考研数学历年真题(1998-2007)年数学一公众号：小乖考研免费分享_04.数学一历年真题_普通版本数学一_真题集（仅是真题，可以直接打印的）

2007 年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 一、选择题(本题共10小题,每小题4分,满分40分,在每小题给的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前 的字母填在题后括号内) (1)当x0时,与 x 等价的无穷小量是（ ） 1x (A)1e x (B)ln (C) 1 x 1 (D)1cos x 1 x 1 (2)曲线y  ln(1ex),渐近线的条数为（ ） x (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 (3)如图,连续函数 y  f(x)在区间[3,2],[2,3]上的图形分别是直径为1 的上、下半圆周,在区间[2,0],[0,2]的图形分别是直径为2的上、下半圆 x 周,设F(x) f(t)dt.则下列结论正确的是（ ） 0 3 5 (A)F(3) F(2) (B)F(3) F(2) 4 4 3 5 (C)F(3) F(2) (D)F(3) F(2) 4 4 (4)设函数 f(x)在x0处连续,下列命题错误的是（ ） f(x) f(x) f(x) (A)若lim 存在,则 f(0)0 (B)若lim 存在,则 f(0)0 x0 x x0 x f(x) f(x) f(x) (C)若lim 存在,则 f(0)0 (D)若lim 存在,则 f(0)0 x0 x x0 x (5)设函数 f(x)在(0, +)上具有二阶导数,且 f "(x)0, 令u n  f(n)1,2,  ,n,则下列结论正确的是（ ） (A)若u u ,则{u }必收敛 (B)若u u ,则{u }必发散 1 2 n 1 2 n (C)若u u ,则{u }必收敛 (D)若u u ,则{u }必发散 1 2 n 1 2 n (6)设曲线L: f(x,y)1( f(x,y)具有一阶连续偏导数),过第2象限内的点M 和第Ⅳ象限内的点N,为L上从点 M 到N 的一段弧,则下列小于零的是（ ） (A) (x,y)dx (B) f(x,y)dy (C) f(x,y)ds (D) f ' (x,y)dxf ' (x,y)dy x y     (7)设向量组α ,α ,α 线性无关,则下列向量组线形相关的是（ ） 1 2 3 (A)α α , α α , α α (B)α α , α α , α α 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1 (C)α 2α ,α 2α ,α 2α (D)α 2α ,α 2α ,α 2α 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 1 1 1 0 0     (8)设矩阵A 1 2 1 ,B 0 1 0 ,则A与B（ ）         1 1 2 0 0 0     (A)合同,且相似 (B)合同,但不相似 (C)不合同,但相似 (D)既不合同,也不相似 (9)某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为 p0 p1 ,则此人第4次射击恰好第2次命中目 标的概率为（ ） (A)3p(1 p)2 (B)6p(1 p)2 (C)3p2(1 p)2 (D)6p2(1 p)2 (10)设随即变量(X,Y)服从二维正态分布,且X 与Y 不相关, f X (x), f Y (y)分别表示X,Y 的概率密度,则在Y  y 的条件下,X 的条件概率密度 f X |Y (x| y)为（ ） f (x) X (A) f (x) (B) f (y) (C) f (x) f (y) (D) X Y X Y f (y) Y 二、填空题(11－16小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上) 2 1 1 (11) ex dx=_______. 1 x3 z (12)设 f(u,v)为二元可微函数,z  f(xy,yx),则 =______. x (13)二阶常系数非齐次线性方程y''4y'3y 2e2x的通解为 y =____________. (14)设曲面 :|x|| y||z|1,则  (x| y|)ds =_____________.  0 1 0 0   0 0 1 0   (15)设矩阵A ,则A3的秩为________. 0 0 0 1   0 0 0 0 1 (16)在区间(0,1)中随机地取两个数,则这两个数之差的绝对值小于 的概率为________. 2 三、解答题(17－24小题,共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (17)(本题满分11分) 求函数 f(x,y) x2 2y2 x2y2在区域D{(x,y)|x2  y2 4,y0}上的最大值和最小值. 2(18)(本题满分10分) I xzdydz2zydzdx3xydxdy, y2 计算曲面积分 其中 为曲面z 1x2  (0 z1)的上侧.  4 (19)(本题满分11分) 设函数 f(x),g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内具有二阶导数且存在相等的最大值, f(a) g(a), f(b) g(b), 证明:存在(a,b),使得 f() g(). (20)(本题满分10分)  设幂级数 a xn 在(,)内收敛,其和函数y(x)满足 y2xy4y 0,y(0)0,y(0)1. n n0 2 (1)证明:a n2  n1 a n ,n1,2,  . (2)求y(x)的表达式. (21)(本题满分11分)  x x x 0 1 2 3  设线性方程组 x 2x ax 0 ,与方程 x 2x x a1,有公共解,求a的值及所有公共解. 1 2 3 1 2 3  x 4x a2x 0  1 2 3 (22)(本题满分11分) 设3阶实对称矩阵A的特征向量值1, 2, 2.α (1,1,1)T 是A的属于特征值的一个特征向量, 1 2 3 1 1 3记BA5 4A3 E,其中E为3阶单位矩阵. (1)验证α 是矩阵B的特征向量,并求B的全部特征值与特征向量. 1 (2)求矩阵B. (23)(本题满分11分) 2x y,0 x1,0 y1 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 f(x,y)  0,其他 (1)求P{X 2Y}. (2)求Z  X Y 的概率密度 . (24)(本题满分11分)  1 ,0 x  2   1 设总体X 的概率密度为 f(x;) , x1 2(1)   0,其他   其中参数 未知， X 1 ,X 2 ,X n 是来自总体 x 的简单随机样本,X 是样本均值 (1)求参数的矩估计量 ˆ. (2)判断4X2是否为2的无偏估计量,并说明理由. 42006 年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上) xln(1x) (1)lim  . x0 1cosx y(1x) (2)微分方程y 的通解是 . x xdydz2ydzdx3(z1)dxdy  (3)设是锥面z  x2  y2 (0 z1)的下侧,则 .  (4)点(2,1,0)到平面3x4y5z 0的距离 = .  2 1 (5)设矩阵A  ,E为2阶单位矩阵,矩阵B满足BAB2E,则 B = . 1 2 (6)设随机变量X 与Y 相互独立,且均服从区间[0,3]上的均匀分布,则Pmax{X,Y}1 = . 二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分. 每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求) (7)设函数 y  f(x)具有二阶导数,且 f(x)0, f(x)0,x为自变量x在x 处的增量,y与dy分别为 f(x) 0 在点x 处对应的增量与微分,若x0,则（ ） 0 (A)0dxy (B)0ydy (C)ydy0 (D)dyy0  1 (8)设 f(x, y)为连续函数,则 4d f(rcos,rsin)rdr 等于（ ） 0 0 2 1x2 2 1x2 (A) 2 dx f(x, y)dy (B) 2 dx f(x, y)dy 0 x 0 0 2 1y2 2 1y2 (C) 2 dy f(x, y)dx (D) 2 dy f(x, y)dx 0 y 0 0  (9)若级数 a 收敛,则级数（ ） n n1   (A)  a 收敛 (B) (1)na 收敛 n n n1 n1   a a (C) a a 收敛 (D)  n n1 收敛 n n1 2 n1 n1 (10)设 f(x, y)与(x, y)均为可微函数,且1(x, y)0.已知(x , y )是 f(x, y)在约束条件(x, y)0下的一个 y 0 0 极值点,下列选项正确的是（ ） 5(A)若 f(x , y )0,则 f(x , y )0 (B)若 f(x , y )0,则 f(x , y )0 x 0 0 y 0 0 x 0 0 y 0 0 (C)若 f(x , y )0,则 f(x , y )0 (D)若 f(x , y )0,则 f(x , y )0 x 0 0 y 0 0 x 0 0 y 0 0 (11)设α 1 ,α 2 ,  ,α s ,均为n维列向量,A是mn矩阵,下列选项正确的是（ ） (A)若α 1 ,α 2 ,  ,α s ,线性相关,则Aα 1 ,Aα 2 ,  ,Aα s ,线性相关 (B)若α 1 ,α 2 ,  ,α s ,线性相关,则Aα 1 ,Aα 2 ,  ,Aα s ,线性无关 (C)若α 1 ,α 2 ,  ,α s ,线性无关,则Aα 1 ,Aα 2 ,  ,Aα s ,线性相关 (D)若α 1 ,α 2 ,  ,α s ,线性无关,则Aα 1 ,Aα 2 ,  ,Aα s ,线性无关. 1 1 0   (12)设A为3阶矩阵,将A的第2行加到第1行得B,再将B的第1列的-1倍加到第2列得C,记P 0 1 0 ,     0 0 1   则（ ） (A)CP1AP (B)CPAP1 (C)CPTAP (D)CPAPT (13)设A,B为随机事件,且P(B)0, P(A|B)1,则必有（ ） (A)P(A  B) P(A) (B)P(A  B) P(B) (C)P(A  B) P(A) (D)P(A  B) P(B) (14)设随机变量X 服从正态分布N(,2),Y 服从正态分布N(,2), 1 1 2 2 且P{| X |1} P{|Y  |1},则必有（ ） 1 2 (A)  (B)  (C)  (D)  1 2 1 2 1 2 1 2 三、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (15)(本题满分10分) 1xy 设区域D= x,y x2  y2 1,x0  ,计算二重积分I  dxdy. 1x2  y2 D (16)(本题满分12分) 设数列 x  满足0 x ,x sinx n1,2,... . n 1 1 n 61 求:(1)证明 l x i  m  x n 存在,并求该极限. (2)计算lim   x n1   x n 2 . x x  n (17)(本题满分12分) x 将函数 f x 展开成x的幂级数. 2xx2 (18)(本题满分12分)   2z 2z 设函数 f u在0,内具有二阶导数,且 z  f x2  y2 满足等式  0. x2 y2 fu (1)验证 fu 0. u (2)若 f 10, f11,求函数 f(u)的表达式. (19)(本题满分12分) 设在上半平面D x,y y 0  内,函数 f x,y 是有连续偏导数,且对任意的t 0都有 .  yf(x,y)dxxf(x,y)dy 0 证明: 对 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L,都有 . L 7(20)(本题满分9分) 已知非齐次线性方程组 有3个线性无关的解, (1)证明方程组系数矩阵A的秩rA2； (2)求a,b的值及方程组的通解. (21)(本题满分9分) 设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量α 1,2,1T ,α 0,1,1T 是线性方程组Ax0的两 1 2 个解. (1)求A的特征值与特征向量. (2)求正交矩阵Q和对角矩阵A,使得QTAQA. (22)(本题满分9分) (X,Y) 设随机变量 的概率密度为 为二维随机变量 的分布函数. (1)求Y 的概率密度 f y . Y  1  (2)F   ,4 .  2  (23)(本题满分9分) X  (01) X ,X ...,X X 1 2 n 设总体 的概率密度为 其中 是未知参数 , 为来自总体 ， 的简单随机样本,记N 为样本值x ,x ...,x 中小于1的个数,求的最大似然估计 1 2 n 82005 年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上) x2 (1)曲线y  的斜渐近线方程为 _____________. 2x1 1 (2)微分方程xy2y  xlnx满足y(1)   的解为____________. 9 x2 y2 z2 u u(x,y,z) 1   (3)设函数 6 12 18 ,单位向量 ,则n (1,2,3) =.________. (4)设是由锥面 z  x2  y2 与半球面 z  R2 x2  y2 围成的空间区域,是的整个边界的外侧,则 xdydz ydzdx zdxdy  ____________.  (5)设α ,α ,α 均为3维列向量,记矩阵A(α ,α ,α ),B(α α α ,α 2α 4α ,α 3α 9α ),如果 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 A 1,那么 B  . (6)从数1,2,3,4中任取一个数,记为X , 再从1,2,  ,X 中任取一个数,记为Y , 则P{Y  2}=____________. 