量 7 ，X a 1 ? = =((00,,11,,00))TT,, 1 aa2? ==(2(,20,,01,l))TT 1 .
■—
-4
4
0
0
—-2
2n -
2
2
0
0
1-
1- ,
0-5 0 010
对对于于 Aλ ==--33,,由由(一( -3E3 E—- AA))xx ==00,, 0 一5 0 ―► 0 1 0
--22 0 0 ——1.1J _ 0 0 0 0 0. 0_
・·22006 6·・第第六六章章 二二次次型型
得得到到属属于于义λ==—-33的的特特征征向向量量。3a ?== ((11,,00, ,—— 22))丁.
，
由由于于a。?
1
,α，。?2,?3已已两两两两正正交交，，故故只只需需单单位位化化，，有有
1 1
为Y?==(0(,01,1,0,0))?T,,γ% ?==
√
M
—5
((22,7,00,,1l))T?,，Yγ3 ?==
√
£
5
((11,,00,, —— 22))TT.
V5 V5
2 1
_2_
0 √5 √5
a/5 75
那那么么，，令令P P== [ri,Y?，,为Y?］]== 1 10 0 0 0 , ，则 则P P 为 为 正 正 交 交 矩 矩 阵 阵 ， ，在 在 正 正 交 交 变 变 换 换x x = PPy下y下，，有有
1 2
0)
√
J_
5 √5
75 V5. 7
2
'2
PTAP= P-1AP= 2
PTAP = P^'AP = 2
—3.
_ -3.
二二次次型型的的标标准准形形为为ff==22yyi\++2 y22yl— -3 y3?法..
301
-3 0 r
040
33..【【解解】】(I( I)f) f== xx11 AAxx ,,xx ==(x(X?],x?,x?))T?，A,A == 0 4 o
9^2 9 j^3
1 0 3
1 0 3
3-λ 0 1
3 — A 0 1
I =
A\ A- λ— XEE|= 0 0 4 4 - - λ A 0 0 =(4(-4λ-A)()(—A2-)2()λ(A—-44)),,
1 0 3-λ
1 0 3 — A
AA的的特特征征值值为为义λI ;==2 2, λ, 义 2? ==λ义?3 == 44..
先先求求解解((AA--22EE))xx= = 0 0.. 1 11
101 101
_1 0 r
A-2E= 020
行行初初等等变变换换
010
0 1 o
101. 000
0 0 o
[-1
-r
((AA 一-2 2EE))xx ==0 0的的通通解解为为xx == kk
0
o
.
.
令令。B=
=
( -
(
1
一
,
l
0
,0
, 1
=
)
)T
.
.
3
1
1
再再求求解解((AA--44EE))xx= = 0 0..
-10 1 10-1
A-4E= 0 0 0
行行初初等等变变换换
000
A 一 4E
1 0-1 00 0
((AA--44EE))xx= =0的 0通的通解解为为 010
厂
x x = k 1 +k? 0
0 1
7
令令与& ==( 0(,01,,10,0))?丁,，5&= (=1 ,(01,,10),?1,)易L 见与，正交，
1 -1
0 1
0
=
√而2 √
72
2
5: B
令令。Q== (( 击 与 ，击，为))= 1
1
0
0
0
0
T写T'T5T'TBT
1 1
0 1 J_
0
再√2 √ a/22 _
·207 ·
-207 -数学历年真题全精解析·提高篇(数学一)
数学历年真题全精解析-提高篇（数学一）
再令x=Qy,y=(y?,y?,y?)?,
再令 X = Qy,y = 31 ,'2 以3)丁，
则f=x1Ax=4yi+4y+2y3=g(y?,y?,y?)为标准形.
则 f = xTAx = 4# + 4^1 + 23/3 = g(y\ 仍见)为标准形.
((Ⅱ
n)x
)x
^
≠：。 0
时
时，y ，
=
y =Q?
