文档内容
立体几何课后习题（一）解析
1-5BAADC
6-10AACBB
11-15CDBCB
1. 下图是长为3a厘米，宽、高均为a厘米的长方体。一只蚂蚁以 m厘米/秒的
速度沿如图所示的路径由A点爬行到B点后，又沿棱BA爬回A点。问其全程用
时最短可能为多少秒？
A.7a/m
B.8a/m
C.9a/m
D.10a/m
解析：根据题意，将蚂蚁经过的面展开得到长为 4×a、宽为 3a 的矩形
ABB`A`，则蚂蚁相当于从A`点走到B点，再沿着BA走到A。两点之间直线最短，
所以根据勾股定理，最短路径为 A`B=5a，BA=3a，一共为5a+3a=8a，所以需要
时间t=s/v=8a/m。
故正确答案为B。
2.某蓄水池为长方体，其长是宽的 2倍，高为3米。如果用每分钟可抽水 1立
方米的抽水机抽水，10小时可以将满池水抽空。则该蓄水池的宽是多少米？A.10 B.15 C.20 D.25
解析：设长方体宽为a，长为2a，则体积为a×2a×3=6a2。10小时抽水机可以
抽10×60=600m3的水，所以长方体水池体积6a2=600，所以a=10m，则蓄水池的
宽是10米。
故正确答案为A。
3. 下图所示是一种帐篷屋顶的示意图，底面是一个长 4米宽3米的长方形，屋
顶高1米，上棱长2米且平行于底面，那么该帐篷屋顶的体积是：
A.5立方米 B.11立方米 C.12立方米 D.24立方米
解析：过顶点M、N作底面ABCD的垂直截面，得到左右两个四棱锥与中间的三
棱柱（EFM-GHN）。则V =S×h=1/2×GH×PO×MN=1/2×3×1×2=3立方米。
EFM-GHN
V =V =1/3×S×h=1/3×1×3×1=1。所以屋顶总体积为3+1+1=5立方米。
M-AEFD N-BCHG
故正确答案为A。
4. 如图，沙漏计时器由上下两个大小相同、相互连通且底面互相平行的圆锥组
成，下面的圆锥内装有细沙。计时开始时，将沙漏倒置，已知上面圆锥中细沙
全部流下恰好需要1小时，则细沙高度下降一半所需的时间是：A.30分钟 B.45分钟 C.47.5分钟 D.52.5分钟
解析：当细沙高度下降一半时，上部剩余细沙与计时器上部圆锥为相似圆锥，
高度比为1：2，因此体积比为三次方即1：8，则剩下的一半细沙还需要1/8的
时间流完，即60/8=7.5分钟，所以下降一半此时已用时60-7.5=52.5分钟。
故正确答案为D。
5.工作人员做成了一个长60厘米，宽40厘米，高22厘米的箱子，因丈量错误
长和宽均比设计尺寸多了 2厘米，而高比设计尺寸少了 3厘米，那么该箱子的
表面积与设计时的表面积相差多少平方厘米：
A.4 B.20 C.8 D.40
解析：实际表面积为 2×（60×40+60×22+40×22）=2×（2400+2200）
=9200，设计表面积为 2×（58×38+58×25+38×25）=2×（2204+96×25）
=2×（2204+2400）=9208，所以相差9208-9200=8平方厘米。
故正确答案为C。
6. 在屋内墙角处堆放稻谷（如图，谷堆为一个圆锥的四分之一），谷堆底部的
弧长为6米，高为2米，经过一夜发现谷堆在重力作用下底部的弧长变为 8米，
若谷堆的谷量不变，那么此时谷堆的高为：
A.9/8米
B.8/9米
C.9/16米
D.4/9米
解析：圆锥体积V=1/3×S×h，现在体积V不变，所以S与h成反比关系。前后
底部都是一个1/4的圆，是相似图形，线长度比为6：8即3：4，所以面积比为
平方即9：16，则高度比为16：9，所以现高度为2×9/16=9/8米。
