文档内容
2018 年海南省中考数学试卷
一、选择题（本大题满分42分，每小题3分）在下列各题的四个备选答案中，有且
只有一个是正确的，请在答题卡上把你认为正确的答案的字母代号按要求用 2B
铅笔涂黑
1．（3.00分）（2018•海南）2018的相反数是（ ）
A．﹣2018 B．2018 C．﹣ D．
2．（3.00分）（2018•海南）计算a2•a3，结果正确的是（ ）
A．a5 B．a6 C．a8 D．a9
3．（3.00分）（2018•海南）在海南建省办经济特区30周年之际，中央决定创建海
南自贸区（港），引发全球高度关注．据统计，4月份互联网信息中提及“海南”
一词的次数约48500000次，数据48500000科学记数法表示为（ ）
A．485×105B．48.5×106C．4.85×107D．0.485×108
4．（3.00分）（2018•海南）一组数据：1，2，4，2，2，5，这组数据的众数是（ ）
A．1B．2C．4D．5
5．（3.00分）（2018•海南）下列四个几何体中，主视图为圆的是（ ）
A． B． C． D．
6．（3.00分）（2018•海南）如图，在平面直角坐标系中，△ABC位于第一象限，点A
的坐标是（4，3），把△ABC向左平移6个单位长度，得到△A B C ，则点B 的坐标
1 1 1 1
是（ ）
A．（﹣2，3）B．（3，﹣1）C．（﹣3，1）D．（﹣5，2）
第1页（共26页）7．（3.00分）（2018•海南）将一把直尺和一块含30°和60°角的三角板ABC按如图
所示的位置放置，如果∠CDE=40°，那么∠BAF的大小为（ ）
A．10° B．15° C．20° D．25°
8．（3.00分）（2018•海南）下列四个不等式组中，解集在数轴上表示如图所示的是
（ ）
A． B． C． D．
9．（3.00分）（2018•海南）分式方程 =0的解是（ ）
A．﹣1 B．1C．±1 D．无解
10．（3.00分）（2018•海南）在一个不透明的袋子中装有n个小球，这些球除颜色
外均相同，其中红球有2个，如果从袋子中随机摸出一个球，这个球是红球的概
率为 ，那么n的值是（ ）
A．6B．7C．8D．9
11．（3.00分）（2018•海南）已知反比例函数y= 的图象经过点P（﹣1，2），则这个
函数的图象位于（ ）
A．二、三象限 B．一、三象限 C．三、四象限 D．二、四象限
12．（3.00分）（2018•海南）如图，在△ABC中，AB=8，AC=6，∠BAC=30°，将△ABC
绕点A逆时针旋转60°得到△AB C ，连接BC ，则BC 的长为（ ）
1 1 1 1
第2页（共26页）A．6B．8C．10 D．12
13．（3.00分）（2018•海南）如图， ▱ABCD的周长为36，对角线AC、BD相交于点
O，点E是CD的中点，BD=12，则△DOE的周长为（ ）
A．15 B．18 C．21 D．24
14．（3.00分）（2018•海南）如图1，分别沿长方形纸片ABCD和正方形纸片EFGH
的对角线AC，EG剪开，拼成如图2所示的 ▱KLMN，若中间空白部分四边形OPQR
恰好是正方形，且 ▱KLMN的面积为50，则正方形EFGH的面积为（ ）
A．24 B．25 C．26 D．27
二.填空题（本大题满分16分，每小题4分）
15．（4.00分）（2018•海南）比较实数的大小：3 （填“＞”、“＜”或
“=”）．
16．（4.00分）（2018•海南）五边形的内角和的度数是 ．
17．（4.00分）（2018•海南）如图，在平面直角坐标系中，点M是直线y=﹣x上的
动点，过点M作MN⊥x轴，交直线y=x于点N，当MN≤8时，设点M的横坐标为
第3页（共26页）m，则m的取值范围为 ．
18．（4.00分）（2018•海南）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（20，0），点
B的坐标是（16，0），点C、D在以OA为直径的半圆M上，且四边形OCDB是平行
四边形，则点C的坐标为 ．
三、解答题（本大题满分62分）
19．（10.00分）（2018•海南）计算：
（1）32﹣ ﹣|﹣2|×2﹣1
（2）（a+1）2+2（1﹣a）
20．（8.00分）（2018•海南）“绿水青山就是金山银山”，海南省委省政府高度重
视环境生态保护，截至2017年底，全省建立国家级、省级和市县级自然保护区共
49个，其中国家级10个，省级比市县级多5个．问省级和市县级自然保护区各多
少个？