尹
x ≠
0(
0
若
( 若
y =
y =
0
0
,则
,则
x
x
=
=
g
Q
y
y =
=
0 )
0)
.
.
4y1+4y2+2y2
f(x) = gg y (('yy y )) = 4" + 4况 + 2法 ≥>2 9.
x1x 二 二 yi+yì+y
、 xTx yTy >1 + ^2 + yl "
取取 Vyi? == yy?2 ==0 ,0,y3?/3= =1 ,1可,可得得 g 驾 (y W ) == 22..
y1y
y y
f(x)
所所以以min噌保== 22..
x1x
x0
二:、、二二次次型型的的正正定定
解题加速度
解题加速
1.【答装(-√2,√2).
人2 1 0°
t
1 1
2
【【解解析析】 】 二 二次次型型r的f的矩矩阵阵A A== ,,ff正正定定?的A的顺顺序序主主子子式式全全大大于于00..
t
1
2
21 1
△ △1 ; = = 2 2 , ， △? = =
1
2
1
1 ]==11,,A△3;==||AA||==11— — y2« t 2 2 > >0 0 , ,
1
所以-√2
>
0 ,
0
(
,(
A
A
x
x
)(
)t
A
(
x
A
)
x
≥
) 2
0.
。
因
.因
此
此
，
，当
当
义
x
>
>0
0
时
时
，，V
V
x
x
≠
^
0
0
,有
,有
x1Bx=λx1x+(Ax)1Ax>0,
xTBx = Axtx+ (Ax)tAx > 0,
二次型为正定二次型，故B为正定矩阵.
二次型为正定二次型，故B为正定矩阵.
「= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
=7
" 【【评评注注】 】 这 是这数是学数三学当三年当全年卷全得卷分得率分最率低最的低一的道一题道，题得，零得分零者分占者6占2%62,得得满满分分的的不不足足"
I « I 33人%均,人仅均1.仅1分1. .1反分映.反出映考出生考对生正对定正矩定阵矩的阵性的质性及质判及别判法别不法熟不悉熟…，悉…对，…对于…于用 用 定…定义 义 法 法 证 证 明…明及…及内 内 积…积…I « I
II aa'Tαa的的理理解解都都有有欠欠缺缺.. I « I
-------------1
Iks = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
3.【解】 由已知条件知，对任意的x?,x?,…,x.,恒有f(x?,x?,…,x,)≥0,其中等号成立的
3.【解】 由已知条件知，对任意的与，丑，・・・，了”，恒有，&1，五，…口”）20,其中等号成立的
充充分分必必要要条条件件是是
入
xX?i ++a a?}xx2? ==0 0,,
xx?z ++a… a·?2xx3? ==0 0,,
①
v … ①
Zx,i- 1++ aJ?ii x,== 00,,
Jxcn, ++aagnxxx; == 00
根根据据正正定定的的定定义义，，只只要要
x
x丰≠
0
0
,
,恒恒有有
x
x
T
1
A
A
x
x >
>
0 ,
0
则 ,则x?
x
A
t
xA是
x
正是定正二定次二型次型.为.为此此，，只只要要方方程程组组①①仅仅
· 208 ·
-208 -第六章 二次型
第六章二次型
有零解，就必有当x≠0时，x?+a?x?,x?+a?x?,…恒不全为0,从而f(x?,x?,…,x,)>0,亦即
有零解，就必有当X尹。时,Xi + aiX2 ,x2 + a2x3 恒不全为0,从而f（H\ ,x2 ,••• ,x„） > 0,亦即
ff是是正正定定二二次次型型.. --
而而方方程程组组①①只只有有零零解解的的充充分分必必要要条条件件是是系系数数行行列列式式
1 a? 0 … 0 0
1 Qi 0 ••• 0 0
01 a?… 00
0 1 衣 — 0 0
0 1 …・・・ 0 0
0 0 1 0 0
: = =1 1 + ( + - ( 1 — ) ' 1 a )什 ?a 0 ?… 。2… a。 a” ≠丰 0 0 ② ②
0 0 0 … 1 a。
0 0 0 1 1
a.