二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求) (7)设函数 f(x)  limn 1 x 3n ,则 f(x)在(,)内（ ） n (A)处处可导 (B)恰有一个不可导点 (C)恰有两个不可导点 (D)至少有三个不可导点 (8)设F(x)是连续函数 f(x)的一个原函数,"M  N"表示"M 的充分必要条件是N",则必有（ ） (A)F(x)是偶函数 f(x)是奇函数 (B)F(x)是奇函数 f(x)是偶函数 (C)F(x)是周期函数 f(x)是周期函数 (D)F(x)是单调函数 f(x)是单调函数 xy (9)设函数u(x,y) (x y)(x y) (t)dt , 其中函数  具有二阶导数,  具有一阶导数,则必有（ xy ） 2u 2u 2u 2u 2u 2u 2u 2u (A)   (B)  (C)  (D)  x2 y2 x2 y2 xy y2 xy x2 (10)设有三元方程xyzln yexz 1,根据隐函数存在定理,存在点(0,1,1)的一个邻域,在此邻域内该方程（ ） (A)只能确定一个具有连续偏导数的隐函数z  z(x,y) (B)可确定两个具有连续偏导数的隐函数x x(y,z)和z  z(x,y) (C)可确定两个具有连续偏导数的隐函数y  y(x,z)和z  z(x,y) 9(D)可确定两个具有连续偏导数的隐函数x x(y,z)和y  y(x,z) (11)设,是矩阵A的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为α ,α ,则α ,A(α α )线性无关的充分必要 1 2 1 2 1 1 2 条件是（ ） (A)  0 (B)  0 (C) 0 (D) 0 1 2 1 2 (12)设A为n(n2)阶可逆矩阵,交换A的第1行与第2行得矩阵B.A*,B*分别为A,B的伴随矩阵,则（ ） (A)交换A*的第1列与第2列得B* (B)交换A*的第1行与第2行得B* (C)交换A*的第1列与第2列得B* (D)交换A*的第1行与第2行得B* (13)设二维随机变量(X,Y)的概率分布为 X Y 0 1 0 0.4 a 1 b 0.1 已知随机事件{X 0}与{X Y 1}相互独立,则（ ） (A)a 0.2,b0.3 (B)a 0.4,b0.1 (C)a 0.3,b0.2 (D)a 0.1,b0.4 (14)设X 1 ,X 2 ,  ,X n (n  2)为来自总体N(0,1)的简单随机样本,X 为样本均值,S2为样本方差,则（ ） (A)nX ~ N(0,1) (B)nS2 ~2(n) (n1)X2 (n1)X 1 ~ F(1,n1) (C) ~ t(n1) (D) n S X2 i i2 三 、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (15)(本题满分11分) 设D {(x,y)x2  y2  2,x 0,y 0},[1 x2  y2]表示不超过1 x2  y2的最大整数. 计算二重积分 xy[1 x2  y2]dxdy. D (16)(本题满分12分)  1 求幂级数 (1)n1(1 )x2n 的收敛区间与和函数 f(x). n(2n1) n1 10(17)(本题满分11分) 如图,曲线C的方程为y  f(x),点(3,2)是它的一个拐点,直线l 与l 分 1 2 别是曲线C在点(0,0)与(3,2)处的切线,其交点为(2,4).设函数 f(x)具有三 3 阶连续导数,计算定积分 (x2  x)f (x)dx. 0 (18)(本题满分12分) 已知函数 f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且 f(0)0, f(1)1. 证明: (1)存在(0,1), 使得 f() 1. (2)存在两个不同的点,(0,1),使得 f ()f () 1. (19)(本题满分12分) (y)dx2xydy 设函数(y)具有连续导数,在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L上,曲线积分  的值恒  L 2x2  y4 为同一常数. (y)dx2xydy (1)证明:对右半平面x0内的任意分段光滑简单闭曲线C,有  0.  C 2x2  y4 (2)求函数(y)的表达式. (20)(本题满分9分) 已知二次型 f(x ,x ,x ) (1a)x2 (1a)x2 2x2 2(1a)x x 的秩为2. 1 2 3 1 2 3 1 2 (1)求a的值； (2)求正交变换xQy,把 f(x ,x ,x )化成标准形. 1 2 3 11(3)求方程 f(x ,x ,x )=0的解. 1 2 3 (21)(本题满分9分) 1 2 3   已知3阶矩阵A的第一行是(a,b,c),a,b,c不全为零,矩阵B 2 4 6 (k为常数),且ABO,求线性方   3 6 k   程组Ax0的通解. (22)(本题满分9分) 1 0 x1,0 y2x 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 f(x,y) 0 其它 求:(1)(X,Y)的边缘概率密度 f (x), f (y). X Y (2)Z  2X Y 的概率密度 f (z). Z (23)(本题满分9分) 设X 1 ,X 2 ,  ,X n (n  2)为来自总体N(0,1)的简单随机样本,X 为样本均值,记Y i  X i  X,i 1,2,  ,n. 求:(1)Y i 的方差DY i ,i 1,2,  ,n. (2)Y 与Y 的协方差Cov(Y,Y ). 1 n 1 n 122004年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上) (1)曲线y lnx上与直线x y 1垂直的切线方程为__________ . (2)已知 f(ex) xex,且 f(1)0,则 f(x)=__________ . (3)设L为正向圆周x2  y2  2在第一象限中的部分,则曲线积分 xdy2ydx的值为__________. L d2y dy (4)欧拉方程x2 4x 2y 0(x 0)的通解为__________ . dx2 dx 2 1 0   (5)设矩阵 A 1 2 0 ,矩阵B满足 ABA* 2BA*E,其中 A*为 A的伴随矩阵,E是单位矩阵,则 B   0 0 1   =__________ . (6)设随机变量X 服从参数为的指数分布,则P{X  DX}= __________ . 二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求) x x2 x (7)把x 0时的无穷小量  cost2dt,  tan tdt,  sint3dt,使排在后面的是前一个的高阶无穷小, 0 0 0 则正确的排列次序是（ ） (A),, (B),, (C),, (D),, (8)设函数 f(x)连续,且 f (0) 0,则存在0,使得（ ） (A) f(x)在(0,)内单调增加 (B) f(x)在(,0)内单调减少 (C)对任意的x(0,)有 f(x) f(0) (D)对任意的x(,0)有 f(x) f(0)  (9)设 a 为正项级数,下列结论中正确的是（ ） n n1  (A)若 l n i  m  na n=0,则级数 a n 收敛 n1  (B)若存在非零常数,使得 limna  ,则级数 a 发散 n n n n1  (C)若级数 a 收敛,则 limn2a 0 n n n n1 13 (D)若级数 a 发散, 则存在非零常数,使得 limna  n n n n1 t t (10)设 f(x)为连续函数,F(t)   dy f(x)dx,则F(2)等于（ ） 1 y (A)2f(2) (B) f(2) (C)f(2) (D) 0 (11)设A是3阶方阵,将A的第1列与第2列交换得B,再把B的第2列加到第3列得C,则满足AQC的可逆矩 阵Q为（ ） 0 1 0 0 1 0     (A) 1 0 0 (B) 1 0 1     1 0 1 0 0 1     0 1 0 0 1 1     (C) 1 0 0 (D) 1 0 0     0 1 1 0 0 1     (12)设A,B为满足ABO的任意两个非零矩阵,则必有（ ） (A)A的列向量组线性相关,B的行向量组线性相关 (B)A的列向量组线性相关,B的列向量组线性相关 (C)A的行向量组线性相关,B的行向量组线性相关 (D)A的行向量组线性相关,B的列向量组线性相关 (13)设随机变量 X 服从正态分布N(0,1),对给定的(01),数u 满足P{X u },若P{X  x},   则x等于（ ） u u u (A)  (B)  (C) 1 (D) u 1 1 2 2 2 1 n (14)设随机变量X 1 ,X 2 ,  ,X n (n 1)独立同分布,且其方差为2 0. 