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2018 年山东省潍坊市中考数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是正确
的，请把正确的选项选出来，每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一
个均记0分）
1．（3分）（2018•潍坊）|1﹣ |=（ ）
A．1﹣ B． ﹣1 C．1+ D．﹣1﹣
2．（3分）（2018•潍坊）生物学家发现了某种花粉的直径约为0.0000036毫米，数
据0.0000036用科学记数法表示正确的是（ ）
A．3.6×10﹣5 B．0.36×10﹣5 C．3.6×10﹣6 D．0.36×10﹣6
3．（3分）（2018•潍坊）如图所示的几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）（2018•潍坊）下列计算正确的是（ ）
A．a2•a3=a6 B．a3÷a=a3C．a﹣（b﹣a）=2a﹣b D．（﹣ a）3=﹣ a3
5．（3分）（2018•潍坊）把一副三角板放在同一水平桌面上，摆放成如图所示的形
状，使两个直角顶点重合，两条斜边平行，则∠1的度数是（ ）
A．45° B．60° C．75° D．82.5°
6．（3分）（2018•潍坊）如图，木工师傅在板材边角处作直角时，往往使用“三弧
法”，其作法是：
第1页（共35页）（1）作线段AB，分别以A，B为圆心，以AB长为半径作弧，两弧的交点为C；
（2）以C为圆心，仍以AB长为半径作弧交AC的延长线于点D；
（3）连接BD，BC．
下列说法不正确的是（ ）
A．∠CBD=30° B．S = AB2
△BDC
C．点C是△ABD的外心D．sin2A+cos2D=l
7．（3分）（2018•潍坊）某篮球队10名队员的年龄结构如表，已知该队队员年龄
的中位数为21.5，则众数与方差分别为（ ）
年龄 19 20 21 22 24 26
人数 1 1 x y 2 1
A．22，3B．22，4C．21，3 D．21，4
8．（3分）（2018•潍坊）在平面直角坐标系中，点P（m，n）是线段AB上一点，以原
点O为位似中心把△AOB放大到原来的两倍，则点P的对应点的坐标为（ ）
A．（2m，2n）B．（2m，2n）或（﹣2m，﹣2n）
C．（ m， n）D．（ m， n）或（﹣ m，﹣ n）
9．（3分）（2018•潍坊）已知二次函数y=﹣（x﹣h）（2 h为常数），当自变量x的值满
足2≤x≤5时，与其对应的函数值y的最大值为﹣1，则h的值为（ ）
A．3或6 B．1或6 C．1或3 D．4或6
10．（3分）（2018•潍坊）在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系叫做极坐标
系．如图，在平面上取定一点O称为极点；从点O出发引一条射线Ox称为极轴；
线段OP的长度称为极径．点P的极坐标就可以用线段OP的长度以及从Ox转动
到OP的角度（规定逆时针方向转动角度为正）来确定，即P（3，60°）或P（3，﹣
300°）或P（3，420°）等，则点P关于点O成中心对称的点Q的极坐标表示不正确
的是（ ）
第2页（共35页）A．Q（3，240°）B．Q（3，﹣120°）C．Q（3，600°）D．Q（3，﹣500°）
11．（3分）（2018•潍坊）已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+ =0有两个
不相等的实数根x ，x ．若 + =4m，则m的值是（ ）
1 2
A．2B．﹣1 C．2或﹣1 D．不存在
12．（3分）（2018•潍坊）如图，菱形ABCD的边长是4厘米，∠B=60°，动点P以1
厘米秒的速度自A点出发沿AB方向运动至B点停止，动点Q以2厘米/秒的速度
自B点出发沿折线BCD运动至D点停止．若点P、Q同时出发运动了t秒，记
△BPQ的面积为S厘米2，下面图象中能表示S与t之间的函数关系的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，共18分，只要求填写最后结果，每小题填对得3
分）
13．（3分）（2018•潍坊）因式分解：（x+2）x﹣x﹣2= ．
14．（3分）（2018•潍坊）当m= 时，解分式方程 = 会出现增根．
15．（3分）（2018•潍坊）用教材中的计算器进行计算，开机后依次按下 ，把
显示结果输入如图的程序中，则输出的结果是 ．
第3页（共35页）16．（3分）（2018•潍坊）如图，正方形ABCD的边长为1，点A与原点重合，点B在
y轴的正半轴上，点D在x轴的负半轴上，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°
至正方形AB'C′D′的位置，B'C′与CD相交于点M，则点M的坐标为 ．
17．（3分）（2018•潍坊）如图，点A 的坐标为（2，0），过点A 作x轴的垂线交直线
1 1
l：y= x于点B ，以原点O为圆心，OB 的长为半径画弧交x轴正半轴于点A ；再