0 0 …・・・ 0 1
0 0 0 1
即当a?a?…a。≠(-1)”时，二次型f(x?,x?,…,x,)为正定二次型.
即当agy 尹（-I）"时，二次型 gE，•..，％）为正定二次型.
【评注】 本题考得不好，得分偏低，还是对二次型正定的理解上有问题.由二次型，正定'
【评注】 本题考得不好，得分偏低，还是对二次型正定的理解上有问题，由二次型f正定
II II
"转转化化为为齐齐次次方方程程组组只只有有零零解解，，进进而而转转换换为为nn阶阶行行列列式式的的计计算算，，如如果果方方程程组组①①多多写写几几个个方方程程，，行行J"
II '•
列式②多写几行、多写几列，计算时可能会少许多无谓的差错.
［列式②多写几行、多写几列，计算时可能会少许多无谓的差错.
= L
) - E E . m — -A A- ' 1 C C ] TT - E E . m , O O ] -
44..【【解解】】（I(I）)因因为为pPT T== 0 E. —CTA-1 E. ,，所所以以
-O E” . -rA-1 E,_
PTDP=
)n'o
E
E.
m
0
O
]
］
儿「 A
4
CC ( ］[ 「E
E
.
“
一
-A
A
-
-
'
1
C
C
q
]
PTDP -CTA-1 E。」］"C BB.jL 0 E.
CAT1 E O E„
=
= C —A-1C" ] A 0 ]
A C A O "
O B—CTA-1C E. 0 B-C?A-1C.
.O B - C1 A 'C E” .O B-C^A^CI
(
（
Ⅱ
n
)
）
因
因
为
为
D
D
是
是
对
对
称
称
矩
矩
阵
阵
，
，知
知P
P
π
rD
D
P
P是是对对称称矩矩阵阵，
，所
所
以
以
B
B
—
-C?A-1C为为对对称称矩矩阵阵，
，又
又
因
因
矩
矩
阵
阵
D
D与
与
A A 0 o ] - [' A A 0 O ] ' [0]1
.O .0 B B- - C C ? ^ A- A 1 ' C C . . 合合同同，，且且DD正正定定，，知知矩矩阵阵 . O O B — B C -C TA A - ^ I C C . 正 正定 定 ， ，那 那 么 么， ，V V Y. ≠ 尹 0 O ,恒 ,恒 有 有
w [ 「A A 0 ] ]
(
（
O
O
,
，
Y
Y
T)
）O-B —CTA-IC Y.
==YyTT((BB--CCTrAA-~1'cC))y Y>> 0o
Lo
所所以以矩矩阵阵BB--Cr?AA-1'Cc正正定定..
|r ~ = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = - q］
【评注】对于抽象的二次型，其正定性的判断往往要考虑用定义法，另外不应忘记首先
【评注】对于抽象的二次型，其正定性的判断往往要考虑用定义法，另外不应忘记首先；］
；要检验矩阵的对称性.本题考得较差，难度系数仅0. 259. ''
要检验矩阵的对称性.本题考得较差，难度系数仅0.259.
iIiS_w = = = = = = = = 55 = = =_ = = 一— -— — -— — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — —
三三、、合合同同矩矩阵阵
，/解解题题加加速速度
1.【答器D
1.【答
【解析4与B合同?x1Ax与xTBx有相同的正惯性指数，及相同的负惯性指数.而正(负)惯
【解木 「合同与xTBx有相同的正惯性指数，及相同的负惯性指数.而正（负）惯
性指数的问题可由^征值的正（负）来决定.因为
性指数的问题可由特征值的正(负)来决定.因为
λ—1 —2
λE-Al= A-1 -2
I AE-A | = ==((λA--33X)(Aλ ++ D1 )== 00,,
-2 λ—1
-2 A-1
故故 pp ==1 1,,q冬==1.1.