故正确答案为A。7.将一个棱长为整数的正方体零件切掉一个角，截面是面积为 100√3的三角形，
问其棱长最小为多少？
A.15 B.10 C.8 D.6
解析：截面面积固定，需要棱长即体积最小，则截面应占据正方体尽量大的地
方，因此截面是如上图在正方体的三个顶点上的边长为正方体面对角线的正三
角 形 。 设 截 面 边 长 为 a ， 则 截 面 正 三 角 形 面 积 为
1/2×a×√ 3/2×a=√ 3/4×a2=100√ 3 ， 则 a=20 。 所 以 棱 长 至 少 为
20/√2=10√2，因为棱长是整数，因此向上取整，棱长最小为15。
故正确答案为A。
8. 小庄要制作一个工业模具。他在一个边长4厘米的正方体上表面正中心位置
向下挖掉一个直径 2厘米、高2厘米的圆柱体，接着再向下挖掉一个直径 1厘
米、高1厘米的小圆柱体（如右图所示）。那么，该模具的表面积约为多少平
方厘米？
A.82.8 B.108.6 C.111.7 D.114.8
解析：原表面积为6×4×4=96cm3。挖掉一部分之后，将小圆柱体的底面平移到
上面大圆柱体底部，则切出来的新面积为大圆柱的底面积+侧面积，加上小圆柱
的侧面积。而原正方体少掉的表面积为大圆柱的底面积，所以新增表面积=大圆
柱侧面积+小圆柱侧面积=2π×1×2+2π×0.5×1=5π，所以模具表面积为
96+5π≈96+5×3.14=96+15.7=111.7cm3。
故正确答案为C。
9. 一个容器由一个长方体和一个半圆柱体如下图组合而成，长方体的长为1米宽为0.5米，高为2米。在这个容器表面涂漆花费200元，问平均每平方米的
涂漆成本在哪个范围内？
A.不超过20元 B.超过20元但不超过25元
C.超过25元但不超过30元 D.超过30元
解析：将容器表面积分为长方体、圆柱部分计算，相当于长方体缺一个重合面
的 表 面 积 + 圆 柱 的 半 个 表 面 积 =2× （ 1×0.5+1×2+0.5×2 ） -
1×2+π×0.52+1/2×2π×0.5×2=5+π/4+π=5+5π/4≈9平米，则每平米成本
为200/9≈22.2元。
故正确答案为B。
10.如图，圆锥高6√3厘米，底面半径为6厘米，一只蚂蚁从A点沿圆锥侧面
爬行到B点，则最短的距离为（ ）厘米。
A.12
B.12√2
C.6π
D.24解析：将圆锥侧面展开得到一个扇形。因为半径为 6cm，所以圆锥底面周长
=12πcm。圆锥高 6√3cm，所以母线 l=6×2=12cm，所以展开后扇形半径为
12cm。展开后扇形满圆下周长为 24π，而扇形弧长为12π，所以这个扇形圆心
角为180°。而B点在正对面即周长中点位置，所以∠AOB=180°/2=90°。所以
根据勾股定理，最短路径AB=12√2cm。
故正确答案为B。
11.长为 10cm 的素菜蛋卷的制作方法是：用一张 7cm×10cm 的蛋皮把长度为
10cm的豆芽卷在里面，外形为圆柱状。某日豆芽只有7cm长,于是改变蛋卷的卷
法，得到7cm的圆柱。这两种大小的蛋卷在相连接处均重叠了 1cm的蛋皮，问
10cm长的蛋卷与7cm长的蛋卷的体积比是 。
A.7:10 B.20:21 C.40:63 D.1:1
解析：A 方式圆柱底面周长为 7-1=6cm，高为 10cm。B 方式底面周长为 10-
1=9cm，高为7cm。因为周长比为6：9即2：3，所以底面圆的面积比为4：9，
而高的比为10：7，所以体积比为4×10：9×7=40：63。
故正确答案为C。
12.一直升机在海上救援行动中搜索到遇险者方位后通知快艇，快艇立即朝遇险
者直线驶去。此时，直升机距离海平面的垂直高度 200米，从机上看，遇险者