1 1 2
过点A 作x轴的垂线交直线l于点B ，以原点O为圆心，以OB 的长为半径画弧
2 2 2
交x轴正半轴于点A ；…．按此作法进行下去，则 的长是 ．
3
18．（3分）（2018•潍坊）如图，一艘渔船正以60海里/小时的速度向正东方向航行
在A处测得岛礁P在东北方向上，继续航行1.5小时后到达B处，此时测得岛礁P
在北偏东30°方向，同时测得岛礁P正东方向上的避风港M在北偏东60°方向．为
了在台风到来之前用最短时间到达M处，渔船立刻加速以75海里/小时的速度
继续航行 小时即可到达．（结果保留根号）
第4页（共35页）三、解答题（本大题共7小题，共66分。解答要写出必要的文字说明、证明过程或
演算步骤）
19．（7分）（2018•潍坊）如图，直线y=3x﹣5与反比例函数y= 的图象相交A
（2，m），B（n，﹣6）两点，连接OA，OB．
（1）求k和n的值；
（2）求△AOB的面积．
20．（8分）（2018•潍坊）如图，点M是正方形ABCD边CD上一点，连接AM，作
DE⊥AM于点E，BF⊥AM于点F，连接BE．
（1）求证：AE=BF；
（2）已知AF=2，四边形ABED的面积为24，求∠EBF的正弦值．
21．（8分）（2018•潍坊）为进一步提高全民“节约用水”意识，某学校组织学生
进行家庭月用水量情况调查活动，小莹随机抽查了所住小区n户家庭的月用水量
绘制了下面不完整的统计图．
第5页（共35页）（1）求n并补全条形统计图；
（2）求这n户家庭的月平均用水量；并估计小莹所住小区420户家庭中月用水量
低于月平均用水量的家庭户数；
（3）从月用水量为5m3和和9m3的家庭中任选两户进行用水情况问卷调查，求选
出的两户中月用水量为5m3和9m3恰好各有一户家庭的概率．
22．（8分）（2018•潍坊）如图，BD为△ABC外接圆⊙O的直径，且∠BAE=∠C．
（1）求证：AE与⊙O相切于点A；
（2）若AE∥BC，BC=2 ，AC=2 ，求AD的长．
23．（11分）（2018•潍坊）为落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某市政
部门招标一工程队负责在山脚下修建一座水库的土方施工任务．该工程队有A，B
两种型号的挖掘机，已知3台A型和5台B型挖掘机同时施工一小时挖土165立
方米；4台A型和7台B型挖掘机同时施工一小时挖土225立方米．每台A型挖掘
机一小时的施工费用为300元，每台B型挖掘机一小时的施工费用为180元．
（1）分别求每台A型，B型挖掘机一小时挖土多少立方米？
（2）若不同数量的A型和B型挖掘机共12台同时施工4小时，至少完成1080立
方米的挖土量，且总费用不超过12960元，问施工时有哪几种调配方案，并指出
哪种调配方案的施工费用最低，最低费用是多少元？
24．（12分）（2018•潍坊）如图1，在 ▱ABCD中，DH⊥AB于点H，CD的垂直平分线
第6页（共35页）交CD于点E，交AB于点F，AB=6，DH=4，BF：FA=1：5．
（1）如图2，作FG⊥AD于点G，交DH于点M，将△DGM沿DC方向平移，得到
△CG′M′，连接M′B．
①求四边形BHMM′的面积；
②直线EF上有一动点N，求△DNM周长的最小值．
（2）如图3，延长CB交EF于点Q，过点Q作QK∥AB，过CD边上的动点P作
PK∥EF，并与QK交于点K，将△PKQ沿直线PQ翻折，使点K的对应点K′恰好落在
直线AB上，求线段CP的长．
25．（12分）（2018•潍坊）如图1，抛物线y =ax2﹣ x+c与x轴交于点A和点B（1，
1
0），与y轴交于点C（0， ），抛物线y 的顶点为G，GM⊥x轴于点M．将抛物线y
1 1
平移后得到顶点为B且对称轴为直线l的抛物线y ．
2
（1）求抛物线y 的解析式；
2
（2）如图2，在直线l上是否存在点T，使△TAC是等腰三角形？若存在，请求出所
有点T的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）点P为抛物线y 上一动点，过点P作y轴的平行线交抛物线y 于点Q，点Q关
1 2
第7页（共35页）于直线l的对称点为R，若以P，Q，R为顶点的三角形与△AMG全等，求直线PR的
解析式．
第8页（共35页）2018 年山东省潍坊市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是正确
的，请把正确的选项选出来，每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一
个均记0分）
1．（3分）（2018•潍坊）|1﹣ |=（ ）
A．1﹣ B． ﹣1 C．1+ D．﹣1﹣
【分析】直接利用绝对值的性质化简得出答案．
【解答】解：|1﹣ |= ﹣1．
故选：B．
【点评】此题主要考查了实数的性质，正确掌握绝对值的性质是解题关键．
2．（3分）（2018•潍坊）生物学家发现了某种花粉的直径约为0.0000036毫米，数
据0.0000036用科学记数法表示正确的是（ ）
A．3.6×10﹣5 B．0.36×10﹣5 C．3.6×10﹣6 D．0.36×10﹣6