·209 ·
・209・数学历年真题全精解析·提高篇(数学一)
数学历年真题全精解析•提高篇（数学一）
λ—1 2
义一1 2
本本题题中中(（DD)）的的矩矩阵阵，，特特征征值值为为 2 ° λ—1i ==( λ（A--33X)A(λ + +11） )== 00,,故故pp==1l,,qq==1L.
2 A 一 1
所所以以选选（(DD)）.
lr ~ - -司
[12"] [ 1 —2*]
•' 「1 21 F 1 —21 "
【评注】 本题的矩阵A=
i. 【评注】 本题的矩阵A= 。2 J1 不不仅仅和和矩矩阵阵
-2 1
合合同同，，而而且且它它们们也也相相似似，，因因为为它它•
■I L2 1J L— 2 1」 it
[3 ]
it "3 ~ **
” 们们都都和和对对角角矩矩阵阵 -1. 相相似似。. 1 "
M L — 1」 ||
蛙土石= = = = = = = = = = = = =言」===二三三== = = = = = = = = = = = = = = = = = = =』
22..【【解解】】（(II )）因因为为;λI ==3 3是是A的A特的征特值征值，，故故
3 -1 0 0
3 -1 0 0
-13 0 0 = 3-1 3-y -1
-1 3 0 0 3 _ 1 3 — 丁 -1
|| 33EE--AA || = 0 03-y —1 -1 3 -1 1 = = 8 8 ( (2 2 — -y ') ) = =0 0 , ,
0 0 3 — 丁 -1 _ 1 3 -1 1
0 0 -1 1
0 0 -1 1
所所以以yy ==2 .2.
尸
10007
一1 0 0 0-
0100
0 1 0 0
((Ⅱn ))由由于于 ATA=T=AA,,要要(A(PA)PT)(A(AP)P )==PPLTVA2PP == AA,,而而史A2= 是是对对称称矩矩阵阵，，故故可可构构造造
0054
0 0 5 4
0045.
0 0 4 5
二二次次型型
x
x
T
?
A
A
2
2
x
x
,
,将将其其化化为为标标准准形形
yT
y
A
?A
y
y .即.即有有京A2与与
a
A合合同同，，亦亦即即
PT
P
A
TA
2P
2 P
=
= A
A
..由由于于
x?A2x=x1+xi+5x2+5x2+8x?x?
xTA2x = xf + J?! + 5x| + + 8x3 x4
x
8 16
==xX2? ++x X?2 ++5 5 ((3*++ -|-Xx?3Xx?4十 + ))++5 5xx21— — 16x2
5 25 5
=x2 +
+
x
X
2
2
+
+
5
5
((xZ?3
十+
4xa)
)
2 +
+ -
9
|-X
x
$
2 ,
,
=Xi 5 5
4
那 那么 么 ， ， 令 令 71 y = ? = 1 x 1 ? ，y , ? y = ?=工x 1 ? ， , 丁 3 y ? = = 7 x 工 ? 3 + + y 5 X x? 4 ·,丁y 4 ?==x勾?,即， 7 即经经坐 L 坐标标变变换换
100 0
x? y?
= 010 0
,
x? y?
4
x? 001- 5 ya
x4 000 1 y?
9
有有xxT?AA2 2X x== y"i ++y话i++5 5y博3++ g■ y 邳 2. . 7 口
5
0
1000
■1 0 0 0 - _1
010 0 1
0 1 0 0 1
·
所所以以，，取取pP ==
001-
4 ,有有((AAPP)T)((AAPP)) == PP
t
TAA22PP == 5
5
0 0 1 ——
5
5 6
9_
000 1
5
_0 0 0 1 _ 5
,210 ·
・ 210 -第箫一一章童 随随机机事事件件和和概概率率
第 第三 三 部 部 分 分 概概率率论论与与数数理理统统计计
第第一一章章 随随机机事亭件仲和春机概率率
一一、、事事件件关关系系、、概概率率性性质质和和五五大大公公式式
3
[J((22001122,1,14题4题)【)【答答案案】】4
4
-
【【解解析析】】A A与与CC互互不不相相容容，，即即有有CZC□)AA,,当当然然更更有有CCZ□) AABB,所,所以以
1
= X
ami、 PP((AABBCC)) PP((AABB)) 7 2 = 3 3 .