21．（8.00分）（2018•海南）海南建省30年来，各项事业取得令人瞩目的成就，以
2016年为例，全省社会固定资产总投资约3730亿元，其中包括中央项目、省属项
目、地（市）属项目、县（市）属项目和其他项目．图1、图2分别是这五个项目的投
资额不完整的条形统计图和扇形统计图，请完成下列问题：
（1）在图1中，先计算地（市）属项目投资额为 亿元，然后将条形统计图补
充完整；
（2）在图2中，县（市）属项目部分所占百分比为m%、对应的圆心角为β，则m=
第4页（共26页），β= 度（m、β均取整数）．
22．（8.00分）（2018•海南）如图，某数学兴趣小组为测量一棵古树BH和教学楼
CG的高，先在A处用高1.5米的测角仪测得古树顶端H的仰角∠HDE为45°，此
时教学楼顶端G恰好在视线DH上，再向前走7米到达B处，又测得教学楼顶端G
的仰角∠GEF为60°，点A、B、C三点在同一水平线上．
（1）计算古树BH的高；
（2）计算教学楼CG的高．（参考数据： ≈14， ≈1.7）
23．（13.00分）（2018•海南）已知，如图1，在 ▱ABCD中，点E是AB中点，连接DE
并延长，交CB的延长线于点F．
（1）求证：△ADE≌△BFE；
（2）如图2，点G是边BC上任意一点（点G不与点B、C重合），连接AG交DF于点
H，连接HC，过点A作AK∥HC，交DF于点K．
①求证：HC=2AK；
②当点G是边BC中点时，恰有HD=n•HK（n为正整数），求n的值．
第5页（共26页）24．（15.00分）（2018•海南）如图1，抛物线y=ax2+bx+3交x轴于点A（﹣1，0）和点
B（3，0）．
（1）求该抛物线所对应的函数解析式；
（2）如图2，该抛物线与y轴交于点C，顶点为F，点D（2，3）在该抛物线上．
①求四边形ACFD的面积；
②点P是线段AB上的动点（点P不与点A、B重合），过点P作PQ⊥x轴交该抛物
线于点Q，连接AQ、DQ，当△AQD是直角三角形时，求出所有满足条件的点Q的
坐标．
第6页（共26页）2018 年海南省中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题满分42分，每小题3分）在下列各题的四个备选答案中，有且
只有一个是正确的，请在答题卡上把你认为正确的答案的字母代号按要求用 2B
铅笔涂黑
1．（3.00分）（2018•海南）2018的相反数是（ ）
A．﹣2018 B．2018 C．﹣ D．
【考点】14：相反数．
【专题】1 ：常规题型．
【分析】直接利用相反数的定义分析得出答案．
【解答】解：2018的相反数是：﹣2018．
故选：A．
【点评】此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键．
2．（3.00分）（2018•海南）计算a2•a3，结果正确的是（ ）
A．a5 B．a6 C．a8 D．a9
【考点】46：同底数幂的乘法．
【专题】11 ：计算题．
【分析】根据同底数幂的乘法法则解答即可．
【解答】解：a2•a3=a5，
故选：A．
【点评】此题考查同底数幂的乘法，关键是根据同底数的幂的乘法解答．
3．（3.00分）（2018•海南）在海南建省办经济特区30周年之际，中央决定创建海
南自贸区（港），引发全球高度关注．据统计，4月份互联网信息中提及“海南”
一词的次数约48500000次，数据48500000科学记数法表示为（ ）
第7页（共26页）A．485×105B．48.5×106C．4.85×107D．0.485×108
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．
【专题】1 ：常规题型．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确
定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移
动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：48500000用科学记数法表示为4.85×107，
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形
式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（3.00分）（2018•海南）一组数据：1，2，4，2，2，5，这组数据的众数是（ ）