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，
与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一
个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.0000036=3.6×10﹣6；
故选：C．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|
＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3．（3分）（2018•潍坊）如图所示的几何体的左视图是（ ）
第9页（共35页）A． B． C． D．
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【解答】解：从左边看是两个等宽的矩形，矩形的公共边是虚线，
故选：D．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图，注意看
不到而且是存在的线是虚线．
4．（3分）（2018•潍坊）下列计算正确的是（ ）
A．a2•a3=a6 B．a3÷a=a3C．a﹣（b﹣a）=2a﹣b D．（﹣ a）3=﹣ a3
【分析】根据同底数幂相乘，底数不变指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相
减；合并同类项法则，把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指
数不变；积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；对各选项分
析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、a2•a3=a5，故A错误；
B、a3÷a=a2，故B错误；
C、a﹣（b﹣a）=2a﹣b，故C正确；
D、（﹣ a）3=﹣ a3，故D错误．
故选：C．
【点评】本题考查合并同类项、积的乘方、同底数幂的乘除法，熟练掌握运算性质
和法则是解题的关键．
5．（3分）（2018•潍坊）把一副三角板放在同一水平桌面上，摆放成如图所示的形
第10页（共35页）状，使两个直角顶点重合，两条斜边平行，则∠1的度数是（ ）
A．45° B．60° C．75° D．82.5°
【分析】直接利用平行线的性质结合已知角得出答案．
【解答】解：作直线l平行于直角三角板的斜边，
可得：∠2=∠3=45°，∠3=∠4=30°，
故∠1的度数是：45°+30°=75°．
故选：C．
【点评】此题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线是解题关键．
6．（3分）（2018•潍坊）如图，木工师傅在板材边角处作直角时，往往使用“三弧
法”，其作法是：
（1）作线段AB，分别以A，B为圆心，以AB长为半径作弧，两弧的交点为C；
（2）以C为圆心，仍以AB长为半径作弧交AC的延长线于点D；
（3）连接BD，BC．
下列说法不正确的是（ ）
A．∠CBD=30° B．S = AB2
△BDC
C．点C是△ABD的外心D．sin2A+cos2D=l
【分析】根据等边三角形的判定方法，直角三角形的判定方法以及等边三角形的
第11页（共35页）性质，直角三角形的性质一一判断即可；
【解答】解：由作图可知：AC=AB=BC，
∴△ABC是等边三角形，
由作图可知：CB=CA=CD，
∴点C是△ABD的外心，∠ABD=90°，
BD= AB，
∴S = AB2，
△ABD
∵AC=CD，
∴S = AB2，
△BDC
故A、B、C正确，
故选：D．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的性质，三角形的外心等知
识，直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常
考题型．
7．（3分）（2018•潍坊）某篮球队10名队员的年龄结构如表，已知该队队员年龄
的中位数为21.5，则众数与方差分别为（ ）
年龄 19 20 21 22 24 26
人数 1 1 x y 2 1
A．22，3B．22，4C．21，3 D．21，4
【分析】先根据数据的总个数及中位数得出x=3、y=2，再利用众数和方差的定义求
解可得．
【解答】解：∵共有10个数据，
∴x+y=5，
又该队队员年龄的中位数为21.5，即 ，
∴x=3、y=2，
则这组数据的众数为21，平均数为 =22，
第12页（共35页）所以方差为 ×[（19﹣22）2+（20﹣22）2+3×（21﹣22）2+2×（22﹣22）2+2×（24
﹣22）2+（26﹣22）2]=4，
故选：D．
【点评】本题主要考查中位数、众数、方差，解题的关键是根据中位数的定义得出
x、y的值及方差的计算公式．
8．（3分）（2018•潍坊）在平面直角坐标系中，点P（m，n）是线段AB上一点，以原