令Y  n X i ,则（ ） i1 2 (A)Cov(X ,Y) (B)Cov(X ,Y)2 1 n 1 n2 n1 (C)D(X Y)  2 (D)D(X Y)  2 1 n 1 n 三、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (15)(本题满分12分) 4 设eabe2,证明ln2bln2a (ba). e2 14(16)(本题满分11分) 某种飞机在机场降落时,为了减少滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速 并停下. 现有一质量为9000kg的飞机,着陆时的水平速度为700km/h 经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的 速度成正比(比例系数为k 6.0106). 问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少? (注:kg表示千克,km/h表示千米/小时) (17)(本题满分12分) I 2x3dydz2y3dzdx3(z2 1)dxdy, 计算曲面积分 其中是曲面z 1x2  y2(z 0)的上侧.  (18)(本题满分11分)  设有方程xn nx10,其中n为正整数.证明此方程存在惟一正实根x ,并证明当1时,级数 x 收敛. n n n1 (19)(本题满分12分) 设z  z(x,y)是由x2 6xy10y2 2yzz2 180确定的函数,求z  z(x,y)的极值点和极值. (20)(本题满分9分)  (1a)x x  x 0, 1 2  n  设有齐次线性方程组   2x 1 (2a)x 2   2x n 0, (n2) ,   nx nx  (na)x 0,  1 2  n 15试问a取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解. (21)(本题满分9分)  1 2 3   设矩阵A 1 4 3 的特征方程有一个二重根,求a的值,并讨论A是否可相似对角化.    1 a 5    (22)(本题满分9分) 1 1 1 设A,B为随机事件,且P(A) ,P(B| A) ,P(A|B) ,令 4 3 2 1, A发生, 1, B发生, X   Y   0,A不发生; 0,B不发生. 求:(1)二维随机变量(X,Y)的概率分布. (2)X 和Y 的相关系数 . XY (23)(本题满分9分) 设总体X 的分布函数为  1 1 ,x 1, F(x,)   x x 1,   0, 其中未知参数1,X 1 ,X 2 ,  ,X n 为来自总体X 的简单随机样本, 求:(1)的矩估计量. 16(2)的最大似然估计量 2003年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上) 1 (1)lim(cosx)ln(1x2) = . x0 (2)曲面z  x2  y2与平面2x4yz 0平行的切平面的方程是 .  (3)设x2  a cosnx( x ),则a = . n 2 n0 1  1  1 1 (4)从R2的基α    ,α   到基β    ,β   的过渡矩阵为 . 1 0 2 1 1 1 2 2 6x 0 x y1 (5)设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 f(x,y) ,则P{X Y 1} . 0 其它 (6)已知一批零件的长度 X (单位:cm)服从正态分布N(,1),从中随机地抽取16个零件,得到长度的平均值为40 (cm),则的置信度为0.95的置信区间是 . (注:标准正态分布函数值(1.96) 0.975,(1.645) 0.95.) 二、选择题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求) (1)设函数 f(x)在(,)内连续,其导函数的图形如图所示,则 f(x)有（ ） (A)一个极小值点和两个极大值点 (B)两个极小值点和一个极大值点 (C)两个极小值点和两个极大值点 (D)三个极小值点和一个极大值点 (2)设{a n },{b n },{c n }均为非负数列,且 l n i  m  a n 0 , l n i  m  b n 1 , l n i  m  c n  ,则必有 (A)a b 对任意n成立 (B)b  c 对任意n成立 n n n n lima c limb c (C)极限 n n不存在 (D)极限 n n不存在 n n 17f(x,y)xy (3)已知函数 f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续,且 lim 1,则 x0,y0 (x2  y2)2 (A)点(0,0)不是 f(x,y)的极值点 (B)点(0,0)是 f(x,y)的极大值点 (C)点(0,0)是 f(x,y)的极小值点 (D)根据所给条件无法判断点(0,0)是否为 f(x,y)的极值点 (4)设向量组I:α 1 ,α 2 ,  ,α r 可由向量组II:β 1 ,β 2 ,  ,β s 线性表示,则（ ） (A)当r  s时,向量组II必线性相关 (B)当r  s时,向量组II必线性相关 (C)当r  s时,向量组I必线性相关 (D)当r  s时,向量组I必线性相关 (5)设有齐次线性方程组Ax0和Bx0,其中A,B均为mn矩阵,现有4个命题: ① 若Ax0的解均是Bx0的解,则秩(A)秩(B) ② 若秩(A)秩(B),则Ax0的解均是Bx0的解 ③ 若Ax0与Bx0同解,则秩(A)秩(B) ④ 若秩(A)秩(B), 则Ax0与Bx0同解 以上命题中正确的是（ ） (A)①② (B)①③ (C)②④ (D)③④ 1 (6)设随机变量X ~ t(n)(n 1),Y  ,则（ ） X2 (A)Y ~2(n) (B)Y ~2(n1) (C)Y ~ F(n,1) (D)Y ~ F(1,n) 三、(本题满分10分) 过坐标原点作曲线y lnx的切线,该切线与曲线y lnx及x轴围成平面图形D. (1)求D的面积A. (2)求D绕直线xe旋转一周所得旋转体的体积V . 四、(本题满分12分) 1812x  (1)n 将函数 f(x) arctan 展开成x的幂级数,并求级数  的和. 12x 2n1 n0 五 、(本题满分10分) 已知平面区域D {(x,y)0 x ,0 y },L为D的正向边界.