P P( ( A A B B | 1 C C ) ) = =初厂二=1^P(C) = z2. = T4
P(C) 1—P(C)
3
3
02((2200114,47,题7题)【)【答答案案】】 BB..
【【解解析析】】A A,B,B独独立立，则，A则与A与百独B独立立0，与AB与也B也独立独,立而，A而—BA -=B=应AB,,BB-—AA=B =X可 E用S可独用立独性立性来来计计算算..
PP((AA--BB))= =P (PA(AB)B=) =P (PA()AP)(PB(B)=) 0=. 30,.3即,即P (PA()A·) •0 0.. 55 ==0 .03.3,所,所以以 PF((AA)) ==0 .06.6;；
P(B-A)=P(BA)=P(B)P(A)=0.5×0.4=0.2.
P(B 一 A) = P(BA) = P(B)P(A) = 0. 5 X 0. 4 = 0. 2.
S3(2(021051,57,题7题)【)【答答案案】】 CC..
【【解解析析】 】由 于由A于B AUB C(A(A UUB B),)故,故PP((AABB)≤) )P>P((AA || BB)等)等价价于于
=
PP((AABB)) > PP((AABg)) = PP((AA)) --P P(CAABB))
PP((BB)) PP((BB)) 11 —一 PP((BB) )~，
也也就就是是 P P (A ( B AB ) ) — - P P ( ( B B ) ) P P ( ( A A B B ) ) > > P P( (A A) ) P P ( (B B) ) - — P ( P B (B )P )P ( ( A A B) B , ) 即 ,即 P P ( (A AB B ) ) > > P ( F A ( ) A P ) ( P B (B ). ).
总总之之 PP((AA || BB))> >P( PA(丨A B| )B的)的充充要要条条件件为为 PP((AABB)) >>P (PA(A)P)P(B(B).).
如如果果对对称称地地将将
A
A
,B
,B表表示示为为
P(
P
B
(
A
B
)
A )
>
> P
P
(
(
B
B
)
)
P
P
(
(
A
A
),
),
则则充充要要条条件件为为P(PB( B\ 丨
A)
A )
>
> P
P
(
(
B
B
I A
| A
).
).
答答案案应应选选((AA))..
((方方法法二)二 )选选特特殊情殊况情 A况 = AB=,0B ,V0P<(PA()A <)< 11,,则则 P(PA( A| |BB) )== PP((AA || AA)) ==1 ,1,
P(A|B)=P(A|A)=0,所以A=B时条件P(A|B)>P(A|B)成立.
P(A | B) = P(A | A) = 0,所以 A = B 时条件 P(A | B) > P(A | B)成立.
·211 ·
• 211数
数
学
学
历
历
年
年
真
真
题
题
全
全
精
精
解
解
析
析
·
•
提提高高篇篇(数
（数
学
学
一
一
)
）
现现在在考考虑虑在在
A
A=
=
B
B
条条件件下下四四个个选选项项
((AA)) PP((BB | |AA)) == PP((AA| | AA))= =1 ,1P,P((BB| | AA))= =P (PA(|AA | )A=)0 =, 故0,故P (PB(B| A| )A>) P>( BPI(BA )| 成A)立成立..
((BB)) 显显然然，，P(PB( B| 丨A)A )<
P(B|A)不成立.
(C) P(B | A) = P(A | A) = 0,P(B | A) = P(A \ A) = 0,故 P(耳 | A) > P(B | A)不成立.
((DD)) 显显然然，，P(P百(BI A|A) )<< PP((BBI A| )A也)也不不成成立立.