点O为位似中心把△AOB放大到原来的两倍，则点P的对应点的坐标为（ ）
A．（2m，2n）B．（2m，2n）或（﹣2m，﹣2n）
C．（ m， n）D．（ m， n）或（﹣ m，﹣ n）
【分析】根据位似变换的性质计算即可．
【解答】解：点P（m，n）是线段AB上一点，以原点O为位似中心把△AOB放大到
原来的两倍，
则点P的对应点的坐标为（m×2，n×2）或（m×（﹣2），n×（﹣2）），即（2m，2n）
或（﹣2m，﹣2n），
故选：B．
【点评】本题考查的是位似变换、坐标与图形的性质，在平面直角坐标系中，如果
位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等
于k或﹣k．
9．（3分）（2018•潍坊）已知二次函数y=﹣（x﹣h）（2 h为常数），当自变量x的值满
足2≤x≤5时，与其对应的函数值y的最大值为﹣1，则h的值为（ ）
A．3或6 B．1或6 C．1或3 D．4或6
【分析】分h＜2、2≤h≤5和h＞5三种情况考虑：当h＜2时，根据二次函数的性
质可得出关于h的一元二次方程，解之即可得出结论；当2≤h≤5时，由此时函数
的最大值为0与题意不符，可得出该情况不存在；当h＞5时，根据二次函数的性
质可得出关于h的一元二次方程，解之即可得出结论．综上即可得出结论．
【解答】解：当h＜2时，有﹣（2﹣h）2=﹣1，
解得：h =1，h =3（舍去）；
1 2
第13页（共35页）当2≤h≤5时，y=﹣（x﹣h）2的最大值为0，不符合题意；
当h＞5时，有﹣（5﹣h）2=﹣1，
解得：h =4（舍去），h =6．
3 4
综上所述：h的值为1或6．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的最值以及二次函数的性质，分h＜2、2≤h≤5和h
＞5三种情况求出h值是解题的关键．
10．（3分）（2018•潍坊）在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系叫做极坐标
系．如图，在平面上取定一点O称为极点；从点O出发引一条射线Ox称为极轴；
线段OP的长度称为极径．点P的极坐标就可以用线段OP的长度以及从Ox转动
到OP的角度（规定逆时针方向转动角度为正）来确定，即P（3，60°）或P（3，﹣
300°）或P（3，420°）等，则点P关于点O成中心对称的点Q的极坐标表示不正确
的是（ ）
A．Q（3，240°）B．Q（3，﹣120°）C．Q（3，600°）D．Q（3，﹣500°）
【分析】根据中心对称的性质解答即可．
【解答】解：∵P（3，60°）或P（3，﹣300°）或P（3，420°），
由点P关于点O成中心对称的点Q可得：点Q的极坐标为（3，240°），（3，﹣
120°），（3，600°），
故选：D．
【点评】此题考查中心对称的问题，关键是根据中心对称的性质解答．
第14页（共35页）11．（3分）（2018•潍坊）已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+ =0有两个
不相等的实数根x ，x ．若 + =4m，则m的值是（ ）
1 2
A．2B．﹣1 C．2或﹣1 D．不存在
【分析】先由二次项系数非零及根的判别式△＞0，得出关于m的不等式组，解之
得出m的取值范围，再根据根与系数的关系可得出x +x = ，x x = ，结合 +
1 2 1 2
=4m，即可求出m的值．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+ =0有两个不相等的实数根
x 、x ，
1 2
∴ ，
解得：m＞﹣1且m≠0．
∵x 、x 是方程mx2﹣（m+2）x+ =0的两个实数根，
1 2
∴x +x = ，x x = ，
1 2 1 2
∵ + =4m，
∴ =4m，
∴m=2或﹣1，
∵m＞﹣1，
∴m=2．
故选：A．
【点评】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的定义以及根的判别式，解题
的关键是：（1）根据二次项系数非零及根的判别式△＞0，找出关于m的不等式组；
第15页（共35页）（2）牢记两根之和等于﹣ 、两根之积等于 ．
12．（3分）（2018•潍坊）如图，菱形ABCD的边长是4厘米，∠B=60°，动点P以1
厘米秒的速度自A点出发沿AB方向运动至B点停止，动点Q以2厘米/秒的速度
自B点出发沿折线BCD运动至D点停止．若点P、Q同时出发运动了t秒，记
△BPQ的面积为S厘米2，下面图象中能表示S与t之间的函数关系的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】应根据0≤t＜2和2≤t＜4两种情况进行讨论．把t当作已知数值，就可以
求出S，从而得到函数的解析式，进一步即可求解．
【解答】解：当0≤t＜2时，S=2t× ×（4﹣t）=﹣ t2+4 t；
当2≤t＜4时，S=4× ×（4﹣t）=﹣2 t+8 ；
只有选项D的图形符合．
故选：D．
【点评】本题主要考查了动点问题的函数图象，利用图形的关系求函数的解析式，