试证: (1)  xesinydy yesinx dx  xesinydy yesinxdx.   L L (2)  xesinydy yesinxdx22.  L 六 、(本题满分10分) 某建筑工程打地基时,需用汽锤将桩打进土层.汽锤每次击打,都将克服土层对桩的阻力而作功.设土层对桩的阻 力的大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为k.k 0).汽锤第一次击打将桩打进地下am.根据设计方案,要 求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数r(0r 1).问 (1)汽锤击打桩3次后,可将桩打进地下多深? (2)若击打次数不限,汽锤至多能将桩打进地下多深?(注:m表示长度单位米.) 七 、(本题满分12分) 设函数y  y(x)在(,)内具有二阶导数,且y 0,x  x(y)是y  y(x)的反函数. d2x dx (1)试将x x(y)所满足的微分方程 (ysinx)( )3 0变换为y  y(x)满足的微分方程. dy2 dy 3 (2)求变换后的微分方程满足初始条件y(0) 0,y(0)  的解. 2 19八 、(本题满分12分) 设函数 f(x)连续且恒大于零,  f(x2  y2  z2)dv  f(x2  y2)d F(t)  (t) ,G(t)  D(t) ,  f(x2  y2)d t  f(x2)dx D(t) 1 其中(t) {(x,y,z)x2  y2  z2 t2},D(t) {(x,y)x2  y2 t2}. (1)讨论F(t)在区间(0,)内的单调性. 2 (2)证明当t 0时,F(t)  G(t).  九 、(本题满分10分) 3 2 2 0 1 0     设矩阵A 2 3 2 ,P 1 0 1 ,BP1A*P,求B2E的特征值与特征向量,其中A*为A的伴随     2 2 3 0 0 1     矩阵,E为3阶单位矩阵. 十 、(本题满分8分) 已 知 平 面 上 三 条 不 同 直 线 的 方 程 分 别 为 l : ax2by3c 0,l : bx2cy3a 0,l : 1 2 3 cx2ay3b 0.试证这三条直线交于一点的充分必要条件为abc 0. 十一 、(本题满分10分) 已知甲、乙两箱中装有同种产品,其中甲箱中装有3件合格品和3件次品,乙箱中仅装有3件合格品. 从甲箱中 任取3件产品放入乙箱后,求: (1)乙箱中次品件数X的数学期望； (2)从乙箱中任取一件产品是次品的概率. 20十二 、(本题满分8分) 设总体X 的概率密度为 2e2(x) x f(x) 0 x0 其中0是未知参数. 从总体X 中抽取简单随机样本X 1 ,X 2 ,  ,X n ,记 ˆ  min(X 1 ,X 2 ,  ,X n ). (1)求总体X 的分布函数F(x).(2)求统计量 ˆ 的分布函数F (x).(3)如果用 ˆ 作为的估计量,讨论它是否具 ˆ 有无偏性. 2002年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) dx   (1) = _____________. 2 x ln x e y 2 e  6xy  x 1  0 (2)已知函数 由方程 ,则  y (0) =_____________. 212   yy  y  0 (3) 微 分 方 程 满 足 初 始 条 件 的特解是_____________. f (x , x , x )  a(x2  x2  x2)  4x x  4x x  4x x (4)已知实二次型 经正交变 1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3 2 f  6 y 换 可 化 为 标 准 型 , 则 1 a =_____________. (5) 设 随 机 变 量 X 服 从 正 态 分 布 且 二 次 方 程 2 y  4 y  X  0 无 实 根 的 概 率 为 , 则 22 =_____________. 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求) f ( x, y ) (1)考虑二元函数 的四条性质: f ( x, y ) ① 在 点 ( x , y ) 处 连 续 , ② 0 0 23f ( x, y ) 在 点 ( x , y ) 处的两个偏导数连续, 0 0 f ( x, y ) ③ 在 点 ( x , y ) 处 可 微 , ④ 0 0 f ( x, y ) 在 点 24( x , y ) 处的两个偏导数存在. 0 0 若用“ ”表示可由性质 推出性质 则有:（ ）  (A)② ③   ①(B)③ 25 ② ① (C)③   ④ ①  (D)③ ① 26 ④ u  0 (2) 设 , 且 n n lim  1 ,则级数 （ ） u n n (A)发散 (B)绝对收敛 (C)条件收敛 (D)收敛性根据所给条件不能判定. (3)设函数 内有界且可导,则（ ） lim f ( x)  0 (A) 当 时 , 必 有 x 27 lim f ( x)  0 (B) 当 x  lim f ( x) 存 在 时 , 必 有 x  lim f ( x)  0 x lim f ( x)  0 (C) 当 时 , 必 有 x0  lim f ( x)  0 (D) 当 x0  lim f ( x) 存 在 时 , 必 有 x0 28 lim f ( x)  0 . x0 (4)设有三张不同平面,其方程为 它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵 的秩都为2,则这三张平面可能的位置关系为（ ） (5)设 是相互独立的连续型随机变量,它们的概率密度分别为 ,分布函数分别为 ,则（ ） (A) 必为某一随机变量的概率密度 (B) 必为某一随机变量的概率密度 (C) 必为某一随机变量的分布函数 (D) 必为某一随机变量的分布函数. 三、(本题满分6分) f ( x ) 设 函 数 在 29x  0 的某邻域具有一阶连续导数,且 , 若 时 是 比 高 阶 的 无 穷 小 ， , 试 求 a, b 的值. 四、(本题满分7分) y  f ( x) 已 知 两 曲 线 与 arctan x 2 t y   e dt 在 点 0 30(0, 0) 处的切线相同.写出此切线的方程,并求极限 2 lim nf ( ) . n n 五、(本题满分7分) 2 2 max{x , y }  e dxdy 计 算 二 重 积 分 , 其 中 D D  {(x, y) | 0  x  1,0  y  1} . 六、(本题满分8分) 31f ( x ) 设函数 在 内具有一阶连续导数, y L 是上半平面( >0)内的有向分 a, b 段 光 滑 曲 线 , 起 点 为 ( ), 终 点 为 ( 32c, d ). 记 , I L (1)证明曲线积分 与路径 无 关. ab  cd (2) 当 时 , 求 33I 的值. 七、(本题满分7分) (1) 验 证 函 数 (    x   ) 满 足 微 分 方 程 x   y  y  y  e . (2)利用（2）的结果求幂级数 的和函数. 