总总之之((BB))((CC))((DD))不不可可能能是是PP((AA || BB))> >P( PA|(BA) 的| B充)的要充条要件条.件因.为因A为=AB时 =， B题时设，题条设件条成件成立立，,
而而((BB))((CC))((DD)均)均不不成成立立..答答案案必必为为((AA))..
1
05((2200118,81,41题4题)【)答【答案案】】
4
=
P(AC(AB UC)) 1
【【解解析析】】P (PA(CA C| 丨ABAB UU OC )==
P(AB U C)
= y4,
1
其 其中 中 P P ( ( A . C AC ( ( A A B B U U C O ) ) ) = = P P ( ( A A B B C C U U A A C C ) ) = = P P ( ( A A C C ) ) = = P P ( ( A A ) )P P ( ( C C ) ) = = y2PP((CC))..
1 1 1
和和 P (PA(BA UB OU C=) =PP(A(ABB) )++ PP((CC) )== PP((AA))PP((BB)) ++ PP((CC)) == § 2 • § 2 ++P P ( (C C) ) = = f 4 ++P P((CC)),.
1
P(C)
11 2TP(C) 11 11 11
所所以以，，土 4 三= F1 ----------，,即即 p P(( c C))== 吉 8 +十 吉 2pP((cC)),,pP((cC))== 4 4 -
4 ] ++P P((CC)) 8 2 4
4
4
06((2200119,97,题7题)【)【答答案案】】 CC..
【【解解析析】】 本本题题考考查查概概率率的的加加法法、、减减法法公公式式等等基基本本性性质质..
PP((AABB)) ==P P((AA- -B )B=) P-( AP)(A-)P (-APB()A,B)而,而P( PB(AB)A=) =P (PB(-BA-)A=) P=( PB()B—) -PP((AABB)),,
PP((AABB)) ==P (PB(BAA)),,即即 PP((AA))--PP((AABB))= P=( BP)(B-)P (-A PB()A,B等),价等价于于P (PA(A))= =P (P(BB))..
答答案案应应选选((CC).).
Q7((2200220,07,题7题)【)【答答案案】】 DD..
【【解解析析】】 A , A B , , B C , 中 C中 恰 恰 有 有 一个 一 事 个 件 事 发 件 生 发 ，即 生(A ， U 即 B ( A— U U C B ) —- U ( C A ) B —— ( U A B B C U B U C A UA C C ) ) . . 因 因 为 为 P P (A (A B B) )= =
00,,故故PP((AABBCC))= 0=, 所0,所以以恰恰有有一一个个事事件件发发生生时时，可， —以可只以考只虑考(A虑 U( BA UU BCU)C )-- ((BBCC UU AAC)C的)的概概率率
P((A UBUC)-(BCUAC))=P(A)+P(B)+P(C)-P(BC)-P(AC)-P(BC)-P(AC)
P((A U B U C)-(BC U AC)) = P(A) + P(B) + P(C) - P(BC)-P(AC)-P(BC)-P(AC)
1 1 1 1 1 1 1 = 5
三 .J 4 _ 十, 4 十 4 _ 1 _ 2 1__ 1 _ 2 1__ 1 J 2 __ 1 J_ 2 = 12 5 '
~ T T T 12 12 12 12 _ 12,
答答案案选选(（DD)）..
08(2（022012,18,题8题)【）【答答案案】】 DD..
【解析】(方法一)(A)P(A丨B)=P(A)即A,B独立，则A,B也独立，P(A丨B)= P(A)
【解析】（方法一）（A）P（A | B） = P（A）即A,B独立，则A,E也独立,P（A \ B） = P（A）
成成立立..
P(AB)
((BB)) PP((AA || BB)) >>P (PA()A,)即,即 > > P ( P A (A ), ), P P ( (A AB B ) ) > > P( P A ( ) A P ) ( P B (B ). ).