注意数形结合是解决本题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，共18分，只要求填写最后结果，每小题填对得3
分）
13．（3分）（2018•潍坊）因式分解：（x+2）x﹣x﹣2= （ x + 2 ）（ x﹣1 ） ．
【分析】通过提取公因式（x+2）进行因式分解．
【解答】解：原式=（x+2）（x﹣1）．
故答案是：（x+2）（x﹣1）．
第16页（共35页）【点评】考查了因式分解﹣提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把
这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方
法叫做提公因式法．
14．（3分）（2018•潍坊）当m= 2 时，解分式方程 = 会出现增根．
【分析】分式方程的增根是分式方程转化为整式方程的根，且使分式方程的分母
为0的未知数的值．
【解答】解：分式方程可化为：x﹣5=﹣m，
由分母可知，分式方程的增根是3，
当x=3时，3﹣5=﹣m，解得m=2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了分式方程的增根．增根问题可按如下步骤进行：
①让最简公分母为0确定增根；
②化分式方程为整式方程；
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
15．（3分）（2018•潍坊）用教材中的计算器进行计算，开机后依次按下 ，把
显示结果输入如图的程序中，则输出的结果是 7 ．
【分析】先根据计算器计算出输入的值，再根据程序框图列出算式，继而根据二次
根式的混合运算计算可得．
【解答】解：由题意知输入的值为32=9，
则输出的结果为[（9÷3）﹣ ]×（3+ ）
=（3﹣ ）×（3+ ）
=9﹣2
=7
故答案为：7．
第17页（共35页）【点评】本题主要考查计算器﹣基础知识，解题的关键是根据程序框图列出算式，
并熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．
16．（3分）（2018•潍坊）如图，正方形ABCD的边长为1，点A与原点重合，点B在
y轴的正半轴上，点D在x轴的负半轴上，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°
至正方形AB'C′D′的位置，B'C′与CD相交于点M，则点M的坐标为 （﹣ 1 ， ）
．
【分析】连接 AM，由旋转性质知 AD=AB′=1、∠BAB′=30°、∠B′AD=60°，证
Rt△ADM≌Rt△AB′M得∠DAM= ∠B′AD=30°，由DM=ADtan∠DAM可得答案．
【解答】解：如图，连接AM，
∵将边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°得到正方形AB'C′D′，
∴AD=AB′=1，∠BAB′=30°，
∴∠B′AD=60°，
在Rt△ADM和Rt△AB′M中，
∵ ，
∴Rt△ADM≌Rt△AB′M（HL），
第18页（共35页）∴∠DAM=∠B′AM= ∠B′AD=30°，
∴DM=ADtan∠DAM=1× = ，
∴点M的坐标为（﹣1， ），
故答案为：（﹣1， ）．
【点评】本题主要考查旋转的性质、正方形的性质，解题的关键是掌握旋转变换的
不变性与正方形的性质、全等三角形的判定与性质及三角函数的应用．
17．（3分）（2018•潍坊）如图，点A 的坐标为（2，0），过点A 作x轴的垂线交直线
1 1
l：y= x于点B ，以原点O为圆心，OB 的长为半径画弧交x轴正半轴于点A ；再
1 1 2
过点A 作x轴的垂线交直线l于点B ，以原点O为圆心，以OB 的长为半径画弧
2 2 2
交x轴正半轴于点A ；…．按此作法进行下去，则 的长是 ．
3
【分析】先根据一次函数方程式求出B 点的坐标，再根据B 点的坐标求出A 点的
1 1 2
坐标，得出B 的坐标，以此类推总结规律便可求出点A 的坐标，再根据弧长公
2 2019
式计算即可求解，．
【解答】解：直线y= x，点A 坐标为（2，0），过点A 作x轴的垂线交 直线于点B
1 1 1
可知B 点的坐标为（2，2 ），
1
以原O为圆心，OB 长为半径画弧x轴于点A ，OA =OB ，
1 2 2 1
OA = =4，点A 的坐标为（4，0），
2 2
这种方法可求得B 的坐标为（4，4 ），故点A 的坐标为（8，0），B（8，8 ）
2 3 3
以此类推便可求出点A 的坐标为（22019，0），
2019
第19页（共35页）则 的长是 = ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，做题时要注意数形结合
思想的运用，是各地的中考热点，学生在平常要多加训练，属于中档题．
18．（3分）（2018•潍坊）如图，一艘渔船正以60海里/小时的速度向正东方向航行
在A处测得岛礁P在东北方向上，继续航行1.5小时后到达B处，此时测得岛礁P