A．1B．2C．4D．5
【考点】W5：众数．
【专题】1 ：常规题型．
【分析】根据众数定义可得答案．
【解答】解：一组数据：1，2，4，2，2，5，这组数据的众数是2，
故选：B．
【点评】此题主要考查了众数，关键是掌握一组数据中出现次数最多的数据叫做
众数．
5．（3.00分）（2018•海南）下列四个几何体中，主视图为圆的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】U1：简单几何体的三视图．
【分析】先分析出四种几何体的主视图的形状，即可得出主视图为圆的几何体．
【解答】解：A、圆柱的主视图是长方形，故A错误；
B、圆锥的主视图是三角形，故B错误；
第8页（共26页）C、球的主视图是圆，故C正确；
D、正方体的主视图是正方形，故D错误．
故选：C．
【点评】本题考查了利用几何体判断三视图，培养了学生的观察能力和对几何体
三种视图的空间想象能力．
6．（3.00分）（2018•海南）如图，在平面直角坐标系中，△ABC位于第一象限，点A
的坐标是（4，3），把△ABC向左平移6个单位长度，得到△A B C ，则点B 的坐标
1 1 1 1
是（ ）
A．（﹣2，3）B．（3，﹣1）C．（﹣3，1）D．（﹣5，2）
【考点】Q3：坐标与图形变化﹣平移．
【专题】1 ：常规题型；558：平移、旋转与对称．
【分析】根据点的平移的规律：向左平移a个单位，坐标P（x，y） P（x﹣a，y），据
此求解可得．
⇒
【解答】解：∵点B的坐标为（3，1），
∴向左平移6个单位后，点B 的坐标（﹣3，1），
1
故选：C．
【点评】本题主要考查坐标与图形的变化﹣平移，解题的关键是掌握点的坐标的
平移规律：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．
7．（3.00分）（2018•海南）将一把直尺和一块含30°和60°角的三角板ABC按如图
所示的位置放置，如果∠CDE=40°，那么∠BAF的大小为（ ）
第9页（共26页）A．10° B．15° C．20° D．25°
【考点】JA：平行线的性质．
【专题】1 ：常规题型；551：线段、角、相交线与平行线．
【分析】由DE∥AF得∠AFD=∠CDE=40°，再根据三角形的外角性质可得答案．
【解答】解：由题意知DE∥AF，
∴∠AFD=∠CDE=40°，
∵∠B=30°，
∴∠BAF=∠AFD﹣∠B=40°﹣30°=10°，
故选：A．
【点评】本题主要考查平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行同位角相等
与三角形外角的性质．
8．（3.00分）（2018•海南）下列四个不等式组中，解集在数轴上表示如图所示的是
（ ）
A． B． C． D．
【考点】C4：在数轴上表示不等式的解集．
【专题】1 ：常规题型；524：一元一次不等式(组)及应用．
【分析】根据不等式组的表示方法，可得答案．
【解答】解：由解集在数轴上的表示可知，该不等式组为 ，
故选：D．
【点评】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，利用不等式组的解集的表示方
第10页（共26页）法：大小小大中间找是解题关键．
9．（3.00分）（2018•海南）分式方程 =0的解是（ ）
A．﹣1 B．1C．±1 D．无解
【考点】B2：分式方程的解．
【专题】11 ：计算题；522：分式方程及应用．
【分析】根据解分式方程的步骤计算可得．
【解答】解：两边都乘以x+1，得：x2﹣1=0，
解得：x=1或x=﹣1，
当x=1时，x+1≠0，是方程的解；
当x=﹣1时，x+1=0，是方程的增根，舍去；
所以原分式方程的解为x=1，
故选：B．
【点评】本题主要考查分式方程的解，解题的关键是熟练掌握解分式方程的步骤．
10．（3.00分）（2018•海南）在一个不透明的袋子中装有n个小球，这些球除颜色
外均相同，其中红球有2个，如果从袋子中随机摸出一个球，这个球是红球的概
率为 ，那么n的值是（ ）
A．6B．7C．8D．9
【考点】X4：概率公式．
【专题】1 ：常规题型．
【分析】根据概率公式得到 = ，然后利用比例性质求出n即可．
【解答】解：根据题意得 = ，解得n=6，
所以口袋中小球共有6个．
第11页（共26页）故选：A．
【点评】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果