Pr(\DB))
同理：P(A|B)>P(A)等价于P(AB)>P(A)P(B),又等价于
同理：P(石| B) > P(A)等价于P(AB) > P(A)P(B),又等价于
11--PP((AAU UB )B>) [>1 -[1P-(PA()A])[]1[-1P-P(B(B)])],,
即1-P(A)-P(B)+P(AB)>1-P(A)-P(B)+P(A)P(B),也就有P(AB)>P(A)P(B),
即 1-P(A) — P(B) + P(AB) > 1-P(A)-P(B) + P(A)P(B),也就有 P(AB) > P(A)P(B),
所所以以PP((AA || BB)) >>P (PA()A成)成立立..
=
P(AB) P(A)—P(AB) P(AB) P(A)一P(AB)
((
(O
CC))
R
PP(
A
(AA I
|
|
B
RB))
) >
>P
P
p(
G
(A
A
A丨 I
| B
再B)
)
)=_
— P ? ( ( B 百 ) )
_
- -
F
--
(
-
A
1
)
—
—
P
P
(
(
B
A
)
B),
，
刖即
即
P
P
(
亍
A
(B
B
面 )
) _ >
>一
P( A
1
)
1 — 一
_
P p
P
( (
(
BB)
A
)
B)
，
·212 ·
. 212 ."圣据："**《________________________第第一一章章 随随机机事事件件和和概概率率 (P(B)P(A)-P(B)P(AB),即P(AB)>P(A)P(B),
也就有 P(AB) - P(AB)P(B) > P(B)P(A) - P(B)P(AB),即 P(AB) > P(A)P(B),
P(AB)
>>P (FA(A),) P,P((AA丨 | BB)) >>P( PA()A成)成立立..
PP((BB))
((AA)()(BB)()C()C三)三个个均均非非假假命命题题，，答答案案应应选选((DD).).
P(BA)
( ( 方 方法 法 二 二 ) ) (D()DP)(AP (| AA|AUUBB))>>PP((AA|| AAUUB)B, ) 即.即P(A) >> p 偌%)
P(A U B) P(A U B)
等等价价于于 PP(A()A )>>PP((BB))--PP((AABB))..
这这并并不不能能推推出出PP((AA)) >>P (PB()B,)答,答案案选选((DD))..
((方方法法三三)()D()DP()AP (| AA |UA UB)B >)> FP((石A | |AA UU BB)),,令令人A==B8,,
PP((AA || AA UU BB)) ==P P(CAA || AA)) == 11 >>P P((AAI | AA)) ==0 0
即即((DD))给给条条件件成成立立,，但但结结论论P(PA()A )>> PP((BB))= =P (PA()不A)成不立成，立选，选((DD))..
5
9
皿
(20
2
2
0
2,
2
1
2
6
,1
题
6
)
题
【
)
答【答案案】】
8
·
--- o —
=
P((B UC)∩(A U BUC)) P(B UC)
【【解解析】析 】P C R IPI(CBI AUCII|BAUUBCUC) )== P((B U C) n (A u B U O)= F(B UQ 一
UCIAUBUC)- Pp((AA uU BB UU CC)) PP((AA UU BB UU CC))
=
P(B)+P(C)—P(BC)
一 =__________________ P(B) + P(C)—P(BC)__________________
P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)
_ P(A) + P(B) + P(C) - P(AB) - P(BC) - P(AC) + P(ABC)
1+ 1 1 1
1 , 1 1 1
= - 3 ------- 3 -- ---— 3 •— 3 = 5
=________3 丁 3 3 3________ = 5_
·
~ 歹3 1 1 十 , + 1 3耳 , 十+ 1 耳 1 3 — — _ 0 - 0 — — —亏3 11— .习3 1 1—- _ 07 0 + + 707 0 —云 8
二二、、古古典典概概型型、、几几何何概概型型和和伯伯努努利利概概型型
、/1解解题题加加速速度度
【 【答 答 案 案 】 工 < I.