在北偏东30°方向，同时测得岛礁P正东方向上的避风港M在北偏东60°方向．为
了在台风到来之前用最短时间到达M处，渔船立刻加速以75海里/小时的速度
继续航行 小时即可到达．（结果保留根号）
【分析】如图，过点P作PQ⊥AB交AB延长线于点Q，过点M作MN⊥AB交AB延
长线于点N，通过解直角△AQP、直角△BPQ求得PQ的长度，即MN的长度，然后
通过解直角△BMN求得BM的长度，则易得所需时间．
【解答】解：如图，过点P作PQ⊥AB交AB延长线于点Q，过点M作MN⊥AB交AB
延长线于点N，
在直角△AQP中，∠PAQ=45°，则AQ=PQ=60×1.5+BQ=90+BQ（海里），
所以 BQ=PQ﹣90．
在直角△BPQ中，∠BPQ=30°，则BQ=PQ•tan30°= PQ（海里），
所以 PQ﹣90= PQ，
所以 PQ=45（3+ ）（海里）
所以 MN=PQ=45（3+ ）（海里）
在直角△BMN中，∠MBN=30°，
第20页（共35页）所以 BM=2MN=90（3+ ）（海里）
所以 = （小时）
故答案是： ．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，此题是一道方向角问题，结合航海中
的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活
的思想．
三、解答题（本大题共7小题，共66分。解答要写出必要的文字说明、证明过程或
演算步骤）
19．（7分）（2018•潍坊）如图，直线y=3x﹣5与反比例函数y= 的图象相交A
（2，m），B（n，﹣6）两点，连接OA，OB．
（1）求k和n的值；
（2）求△AOB的面积．
【分析】（1）先求出B点的坐标，再代入反比例函数解析式求出即可；
（2）先求出直线与x轴、y轴的交点坐标，再求出即可．
【解答】解：（1）∵点B（n，﹣6）在直线y=3x﹣5上，
∴﹣6=3n﹣5，
第21页（共35页）解得：n=﹣ ，
∴B（﹣ ，﹣6），
∵反比例函数y= 的图象过点B，
∴k﹣1=﹣ ×（﹣6），
解得：k=3；
（2）设直线y=3x﹣5分别与x轴、y轴交于C、D，
当y=0时，3x﹣5=0，x= ，
即OC= ，
当x=0时，y=﹣5，
即OD=5，
∵A（2，m）在直线y=3x﹣5上，
∴m=3×2﹣5=1，
即A（2，1），
∴△AOB的面积S=S +S +S = × ×5+ ×5+ ×1= ．
△BOD △COD △AOC
【点评】本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数与一次函
数的交点问题、函数图象上点的坐标特征等知识点，能求出反比例函数的解析式
是解此题的关键．
第22页（共35页）20．（8分）（2018•潍坊）如图，点M是正方形ABCD边CD上一点，连接AM，作
DE⊥AM于点E，BF⊥AM于点F，连接BE．
（1）求证：AE=BF；
（2）已知AF=2，四边形ABED的面积为24，求∠EBF的正弦值．
【分析】（1）通过证明△ABF≌△DEA得到BF=AE；
（2）设AE=x，则BF=x，DE=AF=2，利用四边形ABED的面积等于△ABE的面积与
△ADE的面积之和得到 •x•x+ •x•2=24，解方程求出x得到AE=BF=6，则EF=x﹣
2=4，然后利用勾股定理计算出BE，最后利用正弦的定义求解．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴BA=AD，∠BAD=90°，
∵DE⊥AM于点E，BF⊥AM于点F，
∴∠AFB=90°，∠DEA=90°，
∵∠ABF+∠BAF=90°，∠EAD+∠BAF=90°，
∴∠ABF=∠EAD，
在△ABF和△DEA中
，
∴△ABF≌△DEA（AAS），
∴BF=AE；
（2）解：设AE=x，则BF=x，DE=AF=2，
∵四边形ABED的面积为24，
∴ •x•x+ •x•2=24，解得x =6，x =﹣8（舍去），
1 2
∴EF=x﹣2=4，
第23页（共35页）在Rt△BEF中，BE= =2 ，
∴sin∠EBF= = = ．
【点评】本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正
方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．会运用全等三角形的知识
解决线段相等的问题．也考查了解直角三角形．
21．（8分）（2018•潍坊）为进一步提高全民“节约用水”意识，某学校组织学生
进行家庭月用水量情况调查活动，小莹随机抽查了所住小区n户家庭的月用水量
绘制了下面不完整的统计图．
（1）求n并补全条形统计图；
（2）求这n户家庭的月平均用水量；并估计小莹所住小区420户家庭中月用水量
低于月平均用水量的家庭户数；
（3）从月用水量为5m3和和9m3的家庭中任选两户进行用水情况问卷调查，求选
出的两户中月用水量为5m3和9m3恰好各有一户家庭的概率．
【分析】（1）根据月用水量为9m3和10m3的户数及其所占百分比可得总户数，再
求出5m3和8m3的户数即可补全图形；