数除以所有可能出现的结果数．
11．（3.00分）（2018•海南）已知反比例函数y= 的图象经过点P（﹣1，2），则这个
函数的图象位于（ ）
A．二、三象限 B．一、三象限 C．三、四象限 D．二、四象限
【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】先根据点P的坐标求出反比例函数的比例系数k，再由反比例函数的性质
即可得出结果．
【解答】解：反比例函数y= 的图象经过点P（﹣1，2），
∴2= ．
∴k=﹣2＜0；
∴函数的图象位于第二、四象限．
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数的图象和性质：①、当k＞0时，图象分别位于第一、
三象限；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限．②、当k＞0时，在同一个象限内，
y随x的增大而减小；当k＜0时，在同一个象限，y随x的增大而增大．
12．（3.00分）（2018•海南）如图，在△ABC中，AB=8，AC=6，∠BAC=30°，将△ABC
绕点A逆时针旋转60°得到△AB C ，连接BC ，则BC 的长为（ ）
1 1 1 1
A．6B．8C．10 D．12
第12页（共26页）【考点】KQ：勾股定理；R2：旋转的性质；T7：解直角三角形．
【专题】55：几何图形．
【分析】根据旋转的性质得出AC=AC ，∠BAC =90°，进而利用勾股定理解答即可．
1 1
【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB C ，
1 1
∴AC=AC ，∠CAC =90°，
1 1
∵AB=8，AC=6，∠BAC=30°，
∴∠BAC =90°，AB=8，AC =6，
1 1
∴在Rt△BAC 中，BC 的长= ，
1 1
故选：C．
【点评】此题考查旋转的性质，关键是根据旋转的性质得出AC=AC ，∠BAC =90°．
1 1
13．（3.00分）（2018•海南）如图， ▱ABCD的周长为36，对角线AC、BD相交于点
O，点E是CD的中点，BD=12，则△DOE的周长为（ ）
A．15 B．18 C．21 D．24
【考点】KX：三角形中位线定理；L5：平行四边形的性质．
【专题】555：多边形与平行四边形．
【分析】利用平行四边形的性质，三角形中位线定理即可解决问题；
【解答】解：∵平行四边形ABCD的周长为36，
∴BC+CD=18，
∵OD=OB，DE=EC，
∴OE+DE= （BC+CD）=9，
∵BD=12，
第13页（共26页）∴OD= BD=6，
∴△DOE的周长为9+6=15，
故选：A．
【点评】本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是
熟练掌握三角形中位线定理，属于中考常考题型．
14．（3.00分）（2018•海南）如图1，分别沿长方形纸片ABCD和正方形纸片EFGH
的对角线AC，EG剪开，拼成如图2所示的 ▱KLMN，若中间空白部分四边形OPQR
恰好是正方形，且 ▱KLMN的面积为50，则正方形EFGH的面积为（ ）
A．24 B．25 C．26 D．27
【考点】L7：平行四边形的判定与性质；LB：矩形的性质；LE：正方形的性质；PC：图
形的剪拼．
【专题】556：矩形 菱形 正方形．
【分析】如图，设PM=PL=NR=AR=a，正方形ORQP的边长为b，构建方程即可解决
问题；
【解答】解：如图，设PM=PL=NR=AR=a，正方形ORQP的边长为b．
由题意：a2+b2+（a+b）（a﹣b）=50，
第14页（共26页）∴a2=25，
∴正方形EFGH的面积=a2=25，
故选：B．
【点评】本题考查图形的拼剪，矩形的性质，正方形的性质等知识，解题的关键是
学会利用参数构建方程解决问题，学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考
选择题中的压轴题．
二.填空题（本大题满分16分，每小题4分）
15．（4.00分）（2018•海南）比较实数的大小：3 ＞ （填“＞”、“＜”或
“=”）．
【考点】2A：实数大小比较．
【专题】11 ：计算题．
【分析】根据3= ＞ 计算．
【解答】解：∵3= ， ＞ ，
∴3＞ ．
故答案是：＞．
【点评】本题考查了实数的大小比较的应用，主要考查了学生的比较能力．