【【解解析析 i 】 掣一般般来来说说，，随随机机事事件件““第第二二个个人人取取得得黄黄球球””与与第第一一个个人人取取得得的的是是什什么么球球有有关关，，这这就就要要
用用全全概概率率公公式式来来计计算算，，但但也也可可以以用用古古典典型型概概率率来来解解，，这这会会简简单单得得多多..
(（方方法法一一)） 设设事事件件AA.表,表示示第第i个Z•个人人取取得得黄黄球球，3i==1, 21,,则2,则根根据据全全概概率率公公式式：：
20 19 30 20 2
PF(（AA2?）) ==P P(（AA?1)）PP(（AA2? II AA?i）) ++P P(（AA?1)）PP(（AA2? I| 瓦A?）)==
5
|
0
|x ×
4
||
9
十+
5
|§
0
× x
4
|
9
|
三
=
5
(（方方法法二二)） 只只考考虑虑第第二二个个人人取取得得的的球球，，这这5500个个球球中中每每一一个个都都会会等等可可能能地地被被第第二二个个人人取取到到，，而而
20 = 2·
取到黄球的可能有20个，故所求概率为段=
取到黄球的可能有20个，故所求概率为 50 5
□0 b
«
【【评评注注】】 在在古古典典型型概概率率和和几几何何型型概概率率的的求求解解中中，，考考生生们们会会有有无无从从下下手手的的感感觉觉，，因因为为往往往往要要
:求求先先去去构构造造相相应应的的样样本本空空间间..然然后后再再计计算算样样本本空空间间中中和和要要求求事事件件中中的的样样本本点点数数..在在反反映映要要求求事事件件 II
it
:的的条条件件下下把把样样本本空空间间构构造造得得越越简简单单，，则则相相应应的的计计算算就就越越简简单单，，例例如如把把本本题题解解成成方方法法一一，，计计算算量量就就 II
it
稍
'I
稍大大些些。.
II
IL
·213 ·
-213 -数数学学历历年年真真题题全全精精解解析析·•提提高高篇篇(数(数学学一一))
第
第二
二
章
章 随随机机变更量量及及其或分分布布
.
口1(2(201001,07,题7题)【)【答答案案】】 CC..
【【解解析析】 】根 据根分据布分函布数的函性数质的P性{X质 =P x(}X =
=
x }
F
=
U
F(
)
x
-
)
F
-F
(
(
x
x
-
-
O
0)
)
,
,
不不难难计计算算
P
P
{
(
X
X=
=
1 }
1
的 }的值值..
1 = 1
PP{{XX ==1 }1}= F=( F1)(l-)F-(F1(-l-0O)=)1 =— 1e -- 1e-1— - -y = 4 —- ee--11,
2 2
所所以以答答案案应应选选((CC).).
02((2200110,08,题8题)【)【答答案案】】 AA..
J“+00 ,
【【解解析析】】 根根据据密密度度函函数数的的性性质质：:f+°°f/((xx))ddxx= 1=, 以1,正以态正分态布分和布均和匀均分匀分布布的的性性质质，，可可以以求求出出aa,,
-00”
J —OO
b6应应满满足足的的条条件件..
。
C
?
+00 +00 +0
11 == [ f/((xx))ddxx == f aaf/i? ((xx))ddxx ++ f b b f f ? 2 ( ( x x ) ) d d x x = = a a f f f ? x ( ( x x ) ) d d x x + +b f f t ? ((xx))ddxx..
J- —0°8 J —8 -00 J 0 0 J —8 -0° J 0
1
f/1?((xX))为为标标准准正正态态分分布布的的概概率率密密度度，，其其对对称称中中心心在在Xx ==0 处0处，，故故『8f方(x&))d&x == f.
2
/f?2((xx))为为[［-—1,13,]3,上］上均均匀匀分分布布的的概概率率密密度度，，即即
人 1
4-», -—1 ≤1