（2）根据加权平均数的定义计算可得月平均用水量，再用总户数乘以样本中低于
月平均用水量的家庭户数所占比例可得；
（3）列表得出所有等可能结果，从中找到满足条件的结果数，根据概率公式计算
可得．
【解答】解：（1）n=（3+2）÷25%=20，
月用水量为8m3的户数为20×55%﹣7=4户，
第24页（共35页）月用水量为5m3的户数为20﹣（2+7+4+3+2）=2户，
补全图形如下：
（2）这 20 户家庭的月平均用水量为 =6.95
（m3），
因为月用水量低于6.95m3的有11户，
所以估计小莹所住小区 420户家庭中月用水量低于 6.95m3的家庭户数为420×
=231户；
（3）月用水量为5m3的两户家庭记为a、b，月用水量为9m3的3户家庭记为c、d、
e，
列表如下：
a b c d e
a （b，a） （c，a） （d，a） （e，a）
b （a， （c，b） （d，b） （e，b）
b）
c（a，c）（b，c） （d，c） （e，c）
d （a， （b，d） （c，d） （e，d）
d）
e （a， （b，e） （c，e） （d，e）
e）
由表可知，共有20种等可能结果，其中满足条件的共有12种情况，
所以选出的两户中月用水量为5m3和9m3恰好各有一户家庭的概率为 = ．
第25页（共35页）【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能
的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A
或B的概率．也考查了统计图和用样本估计总体．
22．（8分）（2018•潍坊）如图，BD为△ABC外接圆⊙O的直径，且∠BAE=∠C．
（1）求证：AE与⊙O相切于点A；
（2）若AE∥BC，BC=2 ，AC=2 ，求AD的长．
【分析】（1）连接OA，根据同圆的半径相等可得：∠D=∠DAO，由同弧所对的圆周
角相等及已知得：∠BAE=∠DAO，再由直径所对的圆周角是直角得：∠BAD=90°，
可得结论；
（2）先证明OA⊥BC，由垂径定理得： ，FB= BC，根据勾股定理计算AF、OB、
AD的长即可．
【解答】证明：（1）连接OA，交BC于F，则OA=OB，
∴∠D=∠DAO，
∵∠D=∠C，
∴∠C=∠DAO，
∵∠BAE=∠C，
∴∠BAE=∠DAO，（2分）
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BAD=90°，
即∠DAO+∠BAO=90°，（3分）
∴∠BAE+∠BAO=90°，即∠OAE=90°，
∴AE⊥OA，
第26页（共35页）∴AE与⊙O相切于点A；（4分）
（2）∵AE∥BC，AE⊥OA，
∴OA⊥BC，（5分）
∴ ，FB= BC，
∴AB=AC，
∵BC=2 ，AC=2 ，
∴BF= ，AB=2 ，
在Rt△ABF中，AF= =1，
在Rt△OFB中，OB2=BF2+（OB﹣AF）2，
∴OB=4，（7分）
∴BD=8，
∴在Rt△ABD中，AD= = = =2 ．（8分）
【点评】本题考查了圆的切线的判定、勾股定理及垂径定理的应用，属于基础题，
熟练掌握切线的判定方法是关键：有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径，证
垂直”．
23．（11分）（2018•潍坊）为落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某市政
部门招标一工程队负责在山脚下修建一座水库的土方施工任务．该工程队有A，B
两种型号的挖掘机，已知3台A型和5台B型挖掘机同时施工一小时挖土165立
方米；4台A型和7台B型挖掘机同时施工一小时挖土225立方米．每台A型挖掘
机一小时的施工费用为300元，每台B型挖掘机一小时的施工费用为180元．
（1）分别求每台A型，B型挖掘机一小时挖土多少立方米？
第27页（共35页）（2）若不同数量的A型和B型挖掘机共12台同时施工4小时，至少完成1080立
方米的挖土量，且总费用不超过12960元，问施工时有哪几种调配方案，并指出
哪种调配方案的施工费用最低，最低费用是多少元？
【分析】（1）根据题意列出方程组即可；
（2）利用总费用不超过12960元求出方案数量，再利用一次函数增减性求出最低
费用．
【解答】解：（1）设每台A型，B型挖据机一小时分别挖土x立方米和y立方米，根
据题意得
解得：
∴每台A型挖掘机一小时挖土30立方米，每台B型挖掘机一小时挖土15立方米
（2）设A型挖掘机有m台，总费用为W元，则B型挖掘机有（12﹣m）台．
根据题意得
W=4×300m+4×180（12﹣m）=480m+8640
∵
∴解得
∵m≠12﹣m，解得m≠6
∴7≤m≤9
∴共有三种调配方案，
方案一：当m=7时，12﹣m=5，即A型挖据机7台，B型挖掘机5台；
方案二：当m=8时，12﹣m=4，即A型挖掘机8台，B型挖掘机4台；
方案三：当m=9时，12﹣m=3，即A型挖掘机9台，B型挖掘机3台．…
∵480＞0，由一次函数的性质可知，W随m的减小而减小，
∴当m=7时，W =480×7+8640=12000