16．（4.00分）（2018•海南）五边形的内角和的度数是 540 ° ．
【考点】L3：多边形内角与外角．
【分析】根据n边形的内角和公式：180°（n﹣2），将n=5代入即可求得答案．
【解答】解：五边形的内角和的度数为：180°×（5﹣2）=180°×3=540°．
故答案为：540°．
【点评】此题考查了多边形的内角和公式．此题比较简单，准确记住公式是解此题
的关键．
17．（4.00分）（2018•海南）如图，在平面直角坐标系中，点M是直线y=﹣x上的
第15页（共26页）动点，过点M作MN⊥x轴，交直线y=x于点N，当MN≤8时，设点M的横坐标为
m，则m的取值范围为 ﹣ 4 ≤ m ≤ 4 ．
【考点】F8：一次函数图象上点的坐标特征．
【专题】11 ：计算题．
【分析】先确定出M，N的坐标，进而得出MN=|2m|，即可建立不等式，解不等式
即可得出结论．
【解答】解：∵点M在直线y=﹣x上，
∴M（m，﹣m），
∵MN⊥x轴，且点N在直线y=x上，
∴N（m，m），
∴MN=|﹣m﹣m|=|2m|，
∵MN≤8，
∴|2m|≤8，
∴﹣4≤m≤4，
故答案为：﹣4≤m≤4．
【点评】此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，解不等式，表示出MN是
解本题的关键．
18．（4.00分）（2018•海南）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（20，0），点
B的坐标是（16，0），点C、D在以OA为直径的半圆M上，且四边形OCDB是平行
四边形，则点C的坐标为 （ 2 ， 6 ） ．
第16页（共26页）【考点】KQ：勾股定理；L5：平行四边形的性质；M2：垂径定理．
【专题】1 ：常规题型．
【分析】过点M作MF⊥CD于点F，则CF= CD=8，过点C作CE⊥OA于点E，由勾股
定理可求得MF的长，从而得出OE的长，然后写出点C的坐标．
【解答】解：∵四边形OCDB是平行四边形，B（16，0），
∴CD∥OA，CD=OB=16，
过点M作MF⊥CD于点F，则CF= CD=8，
过点C作CE⊥OA于点E，
∵A（20，0），
∴OE=OM﹣ME=OM﹣CF=10﹣8=2．
连接MC，则MC= OA=10，
∴在Rt△CMF中，由勾股定理得MF= =6
∴点C的坐标为（2，6）
故答案为：（2，6）．
【点评】本题考查了勾股定理、垂径定理以及平行四边形的性质，正确作出辅助线
构造出直角三角形是解题关键．
三、解答题（本大题满分62分）
19．（10.00分）（2018•海南）计算：
第17页（共26页）（1）32﹣ ﹣|﹣2|×2﹣1
（2）（a+1）2+2（1﹣a）
【考点】2C：实数的运算；36：去括号与添括号；4C：完全平方公式；6F：负整数指数
幂．
【专题】1 ：常规题型．
【分析】（1）直接利用二次根式性质和负指数幂的性质分别化简得出答案；
（2）直接利用完全平方公式去括号进而合并同类项得出答案．
【解答】解：（1）原式=9﹣3﹣2×
=5；
（2）原式=a2+2a+1+2﹣2a
=a2+3．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
20．（8.00分）（2018•海南）“绿水青山就是金山银山”，海南省委省政府高度重
视环境生态保护，截至2017年底，全省建立国家级、省级和市县级自然保护区共
49个，其中国家级10个，省级比市县级多5个．问省级和市县级自然保护区各多
少个？
【考点】8A：一元一次方程的应用．
【专题】34 ：方程思想；521：一次方程（组）及应用．
【分析】设市县级自然保护区有x个，则省级自然保护区有（x+5）个，根据国家级、
省级和市县级自然保护区共49个，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得
出结论．
【解答】解：设市县级自然保护区有x个，则省级自然保护区有（x+5）个，
根据题意得：10+x+5+x=49，
解得：x=17，
∴x+5=22．
答：省级自然保护区有22个，市县级自然保护区有17个．
第18页（共26页）【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程
是解题的关键．
21．（8.00分）（2018•海南）海南建省30年来，各项事业取得令人瞩目的成就，以
2016年为例，全省社会固定资产总投资约3730亿元，其中包括中央项目、省属项