八、(本题满分7分) 设 有 一 小 山 , 取 它 的 底 面 所 在 的 平 面 为 坐 标 面 , 其 底 部 所 占 的 区 域 为 2 2 D  {(x, y) | x  y  xy  75} , 小 山 的 高 度 函 数 为 34h( x, y ) 2 2  75  x  y  xy . M ( x , y ) (1) 设 为 区 域 0 0 D 上 一 点 , 问 h( x, y ) 在该点沿平面上什么方向的方向导数最大?若记此 35g ( x , y ) 方 向 的 方 向 导 数 的 最 大 值 为 , 写 出 0 0 g ( x , y ) 的表达式. 0 0 (2)现欲利用此小山开展攀岩活动,为此需要在山脚下寻找一山坡最大的点作为攀登的起点.也就是说要在 D 的 边 界 线 上 找 出 使 (1) 中 g ( x, y ) 达到最大值的点.试确定攀登起点的位置. 36九、(本题满分6分) A  (α , α , α , α ) 已 知 四 阶 方 阵 , 1 2 3 4 α , α , α , α 均 为 四 维 列 向 量 , 其 中 1 2 3 4 α , α , α 线 性 无 关 , 2 3 4 α  2α  α . 若 1 2 3 β  α  α  α  α , 求 线 性 方 程 组 1 2 3 4 Ax  β 的通解. 37十、(本题满分8分) A, B 设 为同阶方阵, A, B (1) 若 相 似 , 证 明 A, B 的特征多项式相等. (2)举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立. 38A, B (3)当 为实对称矩阵时,证明(1)的逆命题成立. 十一、(本题满分7分) 设维随机变量X的概率密度为 对X独立地重复观察４次,用Y表示观察值大于 的 次数,求 的数学期望. 十一、(本题满分7分) 设总体X的概率分布为 其中 是未知参数,利用总体X的如下样本值3,1,3,0,3,1,2,3, 求 的矩估计值和最大似然估计值. 392001 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题 一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.) (1)设 ( 为任意常数）为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解,则该方程为 _____________. (2)设 ,则div(gradr) =_____________. (3)交换二次积分的积分次序: ＝_____________. (4)设矩阵 满足 ,其中 为单位矩阵,则 =_____________. (5)设随机变量 的方差是 ,则根据切比雪夫不等式有估计 _____________. 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)设函数 在定义域内可导, 的图形如右图所示, 则 的图 y O x 形为 (2)设 在点 附近有定义,且 ,则 (A) . (B) 曲面 在点 处的法向量为{3,1,1}. 40(C) 曲线 在点 处的切向量为{1,0,3}. (D) 曲线 在点 处的切向量为{3,0,1}. (3)设 ,则 在 =0处可导的充要条件为 (A) 存在. (B) 存在. (C) 存在. (D) 存在. (4)设 则 与 (A) 合同且相似. (B) 合同但不相似. (C) 不合同但相似. (D) 不合同且不相似. (5)将一枚硬币重复掷n次,以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数, 则X和Y的相关系数等于 (A)-1. (B) 0. (C) . (D) 1. 三、(本题满分6分) 求 . 四、(本题满分6分) 设函数 在点 处可微,且 , , , .求 . 五、(本题满分8分) 41设 = 将 展开成 的幂级数,并求级数 的和. 六、(本题满分7分) 计算 ,其中 是平面 与柱面 的交线, 从 轴正向看去, 为逆时针方向. 七、(本题满分7分) 设 在 内具有二阶连续导数且 ,试证: (1)对于 内的任一 ,存在惟一的 ,使 = + 成立; (2) . 八、(本题满分8分) 设有一高度为 ( 为时间)的雪堆在融化过程,其侧面满足方程 (设长度单位为厘米,时 间单位为小时),已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数为0.9),问高度为130(厘米)的雪堆全部融化需多少 小时? 九、(本题满分6分) 设 为线性方程组 的一个基础解系, , , 42,其中 为实常数.试问 满足什么条件时, 也为 的一个基础解系. 十、(本题满分8分) 已知3阶矩阵 与三维向量 ,使得向量组 线性无关,且满足 . (1)记 =（ ）,求3阶矩阵 ,使 ; (2)计算行列式 . 十一、(本题满分7分) 设某班车起点站上客人数 服从参数为 ( )的泊松分布,每位乘客在中途下车的概率为 ( ), 且中途下车与否相互独立.以 表示在中途下车的人数,求: (1)在发车时有 个乘客的条件下,中途有 人下车的概率; (2)二维随机变量 的概率分布. 十二、(本题满分7分) 设总体 服从正态分布 ( ),从该总体中抽取简单随机样本 , , ( ),其样本均 值为 ,求统计量 的数学期望 . 432000 年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) 1 (1) 2xx2dx=_____________. 0 (2)曲面x2 2y2 3z2 21在点 的法线方程为_____________. (3)微分方程xy3y0的通解为_____________. 1 2 1 x  1 1      (4)已知方程组 2 3 a2 x  3 无解,则a= _____________.   2   1 a 2 x  0      3 1 (5)设两个相互独立的事件 A和B都不发生的概率为 ,A发生B不发生的概率与B发生 A不发生的概率相等,则 9 P(A) =_____________. 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求) (1)设 f(x)、g(x)是恒大于零的可导函数,且 f(x)g(x) f(x)g(x)0,则当a xb时,有（ ） (A) f(x)g(b) f(b)g(x) (B) f(x)g(a) f(a)g(x) (C) f(x)g(x) f(b)g(b) (D) f(x)g(x) f(a)g(a) (2)设S:x2  y2 z2 a2(z 0),S 为S 在第一卦限中的部分,则有（ ） 1 xdS 4xdS  ydS 4xdS (A) (B) S S S S 1 1 zdS 4xdS xyzdS 4xyzdS (C) (D) S S S S 1 1  (3)设级数 u 收敛,则必收敛的级数为（ ） n n1  u  (A) (1)n n (B) u2 n n n1 n1   (C) (u u ) (D) (u u ) 2n1 2n n n1 n1 n1 (4)设n维列向量组α 1 ,  ,α m (mn)线性无关,则n维列向量组β 1 ,  ,β m 线性无关的充分必要条件为（ ） 44(A)向量组α 1 ,  ,α m 可由向量组β 1 ,  ,β m 线性表示 (B)向量组β 1 ,  ,β m 可由向量组α 1 ,  ,α m 线性表示 (C)向量组α 1 ,  ,α m 与向量组β 1 ,  ,β m 等价 (D)矩阵A(α 1 ,  ,α m )与矩阵B(β 1 ,  ,β m )等价 (5)设二维随机变量(X,Y)服从二维正态分布,则随机变量 X Y 与  X Y 不相关的充分必要条件为（ ） (A)E(X) E(Y) (B)E(X2)[E(X)]2  E(Y2)[E(Y)]2 (C)E(X2) E(Y2) (D)E(X2)[E(X)]2  E(Y2)[E(Y)]2 三、(本题满分6分) 求 四、(本题满分5分) x x 2z 设z  f(xy, )g( ),其中 f 具有二阶连续偏导数 ,g 具有二阶连续导数,求 . y y xy 45五、(本题满分6分) xdy ydx 计算曲线积分I   ,其中L是以点(1,0)为中心,R为半径的圆周(R1),取逆时针方向.  