在正南方向，俯角（朝下看时视线与水平面的夹角）为30°，快艇在正东方向
俯角为45°。若忽略当时风向、潮流等其它因素，且假定遇险者位置不变，则
快艇以60千米/小时的速度匀速前进需要多长时间才能到达遇险者的位置？A.21秒 B.22秒 C.23秒 D.24秒
解析：因为观察B、C的俯角分别为30°、45°，根据平行线内错角相等定理，
∠ABO=30°，∠ACO=45°。而∠AOC=∠AOB=∠BOC=90°，所以 OB=200×√3，
OC=200，所以 BC=400 米，而快艇速度为 60km/h 即 60/3.6m/s，所以需要
400÷60/3.6=4×360/60=24秒。
故正确答案为D。
13.一个圆柱形的容器内放有一个长方体铁块，现打开水龙头往容器中注水 3分
钟时，水恰好没过长方体铁块的顶面。又过了 18分钟后，容器内被注满了水。
已知容器的高是50厘米，长方体铁块的高是20厘米，那么长方体铁块的底面
面积是圆柱形容器底面面积的：
A.5/6
B.3/4
C.2/3
D.1/2
解析：设圆柱容器底部除开长方体部分的面积为 S1，圆柱底部圆的面积为S2。
因为长方体顶部以上30cm部分圆柱体需要18分钟，所以1分钟的水量可以灌
注30/18=5/3cm高度的圆柱体。而长方体顶部以下部分 20cm需要3分钟，所以
1分钟的水量可以灌注除开长方体部分 20/3cm的高度。因为这两部分都属于柱
体V=底面积×高，一分钟的水量体积相等，所以底面积与高度成反比，所以底
面积比为20/3：5/3即4：1，所以长方体底面积占比为4-1：4=3：4。
故正确答案为B。
14.野外生存需要用一个简易的圆锥型过滤器（如下图所示）装满溪水进行过
滤。过滤器的底面直径为20cm，高为6cm。问全部过滤完毕后，在不考虑损耗
的情况下，可使底面半径为5cm，高为15cm的圆柱型容器的水面高度达到：A.4cm B.6cm C.8cm D.12cm
解析：圆锥体积为 1/3×π×100×6=200π，所以灌入圆柱容器后高度
h=V/（πr2）=200π/（π×5×5）=8cm。
解析二：因为圆锥系数为1/3，所以此圆锥体积可看为底面直径为 20cm，高为
6/3=2cm的圆柱，新圆柱与圆柱容器的半径比为10：5，所以面积为4：1，高度
比为2：15，所以圆锥体积与圆柱体积比 4×2：1×15即8：15，所以可以到
15×8/15=8cm的高度。
故正确答案为C。
15.某水渠长100米，截面为等腰梯形，其中渠面宽2米，渠底宽1米，渠深2
米。因突降暴雨，水深由1米涨至1.8米。则水渠水量增加了：
A.112立方米 B.136立方米 C.272立方米 D.324立方米
解析：从底部A作顶部垂线交于B，则BC=1/2×（2-1）=1/2。因为平行，所以
∆ AFD∽ ∆ ABC ， 所 以 FD/AD=BC/AB ， 所 以 FD=0.5×1.8/2=0.45 ， 所 以
EF=1+0.45×2=1.9m。同理，因为G、M在中点，所以GM=1.5m所以新增的梯形
面 积 为 1/2× （ 1.5+1.9 ） ×0.8=1.7×0.8=1.36m2 ， 所 以 新 增 水 量
=1.36×100=136m3。
故正确答案为B。
解析二：原 GM梯形面积=1/2×（1+1.5）×1=1.25m2，水渠截面总面积=1/2×
（1+2）×2=3m2，所以新增面积＜1.75m2，且新增梯形面积＞GM为底的矩形面
积=1.5×0.8=1.2m2，所以只有选项B在范围内。
注释：梯形不能因为平行认为梯形相似，补成三角形后才有三角形相似。