目、地（市）属项目、县（市）属项目和其他项目．图1、图2分别是这五个项目的投
资额不完整的条形统计图和扇形统计图，请完成下列问题：
（1）在图1中，先计算地（市）属项目投资额为 83 0 亿元，然后将条形统计图补
充完整；
（2）在图2中，县（市）属项目部分所占百分比为m%、对应的圆心角为β，则m=
18 ，β= 6 5 度（m、β均取整数）．
【考点】VB：扇形统计图；VC：条形统计图．
【专题】1 ：常规题型；542：统计的应用．
【分析】（1）用全省社会固定资产总投资约3730亿元减去其他项目的投资即可求
得地（市）属项目投资额，从而补全图象；
（2）用县（市）属项目投资除以总投资求得m的值，再用360度乘以县（市）属项
目投资额所占比例可得．
【解答】解：（1）地（市）属项目投资额为3730﹣（200+530+670+1500）=830（亿元）
补全图形如下：
第19页（共26页）故答案为：830；
（2）（市）属项目部分所占百分比为m%= ×100%≈18%，即m=18，
对应的圆心角为β=360°× ≈65°，
故答案为：18、65．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同
的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个
项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
22．（8.00分）（2018•海南）如图，某数学兴趣小组为测量一棵古树BH和教学楼
CG的高，先在A处用高1.5米的测角仪测得古树顶端H的仰角∠HDE为45°，此
时教学楼顶端G恰好在视线DH上，再向前走7米到达B处，又测得教学楼顶端G
的仰角∠GEF为60°，点A、B、C三点在同一水平线上．
（1）计算古树BH的高；
（2）计算教学楼CG的高．（参考数据： ≈14， ≈1.7）
第20页（共26页）【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【专题】552：三角形．
【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质即可解决问题；
（2）作 HJ⊥CG 于 G．则△HJG 是等腰三角形，四边形 BCJH 是矩形，设
HJ=GJ=BC=x．构建方程即可解决问题；
（ 1 ） 在 Rt△DEH 中 ， ∵ ∠ DEH=90° ， ∠ HDE=45° ， ∴ HE=DE=7 米 ．
∴BH=HE+BE=7+1.5=8.5米．
（2）设EF=x米，在Rt△GEF中，∵∠GFE=90°，∠GEF=60°，∴GF=EF·tan60°= x．
在Rt△GDF中，∵∠GFD=90°，∠GDF=45°，∴DF=GF．∴7+x= x．
将 代入上式，解得x=10．GF= x=17．
∴GC=GF+FC=18.5米．
答：古树高为8.5米，教学楼高为18.5米．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是学会添加
常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
23．（13.00分）（2018•海南）已知，如图1，在 ▱ABCD中，点E是AB中点，连接DE
并延长，交CB的延长线于点F．
（1）求证：△ADE≌△BFE；
（2）如图2，点G是边BC上任意一点（点G不与点B、C重合），连接AG交DF于点
H，连接HC，过点A作AK∥HC，交DF于点K．
①求证：HC=2AK；
②当点G是边BC中点时，恰有HD=n•HK（n为正整数），求n的值．
【考点】LO：四边形综合题．
第21页（共26页）【专题】152：几何综合题．
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到 AD∥BC，得到∠ADE=∠BFE，
∠A=∠FBE，利用AAS定理证明即可；
（2）作BN∥HC交EF于N，根据全等三角形的性质、三角形中位线定理证明；
（3）作 GM∥DF 交 HC 于 M，分别证明△CMG∽△CHF、△AHD∽△GHF、
△AHK∽△HGM，根据相似三角形的性质计算即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADE=∠BFE，∠A=∠FBE，
在△ADE和△BFE中，
，
∴△ADE≌△BFE；