小
此时A型挖掘机7台，B型挖据机5台的施工费用最低，最低费用为12000元．
【点评】本题考查了二元一次方程组和一次函数增减性，解答时先根据题意确定
自变量取值范围，再应用一次函数性质解答问题．
第28页（共35页）24．（12分）（2018•潍坊）如图1，在 ▱ABCD中，DH⊥AB于点H，CD的垂直平分线
交CD于点E，交AB于点F，AB=6，DH=4，BF：FA=1：5．
（1）如图2，作FG⊥AD于点G，交DH于点M，将△DGM沿DC方向平移，得到
△CG′M′，连接M′B．
①求四边形BHMM′的面积；
②直线EF上有一动点N，求△DNM周长的最小值．
（2）如图3，延长CB交EF于点Q，过点Q作QK∥AB，过CD边上的动点P作
PK∥EF，并与QK交于点K，将△PKQ沿直线PQ翻折，使点K的对应点K′恰好落在
直线AB上，求线段CP的长．
【分析】（1）①根据相似三角形的判定和性质以及平移的性质进行解答即可；
②连接CM交直线EF于点N，连接DN，利用勾股定理解答即可；
（2）分点P在线段CE上和点P在线段ED上两种情况进行解答．
【解答】解：（1）①在 ▱ABCD中，AB=6，直线EF垂直平分CD，
∴DE=FH=3，
又BF：FA=1：5，
∴AH=2，
第29页（共35页）∵Rt△AHD∽Rt△MHF，
∴ ，
即 ，
∴HM=1.5，
根据平移的性质，MM'=CD=6，连接BM，如图1，
四边形BHMM′的面积= ；
②连接CM交直线EF于点N，连接DN，如图2，
∵直线EF垂直平分CD，
∴CN=DN，
∵MH=1.5，
∴DM=2.5，
在Rt△CDM中，MC2=DC2+DM2，
∴MC2=62+（2.5）2，
即MC=6.5，
∵MN+DN=MN+CN=MC，
∴△DNM周长的最小值为9．
（2）∵BF∥CE，
∴ ，
∴QF=2，
∴PK=PK'=6，
过点K'作E'F'∥EF，分别交CD于点E'，交QK于点F'，如图3，
第30页（共35页）当点P在线段CE上时，
在Rt△PK'E'中，
PE'2=PK'2﹣E'K'2，
∴ ，
∵Rt△PE'K'∽Rt△K'F'Q，
∴ ，
即 ，
解得： ，
∴PE=PE'﹣EE'= ，
∴ ，
同理可得，当点P在线段DE上时， ，如图4，
综上所述，CP的长为 或 ．
【点评】此题考查四边形的综合题，关键是根据相似三角形的性质和平移的性质
解答，注意（2）分两种情况分析．
第31页（共35页）25．（12分）（2018•潍坊）如图1，抛物线y =ax2﹣ x+c与x轴交于点A和点B（1，
1
0），与y轴交于点C（0， ），抛物线y 的顶点为G，GM⊥x轴于点M．将抛物线y
1 1
平移后得到顶点为B且对称轴为直线l的抛物线y ．
2
（1）求抛物线y 的解析式；
2
（2）如图2，在直线l上是否存在点T，使△TAC是等腰三角形？若存在，请求出所
有点T的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）点P为抛物线y 上一动点，过点P作y轴的平行线交抛物线y 于点Q，点Q关
1 2
于直线l的对称点为R，若以P，Q，R为顶点的三角形与△AMG全等，求直线PR的
解析式．
【分析】（1）应用待定系数法求解析式；
（2）设出点T坐标，表示△TAC三边，进行分类讨论；
（3）设出点P坐标，表示Q、R坐标及PQ、QR，根据以P，Q，R为顶点的三角形与
△AMG全等，分类讨论对应边相等的可能性即可．
【解答】解：（1）由已知，c= ，
将B（1，0）代入，得：a﹣ + =0，
解得a=﹣ ，
抛物线解析式为y = ，
1
∵抛物线y 平移后得到y ，且顶点为B（1，0），
1 2
∴y =﹣ （x﹣1）2，
2
即y =﹣ ．
2
第32页（共35页）（2）存在，
如图1：
抛物线y 的对称轴l为x=1，设T（1，t），
2
已知A（﹣3，0），C（0， ），
过点T作TE⊥y轴于E，则
TC2=TE2+CE2=12+（ ）2=t2﹣ ，
TA2=TB2+AB2=（1+3）2+t2=t2+16，
AC2= ，
当TC=AC时，t2﹣ =
解得：t = ，t = ；
1 2
当TA=AC时，t2+16= ，无解；
当TA=TC时，t2﹣ =t2+16，
解得t =﹣ ；
3
当点T坐标分别为（1， ），（1， ），（1，﹣ ）时，△TAC为等腰三角
形．
第33页（共35页）（3）如图2：
设P（m，﹣ ），则Q（m，﹣ ）
∵Q、R关于x=1对称
∴R（2﹣m，﹣ ），
①当点P在直线l左侧时，
PQ=1﹣m，QR=2﹣2m，
∵△PQR与△AMG全等，
∴当PQ=GM且QR=AM时，m=0，
∴P（0， ），即点P、C重合．
∴R（2，﹣ ），
由此求直线PR解析式为y=﹣ ，
当PQ=AM且QR=GM时，无解；
②当点P在直线l右侧时，
同理：PQ=m﹣1，QR=2m﹣2，
则P（2，﹣ ），R（0，﹣ ），
PQ解析式为：y=﹣ ；
第34页（共35页）∴PR解析式为：y=﹣ 或y=﹣
【点评】本题是代数几何综合题，考查了二次函数性质、三角形全等和等腰三角形
判定，应用了数形结合和分类讨论的数学思想．
第35页（共35页）