L 4x2  y2 六、(本题满分7分)  xf(x)dydzxyf(x)dzdxe2x zdxdy 0, 设对于半空间x0内任意的光滑有向封闭曲面S,都有 其中函数 S f(x)在(0,)内具有连续的一阶导数,且 lim f(x)1, 求 f(x). x0 七、(本题满分6分)  1 xn 求幂级数 的收敛区间,并讨论该区间端点处的收敛性. 3n (2)n n n1 八、(本题满分7分) 设有一半径为R的球体,P 是此球的表面上的一个定点,球体上任一点的密度与该点到P 距离的平方成正比(比 0 0 例常数k 0),求球体的重心位置. 九、(本题满分6分)   设函数 f(x)在[0,]上连续,且 f(x)dx0, f(x)cosxdx0.试证:在(0,)内至少存在两个不同的点 0 0 ,,使 f() f()0. 1 2 1 2 46十、(本题满分6分) 1 0 0 0   0 1 0 0 设矩阵A的伴随矩阵A*   ,且ABA1 BA13E,其中E为4阶单位矩阵,求矩阵B. 1 0 1 0   0 3 0 8 十一、(本题满分8分) 1 某适应性生产线每年1月份进行熟练工与非熟练工的人数统计,然后将 熟练工支援其他生产部门,其缺额由招 6 2 收新的非熟练工补齐.新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有 成为熟练工.设第n年1月份统计的熟练工与 5 x  非熟练工所占百分比分别为x 和y ,记成向量 n . n n y   n x  x  x  x  (1)求 n1 与 n 的关系式并写成矩阵形式: n1  A n .  y n1   y n   y n1   y n  4 1 (2)验证η    ,η   是A的两个线性无关的特征向量,并求出相应的特征值. 1 1 2  1  471 x   2  x  (3)当 1  时,求 n1 .  y  1  y  1   n1 2 十二、(本题满分8分) 某流水线上每个产品不合格的概率为 p(0 p1) ,各产品合格与否相对独立,当出现1个不合格产品时即停机检 修.设开机后第1次停机时已生产了的产品个数为X ,求X 的数学期望E(X)和方差D(X) . 十三、(本题满分6分) 2e2(x) x 设某种元件的使用寿命 X 的概率密度为 f(x;) 0 x ,其中0为未知参数.又设x 1 ,x 2 ,  ,x n 是 X 的一组样本观测值,求参数的最大似然估计值. 1999年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) 1 1 (1)lim(  )=_____________. x0 x2 xtanx d x (2)  sin(xt)2dt=_____________. dx 0 (3)y4y e2x的通解为 y =_____________. (4)设n阶矩阵A的元素全为1,则A的n个特征值是 _____________. 1 (5)设两两相互独立的三事件A,B和C满足条件:ABC ,P(A) P(B) P(C) , 2 9 且已知P(A  B  C) ,则P(A) =_____________. 16 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求) (1)设 f(x)是连续函数,F(x)是 f(x)的原函数,则（ ） (A)当 f(x)是奇函数时,F(x)必是偶函数 48(B)当 f(x)是偶函数时,F(x)必是奇函数 (C)当 f(x)是周期函数时,F(x)必是周期函数 (D)当 f(x)是单调增函数时,F(x)必是单调增函数 1cosx x0  (2)设 f(x) x ,其中g(x)是有界函数,则 f(x)在x0处（ ）  x2g(x) x0 (A)极限不存在 (B)极限存在,但不连续 (C)连续,但不可导 (D)可导 x 0 x1  a  (3)设 f(x) 1 ,S(x) 0 a cosnx, x,其中 22x  x1 2 n  n1  2 5 1 a 2 f(x)cosnxdx (n0,1,2,  ),则S( )等于（ ） n 0 2 1 1 (A) (B) 2 2 3 3 (C) (D) 4 4 (4)设A是mn矩阵,B是nm矩阵,则（ ） (A)当mn时,必有行列式|AB|0 (B)当mn时,必有行列式|AB|0 (C)当nm时,必有行列式|AB|0 (D)当nm时,必有行列式|AB|0 (5)设两个相互独立的随机变量X 和Y 分别服从正态分布N(0,1)和N(1,1),则（ ） 1 1 (A)P{X Y 0} (B)P{X Y 1} 2 2 1 1 (C)P{X Y 0} (D)P{X Y 1} 2 2 三、(本题满分6分) 设 y  y(x),z  z(x)是由方程z  xf(x y)和F(x,y,z)0所确定的函数,其中 f 和F 分别具有一阶连续导 dz 数和一阶连续偏导数,求 . dx 49四、(本题满分5分) 求 I  (exsin yb(x y))dx(excosyax)dy,其 中 a,b为 正 的 常 数 ,L为 从 点 A(2a,0)沿 曲 线 L y  2axx2 到点O(0,0)的弧. 五、(本题满分6分) 设函数 y(x)(x0)二阶可导且 y(x)0,y(0)1.过曲线 y  y(x)上任意一点P(x,y)作该曲线的切线及x轴 的垂线,上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S ,区间[0,x]上以y  y(x)为曲线的曲边梯形面积记为S ,并 1 2 设 2S S 恒为1,求曲线y  y(x)的方程. 1 2 六、(本题满分7分) 试证:当x0时,(x2 1)lnx(x1)2. 七、(本题满分6分) 50为清除井底的淤泥,用缆绳将抓斗放入井底,抓起污泥后提出井口(见图).已知 井深30m,抓斗自重400N,缆绳每米重50N,抓斗抓起的污泥重2000N,提升速度为 3m/s,在提升过程中,污泥以20N/s的速率从抓斗缝隙中漏掉.现将抓起污泥的抓斗 提升至井口,问克服重力需作多少焦耳的功? (说明:①1N1m=1Jm,N,s,J分别表示米,牛,秒,焦.②抓斗的高度及位于井口上 方的缆绳长度忽略不计.) 八、(本题满分7分) x2 y2 设 S 为椭球面  z2 1的上半部分,点 P(x,y,z)S,为 S 在点 P处的切平面,(x,y,z)为点 2 2 z O(0,0,0)到平面的距离,求  dS. (x,y,z) S 九、(本题满分7分)  设a  4tann xdx: n 0  1 (1)求  (a a )的值. n n n2 n1  a (2)试证:对任意的常数0,级数  n 收敛. n n1 十、(本题满分8分) 51 a 1 c    设矩阵A 5 b 3 ,其行列式|A|1,又A的伴随矩阵A*有一个特征值 ,属于的一个特征向量   0 0 1c 0 a   为α (1,1,1)T,求a,b,c和的值. 0 十一、(本题满分6分) 设A为m阶实对称矩阵且正定,B为mn实矩阵,BT 为B的转置矩阵,试证BTAB为正定矩阵的充分必要条件 是B的秩r(B)n. 