（2）如图2，作BN∥HC交EF于N，
∵△ADE≌△BFE，
∴BF=AD=BC，
∴BN= HC，
由（1）的方法可知，△AEK≌△BFN，
∴AK=BN，
∴HC=2AK；
（3）如图3，作GM∥DF交HC于M，
∵点G是边BC中点，
∴CG= CF，
∵GM∥DF，
∴△CMG∽△CHF，
第22页（共26页）∴ = = ，
∵AD∥FC，
∴△AHD∽△GHF，
∴ = = = ，
∴ = ，
∵AK∥HC，GM∥DF，
∴△AHK∽△HGM，
∴ = = ，
∴ = ，即HD=4HK，
∴n=4．
【点评】本题考查的是平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形
的判定和性质，掌握它们的判定定理和性质定理是解题的关键．
24．（15.00分）（2018•海南）如图1，抛物线y=ax2+bx+3交x轴于点A（﹣1，0）和点
B（3，0）．
第23页（共26页）（1）求该抛物线所对应的函数解析式；
（2）如图2，该抛物线与y轴交于点C，顶点为F，点D（2，3）在该抛物线上．
①求四边形ACFD的面积；
②点P是线段AB上的动点（点P不与点A、B重合），过点P作PQ⊥x轴交该抛物
线于点Q，连接AQ、DQ，当△AQD是直角三角形时，求出所有满足条件的点Q的
坐标．
【考点】HF：二次函数综合题．
【专题】16 ：压轴题；32 ：分类讨论；41 ：待定系数法；523：一元二次方程及应用；
537：函数的综合应用；554：等腰三角形与直角三角形．
【分析】（1）由A、B两点的坐标，利用待定系数法即可求得抛物线解析式；
（2）①连接CD，则可知CD∥x轴，由A、F的坐标可知F、A到CD的距离，利用三角
形面积公式可求得△ACD和△FCD的面积，则可求得四边形ACFD的面积；②由题
意可知点A处不可能是直角，则有∠ADQ=90°或∠AQD=90°，当∠ADQ=90°时，可
先求得直线AD解析式，则可求出直线DQ解析式，联立直线DQ和抛物线解析式
则可求得Q点坐标；当∠AQD=90°时，设Q（t，﹣t2+2t+3），设直线AQ的解析式为
y=k x+b ，则可用t表示出k′，设直线DQ解析式为y=k x+b ，同理可表示出k ，由
1 1 2 2 2
AQ⊥DQ则可得到关于t的方程，可求得t的值，即可求得Q点坐标．
【解答】解：
（1）由题意可得 ，解得 ，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；
（2）①∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，
∴F（1，4），
∵C（0，3），D（2，3），
第24页（共26页）∴CD=2，且CD∥x轴，
∵A（﹣1，0），
∴S =S +S = ×2×3+ ×2×（4﹣3）=4；
四边形ACFD △ACD △FCD
②∵点P在线段AB上，
∴∠DAQ不可能为直角，
∴当△AQD为直角三角形时，有∠ADQ=90°或∠AQD=90°，
i．当∠ADQ=90°时，则DQ⊥AD，
∵A（﹣1，0），D（2，3），
∴直线AD解析式为y=x+1，
∴可设直线DQ解析式为y=﹣x+b′，
把D（2，3）代入可求得b′=5，
∴直线DQ解析式为y=﹣x+5，
联立直线DQ和抛物线解析式可得 ，解得 或 ，
∴Q（1，4）；
ii．当∠AQD=90°时，设Q（t，﹣t2+2t+3），
设直线AQ的解析式为y=k x+b ，
1 1
把A、Q坐标代入可得 ，解得k =﹣（t﹣3），
1
设直线DQ解析式为y=k x+b ，同理可求得k =﹣t，
2 2 2
∵AQ⊥DQ，
∴k k =﹣1，即t（t﹣3）=﹣1，解得t= ，
1 2
当t= 时，﹣t2+2t+3= ，
当t= 时，﹣t2+2t+3= ，
第25页（共26页）∴Q点坐标为（ ， ）或（ ， ）；
综上可知Q点坐标为（1，4）或（ ， ）或（ ， ）．
【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角形的面积、二次函数
的性质、直角三角形的性质及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的
应用，在（2）①中注意把四边形转化为两个三角形，在②利用互相垂直直线的性
质是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．
第26页（共26页）