十二、(本题满分8分) 设随机变量X 与Y 相互独立,下表列出了二维随机变量(X,Y)联合分布率及关于X 和关于Y 的边缘分布率中 的部分数值,试将其余数值填入表中的空白处. X Y y y y P(X  x ) p 1 2 3 i i 1 x 1 8 1 x 2 8 1 P(Y  y ) p 1 i j 6 十三、(本题满分6分) 6x  (x) 0< x 设总体X 的概率密度为 f(x)3 ,X 1 ,X 2 ,  ,X n 是取自总体X 的简单随机样本  0 其它 (1)求的矩估计量 ˆ . (2)求 ˆ的方差D( ˆ ). 1998年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) 521x  1x 2 (1)lim =_____________. x0 x2 1 2z (2)设z  f(xy) y(x y), f,具有二阶连续导数,则 =_____________. x xy x2 y2 (3)设l为椭圆  1,其周长记为 a, 则 =_____________. 4 3 (4)设α 2α ,α 2α ,α 2α 为n阶矩阵, A 0,A*为A的伴随矩阵,E为n阶单位矩阵.若A有特征值,则 1 2 2 3 3 1 (A*)2 E必有特征值_____________. 1 (5)设平面区域D由曲线 y  及直线 y 0,x1,xe2所围成,二维随机变量(X,Y)在区域D上服从均匀分布,则 x (X,Y)关于X 的边缘概率密度在x2处的值为_____________. 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求) d x (1)设 f(x)连续,则  tf(x2 t2)dt=（ ） dx 0 (A)xf(x2) (B)xf(x2) (C)2xf(x2) (D)2xf(x2) (2)函数 f(x)(x2 x2) x3x 不可导点的个数是（ ） (A)3 (B)2 (C)1 (D)0 yx (3)已知函数 y  y(x)在任意点 x处的增量y  ,且当x0时 , 是x的高阶无穷小,y(0),则 1x2 y(1)等于（ ） (A)2 (B) (C)  (D)  e4 e4 a b c   1 1 1  xa yb zc xa yb zc (4)设矩阵 a b c 是满秩的,则直线 3  3  3 与直线 1  1  1 （ ）  2 2 2 a a b b c c a a b b c c a b c  1 2 1 2 1 2 2 3 2 3 2 3   3 3 3 (A)相交于一点 (B)重合 (C)平行但不重合 (D)异面 (5)设A,B是两个随机事件,且0 P(A)1,P(B)0,P(B| A) P(B| A),则必有 (A)P(A|B) P(A|B) (B)P(A|B) P(A|B) (C)P(AB) P(A)P(B) (D)P(AB) P(A)P(B) 三、(本题满分5分) 53x1 y z1 求直线l:   在平面:x y2z10上的投影直线l 的方程,并求l 绕 y 轴旋转一周所成曲面 0 0 1 1 1 的方程. 四、(本题满分6分) 确定常数,使在右半平面x0上的向量A(x,y)2xy(x4  y2)ix2(x4  y2)j 为某二元函数u(x,y)的 梯度,并求u(x,y). 五、(本题满分6分) 从船上向海中沉放某种探测仪器,按探测要求,需确定仪器的下沉深度 y(从海平面算起)与下沉速度v之间的函数 关系.设仪器在重力作用下,从海平面由静止开始铅直下沉,在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用.设仪器的质量为 m, 体积为B,海水密度为 , 仪器所受的阻力与下沉速度成正比,比例系数为k(k 0).试建立 y 与v所满足的微分方 程,并求出函数关系式y  y(v). 六、(本题满分7分) axdydz(za)2dxdy 计算 ,其中为下半平面z  a2 x2  y2 的上侧 ,a 为大于零的常数. (x2  y2 z2)12  七、(本题满分6分)   2  sin sin  n n sin 求lim     . x n1 1 1  n n   2 n 54八、（本题满分5分）   1 设正向数列{a }单调减少,且 (1)na 发散,试问级数 ( )n 是否收敛?并说明理由. n n a 1 n1 n1 n 九、（本题满分6分） 设y  f(x)是区间[0,1]上的任一非负连续函数. (1)试证存在x (0,1),使得在区间[0,x ]上以 f(x )为高的矩形面积,等于在区间[x ,1]上以 y  f(x)为曲边 0 0 0 0 的曲边梯形面积. 2f(x) (2)又设 f(x)在区间(0,1)内可导,且 f(x) ,证明(1)中的x 是唯一的. 0 x 十、（本题满分6分） x      已知二次曲面方程x2 ay2 z2 2bxy2xz2yz 4可以经过正交变换 y P  化为椭圆柱面方程     z      2 42 4,求a,b的值和正交矩阵P. 十一、（本题满分4分） 设A是n阶矩阵,若存在正整数k,使线性方程组Akx0有解向量 α, 且Ak1α 0. 证明:向量组α,Aα,  ,Ak1α是线性无关的. 十二、（本题满分5分） 已知方程组 55a x a x  a x 0 11 1 12 2  1,2n 2n a x a x  a x 0 21 1 22 2  2,2n 2n (Ⅰ)  a x a x  a x 0 n1 1 n2 2  n,2n 2n 的一个基础解析为(b 11 ,b 12 ,  ,b 1,2n )T,(b 21 ,b 22 ,  ,b 2,2n )T,  ,(b n1 ,b n2 ,  ,b n,2n )T.试写出线性方程组 b y b y  b y 0 11 1 12 2  1,2n 2n b y b y  b y 0 21 1 22 2  2,2n 2n (Ⅱ)  b y b y  b y 0 n1 1 n2 2  n,2n 2n 的通解,并说明理由. 十三、（本题满分6分） 1 设两个随机变量X,Y 相互独立,且都服从均值为0、方差为 的正态分布,求随机变量 X Y 的方差. 2 十四、（本题满分4分） 从正态总体N(3.4,62)中抽取容量为n的样本,如果要求其样本均值位于区间(1.4,5.4)内的概率不小于0.95,问 样本容量n至少应取多大? z 1  t2 附:标准正态分布表 (x)  e 2 dt  2 z 1.28 1.645 1.96 2.33 (x) 0.900 0.950 0.975 0.990 十五、（本题满分4分） 设某次考试的学生成绩服从正态分布,从中随机地抽取36位考生地成绩,算得平均成绩为66.5分,标准差为15分.问 在显著性水平0.05下,是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70 分?并给出检验过程. 附:t分布表 P{t(n)t (n)} p p 0.95 0.975 35 1.6896 2.0301 36 1.6883 2.0281 56